一种用于确定自由场中局部和非局部反应性声学材料的表面阻抗和吸收系数的方法

《Frontiers in Physics》：A method for determining the surface impedance and absorption coefficient of locally and non-locally reactive acoustic materials in free field

　　摘要
本文重点研究了自由场中局部和非局部反应性材料的表面阻抗及吸收系数的推导方法。引入了一种基于复数镜像理论的声音波模型，用于推导这两种材料的特性。对于局部反应性材料，将基于复数镜像模型的方法与基于Q项模型和F项模型的两种现有推导方法进行了比较。通过边界元方法模拟阻抗平面上的声场进行数值实验来验证这些方法。结果表明，在准确性和效率方面，基于复数镜像模型的方法是一个最佳选择。对于非局部反应性材料，将基于复数镜像模型的方法与Allard提出的基于声音波模型的推导方法进行了比较。数值实验显示，基于复数镜像模型的方法可以获得与Allard模型几乎相同的结果，且所需时间更少。

1 引言
已经建立了许多技术来测量自由场或原位环境中材料的表面阻抗和声吸收系数。这些方法可以系统地分为两大类。第一类方法不依赖于任何特定的声音波模型。这一类中的一个代表性方法是Tamura提出的方法[1, 2]，该方法应用空间傅里叶变换，并需要测量靠近测试样品表面的两个平行平面上的复数声压场。理论上，这种方法适用于任意配置的声音源；然而，在实际应用中，更倾向于使用能够有效减少由于测量区域有限大小而产生的误差的声音源。Tamura方法的一个显著优点是它可以通过单次测量设置确定广泛的入射角度下的反射系数，从而提高测量效率。此外，它适用于局部和非局部反应性表面，增强了其表征多种材料类型的灵活性。尽管有这些优点，但该技术需要较长的测量时间和较大的样本量，因此在实践中效率较低。第二类方法基于特定的声音波模型，其中三种主要模型被广泛认可：(a) 平面波模型[3, 4]；(b) 镜像模型[5, 6]，假设入射的球面波前被反射为平面波；(c) 球面波模型[4, 7]。在依赖平面波假设的技术中，Allard和Sieben提出的传递函数方法[8, 9]被最广泛使用。该方法使用两个相距较近的麦克风来测量测试材料表面附近两个位置的声音压强。大量验证表明，在500 Hz以上的频率下，传递函数方法的结果与Kundt管方法[10]的结果非常吻合，从而确认了其准确性。在PU探针[4, 11]引入后不久，这种传感器就被纳入传递函数方法中[12]，显著提高了测量的灵活性。然而，由于该方法依赖于平面波传播，因此要求声源与材料表面之间有相当大的距离——这通常在原位测量设置中无法满足。

镜像模型通过对几何扩散效应的显式积分，提供了对阻抗平面以上声场的更物理准确的描述，因此在预测精度上超过了平面波模型。这种建模框架已成功应用于两种关键测量技术：传递函数方法和脉冲回波方法。在传递函数方法中使用镜像模型时，声源可以放置得非常接近材料表面，因为理论公式本身就校正了几何扩散效应，这大大提高了其在实验应用中的实用性。这种方法既可以使用两个相距较近的麦克风[13]，也可以使用PU探针[14]。然而，在低频下，这种校正将失效。对于脉冲回波方法[15, 16]，直接波和反射波在时域中通过窗口或减法技术分离。脉冲回波方法适用于普通房间等常见测量条件。但是，被测材料的表面需要足够大，以便在时域中将来自环境物体的不需要的反射波分离出来，这限制了其在某些实际条件下的应用。

在这三种模型中，球面波模型在计算阻抗表面上由单极源产生的声场时提供了最高的准确性，尤其是在源与测试表面之间的距离较小时——这种情况在原位测量场景中经常遇到。对于局部反应性材料，有两种典型的球面波模型：F项模型[17]和Q项模型[18, 19]。F项模型在高频率条件或源-接收器距离较大时提供渐近解。相比之下，Q项模型通过数值稳定的镜像积分公式实现了声场的精确计算。对于非局部反应性材料，Allard[20]提出了一种基于球面波的方法来表征它们的声学行为。然而，在应用球面波模型时，无法直接从实验声学测量中获得表面阻抗，需要额外的分析过程。Hess[21]通过检查使用两个垂直排列的麦克风记录的声音压强差异来确定阻抗值。Nocke[22, 23]采用了类似的方法，但他使用的是额外的衰减数据而不是压强差异。更多的研究[24–29]利用PU探针可以方便测量的特定阻抗来推断材料的表面阻抗。在使用PU探针的测量设置中，直接测量两个物理量：来自探针中集成微型麦克风的声压和来自Microflown传感器的粒子速度。然后根据这两个直接测量的量来推导特定阻抗。值得注意的是，PU探针[24]对表面积变化具有很强的抵抗力。此外，结合PU探针的阻抗测量系统可以设计得更加紧凑。鉴于这些优点，本研究专注于基于特定阻抗测量的方法。

