FlameRF：一种利用张量辐射场实现湍流火焰快速时间分辨重建的技术

《Energy and AI》：FlameRF: A fast time-resolved reconstruction technique for turbulent flame using Tensorial Radiance Fields

　　刘世宇|王海洋|黄宇琪|罗坤|范建人
中国浙江省杭州，浙江大学清洁能源利用国家重点实验室，310027

摘要
本研究提出了一种新的机器学习框架，利用张量辐射场（TensoRF）重建动态湍流火焰，该框架被称为FlameRF。该框架能够基于二维（2D）投影连续地进行四维（4D）火焰属性的空间和时间重建，克服了依赖离散体积表示的层析成像方法的固有局限性。通过将4D火焰场景张量分解为紧凑的低秩分量，FlameRF实现了高效快速的火焰重建。在两种不同的湍流火焰配置上评估了FlameRF的性能，包括自由传播的平面预混燃烧和旋流预混燃烧。重建的火焰场与高保真的直接数值模拟（DNS）数据以及传统的同时代数重建技术（SART）算法的预测结果进行了比较。结果表明，FlameRF在准确性和效率方面均优于SART。FlameRF能够忠实地恢复复杂的火焰结构，特别是在旋流火焰这种高度湍流的情况下，SART的性能会下降。此外，FlameRF能够在没有2D投影的情况下对训练范围内的未见时间点进行时间插值，并且能够处理噪声测量数据。本研究突显了FlameRF在动态火焰诊断中的巨大潜力，并为燃烧研究中传统诊断技术的互补工具开发提供了新的见解。

1. 引言
工业和自然过程中的湍流火焰本质上是四维（4D）的，包括三个空间维度和一个时间维度，其特点是剧烈的湍流结构。高保真的4D湍流火焰数据对于理解湍流与燃烧之间的复杂相互作用以及开发高效的燃烧技术至关重要。在燃烧研究领域，光学诊断工具是研究燃烧现象不可或缺的工具。然而，大多数现有技术主要局限于在一点、一条线上或一个二维（2D）平面内的测量[1]。这一限制凸显了迫切需要能够提供全面4D测量的诊断方法。

实现燃烧诊断中4D测量的两种常见方法是快速扫描的2D平面技术和层析成像[2],[3]。前者通过快速扫描覆盖多个空间位置的激光片来扩展2D技术到4D。这种方法通常受到扫描时间和激光重复频率的限制。相比之下，层析成像方法可以同时从不同视角获取目标火焰的多个投影，从而无需扫描即可进行即时体积4D测量。然而，层析成像的空间分辨率和精度高度依赖于所使用的成像光学系统和反演算法[4]。

在燃烧诊断中，最常用的层析反演算法之一是基于代数重建技术（ART）[5]。ART从预定义的标准出发，通过最小化测量投影和计算投影之间的差异来迭代改进重建结果。除了经典的ART之外，还开发并应用于燃烧诊断的几种修改版本，包括同时代数重建技术（SART）[6]、乘法代数重建技术（MART）[7]和非负代数重建技术（NNART）[8]。尽管这些基于ART的算法具有广泛的适用性，但它们存在某些局限性。它们往往会产生高频伪影，降低重建质量，需要过滤或正则化[9]。此外，更精细的火焰重建需要更多的离散立方体体素和相机视角，这大大增加了计算和测量成本。这使得它们在需要高时间分辨率的4D动态诊断中效率较低。

近年来，机器学习方法取得了快速进展，尤其是在层析成像领域。一种代表性的方法是神经辐射场（NeRF），它已被广泛用于从任意视角捕获的投影图像中进行场景重建[10]。通常，NeRF通过多层感知器（MLP）将体积表示为空间坐标的连续函数，从而克服了离散方法的分辨率限制，并提供了一个易于适应的重建框架。最近，NeRF模型已被应用于各种领域，如医学成像[11],[12]、流体[13]和火焰重建[14]。例如，Kelly等人[13]研究了一种基于NeRF的三维（3D）流动诊断层析重建技术，成功地从合成2D投影重建了大气自由射流。Zhang等人[14]引入了一种基于NeRF的神经体积重建技术（NVRT），与传统的基于ART的方法相比，展示了更强的能力。此外，还提出了一种快速的神经流体重建技术（Fast-NFRT），以促进3D火焰的快速重建[15]。

