“稀疏状态比密集状态更安全”：利用具有状态约束的偏微分方程（PDE）优化技术安全控制机器人群体动态

《Advanced Intelligent Systems》：“It Is Much Safer to Be Sparse than Connected”: Safe Control of Robotic Swarm Density Dynamics with PDE Optimization with State Constraints

　　摘要

本文介绍了一种基于优化的安全关键控制策略，该策略利用控制李雅普诺夫函数和控制屏障函数来引导受福克-普朗克方程控制的机器人群的空间密度，使其达到预定义的目标分布。与传统的开环状态约束最优控制策略不同，所提出的方法采用闭环操作，并且基于Voronoi的分割方法进一步实现了分布式部署。本文推导出了安全性的理论保证，数值模拟展示了所提出控制器的性能。最后，一个多机器人实验展示了所提出控制器在存在定位和运动噪声情况下的实际适用性，说明了稀疏群体满足安全规范比密集群体更容易。

1 引言

在群体机器人技术中，密度控制对于许多应用至关重要，包括环境监测、野火扑灭、搜索与救援、农业和医疗诊断[1-5]。通过引导机器人群的空间分布与目标概率密度函数（PDF）对齐，这些系统可以自主执行关键任务。例如，可以绘制湿度或阳光等环境参数的地图，在难以到达的位置部署灭火剂，在复杂的灾后地形中定位幸存者，通过识别低湿度或阳光不足的区域来优化作物管理，以及通过集中处理体内的感染区域来进行医疗干预[6]。在许多这些应用中，能够强制执行不变性约束至关重要，即保持系统状态在状态空间的一个子集内。例如，这种约束对于保护机器人资产和周围环境非常重要，从而提高了实际部署中的安全性和操作鲁棒性。在由常微分方程（ODEs）建模的多机器人系统中，已经提出了确保安全约束的方法[7-9]。传统上，最优控制（OC）方法被用来确保系统成本函数在可能无限的时间范围内的最优性。最近开发的技术允许我们在OC框架内包含状态不变性约束[10-12]。对于ODEs，基于优化的控制（OBC）框架变得越来越受欢迎，这得益于能够在紧密的控制循环中实时解决优化问题。在这一类别中，控制屏障函数（CBFs）作为一种维持不变性的强大技术而出现[8]。然而，将这些安全或不变性方法扩展到由偏微分方程（PDEs）建模的系统仍然相对较少被探索。在本文中，我们提出了一种新的机器人群密度控制策略，该策略将CBFs与基于PDE的公式相结合，以强制执行安全约束。我们的方法将机器人团队的空间密度建模为PDFs，以利用福克-普朗克方程。这使我们能够捕捉来自传感器和运动噪声的不确定性，从而提供了适合实际部署的鲁棒性和可扩展性[13]。在此基础上，我们开发了一个OBC，该OBC强制执行群体安全保证，并引入了一种基于Voronoi划分的计算效率高的变体。这种加速不仅减少了与集中控制相关的典型扩展问题，还挑战了“在有限空间内工作更多代理会使群体更高效”的常见刻板印象。我们进一步推导了群体安全的状态不变性理论保证，并通过模拟展示了当存在定位和运动噪声时，我们的OBC如何在最先进OC失败的情况下保持安全。最后，我们在一个六机器人实验中验证了加速OBC的实际适用性。

