一种半隐式有限元方法，用于模拟肥料在含有根系水分和养分吸收的土壤中的传输过程

《Mathematics and Computers in Simulation》：A semi-implicit finite element method for modeling fertilizer transport through soils with root water and nutrient uptake

　　Nour-Eddine Toutlini | Abdelaziz Beljadid | Azzeddine Soula?mani
摩洛哥穆罕默德六世理工大学

摘要
对土壤中水流、肥料以及根系水分和养分吸收的相互作用进行建模，对于优化农业中的水分和养分管理至关重要。在这项研究中，我们提出了一种新的半隐式有限元方法，用于模拟非饱和多孔介质中的肥料传输。该数值模型考虑了植物对根系水分和养分的吸收，包括被动、主动以及被动-主动结合的吸收机制。这些过程引入了非线性项，可能导致数值问题，我们通过基于二阶泰勒展开技术的半隐式处理方法来解决这些问题。所提出的方法将控制偏微分方程组在时间上线性化。通过数值实验验证了该方案的有效性。首先，模拟了与地下水位相连的非饱和区域中的入渗和溶质传输耦合模型。接着，模拟了通过地下滴灌方式输送含有磷和钾肥的尿素-铵-硝酸盐肥料的过程，并考虑了尿素的水解和硝化等转化过程。通过将结果与基于隐式方法的成熟Hydrus软件得到的结果进行比较，评估了所提方案的性能。数值实验表明，所提出的半隐式方案在处理耦合系统的非线性方面具有鲁棒性和准确性。这些结果表明，该方法为非饱和多孔介质中水分和养分动态的建模提供了一种有效的替代方案。

引言
对多孔介质中非饱和区域的化学传输进行建模，对于农业和环境工程至关重要。这些区域容易受到肥料、农药以及灌溉过程中自然产生的化学物质的污染。当水通过降雨或灌溉渗入土壤表面时，它可能会将这些污染物带入非饱和区域，从而可能污染到下层的地下水资源[1]、[2]。这些区域还是根系水分吸收、植物养分吸收和蒸散等关键过程的场所，对土壤-水-植物-大气系统中的水分和溶质动态有显著影响[3]。因此，深入了解这些相互关联的传输过程对于有效管理土壤和水资源、减轻环境风险以及优化作物产量至关重要。

数学模型已成为分析多孔介质中污染物运动和命运的重要工具[4]、[5]、[6]。这些水动力问题的主要控制方程是用于入渗过程的Richards方程[7]，以及用于各种类型肥料在非饱和区域传输的对流-扩散方程[8]。值得注意的是，已经开发了许多对Richards方程的连续介质扩展模型，以模拟多孔介质中的非饱和流动[9]、[10]、[11]、[12]、[13]。最近在[11]中，Beljadid、Cueto-Felgueroso和Juanes开发了一个热力学上一致的非饱和入渗连续介质模型，其中作者提出了一个新的偏微分方程（BCJ-R方程），该方程通过引入熵函数扩展了传统的Richards方程。BCJ-R方程（[11]中的方程18）基于二阶梯度理论，其中自由能泛函表示为Richards方程[7]中初始毛细能量密度的对称展开。在我们的研究中，我们采用了文献中最广泛使用的Richards方程来描述受重力和毛细作用影响下的水分运动。Richards方程可以有三种形式：基于含水量的形式、基于水头的形式和混合形式，每种形式在不同的应用中具有不同的优势和便利性[14]、[15]、[16]、[17]。在分析和求解Richards方程方面取得了显著进展。理论研究已经确定了解的存在性、规律性和唯一性[18]、[19]，同时也为某些实际的毛细压力函数情况开发了解析解[20]。不同的数值方法被开发出来用于求解Richards方程，包括有限元[21]、[22]、[23]、混合有限元[24]、有限分析[25]、不连续Galerkin有限元[26]、[27]、有限体积[28]、[29]以及无网格[30]、[31]、[32]方法。

土壤中溶质传输的数学模型也取得了显著进展[33]、[34]。早期的研究集中在开发稳态水流条件下氮化合物（包括氨和硝酸盐）的瞬态传输的解析解[35]。后续的研究将这些模型扩展到包括更现实的过程，如尿素传输和土壤氧浓度对尿素水解的影响[36]。土壤中氮转化的复杂性（主要由微生物过程驱动）促使了更复杂的数值模型的发展。例如，在[37]中，作者开发了一个有限元模型来模拟氮物种的传输及其转化过程。该模型包括了一级动力学过程，如硝化、反硝化、固定化和矿化。在[4]中，作者使用有限差分方法同时求解不同氮物种的传输方程，考虑了植物吸收、硝化、反硝化、固定化和矿化等因素。最近，基于物理的神经网络（PINNs）被开发为非饱和土壤中多溶质传输的另一种数值方法[38]。此外，还有其他研究使用不同的建模框架来研究土壤中的氮传输，如确定性过程模型[39]、集总参数模型[40]以及基于实地的田间尺度水-氮通量模拟[41]。

