综述：混合动态子结构的改进：数值与实验技术的全面综述

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Enhancing hybrid dynamic substructuring: A comprehensive review of numerical and experimental techniques

　　菲利普·瓦格纳 | 帕特里克·朗格 | 马库斯·马德 | 斯特芬·马尔堡
宝马集团，克诺尔街147号，慕尼黑，80937，德国

**摘要**
分析具有复杂接头和接口的动态系统面临重大挑战，这主要是由于建模不确定性和计算复杂性所致。现有方法通常缺乏整合数值和实验方法的统一框架，导致系统表征不准确。混合动态子结构化技术通过结合数值模拟与实验数据，利用两个领域的优势，提供了一个有前景的解决方案。本文旨在弥合文献中关于混合建模应用的空白，全面回顾了基于线性投影的模型降阶技术。它引入了一种新的统一分类方法，涵盖了模型降阶的凝聚公式、复杂接口的建模、降阶矩阵适用模式的选择以及子系统的不同组装选项等内容，所有这些都在单一框架内完成。特别强调了组件模态合成和基于频率的子结构化，因为它们在工业应用中具有重要意义且适用于混合模型。因此，将理论基础与实际实现相结合，以促进方法选择。此外，本文还提供了结构化的指导原则，明确了方法之间的相似性和差异性，从而实现复杂结构系统的有效混合建模。本文还指出了当前的局限性，并指出了未来研究的方向。这种统一的视角有助于提高对混合动态子结构化的理解和实际应用，改善结构动力学的预测质量和计算效率，适用于机械工程领域。本文特别适合该领域的新手，提供了各种动态子结构化概念的全面概述。

**1. 引言**
高保真模拟性能的提高增强了预测复杂结构动态行为的准确性[1]。然而，这也大幅增加了计算成本，阻碍了快速开发迭代和在日常业务中的实际应用[2][3]。为了解决这一挑战，结合数值和实验子结构的混合建模方法越来越受欢迎。这些方法旨在利用有限元模型的预测能力，同时利用测量数据来处理非线性动力学。应用混合技术需要来自两个广泛而复杂的领域的专业知识。历史上，相关文献沿着两条独立但平行的路径发展[4]。从模拟的角度来看，重点在于模型精度和降低模型大小以减少计算成本[5]；相比之下，实验角度则侧重于从测试数据中提取系统动力学并管理测量不确定性[6][7]。尽管各自领域取得了进展，但仍需要一个能够整合这两种视角并实现高效混合建模的全面分类方法。本文提出了这种统一分类方法，将相关方法整合到一个框架中，包括基于线性投影的模型降阶技术、接口建模和模态选择策略。通过提供来自数值和实验视角的跨学科概述，本文使人们更容易理解各个过程步骤和当前研究领域，特别是对于该领域的新手。

为了解决高保真模拟计算复杂性的增加以及实验集成的需求，基于线性投影的模型降阶技术（pMOR）作为模型降阶方法（MOR）的一个基本子领域，非常适合创建复杂混合组件的紧凑表示。通过将高维系统投影到低维子空间中，线性pMOR能够研究系统在不同参数下的响应，有效平衡计算效率和模型精度[5]。作者[4][8][9]全面概述了主要的基于线性投影的模型降阶程序，包括凝聚方法（如Krylov子空间方法）和平衡截断技术。因此，Krylov子空间方法适用于降低单个高阶有限元系统的复杂性，但在子空间中会失去坐标的物理解释[8]。对于需要保证输入-输出行为的实时应用，平衡截断更为合适。然而，由于计算量大，这种方法通常仅适用于小型到中型系统[4]。相反，凝聚方法在降阶模型中保留了明确的接口自由度，有助于子结构之间的耦合。然而，接口建模可能导致不准确性，例如在组装结果中出现虚假峰值[10]。目前的调查主要从模拟或实验角度讨论这些程序，对其协同作用关注有限。本文强调了凝聚技术在结合测量数据和数值数据方面的重要性。

在此背景下，Hagos和Chang[11]对各种凝聚方法在工程问题中的准确性和效率进行了详细比较，包括Guyan降阶、Hurty/Craig–Bampton方法和通用模型降阶。尽管这些调查提供了有价值的见解，但它们仅涵盖了部分凝聚方法。为了解决这一局限性，根据是否考虑惯性项，将这些方法分为静态和动态技术，从而突出了这些方法背后的基本原理。特别是对于动态方法，引入了一个扩展的定义，将系统等效模型混合（SEMM）和动态子结构化纳入凝聚方法中，强调了它们对混合应用的贡献。Klaassen等人[12][13]开发的SEMM通过数值模型有效增强了有限的实验数据集，从而减轻了数据不完整性，特别适合对单个组件的混合描述。动态子结构化提供了更广泛的概念和计算框架。Seshu[14]、Sun和Song[15]、Bui等人[16]以及Wijker[17]的工作提供了子结构化技术的详细历史回顾，并更新了组件模态合成（CMS）的理论框架。这些参考文献旨在解决分析大型结构相关的计算成本问题，并高效计算几何非线性。虽然CMS方法在数值模拟中广泛应用，但基于频率的子结构化（FBS）是通过耦合子系统阻抗或导纳矩阵来处理实验导出频域模型的标准技术[18]。Allen等人[10]全面概述了动态子结构化，重点介绍了FBS和CMS，并提供了许多实际示例。尽管早期的综述已经解决了许多挑战，但目前仍缺乏一个统一的符号系统来明确实验和数值方法之间的相似性。为了解决这一需求，本文引入了一种统一的符号系统，特别强调了频域和模态域技术之间的相似性，鉴于它们在工业和研究中的广泛应用及其在混合应用中的潜力。这种方法增强了不同公式和学科之间研究成果的可转移性。

在此背景下，一个核心的实际问题是组件接口的描述，因为数值和实验表示往往由于非共形网格或测量点而有所不同。为了解决众多接口建模方法的复杂性，Krattinger等人[19]提供了CMS应用的多种方法的全面概述。他们强调，接口降阶方法可以在保持准确性的同时显著减小模型规模。另一方面，van der Seijs等人[20]和Pasma等人[21]提出的虚拟点变换（VPT）等技术解决了测量和数值接口自由度之间的差异。然而，这些方法通常仅限于刚性接口假设。因此，需要一种适用于特定实际应用的扩展接口降阶方法概述，特别是对于非共形接口。因此，引入了一种基于接口兼容性假设的新系统分类方法，区分了连续连接和点连接。研究表明，VPT特别适用于螺栓连接的实验表征，而多点约束（MPC）公式有助于在有限元模拟中高效降低接口节点的复杂性。此外，本文强调了建立VPT和MPC表示之间直接关系的理论基础，这对混合建模至关重要。

此外，在动态子结构化的背景下，选择在降阶过程中保留的模态内容受到的关注有限。即使使用兼容的接口，Benner等人[22]和Antoulas[8]也指出，任何降阶方案的有效性在很大程度上取决于投影基的构建及其捕捉系统动力学本质的能力。虽然现有调查提出了多种模态选择算法，但往往缺乏对这些方法及其应用领域的清晰概述。为了解决这一局限性，本文提出了基于组件级别（先验）和系统级别（后验）的分类方法。先验方法根据单个组件的局部属性（如自然频率和模态参与度）选择模态；相比之下，后验方法评估组装系统的响应，捕捉与整个振动行为最相关的动力学。这种分类使得在动态子结构化背景下选择适当的降阶策略更加有针对性。

最后，本文重点介绍了将数值和实验数据整合到混合模型中的技术。为了成功耦合各种子系统，de Klerk等人[23]提供了CMS和FBS方法的全面概述，这些方法可以数学上统一并分类为原始和双重组装。原始公式确保了接口自由度的兼容性，而双重公式通过拉格朗日乘数保持力平衡。如前所述，CMS通常适用于FE模型，而FBS更适合实验表征。因此，混合子结构化不仅涉及组装各种子结构，还涉及整合不同的建模方法。文献中的许多解释通常仅限于将测量数据通过实验模态分析转换为模态模型以供CMS使用，这具有挑战性[24]。另一方面，如果考虑许多自由度，使用FBS将模态合成到频率响应函数中进行计算非常耗时。因此，本文强调了在各个领域组装子结构模型的机会，同时提高模型精度以简化子结构化过程。总之，本文的贡献包括：
- 在混合建模的单一框架内整合基于线性投影的模型降阶技术、接口建模和模态选择策略的跨学科概述；
- 明确数值和实验方法之间相似性的统一理论符号系统；
- 根据兼容性条件全面介绍接口建模方法，包括非共形接口，并提供实施的实际指导原则；
- 在动态子结构化框架内集成和分类模态选择技术，以实现高效降阶同时保持组装精度；
- 对数值和实验应用的组装公式进行比较分析，并提出混合子结构化的建议；
- 识别现有挑战和未来研究的方向。

这种分类和决策规则源于现有理论框架的综合和文献中的针对性比较。因此，本文作为机械系统领域的宝贵参考，总结了最新进展，指出了未来研究的开放挑战，建立了不同方法之间的正式联系，并提供了实际指导。这种综合视角旨在为机械系统的研究人员和实践者提供结构化的路线图。

本文的结构围绕基于线性投影的降阶方法分类（图1）组织。第2节介绍了凝聚公式，包括动态子结构化，并将其与其他模型降阶方法进行了比较。这些方法进一步分为静态和动态凝聚。第3节介绍了组件模态合成和基于频率的子结构化在模态和频率域中的基本描述形式，包括相应的转换到其他公式。接口描述是实施子结构化技术的关键步骤，第4节对此进行了详细说明。凝聚方法的主要思想是通过将系统转换为低维子空间来减少自由度。通常，所介绍的方法使用模态基进行这种转换。因此，第五节解释了选择此过程中关键模态的过程。第6节总结了所介绍的概念，特别关注了一般意义上的组装概念。然后将其应用于CMS方法中的Hurty/Craig–Bampton方法和双重FBS技术中的虚拟点变换。最后一节基于现有文献和实际研究，提供了实施混合模型的总结和一般建议。

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**图1. 基于线性投影的模型降阶方法的全局分类和工作概述。**

**2. 凝聚方法概述**
如引言所述，本研究使用动态子结构化方法进行混合建模。因此，本节首先对所介绍的与MOR程序相关的方法进行了分类。图1显示，动态子结构化、Krylov子空间方法和平衡截断是基于线性投影的模型降阶类型。基于投影的MOR技术的基本思想是将原始的高维系统投影到一个低维子空间上，从而以减少的计算量来捕捉其本质动态。Krylov子空间方法构建了称为Krylov子空间的投影空间，这些子空间的目标是在频域中的一个或多个扩展点附近紧密逼近原始系统的输入和输出行为[4]，[25]。这种逼近是通过比较简化系统的传递函数的一阶矩与原始系统的一阶矩（矩匹配）来实现的[26]。Krylov方法特别适用于减少具有许多自由度的单个大型系统[27]。然而，使用Krylov子空间方法与其他（简化的）系统进行耦合比使用凝聚方法要复杂得多[26]，[27]。此外，解释Krylov变换的结果具有挑战性，因为简化模型失去了与原始系统物理属性的联系。这种变换涉及将物理自由度投影到状态空间中的抽象数学基向量上。这些向量近似输入和输出行为，而不是代表实际的振动模式。因此，剩余的广义坐标和简化矩阵纯粹是数学构造，无法与特定组件属性或物理变形相关联[9]，[28]。为了应对Krylov子空间方法的局限性，Wesolowski [26] 将其整合到了子结构化框架中。有关Krylov子空间的更多信息，请参考文献[29]，[30]，[31]，[32]，[33]。另一方面，当精度和稳定性在模型简化中至关重要时，通常更倾向于使用平衡截断技术。该技术通过截断对系统输入和输出行为影响最小的状态来系统地降低系统的阶数[5]。同时，它通过平衡系统的可控性和可观测性来控制近似误差。这种方法确保简化模型保持稳定和被动[4]。然而，当处理大规模有限元模型时，这一优势就变成了缺点，因为可控性和可观测性矩阵的计算成本变得很高[29]。有关平衡截断的更多信息，请参见文献[4]，[27]，[34]。此外，凝聚方法在利用模式和传递函数解释结果与高效处理具有众多自由度的系统之间实现了有效的平衡。Kammermeier等人[35]展示了这一特性，使得它们特别适合于混合建模。以下讨论介绍了在pMOR框架内用于描述线性动态系统的凝聚过程的基本公式。然而，为了更好地理解本节中介绍的理论关系，首先将介绍通常应用于线性基于投影的模型简化方法的假设。主要假设是系统以线性和时不变（LTI）的方式运行。这一假设允许应用叠加原理，即多个同时激励的响应等于各个响应的总和。此外，关键的结构参数（如质量、阻尼和刚度）保持不变[36]。此外，所有简化方法都需要稳定性才能提供有意义的结果，但对于平衡截断技术来说，稳定性尤其关键，以确保收敛性和解的存在。在这种情况下，可控性和可观测性是合理的假设[4]，[9]。可控性允许系统在有限时间内达到任何状态，而可观测性使得可以从输出序列中确定初始状态。这些假设补充了稳定性要求，有助于管理系统的输入和输出行为[4]。此外，在实验动态子结构化中，被动性的假设是必不可少的。测量误差可能导致局部非被动性，从而产生能量[9]。在这种情况下，与其他子结构的耦合可能导致整个系统行为不稳定[37]。此外，互易性假设对于评估测量数据质量很有价值。对于没有陀螺效应或主动控制的线性机械系统，对称的频率响应矩阵表明了互易行为。非互易行为可能表明存在非线性或测量误差[38]。还假设所考虑的结构在物理域中以离散形式存在[2]。因此，可以对外力和内力（包括惯性、粘性阻尼和刚度）之间的平衡条件进行公式化。此外，假设位移足够小，可以线性化一般的非线性运动方程。因此，可以为具有n个自由度（DoFs）的离散线性动态系统写出二阶运动方程[2] (1) Mu?(t) + Cu?(t) + Ku(t) = f(t)。在方程(1)中，M、C和K分别表示系统的质量、阻尼和刚度矩阵。列矩阵u∈Rn表示未知位移，f∈Rn表示外力/载荷。现代有限元模型包含数百万个自由度[5]。相比之下，特别是在传递路径分析（TPA）的背景下，当代实验模型可能变得非常庞大，以覆盖所有相关路径或跨越宽频率范围，通常包括数千条频率线[39]。这种复杂性使得求解方程(1)在计算上非常密集。MOR的目的是在保持原始模型动态的同时减少自由度的数量[29]，[40]，[41]。Rayleigh–Ritz方法提供了一种有前途的方法，用于将具有无限自由度的连续结构近似为具有有限自由度的模型。基于线性投影的方法在此基础上通过将全局变量u(t)投影到一个自由度显著较小的子空间中来构建，使用投影矩阵T，建立以下关系(2) u(t) ? Tq(t)。变换矩阵T∈Rn×nq表示从原始n-DoF系统到nq空间的映射。因此，nq?n表示简化自由度的数量。此外，q∈Rnq是表示简化广义坐标的向量。将方程(2)代入方程(1)中，可以推导出简化运动方程(3) M?q?(t) + C?q?(t) + K?q(t) = f?(t) + r(t) (4) TTr(t) = 0，其中M?=TTMTC?=TTCTK?=TTKTf?=TTf。项M?、C?、K?∈Rnq×nq表示简化系统的质量、阻尼和刚度矩阵。向量f?描述了简化的外力载荷。当系统阶数降低时，方程(2)的变换只产生近似解。引入了一个残差力向量r来考虑这一点。假设在简化系统的动态中可以忽略这个残差力。此外，为了增强可比性并强调理论上的相似性，简化方法被公式化为方程(2)中的形式。如前所述，凝聚方法具有产生更易于物理解释的结果的优势，使其特别适合于混合建模。因此，下面将更详细地讨论这一类简化方法。2.1. 凝聚方法术语“凝聚”通常指的是减少系统矩阵中的自由度。在文献中，Craig–Bampton组件模式合成方法通常被称为凝聚技术。本文将提供更细致的凝聚方法分类。特别会区分静态凝聚和动态凝聚，以强调在简化过程中考虑惯性效应。2.1.1. 静态凝聚1965年，Guyan [42] 提出了一种有效减少自由度的概念，这仍然是大多数简化方法的基础。因此，本节将简要介绍这项技术。以下介绍忽略了阻尼矩阵。Guyan的一个基本思想是将复杂模型转换为“黑盒”模型。这种转换减少了内部自由度ui，仅保留必要的接口变量ub，例如，用于组装简化的组件模型。因此，整个系统可以分为内部自由度ui∈Rni和边界自由度ub∈Rnb，如图所示[8] (5) Mii Mib Mbi Mbb u?iu?b + Kii Kib Kbi Kbb ui ub = f ifb，其中ni表示内部自由度的数量，nb表示边界自由度的数量，n=ni+nb。接下来，采用分离静态和动态组件的方法来减少内部自由度。这种方法将在本节后面进一步详细说明。因此，以下原则适用于内部自由度(6) ui = ui,stat + ui,dyn。在大多数工程应用中，通常足够可靠地近似静态响应。因此，忽略方程(5)中概述的惯性力或方程(6)中描述的动态组件。这导致结构的内部自由度ui被静态地凝聚到子结构的边界自由度ub。该方法的命名来源于这一原则[9]。因此，内部自由度可以表示为(7) ui = Kii?1(fi?Kibub)。将方程(7)代入方程(5)的第二行，得到简化后的方程组 Kbbub + Kbi Kii?1(fi?Kibub) = fb(Kbb?Kbi Kii?1Kib) ub = fb?Kbi Kii?1fi(8) K?ibub = f?b。在方程中，K?ib表示由Schur补数表示的凝聚刚度矩阵[47]。它表示内部自由度ui和边界自由度ub之间的耦合。矩阵Kii?1的逆表示内部自由度的灵活性。因此，变换矩阵T可以指定为：(9) uiub = Tub。通过这种方式，原始自由度集被简化为边界自由度集，假设任何受外部载荷影响的自由度都被视为边界自由度[48]。因此，内部自由度不受外部载荷的影响，fi=0[26]。因此，边界自由度影响内部自由度。这阐明了方程(6)中该方法的动机。根据这种方法，内部自由度ui可以在接口处通过静态响应的叠加来近似，该静态响应由弹簧力fb,S=Kibub和弹性特征模式组成，表示为惯性力fb,I=Mibu?b[49]。这一方面将在第5.1节中再次讨论。因此，内部自由度的静态解可以表示为(10) ui,stat = ?Kii?1Kibub = Φibub。在上述方程中，项Φib=?Kii?1Kib表示静态凝聚矩阵[50]。因此，变换矩阵对应于接口约束模式[10] T = ΦC (11) u = uiub = ui,stat ub = Tub = ΦCub = Φib Ibbub = ?Kii?1Kib Ibbub。在方程(11)中，接口约束模式ΦC∈Rn×nb表示子结构内部的静态变形。这些约束模式反映了子系统对接口ub=Ibb处单位位移的静态响应。因此，静态凝聚矩阵Φib表示物理位移，不应被视为传统的正常模式。应用这种变换后，得到简化系统的形式(12) M?u?b + K?ub = f?b，代入以下替换(13) M?=TTM = Mbb?Mbi Kii?1Kib?Kbi Kii?1Mib + Kbi Kii?1Mii Kii?1Kib K?=TTKT = Kbb?Kbi Kii?1Kib f?b=TTf=fb?Kbi Kii?1fi。简化运动方程表明，所有物理上重要的自由度（定义为边界位移）在简化表示中作为独立的广义自由度得以保持。在FE模拟中，这个概念被称为超元素[44]。然而，需要注意的是，Guyan简化方法只对动态问题提供了粗略的近似，因为它在简化过程中忽略了惯性力。因此，静态凝聚的准确性对于动态情况来说是不够的[5]。因此，与完整模型相比，特征值通常被高估[10]。已经开发了几种方法来解决这个问题并考虑惯性影响的缺失。在这方面，O’Callahan [51]最初提出的改进简化系统方法（IRS）通过假设系统动态可以近似为静态变形，代表了Guyan简化技术的准静态扩展。基本概念是通过在变换矩阵中包含被消除自由度的惯性项作为近似的伪静态力来最小化静态简化中的误差。基于这项研究，Gordis [52] 在1992年证明IRS变换对应于动态刚度的二项式级数展开的第二项。然而，这一数学基础揭示了鲁棒性的一个关键限制。只有当激励频率远低于省略的结构组件的特征频率（称为从属特征频率）时，级数展开才能可靠地收敛。变换矩阵与频率无关，允许使用恒定的简化质量和刚度矩阵。为了克服这些限制，Leung [53] 提出了一种通过沿频率轴迭代移动开发频率ωp来近似简化矩阵特征值的方法。这种方法阐明了稍后将讨论的准静态模式，称为移位模式[26]，[48]，通常被称为迭代IRS或迭代动态凝聚[54]。在此基础上，Friswell等人[55]通过将IRS与动态简化技术相结合，提高了方法的准确性，从而实现了动态IRS。此过程使用改进的简化模型循环更新变换矩阵。为了进一步扩展该方法对大型复杂系统的适用性，Kim等人[56]将IRS方法集成到了自由界面子结构框架中。在这种框架中，有限元子结构分别使用IRS进行简化，然后通过拉格朗日乘数进行耦合。这使得并行计算变得高效，并解决了复杂界面和非协调网格带来的挑战。虽然IRS旨在通过迭代变体将惯性效应整合到常数矩阵中，但一致考虑频率依赖性则引出了动态凝聚方法的更广泛类别，这将在下一节中讨论。