本研究进一步探讨了使用球面波模型推导表面阻抗和吸收系数的方法。利用之前强调的PU探针的优势，选择特定阻抗而不是额外的衰减或声压差作为推导过程的输入。本研究的主要贡献如下：首先，介绍了由Li和White[31]提出的基于球面波的复数镜像模型，并验证其作为材料表征的新颖逆算法。这为使用PU探针数据对局部和非局部反应性材料建立了完整的测量和推导流程。其次，证明了对于局部反应性表面，复数镜像方法在计算效率上优于F项和Q项方法。它获得了与Q项方法几乎相同的结果，但计算时间大约只需要三分之一。第三，对于非局部反应性材料，复数镜像方法的速度比Allard的方法快一个数量级（时间的十分之一），同时保持了相当的准确性。这种效率的提升突显了其在原位或实时测量中的潜力。

2 理论背景
一旦确定了特定阻抗（ZmZm），即给定测量点处的声压与粒子速度的比值，就可以使用平面波模型或镜像模型直接计算出测试材料的表面阻抗（ZsZs）。但对于原位测量，测量设备需要更加便携。因此，声源需要放置在测试材料的表面附近。在这种情况下，特别是在低频率下，使用球面波模型更为合适。然而，由于计算球面波场也需要待确定的表面阻抗的值，因此需要一个推导过程来确定材料的表面阻抗。推导过程中涉及两个主要因素：一个是描述材料上方声场的球面波模型，另一个是推导算法。以下将分别描述这两个因素。

2.1 球面波模型
一个角频率为ωω的时谐点源位于无限表面上方的点SS处，该表面的反射系数为～RR～，如图1所示。空气中的实部波数为k0=ω/c0，其中c0表示空气中的声速。为了符号简便，整个过程中假设时间因子e?iωt被忽略。应用空间傅里叶变换，接收器位置RR处的声压可以表示为
p=eik0R14πR1+i4π∫∞0～R(kr)eikz(zr+zs)krJ0(krr)kzdkr,
(1)
其中J0表示第一类零阶贝塞尔函数，zr、zs和rr分别表示接收器高度、源高度以及源和接收器之间的水平距离，kr是水平波数，kz是空气中的垂直波数，表示为√k20?k2rk02?kr2，R1=√r2+(zs?zr)2是实源和接收器之间的距离。反射系数～RR～取决于样品的特性（是否局部反应性）和样品的配置（无限厚度或由刚性壁支撑的有限厚度）。在本文中，考虑了由刚性壁支撑的厚度为dd的样品。方程1中的反射系数～RR～表示为：
～R(kr)=Znkz?k0Znkz+k0,
对于局部反应性材料
～R(kr)=iρ1kz?ρ0kz1tan(kz1d)
对于非局部反应性材料
～R(kr)=iρ1kz?ρ0kz1?tankz1diρ1kz+ρ0kz1?tankz1d,
其中Zn=ZS/Z0是材料的归一化表面阻抗，Z0=ρ0c0是空气的特征阻抗，ZS=iZ1cot(k1d)是材料的表面阻抗，k1、ρ1和Z1分别是材料的复数波数、特征密度和特征阻抗，kz1=√k21?k2rkz1=k12?kr2是材料中的垂直波数。

图1 表示了无限平面上方点源产生的声场几何结构。SS是实源，S′是镜像源，RR是接收器，R1是实源和接收器之间的距离，R2是镜像源和接收器之间的距离。

2.1.1 局部反应性材料的典型声音波模型
2.1.1.1 F项模型
Chien和Soroka[17]使用最速下降技术来评估方程1中的积分。然后接收器处的声压表示为
p=eik0R1R1+[Rp+(1?Rp)F(w)]eik0R2R2
p=eik0R1R1+Rp+1?RpFw
eik0R2R2
(4)
其中Rp是平面波反射系数，F(w)=1+i√πwe?w2erfc(?iw)定义为边界损失因子。参数ww表示为数值距离，
w=√0.5ik0R2(cosθ+1Zn)
(6)
erfc称为互补误差函数，可以计算为
erfc(x)=2√π∫∞xe?t2dt
(7)
注意，方程4在k0R2?1的条件下成立[17]。

