两单元备用系统的瞬态可靠性求解方法

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：Transient reliability solution of a two-unit standby system

　　张 Jingqi，LIST3N，特鲁瓦技术大学，玛丽·居里街12号，特鲁瓦，10004，法国

摘要：本研究采用半马尔可夫过程（SMP）建模来分析一个双单元备用系统。该系统具有无记忆的在线和离线故障，并允许任意的修复时间分布。修复策略遵循先到先服务（FIFO）原则。推导出了关键的稳态指标和闭式瞬态可靠性解，包括可靠性函数、可用性函数以及故障发生率（ROCOF）函数。通过一个带有敏感性分析的数值示例来分析参数对某个可靠性指标的影响，并提供了关于维护策略的见解。

1. 引言
一个双单元备用系统由一个活跃单元和一个备用的空闲单元组成，当活跃单元发生故障或进行维护时，备用单元可以接管。这类系统在需要高可用性和可靠性的应用中至关重要，包括带有备用发电机的电力系统、IT和网络基础设施、冗余控制系统以及航空航天和工业自动化中的备用通信系统。在诸如管道监控、海上石油运输等工程领域，双单元冗余对于降低故障风险和确保持续运行至关重要。
双单元备用系统在可靠性工程中已被广泛研究。这些系统的可靠性和可维护性受到多种因素的影响，包括故障分布[1]、[2]、[3]、操作模式[4]、[5]、监控信息质量[6]、修复和维护策略[7]、[8]、[9]、在活跃单元和备用单元之间的切换策略[10]、[11]、[12]以及切换机制[11]、[12]。维护策略可能会受到不完美的监控信息[13]、不完美的维护[14]、[15]、不完美的切换[16]以及冲击和累积损伤[17]的影响。最近的研究通过采用随机和计算方法扩展了这些经典结果。例如，在[18]中，Singla使用MATLAB对双单元并行系统进行了随机分析；而在[19]中，Thilaka等人研究了在多层次环境条件下的双单元并行系统的可用性和可靠性。在[20]中，Khurodze和Kakubava进一步研究了备用系统的稳态行为。在[21]中，Rathi在工业制造环境中对双单元并行系统进行了建模。在[22]中，Singh等人使用再生点技术进行可靠性计算；而在[23]中，Koutras使用马尔可夫再生过程来制定维护策略。在[24]中，Wu等人使用带有转移时间限制的半马尔可夫模型来评估系统的可靠性。Wang和Miao在[25]中提出了一种最优预防性维护方法，以避免两个单元之间的不平衡。这些研究表明，现代建模技术为维护调度和风险降低提供了基于应用的见解。

多单元备用系统在许多文献中也得到了广泛研究。早期的工作[26]中，Goel和Gupta使用拉普拉斯变换来分析具有修复和更换策略的多单元备用系统，并推导出相关的稳态可靠性指标。在[27]中，Pérez-Ocón等人使用一般马尔可夫过程来分析多组件系统的瞬态概率。在[28]中，Jain等人使用马尔可夫模型研究了具有两个备用件和两个服务器的多组件系统。在[29]中，Song等人应用随机多值模型来推导多组件系统的可靠性。在[30]中，Zhang等人提出了一个带有预防性维护的可修复系统的综合决策过程。Zhao等人在[31]中提出了多组件系统的切换策略，以保持系统平衡。然而，随着单元数量的增加，工业应用中的计算状态空间复杂性会增加，硬件成本也会提高，因此双单元配置仍然是实际冗余系统的基本构建块。

在可靠性建模中，可以从稳态和瞬态两个角度理解系统行为。稳态分析描述了达到平衡后的长期条件。相比之下，瞬态分析捕捉了稳定之前的短期动态。在某些系统中，瞬时可用性可能会短暂下降到稳态水平以下。这可能会暴露出在稳态指标中未反映的安全或经济风险。这种区别在许多工程领域中至关重要：在非稳态载荷下的结构系统显示出可靠性随时间的变化[32]；感应电动机表明瞬态故障对于状态监测很重要[33]；老化基础设施在变化应力下会经历时间依赖的退化[34]；尽管电网在稳态运行中稳定，但需要进行瞬态稳定性分析以防止级联故障[35]。即使是计算系统也需要非稳态模型，随机Petri网已被用来捕捉超出稳态假设的可靠性增长[36]。目前，大多数文献关注的是稳态可靠性指标。本工作的目标是提供包括稳态结果以及双单元备用系统的时变瞬态解决方案的全面分析。