2 相关工作

最近，传统的OC方法已被用于群体密度控制。例如，[14]的作者采用了一种基于更一般的平流-扩散-反应PDE的OC公式来实现所需的群体密度分布。然而，这种方法不包括状态不变性，允许在某些任务区域在过渡状态下存在非零密度，可能会危及机器人安全。相比之下，我们在本文中提出的新公式在整个控制范围内明确保持了空间状态不变性，从而确保了一致的群体安全条件。最近的研究也研究了具有设定不变性的OC[15]。例如，在[15]中，通过明确排除指定区域来强制执行不变性，而是解决在这些区域外稳定群体密度的OC场。尽管这种基于排除的方法在计算上高效且易于实现，但它仅限于静态的、预定义的环境，在这些环境中，不变性约束始终强制指定区域的密度为零。相反，我们在[10]中研究的OC方法直接在整个域上施加状态约束。这允许纳入时变约束，例如具有移动障碍物的动态危险区域或无人机变化的风条件。此外，它自然适应时变的目标密度，从而促进了更广泛的应用范围。关于OBC，控制李雅普诺夫函数（CLFs）已被应用于受PDE控制的多代理系统。例如，[16]利用CLFs在基于高阶PDE的系统中实现编队控制。然而，这种方法依赖于精确的位置测量，使其容易受到测量不准确性的影响。为了解决这一限制，我们的公式在福克-普朗克方程中明确包括了测量和运动噪声，从而提高了在实际应用中对不完美位置测量和运动执行的鲁棒性和弹性。在OBC框架内，CBFs已被广泛研究，以确保在ODE控制系统中的机器人安全，如[8]中提到的几个例子所示。最近，CBFs的扩展到PDE控制系统采用了有限元方法（FEMs）进行离散化，严格解决了离散化误差，从而在融合反应器的灵活结构控制的关键应用中实现了高精度[17]。相比之下，我们的方法使用有限差分（FD）离散化福克-普朗克方程来进行群体密度控制。尽管FD通常比FEM显示出更大的离散化误差，但由于我们应用中的密度场在均匀网格上，这些误差是可以接受的，而不是[17]中的不规则几何形状。然而，对于涉及具有不连续PDF的机器人的应用，FEM或有限体积方法可能对于数值稳定性是必要的。因此，我们在本文中提出的基于优化的反馈控制使用FD方法表现出显著更低的计算复杂性，甚至允许在环路中计算控制输入。我们之前的工作[13]通过数学证明和实验表明，通过PDF和福克-普朗克方程纳入测量和运动噪声可以提高实际应用中的鲁棒性。在此基础上，[18]的工作引入了一个去中心化的CLF-CBF OBC框架，以在噪声下强制执行局部安全，并提供了量化局部和全局安全之间差异的正式数学界限，并通过四旋翼实验验证了该方法。同时，本文关注集中式方法，以在噪声下提供全局安全的保证。此外，我们将我们的方法与最先进的OC进行了比较，并引入了一种基于Voronoi的变体，该变体提高了可扩展性和性能，并通过模拟和实验进行了验证。

2.1 贡献

本研究的主要贡献如下：

我们通过结合CLF-CBF约束扩展了基于PDE的群体密度控制，并在存在定位和运动不确定性的情况下提供了严格的安全保证。我们开发了一种基于Voronoi的控制器变体，显著降低了集中控制器的计算扩展挑战，实现了可扩展和实时的部署。我们通过理论证明和模拟展示了，与群体在大量和有限空间中更有效的常见刻板印象相反，稀疏团队在满足安全规范方面最为有效。我们通过模拟和六机器人实验证明了，即使在噪声存在的情况下，我们的控制器也能遵循目标PDF，同时保持群体安全，而最先进的OC则失败了。

3 数学公式

本研究的主要目标是设计一个基于密度的控制器，用于控制受随机动力学驱动的机器人团队。具体来说，机器人旨在自主匹配预定义的目标PDF，代表所需的空间分布。为了准确捕捉群体机器人系统中固有的运动不确定性，我们采用了连续时间伊藤随机微分方程[19]：
(1)其中状态表示机器人位置，漂移项表示确定性控制输入，表示与具有独立增量的维纳过程成比例的随机扰动。虽然方程(1)描述了单个机器人的噪声运动[20]，但群体密度控制需要空间机器人密度的宏观表示。利用[19, 21]中的平均技术并采用伊藤微积分，我们推导了带有每个机器人控制场的机器人密度动力学的福克-普朗克PDE：
(2)其中机器人ID是下标，扩散常数表示均匀高斯运动噪声的最大幅度[13]。这里，应解释为群体的信念加权物理概率质量。每个表示机器人真实位置的概率信念（经过归一化），其中逆协方差（精度）矩阵编码了对测量位置的信心。在极端情况下，当测量完美时，变为机器人真实位置的δ函数，此时提出的基于PDE的框架不再适用。此外，我们假设所有机器人的定位不确定性相同，以反映相同的感测硬件。因此，位置和时间处的群体密度可以表示为个体机器人位置的总和：
(3)中的高斯核可以通过仅依赖于的常数因子进行归一化；这种常数缩放可以吸收到密度和相关阈值中，而不影响后续分析。根据这种解释，福克-普朗克方程(2)描述了机器人位置测量上集体信念分布的演变。重要的是，方程(2)是确定性的，因为它从统计角度描述了群体密度分布，而不是跟踪(1)中的个别随机轨迹。在建立了噪声如何自然编码在PDF和福克-普朗克方程中的背景知识之后，我们回顾了本节剩余部分提出的四种控制器。图1显示了一个示例，其中机器人突出显示了它们不同的控制策略。

3.1 最优控制

我们定义控制目标为成本函数：
(4)其中是终止时间，表示所需的目标密度，是二维（2D）空间域，是对所有机器人均匀应用的单个控制输入场，即，是平衡密度匹配精度和控制努力的权重系数。这种公式与[10]中描述? OC问题一致，对应于以下项：
(5)为了使用[10]中的OC公式，我们利用哈密顿量，定义为的凸共轭（见[22]），和。在实际场景中，空间安全约束可以使用状态不变性约束进行数学编码：
其中表示受限区域，是内部聚类信念质量的指定阈值，表示由于定位噪声而可接受的残余不确定性水平。考虑到这些因素，结合从定理2.2中得出的安全约束，相应的最优性条件可以总结为：
其中是伴随状态（[10]中哈密顿-雅可比-贝尔曼方程的解），受到耦合PDE系统的约束：
(6)其中拉格朗日乘数和在约束激活时（即）为严格正，否则为。