2.1.1.2 Q项模型
Di和Gilbert[18]通过将平面波反射系数表示为镜像源分布的拉普拉斯变换，提出了一个点源在阻抗平面上方的声场的精确解。对于局部反应性平面，接收器处的声压可以表示为
p=eik0R1R1+eik0R2R2+2k0Zn∫∞0e?qk0Zneik0RqRqdqp=eik0R1R1+eik0R2R2+2k0Zn∫0∞e?qk0Zneik0RqRqdq
(8)
其中Rq=√ρ2+(zr+zs+iq)2
Rq=ρ2+zr+zs+iq2。
当(zr+zs)和Zn的虚部都非常小时，方程8中的被积函数的幅度在ρ=q处有一个明显的峰值[30]。在数值评估积分时，应使用足够的积分点来跟踪这种急剧下降。例如，Ochmann应用了自适应多网格求积法，使积分点在ρ=q附近自动累积。实际上，如果声源和接收器位于某些典型测量高度，如zszs = 0.1 m和zrzr = 0.03 m，随着qq的增加，被积函数的幅度将单调减小，峰值将不再出现。在Q项模型中还应注意方程8中积分的上限。在某些参考文献中，上限是通过一个经验公式[18]确定的，即 qmax=λ[Re(Zn)2+Im(Zn)2]/Re(Zn)。然而，正如在模拟中观察到的，该公式得到的 qmax 值有时会过大，导致在 qmax 处被积函数的幅度过小，这可能会导致数值积分时发生浮点溢出。在本文中，上限是通过另一种方法获得的，即在被积函数的幅度减小到足够小的值（10^-6）时截断积分。

2.1 典型的非局部反应性材料声波模型
Allard [20] 提出了一种模型，用于计算由点源在非局部反应性材料上方产生的声场，该材料具有有限的厚度，并且背面有一块刚性墙壁。接收器处的压力由以下公式给出：
p = e^(ik0R1/R1 - e^(ik0R2/R2) + ∫_∞^0 2ρ_0 e^(-νz)(z_r + z_s) dνz) tanh(νz_1) dkR
其中 νz = -ikz，νz_1 = -ikz_1，kz = √(k_2^0 - k_2^r)，k_1 是有效复波数，ρ_1 是材料中的有效密度。注意，需要数值积分来计算公式中的第三项。方程[9]已被用于测量非局部反应性样品的特性[27]。

2.1.3 非局部和局部反应性材料的复镜像模型
Li 和 White [31] 提出了一种高效的计算无限表面上声场的方法，这种方法对于通常进行原位阻抗测量的近场计算非常准确。在复镜像模型中，方程[1]中被积函数中的缓慢变化因子被近似为复指数函数的短级数。然后，通过应用 Sommerfeld 等式，方程[1] 转换为：
p = e^(ik0R1/4πR1) + ～R_0 e^(ik0R2/4πR2) + ∑_n=1^N a_n e^(ik0R_n/4πR_n)
其中 R_n = √(ρ_2 + (z_s + z_r + ib_n)^2)，～R_0 = 1（对于局部反应性材料），～R_0 = ρ_1 - ρ_0（对于非局部反应性材料）。N 是复镜像的数量，建议选择 3 到 5 [31]，a_n 和 b_n 是满足 ～R(k_r) - ～R_0 = ∑_n=1^N a_n e^(-b_n k_z) 的复数[11]。从方程[1] 到[10]的推导细节以及 a_n 和 b_n 的计算可以在[31, 32]中找到，为了简洁起见，在这里不再展示。注意，方程[10] 不涉及数值积分，因此计算声场所需的时间较短。因此，预计基于此模型推导材料特性非常高效，因为推导过程涉及重复计算点源在材料上方产生的声场。这对于非局部反应性材料至关重要，因为推导非局部反应性材料特性所需的迭代次数通常远大于推导局部反应性材料特性所需的迭代次数。注意，接收器点的粒子速度可以通过上述所有球形波模型中的欧拉方程获得。因此，可以使用这些模型计算接收器的特定阻抗。

