关于利用欺骗表面等离子体极化子干涉技术进行介电常数测量的仿真研究 曾婷、 毕春阳、 周军、 龚森

《Micromachines》：Simulation Study on Dielectric Constant Sensing by Interference of Spoof Surface Plasmon Polaritons Ting Zeng, Chunyang Bi, Jun Zhou and Sen Gong

　　摘要
检测材料介电常数的变化在电子信息、材料科学、生物医学等多个领域具有重要的应用价值。然而，现有的检测方法受到样品厚度和共振强度等因素的限制，难以在所需的频率范围内实现高灵敏度的介电常数检测。本文提出了一种基于双路径传输结构中伪表面等离子体极化子（SSPPs）的破坏性干涉来检测样品介电常数变化的方法，该方法在SSPPs的截止频率处形成特征吸收峰。具体而言，通过利用SSPPs的相位对周期性单元的依赖性，通过两条路径之间的周期性单元数差异在截止频率处形成恒定的π相位差，从而产生截止频率吸收峰。当样品涂覆在SSPPs的双路径结构上时，边界条件发生变化，导致截止频率发生偏移，从而能够在指定频率下实现介电常数的检测。仿真结果表明，通过适当的结构设计，归一化的特征频率偏移可达到10.8%，并且进一步证明了该方法对初始相位差、样品厚度和样品损耗的鲁棒性。总之，这项工作提供了一种新型的高精度和高鲁棒性的方法，用于在指定频率下检测样品的介电常数变化。

1. 引言
介电常数是材料的核心电磁属性之一。对其变化的高灵敏度检测对于微波和射频设备设计[1,2]、功能材料评估[3,4,5]以及生物医学检测[3,4,5]等众多领域的关键课题的发展至关重要。因此，高灵敏度介电常数测量技术的开发具有重要的科学意义和应用价值。随着微电子技术的发展，基于芯片的传感器在介电常数变化测量领域展示了巨大的潜力，它们具有小型化、集成化、低成本和便于大规模生产的优势[6,7]。这些传感器的测量原理主要基于两种机制。第一种是共振原理。例如，基于微环谐振器和介电谐振器的传感器通过监测共振频率的变化来检测周围介质的介电常数变化[8,9,10,11,12,13]。Wei等人将微流控通道与基板集成波导（SIW）凹陷腔体相结合，利用增强的局部电场来测量液体的复介电常数[10]；Navaei等人利用微带线与分裂环谐振器（SRR）结合，通过共振频率变化来表征微量液体的介电常数[12]。第二种是反射/传输原理。例如，基于微带线和共面波导（CPW）的传感器通过分析传输过程中电磁波的幅度和相位变化来提取介电信息[2,14,15,16,17]。Bergmann等人基于片上共面CPW传输线和mTRL校准，实现了高达325 GHz范围内熔融石英的介电常数测量[2]；Narayanan提出了一种基于微带传输线散射参数的宽带介电常数测量方法，可以减少连接重复性引起的误差[16]。尽管基于芯片的传感器在介电常数测量方面具有显著优势，但现有技术仍面临许多挑战。对于基于共振原理的传感器，其测量灵敏度高度依赖于谐振器的品质因数（Q因子）。材料的固有介电损耗、制造过程中的表面粗糙度以及封装引入的损耗会显著降低Q因子，从而限制了测量精度[6,7]。此外，共振频率容易受到温度漂移和环境扰动的影响，需要复杂的温度补偿和稳定方案[6,18]。对于基于反射/传输原理的传感器，测量结果对样品的厚度、平整度和表面特性极为敏感。此外，材料的固有色散特性导致测量结果具有频率依赖性，通常需要复杂的数值算法（如Nicolson–Ross–Weir算法）进行反演和校正[3,4,5]，从而增加了系统的复杂性。因此，迫切需要探索一种对样品尺寸、材料色散和制造误差具有鲁棒性的高灵敏度介电常数传感方法。