尽管基于NeRF的模型在重建方面显示出巨大潜力，但仍需解决一些挑战。基本的NeRF技术主要是为静态3D场景设计的，使其适应动态4D场景变得困难，通常需要额外的修改。此外，NeRF的训练过程计算成本较高，这使得实时应用不切实际。最近，开发了几种先进技术来加速NeRF训练并促进4D重建，包括即时神经图形原语（Instant-NGP）[16]、张量辐射场（TensoRF）[17]、高斯散射（GS）技术[18]等。这些方法已在各种计算机视觉领域得到探索，如捕捉动态人体动作和面部表情，并且也启发了本项工作。

在这种背景下，基于张量辐射场，提出了一种新的快速时间分辨率湍流火焰重建技术，称为FlameRF。该框架旨在提高4D火焰重建的准确性和效率，为传统诊断方法提供了新的视角。考虑了两种火焰配置，包括自由传播的平面预混火焰和旋流预混火焰。使用高保真的直接数值模拟（DNS）数据生成合成数据集，并从多个虚拟相机视角渲染2D投影，以模拟燃烧研究中通常可用的实验测量数据。通过定性和定量评估将FlameRF重建的火焰与DNS数据和传统的SART结果进行了比较。

本文的其余部分组织如下：第2节描述了燃烧配置；第3节提供了重建理论和FlameRF的详细信息；第4节通过定性和定量分析评估了FlameRF的性能；最后第5节提供了总结。

2. 火焰配置
考虑了两种不同的火焰配置进行重建，即自由传播的平面预混燃烧和旋流预混燃烧，这些火焰是使用DNS代码S3D[19]模拟的。采用甲烷燃烧的两步化学机制[20]作为化学模型。

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图1. （a）自由传播的湍流预混火焰和（b）旋流预混火焰的示意图。

2.1 自由传播的平面预混火焰
图1(a)展示了平面预混火焰的示意图，称为案例P，详细描述见我们之前的研究[21]。简而言之，反应物由温度为300 K、当量比为0.7的甲烷/空气混合物组成。湍流速度u′为2.0 m/s，湍流积分长度尺度lt为0.55 mm。湍流雷诺数为68。Karlovitz数的定义为Ka=τL/τη，其值为128，其中τL和τη分别为火焰时间和Kolmogorov时间。值得注意的是，案例P处于破碎反应区[22]，其中小涡旋穿透火焰内层，影响预热区和反应区。

平面火焰的计算域为Lx×Ly×Lz=18.84×3.14×3.14 mm3，分别对应流动方向x和侧向方向y和z。网格数为Nx×Ny×Nz=768×128×128，网格大小为24.5 μm。在流动方向x采用入口和出口非反射边界条件，在侧向方向y和z采用周期性边界条件。模拟从相应的层流预混火焰解和基于规定的Passot–Pouquet能量谱的均匀各向同性湍流场开始[23]。应用线性强迫方法[24]来维持域内的统计稳定湍流场。入口速度是恒定的，其值接近湍流火焰速度，从而使火焰位置在计算域内保持静止。案例P的模拟在达到统计稳态后继续进行20τe。