因此，一个合适的可靠性模型应该是动态的，不限于单调退化，并且能够表示从瞬态到稳态的转换。它应该允许精确且计算效率高的解决方案，这些解决方案包含具有短期特性的可靠性信息[37]。在随机方法中，可以考虑几种替代方案。伽马过程在模拟单调退化方面有效，但不适用于非单调系统[38]。马尔可夫过程因其可处理性和无记忆特性而被广泛使用，但它们受到指数停留时间的限制[39]、[40]。为了超出这些限制并允许任意的停留时间分布，半马尔可夫过程（SMP）提供了一个更丰富、更通用的框架[37]、[41]。它统一了瞬态和稳态分析，支持任意的保持时间规律，并在可修复系统的可靠性建模中得到了很好的应用[42]、[43]。

在这项工作中，研究了一个由相同单元组成的双单元备用系统。根据组件的操作状态，该系统受到两种不同的故障模式的影响：当单元处于活跃状态时发生在线故障，当单元处于备用状态时发生离线故障。假设这两种类型的故障都遵循指数分布函数。这一假设由于无记忆特性而简化了系统计算。一些操作领域的实证研究也支持这一假设，包括工业过程控制数据交换[44]和电气组件[45]、[46]。然而，修复时间不仅受随机环境因素的影响，还受复杂的人类决策和物流限制的影响。因此，无记忆特性不再适用于修复时间建模。本研究假设一个维修设施按照先到先服务（FIFO）原则服务系统，其中修复时间由任意分布函数控制。

在之前对双单元备用系统的研究中，这些系统的可靠性指标的评估主要依赖于拉普拉斯变换。例如，许多研究使用拉普拉斯变换来推导平均故障时间（MTTF）、稳态可用性、以及在指数故障和修复时间限制下的逐点可靠性函数[47]、[48]、[49]、[50]、[51]。最近的研究使用SMP扩展到了指数故障时间和任意修复时间[52]、[53]。然而，这些研究仍然依赖于拉普拉斯变换及其逆变换来获得时域解决方案。对于具有复杂停留时间分布的现实工程系统（如Weibull分布或对数正态分布），拉普拉斯变换及其解析逆变换并不总是存在或难以找到。为了克服这一限制，Limnios[37]、[54]和Ouhbi和Limnios[55]的基础理论工作建立了方法，可以直接使用SMP在时域中评估稳态和逐点可靠性、可用性以及故障发生率（ROCOF）。本工作采用这种SMP框架直接推导出可靠性和相关指标的闭式时域表达式，从而避免了使用拉普拉斯逆变换。

使用五状态模型来捕捉关键动态，同时避免了更大状态空间的复杂性。该框架还支持模型参数的敏感性分析。这些扩展有助于在不同操作条件下更广泛地理解系统性能。基于这个连续时间框架，本文使用SMP方法推导出稳态和逐点可靠性、可用性以及ROCOF的闭式表达式。这些结果通过数值示例和相应的敏感性分析得到了进一步的说明。

本文的其余部分结构如下：第2节详细介绍了系统模型及其半马尔可夫过程的表述。第3节推导了关键的可靠性指标，包括稳态可靠性及平均时间、逐点可靠性、可用性和ROCOF函数。第4节提供了带有Weibull修复分布的数值示例以及敏感性分析。第5节总结了本文。

2. 半马尔可夫过程建模
原则上，双单元备用系统可以用二维状态空间来表示，因为每个单元可能处于运行状态、备用状态、故障状态或维修状态，这导致了大量的可能组合。为了说明这种复杂性，可以在图1中首先展示所有可能的状态组合，然后对其进行简化。稍后在本研究中介绍的简化模型在保持系统基本动态的同时减少了状态空间。

