针对具有密度依赖摩擦力的可压缩流体-颗粒相互作用模型的全局强解方法

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：Global strong solutions to a compressible fluid-particle interaction model with density-dependent friction force

　　傅彩丽|金凯尼|满武
南京大学数学学院，南京210093，中华人民共和国

摘要
我们研究了R3中流体-粒子相互作用模型的柯西问题。该模型由可压缩的巴洛克托力纳维-斯托克斯方程和通过密度依赖的摩擦力耦合的弗拉索夫-福克-普朗克方程组成。由于摩擦力引起的强耦合，构建强解的全局存在性和最优衰减率是一个具有挑战性的问题。在本文中，通过假设初始数据的H2范数足够小，我们证明了强解的全局适定性。此外，如果初始数据的L1范数有界，那么我们获得了强解及其梯度在L2范数中的最优衰减率。证明依赖于发展精细的能量估计和利用频率分解方法。另外，对于周期性域的情况，我们的全局强解呈指数衰减。

引言
流体-粒子模型，其中分散的粒子悬浮在密集的流体中，已在各种领域得到广泛应用，例如喷雾动力学[2]、燃烧理论[43],[44]、化学工程[6]和生物医学喷雾[3]。从统计学的角度来看，粒子的行为通常由概率密度分布函数F=F(t,x,v)≥0来描述，其中t>0，x∈Ω?R3，v∈R3是粒子的速度，它通常遵循弗拉索夫-福克-普朗克（VFP）方程（[34]）：?tF+v??F+divv[FdF??vF]=0。这里Fd表示摩擦力（也称为阻力）Fd=F0(u?v)，其中F0>0是一个常数（通常为了简化而选择为1），未知函数u=(u1,u2,u3)?∈R3表示流体的速度。
公式（1.2）广泛应用于不可压缩均匀流体[7],[10],[18],[19],[20],[24],[26]、不可压缩非均匀流体[13],[17],[27],[30],[37],[38],[39]以及可压缩流体[11],[16],[34],[35],[36],[41]。正如Mellett和Vasseur在[35]中指出的，从物理角度来看，选择（1.2）可能不是最精确的，特别是当流体的密度变化时，例如在不可压缩非均匀流体和可压缩流体中。因此，假设Fd依赖于流体密度n=n(t,x)更为合适，即Fd=F0n(u?v)，这具有更大的物理意义。然而，由于流体密度n的参与，流体-粒子模型中出现了一些三线性项。因此，在这种情况下获得全局解更具挑战性，只有少数严格的数学结果，参见[4],[12],[29],[40]。Wang和Yu[40]在具有反射边界条件的有界域中获得了以下系统的弱解的全局存在性{?tF+v??F+ndivv[(u?v)F]=0,?tn+div(nu)=0,divu=0,?t(nu)+div(nu?u)+?π=?n∫R3(u?v)Fdv}。Choi和Kwon[12]在T3和R3中获得了（1.4）在[0,T]上的强解，当初始数据足够小且规则时。此外，他们还表明，如果粒子的局部密度满足一定的可积性条件，那么粒子和流体的速度将呈指数衰减。Baranger和Desvillettes[4]首次在RxN中获得了以下模型的局部时间经典解{?tF+v??F+ndivv[(u?v)F]=0,?tn+div(nu)=0,?t(nu)+div(nu?u)+?P=?n∫R3(u?v)Fdv}，当初始数据足够平滑且其支撑具有适当的属性时。
流体-粒子模型已被广泛应用于各种领域，例如喷雾动力学[2]、燃烧理论[43],[44]、化学工程[6]和生物医学喷雾[3]。从统计角度来看，粒子的行为通常由概率密度分布函数F=F(t,x,v)≥0来描述，其中t>0，x∈Ω?R3，v∈R3是粒子的速度。该函数通常遵循弗拉索夫-福克-普朗克（VFP）方程（[34]）：?tF+v??F+divv[FdF??vF]=0。这里Fd表示摩擦力（也称为阻力）Fd=F0(u?v)，F0>0是一个常数（通常为了简化而选择为1），未知函数u=(u1,u2,u3)?∈R3表示流体的速度。公式（1.2）广泛应用于不可压缩均匀流体[7],[10],[18],[19],[20],[24],[26]、不可压缩非均匀流体[13],[17],[27],[30],[37],[38],[39]以及可压缩流体[11],[16],[34],[35],[36],[41]。正如Mellett和Vasseur在[35]中指出的，从物理角度来看，选择（1.2）可能不是最精确的，特别是当流体的密度变化时，例如在不可压缩非均匀流体和可压缩流体中。因此，假设Fd依赖于流体密度n=n(t,x)更为合适，这具有更大的物理意义。然而，由于流体密度n的参与，流体-粒子模型中出现了一些三线性项。因此，在这种情况下获得全局解更具挑战性，只有少数严格的数学结果，参见[4],[12],[29],[40]。Wang和Yu[40]在有界域中获得了以下系统的弱解的全局存在性{?tF+v??F+ndivv[(u?v)F]=0,?tn+div(nu)=0,divu=0,?t(nu)+div(nu?u)+?π=?n∫R3(u?v)Fdv}，初始数据较大。Choi和Kwon[12]在T3和R3中获得了（1.4）在[0,T]上的强解，当初始数据足够小且规则时。此外，他们还表明，如果粒子的局部密度满足一定的可积性条件，那么粒子和流体的速度将呈指数衰减。Baranger和Desvillettes[4]首次在RxN中获得了以下模型的局部时间经典解{?tF+v??F+ndivv[(u?v)F]=0,?tn+div(nu)=0,?t(nu)+div(nu?u)+?P=?n∫R3(u?v)Fdv}，当初始数据足够平滑且其支撑具有适当的属性时。Carrillo、Goudon和Lafitte[9]通过在第（1.5）式中添加一个粘性项，即将ndivv[(u?v)F]改为ndivv[(u?v)F??vF]，引入了（1.5）的修改版本。然而，在[9]中没有提出关于这个修改模型的数学结果。通过在[9]中引入的流体方程（1.5）3中添加一个粘性项?μΔu，Li、Mu和Wang[29]分别考虑了以下模型：{?tF+v??F+ndivv[(u?v)F]=0,?tn+div(nu)=0,?t(nu)+div(nu?u)+?P?μΔu=?n∫R3(u?v)Fdv}，在整个空间R3和环面T3中。压力P=P(t,x)仅依赖于n，且P′(?)>0（回想一下等熵气体情况下的原型P(n)=c0nγ，其中γ>1且c0>0）。此外，参数μ>0是粘性系数。他们讨论了当初始数据是全局麦克斯韦分布的小扰动时，经典解在H4框架下的全局适定性。然而，[29]中没有讨论经典解的最优时间衰减率。实际上，他们表明解在R3中的L∞-范数具有（1+t）?1/2的衰减率，但在自然L2-范数中的衰减率缺失。

