基于高斯过程的数据驱动概率预测方法在配电变压器中用于电压质量预测 Efraín Mondragón-García, ángel Marroquín de Jesús, Raúl García-García, Yuri Salazar-Flores, Adán Díaz-Hernández, Emmanuel Vallejo-Casta?eda

《Energies》：Data-Driven Probabilistic Forecasting of Voltage Quality in Distribution Transformers Using Gaussian Processes Efraín Mondragón-García, ángel Marroquín de Jesús, Raúl García-García, Yuri Salazar-Flores, Adán Díaz-Hernández and Emmanuel Vallejo-Casta?eda

　　摘要：本文提出了一种基于高斯过程回归和高分辨率场测量的概率数据驱动框架，用于配电变压器的电压质量预测。在实际运行条件下获取的电压时间序列使用复合协方差函数进行建模，这些函数旨在捕捉长期趋势和随机多尺度波动。所提出的方法能够同时实现预测和不确定性量化，从而直接评估电压质量是否符合标准。加性高斯过程模型的决定系数超过0.75，并产生统计上不相关的残差，表明其对内在时间结构的表示是充分的。然而，预测区间存在一定的覆盖不足，表明尽管不确定性得到了有效量化，但在校准方面仍有改进空间。选定的核结构揭示了电压动态中的不同物理机制，包括平稳的稳定运行、与局部干扰相关的适度不规则行为以及多尺度随机变异性。为了进行基准测试，将结果与随机阻尼谐振子模型、简单模型、季节性简单模型和自回归积分滑动平均模型进行了比较。谐振子模型、简单模型、季节性简单模型和自回归积分滑动平均模型产生了强自相关的残差，而高斯过程模型产生的残差则是白噪声，其性能优于所有其他模型。这些发现表明，概率高斯过程建模为现代配电系统中的电压质量预测提供了一种可解释的、可扩展的且考虑不确定性的方法。

1. 引言
电力质量（PQ）已成为现代电气工程的关键支柱，特别是在第四次工业革命的背景下，数字化[1]、自动化[2]和能源效率[3,4,5,6]紧密相连。在各种PQ指标中，电压起着基础性作用，因为它直接决定了电气设备的性能、可靠性和能源效率[7,8,9]。在高度电气化的工业建筑和环境中[10]，即使是中等程度的电压偏差也可能导致损耗增加、敏感设备故障、资产过早老化以及显著的经济影响[11,12,13,14]。
在理想的电气系统中，提供给最终用户的电压将保持完全恒定，不受负载变化的影响[15]，并且表现为具有零内部阻抗的理想电压源。然而，在实践中，由于负载动态、网络阻抗、分布式发电[16]和切换事件，电气网络不可避免地会偏离这一理想状态。这些因素导致电压变化，从而定义了所提供的电力质量[7,17]。电压质量通常与关键电气参数（如电压幅值、频率和波形特性）在时间上保持在其指定范围内的程度相关。通过标准化测量方法评估这些参数，以确保连接设备的可靠运行[18]。
与电压相关的电力质量扰动，包括电压下降、上升、闪烁、不平衡和瞬态变化，被广泛认为是影响配电系统的一些最常见现象。这些扰动可能导致设备故障、过程中断、效率降低和运营成本增加。因此，它们的监测和缓解成为现代电力网络中的核心关注点[7,8,19,20]。
这些扰动在依赖电力电子设备、自动化过程和数字控制系统的工业和商业设施中尤为关键，因为这些负载对电力质量变化非常敏感，可能会经历故障、过程中断和经济损失[11,21]。由于电压是电网与最终用户之间的主要接口，其质量直接影响能源效率。电压偏差通常会增加电流需求，加剧损耗，并降低整体系统效率[14,22]。
随着第四次工业革命的到来，电压质量的重要性日益增加。智能制造、信息物理系统和数据驱动的工业过程需要稳定且可预测的电压供应，以确保效率、可靠性和可持续性[5,11]。此外，可再生能源的日益普及、分布式发电和双向电力流动引入了新的挑战。特别是，电压调节在配电网络中变得更加复杂，使得电压变化更加复杂且不确定性更大[23,24,25,26]。在这种情况下，电压监测和预测不再是可选的；它们是实现能源效率和运营韧性的必要工具[27]。
传统的电压质量评估主要依赖于从高分辨率测量中得出的确定性阈值和描述性统计[18,19]。然而，尽管这些方法对于合规性验证是有效的，但它们在捕捉现实世界电压信号中固有的不确定性和时间相关性方面的能力有限[28,29]。当电压行为受到随机因素（如波动负载、间歇性可再生能源发电和运营切换事件）的影响时，这一局限性变得尤为明显[30]。此外，越来越需要考虑不确定性的电压预测。在这种情况下，概率模型为现代配电系统提供了更现实的操作视角，特别是在分布式能源资源（DER）渗透率高的情况下，双向电力流动和随机需求引入了非平稳的电压动态。因此，概率模型提供了更现实的操作视角，使得在不确定的电网条件下能够进行基于风险的监测和主动控制策略。
为了解决这些挑战，本研究采用了基于高斯过程（GP）建模的概率数据驱动框架。高斯过程为电压时间序列建模提供了一个强大的框架，提供了准确的预测和明确的不确定性量化[31]。与传统回归或确定性模型不同，高斯过程自然地捕捉时间相关性，并允许将电压行为表示为随机过程。这种表示特别适合现代高度动态的电力系统[32,33]。未知函数的统计建模通常依赖于经典参数方法，如线性和多项式回归，这些方法施加了刚性结构。它还包括更灵活的技术，如样条插值和核平滑（例如Nadaraya–Watson估计器，见[34]）。时间序列分析通常通过自回归和滑动平均模型进行建模，而早期的随机过程（如Wiener过程）提供了概率基础，但适应性有限。这些方法往往难以在灵活性和原则性不确定性量化之间取得平衡。高斯过程作为一种强大的替代方案出现，它通过直接在函数上放置分布来实现这一点。这种方法结合了非参数灵活性和贝叶斯推断。它们的成功在很大程度上归功于分析上的可行性、通过协方差核编码先验知识的能力以及连贯的不确定性估计，这些因素共同使它们在复杂建模任务中特别有效（见[31,35]）。
高斯过程模型已广泛应用于各种科学和工程领域，包括独立光伏系统中的故障检测[36]，以及智能交流微电网[37]。此外，这种建模方法还被用于协调传统的电压调节设备[38]和识别基于电流源转换器的HVDC输电线路中的故障位置[39]。同样，在500 kV变电站的中压部分进行的现场测量也在多任务高斯过程框架内进行了分析[40]。该框架还用于预测电压稳定性指数[41]。综述[42]报告了高斯过程在电力系统预测、优化和控制中的几个应用。同样，一个高斯过程模型[43]被用来表示与微电网运行相关的预测误差，进一步证明了这种方法的灵活性。
为了进行比较，将高斯过程模型与具有恢复力的随机阻尼谐振子模型、简单模型、季节性简单模型和ARIMA（自回归积分滑动平均）模型进行了基准测试。在时间序列分析领域，简单的探索性基准，如简单模型和季节性简单模型，在更复杂的概率模型广泛采用之前发挥了基础性作用。简单方法将最后一个观察值向前投影，其季节性对应方法则重复前一个周期相应时期的观察值，尽管概念简单，但提供了出人意料的强基线。它们的有效性源于最小的建模假设、对过拟合的鲁棒性以及与持久性和周期性的隐含对齐——这些特征在实证数据中经常观察到。因此，这些方法作为评估预测性能的参考模型仍然至关重要，确保更复杂的方法确实带来了改进（见[44,45]）。先前的研究表明，电压波动可以有效地解释为噪声驱动的阻尼谐振子。这为复杂系统中随机电压动态的建模提供了一个基于物理的框架[46]。尽管[46]中的工作源于离子通道动力学的研究，但其相关性在于所使用的随机框架的普遍性。特别是，将电压演变表述为由随机扰动驱动的阻尼系统的公式不仅限于生物学背景，还可以扩展到其他复杂系统，其中电压信号来自多个耦合组件在随机波动下的相互作用。
本研究的新颖之处在于使用为实际运行条件下的电压质量评估而专门设计的复合高斯过程核对现场电压测量进行概率建模。此外，所提出的框架还与简单模型、季节性简单模型、ARIMA模型和基于物理的随机模型（即具有恢复力的随机阻尼谐振子模型）进行了基准测试。进行这种比较是为了确定测量电压信号的主要行为是否可以解释为由随机扰动驱动的振荡过程。这也评估了主要信号动态在多大程度上受到内在振荡机制的支配。现场电压测量是在墨西哥Querétaro的San Juan del Río技术大学（Universidad Tecnológica de San Juan del Río）的D号楼对应的电气变电站获得的。通过概率建模电压行为，所提出的方法提供了支持能源效率和明智决策的预测洞察，这是可持续能源管理和现代电力系统的关键目标[47,48]。与依赖于聚合或模拟数据集的先前工作不同，本研究仅关注来自实际配电变压器的现场电压测量，并在实际运行条件下评估概率预测性能。
此外，电压质量受到国际标准的严格监管，如IEEE 519-2014[49]、IEC指南[18]和包括墨西哥电网规范（“código de red mexicano”[50]在内的国家法规。通过将所提出的方法与这些监管框架对齐，本研究提供的结果既具有本地适用性，又具有国际相关性[51]。
总之，本文通过（1）分析实际运行条件下的配电变压器电压质量；（2）应用高斯过程模型来捕捉和预测电压行为并量化不确定性；以及（3）将概率框架与简单模型、季节性简单模型、ARIMA模型和具有恢复力的物理基础随机阻尼谐振子模型进行基准测试，以评估主要电压动态是否可以根本解释为由随机扰动驱动的振荡过程，做出了贡献。
本文的结构如下。第2节（材料和方法）描述了测量设置、数据采集过程和概率预测方法。第3节（结果和讨论）展示了结果和讨论，包括所提出的方法与简单模型、季节性简单模型、ARIMA模型和随机阻尼谐振子模型之间的比较。最后，第4节（结论）总结了主要结论并概述了未来的研究方向。