3.2 OC与OBC框架

两种控制器类型OC和OBC之间的根本区别在于它们的反馈方法：开环控制与闭环控制。OC代表开环策略，其中控制输入是预先确定的，与实时系统输出无关。具体来说，在(6)中，控制场仅使用机器人的初始密度分布计算得出。然后，机器人根据这个预计算的场进行导航，如图2所示。图中的虚线表示初始化阶段的单次通信事件，之后系统在没有来自控制器的进一步输入的情况下演变。尽管OC在形式上使用状态反馈，但这些信息仅用于静态查找表。因此，控制器不会适应任何干扰，这是反馈控制通常具有的能力，并且可能会迅速失去最优性。

3.2 OC与OBC框架

两种控制器类型OC和OBC之间的一个根本区别在于它们的反馈方法：开环控制与闭环控制。OC代表开环策略，其中控制输入是预先确定的，与实时系统输出无关。具体来说，在(6)中，控制场仅使用机器人的初始密度分布计算得出。然后，机器人根据这个预计算的场进行导航，如图2所示。图中的虚线表示初始化阶段的单次通信事件，之后系统在没有来自控制器的进一步输入的情况下演变。尽管OC在形式上使用状态反馈，但这些信息仅用于静态查找表。因此，控制器不会适应任何干扰，这是反馈控制通常具有的能力，并且可能会迅速失去最优性。控制场在初始化时计算一次，并在整个操作过程中保持不变。相比之下，OBC在闭环框架内运行，根据实时反馈不断调整控制输入。在每个时间步长，系统测量机器人的位置，并使用这些数据来计算下一个时间步长的更新控制指令。这种反馈驱动的方法如图3所示，使控制器能够动态响应系统中的任何干扰和不确定性。图3在图查看器中打开PowerPoint

OBC的系统图。整个循环在每个时间步长重新计算以实现实时反馈。虽然OC方法在理论上保证了收敛性，但其数值实现存在显著挑战。例如，状态不变性约束本质上是不连续的。当机器人接近危险区域时，(6)中的拉格朗日乘数从零突然跳变为一个有限值，导致整个场之前平滑的区域出现不连续性。与OC相比，OBC表现出显著较少的数值不稳定性。这主要是因为它一次只解决一个时间步长，并且密度场可以平滑重置。相比之下，OC必须考虑整个时间场，允许数值误差累积并可能使系统不稳定。本节的其余部分介绍了三种不同的OBC，首先是受OC启发的群体速度优化控制（SV-OBC）。

