一种拓扑方法在相场模型的断裂研究中用于裂纹路径检测和裂纹开口位移的计算

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A topological approach to crack path detection and crack opening displacement calculation in phase-field models of fracture

　　穆希丁·巴巴奥卢（Muhittin Babao?lu）|奥赞·厄兹古尔·卡亚纳尔（Ozan ?zgür Kaynar）|塞尔达尔·戈克特佩（Serdar G?ktepe）
中东技术大学土木工程系，Dumlup?nar大道1号，安卡拉，06800，土耳其

**摘要**
与离散方法不同，在相场断裂模型（PFMs）中，裂纹拓扑是通过连续的序参量以模糊的方式近似的。虽然这种方法避免了在复杂断裂问题中跟踪、控制裂纹起始、扩展和分支所需的额外复杂算法，但裂纹在PFMs中的扩散特性阻碍了精确裂纹路径的确定以及裂纹开口位移（COD）的估计。裂纹开口位移在许多实际工程问题中起着核心作用，例如水力压裂中的流体流动建模、热裂解中的热传导和对流以及粘聚断裂的相场建模。因此，本文致力于开发一种高效且稳健的计算工具来计算COD。为此，我们考虑了一个逐步扩展的裂纹，其骨架由多个段组成，每个段都用三次样条函数来拟合。属于该段的点集被分解为两组，由样条函数分隔开。垂直于样条函数的位移分量的分量分别对两组进行拟合。然后通过减去这两组来获得COD。所提出的裂纹重建方法的创新之处在于基于在PFM内明确确定的裂纹路径来计算COD。通过基本到复杂的裂纹轮廓的代表性数值示例，证明了该工具的优异性能。

**引言**
相场方法（PFM）用于模拟裂纹，已被逐渐采用为处理复杂断裂几何形状和断裂扩展机制的稳健方法。早期关于PFM的研究是为脆性断裂开发的，源自格里菲斯理论（Griffith’s theory）的能量最小化原理，并随后被构建为热力学上一致的模型[1]、[2]、[3]、[4]、[5]。随后，PFM被扩展到多种断裂类型，如疲劳断裂[6]、[7]、延性断裂[8]、[9]、动态断裂[10]、[11]、[12]、水力压裂[13]、[14]以及干燥[15]、[16]等。
与离散断裂建模方法不同，在PFM中，尖锐的裂纹拓扑通过连续的序参量（即所谓的相场）被模糊处理，从而避免了依赖额外的裂纹起始、扩展和分支算法[17]。因此，它允许直接模拟复杂的裂纹模式[18]、[19]。然而，裂纹在PFM中的扩散特性阻碍了精确裂纹路径的确定以及裂纹开口位移（COD）的估计。后者对于使用达西-泊肃叶定律[20]、[21]进行流体流动建模以及粘聚断裂的相场建模[22]、[23]至关重要。因此，PFM在文献中的普及引起了人们对在PFM内计算COD挑战的关注。
随着对这些挑战的关注不断增加，已经提出了几种裂纹路径检测和COD计算的方法。大多数专注于在扩散裂纹模型框架内检测裂纹路径的研究旨在识别裂纹的骨架，也称为裂纹的脊线或中轴线。这些方法类似于图像检测文献中的方法，其中图像的骨架（即对称轴）被用于计算机视觉、机器学习算法、图像处理、对象和模式识别[24]、[25]、[26]。Bottoni等人[27]提出了一种在梯度损伤模型中获取I型裂纹路径的方法，这是一种连续方法，无法隐式获取裂纹路径和裂纹开口，因为它会使裂纹模糊。在后处理阶段，该方法确定标量状态变量（如损伤、塑性变形或应变）的轮廓，从而创建3D拓扑。拓扑的峰值被选为起点。第二个点是通过以第一个点为中心的圆上的最大状态变量来选择的。使用这种算法确定的路径提供了对应于裂纹对称轴的拓扑脊线。Tamayo-Mas和Rodríguez-Ferran[28]提出了另一种方法，可以利用损伤场找到裂纹的中轴线。这种方法在断裂区内绘制双切球，然后结合球心来获取裂纹的骨架。Rangarajan等人[29]在他们的方法中，使用三次样条函数表示由格里菲斯理论驱动的准静态脆性断裂扩展。最近，Ziaei-Rad等人[30]提出了非最大值抑制图像处理技术，利用损伤变量的梯度方向来获取裂纹的脊线。然后该方法将裂纹脊线上的点拟合到三次样条函数中以表示裂纹路径。这种方法被整合到脆性断裂的相场方法中以获取裂纹几何形状。Yang等人[19]将数值流形方法（NMM）与相场方法结合，以消除PFM的规则化裂纹效应，从而获得明确表示的断裂表面和位移跳变。这种在脆性断裂中实现的方法能够捕捉弯曲、合并和分支的裂纹。裂纹表面的位移跳变可以从固定相场的节点位移中得出。然而，为了使用位移跳变（例如在水力压裂的达西-泊肃叶定律中），需要断裂表面之间的总位移跳变。因此，需要进一步的矢量加法。例如，Costa等人[31]使用混合方案将裂纹表示为离散的，同时使用Miehe的基于应变的裂纹开口方法[20]、[21]来计算COD。此外，由于其显式的裂纹生成特性，该模型不能用于获取粘聚断裂的COD。另外，NMM的流形元素需要额外的计算资源[19]。Xu等人[32]提出了另一种从相场轮廓重建裂纹路径的方法。他们使用优化的脊线回归算法从相场点云中获取低维裂纹路径，包括离散的断裂网络。
除了裂纹路径检测算法外，还提出了几种计算COD的方法。最早的方法之一是基于应变的裂纹开口计算，其中元素大小和应变分量相乘[20]、[33]、[34]。在达西-泊肃叶流中，使用基于应变的方法获得的COD来计算裂纹渗透率。在最近的研究中，进一步改进了这种方法，以解决其对断裂方向和元素大小依赖性的局限性[17]。水平集方法（Level-set method）是另一种COD计算方法[23]、[35]、[36]。它使用位移场和从应用于相场的水平集函数获得的等高线法线向量来计算COD。这种方法基于裂纹表面位移对称的假设。这是水平集方法的主要局限性之一。另一种最常用的裂纹开口计算方法是所谓的线积分方法[14]、[22]、[36]、[37]、[38]、[39]、[40]、[41]。它是对位移场和损伤梯度的标量积进行线积分，并在垂直于裂纹的方向上对元素进行积分。路径是从相场的梯度中得出的，其边界由断裂区域限制。这种方法的局限性包括需要进一步的裂纹尖端处理、其对元素大小和方向的依赖性以及由于元素级计算而产生的高计算成本[14]、[36]。

