基于直觉模糊相似度的模糊推理方法及其在模式识别中的应用

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Fuzzy reasoning method based on intuitionistic fuzzy similarity measure and its application in pattern recognition

　　宁瑶|张安妮|赵瑞瑞|罗敏霞
中国吉良大学数据科学系，杭州310018，中华人民共和国

摘要
在构建推理方法时，方法的可简化和规则前件与输入变量之间的相似性是两个极其重要的因素。因此，本文提出了一种基于直觉模糊相似性度量的可简化推理方法。具体来说，首先通过直觉剩余蕴含算子给出了能够全面描述信息的直觉模糊相似性度量的定义。利用这一定义，我们探讨了直觉模糊相似性推理方法来解决直觉模糊模态 Ponens 问题。同时，还研究了所提出推理方法的一系列性质。通过将直觉模糊相似性推理方法引入模式识别过程，开发了一种基于直觉模糊相似性的模式识别方案，可以有效解决特定的模式识别问题。几项实验证明了所提推理方法的有效性和适用性。

引言
推理的一个基本模型是：给定条件“如果 A，则 B”和输入变量 A?，尝试推断出一个合理的输出结果 B?，其中 A 和 A? 是宇宙 X 上的模糊子集，B 和 B? 是宇宙 Y 上的模糊子集，那么这个模型被称为 FMP（Fuzzy Modus Ponens 的缩写）（Wang, 1999a）；如果 A 和 A? 是宇宙 X 上的直觉模糊子集，B 和 B? 是宇宙 Y 上的直觉模糊子集，这个模型被称为直觉模糊模态 Ponens（简称 IFMP）（Zheng 等人，2014）。为了解决上述 FMP 问题，Zadeh（1973, 1975）最初提出了基于模糊集理论的组合推理规则方法，该方法通过模糊集和模糊关系的结合来运作。由于组合推理规则方法缺乏严格的逻辑基础和可简化性，Wang（1999a）提出了基于 R0 蕴含算子的三重蕴含方法，在某些条件下该方法具有可简化性。一些研究人员进一步研究了三重蕴含方法。Pei（2004, 2008）给出了三重蕴含方法的统一形式，以及基于左连续三角范数的三重蕴含方法及其逻辑基础。Tang 和 Yang（2013）提出了对称三重蕴含方法。Luo 和 Yao（2013）获得了包含参数的三重蕴含方法。然而，在某些情况下，三重蕴含方法可能会产生平凡解。为了弥补这一缺点，Zhou 等人（2015）进一步提出了模糊推理五重蕴含方法，在该方法中考虑了输入变量与规则前件之间的包含关系。由于五重蕴含方法仅考虑了输入变量与规则前件之间的包含关系，它仍然可能导致一些无意义的推理结果。此外，Luo 和 Zhao（2018）通过考虑输入变量与规则前件之间的相似度，开发了一种基于相似性的模糊推理方法。另一种解决 FMP 问题的方法是考虑输入变量与规则前件之间的相似性，根据规则后件来构建推理结果。这种方法可以在一定程度上避免上述缺陷。因此，从相似性的角度构建推理方法已成为模糊推理的一个重要研究课题。已经有一些基于相似性度量的推理方法的研究成果。Turksen 和 Zhong（1988, 1990）专注于基于相似性度量的模糊推理方法的构建，即近似类比推理方法，通过使用数值化的相似性度量和在这些相似性度量条件下定义的 if-then 规则后件的修改函数。Chen（1994）提出了基于向量表示中模糊集的加权相似性函数的推理方法。Chun（2001）提到了一种基于相似性度量的灵活双向模糊推理方法。Yeung 和 Tsang（1997）提出了一种基于包含关系、基数和 Equal 的相似性度量的推理方法。然而，值得注意的是，上述大多数相似性结构涉及简单的算术运算组合，用于构建相似性的运算符在逻辑上并不合理，这可能导致推理结果不可信。为了弥合这一差距，Wang 等人（2008）利用逻辑联结词 R0-implication 和 conjunction 构建了一种模糊相似性度量，即 FS(A,B)={x,R0(A(x),B(x))∧R0(B(x),A(x))∣x∈X}，并基于这种模糊相似性度量获得了一种模糊推理方法。