3.3 基于群体速度优化控制

由于CBF与成熟的CLF（连续密度场）具有相似性，因此可以自然地将它们结合在基于优化的框架中，这在广泛的实时机器人应用中取得了成功[7, 8]。我们在这篇论文中提出的方法不是直接优化(4)中定义的成本，而是首先将控制目标表述为CLF约束，从而为稳定性和收敛性提供明确的保证。具体来说，我们将CLF定义为与期望密度的偏差度量(5)，并将成本函数(4)重新表述为一个优化问题，其中的主要目标是最小化控制场。值得注意的是，由于(5)中的，因此在优化框架中省略是可接受的，原因有二。首先，随着的增加，与运行成本的相比，的贡献减小。其次，通过使用作为李雅普诺夫函数，这种表述本质上最小化了，并因此尽可能地最小化了终端成本。安全约束通常通过正的屏障函数来强制执行，定义为原始约束函数的加法逆：。从这一点开始，我们省略了符号中的显式时间依赖性。由于优化问题是在当前时间步长解决的，所有量都在同一时间步长隐式评估。根据这个定义，结合CLF和CBF约束的OBC可以表述为：
(7)
其中是鼓励收敛到期望密度分布的正半定李雅普诺夫函数。这里，分别决定了向CLF和CBF约束的收敛速率。正权重因子通过松弛变量惩罚偏离CLF目标。CBF作为硬安全约束施加，而CLF通过来软化，以确保解的可行性。时间导数和由以下给出：
其中是基于(2)的一步福克-普朗克方程。这个系统框架可以轻松适应不同数量的机器人，因为密度场可以用任何机器人量构建，而不会产生计算开销。为了实现无限维优化问题(7)，我们采用了具有周期性边界条件的中心差分（FD）方案（见备注2）。这意味着，在大小为、间距为的均匀2D网格上，连续密度场和控制场分别被近似为和，然后在网格点上扁平化为和。然后，(7)变为：
(8)
其中上标表示扁平化的网格位置。是使用FD方法对PDE(2)的常数稀疏矩阵的ODE近似：其中和是从中心FD获得的常数稀疏矩阵，5点拉普拉斯矩阵乘以标量扩散系数。最后一个约束表示对控制输入的逐分量限制：
其中是的摩尔-彭若斯伪逆。由此可以看出，系统(8)是一个具有仿射约束的凸二次成本优化问题，可以实现快速的计算速度。引理1。使用具有周期性或均匀诺伊曼边界条件和奇数网格大小的中心差分方案，离散化的扩散项，其中是标准的5点拉普拉斯矩阵，位于平流算子的像中：
因此，线性系统是一致的，伪逆解产生精确解。证明。设。在周期性或均匀诺伊曼边界条件下，中心差分矩阵满足因此，
由于是可逆的（正的且对角的）。在一维情况下，意味着。由于是奇数，映射遍历所有索引，所以必须是一个常数。在和两个方向上应用这个结果得到。因此，和。对于具有周期性或均匀诺伊曼边界条件的5点拉普拉斯矩阵，每一行的和为零，所以。因此，满足，即。因此，系统是一致的但欠定的。摩尔-彭若斯解然后产生最小化的唯一解。备注1。如果或是偶数，中心差分循环会被打破，导致。在这种情况下，可以使用不同的算子，如有限体积法，来找到相同的可解性结果，而不考虑。然而，由于控制器是为轻量级在线应用设计的，最简单的修复方法是调整网格大小，而不是实现更复杂的方案。备注2。引理1中使用周期性和诺伊曼边界条件是为了保持质量守恒，以确保离散化密度动力学的适定性。在本工作中实施周期性边界条件是为了简化FD模板并避免边界特定的复杂性。它们并不意味着机器人物理上绕过工作空间。当存在明确的工作空间边界时，诺伊曼边界条件提供了一个物理上有意义的反射模型。在实践中，目标和不变性集严格选择在计算域内，这总是可以扩大而不改变控制公式。因此，在操作过程中，群体密度质量很少与域边界相互作用，闭环行为在周期性和诺伊曼边界条件之间是相同的。另一方面，狄利克雷边界条件与群体密度质量守恒相冲突，因此不予考虑。如果必须施加，可以采用有限体积离散化，但会增加计算复杂性。命题1。受限优化问题(8)总是可行的。其唯一解保证了集合的前向不变性。证明。对于任何，引理1提供了一个精确解，产生，其中受控平流项精确地抵消了扩散。因此，和CBF约束得到满足，确保了集合的前向不变性。此外，CLF约束（(8)中的第一个约束）通过得到放宽，因此总是可行的。最后，由于优化成本是严格凸的，最优解是唯一的。备注3。由于在(8)中安全CBF作为硬约束施加，CLF目标可以放宽以保持不变性，可能导致收敛到局部最小值。这被选为安全关键应用的解决方案。由于在(8)中提出的离散化，这样的局部最小值可以使用[23]中为ODEs开发的技术来表征。虽然SV-OBC(8)产生了一个确保群体密度安全的可行解，但存在一个重要的边缘情况。如图4所示，足够大的定位误差可能在机器人的信念密度内产生冲突的控制值。由于PDF代表定位不确定性，且机器人无法执行完整的空间控制场，因此在它们最可能的位置——PDF的中心——插值一个单一的控制指令。结果，PDF边缘的控制值可能在执行中无法实现，尽管在群体层面是不变的。这种行为并不违反群体层面的安全保证，但揭示了在定位不确定性下密度层面不变性与机器人层面执行之间的差距。图4在图查看器中打开PowerPoint

SV-OBC边缘情况。红色区域代表不安全区域，黄色星号是目标中心，红点标记了带有绿色PDF的机器人位置。控制场用蓝色显示，紫色是机器人的插值指令。已经尝试最小化这种不匹配，通过对PDF的协方差矩阵施加额外的约束并在机器人的PDF内强制执行局部均匀的控制场。即使没有额外的时间复杂性，这些尝试也没有证明是令人满意的；协方差矩阵没有保持信念密度的高斯结构，当多个PDF重叠时，均匀控制场也失败了。

