综述：通过簇生长方法求解二维铁磁自旋-3/2伊辛模型

《Journal of Magnetism and Magnetic Materials》：Resolution of the two-dimensional ferromagnetic spin-3/2 Ising model via cluster growth

　　J. Roberto Viana | Octavio D. Rodriguez Salmon | Minos A. Neto | Griffith Mendon?a | F. Dinóla Neto
亚马逊联邦大学物理系，3000，Japiim，69077-000，马瑙斯，巴西

摘要
我们提出了一种基于层次聚类生长过程的计算方法，用于高效求解自旋-3/2伊辛模型。该方法通过迭代构建大小为Ng的有限磁簇来规避正则系综配分函数的指数复杂性（4N），其中第g+1代中一个位点的有效自旋状态由第g代簇的局部磁化强度决定。这种方法与有效场理论在概念上有共同之处，能够研究有效尺寸非常大的系统（N=N0(Ng)g）。我们将该形式主义应用于蜂窝晶格上的铁磁自旋-3/2伊辛模型，该模型模拟了单层CrI3这种典型的二维伊辛磁体。通过使用实验测得的转变温度（Tc?45 K）对模型进行校准，成功再现了关键实验特征：磁化强度m(T)的温度依赖性（包括其拐点）以及比热cv(T)的宽化峰值。我们还计算了熵s(T)，在低温下得到了与系统双重简并性一致的有限残差值。我们的结果表明，这种层次聚类方法为研究复杂的磁性系统提供了一个定量准确且计算效率高的框架。

引言
发展用于研究磁性系统的理论模型在凝聚态物理学的进步中发挥了核心作用，为理解材料中磁性的微观起源提供了基本见解。这些理论发展不仅加深了我们对磁现象的理解，还通过设计和优化磁性材料促进了重大技术进步。
在描述磁性系统的理论方法中，自旋模型占据了重要地位。特别是伊辛模型和海森堡模型作为研究铁磁有序、相变和临界现象的典范框架。这些模型允许系统地分析热力学和磁性质，从而便于直接进行定性和定量比较理论预测与实验观察结果。
在此背景下，伊辛模型是离散系统中铁磁理论的一个基石。Onsager得出了二维晶格上自旋-1/2伊辛模型临界温度的精确解[1]，这一成果为后续的分析和数值研究奠定了基础。
多年来，已经开发了多种理论技术来研究磁性系统，包括重整化群（RG）方法[2]、[3]、基于簇的平均场理论[4]、[5]、自旋波理论[6]、蒙特卡洛模拟[7]、[8]以及量子自旋系统的数值方法[10]、[11]。这些方法为各种磁性模型的热力学行为、临界指数和激发谱提供了全面的理解。
与此同时，大量的实验工作致力于研究不同物理实现下的铁磁材料。实验研究涉及相变温度、滞后效应、磁畴形成、磁晶各向异性、强自旋-电子耦合、弱铁磁性以及薄膜磁性[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]。这些研究强调了维度、对称性和相互作用范围在决定磁行为中的重要性。
最近，由于在原子级薄材料中发现内在铁磁性，人们对低维磁性的兴趣重新燃起。Coldea等人[21]研究了一种准一维伊辛系统，而Huang等人[22]和Gong等人[23]分别报道了van der Waals材料（如CrI3和Cr2Ge2Te6）单层中的铁磁有序。后续研究探索了多种二维磁性系统，包括具有海森堡行为的卡戈梅晶格和磁振子激发[24]。
从理论角度来看，对具有更高自旋值和实际长度尺度的磁性系统进行建模仍然是一个具有挑战性的任务。例如，自旋-3/2系统具有4N个可访问的状态，这使得在大系统尺寸下精确处理在计算上变得不可行。虽然数值方法和基于簇的方法可以捕捉局部相关性，但将这些技术扩展到介观或宏观尺度通常需要额外的近似。
受这些挑战的启发，我们在本工作中提出了一种基于有效簇生成的多尺度理论方法来研究磁性系统。该方法结合了有效场理论和RG概念的思想，使系统能够通过连续几代簇的演化来发展。在每个尺度上，通过解决有限大小的正则系综问题来获得热力学行为，同时递归地重整化有效磁化和耦合常数以编码更大长度尺度的影响。
作为一个具体的应用，我们将所提出的框架应用于定义在蜂窝拓扑二维晶格上的自旋为3/2的铁磁伊辛型系统。理论结果与磁性材料CrI3（三碘化铬）的实验数据进行了比较，CrI3是最早在单原子层中显示出内在铁磁性的材料之一[22]、[23]。这一发现尤其引人注目，因为Mermin–Wagner定理禁止二维各向同性系统在有限温度下出现自发的长程磁有序。然而，在单层CrI3中，强烈的磁晶各向异性导致了类似伊辛的有效行为（Z2对称性），从而允许在二维中存在长程磁有序。
实验上，CrI3在单层极限下的居里温度约为TC=45 K，在块状结构中为TC=61 K[22]、[23]。其磁行为对厚度非常敏感：虽然层内相互作用是铁磁的，但层间耦合可能是反铁磁的，从而导致多层结构中存在多种磁相。除了其基础研究价值外，CrI3还是二维自旋电子学应用的有希望的平台，包括超薄磁性器件、存储器和范德华异质结构[25]、[26]。
所提出的框架在概念上受到重整化群思想的启发，因为它采用了跨尺度的层次粗粒化。然而，它与标准的实空间RG方案有根本的不同。特别是，没有积分掉任何自由度，没有进行显式的长度重标定，也没有构建哈密顿量空间中的流动。相反，该方法直接在热力学可观测量的层面上操作，通过使用实验输入进行校准的尺度依赖性耦合。因此，该方法应被视为受RG启发的，而不是传统意义上的重整化群程序。
需要强调的是，该方法与簇蒙特卡洛算法（如Swendsen–Wang方法和Wolff方法）有根本的不同。在这些方法中，簇是在随机采样过程中动态构建的以加速收敛。相比之下，当前方法是完全确定性的，并基于自由度的层次粗粒化，其中自旋被有效磁化变量替代。因此，不涉及蒙特卡洛采样或簇翻转动力学。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍了模型和理论框架，介绍了层次聚类生长形式主义以及描述连续几代磁簇的有效哈密顿量。第3节讨论了在所提出的方法中如何定义有效系统大小，以及粒子数量与簇代数和畴体积之间的关系。第4节建立了演化尺度之间的递归关系，包括磁化和有效磁耦合的假设。第5节通过考虑尺度函数的广义形式和相应的物理约束来分析递归假设的稳健性。第6节展示了数值结果，包括磁化强度、内能、比热和临界指数估计，并应用于CrI3化合物。最后，第7节总结了所提出方法的主要结论和前景。

