基于离散接触模型的MIW-NMPC技术在TWUSM精确速度控制中的应用研究 郭一飞、 景凯、 王玉清

《Micromachines》：Research on Precision Speed Control of TWUSM Using Discrete-Contact-Model-Based MIW-NMPC Yifei Guo, Kai Jing and Yuqing Wang

　　摘要
针对行波超声波电机（TWUSMs）由于非线性、强耦合特性和参数不确定性导致的控制效率低以及调节难度大的问题，本文提出了一种基于离散接触建模和单调递增加权非线性模型预测控制（MIW-NMPC）的速度调节方案。在分析现有TWUSM模型的基础上，构建了电机的离散接触模型，该模型在完全保留电机工作机制核心动态特性的同时降低了建模复杂性。基于此模型，设计了用于TWUSM精确速度控制的MIW-NMPC算法，并推导和验证了其可行性和稳定性。对比仿真和实验结果表明，所提出的基于离散模型的MIW-NMPC方案可以有效提高TWUSM速度控制的精度和动态响应，为高精度速度调节应用提供了一种新的技术方法。

1. 引言
行波超声波电机（TWUSM）是一种具有低速、高扭矩、抗磁场干扰、结构设计灵活以及出色的位置和速度控制性能的特殊类型电机[1]。因此，它被广泛应用于高精度运动控制领域，包括医疗、航空航天和武器制导等领域[2,3]。然而，TWUSM的控制效率和精度受到其固有的强非线性、严重的耦合特性和参数不确定性的严重限制，这些因素源于其逆压电效应和振动摩擦的复杂工作机制。
为了解决上述控制挑战，现有的TWUSM控制研究主要分为基于模型和无模型的方法。对于基于模型的方法，大多数设计依赖于简化的机械模型（例如，近似时域模型、Hammerstein模型）来开发控制器，如自适应滑模[4]、反步[5]和迭代学习控制[6,7,8]，这些方法具有物理可解释性，但由于模型简化而丢失了电机核心的离散定子-转子接触机制，从而导致建模保真度的固有限制。对于无模型方法，采用数据驱动技术（包括神经网络[9]、深度强化学习[10]和极值搜索[11]）来实现鲁棒控制，这些方法无需显式建模，但缺乏物理可解释性，并且参数调整难度高，动态性能优化不足。总体而言，现有方法无法在保持TWUSM主要复杂非线性动态特性的精确建模与设计具有增强性能的鲁棒控制器之间取得理想的平衡。
为了弥补TWUSM的这一缺陷，本文研究了一种基于新的离散接触模型的改进NMPC方案，以平衡模型保真度和控制性能，目前尚未有关于TWUSM的相关研究报道。根据TWUSM控制的核心要求，表1从终端约束、稳定性证明、计算成本、对非线性的适应性和嵌入式实时性能等关键维度比较和分析了近年来典型NMPC方法的综合性能。表1. 典型NMPC方法在TWUSM控制中的比较。根据多指标综合评估，单调递增加权NMPC（MIW-NMPC）显示出更好的整体性能，更适合TWUSM的实际控制。此外，为了实现MIW-NMPC在TWUSM高精度速度控制中的实际应用，还提出了一个完全捕捉其工作机制的离散TWUSM模型。
本文的结构如下：第2节通过分析传统模型提出并验证了TWUSM的离散接触扭矩模型。第3节设计了基于离散接触扭矩模型的MIW-NMPC算法并证明了其稳定性。第4节通过对比仿真和实验评估了该算法，第5节总结了研究结果并得出了相关结论。