2.2 旋流预混火焰
旋流预混火焰称为案例S。图1(b)展示了旋流火焰的示意图。进口处的混合物为甲烷/空气，当量比为0.7，预热温度为800 K。进口几何形状为同心环，内径Din为0.6 mm，外径Dout为2.5 mm。入口处的方位角速度uθ和轴向速度ux随径向距离r变化，遵循以下公式[25]：
(1) uθ = Fθr23 + c1r + c2r
(2) ux = Ur/Rout2 + R2?1ln(R/Rout)
其中Rout=Dout/2，Rin=Din/2，R=Rin/Rout。整体平均轴向速度U设为100 m/s。c1、c2和c3是三个常数，详见[26]。参数Fθ是方位角方向的外力，计算公式为：
(3) Fθ = SRout?Rin∫Rin/Routux2r dr
∫Rin/Routuxr?/3 + c1r3 + c2r dr
其中S是旋流数，在本研究中取值为1。在流动方向x的进出口边界采用非反射边界条件，而在侧向方向y和z采用无滑移绝热壁。案例S的计算域大小为Lx×Ly×Lz=16×16×16 mm3，网格数为Nx×Ny×Nz=480×480×480。网格分辨率足以解析所有湍流和火焰尺度。模拟持续了50τj，以确保火焰达到统计稳态，其中τj定义为τj=Lx/U。

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图2. 成像过程示意图。

3. 方法论
3.1 使用DNS数据的合成2D投影
本小节详细介绍了用于SART和FlameRF重建的合成数据集。在燃烧层析成像中，在光学假设下，测量的像素强度可以近似为体积发射标量场的视线积分。温度和中间物种（如一氧化碳）与热释放和反应区密切相关，因此被广泛用作数值研究中化学发光的物理意义代理[14],[15]。因此，在本研究中，数据集使用从DNS获得的温度（T）和一氧化碳（CO）作为替代的体积发射场。

重建数据集的域集中在反应显著的区域内。具体来说，平面火焰的域面积为3.14×3.14×3.14 mm3，旋流火焰的域面积为8 × 8 × 8 mm3。在这两种情况下，DNS数据都被插值到128 × 128 × 128的体素网格上，该网格也被用作FlameRF和SART的重建网格。对于每种情况，收集了20个连续的快照，确保时间跨度超过流动的特征时间尺度。这20个时间点分别表示为t1、t2、…、t20。其中10个快照（即t1、t3、…、t19）被选用于通过体积渲染生成合成2D投影。剩余的10个快照缺乏相应的投影，用于评估FlameRF在重建未见时间点时的性能，而SART在这种情况下不可避免地会失败。

图2说明了使用DNS数据获取2D投影的典型成像过程。火焰发出的物理信号（如化学发光）通过摄像机镜头传播，然后投影到成像平面的像素上，每个像素值表示其对应光路径上的积分。每条光线可以用方程o+sd来描述，其中o是光线的起点，d是方向单位向量，s的范围是从近点到远点。根据发射成像模型[15]，像素值ppixel可以理论近似为：
(4) ppixel = ∑i=1MwiVi
其中wi表示沿投影路径分配给每个体素的权重，计算公式为wi=Δsi/(sfar?snear)。Vi 是第 i 个体素处的发射场值，通常代表一个物理量，例如强度。Δsi 是两个相邻体素之间的距离，M 是沿路径采样的体素总数。在选定的 10 个快照的成像过程中，使用多个虚拟相机生成合成 2D 投影，这些投影复制了通常在燃烧诊断中可用的测量结果。这些相机在水平平面上以圆形模式排列，定位在距离物理域大小大约 10 倍的半径处，总共有 Nv 个相机视角。每个相机之间的角度间隔为 360°/Nv，俯仰角在 ±15° 的范围内随机选择。相机的内置参数被配置为模拟实验条件，焦距为 4.8 毫米，传感器尺寸为 3 × 3 微米，成像分辨率为 200 × 200 像素。