2.1.2 动态凝聚
Guyan简化的一个主要优点是其变换过程的直接性。然而，这种简单性是以动态应用中精度降低为代价的。IRS通过利用前一次迭代中扩展频率ωp下的整个简化模型的特征值和特征向量来克服这一限制。这样就得到了一组完整模态的单一、与频率无关的变换矩阵。因此，Friswell方法将质量分布在多个模态上，并通过全局优化选定的模态子空间内的质量分布来生成线性模型。为了解决这一限制，Kidder[57]和Leung[53]在他们的迭代解中直接将特定扩展频率纳入变换矩阵中，从而为每个特征值生成一个与频率相关的变换。这种方法确保了在该频率下的局部数学精度。这种技术通常被称为动态凝聚。这种方法假设系统受到谐波激励，并且没有外力作用于其内部自由度。这一假设使他们能够以如下形式在频域中表示运动方程：
Z(ω)u?(ω)=f?(ω)，其中ω∈]?∞,∞[。
在这个方程中，动态刚度由Z(ω)=K?ω2M表示。变量u?代表傅里叶变换后的位移幅度。基于这种关系，Guyan方法在选定的频率ωp下应用。因此，内部自由度被确定为：
u?i(ωp)=?Zii?1(ωp)Zib(ωp)u?b(ωp)=ΦC,QSu?b(ωp)。
变量ΦC,QS代表准静态约束模态。这些模态通过考虑结构在指定频率ωp附近的动态行为的频率依赖性来扩展界面约束模态ΦC的概念[48]。将方程(15)代入方程(14)得到以下表达式：
Zbb?ZbiZii?1Zibu?b=f?b(16)
Z?bbu?b=f?b。
因此，可以建立一个类似于方程(11)的变换矩阵T，其形式为：
u?iu?b=Tu?b=ΦC,QSu?b=Zii?1ZibIbbu?b。
通过从左侧预乘方程(16)的T矩阵的转置来推导运动方程。因此，得到的动态凝聚公式为：
?Z?u?b=f?b，
其中简化的动态刚度矩阵为Z?=TTZT，简化的外力向量为f?b=TTf?b。此外，van der Valk[43]、[58]指出，在凝聚过程中考虑ωp处的动态刚度，可以计算出在ω=ωp时的子结构的特定行为，而不是使用在ω=0时通过Guyan简化得到的静态刚度矩阵。有关物理域中的更详细解释，请参考参考文献[44]、[55]。简化通常在扩展频率附近产生良好的结果。其他方法更适合更广泛的频率范围[53]。
系统等效简化扩展过程（SEREP）是一种更先进的技术，它能更好地考虑动态行为。SEREP由Kammer[59]和O’Callahan[51]引入，它在模态域中定义，并结合了Guyan简化和模态截断的优点。该扩展方法的基本概念是创建一个等效模型，该模型结合了所谓的父模型和覆盖模型。模型的数据可以是完全数值的、实验的，或者是测量和模拟的结合。这导致了一个混合模型，将稀疏叠加模型的动态特性扩展到父模型的密集自由度集。因此，例如，可以根据传感器的平移加速度测量来确定界面旋转[37]。已经证明，迭代IRS可以单调收敛到SEREP方法[5]。Thibault等人[60]在这种背景下开发了关键不准确节点组的变异性改进（VIKING）方法，有效减少了实验数据中的噪声。SEREP的一个扩展是系统等效模型混合（SEMM）技术，由Klaassen等人[12]、[13]引入。这种方法通过整合相同结构的等效模型来创建一个混合动态模型。该方法的主要目的是应用动态子结构技术来增强稀疏覆盖模型的动态特性，从而将其扩展到父模型的密集自由度空间。基于模态的系统等效模型混合（M-SEMM）由Poga?ar等人[61]引入，它重新制定了原始的SEMM方法。主要区别在于M-SEMM是按模态而不是按频率线进行计算。这有效地消除了混合模型公式中经常出现的非物理峰值。Cepon等人[62]从数学上证明了在某些条件下M-SEMM与已建立的SEREP方法是等价的，从而强调了其作为SEREP框架的泛化地位。M-SEMM特别适用于具有高模态密度和有限传感器数量的结构建模。与SEREP不同，它可以高效地处理欠定问题，用显著更少的测量点达到可比甚至更高的精度。因此，SEREP通常通过叠加其他模型来开发混合模型，而动态子结构采用模块化方法将各种（简化的）子结构集成到更大的系统中。更多信息请参阅[63]、[64]、[65]。
为了确保完整性，本节提到了广义模态简化（GMR），它有效地结合了静态凝聚和动态子结构的优点[66]。这是通过利用Guyan简化中的静态模态和从变换矩阵T=[ΦCΦN]中导出的内部自由度的特征值问题得到的正常模态ΦN来实现的，类似于Hurty/Craig–Bampton方法[11]。将这种方法与其他简化方法结合并考虑动态效应的可能性赋予了该技术“广义”的特性[11]、[66]。在GMR+扩展中，使用动态凝聚代替Guyan简化来考虑惯性效应。此外，还可以采用其他动态子结构方法来提高效率[66]。更多详细信息可以在[67]、[68]中找到。因此，下一节将提供对动态子结构的更详细探讨。

2.2 总结
本节将凝聚方法分类为基于线性投影的模型简化技术，包括Krylov子空间和平衡截断。根据文献，Krylov子空间方法主要适用于具有许多自由度的大规模结构模型，包括复杂结构的FE模型。此外，Krylov子空间方法非常适合优化和分析结构系统的敏感性，其中计算效率至关重要。
相比之下，平衡截断方法适用于需要准确表示系统可控性和可观测性的结构模型，例如在主动振动控制或结构健康监测的应用中，其中降阶模型必须准确表示系统的动态特性。此外，对于结构-声学耦合系统来说，它也有优势，可以有效地描述结构和声学域之间的相互作用。
与Krylov子空间方法和平衡截断相比，涉及简化为所谓超元素的凝聚方法特别适用于由许多具有明显界面的互连子组件组成的模块化结构动态系统。例如，车辆悬架、风力涡轮机和航天器结构。这使得可以在不同的开发阶段或不同的开发部门独立简化子区域。此外，动态凝聚方法通过保持原始物理界面来简化组装。它们也适用于结构优化和设计变体，其中凝聚公式可以实现大型系统的有效模型简化和分析。因此，凝聚公式的模块化方面使得可以分割复杂系统，允许独立简化子域，并支持模块化系统设计，使其特别适合混合建模应用。附录中提供了这些方法在处理、精度和计算工作量方面的更详细比较。
除了对模型阶数简化方法的全局分类外，凝聚技术还可以分为静态凝聚和动态凝聚。最著名的静态方法之一是Guyan简化。
在本文中，动态方法进一步分为通用模型简化（GMR）、系统等效简化扩展过程（SEREP）、改进的简化系统方法（IRS）和动态子结构（DS）。GMR作为模型阶数简化的通用框架，可以应用于各种系统。它提供了一种系统化的方法来降低系统的阶数，但计算量可能很大，特别是对于大规模模型。
SEREP方法通过叠加相同结构的数值模型和实验模型来创建混合模型。这种方法能够降低模型阶数并提高模型质量。IRS是一种迭代简化方法，可以提高降阶模型的精度。然而，其迭代性质可能使其不太适合实时混合建模，因为在实时混合建模中计算效率至关重要。
动态子结构方法，如组件模态合成和基于频率的子结构，将系统划分为可以独立简化的子结构[16]、[69]。这些方法在精度和计算效率之间取得了平衡，使其适合（实时）混合建模。

3. 动态子结构
动态子结构的基本概念类似于有限元方法，它涉及将系统划分为更小、更易于管理的子系统。这种方法可以显著降低复杂性和计算工作量[70]。此外，分析各个子结构有助于更好地理解它们的局部动态行为及其对全局系统的影响[26]。这种集中的分析有助于优化特定组件，并帮助在子结构级别识别问题[71]、[72]。此外，可以从这些子结构获得的实验数据可以与数值模型集成[73]。本节概述了不同领域中的各种数学表示方法。结构遵循图2中所示的分类，如参考文献[2]中所述。方程(1)是为物理域内的单个子结构推导的，使得各项的物理解释更加直接。此外，还讨论了通过组件模态合成在模态域中的动态子结构。这种方法在商业软件中与FE模拟一起广泛使用，成为各种应用的标准实践。然而，实际结构及其相关测量通常带有许多不确定性，这些在数值模型中难以准确表示，如参考文献[7]、[74]、[75]中所述。基于频率的子结构的实验方法可能在解决这些挑战方面更有效。因此，本节强调了单个子结构在频率和模态域中的基本关系。此外，它还简要概述了时间和状态空间子结构的最新进展。第二约束应用了牛顿第三定律，确保在结果接触自由度（DoFs）处的界面力根据作用-反作用原理达到平衡。布尔局部化矩阵L∈Rn×nb过滤与界面相关的自由度，并在两侧进行平衡。此外，它还建立了子结构的局部自由度与全局自由度之间的关系[10]。因此，局部化矩阵L也被称为连接矩阵。因此，方程（19）至（21）使得各个子系统的组合成为可能。然而，这种方法在FE模型的数值处理过程中往往会导致大量的方程组，或者使实验数据的实现变得复杂[10]，[43]。另外，这些方程假设子结构之间的界面是理想的。在这方面，Allen等人[77]展示了当使用分析模型时，传统的耦合方法可能会引入显著的误差，特别是如果界面表示不一致的情况下。因此，第4节将重点讨论这一方面，并提出针对不同实际界面的各种方法。

3.2 频域
如参考文献[78]、[79]、[80]中提到的，假设激励为谐波，并且质量和刚度矩阵为实数且对称，方程（19）可以使用指数方法u(t)=Re{u?ejωt}转换为频域。为了提高可读性，后续的方程省略了（角度）频率依赖性：
(22) Z(s)u?(s)=f?(s)+g?(s)?u?(s)=Y(s)f?(s)+g?(s)
(23) B(s)u?(s)=0
(24) L(s)Tg?(s)=0
在上述方程中，力f?和g?以及位移u?上的横线表示它们代表傅里叶变换的复振幅。此外，Z(s)(ω)=K(s)+jωC(s)?ω2M(s)表示动态刚度矩阵。通过求逆动态刚度Y(s)=Z(s)?1，可以推导出运动方程的导纳形式，如方程（22）所示。频域描述对于实验分析特别有用，因为频率响应函数（FRFs）可以直接从测量数据中确定。

3.3 模态域
与频域表示相比，也可以将方程（19）转换为模态域。模态降维的思想是使用一组较小的正常模式来描述系统的动态行为[14]，[81]。这些正常模式通常代表无阻尼动态系统的自由、周期性响应。这些模式可以分为线性和非线性正常模式。在非线性情况下，非线性正常模式（NNM）的模态频率和模态形状取决于振幅[10]，[38]，[82]，[83]。因此，假设正常模式能够充分代表子结构的动态特性[44]。在线性情况下，运动方程在模态空间中是解耦的，系统的响应可以由系统特征模式的线性组合唯一表示。这个概念也被称为模态展开定理[4]，数学上可以表示为：
(25) u?(s)?Φ1(s)η1(s)+?+Φnη(s)
(26) η(s)∈Rn
(27) nη(s)表示子结构s的模态坐标总数
(28) Φ(s)∈?nη×nη表示包含正常模式Φk(s)作为列的模态矩阵，这些基向量构成了模态空间。这些基向量也称为分量模式[18]。
此外，重要的是要提到，方程（25）代表了一种纯粹的代数投影方法，用于说明状态空间的降维。转换矩阵的唯一要求是其向量必须是线性独立的，并且能够描述系统内组分的变形[10]，[36]。子结构之间的物理连接通过应用边界条件在单独的步骤中完成。因此，在动态子结构化的背景下，根据用于计算特征值的界面处的边界条件，可以将模式分类为固定、自由、混合或加载模式。第4.2节将详细介绍对边界的适应。这个过程不会影响展开定理本身，它只是根据基向量的选择修改矩阵内容。通过使用兼容性方程和平衡条件，组装确保组件一起移动[85]。方程（25）并不正式描述模型阶数的降低。然而，通常需要大量的模式来通过模态叠加表示外部载荷引起的位移。因此，必须相应地限制这些模式。这种方法被称为模态截断或模态位移方法（MDM）。结果，位移被近似为按频率递增顺序排列的模态形状之和，因为这些模式通常在表征系统行为中起着重要作用：
(26) u?(s)?∑k=1n?η(s)Φk(s)ηk(s)+∑k=n?η(s)+1
(27) 其中最后一个术语表示使用n?η(s)?nη(s)与模型降维相关的截断模式，n?η(s)∈nη(s)表示正常模式的一个子集。模态位移方法的进一步扩展和替代公式，如模态加速度方法（MAM）和模态截断增强，在参考文献[44]、[68]、[86]、[87]中有更详细的探讨。因此，可以将运动方程（19）用T=Φ和q=η转换为模态域，表示为物理描述格式：
(27) u?(s)?Φ(s)η(s)
(28) Mη(s)η?(s)+Cη(s)η?(s)+Kη(s)η(s)=fη(s)+gη(s)
(29) B(s)Φ(s)η(s)=Bη(s)η(s)=0
(30) Lη(s)Tgη(s)=0
(31) 这个方程中的术语包括正交化（简化）的模态质量Mη(s)、阻尼Cη(s)、刚度矩阵Kη(s)，以及每个子结构s的外部模态载荷fη(s)和模态反作用力gη(s)，定义如下：
(32) Mη(s)=Φ(s)TM(s)
(33) Cη(s)=Φ(s)TC(s)
(34) Kη(s)=Φ(s)TK(s)
(35) Φ(s)fη(s)=Φ(s)Tf?
(36) gη(s)=Φ(s)Tg?
需要注意的是，方程（30）中的阻尼矩阵对角化仅适用于比例和粘性阻尼[19]。此外，与物理域或频域中的描述不同，方程（28）中的兼容性矩阵Bη在模态域中不是布尔型的。此外，第6.1节提供了关于模态域中局部化矩阵Lη计算的更详细解释。非布尔矩阵的其他应用包括铰链或多点连接。一个重要的考虑因素是归一化，它使得实验模式和数值模式之间的比较成为可能。不同的归一化方法可以产生相同的自然频率，但由于不同的缩放因子而产生不同的模态形状。它还增强了结果的物理解释。例如，归一化到单位模态质量意味着模态形状的分量表示结构不同部分在相应自然频率下被激励时的相对位移[88]。正交化和归一化的术语可以通过从左侧乘以质量矩阵的逆得到：
(31) M?η(s)=Mη(s)?1
(32) Mη(s)=I(s)=?010?(s)
(33) C?η(s)=Mη(s)?1Cη(s)=2Δ(s)=?02δk0?(s)
(34) K?η(s)=Mη(s)?1Kη(s)=Ω2
(35) (s)=?0ωk20?(s)
(36) 其中k=1,…,n?η(s)。
此外，模态分析确定了将物理域转换为模态域所需的特征值和特征向量。存在多种方法，如多参考最小二乘复频率（pLSCF）估计器[20]，用于基于实验频率响应函数估计模态模型。关于这些方法的详细讨论可以在参考文献[6]、[88]、[90]中找到。相比之下，从模态模型派生的FRFs可以通过FRF合成计算，从而促进不同表示之间的转换。更多信息可以从参考文献[36]、[84]、[90]、[91]中获得。