2. 材料和方法
电压测量使用安装在墨西哥Querétaro的San Juan del Río技术大学D号楼配电变压器二次侧的Fluke 435 Series II电力质量分析仪进行。该仪器配置为三相系统，并在数据采集前验证了电流和电压探头，以确保测量可靠性（见表1）。表1总结了测量设置和数据采集配置。Fluke 435 Series II电力质量分析仪用于实时记录高时间分辨率的电气参数[52]。该仪器能够测量多种电力质量指标，包括（a）电压和电流的总谐波失真（THD），（b）高达50阶的各个谐波分量，（c）电压和电流不平衡，（d）电压闪烁，（e）如下降和上升等瞬态事件，以及（f）有功功率、无功功率和视在功率以及功率因数。测量是在具有代表性的负载条件下进行的，遵循标准化协议，包括将Fluke 435安装在变压器的二次侧，配置为三相系统并带有中性点，并验证电流和电压探头的正确连接。
在本研究中，为了分析方便，每5分钟对单个相位（以下简称为电力变电站的Line 1或L1，额定功率为225.0 KVA）的电压进行一次测量，该电力变电站位于墨西哥Querétaro的San Juan del Río技术大学。其他电气变量、其余相位、多节点数据集以及它们之间的相关性将在未来的工作中进行讨论。在每5分钟的间隔内，记录了最小（Min）、平均（Mean）和最大（Max）电压值，观测周期最长为七天。根据墨西哥能源监管委员会发布的《墨西哥电网规范》[50]，电气质量参数必须以五分钟的间隔进行记录。为了合规性评估和诊断目的，典型的监测活动包括在七天的观测周期内进行连续测量。这种方法提供了足够大的数据集，以评估统计指标并验证是否符合电网规范中规定的技术要求。测量活动的持续时间与墨西哥电网规范推荐的电力质量评估监测实践一致。以五分钟的间隔记录电压数据，在一个代表性的运行周期内，可以充分捕捉到日常变化、随机波动以及负载依赖的电压行为。这种方法确保了用于概率建模和验证的数据集在统计上具有意义。

为了清晰起见，数据集被分为三个子集：训练集（用于拟合模型参数并学习数据中的潜在模式）、验证子集（用于支持模型选择任务，包括超参数调整，例如窗口大小和核函数配置），该子集从训练期间提取；以及测试集，对应于最后一天。图1中的测试集（红色虚线区域）严格用于最终评估，在模型选择的任何阶段（包括窗口大小确定或核函数配置）都未被使用。本研究考虑了一天的预测范围。选择了一天的验证集，约占数据集的14%。这种划分范围在10-20%的常见接受范围内[53]。图1显示了三种代表性情况下的电压测量时间序列：(a) 最小值，(b) 平均值，(c) 最大值。黑色标记表示整个数据集。垂直的红色虚线定义了数据子集之间的分割：最左侧红色虚线左侧的观测值属于训练区域，而两条红色虚线之间的区间定义了用于样本外评估的验证（测试）区域。这种分离突出了数据的时间结构以及评估模型泛化能力的情境。时间序列中的异常值通过四分位数范围（IQR）方法[54]进行识别和处理，这是一种常用且非参数的异常检测统计方法。对于每个序列，计算了第一（Q1）和第三（Q3）四分位数，四分位数范围定义为IQR = Q3–Q1。位于区间([Q1 ? 1.5 × IQR; Q3 + 1.5 × IQR])之外的观测值被归类为异常值。

被识别为异常值的数据点从原始序列中移除，并暂时视为缺失值；随后，这些点通过基于样条的插值[55]方法替换，该方法基于剩余的非异常值观测值构建。这一程序确保了时间序列的平滑连续重建，同时保持了其时间结构。结合使用基于IQR的过滤和插值方法可以减轻虚假波动和测量伪影的影响，而不需要假设特定的分布，从而为后续分析和建模提供了更干净、更可靠的数据集[54,56]。

