工业环境中腐蚀的冷成型钢材随机腐蚀表面形态的重建方法

《Case Studies in Construction Materials》：Reconstruction method of random corrosion surface morphology of corroded cold-formed steel in industrial environment

　　标题：聂标|黄东洲|徐珊华|荆文倩|王有德|郭文杰
中国华东交通大学山区土木工程安全与韧性国家重点实验室，江西

摘要：为了准确描述和重建在工业环境中暴露的腐蚀冷成型钢（CFS）构件的复杂表面形态，使用ST400三维非接触式表面形态测量系统对10组服役约10年的CFS试样进行了扫描，获得了实际腐蚀表面的三维形态数据。基于测量数据，提取了与全面腐蚀和点蚀相关的主要形态参数，包括全面腐蚀深度、点蚀深度、点蚀直径与深度比以及点蚀体积比。通过概率统计分析研究了腐蚀表面形态参数随腐蚀速率增加的变化规律。在此基础上，提出了一种腐蚀表面形态重建方法，该方法将二维功率谱密度（PSD）函数与多尺度随机点蚀模型相结合。结果表明，在工业腐蚀环境中，CFS构件的早期和中期腐蚀过程中，点蚀占主导地位，是控制表面形态演变的最重要腐蚀形式之一。CFS的全面腐蚀深度遵循正态分布，而点蚀深度和点蚀直径与深度比则遵循对数正态分布。随着腐蚀速率的增加，全面腐蚀深度的平均值和标准差持续增大，点蚀深度的对数平均值逐渐增加，而点蚀直径与深度比对数平均值则呈现下降趋势，表明点蚀形态逐渐向半球形演变。所提出的腐蚀表面形态重建方法在多个统计指标（包括概率分布和分形维数）方面与实际腐蚀表面高度吻合，为腐蚀CFS构件的数值建模和力学性能分析提供了更加真实可靠的基础。

1. 引言
冷成型钢（CFS）构件由于其重量轻、强度高、截面配置灵活以及施工方便等优点，已被广泛应用于建筑结构和交通设施中[1]、[2]、[3]。然而，由于冷成型工艺的特性以及构件的几何形状，CFS通常具有较薄的壁厚和较大的比表面积，这使得它在服役过程中更容易受到环境腐蚀的影响[4]、[5]。钢结构的腐蚀一般可分为全面腐蚀和局部腐蚀，其中点蚀是最典型的局部腐蚀形式。点蚀是钢结构中最常见且危害最大的腐蚀类型之一，其特征是局部深度较大的坑洞，形状不规则，分布随机。同时，全面腐蚀导致的整体厚度减小和表面起伏通常与点蚀特征共存，使得CFS构件的腐蚀表面呈现出复杂的多尺度几何形态。这种高度不均匀的腐蚀表面形态会显著改变钢材内部的应力分布，加速机械性能的退化，最终降低结构的承载能力[6]、[7]、[8]。因此，合理描述和准确重建腐蚀CFS的表面形态具有重要意义。

关于全面腐蚀钢表面的形态特征，全球研究人员已基于测量数据进行了大量研究[9]、[10]、[11]、[12]。杜等人[13]使用三维形态测量方法系统地描述了碳钢的腐蚀表面，发现全面腐蚀表面具有明显的空间非均匀性和随机特性。徐等人[14]基于三维表面扫描技术对腐蚀钢板的表面形态进行了定量分析，并揭示了其随腐蚀程度增加的演变规律。马等人[15]对Q420qFNH耐候钢焊接接头进行了加速腐蚀试验，并结合计算机视觉和图像处理技术提取了表面形态特征。王等人[16]对Q235钢进行了电化学加速腐蚀试验，获得了平均腐蚀深度和表面粗糙度等参数的概率分布特性。Gathimba等人[17]研究了表面粗糙度与腐蚀特性之间的关系，发现腐蚀钢的残余延展性随表面粗糙度的增加而降低。在此基础上，一些研究者进一步引入了随机场理论来描述全面腐蚀表面[18]、[19]、[20]、[21]。孔等人[22]基于中性盐雾环境下的实验数据建立了钢板全面腐蚀深度的随机场模型，并揭示了腐蚀深度的统计分布特性。王等人[23]通过对腐蚀钢表面形态的功率谱分析，推导出了全面腐蚀深度随机场的二维功率谱密度函数，证明了功率谱方法在描述全面腐蚀表面的宏观起伏特性方面的有效性。聂等人[24]通过三维扫描和概率统计分析揭示了腐蚀CFS表面的多尺度形态演变特征。