如第2节开头所提到的，本综述假设方程（1）、（19）中的模态阻尼，以简化模态空间中运动方程的解耦，如方程（27）所示。这种方法允许通过组合质量和刚度矩阵来确定无阻尼系统的真实特征模式。然而，这个假设对于应用基于线性投影的模型阶数降低方法并不是必需的。因此，以下段落将简要概述关于非比例阻尼系统之前的工作。在这方面，Craig和Ni[92]为解决非经典阻尼问题奠定了基础，他们将组件模态合成扩展到包括状态空间公式。这使得可以纳入违反比例阻尼假设的一般粘性阻尼矩阵。Adhikari[93]为基于卷积积分的一般非粘性阻尼模型提供了理论基础。它通过区分复杂弹性模式和非振荡非粘性模式来扩展经典模态分析。这种区分有助于消除与状态空间公式相关的计算挑战和物理洞察力的损失。基于迭代方法，Qu[5]改进了动态凝聚技术，以有效处理非经典阻尼系统，确保降维过程准确收敛到模态特征值。

此外，Gruber和Rixen[49]以及后来的Gruber[44]对CMS方法进行了全面评估，表明标准方法通常难以处理任意粘性阻尼，除非降维基础直接包含非对角线阻尼耦合项。Allemang和Avitabile[6]强调了阻尼的复杂性，指出材料的滞后和松弛需要高级流变模型，如分数阶导数，而不是简单的粘性近似来准确表示能量耗散。此外，为了处理自由界面方法中的截断误差，Ding等人[94]通过包括更高阶的残差附加模式来提高准确性，这些模式有效地捕捉了被忽略的阻尼模式的准静态贡献。Sreekumar等人[31]使用Krylov子空间方法有效地减少了振动-声学系统。他们的研究表明，当阻尼在频谱上变化显著时，矩匹配技术比模态方法收敛得更快。最近，Berthet等人[34]开发了一种适当的正交分解（POD）方法用于子结构化，该方法明确包含了频率依赖的粘弹性材料定律。这一进展使得在不需要过多计算资源的情况下准确建模滞后行为成为可能。

为了完整性，以下提供了与时域和状态空间建模相关的工作的简要概述。Van der Valk[43]展示了线性基础模型可以作为基于时间的子结构化（IBS）中的脉冲响应函数。这种集成产生了精确耦合的响应，便于准确考虑线性组件的动态，而无需近似。Trainotti等人[95]得出结论，IBS在预测冲击响应方面比基于频率的子结构化更有效。这种优势源于IBS能够避免傅里叶变换的伪影，如强制周期化。然而，作者强调，尽管IBS和FBS在理论上等效，但在稳定性和准确性方面会产生不同的结果。此外，Zobel等人[96]指出IRF估计的质量至关重要。通过限制频率内容，特别是通过低通滤波和下采样技术，可以减轻实验IBS应用的不稳定性。

除了通常依赖于质量、阻尼和刚度矩阵的时域方法外，状态空间子结构化（SSS）为整合实验识别的模型提供了一种有益的方法。这种方法强调系统的输入和输出行为，使其适用于分析时不变或非比例阻尼系统。Su和Juang[97]通过强制接口兼容性和平衡提出了子结构状态空间模型的直接合成。他们指出，实现精确耦合需要在所有接口自由度处进行共位感测和驱动。在将这种方法适应于实验数据时，Sj?vall和Abrahamsson[98]建议将识别的模型转换为特定的耦合形式以施加约束。他们认为模型阶数选择是准确性的关键因素。为了提高效率，Ferranti和Rolain[99]采用参数化宏建模来近似系统矩阵，而Kammermeier等人[35]评估了各种混合组装技术。他们强调状态空间方法便于时域分析，但需要稳健的识别过程。因此，Gibanica和Abrahamsson[100]专注于识别物理上一致的模型，以避免出现虚假的非物理状态。Peri[101]将这些技术与组件模态合成进行了比较，并得出结论，尽管状态空间方法有效地捕获了输入-输出行为，但它们缺乏模态方法的物理解释能力。最近，Dias等人[102]在状态空间域内引入了虚拟点变换，以准确定义界面运动学。他们随后扩展了拉格朗日乘数状态空间子结构（LM-SSS）框架，通过兼容性松弛来包含粘弹性连接元素。此外，他们开发了后处理程序以确保组装系统的稳定性[103]，[104]。更多信息，请参阅参考文献[2]、[10]。

4. 界面建模
根据前一节的关系，可以通过第6节中的方法正式组装子结构。如后文所示，只有在理想条件下才能获得满意的结果。有效的界面建模被认为是动态子结构化过程中的一个关键且具有挑战性的方面。这些界面的定义不足可能导致虚假峰值[10]、界面处的硬化效应[105]或过拟合结果[106]，[107]。强调这一主题的重要性，本节探讨了几种描述不同类型实际接头的方法。正如引言中提到的，本文提出了一个扩展的接口建模方法分类，强调了与混合建模相关的关键概念。本章的结构对应于图3中概述的分类。因此，一个真实的接口通常可以分为两组[2]。第一组包括连续的线或表面连接，例如法兰或粘合部件。第二组由通过离散接头连接的结构组成。这些单点连接（SPCs）通常是螺栓或衬套。接口的数值和实验描述仍然是一个活跃的研究领域[108]、[109]、[110]。然而，已经开发了许多创新的离散接口建模方法，将在下面详细讨论。下载：下载高分辨率图像（376KB）下载：下载全尺寸图像图3. 通过基于兼容性关系对接口建模方法进行分类，这些关系可以是强兼容或弱兼容的。

4.1 接口简化
第3.1节表明，为了有效地耦合不同的子结构，必须在接口处满足方程（20）中概述的兼容性条件和方程（21）中的力平衡条件。然而，处理阶段是灵活的，可以在局部组件级别[70]、[111]或全局系统级别[1]、[19]进行简化。在局部（级别）接口简化（LIR）中，每个子结构的接口都是单独简化的。相比之下，全局（级别）接口简化（GIR）涉及在执行简化之前组装整个系统。本节重点介绍局部接口简化。这种方法的一个优点是，对于任何局部设计变更，只需要更新受影响组件的简化基础。此外，计算成本主要受最大单个组件的接口影响[19]。
此外，存在许多用于建模各种接口的方法。例如，焊接接头代表一种刚性、连续的连接，在这种连接中，组件不会发生相对运动。在这种情况下，假设强兼容性可以准确反映实际情况[36]。相反，在橡胶支架等连接中，允许连接点之间的相对位移是必要的。在这种情况下，刚性耦合会导致支架刚度过大，这是不希望且不现实的[112]。此外，在实验性子结构化中放宽兼容性有助于解决过确定性和测量噪声等问题[20]。有关接口简化方法的各种应用的更多信息可以在附录中找到。因此，如图3所示，根据它们是强兼容还是弱兼容来对简化方法进行分类是合适的。然而，这里介绍的所有方法都包括三个步骤：
1. 定义接口以及相应的边界自由度ub2。
2. 设置变换矩阵T。
3. 分别计算简化后的（子）系统矩阵M、C、K和Z。
下面根据选定的简化技术解释各个计算步骤。

4.2 基于强兼容性的接口简化
这里介绍的方法通常在CMS框架内使用，并利用第3.3节中描述的模态子结构化方法。如前所述，方程（25）最初是通用的，必须根据特定的边界条件进行调整。因此，根据不同的边界类型，将这些方法区分为固定[81]、[113]、自由[114]、[115]和混合[58]、[116]接口简化方法。附录中提供了包括这些方法之间的准确性和计算效率在内的额外比较。在这个框架中，Guyan简化与方程（26）中描述的截断模态展开相结合。假设方程（6）中的动态组件udyn可以使用一组简化的接口模态来表示接口处的自由度[68]。因此，在线性情况下有21 (32)u(s)≈ustat(s)+udyn(s)=ustat(s)+∑k=1n?η(s)Φk(s)ηk(s)。因此，变形由描述与相邻结构相互作用的静态模态和考虑组件动态行为的正常模态的组合决定。这种方法本质上是通用的，意味着只有变换矩阵T的模态基础会随边界条件而变化。因此，方程（32）中描述的方法将适用于定义固定边界和自由边界方法。