2. 超声波电机的离散模型
2.1. TWUSM基本模型
根据TWUSM的定子机电转换和定子-转子接触动作机制，该模型可以用机电耦合方程、电流方程、行波运动方程、扭矩方程和驱动方程来描述：
(1)
其中，是两相模态质量矩阵；Ds和Cs分别是两相模态阻尼矩阵和模态刚度矩阵；Rd和Cd分别是两相陶瓷的介电损耗电阻和静态电容电阻，与Ms类型相同；是两相振动模式；是两相激励电压；是两相电流；JR是旋转惯性；ωR是旋转角速度；Tload是负载扭矩；W表示行波的振幅；G和N分别代表输入振动模式的范围和转子的运行速度范围。
当两相振动模式的振幅相等且正交时，可以表示为：
(2)
(1)中的扭矩方程是将行波振动转换为TWUSM接触摩擦的核心。过程中的强非线性使得控制变得困难。对于扭矩表达式，现有研究包括以下四种类型：
•基于空间分布的扭矩计算[19,20,21]：依赖于传统分析模型的空间力分布，将扭矩描述为定子和转子相对运动在接触区域产生的接触摩擦，并由行波激发，这能够揭示内部机制，但计算复杂。
•基于时间尺度的扭矩计算[22,23,24]：通过使用单粒子周期性运动来分析定子和转子之间的粘滑摩擦，在一个行波周期内获得扭矩，这种模型与上述模型类似，依赖于传统分析模型。
•基于质量运动的扭矩计算[25,26]：将定子-转子相互作用简化为集总线性质量-弹簧-阻尼系统。采用每个振动波长一个接触点的点接触机制来计算扭矩，这无法完全表征接触区域内的接触力空间分布。
•基于非线性识别的扭矩计算[27,28]：数据驱动模型（神经网络、状态空间、非线性ARX、Hammerstein-Wiener等）通过参数识别来估计扭矩，但这些模型无法揭示定子-转子接触的物理机制。
总之，前两种模型通常用于揭示电机的工作机制，但它们涉及复杂的计算，很少用于控制目的。后两种模型比前者简单，但无法表征定子-转子接触相互作用。特别是第四种模型完全依赖于电机的操作数据。因此，本文提出了一种新的离散建模方法，该方法计算效率高且能够准确描述物理机制。

2.2. 基于离散接触模型的扭矩计算
为了简化动态机制模型中的扭矩计算过程，提出了一种离散接触模型。将一个波长内的定子表面离散化为n个等间距点，在行波顶部的旋转坐标系中表示为kθ(j)，并给出为：
(3)
其中k是波数。
离散点的运动方程：
通过检查离散点的接触邻域，可以表示平均轴向位移和圆周速度为：
(4)
(5)
其中?z和?θ分别表示径向和圆周方向的模态形状系数；在纯行波条件下，kθT近似为?π/2。
离散点的力方程：
离散点在轴向和圆周方向的运动对转子施加力，这些力可以表示为在纯行波条件下的对称分布的轴向接触压力和圆周摩擦，这是通过求和-乘积恒等式推导出来的：
(6)
(7)
其中cN是摩擦层的线性等效刚度；±m是离散点的接触边界索引，其中p(±m) = 0；μ表示摩擦系数；±l是离散点的等速度索引，离散摩擦在接触区域内表现出驱动和抵抗特性。

3. TWUSM的扭矩方程：
基于摩擦力的分布，总扭矩可以表示为：
(8)
其中m是通过使用轴向力平衡方程的牛顿-拉夫森迭代确定的。
(9)
其中Fpre表示转子预载力，FN表示定子对转子施加的总轴向压力。对于方程g(m) = FN ? Fpre = 0，牛顿-拉夫森迭代方案如下：
(10)
其中q是迭代索引。
显然，函数g(m)在物理上可行的域0 ≤ m < n内是连续可微的，其导数g′(m)在任何地方都不为零，满足牛顿-拉夫森方法的局部二次收敛条件。通过一个物理上合理的初始猜测（例如m0 = 0或n/2），迭代在3-5步内收敛到唯一解，而不会发散。最终，将迭代结果四舍五入到最接近的整数，得到m的值。
因此，开发了TWUSM的离散扭矩计算方法。当n → ∞时，所提出的离散模型简化为连续的空间分布模型。与识别模型相比，所提出的模型保留了物理接触机制；与质量-弹簧模型相比，它可以表征接触区域内的力分布。
上述分析中的离散点、运动和力分布如图1所示。图1. 离散点、运动和力的分布。根据TWUSM的实际参数（k = 9, r = 27.58 mm, μ = 0.2等），在W = 1 μm下的离散模型的速度-扭矩曲线绘制在图2a中。随着离散化数n的增加，曲线变得更加平滑，并逐渐趋近于由虚线表示的连续空间分布模型。图2b展示了扭矩误差，随着n的增长，建模误差显著减小。同时，所提出的离散模型表现出O(n)的线性计算复杂度，意味着计算负载随n线性增加。因此，通过适当选择离散化数n，可以在建模精度和计算效率之间实现良好的平衡。图2. 不同离散化数下的TWUSM速度-扭矩曲线。(a) 不同离散化数下的速度-扭矩特性；(b) 不同离散化数下的扭矩建模误差；(c) 不同振动模式振幅下的速度-扭矩特性。此外，图2c展示了n = 300时速度-扭矩曲线与模态振动幅度W的关系。在相同W下实际电机的测量特性用星号标记，与模型曲线非常吻合。这一结果进一步验证了本文提出模型的合理性。