2.2 推导算法
2.2.1 局部反应性材料的推导算法
实际上，推导局部反应性材料的表面阻抗等同于解一个隐式非线性方程：
F(Z_n, f) = Z_mc(Z_n, f) - Z_m = 0
其中 f 是频率。Z_mc(Z_n, f) 是由某种球形波模型预测的特定阻抗。如果 F_f 是 Z_n 的解析函数，因此具有连续导数，则可以使用牛顿-拉夫森方法[33]来解这个非线性方程。牛顿-拉夫森方法通过以下迭代过程接近方程[12]的根：
x_i+1 = x_i - F(x_i, f) / F'(x_i, f)
其中撇号表示对参数的求导。如果 F_f 不是 Z_n 的解析函数，或者难以获得 F_f 的导数，则必须使用割线法[34]。在割线法中，方程[13]中的导数是通过有限差分估计的。因此，割线法需要两个初始近似值，而牛顿-拉夫森方法只需要一个。另一种解方程[12]的方法是最小化方法。可以通过最小化目标函数 F(Z_n, f) 来找到最符合特定阻抗 Z_m 的归一化表面阻抗值。

2.2.2 非局部反应性材料的推导算法
对于局部反应性材料，Z_m 仅依赖于一个未知量：归一化表面阻抗。但对于非局部反应性材料，Z_m 依赖于两个参数 k_1 和 ρ_1。实际上，推导非局部反应性材料的表面阻抗等同于解一组隐式非线性方程：
F(i)(k_1, ρ_1, f) = Z(i)mc(z_s) - Z(i)m(z_s) = 0
可以使用最小二乘法来找到 k_1 和 ρ_1，以便最佳地拟合实验获得的阻抗 Z_m 与源高度 z_s。类似的方法已被[27]使用。然后，可以通过以下方程获得角度 θ 处的归一化表面阻抗：
Z_n = iρ_1 k_0 ρ_0 k_1 cosθ / p cot(k_1 d cosθ)
其中 cosθ_p = √(1 - (k_0/k_1)^2 sin^2θ
2.2.3 敏感参数的初始近似值的获取
应当注意的是，获取局部反应性材料的 Z_n 以及非局部反应性材料的 k_1 和 ρ_1 的初始近似值对于推导过程至关重要。对于局部反应性材料，可以使用 PWA 方法[26]（利用镜像模型）来获得 Z_n 的初始近似值。对于非局部反应性材料，可以使用 Brandao 提出的策略来获得 k_1 和 ρ_1 的初始近似值。首先计算正常吸收系数，假设材料是局部反应性的。然后进行最小二乘拟合以找到流动电阻率 σ，将其插入 Delany 和 Bazley [35] 提出的模型中，可以得到最佳拟合。将上述流动电阻率的 75% 重新插入 Delany 和 Bazley 模型中，以找到 k_1 和 ρ_1 的初始近似值。当获得材料的表面阻抗后，可以很容易地从以下公式计算法向入射吸收系数：
α = 1 - |Z_n - Z_n+1|

3 数值实验
3.1 局部反应性材料
为了考虑材料边缘的影响，使用了边界元素法（BEM）来计算特定阻抗 Z_m，正如 Hirosawa [25] 和 Brandao [26] 所做的那样。BEM 计算的示意图如图 2 所示。使用外部直接 BEM，可以得到：
c(R)p(R) = G(S, R) + G(S', R) + iκ_0 Z_n ∫∫_S^R G(r, S) dS
其中 G 是三维空间中的自由场格林函数，r_s 是表面上的任意点，c(R) 在接收器 R 位于表面时为 0.5，在接收器 R 位于表面以上任何位置时为 1。表面被离散成基本元素，当接收器 R 位于其上时，通过解一组线性方程获得表面声压 p(r_s)。计算表面声压分布后，将此结果代入方程[18]以计算表面以上任何点的声压。随后，从欧拉方程导出粒子速度。在本文中，使用了四边形常数元素，方程[18]中的积分是通过标准高斯-勒让德求积法使用 6 个点来评估的。