4.2.1 固定接口方法
边界条件的第一种变体涉及固定所有自由度。这种方法导致了一种众所周知的简化方法，该方法由Hurty[50]首次提出，后来在20世纪60年代由Craig和Bampton[113]进一步发展，通常称为Hurty/Craig–Bampton方法（HCB）。再次使用Guyan的内部自由度来计算变换矩阵T。假设没有外部载荷作用于内部自由度，因此内部位移的静态部分ui,stat可以直接从方程（10）得出（33）ui,stat(s)=?Kii(s)?1Kib(s)ub(s)=Φib(s)ub(s)。
约束模态ΦC,(s)=[Φib(s)Ibb]T在子结构之间施加强兼容性条件。通过解决所有内部自由度ni(s)的内部特征值问题来获得固定正常模态ΦN,FI,(s)，同时所有边界自由度都被约束。固定接口模态有效地捕捉了结构的振动行为，并准确表示其内部动态[119]。通过截断（固定）正常模态的数量n?ηFI,(s)?ni(s)，可以降低模型阶数。因此，内部自由度ui(s)可以表示为（34）ui(s)?ui,stat(s)+ui,dyn(s)??Kii(s)?1Kib(s)ub(s)+∑k=1n?ηFI,(s)Φk(s)ηk(s)?Φib(s)ub(s)+ΦiηN,FI,(s)η(s)。因此，变换矩阵T表示为（35）ui(s)ub(s)?ΦN,FI,(s)ΦC,(s)η(s)ub(s)?ΦiηN,FI,(s)Φib(s)0bη(s)Ibb(s)η(s)ub(s)和?THCB,(s)qHCB,(s)。在方程（35）中，矩阵0iη(s)表示一个nb(s)×n?ηFI,(s)的零矩阵，矩阵Ibb(s)表示一个nb(s)×nb(s)的单位矩阵。矩阵Φib(s)表示ni(s)×nb(s)的静态凝聚矩阵。与固定接口正常模态相关的ni(s)×n?ηFI,(s)矩阵对应于矩阵ΦiηN,FI,(s)。因此，模态参数向量η(s)的大小为n?ηFI,(s)×1，这对应于固定接口正常模态的幅度[49]。在第三步中，将方程（35）中的简化矩阵应用于运动方程（19）如下（36）M?HCB,(s)q?HCB,(s)+K?HCB,(s)qHCB,(s)=f?η(s)+g?η(s)，其中M?HCB,(s)=THCB,(s)TM?η(s)THCB,(s)=Iii(s)M?ib(s)M?bi(s)M?bb(s)K?HCB,(s)=THCB,(s)TK?η(s)THCB,(s)=Ω(s)200K?bb(s)f?η(s)=THCB,(s)Tfη(s)g?η(s)=THCB,(s)Tgη(s)和M?bb(s)=M?GuyanM?ib(s)=ΦN,FI,(s)TMib(s)?Mii(s)Kii(s)?1Kib(s)ΦN,FI,(s)TM?ib(s)=M?bi(s)T（37）K?bb(s)=K?Guyan。方程（37）中的矩阵Iii(s)是根据方程（31）和质量矩阵用固定正常模态Mη,ii(s)=ΦN,FI,(s)TMii(s)ΦN,FI,(s)正交化后得到的。此外，项Ω2,(s)表示固定接口正常模态的质量归一化对角矩阵，包括剩余的特征值ωk2,(s)，其中k=1,…,n?ηFI,(s)。因此，简化系统的大小为nHCB,(s)=nb(s)+n?ηFI,(s)。相应的边界自由度数量nb(s)=n(s)?nλ(s)和n?ηFI,(s)，即子结构中保留的（固定）模态的数量。从方程（37）可以看出，由Guyan简化得出的关于接口自由度的静态凝聚体现在M?bb(s)和K?bb(s)中。此外，矩阵M?ib(s)考虑了与正常模态相关的惯性。
Hurty/Craig–Bampton方法因其简单性和在各种应用中的多功能性而广受欢迎[120]、[121]。然而，这种方法也有一些缺点。特别是在具有复杂接口和具有挑战性接触条件的情况下，随着细网格化的增加，接口自由度的数量可能会显著增加。这导致方程系统过大，从而产生高计算成本[16]、[19]。因此，随着边界自由度数量的增加，Hurty/Craig–Bampton简化方法的效率会降低[1]、[122]。近年来已经开发了许多对该方法的扩展，以解决这些限制。例如，Mahdiabadi[86]提出了一种在接口处纳入非线性的方法，从而提高了模型的准确性。此外，Bondsman等人[123]引入了一个额外的耦合项，以更好地考虑截断的内部和接口动态之间的相互作用。Ahn等人[124]提出了一种改进方法，增强了接口运动特性的表示，并改善了子结构之间的振动能量传递。更多进展可以在研究[43]、[125]、[126]中找到。
到目前为止介绍的HCB方法保留了接口自由度，使得合规接口之间可以直接耦合。因此，这个过程描述的是接口建模而不是接口简化。然而，由于不同部门之间的并行开发或对组件模型的不同要求，许多实际应用可能不满足这一条件。此外，HCB方法允许在任意位置分离结构，例如沿着长焊接接头，而不仅限于离散连接点。虽然这种灵活性是有利的，但它也可能增加边界的自由度。因此，由于与接口自由度相关的众多约束模态ΦC,(s)，HCB模型可能会变得很大。因此，在非合规接口中，如果子结构的边界节点数量不等nbA≠nbB，则无法定义布尔矩阵B，如方程（20）所示。为了解决这个问题，通过引入一个配置或插值矩阵Φaug来增强兼容性条件，以几何方式表示子结构之间的依赖性[127]。因此，兼容性条件扩展如下（38）uA?ΦauguB=0。
在下一步中，该过程包括一个额外的模态投影，表示为u=Φq。这种投影允许将增强的兼容性关系表示为模态坐标（39）ΦAqA?ΦaugΦBqB=0。结构A和B的模态可以组织在一个修改后的约束矩阵B?η=[ΦA?ΦaugΦB]中，该矩阵描述了耦合的方程系统。因此，必须在这个子空间内满足关系B?ηq=0。由于耦合发生在模态空间中，模式截断可能会导致物理差异。因此，物理兼容性通常以最小二乘的意义建立，这在这种情况下被称为模态兼容性[22] [61]。这个框架导致（准）强兼容性条件qA=qB，在模态坐标中表示。这个条件确保了子结构之间简化模态坐标的兼容性，而不是在物理自由度中表示它们。为了实现模态的数学对齐并确保矩阵维度的兼容性，必须将模态投影到一个共同的向量空间中。这个过程涉及定义一个主-从或参考场关系。通常，较粗的网格结构作为主网格，对应于下采样过程。这种选择限制了细网格子结构的运动并限制了其变形，导致接口更加刚性。相反，将较细的网格指定为主网格可能会在该网格中引入未连接的自由度，可能导致数值问题[3]、[128]。因此，表示为ΦA=ΦaugΦB的关系便于从从属侧（例如，子结构B）到主侧（例如，子结构A）的模态投影[127]。这里概述的过程通常适用于非合规接口。为了将这种方法适应于HCB技术，Castanier等人[81]为此应用引入了特征约束模态（CC）Φ?C。这个概念最初是为系统级简化定义的，即所谓的系统级特征约束模态（S-CC）[74]、[81]、[127]，其中模态是基于组装的系统计算的。他们引入了一个与边界自由度相关的坐标的额外变换，定义为（40）ub=Φ?Cqb。在方程（40）中，项qb表示广义的简化边界自由度。CC模态的计算是通过解决边界自由度的第二个特征值问题来实现的。向局部级别（L-CC）的过渡首先由Hong等人[111]提出，后来由Bui等人[16]提出，他们提供了边界自由度的模态投影的定义。在这种情况下，也有混合技术（H-CC）[129]可用。例如，在商业工具Abaqus中实现了这种技术，称为自动化多级子结构化（AMLS或AMS）方法[130]、[131]、[132]。AMLS自动且递归地将FE模型划分为多个级别，有效地管理大型模型。最近的算法将AMLS特征值解与子结构生成相结合，消除了存储所有子结构模态的需要。这显著减少了计算时间和内存使用[130]。
特征约束模态Φ?C是为每个组件单独确定的，因为它们最初彼此不了解。一旦确定，它们就被组合到增强矩阵Φaug中。这个过程通常会导致插值矩阵中存在线性相关的行或列，因为这些向量通常代表相似的物理变形。为了解决这种线性依赖性，采用奇异值分解（SVD）作为标准技术来找到一个正交的共同基础。特征约束模态在系统或局部级别显著减少了物理自由度，用较少数量的模态（边界）坐标替换它们。因此，这个过程代表了接口的简化。
Krattiger等人[19]为Hurty/Craig–Bampton模型提供了关于接口简化方法的额外见解。此外，现代的有限元（FE）软件提供了一系列线性运动学模型，这些模型可以将系统简化为单个连接点。这些模型对于许多工程应用来说已经足够准确，因此它们在混合建模中特别有用。更详细的讨论见第4.3.2.4.2节。自由界面方法：与其固定边界自由度，不如让它们保持自由。在下文中，方程（32）被调整为适用于自由边界条件的形式，类似于固定边界变体。在无约束结构的情况下，会出现刚体模式ΦR。这些模式对应于方程（32）的静态部分。此外，存在自由界面法向模式ΦN,FR，而不是固定模式ΦN,FI。因此，可以制定以下形式的位移方法（41）：u(s) ? u_stat(s) + ∑k=1^n?ηFR,(s)Φk(s)ηk(s) ? ΦR,(s)ηr(s) + ΦN,FR,(s)η(s) ? ΦR,(s)ΦN,FR,(s)ηr(s)η(s) ? TGH,(s)qGH,(s)。这个变换矩阵被称为Goldman–Hou基[133]。在这个方程中，让ΦR,(s)表示子结构的nr(s)=1,…,6个刚体模式。子结构的相应刚体坐标由ηr(s)表示。矩阵ΦN,FR与自由界面法向模式的数量n?η?相关。与HCB方法不同，整个子结构的特征值问题被用来计算自由界面法向模式。因此，子结构内的所有自由度n(s)都被利用，而不是定义一组特定的内部ui和边界ub自由度。因此，自由界面振动模式能够捕捉（子）系统的完整振动特性，而无需任何边界约束[119]。这是固定边界方法和自由边界方法之间的主要区别，从而显著减少了边界和内部区域的自由度。这可以简化实现，并降低与系统矩阵划分相关的计算成本，特别是在处理实验数据时，区分内部和边界自由度可能具有挑战性[3]、[58]、[134]。然而，方程（41）中概述的自由界面方法在静态意义上并不产生一个完整的系统，导致结果不准确。有几种方法可以解决这个问题。Rubin、MacNeal和Craig–Chang提出的概念在这里根据它们的流行程度进行了概述，以突出它们的相似性。因此，Craig和Chang[135]、[136]使用了额外的附加模式ΦA来克服这个问题。通常，当刚度矩阵K是奇异的时候，即表示缺少边界条件时，会结合附加模式。它们指的是在边界自由度gb=Ibb处施加单位力时产生的位移向量。这些“静态”模式补充了自由界面子结构的法向模式[135]。附加模式结合了由静态变形产生的灵活性。因此，增加了额外的自由度，这与减少自由度的目的相矛盾。因此，必须注意附加自由度的数量。然而，在模态基础上使用残余灵活性附加模式ΦA,RFL可以确保结构在界面自由度处承受单位载荷时经历完整的静态变形。这种方法补偿了组件截断的高阶自由法向模式的静态效应[26]、[36]。因此，改进方程（41）得到了Craig–Chang方法（CCM）的变换矩阵TCCM，对于自由界面的情况分别为（42）? u(s) ? ΦR,(s)ΦN,FR,(s)ΦA,RFL,(s)ηr(s)η(s)gb(s) 和 ? TCCM,(s)qCCM,(s)。需要注意的是，在方程（42）中，广义坐标向量qCCM,(s)包括模态振幅ηr(s)和η(s)，以及连接力gb(s)。因此，Craig–Chang方法特别适合于双重组装，因为它在变换矩阵中明确考虑了耦合力。此外，这种方法通过关系AbTgb = g = ?BTλ与拉格朗日乘数相关，其中Ab(s)是一个布尔定位矩阵，用于从g(s)中过滤掉连接力gb(s)（例如，参见[49]）。关于双重组装的更多细节将在第6节中讨论。为了实现一个更一致的公式，允许原始组装，必须用变换矩阵TCCM,(s)中的边界位移替换界面力。这个过程导致了Ruben方法，该方法基于Martinez等人[136]提出的公式。因此，这种方法也被称为Rubin–Martinez方法。Rubin[115]原始公式的推导可以在参考文献[44]中找到。为了将连接力gb(s)转换为边界位移ub(s)，引入了一个额外的变换矩阵TFF[23]，它保留了其他模态坐标。将矩阵TFF与Craig–Chang变换矩阵相乘，得到Rubin变换矩阵（43）? u(s) ? TCCM,(s)I000I0?KbbF,R,(s)ΦR,(s)?KbbF,R,(s)ΦN,FR,(s)KbbF,R,(s)ηr(s)η(s)ub(s) ? Φ?R,(s)Φ?N,FR,(s)Φ?A,RFL,(s)ηr(s)η(s)ub(s) ? TRM,(s)qRM,(s)。与方程（42）相比，Craig–Chang和Rubin公式是等价的变换。此外，Martinez等人指出，Rubin从方程（43）得到的简化使用了修改后的Goldman–Hou矩阵Φ?GH,(s)，其中包含修改后的自由界面法向模式Φ?N,FR,(s)和修改后的刚体模式Φ?R,(s)，以及修改后的残余柔性附加模式Φ?A,RFL,(s)[44]。与Craig–Chang方法不同，界面自由度在简化模型中被明确包括在内。这种方法便于系统地集成到现有的有限元实现中[136]。因此，首次可以使用实验数据[137]，因为通常在自由边界条件下进行测量更容易。Rubin方法的进一步改进，例如结合几何非线性，在[1]、[134]中进行了讨论。为了获得MacNeal方法，将Craig–Chang变换矩阵应用于方程（19），得到简化的运动方程（45）M?CCM,(s)q?CCM,(s) + K?CCM,(s)qCCM,(s) = TCCM,(s)T(f(s) + g(s))（46）M?CCM,(s) = TCCM,(s)TM(s)TCCM,(s) = I000I000Mbb(s)K?CCM,(s) = TCCM,(s)TK(s)TCCM,(s) = 0000Ω(s)2000GbbF,R,(s)，以及与边界自由度相关的残余（模态）质量矩阵（47）Mbb(s) = ΦA,RFL,(s)TM(s)ΦA,RFL,(s) = Ab(s)GF,R,(s)M(s)GF,R,(s)Ab(s)T和残余（模态）柔性矩阵（48）GbbF,R,(s) = ΦA,RFL,(s)TK(s)ΦA,RFL,(s) = Ab(s)GF,R,(s)G(s)?1GF,R,(s)Ab(s)T = Ab(s)GF,R,(s)GF,R,(s)?1GF,R,(s)Ab(s)T = Ab(s)GF,R,(s)Ab(s)T = KbbF,R,(s)?1（49]、[136]。此外，在推导方程（48）时考虑了几个方面。因此，在理想情况下，对于一个完全固定的结构，没有任何刚体模式，弹性柔性矩阵对应于刚度矩阵的逆G = K?1[138]。在这种情况下，矩阵G也被称为悬臂柔性矩阵[86]、[139]。该矩阵的列表示当在边界自由度施加单位力时发生的静态变形，而所有其他力都设置为零[58]。然而，如果边界条件是自由的或不完整的，刚度矩阵会变得奇异，无法直接求逆。为了解决这个问题，采用了惯性缓解模式ΦA,IR来计算（伪）逆，这过滤掉了会导致刚体运动的力分量[86]。这个过程确定了弹性柔性矩阵GF，它代表了在单位载荷下耦合界面的静态柔性。残余柔性矩阵GF,R表示弹性柔性矩阵GF中的一部分，这部分柔性考虑了被忽略模式的动态，特别是那些其柔性贡献从简化模型中排除的模式。它们用于计算残余柔性附加模式ΦA,RFL,(s)。因此，弹性柔性矩阵描述了整个结构的静态行为，而残余柔性矩阵通过补偿截断模式的缺失柔性来增强简化模型的静态完整性[115]、[140]、[141]。这两个矩阵都是方阵且对称的，意味着AA?1=I和AT=A。与HCB类似，项Ω2,(s)表示包含保留的特征值ωk2,(s)的自由法向模式的对角矩阵。此外，基于约束模式的固定边界条件的模态基础和基于附加模式的自由边界条件的模态基础在接口处的静态变形空间上是相同的[142]。这意味着每种模式类型都可以准确表示在接口施加力或位移时组件的静态响应。这种数学等价性对于确保CMS方法的灵活性和准确性至关重要[59]。MacNeal方法[114]的推导类似于Rubin的方法[24]，假设方程（46）中的残余惯性项可以忽略，即Mbb(s)=0。因此，Craig–Chang方法可以解释为Rubin和MacNeal方法的组合[44]。此外，使用Rubin和MacNeal方法可以获得相同的简化刚度矩阵。然而，Rubin通过结合高阶模式的惯性效应扩展了MacNeal的方法[143]。在现有文献中，MacNeal方法因此被称为一阶近似，如参考文献[144]中所述。这个术语表明只有刚度矩阵被调整以反映残余模式的影响。相比之下，Rubin和Craig–Chang方法代表了二阶近似，其中质量和刚度矩阵被修改以考虑残余模式的影响。更多信息，请参见参考文献[145]。除了固定和自由界面简化之外，还存在所谓的混合或混合方法。例如，Hintz[142]和Herting[146]提出了一种类似于Craig–Chang方法的方法。他们结合了Guyan简化概念和自由界面方法，这需要强兼容性条件。因此，变换矩阵包含了界面约束模式、惯性缓解附加模式以捕捉无约束情况下的刚体行为，以及一组截断的自由界面法向模式。Hintz和Herting方法之间的差异的详细讨论可以在参考文献[44]中找到。此外，Sun等人[15]在组件模态合成的背景下更详细地分析了之前讨论的方法。此外，Voormeeren等人[116]开发了一种混合Craig–Bampton技术，它结合了经典的Craig–Bampton方法和双重Craig–Bampton方法[138]。这种组合使得能够组装具有相反刚度特性的结构。该方法允许工程师根据边界自由度在经典和双重Craig–Bampton方法之间切换。双重Craig–Bampton方法的一个优点是它在“弱”意义上满足了兼容性条件。这些方法的基本概念和各种优点将在下一节中讨论。4.3. 基于弱兼容性的界面简化如第4节开头所述，界面特性仍然是一个活跃的研究领域，主要是由于跨复杂界面的结构耦合的挑战。到目前为止介绍的方法依赖于子结构之间的强兼容性，例如，假设传感器或FE网格理想地共位。此外，Ambrogio和Fregolent[147]以及Voormeeren和Rixen[3]讨论了在使用FBS解耦框架内的界面扩展的不同变体。然而，对真实界面（如螺丝或粘合连接）进行建模仍然是一个重大挑战[108]、[148]、[149]。因此，在有限元模型中准确表示复杂的物理接触可能在计算上非常密集。因此，使用弱形式的兼容性来处理不确定性[7]、[150]、[151]或简化建模过程[2]、[152]可能更有益。这一点在混合建模中尤为重要，因为FE节点通常与实验中使用的传感器位置不对齐。特别是在应用基于组件的传输路径分析来评估从源到接收器的声学或振动行为时。在这个过程中，通常使用基于频率的子结构来组装单个组件，以确定噪声的根本原因并表征源。在这种情况下，虚拟原型通过结合高精度的数值FE模型和难以建模的组件的实验测量数据变得至关重要。这种方法使得能够预测和评估整个系统的NVH行为。此外，它还允许在早期设计阶段优化单个组件，甚至在昂贵的硬件原型可用之前[77]、[153]、[154]。弱兼容性侧重于在最小二乘意义上或在一组广义坐标或模式的简化子空间内满足兼容性条件，而不是要求在接口处精确的位移匹配[39]、[61]。本节讨论的各种方法使用拉格朗日乘数来模拟界面力，从而放宽了兼容性要求[20]。在基于投影的方法中，如虚拟点变换或奇异向量变换，计算拉格朗日乘数仅确保在这个特定的、限制较少的子空间内的兼容性[10]。此外，通过在连接点引入柔性矩阵可以明确放宽兼容性。这个矩阵表示界面的局部柔顺性，例如橡胶支架。柔性矩阵直接修改了拉格朗日乘数[155]。Simpson等人[156]讨论了另一种描述非一致界面的方法。他们使用有限元撕裂与互连（FETI）技术来处理局部非线性问题，从而实现线性和非线性子结构之间的耦合。FETI的基本原理是通过“撕裂”过程将结构划分为更小的子区域，然后使用称为“互连”的双重组装方法将这些子区域重新连接起来。核心思想是利用拉格朗日乘数作为约束力，迭代地确保局部求解子结构之间的兼容性。因此，即使子结构之间存在不匹配的界面，该方法也能有效地实现它们的耦合[43]。这种方法的典型应用包括结构分析，其中FETI能够将计算密集型模拟任务高效地分配到多个处理器上，以及线性和非线性子结构的耦合[156]、[157]。以下描述强调了在CMS和FBS程序背景下基于投影的灵活接口建模的重要性。

4.3.1 灵活/合规的接口建模
到目前为止讨论的方法都是刚性连接子结构的。因此，下一节将重点介绍如何在接口处引入灵活性。这一考虑也将阐明兼容性关系的弱化。如前所述，过强的兼容性可能导致不准确的结果，例如接口过度硬化，这种现象被称为接口锁定。为了解决这个问题，引入了合规耦合，它放宽了严格的兼容性条件。尽管如此，子结构之间的力平衡条件仍然适用。因此，接口处的位移不再等于零，而是产生了一个“间隙”，用Δu表示，这允许结构之间存在小的相对位移。数学上可以表示为：
(49) B(s)u(s) = Δu(s) ≠ 0
这种不兼容性引入了额外的自由度，通过简化的合规弹簧和阻尼器元件来表示，这些元件由拉格朗日乘数λ∈R^n参数化。换句话说，当存在弹性安装时，由于这个“间隙”会产生一个内力，该内力与安装的动态刚度Zc成正比。这可以表示为：
Cc(s)Δu?(s) + Kc(s)Δu(s) = λ(s)Zc(s)Δu?(s) = λ?(s) (50)
Δu?(s) = Yc(s)λ?(s)
所提出的方法表明，通过适当选择Δu，可以通过考虑接口处的额外灵活性来放宽兼容性。方程(50)中给出的公式也被称为准静态耦合[158]。矩阵Yc(s)代表了这种无质量连接中的灵活性，它由弹簧和阻尼器组成。它允许位移与作用在连接上的力成正比，这些力就是拉格朗日乘数。例如，在刚度注入方法中就使用了这种变体，该方法用于预测TPA中的贡献变化[159]。
然而，需要注意的是，这种方法并没有反映动态关节刚度的倒数，即关节被建模为一个具有自身质量、刚度和阻尼特性的独立子结构[155]、[160]。为了识别关节属性，可以使用子结构解耦或逆向子结构化等技术。这些技术在Brons等人[158]和Kreutz等人[161]的工作中有详细说明。

4.3.2 基于投影的接口建模
与通过相应的合规矩阵弱化兼容性的方法不同，也可以使用变换矩阵来实现弱化。这些方法将接口处的物理自由度投影到广义的自由度（DoFs）上。如图3所示，这些方法可以进一步区分为基于模态的技术和基于频率的技术。

基于模态的接口建模：
模态扩展方法主要应用于CMS领域。类似于第4.2节中的方法，这些方法也可以分为自由边界方法和固定边界方法。模态截断增强（MTA）可以在两种边界条件下应用。该技术结合了模态截断和额外的校正模态，通过其本征模态和基于矩匹配的校正模态来捕捉系统的整体行为[4]、[68]。此外，它还通过创建额外的模态来改善降维子空间中空间载荷的表示不足的问题[162]。Rixen[68]提出了一种广义的MTA，其中包含了更高阶的静态校正项，以避免在载荷的空间分布略有改变时需要重新计算。这提高了在宽频率范围内的准确性。

自由模态基接口方法：
在这个领域中，Rixen[138]开发的双 Craig–Bampton方法是一种流行的方法。使用方程(42)中的Craig–Chang变换，通过双重组装方法直接计算整个系统。通过引入方程(47)中的残差模态矩阵和方程(48)中的残差模态柔度矩阵，增强了方程(20)中描述的兼容性关系Bu = Gbbgb ? Mbbg?b。因此，Gbbgb项考虑了在模型降维过程中忽略的动态效应。这种截断会导致在子结构内部产生理论上的“残差力”[10]。因此，第一项量化了这些残差力在接口处产生的局部位移。采用这种方法，模型允许在兼容性关系中存在小的、物理上合理的“误差”，而不是强制实现不切实际的强连接[49]。第二项Mbbg?b可以解释为与忽略的模态在接口处作用并贡献于静态平衡的达朗贝尔惯性力。如果考虑所有模态（即当Gbb = Mbb = 0时），则可以重新建立强兼容性。在这种情况下，双Craig–Bampton方法对应于MacNeal方法。参考文献[44]从多个角度全面讨论了双Craig–Bampton方法。总之，每种边界条件都有相应的Craig–Bampton公式。例如，Hurty/Craig–Bampton方法用于固定边界条件，双Craig–Bampton方法适用于自由边界条件，而混合Craig–Bampton方法则设计用于混合边界条件。