3. 基于离散模型的NMPC用于TWUSM的精确速度控制
3.1. 为TWUSM速度控制设计的MIW-NMPC
基于离散扭矩模型，设计了一种没有终端约束的单调递增加权非线性模型预测控制（MIW-NMPC）方案，用于TWUSM的高精度速度控制。在纯行波条件下，扭矩可以表示为振动模式幅度W和转子速度ωR的函数。
(11)
从方程(1)给出的运动函数出发，我们设输入变量u = W，状态变量x = ωR ? ωd（其中ωd表示目标角速度）。用采样周期ts离散化的状态方程可以表示为：
(12)
考虑到预测范围内的控制序列u = [u0, u1, …, uN?1]，预测状态轨迹可以表示为i = 0, 1, …, N：
(13)
MIW-NMPC的成本函数可以表示为：
(14)
其中Q是一维正常数矩阵（即标量），因为状态属于?。
通过使用粒子群优化（PSO）进行递归 horizon 优化来最小化成本函数，得到最优控制输入u*(k)。这种方法充分利用了PSO的核心优势——不依赖于目标函数梯度、收敛速度快、参数调整简单、强大的全局搜索能力和对非线性和非凸问题的出色适应性——从而克服了传统基于梯度方法的局部最优性限制，实现了精确的速度控制。优化过程详细列在表2的伪代码中。表2. 基于PSO的NMPC。
为了提高系统在负载变化下的干扰抑制性能，为TWUSM设计了一个PI型负载扭矩观测器。扭矩估计公式如下：
(15)
其中ω*是参考速度，ω是测量速度，Kp和Ki是观测器增益，可以实现快速准确的负载扭矩估计。通过将估计的负载扭矩反馈到控制回路中，可以显著减弱负载扰动的影响，并进一步提高系统的鲁棒性和稳态控制精度。为了实现纯行波振动，我们之前研究[29]中的非线性SMO和协调控制器被用来协调估计和控制振动模式。3.2. MIW-NMPC的稳定性证明对于非线性模型预测控制来说，稳定性是一个关键问题。有必要分析控制系统的稳定性条件，以保证闭环系统的稳定性。我们假设在时间k时，存在一个最优控制序列，该序列可以最小化单调递增的加权成本函数J*m。然后，我们设时间k+1的最优控制序列为，其中此时最昂贵的函数为：由于对于所有j ∈ {2, …, N}，有并且只保留求和中的最后一项，我们得到：根据局部控制不变性属性，我们有：因此，只需满足条件即可保证收敛性，其中随着m → ∞。从而证明了MIW-NMPC的稳定性。4. 仿真与实验4.1. MIW-NMPC的控制参数分析对于基于离散接触模型的MIW-NMPC的参数设计和收敛性，加权参数Q在50–100的范围内通过实验选择，仿真结果表明它对算法性能的影响很小。预测范围N和加权指数m通过在不同参考速度下的多次速度跟踪仿真进行了分析。综合均方误差（MSE）和平均单步计算时间显示在图3a中，其中仅展示了MSE < 0.2的结果。可以观察到，在有效范围内的m ≤ 3时，可以实现较小的MSE值，最小MSE为0.005362，对应m = 3和N = 3。图3b显示了不同m值下的单步计算时间，随着N的增加而增加；对于m ≤ 3，计算时间保持在0.5 ms以下。因此，本文采用Q = 80，m = 3，N = 3进行仿真验证。图3. 收敛性和参数选择的仿真结果。为了公平比较，对照组中的传统MPC配置了相同的Q、N和PSO方案。此外，还采用了一个实际的PI控制器作为对比方案，其比例增益Kp和积分增益Ki分别设置为0.004和0.0001。4.2. 使用MIW-NMPC进行TWUSM精确速度控制的仿真在这部分中，对MIW-NMPC速度控制方案进行了仿真验证。采用了四种操作条件来比较和验证所提出的方法与传统MPC和PI控制的效果。图4展示了在恒定负载扭矩0.5 N?m的情况下，步进速度参考下的控制结果。从图中可以看出，MIW-NMPC方法的实际速度能够准确跟踪参考速度，且控制输入（振动模式W）变化稳定。尽管传统MPC也能实现速度跟踪，但其速度响应表现出明显的波动，控制输入W也有显著波动。