基于IGA（Interactive Genetic Algorithm）的显式拓扑优化方法在复杂壳体上设计弹性静力隐形斗篷

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Design of elastostatic cloak on complex shells using IGA-based explicit topology optimization approach

　　黄安贤|程旭兵|边唐淮|杜宗良|郭旭
中国大连理工大学工程力学系，工业设备结构分析与优化及CAE软件国家重点实验室，116023

**摘要**
弹性静力隐形技术旨在隐藏物体，使其位移响应与周围均匀介质无法区分。在一般壳结构上实现弹性静力隐形具有重要的意义，但同时也充满挑战，因为曲率效应会复杂化力学响应并限制现有的设计方法。我们提出了一种显式的拓扑优化框架，通过将多块拼接的等几何分析与可移动的变形空洞方法相结合来实现壳结构的隐形，并引入了一种基于能量的标准化误差度量来量化隐形性能，作为目标函数。优化后的配置可以直接表示为CAD表面模型。一系列数值示例表明，该框架适用于具有硬质嵌入物或各种形状空洞的复杂壳结构，并且所得到的隐形设计对加载方向具有鲁棒性。结果还显示，基于能量的目标函数与周围区域的未受扰动应变响应更为吻合。所提出的策略可以很容易地扩展到其他物理场中的壳结构隐形问题。

**引言**
隐形技术旨在通过重新定向周围场来使物体不可检测。受到Leonhardt等人[1]和Pendry等人[2]开创性基于变换的隐形工作的启发，隐形概念已在电磁学[3][4]、热传导[5][6][7]、声学[8][9][10]、弹性动力学（波动）[11][12][13][14]以及弹性静力学[15][16][17]等领域得到探索。弹性静力隐形技术为在飞机、航天器和潜艇的壳结构中集成窗口或嵌入式组件提供了途径，同时保持整体的载荷传递。因此，为复杂壳结构设计弹性静力隐形技术对于结构工程具有重要意义。

在力学中，隐形技术旨在使外部位移场保持不变，无论内部是否存在空洞或嵌入物。与其他标量物理场相比，力学隐形更具挑战性，因为弹性静力学是由一个张量值系统控制的矢量位移场，其分量本质上是相互耦合的[12]。此外，连续介质方程在一般坐标变换下不具备形式不变性[18]。现有研究表明，通过扩展经典柯西弹性理论到广义本构模型（如Cosserat介质[19]、Willis型有效介质[18]、极性材料[20]以及特殊机械超材料[21][22][23]），可以恢复坐标变换下的形式不变性。然而，基于变换的隐形技术通常需要高度非均匀和各向异性的材料，并且在曲面上构建可接受的坐标变换会引入额外的几何和计算复杂性。因此，通过拓扑优化实现近似隐形成为了一种实用的替代方案。拓扑优化可以调整材料属性和拓扑结构在预定设计区域内的分布，从而使位移场与未受扰动的参考结构相匹配。对于离散实现的结构，常见的方法包括直接优化晶格的几何或刚度参数[24][25]，以及基于逆均质化的方法[26][27][28]；对于后者，还开发了数据驱动策略[29][30][31][32][33]。值得注意的是，基于均质化的设计方法在实践中可能会引入不可忽视的边界层和有限尺寸效应。此外，宏观尺度拓扑优化是直接在连续结构上进行的，不依赖于单元格实现。在基于密度的方法[34][35]中，获得清晰的最终布局通常需要一个非平凡的密度阈值处理过程。同时，边界演化方法可以产生具有清晰边界的隐形拓扑结构。Ota和Fujii[36]开发了一种基于水平集的拓扑优化方法，以实现同时具有隐形和应力聚焦的效果。Cheng等人[37][38]提出了一种基于兼容性的拓扑优化方法，以实现弹性静力和热弹性隐形，同时将分析限制在隐形区域内以降低计算成本。除了基于优化的设计外，弹性静力隐形还通过解析方法[39]、不规则生长策略[40]和生成方法[41]实现。

尽管在基于优化的弹性静力隐形方面取得了实质性进展，但大多数现有研究集中在平面或三维（3D）固体环境中。就基本思想而言，这些工作与本研究具有共同的目标，即通过优化隐形区域内的材料分布来恢复力学响应。然而，将这种设计范式扩展到壳结构远非易事。初始曲率会固有地耦合膜材的拉伸和弯曲，从而复杂化力学响应并限制了几种现有设计方法的适用性。例如，对于基于均质化的策略，非周期性壳结构（具有空间变化的曲率）通常会违反周期性假设。基于密度的方法需要额外的后处理来提取最终的隐形边界，这可能会影响隐形性能。这些考虑促使我们提出了一种用于壳结构弹性静力隐形的显式拓扑优化策略，因为它提供了一种可行的方法来获得与CAD兼容的隐形拓扑结构。