固定模态基接口方法：
在这个领域中，加载接口方法是众所周知的方法。首先在固定边界条件方法中使用了加载接口模态或传输模拟器（TS）的概念，以便使用自由边界模态测试代替更具挑战性的固定边界模态测试[163]。为此，在边界自由度中添加了额外的集总质量和/或刚度，以考虑相邻结构或连接的影响[135]。这导致了一个质量加载的接口。这一基本原理被扩展用于提高组装结构的准确性。通常，接口两侧的两个子结构不太可能出现形状和幅度相同的模态。只有将这些模态设置为零才能确保强兼容性。提出了一种实用的方法，即在接口处连接一个柔性组件或夹具（质量加载）。因此，该组件的设计具有与相应结构相似的结构特性，从而有效地“模拟”了传递效果。因此，这个概念被称为传输模拟器[24]、[77]、[164]。此外，扩展模态基础可以更精确地描述全局动态行为和接口本身[10]。Allen和Mayes[165]引入了这一想法的一个流行变体。他们开发了夹具和子系统的模态约束（MCFS）及其扩展，即具有刚性化子系统的模态约束（MC-R）[166]。MCFS方法以最小二乘法将夹具模型与测量子系统耦合，比标准CMS方法提供了更准确的轴向模态预测。Kammer等人[167]以及后来的Mayes[168]、[169]、[170]将这一概念扩展到了Craig-Mayes方法。这种公式使用实验数据创建了子结构的Hurty/Craig–Bampton表示。它结合了子结构和传输模拟器的概念，实现了与有限元模型的直接耦合。然而，TS方法在关节识别方面变得越来越重要，特别是在橡胶安装的背景下，增强了CMS方法[112]、[171]。H?u?ler等人[172]使用TS和虚拟点变换（VPT）方法表征了橡胶安装的平移和旋转自由度，扩展到了更高的频率范围。此外，van der Kooij等人[173]利用TS概念提高了基于拉格朗日乘数的TPA结果的虚拟点变换的数据质量。

基于频率的接口建模：
在这个领域中，一个关键考虑因素是确定适当的边界自由度数量[109]。在实验实践中，准确确定所有自由度可能具有挑战性，特别是在旋转方面。Martinez等人[136]开发了一种使用有限差分方法的实验程序来获取所需数据，包括旋转模态形状和接口残余柔度。Duarte和Ewins[174]探索了使用基于FRF和模态的方法实验确定旋转自由度的可能性，以增强结构之间的耦合。Elliot等人[175]使用这种方法，结合中心点的力和速度，从纯力和力矩中提取响应。随后，Meggit和Moorhouse[176]开发了不需要理想化边界条件的现场接口表征的有效方法。Liu和Ewins[177]以及de Klerk等人[178]展示了旋转自由度的相关性，特别是对于FBS而言。Haeussler等人[153]表明这些自由度对于扩展频率范围尤为重要。此外，传输模拟器方法可以与适当的传感器布置一起使用来确定旋转自由度[145]、[179]。
另一种方法是等效多点连接（EMPC），它表示不同组件或结构部分之间复杂连接或接口的行为。EMPC方法不建模复杂连接或接口的详细几何形状和行为，而是允许用简化的等效模型来表示它们。使用EMPC可以仅基于平移测量来隐式考虑旋转和灵活的接口自由度[180]。因此，在耦合过程中隐式考虑了旋转自由度[149]。这个想法构成了虚拟点变换[20]的基础。

虚拟点/节点变换：
Meggit等人[107]表明，EMPC方法可能导致过定的接口问题，从而导致数值不稳定和耦合方程的条件数不佳。Van der Seijs等人[20]表明，可以通过将测量的平移自由度投影到接口变形模态（IDMs）上来解决这个问题。这避免了由于非共位接口自由度或传感器不同而导致的实验子结构中的错误。结果是在所谓的虚拟点或节点处得到一组广义的位移和力[26]。这里的“虚拟”意味着在这个点不需要直接测量或模拟。因此，它可以放置在接口附近的任何位置[2]。这是虚拟点的一个重要优势，因为在实践中，接口往往难以或无法进行测量[39]、[183]。数学上，子结构的接口位移ub(s)的简化可以表示为：
(51) ub(s) = Ru,bb(s)qb(s) + μb(s)
在这个方程中，Ru,bb(s)∈?^(nb×nq)表示对应于接口变形模式的矩阵，而qb(s)表示子结构的广义（模态）边界坐标。IDMs描述了在测量或模拟响应的位置处接口的局部运动[184]。残差项μb(s)表示由变换引起的误差。假设误差可以忽略不计，即(52) Ru,bb(s)Tμb(s) ≈ 0。方程(51)描述了兼容性条件的弱化，因为它现在只需要满足减少的广义坐标数量。此外，引入了一个对称的权重矩阵Wu∈R^(nb×nb)来以最小二乘法确定qb的值，这将在后面讨论。在大多数情况下，Wu被选为单位矩阵，从而计算伪逆[47] Ru+ = RuTRu?1RuT。因此，这种方法能够更准确地描述位移的变换。通过从左侧将方程(51)乘以Ru,bbTWu,bb，可以求解虚拟点坐标qb，得到：
(53) ? qb = Ru,bbTWu,bbRu,bb?1Ru,bbTWu,bbub = Ru,bb + ub = Tuub
因此，变换矩阵Tu将nb个物理接口自由度转换为nq个虚拟点坐标。如果接口非常刚性强且相对于整个子结构来说很小，可以假设该区域的局部行为是刚性的。在这个假设下，界面处的自由度可以减少到六个局部刚性界面运动：三个平移和三个旋转（qr=(x,y,z,?x,?y,?z)T）。这种方法简化了子系统的组装过程，特别是在处理非合规网格或传感器/激励点时。因此，这种“刚性化”过程相当于将原始界面的自由度投影到局部刚性变形模式上，这些模式被称为刚性IDMs [48]。此外，第4.2节中的方法之间也有一个有趣的相似之处。通过将方程（51）中的VPT定义积分到方程（11）的表达式中，可以得出u=ΦCub=ΦCRuqr。因此，乘积ΦCRu说明了由局部刚性界面上的虚拟点定义的平移和旋转如何影响子结构的内部柔性自由度，表示为ui=?Kii?1KibRuqr。Voormeeren [48]强调，这种关系为将数值有限元模型与实验模型耦合做好了准备。因此，内部自由度使用Craig–Bampton等方法进行浓缩，而边界自由度则通过方程（51）中的界面位移模式进行近似。这种方法允许将数值生成的有限元超元素与实验测量的子结构在相同定义的局部刚性六自由度虚拟节点上进行混合耦合 [2]。因此，界面简化的概念非常通用。结果，可以使用由正常模式组成的子空间从界面模型进行组装，就像使用界面模式进行组装一样。因此，刚性IDMs仅依赖于界面几何形状（54）ub(s)=Ru(s)qr(s)=ΦtR,(s)Φ?R,(s)qr(s)=IR?0I(s)qr(s)=I000dz?dy0I0?dz0dx00Idy?dx0000I000000I000000I(s)x(s)y(s)z(s)?x(s)?y(s)?z(s)。方程中的向量d表示从参考（虚拟）点到当前传感器或FE节点的距离。这个参考点的位置可以任意选择，它可以与现有的FE节点重合，也可以放置在另一个方便的位置。必须为子结构的每个物理界面ub(s)计算投影矩阵。方程（54）适用于考虑平移和旋转的FE元素。例如，在只考虑平移自由度的四面体元素或三轴加速度计的情况下，6 × 6矩阵可以简化为仅使用前三行的3 × 6矩阵。此外，这种变换可以在组件和系统级别应用。如果选择界面上的相同参考点，两种情况将产生相同的结果。实际上，建议在组件级别应用这种变换，因为它消除了计算多个静态模式的需要，并显著减少了所需的测量数据量 [48]。因此，位移简化侧重于通过最小化最小二乘误差来从噪声测量数据中提取最合适的刚性运动，从而解决过度确定的问题。相比之下，力简化旨在识别在虚拟点处与负载在静态上等效的物理一致的力量分布 [20]。在任何位置施加的每个力都会在虚拟点产生一个力/力矩对。然而，虚拟点处的特定力矩对可以对应于产生相同力矩的无数个单独力的组合 [2]。因此，目标是找到一组“虚拟”输入力，以最小的能量生成所需的力矩，对应于力向量的最小加权范数 [37]。为了定义将物理界面力fb与虚拟点力和力矩mb相关联的变换矩阵Tf，使用了加权右逆。这导致了（55）fb=Wf,bbTRf,bbRf,bbTWf,bbRf,bb?1mb=Rf,bb+Tmb=TfTmb。需要注意的是，两个IDM矩阵Ru和Rf不同，因为没有必要在传感器/节点所在的位置激发结构 [21]。因此，变换矩阵可以指定为u=Ruq+μf=TfTm（56）uiub=I00Ru,bbuiqb+0μbfifb=I00Rf,bb+Tfimb。总之，在确定刚性界面上特定点的位移时，这些信息允许使用运动关系计算另一个点的位移。然而，这一原则不适用于力。因此，必须确定作用在刚性界面上的总力以识别各个力。因此，位移公式适用于过度确定的系统，而力公式适用于欠确定的系统 [2]。此外，VPT代表了一种弱耦合形式，因为它不要求物理自由度之间的严格点对点兼容性。相反，它仅在六个刚体自由度的子空间或选定的IDMs内强制兼容性 [185]。从物理上讲，这意味着与这些局部界面变形相关的刚度被移除了，减少了整个结构的人为硬化（界面锁定）[20]。虚拟点的灵活定位使得可以直接创建一个共位的界面，适合于开发结合实验获得的虚拟点与模拟的MPCs/RBEs的混合模型。然而，提前确定所需虚拟点的数量及其相应的相关自由度可能具有挑战性。Wagner等人 [160] 表明，确定必要的自由度尤其具有挑战性，特别是对于具有复杂螺纹连接的薄壁结构。近年来，已经开发了各种方法来解决这个问题并改进虚拟点变换，特别是在实验领域。在参考文献 [2]、[10]、[20]、[23] 中可以找到作者提供的关于提高测量质量、最佳传感器定位的实际建议以及其他建议的例子。此外，一些作者还提出了关于虚拟点变换的进一步改进。Bregar等人 [149] 和Drozig与Cepon [91] 使用特殊传感器直接测量旋转，以改善IDM矩阵的条件。VPT的一个缺点是其频率独立性。为了解决这一限制，Haeussler和Rixen [37] 探索了各种方法，通过修改权重矩阵W使虚拟点变换依赖于频率。除了实验研究之外，商业仿真软件还提供了各种连接器、耦合器和接触元素。与VPT最相关的线性等效模型包括刚性和插值MPCs。刚性MPCs，如Nastran中的RBE2或Abaqus中的MPC Beam [28]，基于一个或多个凝结节点的运动来描述界面节点的运动。因此，这些刚性约束类型描述了局部刚性界面运动学，从而定义了六个刚性IDMs的子空间，因此代表了实验虚拟点变换的数值等效物，与方程（53）、（55）中提供的定义一致。因此，这一方面强调了所讨论的关系不仅显示了不同求解器（如Nastran（RBE）和Abaqus（MPC）之间的相似性，还强调了MPC Beam和RBE2基于与VPT相同的理论基础。这种联系对于弥合数值和实验视角之间的差距至关重要，因为这些概念被用于商业软件工具中。当主要负载起源于虚拟点并传递到约束节点时，刚性MPCs特别有益，这在FE外壳结构中经常发生 [186]。然而，需要注意的是，刚性MPCs可能在界面引入人为刚度，因为它们阻止了实际中会发生变形。这可能导致系统整体刚度的过高估计以及界面的不真实变形 [187]、[188]。与刚性MPC相比，插值MPC将虚拟点的运动确定为界面节点运动的加权平均值，这在Nastran中表示为RBE3，在Abaqus中表示为分布式MPCs。这种类型的MPC不会在界面引入额外的刚度。此外，可以应用类似于方程（53）中的W矩阵的个别权重因子，以赋予特定界面节点相对于虚拟点的贡献更多的重要性。当主要负载施加在界面节点上时，插值MPC特别有利，例如在风力涡轮机或直升机旋翼的应用中 [186]、[189]。这种方法允许界面自由变形，尽管可能导致系统刚度矩阵的低估。MPCs主要设计用于线性运动学约束，因此更适合分析整个系统而不是关节处的精确应力分布。接触表面也应相对于整个结构较小 [190]。通常，诸如大变形或显著影响界面刚度的旋转等显著非线性需要高级接触建模才能准确表示 [156]。有关此主题的更多信息，请参阅参考文献 [191]、[192]。然而，在这种情况下，选择相关的界面自由度仍然是一个挑战。例如，Pasma等人 [21] 研究了在Ru矩阵中扩展模态基础以包括柔性模式。这种扩展允许手动选择相关模式。然而，由于实际组件和界面的复杂性，这一过程受到限制。近年来，进化优化技术 [193] 和正则化 [39] 已受到关注。特别是正则化已被用于定义传递路径分析中界面的必要自由度。Ocepek等人 [109]、[180] 使用基于稀疏回归的方法，即最小绝对收缩和选择算子（Lasso）正则化，通过选择VPT上下文中的相关自由度来最小化冗余并改善界面矩阵的条件。同样，Bofinger [106] 开发了X-DoF方法来识别最佳自由度，以提高估计的阻塞力的可预测性。此外，Meggitt等人 [107] 开发的界面完整性标准（ICC）是衡量两个子结构之间的耦合界面描述或考虑程度的定量指标。它被制定为一个有界标准，类似于模态保证标准（MAC）。这特别适用于评估耦合结果。奇异向量变换：此外，虚拟点变换基于刚性界面模式的几何投影，因此忽略了柔性变形。为了克服这一限制，Trainotti等人 [184] 引入了奇异向量变换（SVT），该方法使用奇异值分解测量数据来提取频率依赖的简化基础。这种方法有效地捕捉了刚性方法无法解决的柔性界面行为。为了解决实验子结构中刚性约束的局限性，Poga?ar等人 [61] 使用SVD定义了一个子空间，从而减弱了界面约束，从而减轻了过度确定设置中的锁定效应。此外，di Manno等人 [185] 开发了一种混合方法，结合了虚拟点变换、扩展界面和奇异向量变换概念，以在存在不可访问和可变形界面的情况下改善子结构的解耦，同时保持界面的物理描述。这种集成在使用SVT过滤噪声和捕捉刚性基础忽略的内部柔性的同时，保留了物理界面拓扑。此外，Ocepek等人 [109] 验证了这些策略对于连续界面的有效性，表明虽然SVT通过适应主导奇异模式提供了更高的准确性，但它需要一个灵活的固定装置。相比之下，VPT减少了测量工作量，但在处理界面灵活性方面存在困难。SVT使得连续、灵活的界面能够耦合，同时保持连接点的物理可解释性。4.4. 总结本节提供了在组件模式合成和基于频率的子结构背景下各种简化方法的概述。这些方法首先根据方程（20）中的兼容性条件是否以强或弱的意义得到满足进行分类。满足强意义位移平衡的方法进一步根据各自的边界条件细分为自由、固定和混合方法。方程（26）中的模态简化基础通过选择特定的模式集来适应相应的边界条件。Hurty/Craig–Bampton方法由于其简单性、鲁棒性和准确性而在商业FE软件中得到广泛应用 [11]、[16]。它非常适合具有固定边界条件的各种模型简化应用，特别是在具有相对刚性连接的结构中 [194]。该方法通过将弹性模式包含在简化基础中来增强Guyan简化，从而更有效地分析动态系统。然而，一个主要缺点是如果界面自由度的数量发生变化，则必须重新计算简化基础 [116]。相比之下，自由界面方法的优点是只需要重新计算残余柔性模式的数量，而自由界面模式保持不变 [58]、[116]。这使得更新简化后的模型在计算上要求较低。此外，自由界面方法通常更适合创建混合模型，因为在自由条件下的模态特性通常更容易测量[195]。进一步讨论了MacNeal方法、Rubin对其的扩展以及Craig–Chang方法在处理自由边界条件时的通用化。在这方面，Herbst [72] 表明，在所研究的案例中，具有自由边界的CMS方法（如Craig–Chang方法）与FBS结果的一致性更好，因为它们能够用更小的模型尺寸更有效地映射结构的动态。在这种情况下，准确描述界面处的刚体自由度对于实现精确的耦合结果至关重要，特别是对于CMS的应用[23]。为了完整性，本概述还包括了Hintz/Herting方法和混合Craig–Bampton方法等混合方法。此外，强调了应用子结构技术的界面的清晰描述，特别是关于测量不确定性和非共形界面的问题。此外，如果描述子结构运动的简化基础不足，在强兼容性条件下可能会导致界面锁定。这种现象会导致界面的动态行为变得过于僵硬，从而不准确地表示其变形[3]，[19]。因此，通过“弱化”兼容性方程来允许一定程度的不兼容性可能是有益的。这种方法通常基于找到最佳拟合（最小二乘法）的思想在简化空间内操作，或者使用额外的灵活性矩阵[23]，[37]，[61]，[109]。这种方法导致了更稳健的界面建模技术。总的来说，可以认为对于线性或平面界面（例如齿轮箱和发动机），为了实现精确的兼容性而建模大量自由度往往会导致过定系统，从而导致病态问题[10]，[20]。弱兼容性允许使用较少数量的广义坐标和诸如虚拟点变换（VPT）、奇异值变换（SVT）或固定装置和子系统的模态约束（MCFS）等方法来耦合这些界面[77]。这些方法被分类为在模态域和频率域中的基于投影的界面建模。在这方面，虚拟点变换作为等效多点连接的一个特例被更详细地研究了。附录中提供了所讨论方法的全面比较。根据文献回顾，MCFS方法对于具有连续界面的子结构的耦合是有效的[37]。此外，SVT方法对于解耦具有复杂和灵活界面的子系统也是有益的[184]。此外，像VPT这样的方法能够整合实验模型和数值模型，从而促进混合模型的开发[2]。总之，存在多种描述界面的方法，反映了实际场景中遇到的各种挑战。虽然Hurty/Craig–Bampton方法经常被使用，但它并不是一个通用的解决方案。评估具体问题有助于选择和应用适当的技术以实现有效的界面简化。必须仔细评估方法的选择和简化程度，以在减少自由度和保持所需精度之间取得最佳平衡。这对于避免由于过度简化动态而可能产生的不准确性至关重要。