对于PI控制，速度响应在高速度时出现超调、滞后和抖动。三种方法的速度偏差的MSE分别为0.008982（MIW-NMPC）、0.062975（MPC）和13.481005（PI）。图4. 在恒定负载扭矩下的步进速度参考下的控制结果。图5设置了恒定参考速度50 rpm，并改变负载扭矩以反映控制算法的抗扰能力。从图中可以看出，当负载扭矩变化时，MIW-NMPC的控制输入W能够快速响应以应对负载变化，从而稳定速度，而其他两种方法在负载变化时速度波动明显。速度偏差的MSE值分别为0.078120（MIW-NMPC）、0.135866（MPC）和16.052221（PI）。图5. 在恒定速度参考下的步进负载扭矩下的控制结果。图6展示了在恒定负载扭矩0.5 N?m的情况下，正弦速度参考下的控制结果。可以看出，所提出的算法能够很好地跟踪速度变化，且控制输入变化平滑。速度偏差的MSE值分别为0.080091（MIW-NMPC）、0.122812（MPC）和16.918587（PI）。图6. 在恒定负载扭矩下的正弦速度参考下的控制结果。图7展示了在正反向正弦速度参考下的控制结果，证明了所提出的算法在双向速度调节方面具有优越的性能。速度偏差的MSE值分别为0.001192（MIW-NMPC）、0.046468（MPC）和15.577014（PI）。图7. 在正反向正弦速度参考下的控制结果。总体而言，上述仿真表明所提出的算法在速度跟踪方面具有明显优势，能够快速稳定地调节速度并抵抗负载扰动。4.3. 实验验证为了验证所提出的MIW-NMPC算法的实际性能，本研究建立了一个基于FPGA-ARM的TWUSM控制平台，如图8所示，平台的关键参数列在表3中。图8. 基于ARM-FPGA的TWUSM实验平台。表3. 实验平台参数。实验在上述平台上针对精密进给系统进行。为了算法比较和验证，本文将所提出的MIW-NMPC和对比MPC算法的控制频率统一设置为2 kHz，并采用FPGA来实现PSO滚动优化的并行加速，以提高在线计算速度。同时，也采用了PID算法进行实时控制比较，其控制频率设置为41 kHz。实验在三种典型工作条件下进行：突然的负载扭矩变化、变速操作和正反转控制。实验结果显示在图9中，所有对比曲线向下移动了1和2个刻度以便更好地可视化。图9. 实验结果。(a) 稳态速度扰动抑制性能；(b) 正弦速度跟踪性能；(c) 双向正弦速度跟踪性能。在图9中，横轴表示时间，刻度为1 s/div，纵轴表示速度，(a)和(b)的刻度为10 rpm/div，(c)的刻度为40 rpm/div。具体来说，图9a显示了当制动负载在时间T0突然从3 Nm降低到0时的稳态性能，所提出的算法的速度波动幅度小于3 rpm，仅为传统MPC的一半，不到PI控制器的1/3，展示了最佳的稳态扰动抑制能力。图9b展示了在恒定负载扭矩下的正弦参考速度下的速度控制，所提出算法的跟踪误差幅度小于5 rpm，仅为传统MPC的约50%和PI的20–30%，而PI则表现出明显的相位滞后。图9c展示了双向正弦速度跟踪性能。所提出的方法实现的跟踪误差小于8 rpm，远小于传统MPC和PI控制器，后者的相位滞后仍然明显。实验结果表明，所提出的算法可以有效改善TWUSM速度控制系统的动态响应和控制精度。5. 结论为了解决TWUSM的强非线性和机电耦合问题，本文提出了一种基于离散接触模型的MIW-NMPC高精度速度控制策略。离散模型简化了扭矩计算，同时保留了电机的核心动态特性，为算法设计提供了准确的基础。基于该模型，设计了MIW-NMPC算法，并严格证明了其稳定性。与传统MPC和PI控制算法的对比仿真和实验表明，所提出的策略在速度调节精度和动态响应速度方面表现出色。这项研究为高精度TWUSM速度调节提供了一种新颖可行的控制方案，并为其他非线性和强耦合机电系统的控制提供了参考。