3.2 基于 ART 的算法
本小节介绍了基于 ART 的传统算法，以建立火焰重建的理论基础。在 ART 中，目标体积被离散为立方体素，体素值基于从多个视角捕获的 2D 投影进行迭代细化，可以表示为 [15]：
Vij+1 = Vij + μWippixel ? ∑WiVij，其中 Wi 表示要重建的体素值，ppixel 是每个像素处的可用投影值。N 是迭代次数，μ 是迭代松弛系数。Wi 是在 ART 中确定的权重矩阵，通过相机内置参数（例如焦距和传感器单位尺寸）和外界参数（例如相机位置和方向）进行校准。权重矩阵的大小通常超过数十千字节。
ART 通过最小化近似投影和测量投影之间的差异来重建目标火焰体积。然而，作为一种需要存储大量权重矩阵的确定性算法，ART 在鲁棒性和计算效率方面经常受到限制。在本研究中，使用了一种改进版的 ART，称为 SART，作为与提出的 FlameRF 框架进行比较的基准。SART 在每次迭代中同时更新所有体素值，从而比 ART 收敛得更快，同时提供了更高质量的重建。本工作中使用基于 GPU 的层析迭代重建工具箱 TIGRE [27] 来实现 SART 算法。

3.3 FlameRF 框架
FlameRF 的思想与基于 ART 的方法类似，通过最小化预测投影和测量投影之间的差异。然而，一个关键区别是 FlameRF 使用神经网络进行连续体积近似，而不是依赖于 ART 中使用的预设权重矩阵。此外，FlameRF 中时间坐标的整合使其能够作为一种本质上具有 4D 的重建技术。图 3 展示了 FlameRF 框架。根据可用的 2D 投影和相机参数，从每个像素开始追踪光线。沿着每条光线，采用分层采样 [28] 在近端和远端边界之间生成样本点。具体来说，光线段被划分为均匀间隔，在每个间隔内随机抽取一个样本以提高采样多样性。采样点的空间-时间坐标 (x,y,z,t) 作为输入到 FlameRF 模型中。

对于模型设计，FlameRF 基于辐射场表示的进步，特别是 TensoRF [17] 及其动态扩展 HexPlane [29]。FlameRF 的关键修改如下。首先，FlameRF 移除了基于 NeRF 的方法中的方向编码，直接将时空坐标映射到一个与视图无关的物理标量，而不是依赖于视图的 RGB 辐射。这种表述更符合火焰层析成像的本质，其中目标是物理量而不是图像外观。其次，与之前的火焰重建模型（如依赖于静态 3D 坐标的 NVRT 和进行帧级重建的 Fast-NFRT）不同，FlameRF 通过 HexPlane 因式分解联合编码空间和时间坐标，使得在单次训练过程中实现统一的 4D 重建。
火焰场表示为一个张量，并分解为紧凑的低秩组件，以便高效重建动态火焰。4D 火焰体积定义为 V∈RXYZTF，其中 XYZ 是空间分辨率，T 是时间分辨率，F 表示特征尺寸（在本研究中 F=1）。在 HexPlane 表示中，这个 4D 体积被分解为六个平面，每个平面沿两个轴捕获特征信息：
V = ∑r=1R1MrXY°MrZT°vr1 + ∑r=1R2MrXZ°MrYT°vr2 + ∑r=1R3MrYZ°MrXT°vr3，其中 ° 是外积。每个项 MrAB°MrCD°vri 表示 V 的一个低秩组件。MrAB∈RAB 是跨越 A 和 B 轴（例如 X 和 Y）的学习到的平面，vri∈RF 是沿特征维度 F 的向量。R1、R2 和 R3 表示低秩组件的数量，都设置为 128。这些值是根据经验选择的，以平衡重建精度和计算效率。
另外，HexPlane 表示也可以表示为一个函数 f，该函数将坐标 (x,y,z,t) 映射到相应的体素关联值：
f(x,y,z,t) = PXYR1⊙PZTR1VR1F + PXZR2⊙PYTR2VR2F + PYZR3⊙PXTR3VR3F，其中 ⊙ 是逐元素乘积。PABRi 将所有 MrAB 堆叠成一个 3D 张量，VRiF 将所有 vri 堆叠成一个 2D 张量。
在最后阶段，使用 MLP 来预测体素值 Vpred。对 MLP 的深度 Nd 和宽度 Nw 进行敏感性分析，以确定适当的网络配置。图 4 根据案例 S 比较了不同 MLP 配置下的重建性能。采用 3D 结构相似性 (SSIM) [30] 作为评估指标，该指标用于衡量重建场的结构保真度（其公式见第 4.1 节）。结果表明 (Nd,Nw)=(3,256) 在重建精度和计算成本之间实现了最佳平衡，在测试的配置中获得了最高的 SSIM。因此，在本工作中采用了这种设置。关于这种方法的更多细节可以在 Cao 等人的 [29] 中找到。值得注意的是，HexPlane 将内存使用量从 OD3TF 降低了到 OD2R+DTR+RF，其中 D 是一个维度中的空间分辨率。这种低秩设计特别有利于模型训练和 4D 火焰重建。
FlameRF 的损失函数定义为预测像素值 ppred 和实际值 ppixel 之间的均方误差 (MSE)，表示为：
Lmse = ∑‖ppred?ppixel‖2/2，其中 ppred 是从预测的火焰体积中渲染出来的，通过沿成像投影路径求和体素值来近似得到，遵循公式 (4)。