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图1. 双单元系统：简化之前的复杂状态空间表示。

2.1. 系统描述
在[7]中介绍的该系统由两个冗余单元组成，旨在保持连续运行。任何时候，一个单元处于活跃运行（在线）状态，而另一个单元保持在备用（离线）状态。系统根据单元的故障和维修在状态之间切换，确保一次只修复一个故障单元。
每个单元都有独特的角色。在线单元处理工作负载，而备用单元作为备用。如果活跃单元发生故障，系统会立即切换到备用单元。然后由维修人员修复故障单元。此外，假设修复时间和故障时间是独立的。
假设故障遵循指数分布，其中λ1表示在线单元的恒定故障率，λ2表示离线单元的恒定故障率。因此，参数λ=λ1+λ2表示系统在其完全运行状态下的总恒定故障率。通过调整这些参数，所提出的模型可以无缝表示不同的双单元备用配置。具体来说，当λ1>λ2>0时，模型表征了一个温备系统；当λ1=λ2时，表示一个热备系统；当离线故障率为零（λ2=0）时，表示一个冷备系统。
维修遵循一般概率规律，F1(t)是在线故障的修复时间累积分布函数（cdf），F2(t)是离线故障的修复时间累积分布函数（cdf）。这意味着修复时间不一定是无记忆的。该模型涉及一个维修人员，维修过程遵循先到先服务的原则。每次维修都假设将单元恢复到如同新状态。
在故障状态和维修状态下，系统都不处于运行状态。因此，该模型将它们合并为一个状态，以便直接关注单元的运行状态。这种组合在数学上是可行的，因为维修持续时间遵循任意分布函数。此外，由于两个单元是相同的，系统可以直接通过运行状态来考虑，而无需单独跟踪每个单元。这种简化导致了一个五状态系统，从而简化了系统表示和SMP计算。

符号说明：
λ1：在线单元的恒定故障率。
λ2：离线单元的恒定故障率。
λ = λ1+λ2：系统的总恒定故障率。
F1(t)：在线故障的修复时间累积分布函数（cdf）。
F2(t)：离线故障的修复时间累积分布函数（cdf）。
f1(t)：在线故障的修复时间概率密度函数（pdf）。
f2(t)：离线故障的修复时间概率密度函数（pdf）。

状态在表1中定义。
显然，状态U={1,2,3}是运行状态，D={4,5}是备用状态。
系统状态转换在图2中说明。

表1. 基于组件条件的系统状态定义。
状态 | 在线位置 | 备用位置 |
|-------------------|-------------------|----------------------|
| 1 | 运行 | 备用 |
| 2 | 运行 | （另一个单元处于离线状态） |
| 3 | 故障 | （在线单元处于故障状态） |
| 4 | 故障 | （备用单元处于故障状态） |
| 5 | 故障 | （两个单元都处于故障状态） |

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图2. 双单元系统的状态转换。

2.2. 半马尔可夫过程表示
让我们用Zt t≥0表示该系统的半马尔可夫过程，状态空间E={1,2,3,4,5}={U,D}，(Jn)n∈N表示嵌入马尔可夫链（EMC）。序列S0=0< />< />让我们还用(qij(x)=p(jn+1=j, sn+1?sn≤x|jn=i), i,j∈e, x≥0表示半马尔可夫核。
emc (jn)n∈n给出了(smp)(zt)t≥0在第n次跳跃后连续访问的状态。相应的转移矩阵p=(pij, i,j∈e)由pij=limx→∞qij(x)=qij(∞)给出。 让我们还用(qij(x)=P(Jn+1=j, sn+1?sn≤x|jn=i), i,j∈e, x≥0表示半马尔可夫核。 emc (jn)n∈n给出了(smp)(zt)t≥0在第n次跳跃后连续访问的状态。相应的转移矩阵p=(Pij, i,j∈e)由pij=>让我们还用(qij(x)=p(jn+1=j, sn+1?sn≤x|jn=i), i,j∈e, x≥0表示半马尔可夫核。
emc (jn)n∈n给出了(smp)(zt)t≥0在第n次跳跃后连续访问的状态。相应的转移矩阵p=(pij, i,j∈e)由pij=limx→∞qij(x)=qij(∞)给出。>根据转换图2，半马尔可夫核如下：从状态1到状态2，在线单元发生故障，离线单元作为备份上线，即：Q12(t)=∫0tλ1e?λ1xe?λ2xdx=λ1λ(1?e?λt)。从状态1到状态3，在线单元始终运行，而离线单元发生故障，导致：Q13(t)=∫0tλ2e?λ2xe?λ1xdx=λ2λ(1?e?λt)。从状态2回到状态1，在线单元故障被修复，同时备份在线单元在运行，因此转换率为：Q21(t)=∫0te?λ1xdF1(x)。从状态2到状态4，在线单元发生故障且在此期间未得到修复，所以我们有：Q24(t)=∫0tλ1e?λ1x(1?F1(x))dx。从状态3到状态1，离线单元故障被修复，同时在线单元仍在运行，因此：Q31(t)=∫0te?λ1xdF2(x)。从状态3到状态5，在线单元发生故障，而离线单元仍在维修中。Q35(t)=∫0tλ1e?λ1x(1?F2(x))dx。从状态4到状态2，在线单元故障仍然在维修中。

