用于熔盐核反应器中两相传热模型放大研究的单元格方法 Jesús Jorge Domínguez-Alfaro, Alejandría D. Pérez-Valseca, Gilberto Espinosa-Paredes, Gustavo Alonso

《Journal of Nuclear Engineering》：Unitary Cell for Upscaling of Two-Phase Heat Transfer Model in Molten Salt Nuclear Reactor Jesús Jorge Domínguez-Alfaro, Alejandría D. Pérez-Valseca, Gilberto Espinosa-Paredes and Gustavo Alonso

　　摘要 在具有热传递的两相系统中，开发能够分析相间现象的工具至关重要。在熔盐核反应堆中，燃料盐和核心中的氦气形成了一个液-气两相系统。理解相间的热传递行为有助于我们评估每个相中温度变化的影响以及反应堆中中子过程的反馈。本文提出使用一个放大比例的热传递模型来分析该两相系统，强调了求解具有对称性和周期性的单元格中的边界值问题以获得闭合变量的重要性。这些闭合变量对于确定表现出熔盐反应堆（MSR）放大行为的传热系数至关重要。这些系数已经通过文献进行了验证，数值实验的结果表明，交叉传热系数具有对称性。

1. 引言
随着全球能源需求的增加和环境问题的日益紧迫，对更安全、更可持续的能源解决方案的追求也在加强。熔盐反应堆（MSRs）作为这一发展中的替代方案应运而生，与传统反应堆设计有了显著的不同。随着每一项新研究的发展，其潜力变得更加明显，标志着向核能未来迈出的关键一步。这得益于它们能够在高温和低压下运行，这是由于熔盐混合物既作为燃料又作为冷却剂的能力。熔盐在核反应堆中的探索始于20世纪40年代和50年代的美国曼哈顿计划期间。进行了理论和实验研究以评估其潜力。这些早期的调查为未来的熔盐反应堆技术研究奠定了基础。在橡树岭国家实验室（ORNL），第一个MSR——称为“飞机反应堆实验”（ARE）在美国飞机核推进计划的支持下建成[1]。
在接下来的几十年里，对MSRs的研究不断增长。1965年至1969年间，橡树岭的熔盐反应堆实验（MSRE）成为当时最重要的核实验之一。这是首次将熔盐同时用作冷却剂和燃料，为核能应用的可行性提供了宝贵的见解。大规模的实验研究表明了它们在高温下的稳定性。然而，政治和经济挑战导致该计划在20世纪70年代被取消。到1976年，美国对MSR发展的官方支持已经撤回。财务限制以及对更传统反应堆设计（如轻水反应堆）的日益偏好，使得研究重点从熔盐技术上转移开。几十年来，MSRs一直处于核研究的边缘[1]。
21世纪初，由于对核安全的日益关注以及对更高效和可持续反应堆设计的需求，人们对MSRs的兴趣重新兴起。2001年，第四代国际论坛（GIF）将MSRs列为六种下一代核技术之一。这种重新获得的全球关注促使欧洲和其他大陆开展了新的研究。关于熔盐快中子反应堆（MSFR）的研究变得突出，这种反应堆使用钍而不是铀。2011年，中国采取了决定性步骤，启动了钍熔盐反应堆（TMSR）计划，专注于先进的钍动力反应堆设计。在欧洲，2012年至2015年间在SAMOFAR计划下继续进行了MSFR的研究，进一步推动了MSRs作为安全可持续选项的发展[2]。
已经开发出了仅由燃料盐填充的核心并在快中子谱下运行的均匀MSRs。在这种类型的反应堆中，已经建立了两种类型：基于氟化物的和基于氯化物的快均匀MSRs[3]。
根据[4]，在过去二十年甚至更近期，人们对循环燃料反应堆，特别是流体燃料型熔盐反应堆的兴趣日益增长。参考文献[5]提出了一种用于熔盐快中子反应堆（MSFR）的模拟模型，以预测核心中惰性气泡的行为并量化它们对反应性的影响。他们采用多物理方法对惰性气泡进行了建模，该方法结合了流体流动和热传递的计算流体动力学与中子扩散方程以及包含扩散项的平衡方程。他们的模拟显示，核心中的气泡分布对反应性有显著影响。
拥有能够模拟核反应堆中发生的各种现象的工具对于安全和稳定性分析至关重要。CFD模型可以更精确地可视化反应堆核心中的现象，特别是流体流动；然而，所需的计算资源相当大，阻碍了快速模拟。
开发放大比例的模型可以可视化整个核心以及每个相中的温度行为，从而减少了所需的计算资源。然而，在这些模型能够用于动态和反馈模拟之前，仍存在挑战。
本文提出了一种开发数学模型的方法，可以在不需要高计算能力的情况下进行全尺寸反应堆模拟。这种自主研发的方法已经应用于各种反应堆系统[6,7,8,9]。然而，这些应用该方法的系统是固-液系统，且液相在运动，而不是固相。在这项工作中，液-气系统中的两个相都在运动，因此需要一个相对速度模型来计算两个相的速度。
本文提出使用一个放大比例的热传递模型来分析两相系统。为了获得放大比例系数的值，通过在对称且周期性的单元格中求解边界值问题来获得闭合变量的场是重要的。放大比例模型是通过应用体积平均方法[10]开发的。该过程首先考虑通过应用体积平均方法获得的均匀两相流动方程（放大比例方程），这些方程构成了一个具有积分-微分方程的边界值问题。此外，这些方程和边界条件是放大比例变量和空间偏差的函数。为了找到解决方案，利用线性特性数学上构建了一个正式解。这个问题在一个由熔盐（液相）包围的球形气泡组成的单元格中得到解决。考虑到对称性和周期性，近似了反应堆尺度上的行为。
本文的结构如下：第2节描述了熔盐反应堆。第3节介绍了本工作中使用的数学模型和平均方法。同样，第3节还介绍了作为放大比例变量和空间偏差函数的边界条件以及正式解。第4节介绍了闭合问题在计算机程序中的实现以及结果和分析。第5节提出了一个放大比例的两方程热传递模型，用描述带有气泡效应的MSR的放大比例传热系数表示。最后，第6节提出了结论和未来的工作。