FlameRF 在单个 NVIDIA A100 GPU 上进行训练，批量大小为 4096，即每次迭代追踪 4096 条光线。使用 Adam 优化器，初始学习率为 0.02，在 1500 个周期内递减到 0.0005。训练成本详细信息在第 4.2 节提供。值得注意的是，FlameRF 是一个自监督框架，它仅从给定案例的 2D 投影中重建 4D 场，与基于 ART 的方法类似，需要为新案例重新训练。

4 结果和讨论
在本节中，研究了相机视角数量 Nv 对重建质量的影响。展示了使用提出的 FlameRF 对湍流火焰的重建结果，并将结果与高保真 DNS 数据和传统的 SART 算法进行了比较。

4.1 Nv 对模型性能的影响
相机视角数量 Nv 在实现火焰的全面表示和确保满意的重建方面起着至关重要的作用。首先通过定量评估检查了 Nv 变化对重建质量的影响。引入了两个指标：相对 L2 误差和 3D SSIM：
L2(I,J) = ‖J?I‖2/‖I‖2 = ∑i(Ji?Ii)2
SSIM(I,J) = 2μIμJ + C1/2σIJ + C2μI2 + μJ2 + C1σI2 + σJ2 + C2，其中 I 和 J 分别表示实际和预测的体积数据。在 SSIM 中，I 和 J 的平均值表示为 μI 和 μJ，σI 和 σJ 是方差，σIJ 是协方差。常数 C1 和 C2 设置为 0.01 和 0.03 以确保计算稳定性。较高的 SSIM 值表示比较目标之间的相似性更好。
图 5 展示了在 t1 时刻案例 P 和 S 的重建结果的相对 L2 误差和 SSIM 值，比较了不同相机视角数量 Nv 下 SART 和 FlameRF 的预测。显然，在这两种情况下，FlameRF 的性能始终优于 SART，用更少的相机视角实现了更高的精度。结果还表明，增加 Nv 有助于提高重建精度，因为 L2 误差减小，SSIM 值增加。然而，超过某个相机视角数量阈值后，进一步的改进变得微乎其微，特别是对于 FlameRF。因此，本研究在以下分析中采用了 16 个相机视角，这产生了相对较低的 L2 误差和较高的 SSIM 值，也符合实际测量的可行性 [15]、[31]。
图 6 比较了在 t=t1,t9 和 t19 时 DNS 和 FlameRF 及 SART 重建的数据的瞬时分布和 PDF。
4.2 重建结果
使用提出的 FlameRF 框架以及传统的 SART 算法重建了动态湍流火焰。图 6 显示了案例 P 和 S 的基于温度的发射场的瞬时 3D 分布。DNS 数据与重建结果进行了比较。t1、t9 和 t19 的整体火焰场是从相应的 2D 投影中恢复的，火焰强度从 0 到 1 进行缩放。除了 3D 分布外，还检查了 x-z 平面上的典型 2D 切片，以便更直观地表示火焰结构。对于案例 P，FlameRF 和 SART 都能够推断出火焰特征。然而，FlameRF 在揭示复杂细节方面表现更出色。FlameRF 更精确地重建了火焰的皱纹。在旋流燃烧的情况下，由于域内的强烈湍流/火焰相互作用，火焰变得更复杂且更难以重建。如图 6 所示，FlameRF 在捕捉旋流火焰特征方面显著优于 SART。FlameRF 良好地重建了火焰前沿的小尺度结构，而 SART 在再现这些结构方面遇到了困难。SART 的结果往往不切实际且粗糙，反应区域存在显著差异。增加相机视角的数量可以提高 SART 的重建质量，正如之前使用数十个相机的研究 [13] 所示。本工作强调了 FlameRF 的优越性能，它可以用更少的投影提供更准确的结果。