本文提出了一种稳健且新颖的方法，可以计算粘聚和脆性相场断裂中的裂纹开口位移。在本研究中，选择了Miehe等人[43]提出的AT2型[42]脆性相场断裂公式。所提出的方法在后处理阶段工作。在每个加载步骤中，将断裂区域划分为多个段。使用三次样条函数根据位置和相场变量检测每个段的裂纹路径。然后，将位移场投影到每个点处垂直于样条函数的方向上。然后将每个段的点集根据对应于裂纹对称轴的三次样条函数分解为两个子集。使用投影的位移，每个子集分别用线性表面方程拟合。最后，通过减去两个集合的表面方程来计算COD场。据我们所知，这是第一种通过平面拟合位移来进行COD拓扑计算的方法，其中裂纹路径在相场方法的框架内被明确检测和利用。所提出的方法规避了水平集方法的缺点，因为它能够计算不对称开口的COD。此外，所提出的方法不需要处理裂纹尖端，因为没有使用相场的梯度，并且COD是逐点计算的，而不是像线积分方法那样逐元素计算。此外，只要断裂区域的有限元网格足够细（在PFM中总是如此），结果就与网格的规则性无关。所提出方法的性能基于五个数值示例进行了评估，包括Sneddon的静止裂纹问题、三点弯曲试验、单边缺口剪切试验、L形结构以及带有高强度圆形夹杂物的复合材料的单边缺口拉伸试验。

**本文的其余部分结构如下。**
第2节简要介绍了AT2型相场断裂方法。第3节致力于构建用于裂纹路径检测的样条段。第4节阐明了使用裂纹路径进行的裂纹开口位移计算。第5节提出了数值示例并讨论了关键发现。第6节以一些评论作为结论。

**裂纹拓扑的相场近似**
设B?Rδ表示δ维欧几里得空间中的材料体，?B?Rδ?1为其表面，δ∈{2,3}表示空间维度。裂纹相场定义为d:B×T→[0,1](x,t)?d(x,t)，用于表示在时间间隔T?R内固体B中的裂纹扩展。然后定义裂纹泛函为?Γl(d)?∫Bγ(d;?d)dV，其中裂纹表面积密度函数为?γ(d;?d)?1/c0lα(d)+l2|?d|2，局部几何裂纹阻力由所谓的几何参数表示。

**裂纹路径检测的样条计算**
准确表征裂纹生长对于理解材料中的断裂行为至关重要，特别是在使用产生扩散裂纹表示的相场模型时。直接分析相场轮廓可能会导致确定裂纹路径和尖端位置的不确定性，因为相场变量是逐渐变化的。在本节中，我们描述了用于裂纹路径检测的样条计算方法，这对于确定裂纹开口是必不可少的。

**裂纹开口位移的计算**
本节详细介绍了使用前一节获得的样条进行裂纹开口位移（COD）计算的方法。为此，将相场裂纹路径划分为多个段，并为每个段Si关联一个相应的一次三次样条Si=a3ix3+a2ix2+a1ix+a0i=y。该样条是通过使用属于段Si的点(xj, yj)的坐标，采用最小二乘法获得的，如图3所示。

**代表性数值示例**
通过Sneddon的静止裂纹问题测试了所提出的COD计算工具的性能，其中模型使用了压裂静态裂纹的解析解以及四个具有基本到复杂裂纹轮廓的扩展断裂问题进行了验证。所有示例都是纯机械边界值问题，其中使用了第2节中概述的AT2型脆性相场断裂模型[43]。

**结论性评论**
在这项工作中，我们提出了一种高效、稳健且新颖的计算方法，用于计算粘聚和脆性相场断裂中的COD。为此，我们用多个段对逐步扩展的裂纹的骨架进行了建模。每个段都用三次样条方程进行了拟合。每个部分的要点被进一步划分为两组子点，这两组子点由样条线分隔开。位移向量的组成部分包括：CRediT 作者贡献声明中的 Muhittin Babao?lu（负责写作、审稿与编辑、撰写初稿、软件开发、方法论、形式分析以及概念化工作）；Ozan ?zgür Kaynar（负责撰写初稿、软件开发、方法论、形式分析以及概念化工作）；Serdar G?ktepe（负责写作、审稿与编辑、撰写初稿、验证工作、项目监督以及方法论和概念化工作）。关于利益冲突的声明：作者声明他们没有已知的财务利益冲突或可能影响本文研究结果的个人关系。