一种通过混合B样条技术数值求解时间分数阶Burgers方程的计算方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：A computational approach for numerical solution of time fractional Burgers’ equation via hybrid B-spline technique

　　桑尼·库马尔|拉奇娜·巴蒂亚|马赫什瓦尔·帕塔克|苏珊·伊什瓦里亚A.
印度泰米尔纳德邦韦洛尔632014，韦洛尔理工学院高级科学学院数学系

摘要
由于分数阶和非线性的复杂性，现有文献提供的有效数值方法有限，无法解决Caputo时间分数阶非线性Burgers方程。在本文中，作者开发了一种适用于分数阶和整数阶的数值方法。我们使用可靠的L1有限差分方法来处理分数时间分量。对于空间离散化，我们实现了一种混合均匀双曲多项式B样条函数，该函数结合了三次和均匀双曲多项式B样条函数。由于方程中包含非线性项，因此采用了Rubin和Graves提出的线性化技术。这种方法将问题转化为线性方程，从而易于求解。我们用四个不同的例子测试了该方法，发现所得结果优于文献中的结果。为了验证所提方法的准确性，计算了L∞范数，并绘制了不同α值的线性剖面图。图表显示数值解与精确解完全一致。绝对误差也很小，低至10^-13的数量级，进一步证明了这一点。该方法的收敛阶数为二，证实了其高精度；使用Von Neumann方法分析稳定性，发现该方法是无条件稳定的。

引言
近年来，分数阶微积分作为一种非常强大的工具在数学领域得到了广泛应用。特别是分数阶偏微分方程（PDE）在生物建模、流体动力学、声学和电磁学等多个领域都有广泛应用[1][2][3]。这类模型还用于癌症治疗的化疗[4]。在许多情况下，分数阶模型比传统的整数阶模型能更准确地反映复杂系统的实际情况。
在所有分数阶模型中，时间分数阶非线性Burgers方程（TFNBE）具有特殊的重要性。TFNBE有多种应用，主要用于研究波在能量缓慢损失的介质中的传播方式。其最显著的特点是包含了记忆效应。在许多现实情况下，过去会影响未来。在该模型中，记忆被视为过程的一个组成部分，而不仅仅是数学概念。这种方法很不寻常，表明系统的过去行为直接影响其未来行为。由于不同点的解不仅依赖于单个时间点，还依赖于整个历史过程，从而增强了模型的综合性。该方程的数学表达式如下：
?αu/?t^α + u/?u/?z - ν^?^2u/?z^2 = f(z,t)，
a ≤ z ≤ b，0 < α < 1，
并受到初始条件（IC）和边界条件（BC）的约束：
u(z,0) = ρ(z)，
u(a,t) = ψ1(t)，
u(b,t) = ψ2(t)。
该模型的本质由两个主要部分组成：一个是提供历史依赖性的Caputo导数，另一个是控制对流传输和扩散平滑的标准PDE项。方程（1）中的非线性项则决定了对流传输和波动的物理行为。