3.4 基于机器人速度优化控制

为了避免上述缺点，我们重新制定了我们的控制策略，以避免OC思想中应用于所有机器人的单一全局控制场的概念(4)，尽管它在可扩展性方面效率很高。相反，为了更准确地捕捉在定位不确定性下的机器人层面执行，每个代理都被分配了一个单独的速度控制输入，该输入为每个机器人定义了一个均匀的控制场。这为个代理提供了优化变量，以下是基于机器人速度优化的控制（RV-OBC）公式：
(9)
RV-OBC(9)与SV-OBC(7)之间的主要区别在于(9)以分布式方式计算其密度演化，而不是为所有代理提供一个速度场：
(10)
备注4。如第3节开头所述，福克-普朗克方程(2)包含一个扩散系数，代表机器人的随机运动噪声。我们定义了一个常数，对应于均值为零的高斯分布，其概率质量被保守地限制在范围内，其中最大允许指令由物理硬件限制确定的常数缩放。实际上，超出这个范围的事件被认为是物理上不可能的。引入这个限制是为了确保连续PDE公式的适定性，并反映了在硬件限制内的机器人驱动的有界性质，而不是对时间的概率安全保证。变量可以更准确地表示命令依赖的运动噪声。我们决定使用一个常数最大噪声有两个原因：它在计算上更便宜。它捕捉了其他力，例如四旋翼飞行器中的惯性，即使指令为零也是如此。命题2。设和考虑以机器人位置为中心的各向同性高斯(3)，具有相同的逆协方差（精度）矩阵和群体PDF。群体密度通过系统(9)中定义的屏障函数福克-普朗克方程(10)演化。我们在最坏情况下展示安全条件，即在时间，所有代理应用最大控制，其中是(9)的解，CBF饱和。然后，根据运动噪声的定义，最坏情况下的噪声运动的上限是，时间步长为。我们表示，和时刻的矩：然后，我们可以定义和加权平均值：用单个代理的群体级别表示法：(11)其中分母之和为，总和为。同样，我们定义作为加权平均值，分别用。然后，CBF条件的充分条件是：为了与恢复指令一起成立：(12)
证明。由于群体正朝着移动，并且在前一个时间步长具有饱和的CBF，我们有：
(13)
作为安全等价不等式目标。根据[13]中的恒等式：
时间步长的福克-普朗克PDE可以表示为：
这产生了一个群体级别的平流增益，恢复指令为：
和扩散损失：
值得注意的是，如图3所示，PDF在每个时间步长重置，新的机器人中心位于，给出：
进一步，根据定义(11)，我们有：
在上述定义下，省略时间步长下标，因为所有函数现在都在中，找到了的平流增益：
同样，扩散惩罚为：
最后，屏障函数本身的惩罚为：
将这些代入(13)得到(12)。命题2保证了在约束(12)下群体的安全性。我们看两个特殊情况来进一步理解这个约束的含义。首先，我们考虑零运动噪声情况。然后，(12)简化为：
使用中的一阶近似。这个简化的界限指出，为了确保安全，平流过程中的净增益需要大于安全裕度，并且还需要一个取决于与上一个时间步长偏差的惩罚项。因此，只要满足这些条件，界限就始终成立，而且这个界限是充分的。正如预期的那样，如果运动完美，通过使用更小的时间步长可以更容易地保证安全，从而更快地进行修正，更早地检测到CBF饱和度，并降低最大指令和定位噪声，以减少安全违规的风险。然后，我们找到了（12）的一个近似值来展示运动噪声对系统的影响。注意，所有小步长近似值都来自或，这给出了：
这个简化的界限捕捉了每个参数对安全的影响。更高的最大控制值会增加右侧（RHS），表明更快的代理更难保持安全。相反，更小的时间步长会减少RHS，表明更快的修正有助于确保安全。和的几何形状和精度被编码在其中。随着危险区域向外扩展，加权距离项会驱动，表明与的更大加权距离可以提高安全性。更准确的定位意味着通过集中底层PDF来放大两者。矛盾的是，这意味着更准确的定位可能会使界限更难满足，因为更尖锐的PDF的会更接近，并且同样的运动噪声会更快地降低安全性。这个结果与无噪声分析相矛盾，但与运动噪声和定位噪声之间的关系一致。最后，正如无噪声情况所示，更小的运动噪声系数可以放宽界限，使保证安全变得更加容易。命题2中的界限在模拟和实验中都得到了验证，在所有情况下，不等式（12）都得到了满足。只有在极端、人为的边缘情况下，才会观察到违规，即几乎所有机器人在强烈的运动噪声下同时向附近施加大的最大幅度指令。在这些极端情况之外，界限（12）在实践中始终得到遵守。命题3。给定初始群体分布是安全的并且参数可以满足（12），受限优化问题（9）会返回一个唯一的最优解。这确保了集合的前向不变性。根据命题2，在界限（12）下，CBF约束（（9）中的第二个约束）是可行的。此外，它还递归地确保了群体的安全性，因为界限明确依赖于之前的状态。最后，由于优化成本是严格凸的，最优解是唯一的。虽然这种控制器公式在基于预定义参数的安全初始分布下确保了前向不变性，但随着群体规模的增加，计算时间会急剧增加。这是因为每个额外的代理都需要计算一个额外的完整空间场，以及两个优化变量。为了提高计算速度，我们提出了以下受Voronoi启发的OBC。