隐式方案广泛用于模拟土壤入渗[23]、[42]和肥料传输[4]、[34]、[37]。然而，这些方法在处理非光滑土壤水力特性或交替湿润和干燥边界条件等挑战性情况下往往难以收敛或失败[43]、[44]。这些方案中使用的迭代求解器（如牛顿法和皮卡德法）在耦合系统中可能无法收敛，从而影响模拟精度。为了解决这些限制，文献中提出了几种非迭代方法，这些方法不仅出于收敛失败的需要，也是为了提高计算效率。Paniconi等人[45]最早提出了具有第一和第二阶精度的线性化基于水头的方案，随后Kavetski等人[17]引入了带有截断误差控制的自适应非迭代隐式步进法。在此基础上，Ross[46]开发了一种快速的一维非迭代方案，Zha等人[43]将其推广到使用主变量切换的三维流动模型。Zha等人[44]进一步扩展了这些思想，推导出了线性的水分和混合形式解，证明了带有变量切换的混合公式能够实现更好的质量守恒和效率。在[21]中讨论了Richards方程的半隐式方法，作者开发了一种结合混合有限元方法的半隐式二阶时间方案。在[47]中，作者扩展了这项工作，提出了一组用于耦合水流和溶质传输的半隐式方案。他们的研究还包括了一维中的氮多物种传输，尽管没有考虑根系水分和养分吸收。然而，对于包括水流和多物种肥料传输的完整方程组的半隐式方法关注较少。在[4]中，作者使用了从[48]中提取的显式-隐式方案。然而，该研究缺乏对应用于控制方程的数值处理的全面分析。

在这项研究中，我们提出了一种半隐式方法来模拟土壤中肥料的传输，同时考虑了根系水分和养分的吸收。我们的主要贡献是：（1）使用半隐式有限元方法近似控制方程；（2）使用二阶泰勒展开技术对被动、主动和被动-主动情景下的根系养分吸收进行数值处理；（3）模拟含有磷和钾肥的尿素-铵-硝酸盐肥料的传输，其中包含了尿素、铵和硝酸盐的水解和硝化等转化过程。

本文的其余部分结构如下：第2节提供了与土壤中水流和溶质传输数值建模相关的文献综述。第3节介绍了入渗、土壤中肥料传输以及植物根系水分和养分吸收的数学模型。第4节详细介绍了用于求解控制方程的空间和时间离散化方法。第6节展示了我们的数值实验，模拟了根区中的土壤湿度和肥料分布，以测试模型的能力。最后，第7节提供了结论性意见。

**文献综述**
为了补充引言中提供的背景信息，本节详细回顾了用于模拟非饱和多孔介质中水流和溶质传输的数值方法。关于Richards方程，早期的研究主要依赖于有限差分（FD）方案[14]、[15]、[16]，这些方案提供了直接的离散化方法，但在处理不规则域时存在局限性。为了克服这些限制，进一步开发了基于有限体积（FV）的方法。

**水流和溶质传输方程**
控制方程组代表了非饱和土壤中水流和养分动态的耦合过程。水流由Richards方程描述，而溶质传输则通过五个对流-扩散-反应方程来建模，这些方程考虑了尿素、铵、硝酸盐、磷和钾的传输。这些方程不仅考虑了对流-扩散传输，还考虑了植物根系的吸收和主要的生物地球化学转化过程，包括尿素的水解和硝化。

**有限元公式**
为了简化起见，本节将使用以下公式来研究养分传输的一般形式：
?Rθc?t ? ??θD ?c ? cq + ? + r(c) = 0，
其中R = 1 ? ρkdcθ
(?) 是迟滞因子，用于表示溶质与土壤固相之间的相互作用。根据有限元方法中的标准离散化符号，耦合系统(3.1)、(4.1)的连续解可以近似为：
Ψh(x,t) = ∑i=1m Ψi(t)Φi(x)，
ch(x,t) = ∑i=1m ci(t)Φi(x)。

**实施**
本节概述了所提出方法的实施方法。本研究中的所有数值模拟都是在Compute Canada提供的Narval高性能计算集群上进行的（https://docs.alliancecan.ca/wiki/Narval）。我们使用了FreeFem++有限元平台[75]进行计算。选择FreeFem++是因为它能够抽象出有限元方法的复杂性，同时保持与标准语法的高度一致性。

**数值实验**
通过进行一维和二维的数值测试来证明所提方案的有效性。第一个示例涉及具有根系水分和养分吸收的一维土壤剖面，考虑了被动和主动的溶质吸收机制。第二个数值测试模拟了二维域中肥料（包括尿素、铵、硝酸盐、磷和钾）的传输，以及地下滴灌过程。

**结论**
本研究提出了一种半隐式有限元方法，用于模拟非饱和多孔介质中水流、肥料和根系吸收过程的相互作用。该模型考虑了被动、主动以及被动-主动结合的根系养分吸收机制，解决了控制方程非线性带来的数值挑战。所提出的方法采用二阶泰勒展开技术来线性化根系养分吸收。

**作者贡献声明**
Nour-Eddine Toutlini：撰写——原始草稿、可视化、软件开发、数据分析。
Abdelaziz Beljadid：撰写——审稿与编辑、监督、数据分析、资金获取、概念化。
Azzeddine Soula?mani：撰写——审稿与编辑、监督、数据分析、资金获取、概念化。

**致谢**
本研究的资金由摩洛哥UM6P/OCP小组（UM6P-OCP-2022）、摩洛哥高等教育、科学研究与创新部的APRD研究计划、OCP基金会（25219）以及加拿大自然科学与工程研究委员会（RGPIN-2021-02693 & RGPIN-2022-5220）提供。