图 7 同时显示了案例 P 和 S 的重建快照的概率密度函数 (PDF)，用于统计评估。与定性结果一致，FlameRF 生成的 PDF 与两种情况的 DNS 数据紧密对齐。相比之下，SART 在高强度区域显示出更大的偏差，特别是在化学反应至关重要的地方。SART 的 PDF 峰值低于实际的 DNS 值。这些结果进一步证明了 FlameRF 在处理湍流火焰动态复杂性方面的先进能力。通过准确恢复不同燃烧场景的火焰特征，FlameRF 展示了其作为有效火焰重建工具的潜力。
FlameRF 的一个关键优势是它能够在没有相应 2D 投影的情况下进行时间插值。由于 FlameRF 学习了一个连续的时空场 f(x,y,z,t)，时间坐标明确嵌入在 HexPlane 表示中，因此可以通过简单的前向传递在任何中间时间坐标查询训练好的模型。相比之下，传统的 SART 算法需要从其自己的 2D 投影集中重建每个时间点，因此在没有投影数据的情况下无法应用。图 8 展示了在 t10 时两种情况下典型的 x-z 和 y-z 平面的瞬时 2D 分布，这些分布是在不使用训练 2D 投影的情况下重建的。还包括了误差切片，以显示同一位置的实际情况和重建结果之间的差异。图9中也提供了重建场地的PDF文件，以便进行额外的统计比较。如图所示，尽管缺乏2D投影，经过训练的FlameRF仍能够从空间-时间坐标中有效地推断出火焰场，并完成端到端的重建。需要强调的是，FlameRF的有效性主要体现在训练时间范围内，而不是在 extrapolation（外推）方面。当预测超出这个范围的状态时，FlameRF的准确性可能会下降。然而，这一限制并没有削弱其作为火焰动态重建的强大辅助工具的潜力，特别是在需要高时间分辨率且2D测量受到限制或不可用的情况下。此外，在实际的燃烧诊断中，图像噪声可能来自相机传感器和光学干扰。为了考虑这些实验效应，还评估了FlameRF在噪声测量下的鲁棒性。具体来说，在每个投影视图中添加了5%和10%的高斯噪声，其中噪声幅度是相对于相应相机的最大感应值来定义的。表1总结了FlameRF和SART在不同噪声水平下的重建性能。重建质量通过两个指标进行定量评估，包括信噪比（SNR），它反映了噪声抑制能力，以及3D结构相似性。SNR的计算公式为：(11) SNR = 10log10‖I‖2 / ‖I?J‖2，其中较高的SNR值表示更好的噪声抑制效果。

图8. 在未见时间t10时，通过DNS和重建数据得到的瞬时2D火焰分布的比较，分别针对(a)案例P和(b)案例S。

图9. 在未见时间t10时，案例P和案例S的DNS和FlameRF重建结果的PDF文件。

这两个指标是针对所有可见时间点（t1、t3...t19）和未见时间点（t2、t4...t20）计算的。应当注意的是，由于SART需要每个时间点的2D投影数据，因此它无法重建未见到的快照。如表1所示，即使存在10%的噪声，FlameRF也表现出很强的鲁棒性，保持了较高的SNR和SSIM值。从FlameRF获得的指标值在所有时间点都保持一致的高水平。相比之下，随着噪声水平的增加，SART的性能显著下降，导致SNR和SSIM值大幅降低。以t1为例，图10比较了不同噪声水平下案例P和S在x-z平面上的瞬时2D分布。结果进一步证实了FlameRF对噪声测量的鲁棒性。虽然一些细节会受到噪声的影响，但基本的火焰特征仍然清晰可辨，并被FlameRF捕捉到。相比之下，随着噪声水平的增加，SART的重建结果变得越来越扭曲且不符合物理规律。

