一种统一处理强局部相关性和集体波动的方法：消除自旋通道中的发散现象

《Annals of Physics》：A unified approach to strong local correlations and collective fluctuations: Eliminating divergence in the spin channel

　　S.D. 谢缅诺夫 | A.I. 利希滕斯坦 | A.N. 鲁布佐夫
俄罗斯量子中心，莫斯科，121205，俄罗斯

**摘要**
动态平均场理论（DMFT）通过将晶格映射到一个自洽的有效杂质模型，为相关晶格系统提供了最优的局部近似。为了解释缺失的空间相关性，我们提出了一种新的扩展方法，称之为波动动态平均场理论（fDMFT）。该方法通过泛函积分将辅助杂质模型在不同位置的集体波动纳入考虑。从技术上讲，这种方法涉及在晶格上获得一系列DMFT解，这些解适用于自洽的辅助经典场。虽然原则上可以通过图论方法改进结果，但我们发现该理论的最简版本已经能够得到准确的结果，而最低阶的图论修正仅能带来微小的改进。这种基于波动局部场概念的一致性框架，为接近半填充的Hubbard模型提供了准确的结果，并为纳入常规DMFT之外的主要集体波动提供了一个灵活的平台。

**引言**
莫特-哈伯德绝缘体可能是最早且最著名的例子，展示了固体中电子相关性的重要性。尽管能带理论预测这些材料应该是金属的，但由于电子的库仑排斥作用导致的空间局域化，它们实际上变成了绝缘体。从早期开始，科学家们就将晶格点上的局部电子相关性视为形成莫特态的主要机制。后来，著名的动态平均场理论（DMFT）被引入来精确处理这种局部相关性。这种方法确实能够对三维莫特绝缘体（如过渡金属氧化物）进行现实的建模。然而，由接近半填充的莫特-哈伯德模型描述的准二维相关系统仍然具有挑战性。其中一个主要困难是费米-哈伯德模型在半填充附近强烈的反铁磁（AF）不稳定性。尽管梅明-瓦格纳定理禁止平面系统中的真正反铁磁序，但这种不稳定性会导致强烈的集体自旋波动，这在局部DMFT方法中无法处理。

目前，相关费米-哈伯德系统领域的进展主要依赖于“暴力”数值方法的进步，例如DMRG方法的切空间张量重整化群（tanTRG）变体[5]和使用所谓连接行列式（CDet）方案的图论蒙特卡罗方法[6]。后者也可以被视为标准连续时间量子蒙特卡罗求解器对于一般杂质问题的“连接图”版本[7]。tanTRG方法已经能够为具有开放边界条件的10×10 Hubbard簇获得稳定解[5]，而CDet方法解决了费米-哈伯德模型的伪能隙相图这一长期存在的问题[8]。此外，还使用了费米-哈伯德量子模拟器（如量子气体显微镜[9]）对这些系统进行了实验研究。

尽管如此，基于DMFT近似描述强非局域波动现象的简单方案几乎没有进展，这种方案能够允许对强耦合非局域磁波动进行准确且物理上有意义的理解。

使用非局部DMFT扩展方法（如双费米子[10]、[11]、动态顶点近似[DΓA][12]、[13]、三重不可约局部展开[TRILEX][14]、[15]和双TRILEX[16]、[17]、[18]）可以取得一定的进展，这些方法将非局部物理纳入考虑，超越了纯粹的局部DMFT。这些方法在弱到中等耦合范围内通常表现良好，并且能够捕捉短程反铁磁相关性。然而，在低温下强相关系统中——那里长程有序和集体磁波动占主导地位——这些方法往往不够有效。

另一种途径是采用超越DMFT的parquet型图论展开[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]。然而，这类方案在低温下的强相关系统中往往数值不稳定，而且将其推广到多轨道系统也相当复杂。我们还参考了针对半填充、中等相关Hubbard模型（U=2t）的不同方法的广泛比较[25]。简而言之，即使对于这个相对简单的案例，现有的近似方法在集体自旋波动占主导的情况下也无法可靠地工作——即远低于DMFT的奈尔转变点。

描述磁波动的一个合理途径是采用一种方案，在该方案中，自旋自由度与辅助波动场明确耦合。然而，尝试引入具有完全量子、非共线、旋转不变的波动的路径积分表示[26]、[27]、[28]尚未产生数值结果，因为晶格量子蒙特卡罗计算中存在严重的符号问题。