2.1 高斯过程建模
高斯过程回归（GPR）被用来建模和预测在电气变电站测量的电压时间序列。特别是，这种方法能够同时进行预测和不确定性量化。高斯过程可以被视为多元高斯分布的扩展，它构成了一个贝叶斯非参数框架。在高斯过程中，未知函数被建模为一个随机过程，直接对函数进行先验处理，而不是假设一个固定的参数形式[31]。这提供了一个灵活的框架，能够捕捉电压动态中的时间相关性并量化不确定性，这些动态本质上受到随机负载变化和变化的操作条件的影响。高斯过程被定义为一组随机变量的集合，其中任意有限数量的变量都具有联合高斯分布[31]。

考虑一个训练数据集（1），其中观测值假设受到独立高斯噪声的干扰（2）：表示均值为且方差为的高斯分布[36]。高斯过程的主要假设是函数值（3）遵循多元高斯分布[31,36]，（3）其中是函数值的转置（T）向量，是一个所有元素均为零的向量[36]，表示协方差矩阵，其元素由协方差函数定义，通常称为核函数，该函数针对每一对训练输入进行评估[36]。观测输出的边际分布由（4）给出，其中是高斯噪声，是单位矩阵。表示需要优化的核超参数。

测试输出的预测分布（5）遵循高斯分布（6），（6）是预测分布的均值（7），（7）是预测分布的协方差[36]。关于高斯过程的全面讨论，读者可以参考以下参考文献[31,36]。

高斯模型拟合过程分为两个阶段进行，第一阶段专注于模型验证和训练区域内协方差函数（核）参数的优化。图1中的红色虚线测试区域严格用于最终评估，在模型选择期间（包括窗口大小确定或核函数配置）未被使用。所有超参数调整和模型设计选择都仅使用训练子集进行，以防止信息泄露。这种方法实现了两天的预测，即在测试区域内的一天预测，然后与第七天的实际观测值进行比较。对于测试区域，计算了决定系数（8）、均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）、自相关测试（Ljung–Box测试）[57]，以及包含在95%置信区间内的观测数据点的百分比。基于这些结果，对预定义模型进行了最终的性能比较。在第二阶段，使用在验证区域获得的模型再次进行了超出观测数据的最终一天预测。

GPR模型是在Mathematica 12.1[58]中实现的。核函数由线性成分和以下核函数之一组合而成：平方指数、周期性、有理二次、Matérn 5/2和Matérn 3/2[31]。尽管单独使用线性协方差函数在决定系数以及最低的均方误差和平均绝对误差方面表现最佳，但它导致测试区域的95%置信区间过窄。这种行为表明预测不确定性被低估了，这是过度限制性的协方差结构在建模复杂、非平稳电压动态时的一个已知限制。因此，尽管线性核在点估计精度上表现良好，但被认为不足以可靠地量化不确定性，这促使人们考虑更具表现力的协方差函数，以更真实地捕捉变异性和不确定性。为此，通过核函数的加法和乘法组合构建了复合协方差模型。加法公式允许不同时间尺度上的不同潜在过程叠加，例如长期趋势和短期波动，而乘法公式允许这些成分之间的相互作用，有效地模拟了幅度调制和局部变化的平滑度。这些复合核函数提供了更高的表示灵活性，从而改善了不确定性量化，并更物理地解释了潜在的电压动态。模型参数通过最大似然优化进行估计，确保了数据拟合和模型复杂性之间的最佳平衡。参数优化使用FindMinimum算法[58]进行，该算法有效地探索超参数空间，以识别最大化边际似然的参数集。重要的是要注意，协方差函数的参数优化空间本质上是多变的，与模型参数相关联的有多个局部最小值。这种建模框架提供了稳健的预测性能，同时产生了适合高影响力科学分析的可靠不确定性量化。

在模型训练之前，通过使用相应时间序列的最小值和最大值将测量值重新缩放到指定区间来预处理电压数据。随后使用滑动窗口方法构建输入-输出训练对。高斯过程预测器是使用滑动窗口内的滞后电压观测值构建的，其中大小为k的窗口将前k个测量值映射到下一个值。最佳窗口大小仅使用时间上分开的训练数据集部分确定，而最后一天严格用于独立测试。每个候选窗口配置都独立进行拟合，避免了递归重新训练和测试集泄露。监督学习公式使用滑动窗口内的滞后电压观测值作为输入特征，其中大小为k的窗口使用直接的一步预测策略预测下一个值。分别为最小（Min）、平均（Mean）和最大（Max）电压序列训练了独立的高斯过程模型，每个模型共享相同的输入结构，但学习不同的目标映射。这种公式明确定义了输入向量的构建、预测策略和独立预测设置。

为了确定GPR模型中协方差函数参数优化的适当窗口长度，窗口大小以一小时为增量变化，最长持续时间为两天。窗口大小的选择是通过评估从一小时到两天的候选时间范围来进行的，从而在训练集内提供了时间验证。这种方法考虑了一系列时间范围，得出了更稳健的最佳选择；参见[59]。表2中报告的最佳窗口大小接近两天，表明与较短的时间范围（包括一天窗口）相比性能有所提高。最后一天完全独立，仅用于测试。最佳窗口的选择主要基于应用于验证区域残差的自相关测试（Ljung–Box测试，LBT）[57]，接受标准是p值大于0.05（理想情况下尽可能接近1，表示残差不相关）。作为次要标准，要求决定系数接近于1，以及最低的均方误差和平均绝对误差值，所有这些都在验证区域内进行评估。表2中展示了为最小（Min）、平均（Mean）和最大（Max）电压的L1线找到的最佳模型，以及与模型相关的参数，如线性偏差方差、线性信号方差、数值长度尺度、信号方差、指数、白噪声（WN）方差、找到的最佳训练窗口大小（WS）以及位于95%置信区间内的观测点百分比（P%）。在表中考虑了高斯过程回归（GPR）。在优化过程中，获得了以下协方差函数并进行了展示：L = 线性，RQ = 有理二次，SE = 平方指数，M5/2 = Matérn 5/2和WN = 白噪声；详见附录A。重要的是要注意，本研究不依赖于高级计量基础设施（AMI）或逆变器式测量单元（PMU）系统的数据，而是依赖于安装在变压器级别的电力质量分析仪获得的高分辨率测量数据。

从方法论的角度来看，AMI和PMU系统主要设计用于实时测量和数据采集，计算要求相对较低。相比之下，所提出的高斯过程框架由于数据预处理、模型训练、核函数选择和概率推断引入了额外的计算复杂性。然而，这种额外的复杂性实现了传统基于测量的方法所不具备的预测能力和不确定性量化功能。因此，所提出的方法应被视为对传统监控系统的补充，而不是替代品。在实际应用中，这样的预测模型可以集成到监控架构中，以支持需求管理、预防控制和可靠性评估等领域的决策过程。

2.2 随机阻尼谐振子带恢复力、朴素模型、季节性朴素模型和ARIMA模型
本工作中考虑的带有恢复力的随机阻尼谐振子（SDHORF）可以表示为：（8）。在这个方程中，表示时间的函数电压。项表示阻尼成分，其中是阻尼系数。这一项模拟了系统中的能量耗散，并控制振荡衰减的速率。线性恢复力是指驱动系统回到平衡状态的力，其中k是刚度（或恢复）参数。它决定了振荡的自然频率。函数f(x)代表一个外部确定性驱动项，用于考虑作用在系统上的结构化输入或系统扰动。随机贡献项g(x)模拟随机波动，其中σ表示噪声强度，N(x)是一个高斯白噪声过程。方程（8）中电压的期望值E[V]由以下公式给出：