与全面腐蚀相比，点蚀由于其强烈的局部性和复杂的几何特性而受到更多关注[25]、[26]、[27]、[28]。随着三维测量和图像处理技术的发展，点蚀研究逐渐从定性描述转向定量表征。李等人[29]结合分水岭算法利用三维形态扫描技术识别了腐蚀钢表面的点蚀特征，提取了点蚀的几何形状和深度信息，并揭示了点蚀形态的空间离散性。王和程[30]使用图像识别方法分析腐蚀表面，提取了点蚀的特征尺寸，并通过微观观察获得了点蚀表面的局部几何特征。然而，这种方法对于非理想点蚀几何形状的适用性仍有限。徐等人[31]在不同环境条件下对腐蚀钢表面进行了统计分析，发现点蚀深度和点蚀直径与深度比遵循对数正态分布。在此基础上，全球研究者基于点蚀形态参数的概率分布特性建立了钢结构的点蚀模型[32]、[33]、[34]。梁等人[35]开发了考虑点蚀效应的船体板有限元模型，综合考虑了腐蚀速率、点蚀深度、点蚀形状和空间分布特性，发现点蚀深度对船体板的极限强度有显著影响。王等人[36]建立了具有随机位置、尺寸和形状的管状构件点蚀的有限元模型。张等人[37]通过实验研究、数值模拟和算法建模相结合，提出了一个新的随机点蚀生成算法，用于模拟圆形钢管上点蚀的空间分布特性。此外，范和聂[38]分析了腐蚀C型钢试样的表面形态，并建立了点蚀相关形态参数与平均腐蚀深度之间的关系。

现有的关于腐蚀表面形态的研究主要集中在全面腐蚀或点蚀的独立表征上，其中腐蚀通常由单一的等效随机场或孤立的随机坑洞表示，没有明确区分和耦合不同的空间尺度。这些方法通常无法同时捕捉到与实际腐蚀环境一致的宏观表面起伏和局部深度点蚀的共存现象，针对CFS构件的相关研究也较为有限。为了解决这些局限性，本研究整合了两种典型的腐蚀模式（全面腐蚀和点蚀），以实现CFS构件腐蚀表面形态的全面表征和准确重建。本研究采用了三维非接触式表面形态测量技术对不同腐蚀速率的CFS试样表面进行扫描，获得了实际腐蚀表面的三维形态数据。基于测量数据，系统分析了与全面腐蚀和点蚀相关的形态特征参数，并揭示了其概率分布特性随腐蚀速率增加的变化规律。在此基础上，建立了一种结合全面腐蚀和点蚀的腐蚀表面形态重建方法。所提出的重建方法在多个统计指标（包括概率分布和分形维数）方面与实际腐蚀表面高度吻合，为腐蚀构件的数值建模和力学性能分析提供了更加真实可靠的基础，因为它明确考虑了全面腐蚀和局部点蚀的综合效应，而不仅仅是依赖于简化的均匀减薄假设。

2. 腐蚀表面特性
2.1. 腐蚀表面形态测试
CFS的测试试样（F1-F10）取自一个在工业腐蚀环境中服役约10年的工业车间，所有试样的材料均为Q235钢。每个试样的宽度为5毫米，长度为20毫米，名义厚度为1毫米。其化学成分如表1所示。测试试样取自轮廓钢板的中央部分。测试前，根据中国标准GB/T 16545-2015对腐蚀试样进行了除锈处理，然后用蒸馏水冲洗并干燥。使用电子天平测量了试样的质量，并根据质量损失率（η）确定了不同腐蚀程度试样的腐蚀速率，如表2所示。为了获取和分析腐蚀试样的微观表面形态特征，使用ST400三维非接触式表面形态测量系统对腐蚀表面进行了测量，如图1所示。扫描区域设置为5mm×20mm。x和y方向的扫描步长分别为100μm和200μm，从而获得了由51×101个测量点组成的规则网格数据集。扫描器生成的扫描点数是基于参考数据随机生成的，这使得获取腐蚀表面形态的特征参数变得具有挑战性。通过数据处理，将样品腐蚀表面上最高点的z坐标设置为0，并建立了一个三维坐标系。因此，最高点到平均平面的距离为Δtave，它也代表了非均匀腐蚀的平均深度。

表1. CFS的化学成分（wt%）
Fe 96.70
Si 0.19
Mn 0.40
P 0.21
S 0.018
O 0.025

表2. 不同腐蚀速率下CFS试样的全面腐蚀特征参数
试样 η(%) Tmax(mm) Δtave(μm) Δtsd(μm)
abω1=ω2
F1 2.8 136 160.04 120.03
F2 3.2 1.03 392 10.05
F3 4.8 1.44 200.07
F4 6.1 1.01 492 0.15
F5 10.8 0.99 913 0.29
F6 13.7 0.95 105 370.33
F7 17.2 112 839 0.37
F8 20.4 0.87 144 450.41
F9 40.3 0.83 220 580.60
F10 42.7 0.84 221 620.65