在这种情况下，所谓的波动局部场（FLF）方案[29]、[30]、[31]、[32]、[33]、[34]、[35]、[36]被提出作为这些方法和简单平均场方案之间的最佳折中方案。在FLF假设中，波动场在与相关集体波动相关的一个或几个通道中被引入。对波动场的积分是显式进行的，而其余自由度则被近似处理。根据所选的近似方法，可以得到FLF方案的不同版本。在参考文献[30]中，使用FLF结合低阶图论近似研究了中等相关的Hubbard模型。

在本文中，我们介绍了基于DMFT近似的FLF方案，并使用一个强相关系统对其进行基准测试。具体来说，我们提出了在L×L周期性正方晶格上定义的单带费米子Hubbard模型的方法，该模型处于外场m的作用下，温度为β的倒数。我们假设m与与集体波动相关的主导模式共轭。这个假设对系统大小L有一定的限制。形成集体模式需要系统包含大量粒子，因此L必须足够大。一方面，假设波动主要发生在单一模式中意味着系统不是非常大；另一方面，假设波动主要发生在单一模式中意味着系统也不应太大。在我们的实际计算中，我们发现对于L=6到10，该理论表现良好。在这些数值结果之后，提供了关于该理论适用范围的更详细讨论。

**定义**
我们使用拉格朗日形式主义和张量符号，因此在外场（由向量m确定）中具有裸能谱（??）的相关晶格费米子模型由虚时间作用量?Sm[c?,c]=Sat[c?,c]+c??c?c?Mmc描述，其中c?,c是对应于产生-湮灭算符的格拉斯曼变量。原子系统的作用量为：Sat=?c????τ+U2+μc+∑j∫0βdτUnτ,j,↑nτ,j,↓。它描述了一个由孤立原子组成的晶格，具有现场排斥U。

**fDMFT和fDF的推导**
让我们从配分函数Zm=∫D[cc?]e?Sm[c?,c]开始，并使用以下表示单位算符1=λ2πβN3/2∫e?βN2λ(h?m?λs)2d3h，其中λ是一个正常数，向量h将被称为波动场。我们将这个单位算符插入配分函数表达式（11）的被积函数中，并将得到的方程重写为：Zm=λ2πβN3/2∫Z?he?βN2λ(h?m)2d3h，其中Z?h=∫D[cc?]e?S?h[c?,c]，且?S?h[c?,c]=Sat[c?,c]+c??c?βN(hs)+λ2βNs2。

**数值结果**
在本节中，我们考虑了上述哈密顿量的Hubbard模型。除非另有说明，我们固定一个尺寸为L=8的二维周期性正方晶格，并研究温度范围在β∈[0.5,10]内的情况。fDMFT（fDF）方法的一个关键优势是它可以直接应用于非半填充情况；为了说明这一能力，我们展示了μ=0和?0.68的结果，涵盖了半填充情况和一个掺杂情况。

**与其他方法的比较**
为了独立验证我们的方法，我们将其与最近的一项研究[8]的数据进行了基准测试，该研究对2D Hubbard模型的行列式图论蒙特卡罗（CDet）和相互作用展开连续时间量子蒙特卡罗（CT-INT）进行了交叉比较。与那项工作直接对应，我们将自己限制在一个8×8的晶格上，具有周期性边界条件，并比较了最低Matsubara频率下的动量分辨自能Σ(k,iω0)。

**结论与展望**
在这项工作中，我们开发并基准测试了一种描述中等至强耦合范围内强相关系统的新方法，以U≈5t的二维Hubbard模型作为典型示例。我们将这种方法称为波动动态平均场理论（fDMFT）。fDMFT的主要思想是将传统DMFT固有的局部相关物理的准确处理与强集体波动的一致描述结合起来。

**作者贡献声明**
S.D. 谢缅诺夫：写作——审阅与编辑、撰写原始草稿、可视化、验证、软件、研究、形式分析。
A.I. 利希滕斯坦：写作——审阅与编辑、撰写原始草稿、验证、监督、软件、方法论、研究、形式分析、概念化。
A.N. 鲁布佐夫：写作——审阅与编辑、撰写原始草稿、可视化、验证、监督、软件、项目管理、方法论、研究、形式分析。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

**致谢**
S.D.谢缅诺夫的工作得到了“BASIS”理论物理和数学发展基金（Grant No. 25-1-5-57-1）的支持。A.I.利希滕斯坦部分得到了ERC Synergy Grant 854843 - FASTCORR的支持。