E[V] = k * x^2 + σ * N(x)

方程（9）中电压期望值的微分方程已经求解，参数k和σ通过与非训练区域观测到的电压数据进行非线性拟合来估计。参数k取为训练区域内观测电压数据的平均值。估计模型参数后，将随机微分方程（8）离散化，得到以下离散时间表示形式[60]：

E[V]_(t) = k * (t - τ)^2 + σ * N(t - τ)

其中τ是时间延迟。在最后一步中，使用Mathematica 12.1实现的高斯白噪声过程（均值为0，标准差为σ）生成多个轨迹（N ≈ 10,000）。这些模拟用于计算随时间变化的平均响应（确定性预期情况）及其对应的95%置信区间。选择参数k以产生大约95%的置信区间覆盖率。在测试区域进行预测，并计算均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）、Ljung–Box检验的p值以及概率指标，如表3所示。表3展示了均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）、决定系数（R2）、Ljung–Box检验（LBT）、负对数预测密度（NLPD）、连续排名概率分数（CRPS）和Kolmogorov–Smirnov检验（KST）的结果（KST值对应于Kolmogorov–Smirnov检验的p值）。表3中的值低于0.05表示在图2中拒绝了均匀PIT的零假设。表3还展示了建筑物D中电气变电站最小（Min）、平均（Mean）和最大（Max）电压的L1线路的预期校准误差（ECE）和平均区间宽度（AIW）。

在优化过程中，得到了以下协方差函数：L = 线性（Linear），RQ = 有理二次（Rational Quadratic），SE = 平方指数（Squared Exponential），M5/2 = Matérn 5/2，WN = 白噪声（White Noise），SDHORF = 具有恢复力的随机阻尼谐振子。NM代表一个简单模型，SNM是一个季节性简单模型，ARIMA是一个自回归积分移动平均模型。简单预测模型假设下一个观测值等于最新值加上随机噪声贡献，其表达式为：

y_t = y_{t-1} + σ * N(t)

其中y_{t-1}表示时间t-1的观测值，N(t)表示均值为0、方差为σ的高斯白噪声过程。类似地，季节性简单模型假设当前观测值等于上一季节观测值加上随机噪声项，其表达式为：

y_t = y_{t-1} + σ * N(t-s)

其中s表示季节周期，y_{t-s}表示上一季节的观测值，N(t-s)表示高斯噪声贡献。

ARIMA模型考虑以下方程：

y_t = y_{t-1} + (1 - φ^λ) * (y_{t-1} - y_{t-2}) + φ^λ * (y_{t-2} - y_{t-3}) + … + φ^λ * y_1

其中φ是自回归参数，λ是衰减率，d是差分阶数。

2.3. 提出模型的概率指标

为了全面评估提出模型的概率性能，采用了几个互补的指标，这些指标在表3中呈现，涵盖了校准和精确度属性。评估遵循既定的概率预测标准，通过联合评估校准、精确度和整体分布准确性来进行。这种综合方法避免了依赖确定性阈值，并确保预测分布既在统计上一致又在操作上具有信息性。这种方法使提出的方法与现代概率预测文献中的最佳实践保持一致。负对数预测密度（NLPD）通过惩罚观测值与预测密度之间的差异来评估完整预测分布的质量，其定义为：

NLPD = -∑[log(E[P(y_t|y_{t-1}, …, y_{t-d}) - P(y_t|y_{t-1}, …, y_{t-d-1})]

其中P(y_t|y_{t-1}, …, y_{t-d})表示给定观测值的预测密度分布。较低的NLPD值表示更好的概率预测[62]。

连续排名概率分数（CRPS）是一种严格的适当评分规则，用于评估概率预测的质量。它评估预测累积分布函数（CDF）与观测值之间的一致性，同时考虑了校准和精确度。对于一组N个观测值，CRPS定义为：

CRPS = ∑[|P(y_t|y_{t-1}, …, y_{t-d}) - F(y_t)|^2]

其中F(y_t)是第t个观测值的累积分布函数。较低的CRPS值表示更好的概率预测，因为预测分布更接近观测结果[62,63]。

概率积分变换（PIT）定义为：

PIT = ∫[F(y_t|y_{t-1}, …, y_{t-d}) * log(F(y_t|y_{t-1}, …, y_{t-d-1})]

其中P(y_t|y_{t-1}, …, y_{t-d})是与第t个观测值相关的PIT值。它位于区间[0, 1]内，对于校准良好的概率模型，序列PIT应该遵循均匀分布，即PIT值应该均匀分布在[0, 1]上。PIT值可以解释为模型分配给观测结果的累积概率。如果预测分布正确指定，PIT值应该在[0, 1]上独立且均匀分布。

使用PIT直方图和Kolmogorov–Smirnov检验（KST）进一步评估校准，KST衡量PIT值的经验分布与均匀分布之间的最大偏差[65]。然而，众所周知，KST主要评估边缘均匀性，可能无法检测到预测分布中的序列依赖性或结构缺陷。KST值对应于Kolmogorov–Smirnov检验的p值。表2中低于0.05的值表示在图2中拒绝了均匀PIT的零假设。图2显示了作为预测分布校准诊断的PIT直方图。面板（a）Min（b）Mean和（c）Max对应于在测试集上评估的不同电压配置。在理想校准下，PIT值预期在单位区间上遵循均匀分布。偏离均匀性揭示了预测分布中的系统缺陷，例如偏差或不确定性表示不准确。特别是，在边界（0和1）附近概率质量的累积表明预测分布分散不足，而更均匀的分布（如面板（a）所示）表明校准性能更好。此外，通过比较多个置信水平下的名义覆盖率和经验覆盖率来评估校准，计算了基于区间的预期校准误差（ECE）。对于一组预定义的名义水平，假设高斯预测分布构建了对称预测区间，并将经验覆盖率估计为落在每个区间内的观测值比例。然后定义校准误差为：

ECE = 1 - ∑[1 - P(y_t|y_{t-1}, …, y_{t-d})^2]

其中P(y_t|y_{t-1}, …, y_{t-d})表示名义覆盖率水平，是相应的观测覆盖率。该指标总结了不同置信水平下预测和经验不确定性之间的偏差。此外，通过绘制观测值与名义覆盖率的关系图来构建可靠性图，其中完美校准对应于身份线。这种方法与基于可靠性图和分箱技术的校准评估方法相关[66]。

最后，通过预测区间的平均区间宽度（AIW）来量化预测精确度：

AIW = 1/2 * ∑[P(y_t|y_{t-1}, …, y_{t-d})^2]

其中P(y_t|y_{t-1}, …, y_{t-d})是预测分布的-p分位数。较低的AIW值表示更精确（更具信息性）的预测，前提是保持校准[62]。

2.4. 概率合规性评估

在这项工作中，使用独立测试集中每个时间步长t获得的预测高斯分布来评估电压合规性。电压建模为：

V_t = k * x_t^2 + σ * N(t)