伪表面等离子体极化子（SSPPs）作为一种由人工设计的周期性金属结构支持的新型电磁模式，通过其独特的优势为上述挑战提供了新的解决方案[19,20,21,22,23,24,25,26,27]。首先，SSPPs能够将电磁场强烈限制在金属结构表面的亚波长尺度内[28,29,30,31]，从而控制场-材料相互作用区域[19,20,21]并提高共振Q因子[22,23,24]。其次，SSPPs的色散特性主要由结构的几何参数决定[28,29,32]，而样品的介电特性仅作为扰动来修改它们的色散曲线[33,34]，这使得传感器对样品的固有材料色散具有一定的鲁棒性。最重要的是，SSPPs的截止频率波矢由其周期性结构设计决定[29,32]，与样品的介电常数无关，这为实现介电常数变化的鲁棒测量提供了物理基础。基于上述分析，本文提出了一种利用双路径SSPPs干涉效应的介电常数传感方法。通过利用SSPPs在截止频率处的独特波矢特性，建立了对样品介电常数变化敏感的特征吸收峰，实现了高灵敏度和高鲁棒性的介电常数测量。具体来说，在截止频率以下，由于相位差引起的两条SSPP路径之间的干涉会产生随频率增加而增强的吸收；在截止频率以上，由于SSPPs的传输阻带特性，吸收急剧下降。通过监测这一特征吸收峰的频率偏移，可以直接获取样品介电常数的变化范围和趋势。根据这一原理，我们设计并模拟了一种在D波段（110–170 GHz）工作的片上介电常数传感器。仿真结果表明，通过适当的结构设计，传感器的归一化特征频率偏移可达到10.8%，同时初始相位差、样品厚度和样品损耗的容差分析也证明了该结构的强测试鲁棒性。

本文的其余部分组织如下。首先详细阐述了SSPP干涉的基本原理以及在截止频率处形成的特征吸收峰的物理机制。其次，通过仿真系统研究了截止频率处特征吸收峰的形成过程，并定量分析了样品介电常数变化对吸收峰频率和强度的影响。最后，深入分析了干涉过程中的主要误差来源，以验证所提出方法的鲁棒性。

2. 通过SSPP截止频率检测介电常数变化的原则
如图1所示，该结构采用双路径干涉原理来测量样品介电常数的微小变化。具体来说，输入信号分别通过3 dB功率分配器输入到两条具有固定周期性单元数差异的SSPP传输线中，然后通过合成器合并后输出。待测试的样品同时覆盖两条光路径。这一过程可以简单表示为：
(1)
其中，和分别是两条SSPP波的幅度，和是信号的光路径，和是相应的波矢。此时，等于。从方程(1)可以看出，当两条路径之间的相位差为
(2)
时，干涉合成场强度为零，形成吸收峰。

图1. 结构示意图：该结构包括在石英基底上的两条相同的周期性SSPP传输线（周期D），具有不同的周期性单元数，待测试的样品放置在芯片表面上。对于固定的路径差，合成S21的零频率直接由波矢和频率之间的关系决定，即色散关系。当样品涂覆在电路表面时，样品介电常数的微小变化会导致两条传输线的色散发生变化，从而在πn相位差处引起频率变化。因此，样品介电常数的变化可以通过干涉合成波S21的零点频率变化来表征。

图2a显示了芯片结构中SSPP传输线的色散关系，周期D为200 μm，槽深为200 μm，占空比为0.5，线宽为50 μm，基底厚度为50 μm。SSPP传输线的微带输入和输出采用槽深梯度耦合结构。该结构通过时域有限差分（FDTD）仿真方法进行研究。由于SSPPs起源于周期性排列的微结构提供的Floquet边界条件，它们的色散曲线具有典型的周期性特征。如图2a所示，随着波矢的增加，相应的频率开始增加；然而，随着波矢的进一步增加，SSPPs表现出由结构特性和边界条件决定的截止频率。在截止频率处，波矢仅由结构的周期决定，与具体的截止频率值无关。根据Floquet定理，截止频率的波矢由结构决定：
(3)

图2. SSPP传输线中恒定相位差的原则：(a) 不同样品介电常数的SSPP色散曲线；(b–d) 显示了不同样品介电常数和周期单元数之间的相位与频率关系，相位差对应于右侧纵轴，相位对应于左侧纵轴；(e) 截止频率（120 GHz）以下SSPP传输线中的场分布；(f) 截止频率（161 GHz）时SSPP传输线中的场分布。同时，截止频率的值仅由周期性结构单元的设计和周围介质的本构关系决定。随着样品介电常数的增加，SSPP的截止频率降低，而相应的波矢保持不变，如图2a中不同介质对应的色散曲线所示。