图 2 用于阻抗测量的 BEM 的示意图。S_S 是实际点源，S' 是镜像点源，R 是接收器。
在数值实验中，测试了一种尺寸为 1 m × 1 m × 0.025 m 的方形材料，假设其为 Allard 和 Champoux 类型[37]，材料的流动电阻率、孔隙率和迂曲度分别为 25 cgs、0.96 和 1.1，源高度 (h_shs) 为 0.3 m，接收器高度 (h_rh) 为 0.03 m，复镜像的数量为 5，最高频率为 4 kHz。选择 4 kHz 作为最高频率的原因是，随着最高频率的增加，基本元素的大小需要减小，但由于计算成本的原因，使用 BEM 进行模拟会变得困难。关于更高频率（高达 6–7 kHz）的性能，预计所提出的方法将保持甚至提高其准确性。这是因为在更高频率下，波长相对于材料尺寸变得更短，特定阻抗对参数变化的敏感性更大，这通常有利于推导过程。因此，虽然没有展示 4 kHz 以上的直接验证，但以下结果中的趋势表明在更高频率范围内性能可靠。同样，也在假设材料无限大的情况下使用方程[8]计算了相同接收器的特定阻抗。通过比较用于推导的特定阻抗与 BEM 模拟结果，发现信噪比（SNR）随频率变化，范围大约在 22 dB–42 dB 之间。方程[8]中的积分是使用 MATLAB 的“quadgk”函数通过自适应高斯-克朗罗德求积法评估的。
图 3 和图 4 分别显示了基于三种球形波模型推导出的归一化表面阻抗和法向吸收系数的结果。图例“Allard-Champoux”描述了由物理模型[37]计算出的归一化表面阻抗和吸收系数的理论参考值。可以看出，基于局部复镜像模型的方法（以下简称“局部复镜像方法”）的结果与基于 Q 项模型的方法（以下简称“Q 项方法”）的结果几乎相同。图 4 中观察到的围绕理论法向吸收系数的振荡是由于有限表面积的边缘效应造成的。Hirosawa [25] 和 Brandao [26] 也发现了相同的振荡现象。他们表明，通过将接收器移出中心可以减少振荡幅度。Brandao 进行了进一步的工作，并给出了计算接收器最佳位置的经验公式。

图 3 局部反应性材料推导出的归一化表面阻抗的实部 (a) 和虚部 (b)。特定阻抗 Z_m 是使用 BEM 计算的。接收器放置在材料中心。假设测试材料为 Allard 和 Champoux 类型。
图 4 局部反应性材料推导出的法向吸收系数。特定阻抗 Z_m 是使用 BEM 计算的。接收器放置在材料中心。假设测试材料为 Allard 和 Champoux 类型。
图 5 和图 6 显示了当接收器放置在 Brandao [28] 建议的最佳位置 (0.3, 0.1, 0.03) m 时的结果。可以看出，局部复镜像方法仍然得到了与 Q 项方法几乎相同的结果。对于表面阻抗，振荡消失了，但在 300 Hz 以下，复镜像方法或 Q 项方法得到的表面阻抗的实部与理论值之间存在较大差异。这些偏差可能是由于特定阻抗对表面阻抗变化的不敏感性造成的。然而，应该强调的是，在整个频率范围（从 100 Hz 到 4,000 Hz）内，表面阻抗的虚部与理论值保持良好的一致性。此外，由于在低频时虚部明显大于实部，因此依赖于两部分的法向吸收系数在整个分析的频率范围内仍然准确。因此，对于主要关注吸收系数的实际应用，所提出的方法可以在整个频率范围内可靠使用，包括 300 Hz 以下。相比之下，对于专门用于准确估计 300 Hz 以下实部的应用，则需要额外的谨慎或补充测量策略。