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图4. 模式选择部分的示意图，区分了在组件级别（先验）和整个系统级别（后验）应用的方法。

5. 模式选择方法
前一节中的方法侧重于使用有限数量的主导模式来表示组件的动态，无论是在界面处还是在组件内部。2004年，Givoli等人[196]质疑哪些子系统模式是重要的。Kammer和Triller [197]首次提出了基于频率截止规则的标准。该方法按升序对特征值进行排序，并且只考虑直到选定频率的模式[200]。该方法假设子结构的低频模式显著影响全局模式和整体结构行为[201]。这大大减小了模型尺寸，同时仍然捕捉到了主导动态。选择一个常见的指导原则是选择自然频率在组件内最高频率的1.5到2倍之间的模式[10]。
频率截止规则在许多工程应用中产生了令人满意的结果，确保捕获了足够的模式来准确表示组件的动态。然而，准确描述系统在低频范围内的基本动态所需的模式数量可能会随着模式密度的不同而变化。此外，可能会出现更高频率的主导模式，这些模式可能会被频率截止规则忽略。一般来说，随着频率的增加，模态基础变得非常大，考虑所有直到截止频率的模式在计算上非常昂贵。此外，在混合建模中，了解哪些模式对组件最重要以及它是否满足特定的质量标准是至关重要的。
近年来，已经开发了各种方法来智能地选择相关模式以应对这一挑战。本节提供了这些概念的简要概述，如图4所示。一般来说，根据处理步骤的顺序，这些技术可以分为组件级别（先验）和系统级别（后验）方法。先验方法旨在在没有预先了解整个结构的情况下识别一组最优的子结构模式。相比之下，后验方法基于组装后的模型来分析模式。下面将更详细地讨论各个概念。

5.1. 先验模式选择方法
由于Craig–Bampton简化的流行，存在许多固定界面简化的方法。然而，它们通常也可以扩展到自由边界条件。Kammer和Triller [197]引入了一种利用有效界面质量（EIM）的模式选择方法，以及两种额外的多输入/多输出（MIMO）场景用于HCB方法。它假设边界自由度已经得到了足够的简化，因此重点是最小化（固定）正常模式的数量。根据Guyan将内部自由度分为静态和动态运动的概念，内部自由度的动态部分ui,dyn(s)现在被分为主导的ΦdN,FI,(s)和残余正常模式ΦrN,FI,(s)项。因此，从表示HCB变换矩阵第一行的方程(34)可以得出(57)ui(s)?ΦiηN,FI,(s)η(s)+Φib(s)ub(s)?ΦdN,FI,(s)ηd(s)+ΦrN,FI,(s)ηr(s)+Φib(s)ub(s)?ΦdN,FI,(s)Φib(s)ηd(s)ub(s)，其中ΦrN,FI,(s)=0。在这个方程中，项ΦdN,FI,(s)描述了一个n?ηFI,(s)×nd(s)的主导（固定）正常模式特征向量矩阵，其中nd(s)是结构的主导模式数量。此外，忽略了残余正常模式的影响。这导致了以下HCB变换关系ui(s)ub(s)?ΦdN,FI,(s)Φib(s)0bη(s)Ibb(s)ηd(s)ub(s)和(58)u(s)?TdHCB,(s)qdHCB,(s)。
结果是一个新的简化HCB运动方程，其中质量矩阵和力向量的非对角线条目发生了变化(59)M?dHCB,(s)q?dHCB,(s)+K?dHCB,(s)qdHCB,(s)=f?d(s)，其中n?×n?质量矩阵和刚度矩阵表示简化后的系统自由度数量，n?=nd+nb，M?dHCB,(s)=TdHCB,(s)TM(s)TdHCB,(s)=Iii(s)ΦdN,FI,(s)TM?ib(s)ΦdN,FI,(s)TM?ib(s)TM?bb(s)K?dHCB,(s)=TdHCB,(s)TK(s)TdHCB,(s)=Ωd2,(s)00K?bb(s)f?d(s)=TdHCB,(s)Tf(s)g?d(s)=TdHCB,(s)Tg(s)。
从方程(59)可以得出，假设内部自由度没有外力作用(60)η?d(s)+Ωd2,(s)ηd(s)=?ΦdN,FI,(s)TM?ib(s)u?b(s)。右侧的项指的是由于界面自由度的运动而激发固定界面正常模式的力[202]。因此，方程(60)对应于具有相对位移的基本激励。这个主题在第2.1.1节中简要讨论过，是在内部自由度方法的背景下。乘以界面加速度的系数矩阵是子结构的模态参与矩阵P(s)(61)Pk(s)=?ΦdN,FI,(s)kTM?ib(s)∈?ni×nb。Pk(s)的第k行表示子结构的第k个固定界面正常模式的模态参与因子31。这个因子表示各种组件模式对特定响应的贡献。较大的值表示模式的激励更为显著。子结构的整体模态参与因子矩阵P可以如下定义(62)P=[P(1),…,P(Ns)]T。
可以使用参与因子确定第k个子结构模式的有效界面质量32 Meff,k(s)，该方法因此得名(63)Meff,k(s)=Pk(s)TPk(s)=M?ib(s)TΦdN,FI,(s)kΦdN,FI,(s)kTM?ib(s)=SkEIM,(s)∈Rnb×nb。有效界面质量通常被称为耦合矩阵，表示为SkEIM,(s)[203]。其迹表示第k个固定界面模式对界面激励的贡献。子结构的（总）简化内部质量（RIM）矩阵Meff(s)∈Rnb×nb是通过累积所有模式的贡献得到的(64)Meff(s)=∑k=1ndMeff,k(s)。
每个单独的第k个固定界面模式的贡献可以定义为比率(65)βkEIM,(s)=trMeff,k(s)trMeff(s)。
这个方程假设平移和旋转自由度之间的权重相等。这些按降序排列，根据它们最重要的贡献来选择模式。有效界面质量是一个重要参数，它量化了受界面约束的模式的贡献，防止了刚体运动。因此，对于自由边界条件，有效界面质量等于零。
Kammer等人[202]通过引入自由有效质量方法来改进了EIM程序，以管理自由界面。通过计算自由有效质量值的累积和，他们能够确定实现所需完整性水平所需的模式数量。这种方法提供了动态重要性的绝对度量，而不是相对度量。因此，可以选择有效地将实验数据与仿真结果相关联的模式。在4.2.1节中，为HCB方法引入了进一步的变换，以进一步减少边界自由度的数量。Simon和Lost [204]开发了一种基于EIM的方法来识别相关的特征约束模式。此外，Palomba等人[28]定义了一个新的参与因子，称为内部模式排名（IMR），它基于模式形状、激励和特征频率来量化贡献。选择具有最高参与系数的模式用于简化模型。
除了基于参与因子的选择外，还可以使用耦合矩阵来减少模式的数量。最优模态简化方法（OMR）通过Dirichlet-to-Neumann（DtN）映射[196]，[198]来确定这种简化。或者，可以使用频域中的矩匹配原理来评估，从而得到一种称为组件模式选择变体（CMSχ）[205]的方法，该方法是基于OMR开发的。Kim等人[206]提出的这种方法的扩展提出了一个新的耦合矩阵，直接将子结构的自由度与界面联系起来，即所谓的组件模式选择规范（CMSσ）。此外，Kim等人[203]展示了EIM、CMSχ和OMR之间各种耦合矩阵之间的关系(66)SkEIM,(s)=ωk2SkVEIM,(s)=ωk4SkDEIM,(s)=ωk?2SkOMR,(s)=ωk2SkCMSχ,(s)=ωk2SkCMSσ,(s)。该方程表明，确定SkCMSχ,(s)的结果与SkVEIM,(s)的形式相同。CMSσ程序的耦合矩阵也与其他程序不同，因此SkCMSσ,(s)=M?ib(s)TΦdN,FI,(s)kΦdN,FI,(s)kT [206]。更多信息见[203]。

5.2. 后验模式选择方法
与仅关注子结构界面的先验方法不同，后验方法利用全局特征向量关系来量化每个子结构的模态贡献。迭代技术，如基于特征向量的模式选择算法（E-MSA），旨在自动识别在指定目标模式范围内达到所需误差容忍度的模式数量。这旨在促进有限元模型的稳健和自动化简化。
为了实现这一点，E-MSA使用基于特征向量的模态贡献方法（EMC）来评估模态贡献。与EIM方法类似，正常模式被分类为主导模式和残余模式。EMC包括两个步骤的简化过程：第一步，识别各个子结构的模式。之后，确定中间模型的模式，其中包含的主导子结构模式数量比最终简化模型所需的更多。如参考文献[203]中所述，建议中间模型考虑比完全简化系统多10个主导模式的因子，以确保充分考虑了高频模式的影响。Janssen等人[199]应用频率截止规则和称为相对模式重要性（RMI）的标准来确定要包含或排除哪些模式。他们还开发了一个框架来评估模型的质量[207]。在第二步中，建立了中间模型的矩阵Φg,d(s)，该矩阵将近似的全局特征向量矩阵与主导子结构模式连接起来（67）Φg,d(s)=Φg,d(s)11???Φg,d(s)1n?????Φg,d(s)kl????Φg,d(s)nd1???Φg,d(s)ndn?。这个矩阵Φg,d(s)ndn?的各个元素代表了特定子结构模式对全局模式的影响或贡献程度，其中n?表示全局模式的数量。这种影响可以通过求和第k个子结构模式的特征向量模态贡献来量化，这等于向量范数的幅度（68）βkEMC,(s)=∑l=1n?Φd,g(s)kl2，其中方程（68）中的Φd,g(s)再次对应于一个耦合矩阵。这种方法允许对整个系统响应及其组件的结构动态行为进行更有针对性的分析。另外，Park等人[208]以及后来的Markovic等人[157]开发了一种基于静态界面残差柔度的方法。通过最小化这种残差柔度，得到的简化模型的大小仅由子结构的物理属性决定，而不是由有限元离散化决定。除了模式选择（如EMC方法）之外，还有各种事后误差估计器。这些估计器在E-MSA过程中用于验证选择的准确性，以满足所需的误差容忍度，并管理简化过程。在这方面，Hou[133]早在1969年就提出了一个初始收敛准则。Jakobsson等人[209]和Voormeeren等人[210]采用了基于全局能量范数的目标导向误差估计器，使得简化模型的优化和精细化成为可能，从而提高准确性。此外，Bank等人[211]开发了一种新颖的事后误差估计器，用于提供简化柔性体中相对特征值误差的上限。Han等人[200]应用这种误差来自动化简化过程并适应性地控制准确性。Kim和Lee[201]、[212]提出了误差估计器、EMC方法及其相应框架的组合。Jansson等人[213]展示了基于全局组装结构的准确性要求来提高误差容忍度的改进方法[133]。

5.3. 总结
第4节中介绍的建模和简化接口的方法通常使用模态基础。因此，模式选择方法适用于识别CMS和FBS框架内成功组装所必需的模式。此外，可以在保持高准确性的同时进一步减少自由度（DoFs）。通常可以使用频率截止规则来选择模式，该规则建议考虑组装结构最高自然频率的1.5到2倍。模式选择方法分为两类：先验方法和事后方法。先验方法包括EIM及其变体VEIM和DEIM，以及OMS、CMSχ和CMSσ。这些方法侧重于根据它们对接口的贡献来选择主导模式。相反，事后方法（如E-MSA）则基于它们的总模态贡献而不是仅在接口处的效果来选择主导模式。根据现有文献，附录中提供了这两种变体在处理、准确性和计算效率方面的详细比较。总之，先验模式选择方法计算效率高，而事后方法可以提供更准确的模态贡献评估。选择这些方法取决于工程问题的具体要求以及计算效率和准确性之间的权衡。目前，这些方法尚未集成到商业软件解决方案中。此外，还需要进一步研究来探索AI支持的模式选择方法与本节中介绍的方法相比的潜力。

6. 组装公式
前几节介绍了动态凝聚方法作为混合子结构化的实用方法，强调了它们整合来自不同领域的各种实验和数值子模型的能力。在这个过程中，结构被划分为各个子结构，每个子结构都有自己的耦合接口。然后根据它们的接口描述建立变换矩阵来生成这些子结构。这种方法使得能够确定每个子结构对系统运动方程的动态贡献。因此，最后一步是组装各个子结构。本节讨论了各种组装变体，强调了它们各自的优缺点。不同的组装公式使用原始组件模式合成和对偶频率基础子结构化进行了演示。它们在商业工具中的实现导致了在数值和实验应用中的广泛使用。因此，本节提出了将这两种公式的好处整合到混合动态子结构化框架中的概念。

6.1. 原始组件模式合成
原始组装例如在有限元软件中用于构建系统矩阵。术语“原始”表示将方程（20）、（21）中的约束条件进行转换，以确保事先满足兼容性条件。这种方法消除了未知位移，在机械工程中这些位移被称为原始未知数。当自由度的数量远大于模式的数量时，通常适合使用组件模式合成[40]。这意味着CMS背后的基本概念是显著减小模型系统矩阵的大小，这些矩阵通常具有许多自由度。CMS不是使用所有系统的物理自由度，而是使用一组更小的广义坐标来捕捉相关的动态行为[124]、[126]。如第3.3节所述，CMS框架中的每个组件都由其组件模式和相关的模态子结构坐标来表征。这些模态模型由模态数据表征，如模态形状和自然频率[84]。相应的简化基础包括正常模式、约束模式和连接模式，这些模式取决于接口简化方法和接口处的边界条件，如第4节所述。结合第5节中的方法，可以显著减小模型阶数，同时保证高组装质量。一旦各个组件被简化，它们就被合成为一个整体模型。这种方法的名称来源于这种凝聚过程[19]、[128]。为了组装子结构，必须将兼容性条件和力平衡转换到模态域。这导致了以下形式的兼容性关系（69）Bηη=0，其中Bη=BΦ。上述方程仍然描述了强意义上的兼容性关系的满足[23]。此外，模态形状矩阵表示为Φ=diagΦ(1),…,Φ(Ns)，包括以块对角形式排列的子结构的简化矩阵，而矩阵η=[η(1),…,η(Ns)]T包含未耦合子结构的相应模态坐标。模态兼容性矩阵由术语Bη表示。原始组装的定位矩阵不能直接转换到模态域，因为通常没有模式在不同结构中唯一出现[2]。因此，为了确保物理接口自由度的模态兼容性，需要应用额外的坐标转换。当将其适应于HCB方法时，这个过程变得更加明显。通常需要一个定位矩阵Lη来建立广义局部模态子结构坐标η和广义全局系统坐标qg之间的线性关系。这种关系可以正式表示为：（70）η=Lηqg。因此，原始组装算子Lη的行数等于所有局部子结构自由度的总和，列数等于组装系统中独特的自由度数量。通过在每个对应于全局自由度的列和每个代表局部自由度的行中放置“1”来构建矩阵。矩阵中的所有其他条目都是零。在接口处，多行对应于不同子结构的局部自由度，每行在同一列中都有一个“1”。这种安排确保这些局部自由度具有相同的值[10]。乘法将全局坐标向量的值转移到局部向量的适当位置。将方程（70）中的关系插入方程（69）中的兼容性关系中，得到（71）Bηη=BηLηqg=0，?qg。为了满足方程（71）并确保组装接口的完全兼容性，Lη必须跨越Bη的零空间，即（72）Lη=null(Bη)=null(BΦ)。如方程（72）所示，两个算子Lη和Bη不再是布尔值。然而，如果子结构的接口自由度保持为（简化的）广义自由度η，则乘积BΦ，因此Lη仍然是布尔值[23]。因此，模态域中的两个约束条件可以表示为（73）Bηη=0LηTgη=0。根据方程（70）中描述的关系，兼容性条件是事先满足的，这在后面的部分会更加明显。因此，通过将方程（70）中的坐标转换应用于生成的子结构的运动方程，得到了原始组装公式。接着通过预乘以LηT来获得对称的方程系统（74）M?ηq?g+C?ηq?g+K?ηqg=f?η，其中（75）M?η=LηTMηLηC?η=LηTCηLηK?η=LηTKηLηf?η=LηTfη。方程（74）说明了任意子结构的原始组装，代表了不同组件模式的模态到模态的合成。右侧乘以Lη可以从物理上解释为在所有连接的局部自由度上诱导均匀运动，相对于全局坐标。这确保了所有接口自由度在事先满足运动学兼容性[16]。相比之下，左侧乘以LηT保证了来自各个子结构的力在公共接口处累积。作用-反作用原理导致内部反作用力的抵消[123]。这个概念将在使用第4.2.1节中的HCB简化子结构的例子中更详细地演示。此外，参考文献[44]、[48]讨论了具有自由和混合边界条件的整个系统的组装。通过分离内部和边界自由度，可以选择更具体的Lη矩阵形式η(s)ub(s)=I(s)00Lb(s)ηub和（76）qHCB,(s)=LηHCBqgHCB。由于内部模态坐标不与其他子结构共享，因此矩阵的这一部分在方程（76）中通常对应于单位矩阵。上述方程的第二行描述了全局边界自由度ub与子结构ub(s)的边界自由度之间的线性连接，使用布尔定位矩阵Lb(s)。结果，子结构的边界自由度是合成全局边界自由度ub的子集[49]。这导致将矩阵L解释为一个连接矩阵，其中边界自由度被称为耦合自由度，如第3.1节所述。这种关系表明每个子结构的位移与全局向量的位移相匹配。这确保了连接结构之间的边界没有相对运动，从而事先满足兼容性关系[48]。因此，通过将方程（76）代入方程（36）中的HCB简化运动方程，并再次使用LηTgη=0以及预乘以（LηHCB）T，可以得到（77）M?HCBq?gHCB+K?HCBqgHCB=f?η。因此，可以相应地表达详细的组装质量和刚度矩阵（78）M?HCB=∑s=1NsLηHCB,(s)TM?HCB,(s)LηHCB,(s)=Iii(1)…0M?ib(1)??0?0…Iii(Ns)M?ib(Ns)M?bi(1)…M?bi(Ns)M?bbK?HCB=∑s=1NsLηHCB,(s)TK?HCB,(s)LηHCB,(s)=Ω(1)2…00??0?0…Ω(Ns)200…0K?bbqgHCB=η(1)?η(Ns)ub,f?η=fi(1)?fi(Ns)f?band，其中单个向量和矩阵条目为M?bb=∑s=1NsLb(s)TM?bb(s)Lb(s),M?ib(s)=Mib(s)Lb(s),M?bi(s)=Lb(s)TMbi(s),K?bb=∑s=1NsLb(s)TK?bb(s)Lb(s),f?b=∑s=1NsLb(s)Tf?η(s)。如方程（78）所示，刚度矩阵的非对角线块中的所有条目都是零。这直接来自于在变换矩阵中包含静态凝聚。此外，在组装过程之后，不同子结构之间的自由度保持解耦η(s)。因此，具有固定边界条件的模式合成通常被称为结构保持变换。此外，可以证明，只要没有刚体模式存在，Rubin简化中使用的连接模式就覆盖了Hurty/Craig–Bampton方法中使用的约束模式相同的空间。因此，残余刚度KbbF,R,(s)和质量矩阵MbbF,R,(s)对应于HCB方法的质量M?bb和刚度K?bb矩阵[48]。Hurty/Craig–Bampton简化目前被描述为一个在强/精确意义上满足约束要求的过程。因此，本节简要讨论了HCB框架内的一个弱公式。为了实现这一点，Voormeeren[48]进行了额外的变换qgHCB=Tbq?g来减少接口自由度。他使用了一个包含接口变形模式的简化基础Tb。因此，可以通过总简化矩阵Ttot获得原始自由度和广义自由度之间的关系u?THCBLηHCBqgHCB=THCBLηHCBTbq?g（79）ui(s)ub(s)?ΦN,FI,(s)Φib(s)0II(s)00Lb(s)Iη00Ru,bbηqb?ΦN,FI,(s)Φib(s)Lb(s)Ru,bb0Lb(s)Ru,bbηqb?Ttotq?g。通过截断IDMs以仅保留刚性接口模式，获得了方程（53）中的虚拟点变换描述。这种方法导致了接口位移的减少。尽管如此，de Klerk等人[23]讨论了一种弱力平衡条件。方程(71)中的兼容性条件将被重新审视，以详细阐述这一点：(80)Bηη=BηLηqg=BΦLηqg=0，?qg?ΦLη=null(B)。因此，基于L=null(B)，乘积ΦLη也是L的一个子集。通过截断Φ中的模态基，这可以解释为界面力LTg=0的弱形式平衡条件。这与第4.3节中讨论的子结构在简化过程中观察到的平衡减弱是一致的。同样，Trainotti等人[184]展示了一种减弱界面位移的方法，以便将原始组装的CMS与基于VPT.6.2的对偶FBS进行比较。