图2中的半马尔可夫核表明：图6(a)显示，尽管平均无故障时间（MTTF）随着λ2的增加而减少，但在λ2较大的情况下，减少的速度会变慢，这反映了饱和效应。下载：下载高分辨率图片（175KB）下载：下载全尺寸图片

图5. 可靠性指标对在线故障率λ1的敏感性。图6(b)中的ROCOF函数增加，而可用性函数图6(c)略有下降。这表明，除非λ2非常高，否则其对系统性能的影响仍然次要。然而，在经常激活冗余的系统中的备用组件的可靠性保证仍然相关。

系统明显对活动组件的可靠性更为敏感。实际上，提高在线组件的故障率在可靠性结果方面比优化备用组件具有更大的益处。这些发现可以为维护优先级、组件选择和冗余系统设计中的资源分配提供信息。下载：下载高分辨率图片（181KB）下载：下载全尺寸图片

图6. 可靠性指标对离线故障率λ2的敏感性。

4.3.2 对Weibull修复时间参数的敏感性分析

图7显示了在线修复时间参数对可靠性指标的影响。随着形状参数α1的增加，MTTF减小，而ROCOF的极限增加并趋于饱和。然而，稳态可用性先增加到局部最大值然后减少。同样，随着尺度参数β1的增加，MTTF也减小。然而，ROCOF的极限先增加到局部最大值然后减少。随着β1的增加，稳态可用性也表现出非单调性。图8显示了对离线修复形状参数α2和尺度参数β2的相应敏感性。与在线组件类似，随着α2的增加，系统的MTTF减小，稳态ROCOF向饱和值上升。随着α2的增加，稳态可用性也有一个峰值。随着β2的增加，MTTF减小。此外，较高的β2值会导致稳态可用性快速下降，而ROCOF的极限先增加然后减少。下载：下载高分辨率图片（363KB）下载：下载全尺寸图片

图7. 可靠性指标对在线修复时间参数α1、β1的敏感性。这也表明系统对在线修复时间更为敏感。这表明，虽然保持平均修复时间短是普遍关键的，但过于匆忙的修复或过于僵化的诊断协议可能是次优的。维护团队应该接受培训，以实现最佳的修复程序，但要有足够的时间进行彻底、高质量的修复。下载：下载高分辨率图片（362KB）下载：下载全尺寸图片

图8. 可靠性指标对在线修复时间参数α2、β2的敏感性。

5. 结论

本研究提出了一个用于两单元备用系统的半马尔可夫过程建模，重点关注可靠性指标的瞬态行为。虽然之前的研究主要关注稳态指标，但本研究更重视瞬态可靠性特性的重要性。逐点可靠性和可用性函数可能暂时低于或高于稳态水平，然后趋于稳定。这种短期动态对于需要在早期运行期间保证可靠性的工程系统尤为重要，例如应急电源、航空航天子系统或安全关键的自动化控制。

除了推导出瞬态可靠性、可用性和ROCOF的闭式解外，该研究还提供了一整套基于稳态和平均值的指标，包括MTTF、MTTR、MUT、MDT和稳态可用性。敏感性分析进一步表明，系统性能更受活动组件的故障率的影响，而不是备用组件的故障率。这一观察结果支持了优先考虑在线组件可靠性改进的工程决策，例如有针对性的维护调度或组件冗余升级。

虽然当前研究为两单元备用系统推导出了闭式解，但该分析基于指数故障时间的假设。这一假设在某些工程环境中得到了实证数据的支持，例如电子元件在其使用寿命期间[45]和工业过程控制系统[44]。然而，对其他系统（特别是退化系统，如数据中心硬件）的实证研究表明，故障到达时间可能无法很好地用指数分布来描述[59]。未来的研究可以将模型推广到包括多备用系统或任意故障时间分布的情况。然而，这些推广引入了特定的数学挑战。对于多备用系统，在第一次修复后，系统将进入非再生状态。同样，对于非指数故障率，系统将失去无记忆性，导致剩余寿命变得依赖于修复时间。在这种情况下，需要采用其他技术仔细分析系统。此外，评估不同的维护策略仍然是未来研究的重要课题。这些扩展将进一步扩展复杂工程系统中的瞬态可靠性分析。