图 5 局部反应性材料推导出的归一化表面阻抗的实部 (a) 和虚部 (b)。特定阻抗 Z_m 是使用 BEM 计算的。接收器放置在最佳位置。假设测试材料为 Allard 和 Champoux 类型。
图 6 局部反应性材料推导出的法向吸收系数。特定阻抗 Z_m 是使用 BEM 计算的。接收器放置在最佳位置。假设测试材料为 Allard 和 Champoux 类型。
应当注意的是，在被动材料假设下，吸收系数在理论上的取值范围是 0 到 1 之间。然而，观察到少数情况下数值略微低于0的情况，这些现象也仅发生在300 Hz以下的频率范围内。这种现象归因于低频范围内表面阻抗实部的大误差，如前文所讨论的。在图3-6中，基于F项模型的方法（以下简称“F项方法”）在低频时的结果与理论值有较大偏差，因为在这些频率下不满足k0R2?1的条件。根据上述分析，局部复数镜像方法得出的结果与Q项方法几乎相同，并且性能优于F项方法。但是，使用复数镜像方法进行整个推导过程（共49个频率）所需的时间几乎是使用Q项方法所需时间的三分之一。如果考虑更多的频率并且使用功率较低的设备（这在现场测量中是实际情况），那么复数镜像模型将比Q项模型更为合适。当改变被测材料的流阻率时，也得出了相同的结论。需要注意的是，本文中的所有结果都是使用割线法获得的。在割线法中，迭代终止标准设置为连续两次迭代结果之间的差异小于10^-5。观察到每个频率大约需要5-9次迭代。所有计算都是在配备有Intel Core(TM) i5-2380P处理器和4 GB RAM的计算机上完成的。如果花费更多时间在推导过程中，使用MATLAB中的“fminsearch”函数进行最小化处理，得到的结果与割线法相同，但由于篇幅原因这里不再赘述。

3.2 非局部反应性材料
由于边界元方法（BEM）不适合计算非局部反应性材料上方点源产生的声场，因此接收点的特定阻抗是通过方程9来计算的，而不是使用BEM。选择了五种不同的源高度（hshs = 0.1m、0.15m、0.2m、0.25m、0.3m）。流阻率被设定为10 cgs，以便将测试材料视为非局部反应性材料。在这种情况下，假设测试样本是无限的，且没有边缘效应引起的误差，因此源和接收点都位于zz轴上。本节使用的其他参数与第3.1节中的参数相同。局部复数镜像方法被用来找到k1和ρ1的初始近似值。图7和图8显示了通过局部复数镜像方法、基于非局部复数镜像模型的方法（以下简称“非局部复数镜像方法”）以及基于Allard模型的方法（以下简称“Allard方法”）得出的法向入射下的归一化表面阻抗和吸收系数的结果。局部复数镜像方法的结果显示出较大偏差，这表明当材料的流阻率较小时，使用声波模型来处理局部反应性材料是不合适的。可以发现，非局部复数镜像方法的结果与Allard方法的结果几乎相同，并且两者都与理论值吻合得很好。但是，使用Allard模型进行推导过程的时间成本是使用复数镜像方法的十倍。

图7 非局部反应性材料在法向入射下的归一化表面阻抗的实部（a）和虚部（b）。特定阻抗Zm是使用Allard模型计算得出的。假设测试材料属于Allard和Champoux类型。
图8 非局部反应性材料的归一化法向吸收系数。特定阻抗Zm是使用Allard模型计算得出的。假设测试材料属于Allard和Champoux类型。

3.3 噪声分析
为了评估所提出方法在现实现场条件下的鲁棒性——在这种情况下，有限样本大小和边缘散射等因素会导致理想波场的偏差——通过向输入的特定阻抗中添加控制级别的高斯白噪声来进行敏感性分析。考虑了不同的信噪比（SNR）来模拟逐渐增加的测量干扰水平。然后在含噪声的数据上重复推导过程，以评估局部和非局部反应性材料的归一化表面阻抗的稳定性和准确性。结果表明，对于这两种材料类型，当SNR大于20 dB时，该方法仍然稳定，产生的表面阻抗值与无噪声情况下的结果非常接近。然而，当SNR小于20 dB时，结果变得不可接受。进一步分析表明，性能下降主要是由于表面阻抗实部的误差过大，而实部对测量不确定性的敏感性较低。这一发现与之前的观察结果一致，即实部反演在低频时的准确性较低。

4 结论
本文重点介绍了在自由场中推导局部和非局部反应性材料的表面阻抗及吸收系数的方法。提出了一种基于复数镜像模型的推导方法。对于局部反应性材料，局部复数镜像方法可以得出与Q项方法几乎相同的结果，但由于复数镜像模型不涉及数值积分，因此所需时间少于Q项方法（49个频率大约只需要三分之一）。对于非局部反应性材料，也得到了类似的结果。局部复数镜像方法的时间成本仅为Allard方法的十分之一。因此，基于复数镜像模型的推导方法具有应用于现场或实时测量的潜力，特别是对于非局部反应性材料。应当注意的是，尽管数值实验提供了对准确性和效率的受控评估，但这只是在进行物理测量之前的必要基础。对实际材料的物理验证被认为是未来工作的重要方向。