其中k是刚度参数，σ是噪声强度。监管限制定义为：

V_t ≤ V_n

其中V_n是名义电压（例如，127 V）[50]。

违反概率

电压在时间t违反允许限制的概率定义为：

P(V_t ≤ V_n) = φ^δ

其中φ是累积分布函数（CDF），δ是标准正态分布的累积分布函数[31,44]。

预期违规次数

在T时间步长范围内的预期违规次数由以下公式给出：

N_violations = φ^δ * T

预期合规性（在限制内的时间百分比）

电压保持在允许限制内的预期时间比例为[18,50]：

P(V_t ≤ V_n) ≥ θ

基于分位数的超出

为了评估最坏情况，定义预测分布的-p分位数为：

P(V_t ≤ V_n) ≤ φ^δ * θ

其中θ是标准正态分位数。

上限和下限超出条件定义为：

P(V_t ≤ V_n) ≥ φ^δ * θ - ε

其中ε确保95%的预测区间完全在允许范围内[31]。

解释

对于所有t，如果违反概率P(V_t ≤ V_n) = 0，则预期违规次数可以忽略不计。因此，预期合规性接近100%，预测分位数保持在监管限制内，表明在95%的置信水平下没有超出。从监管角度来看，墨西哥电网代码基于定义的评估窗口（例如，5分钟间隔，7天）内的时间序列测量来评估电压合规性。这种操作标准相当于评估电压保持在允许限制内的时间比例。本工作中采用的概率公式通过时间依赖的违规概率提供了这一要求的一致解释[50]。

本节描述的方法为下一节中呈现的概率建模和分析提供了基础。

3. 结果和讨论

尽管观测到的电压结果来自单个相位，通过其最低（Min）、平均（Mean）和最高（Max）变化来表示，但相应的时间序列表现出不同的行为。对于较低（Min）和平均（Mean）电压数据，一致观察到异常值；这些异常值被移除，并用时间序列中剩余的值进行插值替换。在最高电压（Max）序列中没有观察到这种行为。替换样本的百分比低于0.45%，表明插值过程没有显著改变信号的统计结构。未来的工作将评估不删除异常值的稳健GP公式。

表4总结了平均值、标准差、变异系数、峰度以及Augmented Dickey–Fuller（ADF）[67,68]和Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shidt（KPSS）[69]测试的结果。同时，还展示了数据分布的简单拟合。如表4所示，所有三个系列的平均电压都高于墨西哥的名义值127 V[70,71]。三个系列的标准差相似，范围从1.49到1.60。标准差大约占观测平均值的1%，表明相对变异度非常低。这表明数据紧密围绕平均值聚集，分散度很小。从统计角度来看，这对应于接近1%的变异系数（见表4），通常与高度稳定和一致的系统相关。如表4所示，分布拟合表明混合了多种分布，其中大多数是正态分布；因此，可以得出结论，大多数观测值将位于平均值附近的狭窄范围内。这种行为反映了测量过程的低不确定性和高重复性。总体而言，结果表明系统在稳定和受控的条件下运行。从电力质量的角度来看，这些发现与电压变化有限且不太可能导致敏感设备故障或显著效率损失的良好调节的电力系统一致。表4。该表格报告了Augmented Dickey–Fuller (ADF)统计测试[67,68,72]（当p值>0.05时表示存在单位根）和Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin (KPSS)测试[69,72]（当p值>0.05时表示时间序列是平稳的）的均值（）、标准差（）、变异系数（CV = /× 100）、峰度（K）、偏度（S）以及p值，并展示了数据分布的简单拟合结果。表格中还显示了D号楼电气变电站的最低（Min）和最高（Max）电压值。在分布参数方面，（L1 (Min) 混合：正态分布（，）25%（128.91,0.69）75%（131.63,1.18）），（L1 (Mean) 混合：正态分布（，）20%（129.56,0.38）18%（130.97,0.37）25%（132.32,0.63）和均匀分布37%），（L1 (Max) 混合：正态分布（，）34%（129.83,0.74）11%（131.15,0.20）24%（132.05,0.28）31%（133.01,0.74））。这些值的峰度范围在2.06到2.08之间，表明电压分布呈扁平峰态，即与正态分布相比，其峰值更为平坦。偏度接近零表示数据分布基本对称。平稳性分析为电压序列的时间特性提供了一致的证据。ADF测试在所有情况下的p值均低于0.05（见表4），从而拒绝了单位根的零假设。相反，KPSS测试的p值高于0.05（见表4），支持平稳性的零假设。综合这些结果表明，在分析期间，电压时间序列可以合理地被视为平稳的，这为使用具有平稳或准平稳协方差结构的高斯过程回归模型提供了依据。尽管ADF和KPSS测试作为初步诊断工具进行了应用，但由于数据集的持续时间较短（7天，每5分钟一次采样），其可靠性有限。此外，明显的日变化模式可能违反这些测试的假设，因此应谨慎解释其结果。

表3展示了D号楼电气变电站L1最低（Min）、平均（Mean）和最高（Max）电压的均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）、决定系数、Ljung–Box测试[57]以及与所提模型在测试区域内的概率性能相关的其他指标。

3.1 高斯过程建模
如方法论中所述，高斯过程模型使用了专门选定的核函数的加性和乘性组合来表示每个电压序列的主要统计和物理特征。从表3可以看出，加性核函数组合能够更好地反映测试区域中的观测数据。接下来的讨论将集中在高斯过程框架内的加性核函数组合上。
从物理角度来看，加性核函数组合意味着观测信号可以解释为多个独立过程的叠加，每个过程都贡献了其自身的特征行为，例如全局趋势和局部波动。这反映了许多现实系统，其中不同的机制同时作用但相互作用有限。相比之下，乘性核函数假设这些效应是强耦合的，即一个过程会调节另一个过程的影响。在我们的观测电压数据中，加性模型的表现更好；这表明潜在的动态是由独立的、共存的现象控制的，而不是由紧密依赖的机制控制的。这种解释与物理系统一致，在这些系统中，多种变异源共同作用产生观测信号。
在电力系统中，观测到的电压通常受到多个独立或弱耦合的物理现象的影响，如负载波动、开关事件和分布式发电。每个来源都为网络贡献了自身的变异性，测量信号是这些因素的叠加结果。因此，许多研究将电压扰动解释为电网内多个物理过程同时作用的结果[73,74]。从这个角度来看，加性模型提供了物理上有意义的表示，因为它们自然地描述了多种变异源的共存，而不是强依赖的机制。
GPR获得的性能指标（见表3中的加性核函数）表明预测精度一致且具有物理意义。MSE介于0.37到0.44之间，反映了预测电压值与实际电压值之间的中等偏差。同样，MAE介于0.45到0.51之间，表明模型输出与实际电压之间的平均绝对差异处于相对狭窄的范围内。
从物理角度来看，这些误差水平表明模型能够再现电力系统的主要运行条件，而剩余的差异可以归因于测量噪声、快速瞬态事件或未建模的扰动。
决定系数介于0.75到0.81之间，表明模型解释了大约75%到81%的观测电压变异性（预测数据与观测数据的变异性，所使用的模型基于使用核函数线性组合的高斯过程，见图3，其中虚线表示零变异性）。这表明主要的时间动态和潜在的物理过程被有效捕捉到了，尽管仍有一部分变异性未被解释。这种残余变异性通常与随机波动、开关事件或实际电力系统固有的外部扰动有关。