考虑到模糊集理论主要强调正面信息，这在处理某些情况下的模糊、不确定和不完整信息时可能会限制其有效性。为了解决这个问题，Atanassov（1986）通过引入隶属函数和非隶属函数提出了直觉模糊集（简称 IFS），同时从正面和负面的角度捕获了模糊变量的本质。由于直觉模糊集的优越性，已经研究了许多直觉模糊集之间的相似性度量（例如，Dutta 等人，2024，Dutta 和 Banik，2024，Wu 等人，2024，Gohain 等人，2024），并将其应用于许多领域，如多属性决策（例如，Garg 等人，2023，Wu 等人，2023，Mahanta 和 Panda，2021，Patel 等人，2023，Talukdar 和 Dutta，2023，Saikia 和 Dutta，2025，Goala 等人，2022）和模式识别（例如，Xiao，2021，Garg 和 Rani，2022，Patel 等人，2024，Gogoi 等人，2023）。直觉模糊推理也是一个重要课题，特别是解决 IFMP 问题。Cornelis 等人（2004）专注于直觉模糊蕴含算子的理论，并开发了直觉组合推理规则方法，但该方法仍然缺乏逻辑基础和可简化性。接下来，Zheng 等人（2014）提出了直觉模糊集版本的三重蕴含方法。随后，为了进一步克服直觉三重蕴含方法不适应输入变量与规则前件之间的关系从而导致模糊推理中存在平凡解的缺陷，Zeng 和 Lei（2022）提出了直觉模糊推理五重蕴含方法。然而，直觉三重蕴含方法和直觉模糊推理五重蕴含方法都不满足无条件可简化性。Li 和 Xu（2018）通过考虑规则前件与输入变量之间的包含程度，提出了直觉后件扩张规则方法，提供了一种具有模糊无条件可简化性的推理方法。后来，Esmaeili 和 Eslami（2019）结合优化和相似性的概念提出了一种基于直觉模糊集的推理方法，但这种方法仍然是有条件可简化的。
据我们理解，上述的直觉组合推理规则方法（Cornelis 等人，2004）、直觉模糊推理三重蕴含方法（Zheng 等人，2014）、直觉模糊推理五重蕴含方法（Zeng 和 Lei，2022）、直觉后件扩张规则方法（Li 和 Xu，2018）以及直觉真值表相似性方法（Esmaeili 和 Eslami，2019）忽略了规则前件与输入变量之间的相似性，或者没有很好地描述这种相似性。尽管考虑了规则前件与输入变量之间的联系，但构建方法（例如用区间 0,1 中的数值来描述相似性）只能在一定程度上描述两个变量之间的相似性，而且得到的推理方法有时需要在特定条件下满足可简化性。Wang 等人（2008）的模糊相似性度量与数值化相似性度量相比，更适合全面描述模糊变量之间的相似性。
基于上述分析，本研究的主要目的是在直觉模糊集框架下开发新的模糊推理技术，以便在实际应用中使用。我们的工作受到以下发现的启发：（1）推理方法应仔细考虑 if-then 规则中输入与前件之间的联系，确保推理有意义且与上下文相关；（2）推理方法的设计和输入与前件之间联系的度量必须建立在严格的逻辑基础上，以保证推理过程的可解释性；（3）当输入完全匹配 if-phrase 时，推理方法必须能够得出与 then-phrase 相同的结论，这意味着可简化性；（4）在使用模糊工具解决模式识别问题时，通常只考虑目标模式的属性与已知模式的属性之间的相似性（类似于输入与规则前件之间的相似性），而忽略了已知模式与其属性之间的潜在联系（类似于模糊推理中 if-then 规则的作用），这可能导致不可靠的识别结果。我们将本文的贡献总结如下：
- 我们提出了直觉模糊相似性的公理定义，以及从逻辑联结词推导出的可计算公式，并在此基础上开发了一种基于这种可计算相似性度量的直觉模糊推理方法。所提出的推理方法在讨论域内的每个点都明确包含了直觉模糊相似性关系。
- 我们的可计算直觉模糊相似性度量及其相应的推理方法建立在严格的逻辑基础上，具有高度的可解释性。从理论上证明了这种推理方法具有无条件可简化性和显著的鲁棒性。关于模糊相似性的发现可以视为我们结论的特殊实例。
- 我们开发了一种基于推理的模式识别算法，并在六个模式识别任务上对其进行了评估，与现有的直觉模糊推理方法进行了比较。结果表明，所提出的推理方法在许多情况下显著优于这些现有方法以及仅依赖现有相似性度量的模式识别算法。