正如我们所见，数值技术有助于我们处理以微分方程形式出现的不同类型的问题[5][6][7][8][9]。然而，这些非线性分数阶微分方程的数值处理对研究人员来说仍然是一个挑战。一个核心难点在于分数阶导数的非局部性质，即任何给定时间的解都依赖于其完整的历史演变。这与方程中的非线性项相结合，进一步增加了计算难度。许多文献中，研究人员采用各种数值技术来近似求解这些模型。
各种B样条函数被用于求解不同类型的PDE[10][11][12][13]。在Majeed及其同事的先前研究中[14]，他们使用三次B样条基函数对分数阶Burgers-Fisher方程进行时间步长离散化，并采用Crank–Nicolson方案对Caputo导数进行L1离散化。Tamsir等人[15]构建了一种混合B样条配置方法，结合了指数基函数和三次B样条函数来求解Burgers方程。在[16]中，作者使用样条分数连续性方法求解Burgers-Fisher方程。El-Danaf[17]引入了参数样条方法来求解方程（1），而[18]的作者提出了Galerkin方法来求解方程（1）。在[19]中，作者使用指数B样条函数求解时间分数阶Fisher方程。[20]中则使用对数样条方法求解时间分数阶Burgers-Huxley方程。
对现有分数阶微分方程数值技术的深入分析揭示了一些已知的缺点。空间离散化方法往往无法在不同时间和空间网格配置下实现最佳收敛率；而使用L1公式进行时间离散化的现有方案仍然局限于一阶时间或空间收敛。此外，这些方法在大规模模拟中计算需求较高，使得它们无法应用于大型计算域。尽管如此，这些方法仍存在显著缺点：一些在计算过程中表现不稳定，而另一些则收敛效果不佳。这些稳定性和收敛性的持续挑战目前限制了许多现有方案在广泛问题中的适用性。
为了克服这些根本限制，需要基于改进的计算框架采用不同的方法以实现长期收敛和稳定性。这促使我们提出了一种先进的数值算法，其中使用了两种不同的B样条函数。时间分数阶导数采用Caputo定义[21]，空间离散化采用配置方法，结合了均匀双曲多项式（UHP）和三次B样条函数来估计空间网格上的解。这种混合B样条函数尚未在配置方法中得到应用。
UHP B样条函数是广义B样条的一种特殊情况，属于Chebyshevian样条的子类。它们的理论基础和逼近性质在[22]中有简要介绍。这些样条定义在扩展的Chebyshev空间上，可以包含多项式、三角函数和双曲函数。总体而言，这些研究表明UHP B样条对应于广义B样条的双曲情况，在数值求解微分方程方面具有理论基础和计算可靠性。
所提方案的公式隐含地考虑了记忆效应，新时间点的解取决于系统随时间的完整演变。与现有方法相比，我们的方案在时间和空间精度上都有所提高，显著降低了误差范数。该方法的一个主要优点是在不同参数值下都能保持稳定的性能。它采用了复杂的离散化框架和强大的非线性项处理能力，因此能够更准确地表示方程的时间分数阶解动态。该方法在具有挑战性的参数条件和长时间模拟场景下仍能保持可靠性。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍了数学基础和所提数值算法的详细解释。第3节和第4节对方案的稳定性和收敛性进行了全面测试。第5节展示了数值结果和讨论，通过各种测试问题验证了理论结果和所提方法的有效性。第6节总结了主要结果和进一步研究的可行方向。

方案的时间离散化
时间域[0,T]被划分为N个等长的部分，每个部分长度为Δt = T/N。设U_in为近似解，其中i为空间索引，n为时间索引。对于固定的空间点xi，U在时间tn+1的Caputo时间导数定义为[23][24][25]：
?αU(z,tn+1)/?t^α = 1/Γ(1-α) ∫_0^(tn+1) ?U(z,s)/?s ds(tn+1-s)
α = 1/Γ(1-α) ∑_m=0^n ∫_t_m^(tm+1) ?U(z,s)/?s ds(tn+1-s)
α = 1/Γ(1-α) ∑_m=0^n (U(z,tm+1) - U(z,tm)) Δt ∫_t_m^(tm+1) ds(tn+1-s)
α + E_n^(n+1) = 1/Γ(1-α) ∑_m=0^n (U(z,tm+1) - U(z,tm)) Δt ∫_t_m^(tn-1)tn+1-m dr r α + E_n+1 = 1/Γ(1-α) ∑_m=0^n (U(z,tn+1) - U(z,tm)) Δt

稳定性分析
在本文中，我们使用傅里叶（von Neumann）方法分析了所提出的混合UHP B样条配置方案[15][31]的稳定性。Duhamel原理[32]指出，非齐次问题的稳定性分析等同于后续齐次问题的稳定性分析。因此，为简化问题且不失一般性，我们假设f=0。通过将U_z视为局部常数k1，对UU_z项进行了线性化。

收敛性分析
所提方案的收敛性分析按照[27][33][34][35]提供的框架进行。
引理1
设{H^-1,4,H_0,4,…,HM+1,4}是在区间[zi,zi+1]内定义的四阶UHP B样条基函数集合，满足不等式∑_i=-1^M+1 |Hi,4(z)| ≤ 2 + 4λ，对所有z∈[a,b]成立。其中(0<λ<1)是对于小δz的正常数。
证明
由于|∑_i=-1^m+1 |hi,4(z)| ≤ ∑_i=-1^m+1 |hi,4(z)|。
在任何节点zi处，我们有∑_i=-1^m+1 |hi,4(zi)| = |hi^-1,4(zi)| + |hi,4(zi)| + |hi+1,4(zi)|。