2. 反应堆描述
熔盐快中子反应堆（MSFR）是一个3000 MWth和1300 MWe的快反应堆，采用钍-铀燃料循环。它含有总共18 m3的燃料盐，高度和半径均为2.25 m。它在923.15 K的入口温度下运行，并达到1023.15 K的最大温度[11]。它使用LiF–232ThF4–233UF4盐的混合物。燃料盐从核心底部流到顶部，然后供给围绕其布置的16个外部模块（泵和热交换器）。每个泵和热交换器都有一个气泡注入系统。氦气（He）的气泡产生两个功能：通过浮选去除金属颗粒，并提取气态裂变产物（FPs），如惰性气体Kr和Xe以及H，以及在盐中分解之前的悬浮金属颗粒。
由于熔盐反应堆的液态燃料特性，它们在物理机制之间的耦合比固体燃料反应堆更为紧密和复杂。这一特性增强了中子学和热流体力学之间的相互作用，导致在反应性插入事故中核心温度的更快升高。此外，分析和热传递在液相和气相之间的相关性也很重要，因为它与中子过程中的空隙分数有关，特别是由于氦气泡的存在。
由于液态燃料的存在，MSRs表现出轻水反应堆中没有的反应性效应，特别是燃料密度的变化，使它们更容易受到密度变化的影响。延迟中子在反应堆运行和安全性中起着关键作用，因为它们有效地延长了中子的寿命。如果反应性插入量小于延迟中子的总反应性值，结果是一个较慢且更容易控制的瞬态事件。然而，如果反应性插入量超过延迟中子的值，则可能导致几乎瞬时的瞬态，称为快速超临界瞬态。
在固体燃料反应堆中，延迟中子的空间分布几乎与快中子相同。这是因为发射延迟中子的裂变产物（称为延迟中子前体）在衰变之前在燃料棒内不会显著移动。MSRs没有这种优势，因为它们的液态燃料在衰变之前就移动了前体并发射延迟中子，一些寿命较长的前体在反应堆核心外发射中子。因此，核心中的延迟中子总数减少，导致临界和快速超临界条件之间的裕度变小。
从理论上讲，气体可能在盐中凝结，产生反馈效应，需要一个排气系统。同样，固体沉淀物也可能形成，影响燃料盐的热物理性质或附着在壁上，从而影响某些组件的运行，例如热交换器。在事故情况下，燃料盐甚至可能开始冻结，这对反应堆的行为和安全性可能有严重影响[12]。
在机载反应堆实验中发现，熔盐反应堆（MSRs）中氙的去除潜力，发现测量的氙中毒水平仅为理论值的5%，前提是所有氙都留在燃料盐内。在熔盐反应堆实验（MSRE）中，氙的去除机制被集成到了燃料泵中。通过惰性气体注入物理去除气态裂变产物的方法因其简单性和与燃料盐的兼容性而受到特别关注[13]。
基于这一概念，提出了一个用于熔盐示范反应堆（MSDR）的原型氙去除系统，该系统包括一个气泡发生器和一个气体分离器来去除它们。如果盐从气泡发生器流向气泡分离器，则气泡的生成和去除被限制在氙去除系统内。这种设计导致更高的燃料盐和回收氦气的物理量[14]。