图3. 比较了基于L1的预测摘要的预测值和实验观测值：(a) 最低值，(b) 平均值，(c) 最高值。虚线红线表示恒等关系（预测 = 观测值），提供了完美一致的视觉参考。在所有情况下，数据点紧密聚集在恒等线周围，表明预测精度高且系统偏差小。在整个值范围内，数据点的分散程度有限，表明模型可靠地捕捉了电压信号的中央趋势和极端变化。与恒等线的轻微偏差与随机预测误差一致，而不是模型结构的缺陷。
此外，Ljung–Box测试的值介于0.77到0.92之间，表明残差没有显著的自相关性（总自相关函数作为滞后函数的分布见图4）。同样，偏自相关函数也显示在图5中。这些图中的虚线区域代表与白噪声相关的显著性界限。可以看出，总自相关和偏自相关函数都落在白噪声区域内。从物理上讲，这表明模型成功捕捉了电压信号中的大部分时间结构（见图6），剩余的误差表现为接近随机的行为。这种行为与一个定义良好的预测模型一致，其中残差主要反映了测量噪声或不可预测的扰动，而不是系统性的动态。

3.2 高斯模型与其他模型的比较
GPR与具有恢复力的随机阻尼谐振子进行了比较；见表3。Ljung–Box测试显示，与SDHORF平均预测相关的残差仍然高度自相关，而GPR残差在统计上与白噪声一致。SDHORF假设可观测的动态可以分解为（i）由经典振荡器方程控制的确定性平均轨迹和（ii）通常建模为加性白噪声的随机强迫项。在这种建模假设下，随机过程的条件均值遵循确定性阻尼振荡器方程。残差中存在显著的自相关性表明，系统的时间结构的一部分没有被假设的线性二阶动态所捕捉。这表明电压信号中包含的动态成分没有被纯振荡元素充分捕捉到。
表3提供了评估模型在L1最低、平均和最高电压方面的概率性能的全面比较。在所有运行条件下，使用核函数线性组合的高斯过程始终在准确性和校准之间取得了最佳平衡。特别是L+RQ+WN（对于最低值）、L+SE+WN（对于平均值）和L+M5/2+WN（对于最高值）配置获得了最低或接近最低的MSE和MAE值，同时保持了较高的决定系数和有利的Ljung–Box统计指标。更重要的是，这些模型还展示了有竞争力的概率分数，包括降低的NLPD和CRPS，以及较小的预期校准误差（ECE）和狭窄的平均区间宽度（AIW）。这种组合表明，所提出的高斯框架不仅提高了点预测精度，还提供了有竞争力的概率性能，尽管校准并未完全实现，特别是在平均值和最高值序列中，观察到了系统性覆盖不足。
相比之下，NM（朴素模型）、SNM（平稳朴素模型）和ARIMA（自回归积分移动平均模型）基线的性能明显较差。NM方法系统地产生较大的误差，R2值较差，尤其是ARIMA模型，预测区间过宽，反映了其无法捕捉电压动态中的时间结构和异方差性。尽管SNM模型通过引入平稳性下的持续性有所改进，但其概率指标仍不如高斯核函数组合，特别是在校准和区间清晰度方面。当简单的基准方法（如朴素方法和季节性朴素方法）无法捕捉时间序列的潜在结构时——特别是在存在自相关、趋势或更复杂的时间依赖性时——自回归积分移动平均（ARIMA）模型通过显式建模这些动态提供了自然的扩展。我们对ARIMA模型进行了拟合优度研究，分别选择了ARIMA(2,0,0)、ARIMA(3,0,3)和ARIMA(3,0,4)三个序列。然而，在我们的数据中，ARIMA模型（见表3）未能准确捕捉数据的结构。我们发现，与朴素模型一起，ARIMA模型表现出最高的MSE和MAE指标。总体而言，ARIMA的表现较差，尤其是在与使用核函数线性组合的高斯过程相比时。这反映了这些模型依赖于线性假设，在具有非线性模式、复杂协方差结构或指定不明确的顺序的情况下可能会遇到困难，导致预测性能下降和不可靠的不确定性估计。高斯过程模型另一方面提供了一个有吸引力的替代方案，因为它们在保持概率框架的同时，实现了基于核的灵活的时间依赖性表示。通过直接通过协方差函数编码平滑性和相关结构，它们可以捕捉到ARIMA模型无法捕捉的模式，当线性假设失效时提供更稳健的推断（参见例如[31,44,61]）。图2、图7和图8基于加性核的高斯模型，从校准和精确度两个方面全面评估了概率预测的质量。PIT直方图（图2）（a-c面板）显示了模型之间的明显差异：虽然面板（a）相对接近均匀分布——表明校准良好——但面板（b）和（c）显示出强烈的偏差，在零附近和极端值处有明显的聚集，表明存在偏差和欠分散。Kolmogorov–Smirnov（KS）检验的所有系列的p值接近零（见表3），正式表明拒绝了均匀PIT的零假设。然而，在大样本设置中，这种结果是预期的，因为KS检验对即使是小的偏离均匀性也非常敏感。因此，不应孤立地解释统计拒绝结果。相反，PIT直方图提供了更具有信息性的诊断，揭示了与轻微欠分散一致的结构性偏差（例如，在0和1附近的集中）。因此，我们将这些结果解释为不完美但仍然具有信息性的概率校准的证据。这些发现与图7中的可靠性图表一致，其中模型（a）紧密跟随对角线，表明预测区间校准良好，而模型（b）和（c）系统性地低于理想线，反映了显著的欠覆盖。最后，精确度图（图8）显示了95%预测区间宽度的时间演变。模型（a）产生的区间较宽，意味着更保守的不确定性估计，而模型（b）和（c）产生的区间较窄，表明精确度较高，但代价是校准较差。总体而言，结果突出了校准和精确度之间的权衡，模型（a）实现了更平衡和可靠的概率性能。这些结果表明，电压序列表现出由复合核的高斯模型更好地捕捉到的结构化、非平稳行为。总体而言，证据支持所提出的使用线性核组合的高斯过程作为本研究中概率电压预测最可靠和统计上一致的框架。图7. 可靠性图表比较了三种代表性情况下的名义覆盖范围（x轴）与观测覆盖范围（y轴）：（a）最小值（Min）、（b）平均值（Mean）和（c）最大值（Max）对应于不同的电压配置。带有标记的蓝色实线表示经验（观测）覆盖范围，而红色虚线表示理想校准（名义覆盖范围与观测覆盖范围完全一致）。对角线以下的偏差反映了系统性的欠覆盖，突出了评估场景中的校准误差程度。图8. 预测分布的精确度，以95%预测区间的宽度表示，作为时间指数的函数，对于三种代表性情况：（a）最小值（Min）、（b）平均值（Mean）和（c）最大值（Max）对应于不同的电压配置。在所有面板中，区间宽度的减小反映了预测模型精确度的提高。观察到的趋势突出了不确定性集中的差异以及模型在不同场景下产生自信预测的能力。对经验覆盖范围的定量评估进一步支持了校准分析。如表2所报告的，最小值（Min）系列的观测值中有大约92.36%位于名义95%预测区间内，但平均值（Mean）和最大值（Max）系列的这一比例分别降至70.83%和73.61%。这些结果证实，后两种情况的预测分布存在欠分散，导致系统性欠覆盖。因此，尽管所提出的模型提供了有意义的不确定性估计，但这些估计应被视为部分校准的，并需要进一步改进。总体而言，这些指标表明GPR模型提供了电压行为的可靠表示，捕捉了主要趋势和波动，同时保持了适度的预测误差和统计上一致的残差。就电压质量而言，这种行为反映了系统中的波动受到控制并且大部分是可以预测的，而不是由不稳定或强烈非线性现象主导的。