根据方程(2)中合成波零点的波矢条件和方程(3)中的截止频率波矢，可以进一步得出，两条SSPP波的破坏性干涉所需的路径差必须满足
(4)
其中n是一个整数。具体来说，当两条SSPP波之间的路径差相差一个奇数个周期时，相位差严格为(2n + 1)π，满足合成波的零点条件。

图2b–d展示了不同边界介电常数下的频率-相位关系。可以观察到，在低频范围内，相位差随频率线性增加，这归因于SSPP模式表现出类似TEM的传输特性，具有弱色散，其中由固定路径积累引起的相位差仅与频率相关。随着频率的增加，SSPPs的色散变得更加明显，导致相位差与结构之间存在一定的相关性。在截止频率处，相位差直接由周期性单元数dN的差异决定，即dN × π。

同时，不同的边界介电常数表现出相似的特性：所有这些介电常数在低频带都表现出类似TEM的相位差关系，并在其相应的截止频率下表现出π的整数倍。这是因为SSPPs的色散特性主要由其周期性结构决定，在强色散区域，SSPP模式的传输主要由结构单元之间的耦合控制，导致相位差与周期性单元的数量有关。这一现象可以通过图2e、f所示的场分布图进一步验证。如图2e所示，在截止频率以下，SSPP模式的场分布跨越多个周期性单元，不同结构单元之间的相位差呈现出准连续分布特性。因此，相位积累主要来源于光路的累积，与周期数没有直接关系。当频率增加到截止频率时，如图2f所示，SSPP模式的场分布与结构特性紧密相关，其传输过程源于周期性单元之间的耦合。此时，相位积累来自于耦合次数的增加，与周期数而不是传输距离有密切关系。此时，两个相邻周期之间的场方向相位相反，导致严格的180°相位差。此外，由于这种相位差来源于结构的周期性特征，不同的边界介电常数只会改变截止频率，因此在不同的样品覆盖下，具有奇数个单元结构差异的SSPP波都会表现出π的整数倍相位差。因此，对于固定的周期性结构，样品介电常数的变化只会引起色散关系的相应变化，这进一步体现在截止频率的移动上。结合不变的相位差，可以通过样品引入的介电常数变化进行直接表征。

图3显示了样品厚度为500 μm时，单路径和双路径干涉合成SSPPs的S参数曲线和吸收峰。如图3a所示，在截止频率之前，单路径SSPP的传输特性S21接近1，表明电磁波沿SSPP结构传播；然而，当频率超过截止频率时，传输系数S21急剧下降，相应的反射系数S11急剧上升，如图3b所示。这是因为当输入频率超过截止频率时，它进入了禁带，SSPP模式无法被激发，入射能量几乎完全被反射。这种特性来源于SSPP传输线的色散特性，这种特性不随组成SSPP传输线的结构单元数量的变化而变化，传输特性在截止频率处发生变化。然而，这种拐点特征频率通常难以通过测量直接确定。如图3c所示，由于传输和反射之间的切换，单路径SSPPs的明显特征吸收峰也难以形成。图3展示了样品厚度为500 μm时，单路径SSPPs和双路径SSPPs干涉后的传输和吸收特性：(a–c)显示了单路径SSPP传输线的S参数和吸收特性，更多数据可以在图A1中找到；(d–f)显示了由周期单元数相差1的两条SSPP路径合成的传输和吸收特性。为此，可以通过合成结构单元数相差为奇数的两条SSPP传输线来提取截止频率。图3d–f显示了合成的传输和吸收特性。可以看出，在截止频率之前，由于两个传输SSPP之间的相位差，它们的合成场逐渐在整个结构中形成行波-驻波。随着频率逐渐接近SSPPs的特征频率，相位差开始迅速接近180°，导致传输曲线开始下降。在SSPPs的截止频率处，两个SSPP波之间的相位差为π，形成纯驻波。当频率进一步增加到SSPPs的截止区域时，输入能量被完全反射。这一过程使得合成波在SSPPs的截止频率处表现出明显的吸收峰。在截止频率之前，吸收增长来源于随相位差变化的破坏性干涉，导致吸收谱的形状随频率呈三角函数型；在截止频率之后，输入波被直接反射，使得峰值后的谱线急剧下降。这种吸收峰特性完全依赖于SSPP传输线的色散特性。改变结构边界的介电常数特性会导致截止频率的变化，从而通过结构特性改变相应频带内的介电常数变化。样品介电常数与吸收峰频率之间的整体关系由图4中的虚线点表示：随着介电常数的增加，吸收峰频率降低，而样品介电常数的降低则导致吸收峰频率增加。得益于SSPPs的色散特性变化，当样品的介电常数从2变为4时，设计结构的吸收特征频率从162.4 GHz变为145.7 GHz。由于样品介电常数单位变化引起的特征频率移动达到了8.35 GHz，相对于中心频率的归一化单位频率移动为10.8%。如图4中的数据比较所示，吸收特征频率高于预期的截止频率，模拟结果显示在远离设计检测中心介电常数3的两侧有一定的波动。这是由于输入和输出端口的阻抗匹配度降低引入的额外共振造成的，可以通过优化输入和输出耦合结构的设计来避免。尽管如此，这一趋势与SSPPs的色散特性一致，显示出整体线性变化。不同介电常数的吸收谱可以在图A2中找到。