本文的其余部分组织如下。第 2 节回顾了模糊集和直觉模糊集的概念和性质。第 3 节展示了基于直觉模糊相似度的直觉模糊相似性度量和 IFMP 问题的模糊推理方法的定义。同时，讨论了一些基于直觉模糊相似度的模糊推理方法的基本性质。第 4 节将基于直觉模糊相似度的模糊推理方法整合到模式识别过程中，并通过几个示例展示了所提推理方法的合理性和有效性。本文的结论和进一步研究在最后一节给出。

初步介绍
为了成功完成这项工作，我们回顾了一些将需要的基本概念和性质。

定义 2.1 Klement 等人（2000）
在 0,1 上的三角范数（简称 t-范数）是一个交换的、结合的函数 T: 0,1×0,1→0,1，满足边界条件 T(p,1)=p，对所有 p∈0,1；以及单调性 T(p,t)≤T(q,t)，当 p≤q，对所有 p,q,t∈0,1。如果对于任何 (p0,q0)∈0,12，以及每个 ?∈(0,1)，都存在一个 δ>0 使得 ?T(p,q)>T(p0,q0)??，当 (p,q)∈(p0?δ,p0]×(q0?δ,q0] 时。

定义 2.2 Esteva 和 Godo（2001）

基于直觉模糊相似度的模糊推理方法
在本节中，我们提出了一种新的直觉模糊推理方法。作为我们推理方法的基础，首先介绍了直觉模糊相似性度量的定义，作为模糊相似度量（Wang 等人，2008）在直觉模糊集框架中的扩展。

实验与分析
我们的推理方法在六个模式识别任务上进行了评估，并使用排序函数对直觉模糊数进行排名。请注意，由初步介绍中的方程（1）定义的部分顺序 ≤L? 并不能在所有可能的情况下确保直觉模糊数之间的可比性，因此不适合我们在实验部分使用。在排名中广泛使用的是得分函数和准确度函数的组合。

结论
本文描述了基于直觉模糊相似度的模糊推理方法。研究发现，直觉模糊相似性度量不仅可以确保信息的完整性，还可以为定义数值相似性提供原材料。此外，还给出了从所提出的直觉模糊相似性推理方法中解决 IFMP 的方法，并证明了一系列相关性质，特别是其优越的无条件可简化性。

作者贡献声明
宁瑶：撰写——审稿与编辑、方法论、形式分析、数据整理、概念化。张安妮（Anni Zhang）：负责撰写的初稿工作、数据验证以及数据整理。赵瑞蕊（Ruirui Zhao）：负责论文的审阅与编辑工作、研究方法的制定、数据分析以及概念框架的构建。罗敏霞（Minxia Luo）：同样负责论文的审阅与编辑工作，同时参与项目管理工作、研究方法的制定、数据分析以及概念框架的构建。

关于利益冲突的声明：
作者们声明以下可能构成潜在利益冲突的财务利益或个人关系：罗敏霞的研究工作得到了国家自然科学基金的支持。若存在其他作者，他们也声明自己不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

致谢：
作者们感谢编辑们和匿名审稿人对本手稿初稿提出的宝贵意见和建议，这些反馈有助于我们改进研究工作。