在L1系列（最小值）中，线性核和有理二次核的加性组合被确定为最佳配置。尽管在参考文献[36]中没有考虑核的加性组合，但值得注意的是，在光伏独立应用中，有理二次核被确定为表现最佳的核[36]。估计的超参数可以在表2中观察到。从物理角度来看，线性偏差方差（0.4478）和线性信号方差（0.0247）描述了全局线性趋势的强度，这可以与整体负载条件的缓慢变化或网络运行的逐渐变化相关联。特征长度尺度（1.0701）表明电压值保持相关的时间范围，反映了操作条件的持久性。有理二次组分的信号方差（0.0958）决定了多尺度波动的幅度，而指数（2.0294）控制了信号中存在的特征时间尺度的分布。从物理上讲，这表明了慢变化（如负载周期）和由切换操作或间歇性需求产生的快速波动的共存。白噪声方差（0.0362）代表了测量噪声和真实电气系统中固有的未建模的高频干扰。最佳的训练窗口大小为552个样本，表明模型捕捉过程相关动态所需的时间范围。最后，92.36%的观测值位于95%置信区间内，表明模型提供了电压信号的统计上一致的表示。对于L1系列（平均值），选定的模型由线性核和平方指数核组成。估计的超参数可以在表2中观察到。从物理角度来看，线性偏差方差（0.4757）以及线性信号方差（0.0096）决定了全局线性组分的强度，可以解释为由持续的操作条件或逐渐的负载演变引起的电压水平的缓慢漂移。特征长度尺度（0.7732）提供了关于信号时间持久性的信息，表明电压值在相对较短但连续的时间间隔内保持相关。在参考文献[43]中，采用了平方指数协方差函数来表示与微电网操作相关的预测误差。平方指数核的信号方差（0.0326）控制了围绕趋势的平滑随机偏差的幅度。这种类型的核通常与高度规则且连续变化的信号相关联，意味着电压波动是逐渐发生的，而不是通过突然或脉冲事件发生的。这种行为与一个调节良好的系统一致，在该系统中，主要变化来自可预测和缓慢变化的需求模式。白噪声方差（0.0002）解释了测量不确定性和未解决的高频干扰，表明随机效应在这个系列中起着次要作用。最佳的训练窗口大小为312个样本，表明模型充分表示系统动态所需的历史信息量。最后，70.83%的观测值位于95%置信区间内，反映了中等水平的统计一致性，表明模型捕捉了电压信号的主要结构，同时留下了一些未解释的变异性。在L1系列（最大值）的情况下，选定的配置由线性核和Matérn 5/2核组成。相应的超参数可以在表2中观察到。从物理角度来看，线性偏差方差（0.7677）以及线性信号方差（0.0304）定义了电压信号的大规模确定性组分的幅度。这个组分可以与持续的操作条件、逐渐的负载演变或网络需求的缓慢变化相关联。特征长度尺度（0.7613）反映了电压保持相关的时间跨度，表明系统在相对较短但连续的时间间隔内表现出结构化行为。Matérn信号方差（0.0328）控制了由Matérn 5/2核引入的随机波动的幅度。与极其平滑的核不同，这种协方差函数允许适度的不规则性，使模型能够表示围绕主要趋势的局部偏差。从物理上讲，这表明操作条件通常是稳定的，但偶尔会受到小干扰、切换操作或局部负载变化的影响，这些变化引入了明显但可控的波动。白噪声方差（0.1109）解释了测量不确定性和未解决的高频干扰，表明在这个系列中随机效应的作用不可忽视。最佳的训练窗口大小为300个样本，表明模型再现系统动态所需的历史数据量。最后，73.61%的观测值位于95%置信区间内，表明统计一致性处于中等水平，表明模型捕捉了电压信号的主要结构，同时留下了一些未解释的变异性。总之，每个系列选定的核组合反映了不同的电压行为物理状态：L1系列（最小值）的多尺度波动，L1系列（平均值）的高度平滑和稳定变化，以及L1系列（最大值）的适度不规则动态。加性核模型的优越性能支持了这样的解释，即电压信号是由几个具有各自特征时间尺度和变异性的潜在过程叠加而成的。这一发现强调了在选择用于高斯过程建模电气时间序列的核结构时，选择物理上有意义且在统计上适当的核结构的重要性。最后，图9展示了GPR（对于加性核）预测的平均值以及全天的95%置信区间，超出了观测电压数据覆盖的时期。在这张图中，虚线表示（a,b）中的名义电压水平127 V，以及（c）中的上限139.7 V（127 V + 10%），这对应于墨西哥法规[71]允许的最大电压。图9. 三种代表性情况的电压测量时间序列：（a）最小值，（b）平均值，和（c）最大值运行条件。黑色标记表示实验范围内的观测数据，而超出此范围的模型预测及其相关的95%置信区间一起显示。垂直的红色虚线表示观测域和一天预测区域之间的边界。预测区间的宽度和结构反映了模型在外推下的不确定性，突出了其在校准域外捕捉变异性和保持与观测时间模式一致性的能力。如图9中的最小电压L1（Min）所示，较低的允许限制（127 V – 10% = 114.3 V [71]）得到了完全满足。因此，可以得出结论，模型预测的电气变电站的电压数据符合墨西哥Querétaro州San Juan del Río技术大学D号楼的电压水平墨西哥法规[71]。通过比较有无异常值去除和样条插值的模型性能进行了敏感性分析（表5）。结果显示出中等程度的差异，异常值处理略微改善了概率指标和预测区间，但总体结论保持不变。这表明所提出的高斯过程框架对极端观测值具有鲁棒性。表5. 该表列出了最小值（Min）和平均值（Mean）电压线的均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）、决定系数（R2）和Ljung–Box检验（LBT），以及概率指标负对数预测密度（NLPD）、连续排名概率分数（CRPS）、Kolmogorov–Smirnov检验（KST）、预期校准误差（ECE）和平均区间宽度（AIW）。结果同时展示了有无异常值处理（上）的情况，允许直接比较异常值去除对概率性能的影响。在优化过程中评估了几种协方差结构，包括L = 线性（Linear）、RQ = 有理二次（Rational Quadratic）、SE = 平方指数（Squared Exponential）和WN = 白噪声（White Noise）。表5显示，异常值处理对概率性能的影响表明，预处理在塑造预测准确性和不确定性量化方面起着重要作用。从物理角度来看，检测到的异常值——主要出现在最小值和平均值电压系列中——可以与短期的电压质量干扰相关联，如电压下降、上升或切换事件，这些在真实的配电系统中很常见。尽管这些事件在物理上具有意义，但它们在数据集中的出现频率较低（占总观测值的0.45%以下），表明它们并不代表系统的主导运行状态。通过移除这些异常值并使用样条插值法，目的是为了隔离正常运行条件下电压行为的潜在随机动态。这一预处理步骤提高了模型的稳定性，并使得概率预测更加准确和一致。然而，这也减少了极端事件的影响，而这些事件在全面的电压质量评估中可能是相关的。因此，无论是否进行了异常值处理，报告的结果都应被视为互补的观点：前者强调了系统的典型行为，而后者则保留了包括罕见但可能重要的干扰因素在内的全部变异性。