3.5 基于Voronoi划分的机器人速度优化控制

基于Voronoi的控制器由于它们快速的在线计算能力，已经在常微分方程（ODE）领域被研究用于覆盖控制[20, 24, 25]。在下面的公式中，与RV-OBC（9）中每个额外代理都需要计算一个全新的场不同，我们增加了一个Voronoi划分步骤，使得每个代理只考虑其自身单元内的密度。具体来说，我们定义以每个代理位置为中心的Voronoi单元为空间场的一个不相交的划分：（14），以及它们的Lyapunov函数和障碍函数的Voronoi版本：
（14）及其相应的时间导数。这种新的公式虽然避免了随着代理数量增加而产生的时间和空间缩放问题，但没有考虑每个代理单元之外的密度。在本节的剩余部分，我们推导出一个上限来量化这种过度估计的量。首先，我们找到目标密度匹配的Lyapunov测量的差异：
（15）最后两项可以简化为：
（16）然后，为了找到（16）的一个界限，我们首先定义一些参数。设为每个单元的补集，为代理的密度质量，为每个单元外的密度上限。根据Holder不等式和三角不等式，（16）中的第二项被限制为：
将这一切结合起来，（16）简化为：
（17）其中表示在范围内匹配目标密度的误差。同样，对于障碍函数差异，我们有：
（18）

注5：重要的是要注意，（17）和（18）都有一个宽松的界限，可以根据s和相对于的大小显著收紧。这些项可以在范围内进一步限制，而不是。此外，对于（18），许多积分项在实践中会消失，因为通常不会被所有Voronoi单元覆盖。如第4节所示，与Lyapunov函数相比，障碍函数之间的差异可以忽略不计，如果需要的话，可以作为CBF约束的额外项添加。因此，从（17）和（18）可以清楚地看出，随着和的减小，Voronoi单元方法会收敛到（9）中的真实测量值。这两者都是通过代理协同工作但相距更远来实现的。尽管（17）中的项随着的增大而增加，但它通过积分以一种加性的方式收敛到一个由目标和代理的总密度质量限制的常数。它的乘数随着的增加而呈指数级减小，并且主导了（17），使得（17）收敛到零。在极端情况下，所有代理的PDF是不相交的，Voronoi单元方法在计算速度上与（9）具有相同的值。此外，由于界限和s的大小的求和，这种公式在代理数量较少的情况下也变得更加准确。我们得出结论，我们提出的基于Voronoi划分的机器人速度优化控制（RV-OBC-V）确实可以随着群体规模的变化而扩展，并且由于Voronoi划分的计算开销很小。然而，与常见的群体刻板印象相反，它在稀疏群体中表现最佳，因为代理之间的缺乏连通性使得满足不变性约束更加有效。

4 模拟结果与分析

为了测试所提出的控制器，我们在边长为m的正方形域内进行了模拟，空间分辨率为m，得到了一个由点组成的网格。应用周期性边界条件以提高OC的稳定性。目标PDF是以为中心的高斯分布，标准差为。模拟总持续时间为s，每次模拟的时间为s。

4.1 单机器人研究

以下比较使用单机器人设置来进行，以突出两种控制器OC（6）和SV-OBC（8）的不同行为，模拟设置在图5中。下一小节将讨论多机器人模拟，以验证控制器在机器人团队中的性能。为了复制现实世界中的噪声行为，我们根据算法1在所有控制器中实现了定位和运动噪声。为了获得统计上可靠的结果，模拟进行了次，并计算了平均性能指标。