模型和理论框架
本文提出的理论框架基于一个动态演化过程，该过程通过连续几代簇（用g表示）来定义。它与簇蒙特卡洛算法无关。特别是，不涉及随机采样、键概率或簇翻转动力学。这里考虑的簇是通过确定性的层次粗粒化过程产生的，所有热力学量都是从每个粒子集合的正则配分函数计算得出的。

系统大小
在所提出的形式主义中，第g代所代表的磁畴中涉及的有效粒子数由方程（1）给出。这种表述允许在不显式处理4N维的完整希尔伯特空间的情况下访问包含N个粒子的系统的热力学性质。相反，在生长过程的每个阶段只需要4Ng种配置，这是当前方法的主要优势之一。

演化尺度之间的递归关系
通过磁化和有效磁耦合的递归关系建立了连续几代簇之间的联系。在本工作中，我们采用以下磁化尺度关系：Fm(g?1)=m(g?1)msat，其中msat=1.5对应于自旋-3/2系统的饱和磁化强度。这种选择确保了保留了前一代的磁记忆，同时保持了磁化的适当归一化。

递归假设的稳健性
所提出的形式主义依赖于引入一个递归函数F(m)，该函数将连续几代簇之间的有效磁化强度联系起来。在最简单的实现中，选择F(m)=m/msat。为了证明这一选择并评估其稳健性，我们可以将递归假设推广到一个参数族Fα(m)，即Fα(m)=mmsatα，当α=1时简化为原始假设。

结果
在讨论数值结果之前，值得强调多尺度簇框架的关键参数的作用。参数gmax控制有效系统大小，而尺度因子a编码了跨代磁耦合的重整化。这些参数共同决定了模型中有限尺寸效应和临界行为的出现。

我们考虑了在具有Convergence结构的晶格上定义的铁磁系统的大小为N0=Ng=4个粒子的簇（见图1）。

结论
在本工作中，我们提出了一种解决自旋模型的方法，该方法基于逐渐增长组成第一邻居自旋-3/2铁磁系统的粒子群体的过程，这些粒子位于蜂窝晶格上。
本工作的一个优点是简化了对所研究物理系统的热力学-统计处理。对于处理自旋为3/2的磁性系统的建模，需要应用CRediT

作者贡献声明
J. Roberto Viana：撰写——原始草稿、软件、方法论、研究、形式分析、概念化。
Octavio D. Rodriguez Salmon：撰写——审阅与编辑、验证、软件、研究。
Minos A. Neto：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、监督、资金获取、数据管理。
Griffith Mendon?a：监督、方法论、研究、形式分析。
F. Dinóla Neto：验证、研究。

未引用的参考文献
[27]、[28]

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢
作者感谢巴西国家科学技术发展委员会（CNPq）的财政支持。