图4基于这种机制，由功率分配器、传输耦合输入-输出共振等因素引起的两条传输线之间的初始相位差是测试误差的主要来源之一。图5显示了在不同样品介电常数下，吸收峰位置对初始相位差的依赖性。可以发现，初始相位的不同会导致吸收峰位置的变化，因为初始相位差影响了干涉点的波矢，从而导致频率移动。然而，得益于SSPPs在截止频率附近的强色散特性，波矢的剧烈变化只会导致轻微的频率移动。这使得初始相位差对吸收峰频率的影响不明显。如图5a–d所示，在±π/4的初始相位差范围内，只引起了1.5 GHz以内的吸收频率差异，移动率优于中心频率的1%，表明对初始相位差的鲁棒性良好。此外，对于不同的样品介电常数，吸收频率显示出相同的移动方向和与介电常数测试范围内相当的峰值移动量，这使得可以通过算法校正由初始相位差引起的频率移动。

图6a显示了特征吸收频率对样品厚度的鲁棒性。由于SSPPs是典型的表面波，它们的场主要限制在金属周期性结构附近，并在两侧的介质中呈指数衰减。因此，当样品厚度超过SSPPs的穿透深度时，SSPPs的色散趋于稳定，本工作中干涉吸收峰的频率也趋于稳定。如图6a所示，当样品厚度从500 μm变化到800 μm时，特征吸收峰保持在159.4 GHz附近，厚度变化引起的频率移动在0.2%以内。图6b展示了材料损耗(a)和损耗(b)对干涉吸收峰的影响。可以看出，样品损耗对特征吸收峰的频率影响很小。当样品的损耗正切从0.001变化到0.019时，相应的吸收峰频率范围在159.1 GHz到159.3 GHz之间，频率移动在0.1%以内。这是因为特征吸收峰的频率主要由两条光路之间的相位差决定。然而，材料损耗在两条光路中引起相同的色散校正，因此两条路径之间的相位差几乎不受损耗的影响，使得吸收频率对损耗不敏感。损耗的主要影响体现在峰值强度上，如图6b所示。较高的损耗导致SSPP传播过程中入射波的衰减更大，从而产生更强的特征吸收峰。

总之，本文提出了一种基于SSPP截止频率和破坏性干涉的材料介电常数检测方法。样品介电常数的变化导致SSPPs传输线边界条件的截止频率发生变化。然后在截止频率处由于SSPP传输线中周期性单元数量的不同而形成恒定的π相位差。最后，通过双路径破坏性干涉，在SSPPs的截止频率处形成具有特定光谱形状的特征吸收峰。得益于SSPP传输模式的相位特性，这个特征吸收峰与SSPPs的截止频率一一对应，可以通过相应的边界条件反推出样品介电常数的变化。仿真结果表明，通过适当的设计，介电常数单位变化引起的特征频率移动率相对于设计中心频率在D波段达到了10.8%。同时，由于SSPP传输模式的局部性和色散特性，该方案对初始相位差、样品厚度和样品损耗等测试误差源也表现出出色的鲁棒性。这一机制进一步表明，样品介电常数的高灵敏度检测源于通过微小变化对边界条件的扰动，而其鲁棒性源于由周期性结构决定的固有模式色散特性。因此，这种方法可以通过不同的周期性结构设计扩展到从微波到太赫兹的宽频率范围。总之，本文提出了一种高度灵敏且对环境鲁棒的材料介电常数测量方法，适用于多个频率带。