模拟设置：红色圆圈代表不安全区域，蓝点标记机器人的位置，黑色虚线轮廓表示其PDF，黄色星号是目标中心，绿色PDF表示目标位置。算法流程：

初始化每个代理的

对于每个时间步长执行以下操作：
从高斯分布中抽取
使用（6）、（8）、（9）或（14）中的一个计算
用加上高斯运动噪声更新
结束循环

OC揭示的一个有趣方面是在状态不变性约束下机器人PDF的重新塑造，该约束定义为保持总密度在圆形区域内低于某个阈值。尽管直觉上合理，但这个约束导致控制器采用了经典的最优传输行为，即通过扩散使PDF变平以节省控制成本，然后才将其重新塑造成期望的高斯形状，如图6左侧列中的扩散效果所示。结果，最终的峰值仅达到初始高斯峰值的约，尽管保持了正确的形状。这种行为的发生是因为OC将群体概率密度解释为由Fokker-Planck方程唯一控制的连续演变信念，而在实践中，机器人的PDF是通过新的定位测量不断重置的。如图3所示，每个时间步长都会进行新的位置测量，有效地将机器人的PDF重新定位在测量位置。相比之下，图2显示OC仅根据初始密度进行演变，忽略了这种不可避免的PDF重置。因此，OC预测的区域内密度比实际情况要低得多，因为PDF并没有在机器人的位置不断重新定位。这导致在图6中左侧中间部分的深绿色区域产生了错误的安全感，因为实际的PDF质量会高得多。减小约束容忍度似乎是直观的，但数值实验表明，非常小的值会增加数值不稳定性，并且随着时间的推移，重塑效果会增大。图6显示了OC（左列）和SV-OBC（右列）的时间序列。星号是目标的平均值，蓝色是控制场，红色圆圈代表不安全区域，绿色是机器人密度（颜色越深表示密度越高），红色点表示机器人位置。相比之下，OBCs采用了一种根本不同的策略，它们仅优化一个时间步长后的控制输入。具体来说，SV-OBC生成的控制场在机器人周围几乎为零，除了机器人周围的区域，它在那里将PDF向外径向推以使其变平，如图6右侧列所示。这种方法通过围绕代理位置插值产生较低的控制努力。RV-OBC的设计使用均匀的控制场。这种公式提供了对噪声系统的更准确描述，并在潜在更高的控制幅度下确保了安全性。图7顶部图表显示了三种方法在控制努力方面的区别。OC具有最低的控制成本，具有全局Lipschitz连续的控制场[10]，而SV-OBC应用了激进的不连续控制指令。它在稳态控制努力上也低于RV-OBC，通过在径向外控制场内插值。值得注意的是，RV-OBC在s后的近乎恒定的控制努力是由于在目标中心附近的振荡。在这个阶段，RV-OBC预计会投入更多的努力，因为移动整个PDF比SV-OBC实现更大的CLF减少。图7显示了平均每次模拟的单一代理性能图。顶部：控制努力，较低的意味着消耗的能量较少。中间：安全屏障，较高的意味着距离危险区域更远。底部：Lyapunov函数，较低的意味着更好地匹配目标。图7中的第二个图表显示了通过障碍函数测量的保持区域不变性的性能。正如控制努力图表所示，SV-OBC采用了最不连续、最激进的调整方向，如果对CLF有利，它会迅速将代理推向不变性边界。因此，它的安全性值是三个控制器中最低的。然而，由于基于定位的PDF较小，它从未违反前向不变性的标准。相反，OC虽然平均安全性措施较高，但在模拟中有次违反了安全性标准。大多数违规都是由于代理位于太靠近边界的位置。如前所述，OC将位于边界上的代理视为安全的，但由于PDF的重置，测量位置的安全性并不能保证真实位置的安全性。最后，图7中的最后一个图表突出了与预定义目标的密度匹配误差。不出所料，两种OBC都凭借它们更昂贵的控制努力表现优于OC。RV-OBC虽然收敛到目标的速度稍慢，但其控制输入较为温和，安全性值也更高，优于SV-OBC。因此，仅从单个代理的行为来看，我们可以得出结论：OC不适合具有重置定位噪声的现实生活中的安全关键应用。尽管SV-OBC在这些测试中满足了安全阈值，但当噪声增大时，它就会失效，如图4所预测的那样。因此，在下一节中，我们将仅对更安全、更准确的模型RV-OBC和RV-OBC-V进行多机器人模拟。

4.2 多机器人研究

我们通过多机器人模拟来验证所提出的控制器的有效性，以证明它们在尝试匹配目标概率密度函数（PDF）的同时能够维持安全约束。我们仔细观察了一个由多个机器人组成的系统，其平均性能评估结果如图8所示。需要记住的是，RC-OBC-V是基于Voronoi算法的RC-OBC模型的一个变体，旨在提高计算速度，但这种速度提升是以牺牲精确的Lyapunov函数和障碍函数评估为代价的，如第3.5节所讨论的。图8展示了经过多次模拟后的六个代理的性能图表。顶部：控制力越大，消耗的能量越少；中部：安全障碍越大，表示距离危险区域越远；底部：Lyapunov函数值越低，表示与目标的匹配度越高。从这些图表中可以清楚地看到，RC-OBC-V对每个机器人施加的控制幅度略大于原始的RC-OBC，尽管方式较为温和，但仍然能够实现几乎相同的安全结果。在所有模拟中，即使在定位和运动噪声的情况下，两种控制器也从未违反安全约束。正如预期的那样，当机器人在接近目标后彼此之间的距离较近时，差异会增大，从而导致平衡成本略微上升。然而，如备注1中所述，由于与目标区域的交集减少，障碍函数差异的影响可以忽略不计。然后，我们选取了多次模拟中的一个实例进行详细分析，结果如图9和补充视频中的时间序列图所示。这些图表中，目标PDF用绿色表示，其平均值用金色星星标出，测量位置用蓝色点表示，真实位置轨迹用蓝色线条和黑色等高线PDF表示。顶部行显示了RV-OBC的结果，底部行显示了用黑色线条划分单元格的RV-OBC-V变体。