图1. ST400三维非接触式表面形态测量系统

2.2. 腐蚀表面形态
图2展示了不同腐蚀速率下CFS试样的腐蚀表面形态。如图2所示，随着腐蚀速率的增加，表面形态存在明显差异。在较低的腐蚀速率下，腐蚀表面主要表现为离散分布的点蚀特征，这些点蚀彼此相对独立，整体表面起伏较小。随着腐蚀速率的提高，腐蚀区域的密度增加，局部坑洞明显扩大并横向扩展，导致相邻腐蚀区域之间部分连接。结果，表面形态显示出更加连续的腐蚀区域和更大的表面起伏幅度，与全面腐蚀相关的特征变得更加明显。这些观察结果表明，腐蚀表面的主导形态特征随腐蚀速率的变化而变化。在较低的腐蚀速率下，局部点蚀特征占主导地位；而在较高的腐蚀速率下，大尺度和空间连续的腐蚀特征作用更为显著。在数据处理过程中进行了边界裁剪和平滑处理，以去除扫描区域边缘的不可靠数据。这些处理确保了分析数据更准确地反映了腐蚀表面的实际形态，而不是由扫描边界效应引起的伪影。

图2. 不同腐蚀速率下CFS试样的腐蚀表面形态

2.3. 全面腐蚀的特征参数
全面腐蚀的特点是材料厚度在空间上相对均匀地减小，这在腐蚀表面上表现为大面积且空间连续的材料损失。相应的表面形态以大尺度、低频的起伏为主，局部深度变化较为平滑，整体呈现出均匀减薄的外观。全面腐蚀可以被视为具有空间稳定性的二维随机场。腐蚀表面形态的总体特征由腐蚀深度的平均值Δtave和标准差Δtsd、二维功率谱密度（PSD）函数的拟合参数a和b以及上限截止波数ω1=ω2决定。这些参数共同决定了由一般腐蚀形成的表面的整体形态。参考表面指的是被腐蚀的表面，因此，腐蚀深度表示相对于被腐蚀表面的深度变化。非均匀腐蚀深度的平均值和标准差计算如下：
(1) Δtave = |zˉ(xi,yj)| = 1/N ∑i=1N ∑j=1M |z(xi,yj)
(2) Δtsd = 1/N (∑i=1M ∑j=1N (z(xi,yj) ? zˉ(xi,yj))2)
其中N和M分别表示x方向和y方向的采样点数量；z(xi,yj)表示沿z轴的坐标值。Δtave是最高点与平均点之间的距离，对应于采样区域内相对高度的算术平均值。

一般腐蚀的表面形态使用PSD函数来描述，表达式如下[41]：
(3) S(ω1,ω2) = tsd2/a2 4πexp[?(bω1)2 ? (bω2)2]
拟合结果表明，PSD参数a与PSD的峰值有关，而参数b与谐波分量的上限截止波数有关。一般腐蚀是一种以低频分量为主的宏观腐蚀形态，其表面波动特性可以通过PSD表示的空间频率分布有效描述。然而，通过三维扫描测量获得的腐蚀表面通常包含大量的点蚀腐蚀，特别是在相对较低的腐蚀速率下。这些点蚀腐蚀的特点是空间尺度小、深度大且几何不连续性明显，这在频域中引入了显著的高频能量。如果直接使用PSD来描述包含点蚀腐蚀的腐蚀表面，高频分量将提升整体空间频率分布，并引入系统偏差，导致PSD参数a和b偏离一般腐蚀的固有频率特性。因此，如图3所示，一般腐蚀的低频空间特征会被点蚀腐蚀的影响所掩盖。出于这个原因，在相对较低的腐蚀速率下，本研究首先识别并屏蔽了点蚀腐蚀区域，只选择未受点蚀腐蚀影响的表面区域进行PSD拟合。这一程序确保了准确提取表征一般腐蚀的二维PSD参数a和b。相应的拟合结果总结在表2中。

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图3. 对于包含点蚀腐蚀的腐蚀表面进行PSD拟合的过程。

图4展示了腐蚀深度的平均值和标准差与腐蚀速率之间的关系。如图4(a)所示，腐蚀深度的平均值随着腐蚀速率的增加而增加，两者之间的关系可以用幂函数很好地拟合。在相对较低的腐蚀速率下，腐蚀深度的平均值增加迅速。随着腐蚀速率的进一步增加，腐蚀深度的增长率逐渐减小，表明腐蚀表面的整体变薄变得更加明显，一般腐蚀逐渐加剧。这种变化反映了腐蚀形态的演变过程：在低腐蚀水平下，腐蚀主要以点蚀腐蚀的形式存在，对试样的整体厚度的影响有限。随着腐蚀速率的增加，腐蚀逐渐扩展到更大的表面积，导致一般腐蚀深度的快速积累。通过拟合腐蚀深度平均值与腐蚀速率之间的关系，得到以下表达式：
(4) Δtave = 19×(100η)?.??

