一种基于数据驱动的方法，用于选择双曲守恒定律有限体积方法中的通量

《Mathematics and Computers in Simulation》：A data-driven approach for flux selection in finite volume methods for hyperbolic conservation laws

　　伊马德·基萨米（Imad Kissami）| 穆萨·齐加夫（Moussa Ziggaf）| 瓦西姆·阿布西（Wassim Aboussi）| 穆罕默德·布贝克尔（Mohamed Boubekeur）| 法赫德·卡卢比（Fahd Kalloubi）
摩洛哥本盖里尔（Benguerir）穆罕默德六世理工学院（Mohammed VI Polytechnic University）计算学院，邮政信箱990，海穆莱拉希德（Hay Moulay Rachid），43150

**摘要**
在数值模拟中选择最合适的方案一直是一个长期存在的问题，因为大多数方案并非为处理所有类型的模拟场景而设计。传统方法通常针对特定的物理特性设计，并不适用于所有模拟问题。为了解决这一泛化差距，我们提出了一种数据驱动的方法，该方法在每个空间点和时间步长从预定义的经典有限体积方案集合中选择最合适的数值通量。然后，我们在一系列经典的理想气体欧拉方程测试案例上评估了所提出的方法，证明了其在不同流动状态下的强泛化能力，同时保持了稳定性和准确性，特别是在捕捉不连续性方面。

**引言**
数值方法的准确性和效率在物理模型模拟中至关重要，尤其是在求解诸如双曲守恒律等复杂系统时[1]。尽管经典数值方案在许多场景中有效，但在准确捕捉激波和接触不连续性等尖锐特征方面往往面临重大挑战[2]。这些解结构在流体动力学、天体物理学和空气动力学中频繁出现，需要能够解决突变而不会引入虚假振荡或过度数值扩散的方案。
一阶有限体积方案由于其鲁棒性和易于实现而得到广泛应用，但在梯度陡峭的区域通常会出现显著的数值扩散[3]。在这个层面上，数值通量的选择对每种方法的准确性和鲁棒性起着核心作用。因此，经典通量如Roe近似黎曼求解器[4]、Rusanov（局部Lax–Friedrichs）通量[5]和有限体积特征（FVC）方法[6]被广泛使用。Roe求解器能够准确处理接触不连续性，但在接近音速点时可能会出现熵违反；而Rusanov通量通过增加数值耗散来提高鲁棒性，但会牺牲准确性。FVC方法依赖于基于特征的通量公式来沿波方向传播信息，构成了一类用于数值近似双曲守恒律的有效且鲁棒的方法。为了提高准确性，引入了高阶方法，如MUSCL[7]、ENO和WENO方案[8][9]以及通量限制器[10]。这些方法基于先进的局部重构和非线性混合策略来抑制振荡并增强不连续性的分辨率。然而，它们在扩展到复杂几何形状、非结构化网格或解结构未知的多维问题时往往计算成本较高且鲁棒性较低[11]。在这种情况下，提出了混合或基于核的重构策略，以将高阶方法的鲁棒性和灵活性扩展到更具挑战性的配置中[12]。
另一个主要挑战是保持关键物理量的正性以及更一般的结构保持属性。某些经典方法在极端条件下（如强稀疏或接近真空状态）可能无法保持正性。已经设计了几种通量函数来解决这些问题。HLLC方案能有效捕捉接触不连续性[13]，而AUSM+通量适用于高超音速流动[14]。然而，这些通量通常是专门设计的，在应用于一般或混合流动状态时可能缺乏鲁棒性。此外，非熵方案可能在分辨率不足的模拟中违反熵条件并产生非物理伪影[15][16]。
虽然通量限制器和混合方法通过根据局部解特征（如梯度、总变分或重构平滑度）调整数值通量引入了一种适应性，但它们仍然依赖于手工制定的指标和切换标准。这些通常基于局部差分度量或斜率限制器，在低扩散和更高耗散的通量之间进行切换。尽管这些策略在许多基准问题中已被证明有效，但它们的预定义逻辑有时会限制它们适应解平滑但呈现非单调变化区域或不连续性解决不佳区域的能力。这些限制促使人们开发了一种数据驱动的选择策略，旨在直接从解特征推断局部通量决策，而不是依赖固定的启发式方法，利用最适合的数值通量的优势，基于模拟上下文。
在这种情况下，机器学习（ML）作为一种有前途的工具出现，用于增强偏微分方程（PDEs）的数值方法，特别是在传统启发式方法表现受限的场景中。在ML方法中，物理信息神经网络（PINNs）[17]通过最小化控制方程的残差来近似解，从而在物理约束下进行无数据训练。Sun等人[18]展示了这一框架特别适用于模拟低速流动和以传输为主的问题，他们应用PINNs解决了这些问题而无需使用标记数据，通过残差最小化来强制方程。Takamoto等人[19]引入了一种受物理参数指导的通道注意力机制，以提高神经求解器在不同状态下的泛化能力，而不增加网络复杂性。Liu等人[20]提出了一种逆演化数据增强策略，仅使用少量显式步骤就生成了与隐式方案一致的高质量解对。
尽管取得了这些进展，PINNs通常需要较长的训练时间，并且在存在复杂几何形状或快速变化特征的情况下可能难以泛化到训练分布之外。它们解决尖锐梯度或不连续性（如激波）的能力仍然有限，这限制了它们在双曲问题中的适用性。
除了PINNs之外，其他基于ML的方法旨在使用监督学习直接模仿高保真求解器。卷积神经网络（CNNs）[21]、生成对抗网络（GANs）[22]和潜在空间模型[23]已被用于重建物理场或加速替代建模。例如，Ishikawa[24]训练神经网络从高分辨率地球物理模拟中学习离散化算子，生成保留关键物理属性的替代模型，同时保持与经典方法相当的准确性。然而，这些模型通常需要大型、特定于任务的数据库和长时间的训练过程，将其集成到传统数值求解器中在可解释性和稳定性方面都可能很复杂。
为了解决PINNs和传统替代模型的局限性，另一条研究路线专注于使用ML来改进经典数值方案，以适应或替换算法的特定组件。例如，Stevens和Colonius[25]提出了一种改进的WENO型方法，其中神经网络扰动WENO5-JS方案的非线性权重以减少不连续性附近的数值扩散。类似地，Salazar和Xiao[12]设计了一种混合方案，使用分类器根据局部流动特征在WENO-Z和THINC重构之间进行选择。De Romémont等人[26]引入了一种数据驱动的离散化策略，其中CNN预测数值导数模板以替代标准斜率计算。在一些相关工作中，重点关注学习稳定机制而不是修改重构本身。Discacciati等人[27]使用神经网络调整高阶不连续Galerkin方案中的人造粘性系数，而Bois等人[28]进一步将人造粘性的设计视为通过深度学习解决的最优控制问题。类似的想法也在有限体积方法中通过基于强化学习的斜率限制器进行了探索[29]。更广泛地说，Nguyen-Fotiadis等人[30]提出了一个概率框架，其中多个ML训练的通量限制器（每个都表示为从高分辨率数据派生的分段线性函数）通过优化概率分布组合起来，明确考虑了冲击波主导、分辨率不足状态下的模型和离散化不确定性。
虽然最近的方法侧重于学习数值方案的内部组件（如通量限制器）以更好地捕捉激波和量化不确定性，但这些方法通常依赖于特定于任务的模型，并且需要大量的计算资源进行训练和集成。在这项工作中，我们提出了一种更为实用和模块化的替代方案，将轻量级的机器学习分类器集成到传统的有限体积求解器中。我们的方法没有修改数值离散化或从头设计新的通量函数，而是保留了经典方案的结构，同时引入了一种数据驱动的机制来选择最合适的数值通量（HLLC、Roe、Rusanov、AUSM+或FVC），基于局部流动条件。