时间序列图显示了RV-OBC（顶部行）和RV-OBC-V（底部行）的表现。星星表示目标的平均值，绿色表示目标密度（颜色越深表示密度越高），红色表示不变区域，深黑色线条代表Voronoi单元格边界，蓝色表示机器人的测量位置，以及真实位置的轨迹和黑色PDF等高线。RV-OBC能够平稳地朝向目标收敛，即使测量数据存在噪声，顶部两个机器人也能避开危险区域。机器人快速在目标附近达到平衡状态，仅有轻微的数值波动。相比之下，RV-OBC-V控制器仅考虑其单元格内的代理质量密度。由于只有噪声测量数据，Voronoi划分往往不准确，单元格边界会穿过PDF区域，这在大多数图表中都有体现。然而，由于两个顶部机器人之间的距离足够远，并且仅用两个单元格就覆盖了目标区域，它们都成功避开了危险区域。经过一段时间后，机器人聚集得更加紧密，单元格划分的不准确性开始影响性能，如图8所示。RV-OBC-V控制器的安全性能受到单元格大小与定位误差之间关系的影响。当单元格边界与代理的PDF区域相交时，会出现一种破坏性行为，导致测量位置有非零的概率落在真实单元格之外。此外，在某些情况下，如果两个机器人距离非常接近，它们的测量位置会出现在对方的单元格中，从而实际上翻转了单元格的分配，并施加相反方向的控制，例如图9中的某个时间点。虽然这种效应可能导致安全失败，但只有当代理之间的距离非常接近，以至于它们的PDF区域有大量重叠时才会发生这种情况。这进一步支持了我们的观点：当代理之间的距离较远时，RV-OBC-V的表现更好，这与“群体在近距离时更有效”的刻板印象相反。最后，我们比较了两种控制器的运行时间，以验证RV-OBC-V显著提高了计算效率。我们使用AMD Ryzen 8核处理器和MOSEK Fusion API for Python [26]，对不同数量的机器人进行了多次模拟，以获得每个时间步的平均运行时间。根据图10，由于Voronoi划分的开销，RV-OBC-V的运行速度略慢于RV-OBC。然而，随着群体规模的增加，RV-OBC-V的运行时间几乎保持不变，而RV-OBC的运行时间却迅速增加。这种差异源于控制器的结构：RV-OBC必须为每个新增的代理计算完整的PDF场，而RV-OBC-V则执行轻量级的划分步骤，并在单个PDF场中进行优化。

5 实验

我们提出的RC-OBC-V控制器被实现在一组DJI全向机器人[27]上，在一个边长为m的正方形场地上进行实验。实验设置本身包含现实世界的不确定性：定位由Vicon系统[28]完成，该系统受到传感器噪声的影响；而机器人本身也是不完美的执行器，摩擦和快速的方向变化引入了运动噪声。实验持续了s时间，所得到的时间序列如图11和补充视频所示。

实验中，六个机器人最初分布在场地周围，不变区域阻挡了它们直接到达目标的路径的一半。在最初的s秒内，机器人在CLF（候选行为函数）的引导下开始直接朝向目标收敛。随着左侧三个机器人接近目标，CBF（候选行为函数）主导的控制使它们在接近目标的过程中安全移动，避开危险区域。当所有机器人都通过危险区域后，在最后几秒内出现了一些数值波动，它们在目标位置趋于平衡分布。相应的性能评估结果如图12所示。正如预期的那样，当机器人分布在地图周围时，密度匹配误差较高；随着它们向目标PDF收敛，误差逐渐减小。当三个机器人接近危险区域时，安全函数略有下降。当它们绕过危险区域后，安全测量值恢复到初始值。值得注意的是，为了计算效率，控制器只能访问Voronoi单元格版本的测量数据。经过后处理的真实测量数据值略低。当机器人之间的距离变近时，两个Lyapunov测量值之间的差距增大，但如备注1中所述，安全性的差异可以忽略不计。

6 结论

在本文中，我们提出了一种基于控制Lyapunov函数和CBF（候选行为函数）的安全关键OBC策略，用于指导受Fokker-Planck方程控制的群体密度动态。所提出的RV-OBC构建了一个系统框架，即使在定位和运动噪声的情况下，也能确保准确避开危险。RV-OBC-V变体进一步提高了计算效率，并支持大规模应用，无论是群体规模还是场域大小。有趣的是，我们的数学分析和模拟表明，RV-OBC-V在稀疏群体中更为有效和安全，这与普遍认为控制器在密集群体中表现更好的假设相反。对比模拟显示，当前最先进的受限OC方法不适合具有传感器和运动噪声的安全关键应用。相比之下，RV-OBC和RV-OBC-V控制器在模拟中都取得了持续的成功，而一个六机器人实验进一步证明了RV-OBC-V在现实世界中的适用性。因此，我们预见这两种控制器，特别是RV-OBC-V，适用于大规模群体机器人应用，如野火扑灭、搜救任务和大规模农业管理。

附加支持信息

更多支持信息可以在在线的支持信息部分找到。

资金支持

这项工作部分得到了NSERC Discovery（Grant RGPIN-2023?03703）的支持。数据可用性声明

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