除了温度信号之外，实际诊断中还经常使用中间组分（如CO、OH和CH）的化学发光信号[3]。这些物质由于与关键燃烧过程有很强的相关性，因此作为重要的火焰标量。本研究扩展了所提出的FlameRF框架的能力，使其能够重建由中间组分CO指示的火焰，进一步证明了该模型的适用性。图11展示了在未见时间t10时估计的案例P和S的相应火焰分布。观察到，由CO指示的火焰特征与温度特征不同。在案例P中，高强度区域对应于反应区，显示出反映局部化学活动的明显梯度。在案例S中，强度在火焰前沿和循环区最高。如图11中的重建2D和3D分布所示，FlameRF能够推断出大部分火焰结构，并捕捉到平面火焰和旋流火焰所固有的空间复杂性。结果证明了FlameRF在重建不同物理相关的发射场以进行全面燃烧诊断方面的适用性和鲁棒性。

表1. 不同噪声水平下FlameRF和SART重建性能的定量比较。

| 情况 | 噪声 | FlameRF | SART |
| --- | --- | --- | --- |
| 空 | | | |
| 可见 | 无噪声 | SNR(dB) 32.68 | SSIM 0.97 |
| 可见 | 5%噪声 | SNR(dB) 31.92 | SSIM 0.96 |
| 可见 | 10%噪声 | SNR(dB) 30.70 | SSIM 0.95 |
| 不见 | 无噪声 | SNR(dB) 30.82 | SSIM 0.90 |
| 不见 | 5%噪声 | SNR(dB) 28.10 | SSIM 0.88 |
| 不见 | 10%噪声 | SNR(dB) 27.51 | SSIM 0.87 |

图10. 在不同噪声水平下，通过DNS和重建结果得到的瞬时2D分布的比较，分别针对(a)案例P和(b)案例S在t1时刻。

为了进一步说明连续时间点之间的时间演变，图12提供了最近训练的快照t9和t11时基于CO的发射场的详细信息。如图所示，火焰形态和标量分布在这些相邻时间点之间表现出明显的变异和显著的结构变化。尽管火焰结构发生了强烈的非线性演变，FlameRF仍成功捕捉到了潜在的时间动态，并重建出一致的空间特征。通过在所有20个时间点将FlameRF重建的CO场与DNS数据进行比较，计算出了SSIM值。如图13所示，两个案例的SSIM值一直保持较高，而L2误差则保持在较低水平。平均SSIM值分别为案例P的0.955和案例S的0.929，表明重建场与参考场之间有很好的一致性。这些结果凸显了该模型在捕捉时间演变和处理多样化火焰标量方面的鲁棒性。

图14. 不同相机视图数量Nv和时间快照数量下，使用SART和FlameRF进行重建所需的计算时间。当快照数量为1时，基于GPU加速的SART仅用几秒钟即可完成重建。然而，SART的计算时间随着视图数量的增加而急剧增加。例如，1个视图需要大约8秒，16个视图需要64秒。这一趋势表明SART在处理大量视图时面临计算负担。相比之下，由于基于神经网络的框架，FlameRF在单次快照时需要更多的训练时间，但其计算时间相对稳定。FlameRF可以高效处理多个视图而不会显著延长处理时间。在处理更多快照（例如20个）时，FlameRF在速度和可扩展性方面明显优于SART。例如，在20个快照和16个视图的情况下，FlameRF的速度提高了大约3倍，仅需SART三分之一的时间完成任务。通过将时间坐标直接纳入模型架构，FlameRF实现了对多个快照和视图的连续且更快的重建。随着相机视图和快照数量的增加，其计算效率会更加明显。值得注意的是，传统的基于ART的算法需要预先计算权重矩阵，这会增加额外的时间和内存需求，使重建过程更加复杂。相比之下，基于神经网络的FlameRF消除了这一步骤，提供了更简洁的过程。