3.3 概率合规性评估
使用方程（22）中定义的预测高斯分布，在独立测试集上进行了违规概率分析。根据方程（24）和（25）中的概率公式，每个时间步长的违规概率在整个评估期间始终保持在较低水平。因此，预期的违规次数（方程（26）实际上为零，这意味着超出限制的风险可以忽略不计。根据方程（27），这导致预期的合规水平接近于某个值，该值量化了电压保持在允许范围内的时间比例。此外，基于分位数的超出分析（方程（28）和（29）确认预测区间完全包含在监管限制内，即（30），这意味着95%置信区间在任何时间步长都不会与允许的边界相交。因此，上下限的95百分位数超出均为零。

从监管的角度来看，这些结果提供了与电网规范要求一致的电压合规性的概率解释，这些规范通常是根据电压在给定监控窗口内保持在指定范围内的时间比例来定义的。在这种情况下，该条件确保了合规性不仅以确定性的方式实现，而且还得到了高置信度的概率保证。

重要的是，这些发现是在最小、平均和最大电压序列中一致观察到的，表明系统在稳健且受到良好监管的运行状态下运行，违反允许电压限制的不确定性驱动的风险可以忽略不计。此外，复合核高斯过程的概率表述使得合规性可以通过覆盖概率和时间内限指标来评估，而不仅仅依赖于确定性的阈值比较。这为监管评估提供了一个更加严格和具有操作意义的框架，特别是在电压波动表现出随机多尺度行为时。

测量的电压水平与国际电力质量标准进行了比较，包括IEC 61000-2-2 [18]、IEEE推荐实践和墨西哥电网规范。为了比较目的，电压以单位（p.u.）表示，这是一个标准化量，定义为测量电压与名义系统电压的比率。在这种情况下，考虑了一个名义值127 V。观察到的平均电压在1.03到1.04 p.u.之间，这完全位于这些标准规定的典型±5%和±10%的运行限制范围内。这表明电力系统在合规且受到良好监管的电压条件下运行[18,19,49,50]。

4. 结论
本研究引入了一种基于高斯过程回归和高分辨率场测量的电压质量分析和预测的概率框架。通过明确建模时间动态和预测不确定性，所提出的方法将传统的确定性电力质量评估扩展到了一个数据驱动和考虑不确定性的范式。结果表明，加性复合核提供了最一致的电压行为表示，决定系数超过0.75，残差表现为接近白噪声。推断出的核结构揭示了分析序列中的不同物理运行状态，从多尺度随机波动到高度平滑和适度不规则的动态。这表明实际配电系统中的电压变化可以解释为在不同时间尺度上作用的不同底层过程的叠加。

从工程角度来看，概率预测能够直接验证合规性，并提供定量置信水平，这对于预防性维护、能源效率优化和运营规划至关重要。虽然模型提供了明确的不确定性量化，但由于经验覆盖范围与名义水平的显著偏差，预测区间不能被视为完全校准的。总体而言，所提出的基于高斯过程的方法为现代电力系统中具有随机负载和分布式能源资源的电压质量监控提供了一个稳健、可解释且可扩展的工具。未来的工作将把该框架扩展到多相建模、跨相依赖性和更长的预测范围，以及整合额外的解释变量，以进一步提高预测能力和实际应用。

SDHORF模型与高斯过程模型之间的比较分析揭示了它们在表示潜在电压动态能力上的根本结构差异。虽然SDHORF提供了一个物理上可解释的二阶线性框架，但其残差中显著的自相关性持续存在——这一点通过Ljung–Box测试得到了证实——表明假设的白噪声驱动振荡器在动态上是不完整的。相比之下，高斯模型通过其协方差结构成功吸收了时间依赖性，产生的残差在统计上与白噪声一致。从电力质量的角度来看，结果表明电压信号表现出无法通过纯确定性或单尺度模型充分描述的随机变化。高斯过程框架捕捉了平均行为以及与电压波动相关的不确定性，提供了更真实的变电站级别的电力环境表示。加性核结构的优越性能表明，观察到的电压动态很可能是由多个独立或弱耦合的现象驱动的，如负载变化、切换事件和网络干扰。这种概率特征为电力质量评估提供了有价值的信息，因为它不仅能够进行准确的电压预测，还能够量化置信区间，这对于风险意识操作、异常条件的早期检测以及现代电力系统中的改进决策至关重要。

结论进一步得到了概率性能指标的定量分析的支持。评估的高斯过程模型（具有复合核）在最小、平均和最大电压序列中一致显示出改进的预测行为。特别是，加性核组合展示了更好的校准特性、预测区间分散度的降低以及在独立测试数据集中的稳定性能。核配置的比较表明，结合线性趋势成分以及多尺度协方差结构和噪声项的模型提供了更真实的电压动态表示。此外，概率评估确认所提出的方法能够充分捕捉测量中观察到的确定性和随机波动。这些结果共同支持了基于高斯过程的框架在真实运行条件下的短期电压预测的适用性。

所提出的方法可以集成到先进的测量架构中，其中AMI或PMU系统提供的高分辨率数据可以提高模型的性能，并允许近乎实时的电压动态监控。这种能力有助于早期检测异常情况并支持微电网环境中的预防控制策略。虽然本研究专注于特定的数据集，但我们已经确定了将所提出的方法扩展到基于AMI/PMU的微电网中的实时应用作为未来工作的一个有前景的方向。这些补充阐明了所提出方法在现代电力系统运营和控制背景下的相关性。重要的是要强调，这项工作的主要贡献在于提供了具有明确不确定性量化的概率预测。然而，结果也表明，不确定性校准并没有完全实现，特别是对于平均和最大电压序列。不确定性可用性与不确定性校准之间的这种区别突出了未来工作的一个重要方向，包括引入后处理校准技术。

附录A中列出的核函数是为了完整性以及明确定义高斯过程模型中使用的协方差结构而包含的。这些表达式并不是作为一般理论公式引入的，而是作为优化过程中选择的复合核的数学基础。表2中报告的相应超参数直接与这些协方差函数相关联，允许从趋势成分、平滑波动和测量噪声的角度对电压动态进行物理解释。