在本文中，我们重新审视了R3中的模型（1.6）。我们的目的包括两个方面：（1）将初始数据的规则性从H4(R3)降低到H2(R3)；（2）获得强解及其梯度在L2-范数中的最优时间衰减率，甚至在Lp范数中的衰减率，其中p∈[2,6]。
如前所述，大多数关于流体-粒子模型的研究都集中在形式为（1.2）的摩擦力上。下面我们简要回顾了一些关于不可压缩和可压缩模型的结果。
首先，我们考虑以下不可压缩模型：
{?tF+v??F+divv[(u?v)F??vF]=0,divu=0,?tu+u??u+?π?Δu=?∫R3(u?v)Fdv。
该模型（1.7）被称为不可压缩均匀纳维-斯托克斯-弗拉索夫-福克-普朗克系统。Goudon等人[18]在环面T3上证明了（1.7）在平衡附近在Sobolev空间Hs（s≥2）中的全局经典解的存在性。Chae、Kang和Lee[10]证明了（1.7）在Rd（其中d=2,3）中的弱解的全局存在性。Carrillo、Duan和Moussa[7]获得了（1.7）在无粘情况下光滑解的时间衰减率在L2-范数中。如果将（1.7）1中的divv[(u?v)F??vF]改为divv[(u?v)F]，即忽略扩散项?ΔvF，那么系统（1.7）就变成了所谓的弗拉索夫-纳维-斯托克斯系统，并且有许多关于它的数学工作。Hamdache[23]首次在有界域中证明了弗拉索夫-斯托克斯系统的全局存在性和长时间行为。Boudin等人[5]获得了环面T3中弗拉索夫-纳维-斯托克斯系统的弱解的全局存在性。最近，Han-Kwan、Moussa和Moyano[26]研究了环面上弗拉索夫-纳维-斯托克斯系统的大时间行为，假设初始调制能量足够小。此外，[24]研究了整个空间R3中弗拉索夫-纳维-斯托克斯系统的小数据解的大时间行为。Ertzbischoff、Han-Kwan和Moussa[17]研究了有界域Ω?R3中弗拉索夫-纳维-斯托克斯系统的小光滑解。Danchin[13]获得了Fujita-Kato型解的全局存在性，并证明了如果初始速度的L1范数足够小，那么系统的总能量将以L2-范数中的最优速率t?3/4衰减。Goudon、Jabin和Vasseur[19]、[20]以及Han-Kwan和Michel[25]研究了弗拉索夫-纳维-斯托克斯系统在不同条件下的流体动力学极限，另见[37]、[38]关于非均匀不可压缩纳维-斯托克斯-弗拉索夫(-Fokker-Planck)系统的最新进展。
接下来，我们转向可压缩模型：
{?tF+v??F+divv[(u?v)F??vF]=0,?tn+div(nu)=0,?t(nu)+div(nu?u)+?P?Δu=?∫R3(u?v)Fdv。
Mellett和Vasseur[34]在有界域Ω?R3中建立了（1.8）的弱解的全局存在性。通过使用相对熵方法，他们还在[35]中对解进行了渐近分析。此外，[11]中获得了（1.8）的经典解的全局存在性和指数衰减。基于经典能量估计，Duan和Liu[16]在小扰动框架下研究了（1.8）的无粘版本的经典解的全局适定性（忽略了（1.8）3中的项?Δu）。最近，Wang[41]在H2框架中建立了全局强解，并推导了（1.8）所有导数的最优衰减率，包括动量方程（1.8）3中的项?divu。有关可压缩流体-粒子模型的更多结果，感兴趣的读者可以参考[8],[31],[32],[36]及其中的引用文献。
本文的目的是建立系统（1.6）在平衡状态（F,n,u）≡(M,1,0）附近强解的全局存在性和最优时间衰减率，其中M=M(v)=(2π)32e?|v|22代表全局麦克斯韦分布。我们用初始数据(F,n,u)|t=0=(F0(x,v),n0(x),u0(x))=(F0(x,v)?MM,n0(x)?1,u0(x))补充了系统（1.6），通过设置标准扰动n=1+ρ，F=M+Mf，我们可以将系统（1.6）和（1.9）重写为