3. 数学模型
图1是一个SMR的示意图，显示了一个代表性的区域，其中氦气泡分散在熔盐中。在这个区域，两个相之间发生热传递，同时发生产生热能的中子过程。图1. 局部尺度上的代表性区域（绿色区域代表熔盐，灰色区域代表氦气泡）。控制局部尺度上热传递过程的方程是：
液体燃料： (1)
氦气泡： (2)
界面边界条件： (3)
(4)
初始条件是： (5)
通过应用基于体积平均方法[10]的核反应堆放大程序[15]，我们获得了放大比例模型。平均用于推导多相传输的控制微分方程，在这种情况下是一个液-气系统。此外，还制定了一个通用的闭合方案来考虑空间偏差。这个闭合方案由一组在不假设空间周期性的情况下推导出的偏微分方程组成。当这些方程在多相系统的代表性区域内求解时，自然会产生周期性边界条件。在体积平均框架内，核反应堆的核心被视为一个分层多孔介质。代表性单元格包括一个代表性的氦气泡和一个熔盐立方体。通过这种方式，氦气泡处的控制方程在空间上得到了平滑处理，最终的上标化方程是通过以下步骤得到的：对每个相的局部方程进行平均处理，应用平均表面算子；对点变量进行空间分解；得到一个关于平均量和空间偏差的非封闭问题；定义空间偏差及其形式解，其数学结构来源于封闭问题；数值求解封闭问题并估计参与上标化热传输方程的有效系数。应用这个程序，即步骤1和2，我们证明了：这组方程是适用于核反应堆规模的熔盐和氦相之间热传输的MSR（熔盐反应堆）的上标化模型。在这些方程中，上标化的熔盐温度由下式给出；局部变量由下式给出；温度的空间偏差是局部的，反映了两相界面处的复杂界面现象。类似的定义和含义也适用于气泡相，用下标b表示。这意味着需要在熔盐核反应堆的代表性区域内进行微观尺度上的研究。为了构建解决方案，分析局部尺度是重要的，如图1.3所示。

边界条件和形式解
由方程(3)和(4)给出的边界条件可以重写为：
边界条件1
边界条件2
周期性条件：
由于代表性区域在空间上是周期性的，并且源项要么是常数，要么是空间周期性的，因此这个周期性条件与方程(10)和(11)是一致的。需要指出的是，源项分别是：，，，和。然后，如果（其中是气泡尺度及其周围深度的特征长度，是代表性区域的特征长度），温度源和可以被视为常数。然而，根据方程(10)中给出的周期性条件，扩散项和是空间周期性的。为了求解由和定义的每个相的内在上标化温度场，需要知道温度和的空间偏差。从空间偏差的边界条件出发，其性质是线性的，我们可以提出一个关于源的形式解，即是局部尺度，因为。

求解和的边界值问题的这种方法被称为叠加法，其中，，，，和是封闭变量。温度空间偏差的控制方程由下式给出：
这些方程是通过结合局部上标化方程、局部变量的分解以及考虑准稳态条件得到的。