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图4. 腐蚀深度的平均值和标准差与腐蚀速率之间的关系。

如图4(b)所示，腐蚀深度的标准差也随着腐蚀速率的增加而增加，其增长率起初较快，然后逐渐放缓。在相对较低的腐蚀速率下，腐蚀深度的标准差保持较小，表明钢表面的腐蚀分布相对集中，整体不均匀性尚不明显。随着腐蚀速率的增加，腐蚀深度的标准差显著增加，反映了表面形态分散和波动幅度的逐步增强。这一趋势表明，随着腐蚀的持续发展，局部腐蚀和一般腐蚀共存并相互作用。同时，宏观腐蚀区域逐渐扩大，导致表面形态从相对平滑的状态演变为以明显表面波动为特征的复杂形式。通过拟合腐蚀深度的标准差与腐蚀速率之间的关系，得到以下表达式：
(5) Δtsd = 12.1×(100η)?.?3

根据图4(a)和4(b)，可以观察到在相对较低的腐蚀速率下，钢表面主要受局部腐蚀控制，整体变薄效应不明显。随着腐蚀速率的持续增加，腐蚀逐渐从局部区域扩展到更大的表面积，多个腐蚀区域逐渐合并。因此，钢表面的形态从高度不均匀的状态转变为相对均匀的腐蚀状态，一般腐蚀逐渐成为主导。

图5展示了PSD参数a和b与腐蚀速率之间的关系。如图5所示，这两个参数都随着腐蚀速率的增加而表现出明显的非线性增长趋势，并且可以使用Hill方程很好地拟合。在相对较低的腐蚀速率下，参数a和b保持较小且增长缓慢，表明钢表面的波动幅度和空间相关性较弱。在这种条件下，腐蚀形态主要由离散分布的点蚀腐蚀控制。随着腐蚀速率的进一步增加，参数a显著增加，反映了表面腐蚀引起的波动幅度的显著增强和整体粗糙度水平的显著提高。同时，参数b也增加，表明腐蚀形态的空间相关性特征不断加强，腐蚀区域的影响范围逐渐扩大。当腐蚀速率达到相对较高的水平时，参数a和b的增长趋势趋于平稳，表明随着腐蚀的持续发展，钢表面的形态从局部随机特征演变为大尺度且相对稳定的配置。在这个阶段，多个腐蚀区域逐渐重叠和合并，导致二维PSD特征的稳定。这些结果表明，PSD参数a和b可以有效地描述腐蚀速率增加时钢腐蚀表面形态的统计演变。图5展示了二维PSD参数与腐蚀速率之间的关系：
(6) a = 0.45x2.3?/(225+x2.2?)
(7) b = 0.35x2.??/(243+x2.?3)

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图5. PSD参数a和b与腐蚀速率之间的关系。

2.4. 点蚀腐蚀的特征参数
与一般腐蚀相比，点蚀腐蚀的特点是在相对较小的空间尺度上发生局部材料损失。其表面形态表现出明显的不均匀性和强烈的空间局部性，通常表现为具有较大局部深度变化的离散坑洞。因此，点蚀腐蚀的几何特性和空间分布都显示出很强的随机性。仅依赖总体腐蚀速率或腐蚀深度的标准差不足以准确描述点蚀腐蚀的形态特征。因此，必须从坑洞几何形状和空间分布的角度对点蚀腐蚀进行参数化描述。点蚀腐蚀对局部截面的削弱效应主要受坑洞深度和坑洞直径与深度比的影响，而其对整体结构性能的影响则与坑洞数量及其在表面上的空间分布密切相关。因此，点蚀腐蚀的统计描述涉及包括坑洞深度（h）、坑洞直径与深度比（Ar）、坑洞密度（Pd）和坑洞形状因子（VB）等参数。点蚀腐蚀的几何尺寸和形状参数的计算方法如图6所示。

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图6. 计算CFS的坑洞形状和尺寸。

坑洞深度（h）定义为孤立坑洞区域内垂直方向的最大深度。坑洞直径（R）定义为沿孤立坑洞区域的x方向和y方向测量的坑洞长度和宽度的平均值。坑洞形状（VB）由体积比参数定义，如下所示[41]：
(8) h = max(Zregion(i))
(9) R = √(Rx + Ry)
(10) VB = Vi/Vrec
(11) {Vp = ∑i=1Np |zave(i)|S2}
Vrec = RxRy
其中Zregion(i)表示孤立坑洞区域内Z方向的深度；Vi是坑洞体积；Vrec表示包围坑洞的最小长方体的体积；NP是坑洞区域内的小柱数量，等于(M?1)(N?1)；zave(i)是每个小柱四个角点的坐标的平均值；s是扫描步长；Rx和Ry分别是x方向和y方向的坑洞直径。坑洞形状与体积比参数VB的关系如下[39]：
VB（圆锥形坑洞）= π/12；
VB（半球形坑洞）= π/6；
VB（圆柱形坑洞）= π/4；
VB（长方体形坑洞）= 1。
因此，可以根据VB的值大致识别坑洞形状。

在腐蚀作用下形成的钢表面上的点蚀腐蚀在起始位置、生长过程和相互作用方面表现出很强的不确定性，导致空间分布和几何尺度特征上的明显随机性和离散性。为了合理描述这些特征，需要引入概率统计方法来描述坑洞几何参数的分布模式。先前的研究表明，坑洞几何参数可以使用正态分布、Weibull分布和指数分布等概率模型来表示[40]。然而，对于实际的腐蚀表面，坑洞几何参数通常表现出明显的右偏分布，并伴有相当比例的极端值。基于这些特征，本研究采用对数正态分布来模拟坑洞几何参数，从而更适当地表示坑洞腐蚀形态的统计特征。