?tf+v??xf+u??vf?12u?vf?u?vM=Lf+ρ(Lf?u??vf+12u?vf+u?vM)，?tρ+(ρ+1)divu+?ρ?u=0，?tu+u??u+P′(1+ρ)1+ρ?ρ?μΔu1+ρ=b?u?au，初始数据(f,ρ,u)|t=0=(f0(x,v),ρ0(x),u0(x))=(F0(x,v)?MM,n0(x)?1,u0(x))。这里，L是线性化的福克-普朗克算子，定义为Lf=1Mdivv[M?v(fM)]=Δvf?|v|24f+32f，a=af,b=bf是f的相应矩，由af(t,x)=∫R3Mf(t,x,v)dv，bf(t,x)=∫R3vMf(t,x,v)dv给出。
本文的主要结果可以如下陈述。定理1.1
假设初始数据（f0,ρ0,u0）满足‖f0‖Hx,v2+‖(ρ0,u0)‖H2足够小且F0=M+ Mf0≥0。那么柯西问题（1.10）–（1.13）承认一个唯一的全局强解（f,ρ,u），满足F=M+Mf≥ 0且f∈C([0,∞);Hx,v2)，ρ,u∈C([0,∞);H2)，supt≥0?{‖f(t)‖Hx,v2+‖(ρ,u)(t)‖H2}≤C(‖f0‖Hx,v2+‖(ρ0,u0)‖H2)，对于某个常数C>0。
注1.1
在处理解的高阶导数的能量估计时，根据[29, Proposition 4.2]，密度的能量结构是P′(1+ρ)1+ρ‖?αρ‖2。这导致了?tρ的估计。因此，解的四阶规则性是必要的（参见[29, Proposition 4.2]中的I14估计）。与[29]不同，我们在引理3.2中选择的能量是P′(1)‖?αρ‖2。通过精细的能量方法，我们可以在H2框架中限制我们的估计。
定理1.2
在定理1.1的假设下，如果我们进一步假设‖(f0,ρ0,u0)‖Z1有界，那么‖f‖Lv2(H2)+‖(ρ,u)‖H2≤C(1+t)?34，‖?f‖Lv2(H1)+‖?(ρ,u)‖H1≤C(1+t)?54，‖?2f‖Lv2(L2)+‖?2(ρ,u)‖L2≤C(1+t)?54，对于某个常数C>0且任何t≥0。此外，对于2≤p≤6，有‖f‖Lv2(Lp)+‖(ρ,u)‖Lp≤C(1+t)?32(1?1p)，而对于6≤p≤∞，有‖f‖Lv2(Lp)+‖(ρ,u)‖Lp≤C(1+t)?54。
在定理1.1的证明中，局部存在性部分在某种意义上是标准的，可以通过应用线性化方法和Banach不动点定理来建立，而全局存在性的论证依赖于建立新的均匀时间先验能量估计。与[29]中开发的方法相比，其中光滑解的H4规则性假设简化了能量估计过程，我们对解的H2规则性的限制带来了更多的挑战，需要我们开发新的想法来包含能量估计，详见第3节。
在定理1.2的证明中，方程（1.10）中的非线性项ρLf在估计解的衰减率时带来了显著困难。对于[7]、[41]中考虑的摩擦力（1.2），粒子方程f的扰动中的非线性项不包括v2f项，它们的结构相对简单。因此，在进行能量估计时，可以在不对方程的混合空间-速度导数进行能量估计的情况下包含先验估计，详见[7]、[41]。相比之下，我们的摩擦力（1.3）涉及密度ρ，方程（1.10）包括非线性项ρv2f和ρLf，需要能量估计包含解的混合空间-速度导数来处理我们的非线性项K5（见（4.17））。通过将ρLf分解为ρL{I?P}f和ρLPf，并利用定理4在第6节中，我们证明了当粒子位于环面T3上时，强解的收敛时间衰减率是指数型的。最后，在附录中，我们提出了一些有用的引理。