封闭变量
封闭问题直接来自于将形式解代入空间偏差方程(16)和(17)以及边界条件(10)和(11)中。通过这个程序，我们构建了三个封闭问题：
和的封闭问题
边界条件1
边界条件2
周期性：
和的封闭问题
边界条件1
边界条件2
周期性：
和的封闭问题
边界条件1
边界条件2
周期性：
和的封闭问题
边界条件1
边界条件2
周期性：
和的封闭问题
边界条件1
边界条件2
周期性：
和的封闭问题
边界条件1
边界条件2
周期性：
和的封闭问题
边界条件1
边界条件2
周期性：
和的封闭变量在周期性单元格中得到求解，如图2所示。在这个图中，氦气泡位于立方体单元的质心，周围被熔盐包围。这种表示适用于连续介质中高度分散的气泡流动，因为气泡之间的聚集或相互作用效应可以忽略不计。进一步的贡献是考虑单元格中的一组气泡，考虑有序和无序气泡的实验。

3.4. 对称性
变换是对称性原则，因为它在变换下是不变的，如前所述。然而，不仅周期性和对称性的几何特性得到满足，封闭变量和标度化的热传递系数也必须满足这些特性，这将在第5节和第6节中呈现的结果中揭示，这使得能够在MSR尺度上分析气泡存在时的热传递现象。

4. 实施和数值实验
使用两流体模型来估计不相溶、分散气泡流动在连续相中的相速度和空隙分数。该模型已经通过实验数据[16]对空隙分数的传播速度进行了验证。
液态燃料的质量和动量上标化方程
其中是界面与液相之间的界面压力差。项表示由于液相中速度的空间偏差对造成的应力张量。对于同心单元，和的值分别为1/4和1/5。相对速度由下式给出：
界面摩擦力的密度考虑了界面剪切应力，并在[17]中计算为：
其中是气泡半径，是表面张力。虚拟质量效应由下式给出：
气态氦的质量和动量方程
由于和，忽略了气体速度的空间偏差造成的应力。
本工作中使用的熔盐和氦的物理性质在表1和表2中给出。
表1. LiF-ThF4-233UF4的热物理性质[18]。
表2. 氦的热物理性质[19]。
图4a展示了不同氦体积分数下氦气泡和熔盐的内在速度行为。由于界面力、摩擦力（随气泡半径增加而增加）和虚拟力的作用，速度略有减小。图4b中，表面速度的守恒表明数值结果是正确的。虚线显示了总表面速度。
数值实验是在MSR的标称运行条件下进行的，速度和由方程(23)–(29)给出的两相气泡流动得到。0.0067的值对应于MSR的标称运行条件。

4.1. 实施
封闭问题是用COMSOL Multiphysics 6.8实现的。该软件使用基于有限元方法的数值程序，其中几何形状被划分为子域。在这些子域中，计算封闭变量，，，和。如前所述，考虑了系统的代表性单元格，整个域由1,547,670个单元元素组成（图5），其中半径为0.0011958 [m]的气泡位于边长为0.010225 [m]的熔盐立方体的中心。
图5. 代表性计算单元（1,547,670个单元元素）。COMSOL Multiphysics中的周期性条件允许通过分析单个单元格来建模大型重复结构，显著降低了计算成本。在这项工作中，使用了连续性周期性，它在源和目的地边界上强制相同的值。