**构建训练数据集和构建分类器的过程如下：**
- 我们使用一些经典数值通量方案（如HLLC、Roe、Rusanov、AUSM+和FVC）解决经典的Sod激波管问题。
- 对于每个单元格和每个时间步长，我们通过将结果与精确解进行比较来计算与每个通量方案相关的局部数值误差。
- 我们为每个单元格分配一个标签，对应于产生最小局部误差的通量方案。
- 然后使用这个标记的数据集来训练一个监督机器学习分类器，该分类器将局部流动特征（如密度、速度和压力）映射到最优通量选择。

尽管训练仅在两个基准问题上进行——1D Sod激波管和2D涡流——ML模型展示了其泛化到各种以冲击波为主流动问题的能力，提高了准确性和鲁棒性，特别是在解决不连续性方面。所提出的方法与最佳固定通量方案的表现相当，同时提供了动态适应局部流动特征的优势。

**本文的其余部分结构如下：**
第2节介绍数学模型和经典数值框架。第3节描述了我们提出的基于ML的方案选择方法的过程。第4节提供数值结果，第5节讨论了最终结论和未来研究方向。

**数学模型和经典数值求解**
在本节中，我们介绍了一个双曲守恒律系统，作为类似模型的原型示例，以及基于有限体积方法的经典求解框架。然后概述了离散化步骤，并提供了所使用数值方案的参考文献选择。

**动态数值方案选择的数据驱动方法**
在本节中，我们描述了我们的数据驱动方法，包括数据集构建和准备以及机器学习模型训练。目标是设计一个在每个空间点和时间步长选择最优有限体积方案的动态系统。输入特征包括局部流动特性，如密度、速度和能量。对于每个计算点，模型预测最合适的数值方案以最小化数值误差。

**数值测试**
在本节中，我们使用随机森林分类器展示了我们的结果，该分类器表现出强大的预测性能。如表4.1所总结的，所选模型在测试数据集上实现了高准确性和鲁棒性。

**结论与展望**
在这项工作中，我们提出了一个强大的框架，通过使用机器学习技术进行局部化和逐点选择来生成解。产生的解在数值上稳定且收敛。这种方法解决了数值模拟中的一个关键挑战：对于给定问题，某些数值方案比其他方案更有效。我们的框架通过提供一种在保持数值稳定性的同时最小化数值扩散的近似方法来规避这一限制。

**作者贡献声明**
伊马德·基萨米（Imad Kissami）：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、验证、监督、软件、方法论。
穆萨·齐加夫（Moussa Ziggaf）：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、验证、软件。
瓦西姆·阿布西（Wassim Aboussi）：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、验证、软件。
穆罕默德·布贝克尔（Mohamed Boubekeur）：撰写——原始草稿、验证、监督、软件。
法赫德·卡卢比（Fahd Kalloubi）：软件、方法论。

**致谢**
作者衷心感谢摩洛哥UM6P的Toubkal超级计算机[45]（https://toubkal.um6p.ma）提供的支持和计算资源。