图11. 在t10时刻，通过DNS和重建结果得到的(a)案例P和(b)案例S的瞬时分布的比较。

在计算成本方面，图14展示了使用SART和FlameRF在不同相机视图数量Nv和时间快照数量下的重建所需计算时间。当快照数量为1时，基于GPU加速的SART可以在几秒钟内完成重建。然而，SART的计算时间随着视图数量的增加而急剧增加。例如，1个视图需要大约8秒，16个视图需要64秒。这种趋势表明了SART在处理大量视图时面临的计算负担。相比之下，由于基于神经网络的框架，FlameRF在单次快照时最初需要更多的训练时间，但其计算时间相对稳定。FlameRF可以高效处理多个视图而不会显著延长处理时间。在处理更多快照（例如20个）时，FlameRF在速度和可扩展性方面明显优于SART。例如，在20个快照和16个视图的情况下，FlameRF的速度比SART快了大约3倍，用三分之一的时间完成了任务。通过将时间坐标直接纳入模型架构，FlameRF实现了对多个快照和视图的连续且更快的重建。随着相机视图和快照数量的持续增加，其计算效率会更加明显。同样值得注意的是，传统的基于ART的算法需要预先计算权重矩阵，这会增加额外的时间和内存需求，使重建过程更加复杂。相比之下，基于神经网络的FlameRF方法消除了这一步骤，提供了更流畅的流程。

图12. 在t9、t10和t11时刻，案例P和案例S的瞬时2D分布。

图13. 每个时间点FlameRF重建的基于CO的发射场的SSIM值。

图14. 不同相机视图数量下FlameRF和SART的计算成本比较。

5. 结论

本研究介绍了一种新的机器学习框架FlameRF，用于使用张量辐射场重建动态湍流火焰。通过将4D火焰属性分解为多个紧凑的低秩分量，FlameRF能够从2D投影中高效地进行动态重建。所提出的FlameRF框架被应用于两种不同的湍流火焰配置，包括自由传播的平面预混火焰和旋流预混火焰。合成数据集来自高保真度的DNS数据，旨在模拟燃烧研究中通常可用的2D图像。FlameRF的性能通过与DNS数据和传统的SART算法进行定性和定量评估。结果表明，FlameRF能够成功重建复杂的火焰特征，特别是在旋流火焰这种高度湍流的情况下，SART的性能会下降。FlameRF相比传统断层扫描方法具有几个关键优势：(1) FlameRF允许对感兴趣的体积进行连续的空间-时间近似，克服了离散体积表示的局限性；(2) 通过将其框架纳入时间坐标，FlameRF即使在没有相应2D投影的情况下也能自然地处理4D重建，使其成为需要高时间分辨率的动态火焰诊断的理想工具；(3) FlameRF对测量噪声表现出很强的鲁棒性，在不同噪声水平下保持更好的重建准确性；(4) 与SART相比，FlameRF可以用更少的相机视图实现更好的重建速度，特别是在处理大量快照时。此外，与需要存储离散体积的基于ART的方法不同，FlameRF仅需要存储网络权重，从而显著节省存储空间。这些发现突显了FlameRF在弥合2D测量和湍流火焰的时间分辨重建之间的差距方面的潜力。该方法为开发传统诊断技术的补充工具提供了新的视角，缓解了燃烧研究中4D测量相关的挑战。未来的工作将探讨FlameRF在实际实验数据中的适用性，并研究其在更高雷诺数下的性能。此外，虽然当前研究主要将FlameRF与传统的断层扫描方法进行了比较，但未来的工作将包括与动态NeRF和其他神经重建方法的系统比较，以便更好地将所提出的方法置于更广泛的神经重建文献中。