**初步知识**
在本节中，我们介绍了符号并列出了Fokker-Planck算子L的主要性质（定义在（1.14）中），这些性质在后续的讨论中将经常被使用。

**强解的全局存在性**
在本节中，我们将证明Cauchy问题（1.10）–（1.13）强解的全局存在性。首先，我们建立f、ρ和u的一致先验估计。

**强解的时间衰减率**
在本节中，我们建立了问题（1.10）–（1.13）中（f,ρ,u）在整个空间R3中的时间衰减率。为此，我们首先研究（1.10）–（1.12）的线性化方程，这些方程可以表示为：
$$
\begin{cases}
\partial_t f + v \cdot \nabla f - u \cdot v = Mf + Sf, \\
\partial_t \rho + \nabla u = 0, \\
\partial_t u + P'(\nabla \rho - \mu \Delta u) + u - b = 0,
\end{cases}
$$
其中初始条件为：
$$
(f, \rho, u)|_t=0 = (f_0, \rho_0, u_0) = (f(0, x, v), \rho(0, x), u(0, x)), \quad (x, v) \in \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3.
$$
这里，$Sf$是非齐次源，由下式给出：
$$
Sf = \nabla v G^{-1} \cdot 2v \cdot G + h, \quad \text{其中} \quad G = G(t, x, v) \in \mathbb{R}^3 \text{和} \quad h = h(t, x, v) \in \mathbb{R} \text{满足} \quad P_0 G = 0, \quad P_h = 0.
$$

**强解导数的时间衰减率**
在上一节中，为了得到（1.15），我们使用了经典能量方法要求$|(f_0, \rho_0, u_0)|_Z^1$足够小。接下来，我们进一步发展了对问题（1.10）–（1.13）的精细能量估计。实际上，我们只需要$|(f_0, \rho_0, u_0)|_Z^1$有界，就可以确定解（f, ρ, u）（见（1.15））及其梯度$\nabla(f, ρ, u)$（见（1.16））的最优时间衰减率。此外，解在$L^p$-范数（$2 \leq p \leq \infty$）下的衰减率（见（1.18）和（1.19）也可以得到。

**周期域情况**
在本节中，我们处理空间周期域$T_3$中的Cauchy问题（1.10）–（1.13）。我们有定理6.1：
**假设初始数据$(f_0, \rho_0, u_0)$满足$F_0 = M + Mf_0 \geq 0$，$|f_0|^H_{x, v}^2 + |(\rho_0, u_0)|_H^2$足够小，并且**
$$
\int_{T_3} a_0 \, dx = 0, \quad \int_{T_3} \rho_0 \, dx = 0, \quad \int_{T_3} (b_0 + (1 + \rho_0) u_0) \, dx = 0,
$$
其中
$$
a_0 = \int_{T_3} Mf_0(x, v) \, dv, \quad b_0 = \int_{T_3} v Mf_0(x, v) \, dv.
$$
那么，Cauchy问题（1.10）–（1.13）存在唯一的全局强解$(f, \rho, u)$，满足$F = M + Mf \geq 0$，并且
$$
f \in C([0, \infty); \quad H_{x, v}^2), \quad \rho, u \in C([0, \infty); \quad H^2), \quad |f(t)|_H_{x, v}^2 + |(\rho, u)|_H^2 \leq C(|f_0|^H_{x, v}^2 + |(\rho_0, u_0)|_H^2) e^{-\zeta_0 t}.
$$

**致谢**
作者非常感谢审稿人的建设性评论和有益建议，这些评论和建议极大地改进了本文的早期版本。李和倪得到了国家自然科学基金（项目编号12331007）的支持。李还得到了江苏省“333项目”的支持。吴得到了江苏省高等学校基本科学（自然科学）研究项目（项目编号24KJD110004）和山东省自然科学基金（项目编号……）的支持。