图7展示了点蚀深度的对数平均值和标准差与坑洞直径与深度比以及腐蚀速率之间的关系。如图7(a)所示，点蚀深度的对数平均值随着腐蚀速率的增加而整体增加。在相对较低的腐蚀速率下，增加更为明显，而随着腐蚀速率的继续增加，增长率逐渐趋于平稳。相比之下，点蚀深度的标准差在相对狭窄的范围内变化，大约在0.04到0.11之间。这表明在低腐蚀速率下，局部腐蚀发展迅速，导致坑洞深度显著增加；而随着腐蚀的进一步进行，坑洞深度的增长率变慢。这种行为可以归因于控制坑洞演变的腐蚀机制。在腐蚀的早期阶段，坑洞位置的电化学反应非常活跃，促进坑洞在深度方向的快速生长。随着点蚀腐蚀的加深，腐蚀产物在坑洞口周围积累，相邻点蚀腐蚀之间的相互作用逐渐表现为横向扩展和合并，导致深度增加速率的逐渐减小。通过拟合点蚀深度的对数平均值与腐蚀速率之间的关系，得到以下表达式：
(12) μh = 4.2×(100η)?.??

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图7. 点蚀参数的对数平均值和标准差与腐蚀速率之间的关系。

μh和σh分别表示点蚀深度的对数平均值和标准差。

如图7(b)所示，坑洞直径与深度比的对数平均值随着腐蚀速率的增加而明显减小，而对数标准差在0.4-0.8的范围内相对稳定。这种现象表明，在腐蚀的早期阶段，坑洞形态表现出相当大的变异性，既有相对狭窄且深的点蚀腐蚀，也有浅而宽的点蚀腐蚀共存。随着腐蚀速率的增加，点蚀腐蚀逐渐相互作用、合并并在扩展过程中发生形态演变。这种行为可以归因于腐蚀的发展机制。在腐蚀的早期阶段，点蚀腐蚀的随机分布和显著的环境异质性导致坑洞形态的明显差异。随着腐蚀的进行，相邻的点蚀腐蚀合并，腐蚀区域扩大并连接，导致整体形态分布更加均匀。通过拟合坑洞直径与深度比的对数均值与腐蚀速率之间的关系，得到了以下表达式：(13) μAr = 25x + 1μAr，其中μAr和σAr分别表示坑洞直径与深度比的对数均值和标准差。图8展示了坑洞密度与腐蚀速率之间的关系。如图8所示，在相对较低的腐蚀速率下，坑洞密度随着腐蚀速率的增加而迅速增加。随着腐蚀速率的进一步增加，坑洞密度开始减少，但总体上仍保持在27-49的范围内。这表明，在腐蚀的早期阶段，新的坑洞腐蚀不断在钢表面形成，导致单位面积上的坑洞腐蚀数量迅速增加，坑洞密度显著上升。随着腐蚀程度的持续增加，现有的坑洞腐蚀逐渐扩大并相互靠近，相邻的坑洞腐蚀发生部分合并。因此，坑洞腐蚀数量的增长受到限制，导致坑洞密度下降。当腐蚀速率达到中等至较高范围时，腐蚀主要表现为坑洞的增长和相互连接，而新坑洞腐蚀的形成变得较少。结果，坑洞密度的变化趋于稳定，保持在一个相对恒定的水平。

表3总结了在不同绝对腐蚀深度下不同坑洞形状比的分布。如表3所示，当绝对腐蚀深度在0.6-0.7范围内时，坑洞腐蚀主要集中在较低形状比（0-0.4）区域，而中等和较大形状比的坑洞腐蚀所占比例相对较小。这表明，在这个阶段，坑洞腐蚀的形态主要以圆锥形坑洞为主。当绝对腐蚀深度增加到0.7-0.9范围内时，较小形状比的坑洞腐蚀比例显著减少，而中等形状比（0.4-0.7）的坑洞腐蚀比例显著增加。这表明随着坑洞的加深，侧向扩展变得更加明显，坑洞形态逐渐从圆锥形向半球形演变。当绝对腐蚀深度进一步增加到0.9-1.0范围内时，较大形状比（0.7-1.0）的坑洞腐蚀比例大幅增加，而较小形状比的坑洞腐蚀比例进一步减少。这表明，在更严重的腐蚀阶段，坑洞腐蚀更有可能扩展和合并，导致坑洞形态向更宽更浅的方向转变。