数值结果与讨论
在本节中，我们对一组四个测试问题在不同的参数值下对tfnbe进行了数值研究。数值计算使用matlab 2023a在配备snapdragon x plus x1p-42-100处理器的个人计算机上进行，处理器时钟速度为3.34 ghz。通过l2和l∞误差范数计算了所提方法的适应性和准确性。

结论
本研究提出了一种高效的方法，用于求解分数阶和整数阶的caputo tfnbe。时间分数阶导数采用l1方法处理，非线性项的线性化采用了rubin和graves开发的拟线性化技术。该方案的稳定性得到验证，证明是无条件稳定的。理论和数值结果表明，所提方法具有二阶空间和时间收敛率。

作者贡献声明
桑尼·库马尔：撰写——原始草稿、可视化、概念化。
拉奇娜·巴蒂亚：撰写——审稿与编辑、监督、研究、形式分析。
马赫什瓦尔·帕塔克：撰写——审稿与编辑、监督、研究。
苏珊·伊什瓦里亚a.：可视化、验证。

资金
本研究没有外部资助。

利益冲突声明
作者声明没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文的工作。

致谢
本文作者衷心感谢匿名审稿人和编辑的宝贵意见和建设性建议，这些意见显著提高了本文的有效性和相关性。 证明 由于|∑_i=-1^M+1 |hi,4(z)| ≤ ∑_i=-1^M+1 |hi,4(z)|。 在任何节点zi处，我们有∑_i=-1^M+1 |hi,4(zi)|=|Hi^-1,4(zi)| + |hi,4(zi)| + |hi+1,4(zi)|。 数值结果与讨论 在本节中，我们对一组四个测试问题在不同的参数值下对tfnbe进行了数值研究。数值计算使用matlab 2023a在配备snapdragon x plus x1p-42-100处理器的个人计算机上进行，处理器时钟速度为3.34 ghz。通过l2和l∞误差范数计算了所提方法的适应性和准确性。 结论 本研究提出了一种高效的方法，用于求解分数阶和整数阶的caputo tfnbe。时间分数阶导数采用l1方法处理，非线性项的线性化采用了rubin和graves开发的拟线性化技术。该方案的稳定性得到验证，证明是无条件稳定的。理论和数值结果表明，所提方法具有二阶空间和时间收敛率。 作者贡献声明 桑尼·库马尔：撰写——原始草稿、可视化、概念化。 拉奇娜·巴蒂亚：撰写——审稿与编辑、监督、研究、形式分析。 马赫什瓦尔·帕塔克：撰写——审稿与编辑、监督、研究。 苏珊·伊什瓦里亚a.：可视化、验证。 资金 本研究没有外部资助。 利益冲突声明 作者声明没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文的工作。 致谢>证明
由于|∑_i=-1^m+1 |hi,4(z)| ≤ ∑_i=-1^m+1 |hi,4(z)|。
在任何节点zi处，我们有∑_i=-1^m+1 |hi,4(zi)| = |hi^-1,4(zi)| + |hi,4(zi)| + |hi+1,4(zi)|。

数值结果与讨论
在本节中，我们对一组四个测试问题在不同的参数值下对tfnbe进行了数值研究。数值计算使用matlab 2023a在配备snapdragon x plus x1p-42-100处理器的个人计算机上进行，处理器时钟速度为3.34 ghz。通过l2和l∞误差范数计算了所提方法的适应性和准确性。

结论
本研究提出了一种高效的方法，用于求解分数阶和整数阶的caputo tfnbe。时间分数阶导数采用l1方法处理，非线性项的线性化采用了rubin和graves开发的拟线性化技术。该方案的稳定性得到验证，证明是无条件稳定的。理论和数值结果表明，所提方法具有二阶空间和时间收敛率。

作者贡献声明
桑尼·库马尔：撰写——原始草稿、可视化、概念化。
拉奇娜·巴蒂亚：撰写——审稿与编辑、监督、研究、形式分析。
马赫什瓦尔·帕塔克：撰写——审稿与编辑、监督、研究。
苏珊·伊什瓦里亚a.：可视化、验证。

资金
本研究没有外部资助。

利益冲突声明
作者声明没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文的工作。

致谢
本文作者衷心感谢匿名审稿人和编辑的宝贵意见和建设性建议，这些意见显著提高了本文的有效性和相关性。>