与原始组装相比，可以使用对偶公式来耦合子结构。这里的“对偶”指的是事先消除未知的界面力，即所谓的对偶未知数。尽管两种公式都能得到相同的结果，但对偶表示可能更适合于某些应用，例如具有高模态密度的系统的实验耦合或关节特性分析。因此，反作用力和基于频率的子结构可以直接从对偶公式中得出。为了确保在虚拟点空间中事先满足力平衡，引入了带有负号的额外耦合力，使用未知的拉格朗日乘数表示为λ∈Rnλ。因此，耦合力可以定义为(81)g?=?TfTBTλ。λ的数量对应于兼容性约束的数量nλ。结果，拉格朗日乘数代表了界面之间的兼容性条件，并与界面力的幅度有关。这表明一组唯一的界面力在物理上与界面力的强度相关联。因此，为了保持子结构的连接性，需要在界面上施加一个幅度为λ的反作用力g，根据作用-反作用原理进行作用。

如果按照方程(81)定义反作用力，它们将始终对于每一对对偶界面自由度朝相反的方向作用，例如gb(1)=λ和gb(2)=?λ [37]。这确保了反作用力自动满足界面力的平衡(82)LTg?=?LTTfTBTλ=0，?λ?TfTBT=null(LT)。上述方程表明TfTBT是BT的一个子空间。比较方程(82)和(80)可以发现L对应于B的零空间，反之亦然。这一属性适合于确定组装响应，因为它只需要识别一个布尔矩阵[178]。因此，将方程(81)代入方程(22)中的运动方程，得到以下表达式(83)u?=Y(f??TfTBTλ)，其中矩阵Y=diagY(1)，…，Y(Ns)和Tf=diagTf(1)，…，Tf(Ns)以块对角形式组织。各个子结构的位移和载荷被排列为列向量，例如u?=(u?(1)，…，u?(Ns))T，f?=(f?(1)，…，f?(Ns))T和g?=(g?(1)，…，g?(Ns))T。布尔矩阵定义为B=[?II]。未知的拉格朗日乘数λ=[λ(1)，…，λ(nλ)]T是通过将方程(83)代入与虚拟点空间相关的兼容性条件Bq=BTuu=0来确定的，从而得到(84)λ=BTuYTfTBT?1BTuYf?=Zqm,bΔq。方程中的Yqm=TuYTfT项代表虚拟点变换的导纳矩阵。因此，变换矩阵Tu和Tf将响应和参考通道/节点投影到虚拟点空间。这一项两侧的布尔矩阵过滤了与虚拟点空间中界面自由度相关的导纳[2]。所得矩阵被称为虚拟点界面柔性矩阵Yqm,b=(Zqm,b)?1。关于这种矩阵的更多见解可以在de Klerk等人[23]和Voormeeren[48]的研究中找到。然而，Yqf=TuY表明只有响应自由度被VP变换，以在未变换的虚拟点空间和实际空间之间建立联系。界面不兼容性Δq代表了各个未耦合子结构对外力f的虚拟点变换响应。这建立了未知拉格朗日乘数λ与界面处由外力f引起的位移“间隙”Δq之间的线性关系Δq=Yqm,bλ。因此，方程(84)展示了由于施加的外力而导致的不连续性或不兼容性的解决方案。换句话说，界面刚度Zqm,b与不兼容性Δq的乘积产生了一个（负的）界面力。这种反作用力保持了子结构之间的连接[23]。通过将拉格朗日乘数的关系代入运动方程(83)，可以推导出在物理坐标中具有减弱兼容性条件的众所周知的对偶拉格朗日乘数频率基子结构(LM-FBS)组装位移(85)u?=Y?YBeTBcYBeT?1BcYf?=Y?qm,df?。

在方程(85)中引入了两个操作符Bc和Be。它们分别代表同时的虚拟点变换和自由度选择。因此，操作符Bc=BTu对应于兼容性，而操作符Be=BTf确保了虚拟点空间中的力平衡[2]。如方程(85)所示，子结构的导纳矩阵保持不变。因此，得到的组装FRFs可以表示在原始的对偶空间中，例如，在测量的自由度中[2]。与Jetmundsen等人[214]的经典FBS公式相比，这种方法提供了更精确和直观的表述，允许在最终组装模型中更灵活地选择保留哪些界面自由度[215]。此外，对偶FBS还允许直接考虑连接刚度，如第4.3.1节所讨论的。这种能力使得子结构的灵活耦合成为可能。由于只有界面力受到影响，因此只需修改拉格朗日乘数。因此，与虚拟点的灵活耦合关系可以直接表示为(86)u?=Y?YBeTBcYBeT+Yc?1BcYf?=Y?qm,d?f?。

除了组装子结构之外，还可以将对偶LM-FBS方法[216]中纳入解耦。对将要从解耦的块对角导纳矩阵Y中移除的子结构应用一个负号。这使得解耦可以用标准耦合方法中使用的紧凑符号表示。Voormeeren和Rixen[3]、[139]提供了基于对偶LM-FBS的解耦技术的全面概述。这些技术已被Brunetti等人[217]和Kreutz等人[161]用于分析螺栓连接的特性。此外，解耦方法也适用于表征关节连接。Brons等人[158]将基于频率的子结构与最大后验优化方法相结合，直接估计关节的刚度和阻尼参数，而无需使用组装结构的自由度。di Manno等人[218]探讨了关节的非线性动态行为及其刚度参数的变化。然而，准确确定关节特性仍然是一个正在进行的研究领域。

方程(85)使用虚拟点位移q和力m来确保完整性。通过结合方程(53)、(55)、(85)中的关系，可以得到(87)q=Tuu?=TuY?YTfTBTBTuYTfTBT?1BTuYf?=Yqm?YqmBTBYqmBT?1BYqmm=Y?qm,dm。对偶FBS指的是通过导纳模型连接的组件之间的导纳到导纳组装。该模型的特点是耦合了内部和边界自由度[84]。对偶公式保持了共同的耦合自由度。因此，随着耦合条件的增加，方程组也会扩展。相比之下，原始合成通过建立一组统一的全局自由度来减少冗余。然而，对偶LM-FBS公式通过消除在耦合之前显式将系统矩阵划分为内部和边界自由度块的需求，提供了显著的处理优势[23]。虽然内部和边界自由度之间的物理区别仍然存在，但在块对角整体矩阵中，子结构在数学上保持其原始形式[178]。对偶FBS应用拉格朗日乘数来强制界面兼容性，代表界面力而不是压缩位移向量。这种方法允许子结构在块对角矩阵中保持数学上的独立性，直到最终组装。在这种情况下，布尔约束矩阵管理内部和边界连接的分配。这确保了界面兼容性和力平衡，而无需消除原始组装中固有的冗余界面自由度。这种方法类似于第4.2.1节中描述的自由界面简化技术，消除了相关的分区需求。因此，基于频率的子结构预测了整个系统的动态特性，通过结合其各个子结构的频率响应[150]。有关基于FBS的耦合的更多信息，可以参考[10]、[147]、[155]、[219]等文献。最后，提供了一些关于原始FBS和对偶CMS压缩变体的评论。

原始FBS：这种技术在动态刚度矩阵直接可用的数值环境中特别有效[39]、[58]。它涉及确定每个节点的FRFs，这需要较高的计算能力和内存。特别是在分析宽频率范围或需要高频率分辨率时，这需要一个细密的网格[26]。因此，当自由度数量显著小于模式数量时，特别是在高频、窄频率范围内，这种方法通常适用。商业FE工具，如Abaqus[181]，支持这种方法。然而，在实验实践中，表征低频范围内的关节特性面临着重大挑战。当使用H?u?ler等人[172]提出的在自由-自由边界条件下使用传输模拟器表征安装刚度时，通常很难获得直到0 Hz的静态刚度的可靠传递函数。这种困难源于弹性安装的刚体模式以及该频率范围内加速度计的低信噪比[39]。为了缓解这些问题，橡胶安装通常可以近似为准静态、无质量的元素。然而，如果不考虑惯性对安装进行建模，则由于忽略了刚体运动，会导致动态刚度矩阵奇异[161]。然而，传统的对偶LM-FBS严格要求所有子结构的导纳矩阵。由于安装被视为一个独立的子结构，因此需要反转安装的奇异刚度矩阵。

对于使用对偶FBS的组装，可以采用数值变通方法，如方程(86)中的合规耦合或Mahmoudi等人[155]讨论的虚拟质量和伪逆的实现。然而，对偶方法不适用于在这种特定背景下实验识别关节特性。相反，应该使用基于原始FBS方法的逆向子结构。尽管将测量的FRF矩阵初始反转为阻抗矩阵对测量噪声敏感，但这种方法允许直接从整个系统阻抗矩阵ZAJB的块非对角线条目中提取物理关节参数[39]。相比之下，当考虑关节的动态范围时，对偶FBS在去除冗余自由度后产生的结果与原始FBS相同。然而，对偶FBS具有实验优势，因为只需要反转较小的界面柔性矩阵Yuf,b=BYBT，而原始FBS情况下需要反转完整的系统矩阵[151]。因此，推荐使用对偶FBS来减少数值误差传播，因为需要反转的界面矩阵条件更好[23]、[185]。