4.2. 数值结果和讨论
一旦构建了单元格，每个封闭问题就被表述为一组偏微分方程（PDEs），受到边界、对称性和周期性条件的约束。封闭变量通过考虑每个相对现象和已建立的几何形状的影响来帮助构建有效系数。在本节中，根据封闭问题展示了封闭变量的场。
图6展示了封闭变量和的欧几里得范数的场。可以观察到两个变量的值处于同一数量级；主要区别在于由于方程(18a,b)中的表面积分的影响而产生的界面面积。此外，还可以看到由于熔盐的移动导致气泡下部场的变化。解决的相关封闭变量分别是气相的和液相的。
图7展示了场的剖面图；可以观察到液体运动对封闭变量的影响。还可以观察到ZY平面和ZX平面上变量的行为对称性。XY平面的剖面图显示了对称性和速度的影响。在这组变量中，速度对行为的影响更大，因为平均速度和偏差速度包含在封闭问题（方程(18a)）中。
图8展示了封闭变量（气相）和（液相）的场。与图6不同，速度的影响小于之前的封闭变量，因为这包括了气泡现象和气泡-盐的相互作用。
图9展示了平面，可以观察到ZY和ZX平面上的运动影响；此外，XY平面也展示了对称性。
图8. 和的封闭问题解。单位是米。
图9. 封闭变量和的欧几里得范数的剖面图。单位是米。
在封闭变量（气相）和（液相）的情况下，场在图8中展示。与图6不同，速度的影响小于之前的封闭变量，因为这包括了气泡现象和气泡-盐的相互作用。
图10. 和的封闭问题解。无量纲单位。
图11. 封闭变量和的剖面图。这些变量比之前的封闭问题中的变量大一个数量级。最大的值出现在与气泡相关的变量中，在界面上，观察到了每个相的贡献。根据缩放方法论，可以假设一个两相系统可以被缩放成一个适用于该系统的两方程模型，其系数能够捕捉每一相对于另一种相的贡献。现在，将形式解代入缩放后的方程中，可以得到（30）（31），其中（32）（33）（34）（35）（36）。缩放后的系数代表了热传递过程中两相之间的信息和相互作用，并与每一相的热参数以及热传递系数相关。缩放后的方程能够确定燃料液相中的内在温度分布。然而，这些方程比直接问题中的局部方程（方程（1）和（2）包含更多的项。某些项表示通过伪导电机制的热传递，以及相之间的界面相互作用，这使得两个方程紧密耦合。两个相都对导热热传递系数有贡献，该系数取决于第一相的对流系数和交叉系数。后者包含了关于第二相及其系数的信息。换句话说，导热机制不仅依赖于一个相，还依赖于另一个相的贡献以及它们在界面处的相互作用。这就是为什么它被称为伪导电机制。某些项出现在热传递界面处，这些项提供了关于从一个相传递到另一个相的热量的信息，其中是界面面积密度。

图12显示了熔盐的速度场，其中有一个氦气泡位于单元格的中心，以大约0.67 m/s的速度移动，占据0.0067的体积分数。这个单元格被用来使用方程（32）-（36）计算热传递系数，缩放后的速度为0.67 m/s。从这个图中可以看出，远离气泡的地方，熔盐的速度大约为0.5 m/s；然而，在气泡周围，速度场发生了显著变化，类似于外部流动被气泡阻挡时所经历的变化。这个图具有代表性，因为熔盐-氦气泡界面处的界面现象控制着热传递机制。

5.1. 缩放后的热传递系数
一旦计算出闭合变量，就可以得到缩放后系数的值，从而得到完整的缩放模型。表3展示了缩放后的热传递组分的值。

5.2. 验证
为了验证缩放后热传递系数的结果，我们将这些结果与[20,21]中的工作进行了比较。有效热系数计算如下：（37）此外，该系数还与具有规则球体阵列的单元格（方程（38）和具有规则圆柱体阵列的单元格（方程（39））进行了比较（38）（39）。有效系数的值除以某个常数以获得归一化值。表4展示了归一化有效系数的值，包括本工作中计算出的值与[15]中的值以及[20]中的相场方法之间的百分比误差。

为了验证该系数的值，我们将其与[15]中建立的相关性进行了比较，相关性由（40）给出。现在，考虑一个圆柱体阵列，该系数为（41），其中是连续相的特征长度，在我们的案例中由周期性特征单元格的边长表示。表5展示了使用Whitaker解析解在本工作中计算出的界面热传递系数。表中显示的数据是针对某种空隙分数；使用圆柱体模型时，这个误差更小。

6. 结论
本研究提出了一个带有氦气泡的熔盐核反应器的放大模型，用于热传递分析。反应器的放大是使用具有周期性和对称性的体积平均方法进行的，其特征是一个由氦气泡包围的熔盐组成的单元格。放大过程中的一个关键步骤是从两相界面处的边界条件出发，提出空间温度偏差的形式解。为了求解形式解的闭合变量，开发了边界值问题（方程（18a）-（20e），并分析了这些场以确定它们的影响程度。在本研究中，我们发现由边界值问题（方程（20a-e）给出的闭合变量表现出更大的界面相互作用，因此决定了反应器尺度上的热传递机制。研究表明，单元格的周期性和对称性特性可以很好地近似于像带有氦气泡的熔盐反应器这样的异质能源系统的放大（方程（30）和（31）），并且可以在反应器尺度上获得与以往工作（表4）相当的输运特性（表3和表5）。