由于腐蚀效应，CFS的表面表现出明显的空间随机性和强烈的非均匀特性。为了表征腐蚀试样的表面形态，本研究引入了一种通用腐蚀深度的随机场模型。通过结合空间相关的随机变量，随机场可以有效地捕捉腐蚀表面形态的随机波动。然而，尽管增加随机变量的数量可以提高表示精度，但也导致计算成本的显著增加。为了在腐蚀表示精度和计算效率之间取得平衡，采用了第二类随机谐波函数展开来构建通用腐蚀深度的随机场。这种方法能够高效地近似和合理地描述腐蚀表面形态，如下所示[41]：(14) η(x,y) = η(pΔx,qΔy) = 2∑μ=0Mx?1∑ν=0My?1[A1(1)Cos(ωμx+ωνy+θ1)+A2(2)Cos(ωμx?ωνy+θ2)](15) A1(1) = S(ωp,ωq)Δω1Δω2(16) A2(2) = S(ωp,?ωq)Δω1Δω2(17) ωp = pΔω1 = pωmax1/Mx(18) ωq = qΔω2 = qωmax2/My，其中MX和My分别表示沿x和y方向的谐波分量数量；Nx和Ny分别表示沿x和y方向生成的点数量；θ1和θ2表示在区间[0, 2π]内均匀分布的随机相位角；ωmax1和ωmax2分别表示沿x和y方向的随机场的上限截止波数；ωmax1和ωmax2是根据以下标准确定的[41]：(19) ∫0ωmax1∫?ωmax2ωmax2S(ω1,ω2)dω1dω2 = (1??)∫0∞∫?∞∞S(ω1,ω2)dω1dω2，其中??1，例如0.0001。已知上限截止波数ωmax1和ωmax2及其生成的表面尺寸Lx和Ly后，谐波分量的数量计算如下[41]：(20) Δωmax1 = 2πLx, Δωmax2 = 2πLy(21) Nx = ωmaxlΔω1, Ny = ωmax2Δω2。

与一般腐蚀不同，坑洞腐蚀具有明显的局部性、离散性和非连续的空间分布。坑洞腐蚀形态通常由一系列孤立或部分重叠的坑洞组成。因此，单个连续随机场不足以准确捕捉坑洞腐蚀引起的突然空间变化。因此，有必要在一般腐蚀模型的基础上引入一个多尺度随机坑洞腐蚀模型，以描述坑洞腐蚀对整体腐蚀表面形态的影响。在本研究中，假设坑洞腐蚀的几何特征由坑洞深度和坑洞直径与深度比来表征。这些参数的统计特性使用对数正态分布进行建模，如下所述：(22) hi ~ Lognormal(μh,σh)，Ari ~ Lognormal(μAr,σAr)，其中hi表示坑洞腐蚀的深度；μh和σh分别是hi的对数均值和对数标准差；Ari表示坑洞腐蚀的直径与深度比；μAr和σAr分别表示Ari的均值和标准差。根据直径与深度比的定义，可以得到坑洞腐蚀的等效半径ri：(23) ri = 1/2Arihi，其中ri表示等效半径。为了表征坑洞腐蚀在径向的深度分布，引入了不同的形状函数来描述坑洞腐蚀的三维几何形状。在坑洞腐蚀的极坐标系(ρ,θ)中，定义了一个形状函数pi(ρ)来描述坑洞轮廓，表示为：(24) pi(ρ) = {?hi, 0≤ρ≤ri（圆柱体）?hi(1?ρ/ri), 0≤ρ≤ri（圆锥体）?hi1?(ρ/ri)2, 0≤ρ≤ri（半球体），其中pi(ρ)≤0表示局部压痕深度，ρ是从坑洞中心到考虑点的极半径。根据上述定义的坑洞形状函数，可以进一步计算坑洞腐蚀的体积：(25) Vi = C(si)πAri2/4hi3，C(s) = {1, 圆柱体, 1/3, 圆锥体, 2/3, 半球体}，其中Vi表示坑洞腐蚀的体积；si是坑洞形状类别指标；C(?)表示相应的体积系数。使用Poisson–disk过程在腐蚀表面域Ω内生成坑洞中心(xi,yi)的空间分布，以模拟相邻坑洞之间的空间排斥效应：(26) N(Ω) ~ Poisson(Pd|Ω|)，min(i≠j) ||(xi,yi)?(xj,yj)||≥?(bi+bj)，其中N(Ω)表示域Ω内的坑洞腐蚀总数；?表示排斥系数；bi和bj是相邻坑洞腐蚀之间的特征半径。在获得所有坑洞腐蚀的几何参数和空间分布后，使用最大深度支配准则叠加坑洞腐蚀形态，生成最终的多尺度随机坑洞腐蚀模型wpit(x,y)：(27) wpit(x,y) = min(0, min(j=1,Nwsj(x,y))，其中N表示域内的坑洞腐蚀总数；wsj(x,y)表示由坑洞腐蚀（其形状由sj指定）在位置(x,y)生成的腐蚀深度；min(0,?)是外部最小值运算符。