最近，等几何分析（IGA）已被广泛用于壳结构分析[42][43][44]。IGA使用定义几何的相同基函数，最初是为了无缝连接CAD和CAE[45]而提出的。非均匀有理B样条（NURBS）是最成熟的IGA基函数，提供了方便的高阶连续性，提高了壳结构分析的准确性和鲁棒性，使其成为我们框架中表示复杂壳结构的理想选择。在过去十年中，IGA已被集成到各种拓扑优化公式中，包括SIMP[46][47]、水平集方法[48][49]和可移动变形组件/空洞（MMC/MMV）方法[50][51]。特别是MMV方法将修剪曲线的控制点视为显式设计变量，从而产生清晰的、与CAD兼容的几何形状，使优化结果可以直接转换回CAD。尽管相关的隐式边界方法已经扩展到多块拼接的等几何壳结构[52][53]，但大多数现有的基于MMV的等几何拓扑优化研究仅限于单块域[54][55]，而工程中的复杂壳结构通常由多个NURBS块组成[56]。因此，启用基于MMV的优化在多块拼接IGA壳结构上具有重要的实际意义。常见的跨多块接口实现连续性的方法包括拉格朗日乘数法和砂浆法[57][58]、惩罚法[59]以及Nitsche型耦合[60][61]。另外，Pan等人[62]通过参数化和全局细化策略实现了接口连续性，而无需辅助接口项。

在这项工作中，我们开发了一种用于复杂壳结构弹性静力隐形的显式拓扑优化框架。壳结构被建模为双三次多NURBS块，而隐形布局通过MMV方法进行更新。MMV由B样条曲线表示，允许空洞在块接口之间平滑移动和变形。该框架绕过了坐标变换和单元格设计，生成的隐形结构以修剪后的NURBS几何形状的形式出现，可以直接转换回CAD。一系列数值示例验证了所提出框架的正确性，并展示了其在不同曲率的壳结构、各种形状的空洞以及多种加载情况下的适用性。特别是，用于飞机机头的隐形示例突显了其在工程应用中的潜力。

**本文的贡献**
首先，据我们所知，我们建立了第一个用于复杂壳结构弹性静力隐形的显式拓扑优化框架。其次，我们引入了一种基于能量的标准化误差度量ΔE作为隐形目标函数，表明它提供了一种一致且有效的误差度量，用于评估隐形性能，并且优化结果与未受扰动的位移和应变响应更为吻合。第三，我们开发了一种实用的基于MMV的显式拓扑优化实现方法，适用于Reissner–Mindlin壳结构，并推导出了解析灵敏度。

**本文的其余部分组织如下**
第2节介绍了壳结构的多块拼接等几何分析。第3节阐述了壳结构上的弹性静力隐形设计问题和基于MMV的拓扑优化方法。第4节报告了代表性的数值示例。最后，第5节总结了主要发现并指出了未来工作的方向。

**多块拼接等几何分析**
在这项工作中，壳结构通过基于NURBS的Reissner–Mindlin壳元素进行离散化。几何和物理场使用相同的样条基函数，消除了几何近似误差，保持了精确的曲率和表面平滑性，并为壳结构分析提供了高阶连续性。我们采用多块NURBS表示法，以便用清晰的边界描述不同的区域和内部孔洞。通过一系列预处理步骤，实现了壳结构上力学隐形的显式拓扑优化框架。

**结论**
在这项工作中，我们提出了一种用于复杂壳结构弹性静力隐形的显式拓扑优化框架，结合了多块拼接等几何分析和可移动变形空洞（MMV）方法。优化后的隐形结构以CAD兼容的形式获得，可以直接导入CAD环境而无需额外的几何后处理。引入了基于能量的不匹配度量ΔE作为隐形的鲁棒和全面指标。

**作者贡献声明**
黄安贤：撰写——原始草案、验证、软件、方法论、研究、形式分析。
程旭兵：撰写——审阅与编辑、可视化、监督、方法论、研究。
边唐淮：撰写——审阅与编辑、可视化。
杜宗良：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草案、监督、方法论、资金获取、概念化。
郭旭：撰写——审阅与编辑、监督、方法论、资金获取、概念化。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

**致谢**
本研究得到了中国国家自然科学基金（123721222）、辽宁省科技计划（2023JH2/101600044）和中国111项目（B14013）的支持。