对于可以在模态域中有效描述的结构，例如那些略有阻尼且模式分离良好的结构，对偶CMS提供了显著的优势。这种方法只需要少量的空间分布测量和激励点，就可以使用少量的广义坐标来表示整个结构的振动行为。此外，只需要少量的驱动点就可以对模式进行质量归一化。相比之下，FBS方法每个连接自由度都需要一个驱动点。此外，对偶CMS通常采用“弱”兼容性方法。这意味着，不是通过离散的点对点连接，而是将两个子结构的非匹配物理自由度投影到一个共同的、简化的广义坐标子空间中，例如虚拟点或局部级特征约束模式。因此，兼容性和平衡条件是在这个广义模态空间内强制执行的，而不是基于物理自由度。这种方法确保了子结构在其主导界面运动学方面完全耦合，消除了在组件级别匹配物理自由度对的必要性。具体来说，对偶CMS结合了集成自由界面模式的能力，同时通过弱兼容性条件有效消除了界面锁定。这通过允许耦合不匹配的网格来增强模拟，从而改进了数值组装。在这方面，Morgen等人[220]、[221]开发了一种基于HCB简化的CMS方法，利用实验数据。因此，实验模型可以很容易地使用Craig-Chan或双Craig-Bampton方法与数值子结构集成，因为在自由边界条件下收集实验数据通常更加容易。为了促进这种集成，通常建议使用传输模拟器来改善实验模型和数值模型之间的耦合，从而增加整个过程的复杂性和工作量[165]，[170]。然而，Trainotti等人[24]指出，实验模态分析仍然涉及几个手动步骤，这些步骤在创建模态模型时可能会引入误差。一些作者，如[18]，[24]，[72]，[165]，已经比较了组件模态合成和基于频率的子结构化在模拟和实验中的各种应用。在CMS和FBS之间的选择主要取决于子系统的特性和分析目标。一般来说，CMS由于其原始组装方法，可以更容易地验证物理合理性，并且能够有效地管理由多个具有不同连接点的子结构组成的大型系统。另一方面，FBS对于表征非比例或高阻尼系统以及高模态密度的系统非常有效[23]，[155]。当在耦合中包含频率依赖的接头时，它特别有用。下表提供了实验和数值环境中组装变体的总体概述。此外，附录中还包括了关于CMS和FBS在处理和准确性方面的直接比较（见表6）。总之，组件模态合成是一种有效的方法，可以减小大型数值模型的规模。然而，标准公式如Hurty/Craig-Bampton在实验实施时可能具有挑战性，因为测量旋转自由度和施加固定界面条件存在困难。此外，HCB公式保留了所有物理自由度以确保兼容性。对于具有精细非一致网格的高保真模型，这种方法会产生计算成本高昂的降阶模型，该模型主要由一个大型、密集的界面分区主导，从而抵消了模型简化的优势。为了解决这个问题，可以使用增强型界面简化技术，如特征约束模态，来减轻这一限制。然而，这些方法可能会引入近似误差，并且可能需要系统级别的知识。因此，这减少了与动态子结构化相关的模块化优势[23]。虽然模态截断是一种有效的方法，但它本质上会丢弃高频残余柔韧性。忽略这些残余项可能会导致刚度增加的错误。在这种情况下，使用自由界面或混合界面简化方法，如Craig-Chang或Hintz-Herting可能更为合适。然而，这些方法使公式化更加复杂，实施也更加困难[163]。表1. 组件模态合成（CMS）和基于频率的子结构化（FBS）背景下，原始（p）和对偶（d）方法的典型实验（exp.）和数值（sim.）应用案例。方法应用exp. p-CMS：适用于处理具有有限激励点数量的噪声测量数据。在这种情况下，模态拟合充当噪声过滤器并确保互易性，从而为后续的模态到模态组装提供稳健的系统识别。sim. p-CMS：行业标准（例如，Craig-Bampton）用于强兼容性方法。特别适用于低模态密度的情况，这些系统具有许多内部自由度和有限的边界自由度。exp. p-FBS：适用于逆向子结构化，有助于准静态结构特性的物理表征，同时避免与对偶解耦在导纳空间中相关的奇异性。sim. p-FBS：非常适合高频分析，其中模态数量超过自由度数量，并且一致网格的阻抗耦合。exp. d-CMS：纯模态到模态建模的应用，其优点是能够利用自由界面模态。sim. d-CMS：对于避免由于不兼容（非一致）网格和模态截断导致的人为刚度增加至关重要。exp. d-FBS：作为弱兼容性方法的一般标准，特别是在高模态密度或复杂阻尼的情况下特别有用。适用于结合VPT的基于组件的TPA（cTPA）的应用。sim. d-FBS：类似于sim. p-FBS，但通过避免对每个频率步骤进行全局动态刚度矩阵（阻抗矩阵）的计算密集型求逆，只允许求逆小的界面矩阵，从而简化了处理过程。在实验领域，基于频率的子结构化具有直接使用测量频率响应函数的优势。然而，必要的FRF矩阵求逆可能会放大测量噪声，导致组合结果中出现虚假峰值和非物理伪影[147]，[158]。一个显著的问题是在界面处激发所有相关自由度的难度，导致“不完整性”[107]。当界面描述在数学上不足以准确约束子系统时，就会出现这种情况。此外，为了补偿旋转自由度的缺失，例如虚拟点变换等方法将界面动力学投影到一个刚性子空间上。然而，这种方法假设界面在感兴趣的频率范围内表现得非常刚性。实际上，界面通常会表现出一定的柔韧性。忽略这些局部变形可能导致耦合模型过于刚硬，以及高频动力学的错误表示[185]。非线性子结构化：本综述主要关注基于线性投影的方法。然而，现有文献表明，线性假设在捕捉许多工程结构的复杂非线性动力学方面往往有限。尽管如此，许多作者[83]，[222]，[223]，[224]证明，即使那些表现出显著非线性特性的非线性机械系统也倾向于表现出线性行为（例如，准线性）。这一讨论将简要概述如何将非线性方法纳入本综述中介绍的线性动态子结构化技术框架内。讨论按常见的非线性类型组织，包括非线性边界条件、材料非线性和几何非线性以及关节非线性。此外，附录将提供对所讨论非线性的额外见解。在这方面，Allemang[36]为实验模态分析和组件模态合成奠定了基础，同时强调线性参数无法准确表示具有变化边界条件或大变形的系统。为了解决这些限制，Kerschen等人[38]，[225]，[226]研究了非线性系统识别，并扩展了Rosenberg[227]的非线性正常模态（NNMs）概念作为严格的理论框架。该框架用振幅依赖的不变性取代了线性叠加，以描述内部共振等现象。在此基础上，Rafiq和Bazaz[228]讨论了矩匹配技术的演变，指出虽然线性MOR已经成熟，但非线性增强在定义实际全局误差界限方面仍面临挑战。此外，在他们的研究中，Allemang和Avitabile[6]强调了使用鲁棒检测工具（如恢复力表面）在建模前表征非线性的重要性。这种方法确保选定的降阶模型准确反映了物理现实。他们进一步提出了一个考虑非线性连接的线性模态子结构化框架。他们的工作表明，当与显式的非线性耦合元素结合时，高度精确的降阶组件模型可以有效地预测全场非线性动态位移和动态应变，而无需完全非线性的有限元公式。然而，研究越来越多地关注发生在子结构界面处的非线性。Seshu[14]强调了有效管理边界处局部非线性的重要性，以避免与全局非线性求解相关的计算困难。He等人[45]在此基础上引入了一种实数解耦方法，用于一般阻尼系统，该方法通过在频域中迭代求解复杂代数方程来处理局部非线性。Mashayekhi等人[134]通过应用残余柔韧性附着模态来改进具有接触依赖边界的系统的准确性。在实验识别领域，Gimpl等人[229]使用动态子结构化来表征连接界面。他们定义了一个等效刚度作为有效参数，该参数考虑了界面的局部动力学，例如微滑移期间的能量耗散。这个参数使得使用简化模型仍然能够准确描述系统的整体行为。除了之前的研究外，研究还关注具有大变形的系统，其中几何非线性耦合了弯曲和拉伸模式。Tran[194]使用部分界面模态探索了CMS，并证明了其在循环对称应用中的有效性。Rutzmoser[25]发展了二次流形（QM）方法，该方法通过将模态导数（MDs）与振动模式相关联，而不是使用线性投影矩阵，建立了从降阶到物理坐标的非线性映射。这种方法无需大量模拟即可捕获非线性耦合。基于此，Wu[1]通过扩展这些MDs来增强Craig-Bampton方法，并将降阶的非线性内力表示为多项式函数，从而显著提高了时间积分效果。Mahdiabadi[86]通过提出一种非侵入式模型降阶（NIMOR）框架来解决实际实施问题，该框架使用商业有限元软件通过施加位移来确定非线性刚度系数。进一步的理论进展提供了对系统的更深入见解。Allen等人[10]解释说，几何非线性需要投影到曲率流形上，而不是线性子空间上，以有效捕获慢速-快速动力学。Ferhatoglu等人[230]引入了一种模态叠加方法，该方法使用响应依赖的非线性模态来高效预测稳态周期响应。Tiso等人[118]将这些方法归类为“系统驱动”方法，并确认二次流形与数据驱动基相比提供了更紧凑的几何非线性表示。Cammarata和Pappalardo[191]将这些概念应用于柔性多体动力学，使用广义Ritz变换来管理大型刚体运动和弹性变形。然而，处理连接中的局部非线性需要特定的建模策略。Kalaycioglu和?zgüven[231]使用描述函数方法将非线性元素准线性化，从而允许解耦频率响应函数。Gross等人[232]发现，准确预测螺栓接头需要基于实验数据的仔细参数化，以有效捕获阻尼演变。Roettgen等人[179]通过在子结构化框架内实现Iwan模态模型来解决这一问题，从而成功捕获了连接组件中的弱非线性耗散。最近的研究集中在混合和瞬态验证上。Latini等人[73]提出了一种模态域中的非线性子结构化程序，将连接视为具有振幅依赖刚度的准线性子结构。Witteveen和Koller[190]展示了基于FRF的非同时实时混合测试，使用迭代耦合来整合具有中等非线性的数值和实验子系统。此外，Witteveen等人[233]验证了使用接触模式的瞬态数值模拟可以复制复杂的实验现象，如负载依赖的特征频率。Brunetti等人[117]，[217]将这些概念应用于解耦，将连接视为一个独立的非线性子结构以识别关节动力学。最后，Kreutz等人[161]使用FBS来稳健地识别螺栓接头的多自由度模型，强调准确的界面运动学对于成功的非线性识别至关重要。总之，文献概述了两种互补的策略来管理动态凝聚中的非线性。第一种策略侧重于为几何非线性开发基于物理的降阶模型。这是通过将非线性算子直接纳入降阶基础中实现的，通过模态导数和二次流形来减少模拟的计算成本。第二种策略通过使用实验识别和混合测试来解决局部接触和材料非线性。这种方法允许在子结构化框架内参数化边界和关节的非线性行为。这些技术共同促进了展示分布式几何非线性和局部关节非线性的复杂组件的有效模拟。他们还强调了混合建模的重要性。6.3. 混合动态子结构化当前研究突出了CMS的计算效率与FBS的实验灵活性之间的明显权衡。虽然CMS在数值应用中仍然适用，但它对截断误差敏感，可能与实验数据不兼容。另一方面，FBS提供了一种直接整合实验数据的方法，但在面对测量不确定性时缺乏鲁棒性。为了解决这些挑战，混合建模作为一种强大的解决方案出现，它结合了数值组件的稳定性和实验子结构的真实动态表示。本节概述了这些方法，并总结了实现混合动态子结构化的基本概念。CMS最初是为系统的数值分析开发的，当与传输模拟器和VPT结合使用时，特别适合用于混合建模。该过程包括对结构的实验表征，以及使用传输模拟器。从模态域中的TS的数值表示中减去TS的动态，从而有效描述旋转自由度。随后，可以使用Craig-Mayes方法确定标准的HCB形式来生成测量的子结构。然后可以使用VPs或MPCs在CMS内组装这两个子结构。或者，也可以基于测量结果来表征TS，而不是使用其解析模型。在这种情况下，可以使用方程（87）中的LM-FBS来实现解耦。通过保留额外的非虚拟点变换的内部自由度，可以很容易地建立相应的模态模型。理论上，这种方法也可以与其他CMS方法结合在模拟中使用。与这一领域相关的文献可以在参考文献[2]、[77]、[164]、[168]、[169]、[234]中找到。混合建模可以用于模型更新，特别是通过系统等效模型混合（SEMM）方法。SEMM基于FBS方法，该方法通过结合数值模型和实验模型来创建混合模型。这种组合提高了数值模型的准确性，尤其是在由于各种不确定性而不够精确或难以验证时。另一方面，实验模型可以通过更准确地表示来自模拟模型的刚体模式来得到改进，从而提高装配的整体准确性。有关更多信息，请参考以下文献[10]、[12]、[13]、[183]。然而，为了有效地利用迄今为止开发的概念，首先需要将测量数据转换为模态模型。然而，如果能够直接使用数值模型和实验模型而无需进行重大转换，将会更高效。这将最小化错误并利用两种方法的优势。Beta CAE [72]提出了一种结合模拟和实验优势的方法。在这种方法中，使用有效的特征值求解器（如Lanczos或AMLS技术）来确定数值组件的模式。接下来，仅对在此上下文中提到的虚拟点（A点）合成FRFs。这显著减少了确定数值FRFs所需的计算工作量。此外，这种方法允许分析模态形状，这是直接稳态动态分析无法实现的。它还消除了子结构生成步骤，进一步减少了计算时间。此外，它利用了FBS的优势，直接使用测量的频率响应。因此，只需要将测量数据转换为虚拟点。因此，不需要模态模型，有助于避免模态参数识别中的错误。装配使用双LM-FBS方法进行。尽管这种方法仍然相对较新，但仍需要进一步研究以探索其潜力和局限性。最后介绍的方法来自Seymour等人[84]。他们的阻抗模态子结构化（IMS）方法直接将测量的FRF数据与另一个测量的模态模型结合。作者强调也可以使用模拟数据。通过使用IMS，可以实现模态和导纳形式之间的耦合。为此，他们通过引入一个额外的投影矩阵修改了方程（85）中的LM-FBS公式。这种修改将模态模型转换为导纳形式，类似于方程（86）。然而，作者没有提到在这种情况下使用VPT的任何明确应用。可以进行进一步的研究来探索虚拟点变换对模型质量的潜在影响。

7. 结论与展望
本文解决了分析具有复杂关节和众多接口的复杂动态系统的挑战。将大型系统划分为较小子系统的模块化方法使得动态子结构化特别适合这一目标。具体来说，混合子结构化结合了测量和模拟的优势，以提高计算或实验效率并改善预测质量。本文的目标是系统地分类、统一和增强数值和实验模型降阶技术，从而实现对复杂结构系统的有效混合动态子结构化。为此，本文提供了基于线性投影的模型降阶（pMOR）方法的全面回顾和统一公式。该讨论将包括动态子结构化在内的冷凝方法归类为基于线性投影的模型降阶技术的范畴。此外，“动态冷凝方法”这一术语被扩展，以在此背景下对改进的简化系统方法（IRS）、系统等效降阶扩展过程（SEREP）和通用模型降阶方法（GMR）等进行分类。
研究重点关注关键方面，包括接口简化、模态选择和装配策略。该研究提供了一个强大的框架，通过将数值方法与实验技术相结合来整合模拟和测量数据。这种统一的视角阐明了方法论上的相似性和差异，为混合建模中的更有针对性和高效的应用提供了结构化的指导。本文明确强调了互补性和相互联系，有助于在实际工程场景中（如高度复杂的振动分析和关节特性分析）提高模型保真度和计算效率。
动态子结构化的成功取决于对接口的准确描述。在这方面，接口简化方法起着关键作用。本文讨论了各种概念，概述了它们的优势和局限性。特别是，虚拟点变换（VPT）方法在频域内的实验设置中经常被使用。值得注意的是，VPT在有限元软件中有等效的定义，例如多点约束（MPCs）和刚性边界元素（RBEs）。这种相似性使得VPT在混合应用中特别有效。此外，还解释了各种用于数值虚拟点的建模方法，这些方法有效地处理了非共位接口，并通过强调最相关的自由度来提高子结构的准确性。
本文讨论的所有接口简化方法主要依赖于将模态投影到低维子空间。因此，提出了选择适当模态基的方法，这些方法被分为先验方法和后验方法。总之，先验方法在计算上更高效，而后验方法提供了更高的准确性。这些方法在动态子结构化背景下的应用有限。然而，它们提供了实现特定装配质量和评估各个子结构贡献的机会。
此外，本文强调了原始组件模态合成（CMS）和双频率基子结构化（FBS）的重要性，特别是考虑到它们在工业应用中的普及程度及其在商业软件中的集成。结合这两种方法可以利用它们的优势，为混合子结构化应用创造机会。在这方面，虚拟点变换非常适合混合建模，原因有三：首先，它即使在较高频率范围内也能有效地描述接口；其次，实验和模拟中存在等效表示，便于高效处理和交换子结构；第三，它可以很容易地与其他用于关节识别的方法（如传输模拟器和解耦技术）集成。
最后，本文指出了该领域当前的局限性和开放性挑战。这些挑战包括与接口建模精度相关的问题，例如基于奇异向量变换（SVT）表征连续接口以及确定适当的虚拟点数量及其相应的自由度。解决这些开放性挑战将进一步推进混合动态子结构化的适用性和有效性。总之，本文为机械系统社区提供了宝贵的见解，为推进动态子结构化技术的应用提供了明确的指导，并鼓励在结构动力学中实际实施混合建模方法。

术语表
(?)傅里叶变换幅度
(?)截断、简化、近似量
下标
(?)b边界、外部、主、保留、剩余、接口、耦合、唯一、主动、主要、保持的自由度
(?)i内部、从属、冗余、简化、消除、截断、非活动、次要、删除的自由度
(?)(?)，d与双重装配量相关
(?)，p与原始装配量相关
(?)η与模态量相关
(?)?与旋转量相关
(?)c与柔顺量相关
dyn动态（冷凝）模态
(?)d与主导模态相关
g与全局量相关
q/m与虚拟位移/力相关
r与残差模态相关
stat静态响应/解
t与平移量相关
u/f与未变换位移/力相关
矩阵
Ω2具有质量归一化特征频率的对角矩阵
Meff∈Rnb×nb
有效接口质量矩阵
P∈Rnb×nb
模态参与矩阵
S∈Rnb×nb
耦合矩阵
W∈Rnb×nb
权重矩阵
Ab∈Rn×nb
布尔定位矩阵
B∈Rnλ×n
有符号布尔约束矩阵
C=?fnl?u?∈Rn×n
线性化阻尼矩阵
G∈Rn×n
线性化刚度矩阵
L∈Rn×nb
布尔定位矩阵
M∈Rn×n
离散质量矩阵
Φ∈?nη×n
η组件模态矩阵
ΦGH∈?nr×n
FRGoldmann–Hou矩阵
Φib=?Kii?1
Kib∈Rni×nb
静态冷凝矩阵
R∈Rnb×nb
虚拟点变换矩阵
T∈Rn×n
q变换矩阵
Y,Z∈Rn×n
导纳/阻抗矩阵
Yuf,b
接口柔顺性矩阵
上标
(?)(s)与子结构s相关
(?)+广义逆，伪逆
(?)?1
逆
A(B,AB)
与子结构A (B,AB)相关
(?)ARelated to attachment modes
CRelated to constraint modes
N,FIRelated to fixed normal modes
N,FRelated to free normal modes
RRelated to rigid body modes

缩写
AMLS自动多层子结构化方法
BT平衡截断方法
CC特征约束模式
CCMCraig–Chang方法
CMS组件模态合成
DEIM基于位移的有效接口质量方法
DoFD自由度
DSD动态子结构化
E-MSAEigenvector-based mode selection algorithm
EIMEigenvector-based modal contribution method
EMPCEquivalent multi-point connections
FBS基于频率的子结构化
FEM有限元模型
FETIFinite element tearing and interconnecting
FRFFrequency response function
GIR全局（层级）接口简化
GMR通用模型降阶方法
HCBHurty/Craig–Bampton方法
IBSImpulse-based substructuring
ICC接口完整性准则
IDM接口位移模态
IMRInterior mode ranking
IRS改进的简化系统方法
LASSO最小绝对收缩和选择算子
LIRLocal（层级）接口简化
LSCF最小二乘复频率估计器
MACModal assurance criterion
MAM模态加速度方法
MCFS固定装置和子系统的模态约束
MDM模态位移方法
MIMOMulti-input/multi-output
MNMMacNeal方法
MOR模型降阶
MPC多点连接
MTAModal truncation augmentation
OMR模态降阶方法
RBERigid body elements
RIMReduced interior mass
RMIRelative mode importance
SEMM系统等效模型混合
SEREP系统等效降阶扩展过程
SMR标准模态降阶方法
SPCSingle-point connections
SSS状态空间子结构化
SVD (TSVD)(truncated)奇异值分解
SVTSingular vector transformation
TPA传输路径分析
TSTransmission simulator
VEIM基于速度的有效接口质量方法
VIKINGVariability improvement of key in accurate node groups
VPT虚拟点变换
标量
ω（圆形）特征频率
n?=nd+nb简化系统的自由度数量
n?η固定正常模式的数量
n?η自由正常模式的数量
n?η简化模态坐标的数量
j复单位
n=∑sns自由度的数量
ns每个子结构的自由度数量
nη子结构的模态坐标数量
nη(s)子结构sn的模态坐标数量
λ平衡方程的数量
nb=ne+nr边界自由度的数量
nd结构的主导模态数量
ne外部自由度的数量
nq广义坐标的数量
nr刚体自由度的数量
Nω离散频率的数量
ni内部自由度的数量
ns子结构的数量
向量
d距离向量
η∈Rnη广义模态坐标向量
f∈Rn离散外力向量
fnl∈Rn非线性外力的数量
g∈Rn离散反作用力向量
λ∈Rnλ拉格朗日乘数
μ残差向量
q∈Rnq广义坐标向量
r残差力向量
u,u?∈Rn（节点）位移和速度向量
ζ∈Rnr刚体坐标向量
t离散时间

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图5. 在组件模态合成和基于频率的子结构化的背景下，模态形状被分为两类：正常模态和静态校正模态。

CRediT作者贡献声明
Philipp Wagner：写作——审阅与编辑，写作——原始草稿，可视化，验证，软件，资源，方法论，调查，形式分析，数据整理，概念化。
Patrick Langer：写作——审阅与编辑，资金获取。
Marcus Maeder：写作——审阅与编辑，验证。
Steffen Marburg：写作——审阅与编辑，监督。