使用第二类随机谐波函数展开构建的通用腐蚀深度随机场被转换为具有零上限的通用腐蚀深度场，表示为：(28) wpsd(x,y) = [η(x,y)?ηmax]，其中wpsd(x,y)是基于PSD的具有0上限的通用腐蚀深度随机场；η(x,y)是基于PSD的通用腐蚀深度；ηmax是最大腐蚀深度。通用腐蚀深度随机场映射到与多尺度随机坑洞腐蚀模型相同的局部坐标系上。定义的耦合腐蚀深度如下：(29) w(x,y) = min(wpsd(x,y), wpit(x,y)，其中w(x,y)表示结合通用腐蚀和坑洞腐蚀的随机腐蚀表面形态模型。基于通用腐蚀深度的随机场模型和多尺度随机坑洞腐蚀模型，提出了一个结合通用腐蚀和坑洞腐蚀的耦合腐蚀表面形态重建模型。以未腐蚀钢的初始表面作为理想参考表面，首先使用PSD函数生成满足通用腐蚀统计特性的腐蚀深度随机场，用于描述由通用腐蚀引起的宏观表面起伏。随后，根据坑洞腐蚀参数的统计分布特性，包括坑洞腐蚀深度、坑洞直径与深度比和坑洞体积比，采用随机抽样策略在钢表面上生成具有随机位置、大小和形状的坑洞腐蚀。坑洞腐蚀被理想化为典型的几何形状，如圆锥体、半球体或圆柱体。在此基础上，应用腐蚀深度叠加准则将坑洞腐蚀形态叠加到通用腐蚀随机场上，从而形成同时包含宏观表面起伏和局部深坑特征的耦合腐蚀表面形态。然后将生成的腐蚀形态与规定的腐蚀速率进行比较。如果计算出的腐蚀速率超过目标值，则减少坑洞腐蚀的数量；相反，如果计算值未达到目标值，则引入额外的坑洞。这个迭代调整过程重复进行，直到重建的形态满足目标的非均匀腐蚀速率。图9展示了结合通用腐蚀和坑洞腐蚀的腐蚀表面形态的重建过程。

图10比较了所提出的随机模型和通用腐蚀深度随机场生成的腐蚀表面形态与实际腐蚀钢的形态。如图10所示，通用腐蚀深度随机场生成的表面形态在纹理细节和局部表面起伏方面仍与实际腐蚀表面有所不同，因此未能完全捕捉到实践中观察到的非均匀特性。相比之下，所提出的随机模型生成的腐蚀表面与实际腐蚀表面的吻合度更好，特别是在坑洞腐蚀的分布和表面粗糙度的空间特性方面。这表明，在通用腐蚀的基础上结合坑洞腐蚀特征能够更有效地表示实际腐蚀过程中形成的坑洞腐蚀。

图11比较了实际腐蚀表面、所提出的随机模型生成的重建表面以及通用腐蚀深度随机场生成的腐蚀表面之间的腐蚀深度概率分布差异。如图11所示，在相对较低的腐蚀速率下，实际腐蚀表面的深度分布已经显示出由通用腐蚀和坑洞腐蚀共同作用形成的不对称双峰模式。浅层峰值对应于通用腐蚀引起的整体厚度减小，而深层峰值反映了局部坑洞腐蚀的存在。相比之下，仅基于通用腐蚀深度随机场重建的表面仍然呈现单峰分布，概率峰值主要集中在浅层腐蚀深度范围内。深层腐蚀区域仅作为分布的尾部出现，未能形成与实际腐蚀表面观察到的独立深度峰值。这表明，在低腐蚀水平下，PSD方法在表征局部深坑方面存在固有局限性，因为生成的表面形态倾向于平滑坑洞腐蚀的效果。这种现象源于PSD方法的频域统计特性：功率谱主要表征了不同空间波数下的表面粗糙度的整体能量分布，而对与高度局部化的坑洞腐蚀相关的高频组分的敏感性有限。因此，PSD模型难以准确再现实际腐蚀表面中观察到的尖锐和深坑形态。相比之下，所提出的随机模型生成的腐蚀深度概率直方图即使在低腐蚀速率下也能有效捕捉到深度分布的双尺度特性。浅层和深层峰值分别对应于通用腐蚀引起的整体变薄效应和坑洞腐蚀引起的局部极端值。在分布形状、峰值位置和相对幅度方面，所提出的随机模型与实际腐蚀表面的吻合度要高得多，表明该模型在再现腐蚀表面形态的统计特征方面具有更高的准确性和合理性。下载：下载高分辨率图像（748KB）下载：下载全尺寸图像

图11. 通过所提出的随机模型、一般腐蚀深度的随机场模型以及实际腐蚀钢材获得的腐蚀深度概率直方图的比较。

4.3. 腐蚀表面形态的分形维数
腐蚀表面形态通常表现出显著的多尺度不规则特性。其几何复杂性不仅体现在平均腐蚀深度或整体粗糙度水平上，还体现在不同空间尺度上表面波动的统计变异性上。先前的研究表明，由于分形维数对尺度变化具有高度敏感性，因此它是表征多尺度条件下不规则表面几何复杂性的有效指标。因此，分形维数被广泛用于量化复杂的表面形态。在本研究中，引入分形维数作为评估指标，以定量比较不同模型生成的重建腐蚀表面与实际腐蚀表面之间的多尺度几何特征的一致性。

腐蚀表面被视为嵌入三维欧几里得空间中的二维流形，其形态由高度场h(x,y)描述。为了消除全局高度偏移的影响，并提高对局部点蚀腐蚀的敏感性，使用基于高度增量的尺度依赖性粗糙度函数来定义分形维数。在空间尺度r处，高度增量定义为：
(30) Δhr(x,y) = h(x+r,y) ? h(x,y)
其中，h(x,y)表示位置(x,y)处的腐蚀深度。

相应的尺度依赖性粗糙度函数定义为：
(31) RMSΔ(r) = E[(Δhr(x,y))2
其中E[(Δhr(x,y)]表示整个表面的统计平均值；RMSΔ(r)表示腐蚀表面在尺度r处的均方根值。

对于具有统计自相似特性的表面，粗糙度函数RMSΔ(r)和空间尺度r在一定的尺度范围内遵循幂律关系：
(32) RMSΔ(r) ∝ r^β
其中β是缩放指数。

将腐蚀表面视为嵌入三维欧几里得空间中的二维表面，分形维数D定义为：
(33) D = 3^(-β)
其中常数3表示欧几里得嵌入维度，分形维数D提供了腐蚀表面多尺度几何复杂性的定量度量。

图12展示了不同腐蚀速率下实际腐蚀表面和重建表面的分形维数比较。可以看出，由所提出的随机模型生成的重建表面显示出与实际腐蚀表面高度一致的分形维数变化趋势，且相应的分形维数范围也表现出良好的一致性。尽管在较高腐蚀速率下，由于腐蚀表面形态的随机性增强，不同样本之间的分形维数分散度增加，但重建表面的分形维数仍然落在实际腐蚀表面的变化范围内。这表明所提出的重建方法能够合理且可靠地表征腐蚀表面的多尺度几何复杂性。

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图12. 表面形态的分形维数与腐蚀速率之间的关系。

如图12所示，随着腐蚀速率的增加，腐蚀表面的分形维数在早期阶段表现出快速增加的趋势，随后在大约2.47的值附近波动。在腐蚀的初期阶段，表面形态主要受点蚀腐蚀的成核和发展影响。大量局部深坑的形成显著增强了小尺度表面波动，导致分形维数迅速增加。随着腐蚀的进一步发展，局部点蚀腐蚀逐渐扩展并相互连接，腐蚀形态从孤立的深坑演变为更大规模的簇状或斑块状腐蚀区域。在这个阶段，腐蚀表面的多尺度结构特征变得更加明显，分形维数不再单调增加，而是在一定范围内波动。通过拟合分形维数与腐蚀速率之间的关系，观察到两者之间存在强相关性，该关系可以表示为：
(34) D = 2.39 × (100^η)^0.0095

结论
在本研究中，使用ST400三维非接触式表面形态测量系统扫描了在工业环境中暴露约10年的CFS（冷成形钢）的表面形态。基于MATLAB的数据处理，提取了与一般腐蚀和点蚀腐蚀相关的关键形态参数。系统地研究了腐蚀深度的概率分布特性、点蚀腐蚀几何参数的统计特性以及腐蚀表面几何复杂性的多尺度演变，并建立了腐蚀形态参数与腐蚀速率之间的定量关系。这些关系和提出的建模框架是基于初始厚度为1.0毫米、在工业大气环境中腐蚀速率小于50%的Q235冷成形钢试样建立的。在此基础上，提出了一种结合一般腐蚀和点蚀腐蚀的腐蚀表面形态随机模型及其相应的重建方法。主要结论总结如下：
(1) 在低腐蚀速率下，腐蚀深度的概率分布呈现双峰模式，其中较浅的峰对应于一般腐蚀引起的整体厚度减少，而较深的峰反映了由点蚀腐蚀引起的局部深坑。随着腐蚀速率的增加，双峰特征逐渐减弱并合并为单峰分布，最终趋近于正态分布。这种演变表明腐蚀形态从点蚀腐蚀和一般腐蚀共同主导的状态转变为主要由一般腐蚀主导的状态。
(2) 基于腐蚀形态的统计分析，建立了一般腐蚀深度的随机场模型，并进一步引入了多尺度随机点蚀腐蚀模型，以构建结合一般腐蚀和点蚀腐蚀的腐蚀表面形态随机重建方法。所提出的随机模型在腐蚀深度的概率分布、点蚀腐蚀几何参数的统计分布及其演变趋势方面与实际腐蚀表面高度吻合。特别是，所提出的随机模型能够准确再现实际腐蚀表面中观察到的腐蚀深度分布从双峰模式到单峰模式的转变。
(3) 所提出的随机模型在分形维数的幅度范围及其随腐蚀速率的变化趋势方面与实验结果吻合良好。随着腐蚀速率的增加，分形维数通常先增加，随后趋于稳定，并在后期出现波动，反映了从以点蚀为主导到以一般腐蚀为主导的形态转变。

CRediT作者贡献声明：
wenqian jing：写作 – 审稿与编辑。
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