利用模型阶数降维技术实现对温度敏感的紧凑型伺服控制系统建模

《Microprocessors and Microsystems》：Temperature-aware compact SER modeling using model order reduction

　　帕夫洛斯·斯托伊科斯（Pavlos Stoikos）| 奥林匹亚·阿克塞洛乌（Olympia Axelou）| 佩洛皮达斯·祖马尼斯（Pelopidas Tsoumanis）| 乔治奥斯-伊奥安尼斯·帕利亚鲁蒂斯（Georgios-Ioannis Paliaroutis）| 路易吉·迪利洛（Luigi Dilillo）| 阿努杰·帕塔尼亚（Anuj Pathania）| 乔治·弗洛罗斯（George Floros）
希腊沃洛斯（Volos）塞萨利大学（University of Thessaly）电气与计算机工程系

**摘要**
由电离辐射引起的软错误是当代半导体技术中的一个主要可靠性问题，尤其是在航空航天、汽车和高性能计算应用中。随着技术的不断进步，工作电压的降低和节点电容的减小显著增加了集成电路对辐射诱导电荷积累的敏感性。尽管基于物理的扩散-积累模型能够准确揭示软错误背后的机制，但其数值解会导致大规模动态系统的产生，这在计算上非常耗时，尤其是在温度等运行条件变化时。在这项工作中，我们通过将温度依赖的电荷传输纳入参数化模型降阶（MOR）框架来扩展紧凑的软错误率（SER）建模。从扩散-积累方程出发，通过关键物理参数明确引入温度依赖性，从而得到一个温度参数化的状态空间表达式。为了有效处理温度变化，我们提出了一种基于扩展克里洛夫子空间（EKS）与矩匹配（MM）的高效参数化模型降阶（PMOR）方法，该方法能够提取出在一系列运行温度下仍然保持准确性的降阶模型。所提出的参数化降阶模型显著降低了计算复杂性，同时保留了温度依赖电荷积累动态的真实性。在大型三维基准测试上的实验评估表明，与全阶模拟相比，降阶模型实现了显著的速度提升，并且在所检测的温度范围内保持了高精度。这些结果表明，所提出的方法能够快速可靠地进行温度感知的SER估计，使其适用于现实运行条件下的大规模可靠性分析。

**1. 引言**
CMOS技术持续向深纳米节点发展，显著提高了集成电路对辐射诱导软错误的敏感性。这些瞬态故障主要由来自宇宙辐射和地面源的高能粒子触发，在现代电子系统中构成了严重的可靠性挑战[1]。航空航天、汽车电子和高性能计算应用尤其受到影响，因为软错误可能损害功能正确性和系统安全性。由于供电电压和节点电容的持续降低，破坏电路节点所需的临界电荷减少，从而增加了错误发生的可能性。因此，准确高效的软错误率（SER）估计已成为设计和验证可靠半导体设备和系统的基本要求[2]。

更具体地说，当高能粒子与半导体设备相互作用时，会引发一系列物理过程，最终可能导致软错误[3]。当粒子穿过材料时，它会沿路径沉积能量，通过电离产生密集的电子-空穴对。生成后，部分载流子会复合，而剩余的电荷则通过漂移和扩散机制传输到附近的敏感区域。这种传输过程的特点强烈依赖于工作温度，这直接影响载流子的迁移率、扩散系数和复合速率。因此，温度变化会显著改变产生的瞬态电流的形状和持续时间。在存储单元中，这些瞬态可能导致位翻转；而在逻辑电路中，它们表现为可以通过组合路径传播并被顺序元件捕获的单事件瞬态（SETs）[2]。因此，准确建模这些辐射诱导效应（特别是通过求解控制扩散方程）对于全面的可靠性分析至关重要。

尽管已经开发了几种基于物理的技术来准确模拟辐射诱导的电荷传输，但它们的计算需求限制了它们在大规模半导体系统中的应用。依赖于矩阵指数形式的解析方法可以为扩散方程提供精确解，但随着离散三维域大小的增加，其复杂性急剧上升，导致内存使用和运行时间大幅增加[4]。当考虑温度效应时，这一限制变得更加明显，因为温度依赖的传输参数会改变系统动态，通常需要为每个运行点重新计算解。另一种方法是随机游走漂移-扩散（RWDD）方法，通过跟踪大量载流子来近似电荷积累，但它们受到大量的粒子跟踪开销和统计噪声的影响，需要广泛的平均处理才能达到可接受的精度[5]。温度变化通过改变载流子的迁移率和复合行为进一步加剧了这些问题，增加了收敛所需的粒子数量和模拟次数。因此，基于矩阵指数的解析技术和RWDD方法在复杂半导体几何形状中进行温度感知的SER分析时面临显著的可扩展性挑战。

模型降阶（MOR）技术最近作为一种有效的替代方案出现，通过显著降低基于扩散的电荷传输系统的维度来加速基于物理的SER建模，同时保留其主要动态特性。通过将大规模离散的扩散方程投影到低维子空间，MOR能够快速准确地评估瞬态电流和积累的电荷，非常适合大型三维半导体几何形状[6][7]。然而，现有的基于MOR的SER模型通常是针对一组固定的物理参数和运行条件构建的。当引入温度变化时，如扩散系数和载流子寿命等关键传输参数会发生变化，从而产生一组温度依赖的系统矩阵。在本文中，我们提出了一种温度感知的PMOR方法，用于高效估计基于扩散的电荷积累模型中的SER。本文的关键贡献如下：首先，我们通过将温度依赖性明确纳入电荷传输参数来扩展基于物理的扩散-积累公式，得到一个温度参数化的大规模状态空间表示；其次，我们开发了一种基于扩展克里洛夫子空间（EKS）[8]投影与矩匹配（MM）相结合的PMOR方法，能够提取出在一系列运行温度下准确捕捉电荷扩散和积累动态的紧凑降阶模型，而无需在每个温度点重复降阶；最后，实验结果表明，与原始模型相比，我们的方法实现了超过270倍的速度提升，在所有测试案例中相对误差低于1%。

**2. 基于物理的SER建模**
2.1. 电离粒子相互作用的基础
在地面和太空环境中运行的电子设备不断暴露于宇宙射线和高能粒子的作用下。当这些粒子与半导体材料（通常是硅）相互作用时，可能会引发故障。根据入射粒子的能量和类型，这种相互作用可能导致软错误（即电路操作或存储状态的暂时中断）或硬错误（即永久性损坏，如单事件锁存（SEL）[1]。航空航天、汽车电子和高性能计算应用尤其受到影响，因为软错误可能危及功能正确性和系统安全性。随着供电电压和节点电容的持续降低，这一问题变得更加严重，因为这降低了破坏电路节点所需的临界电荷，从而增加了错误发生的可能性。因此，准确高效的软错误率（SER）估计已成为设计和验证可靠半导体设备和系统的基本要求[2]。

当高能粒子与半导体设备相互作用时，会引发一系列物理过程，最终可能导致软错误[3]。随着粒子穿过材料，它会在路径上沉积能量，通过电离生成密集的电子-空穴对。生成后，部分载流子会复合，而剩余的电荷则通过漂移和扩散机制传输到附近的敏感区域。这种传输过程的特点强烈依赖于工作温度，这直接影响载流子的迁移率、扩散系数和复合速率。因此，温度变化会显著改变产生的瞬态电流的形状和持续时间。在存储单元中，这些瞬态可能导致位翻转；而在逻辑电路中，它们表现为可以通过组合路径传播并被顺序元件捕获的单事件瞬态（SETs）[2]。因此，准确建模这些辐射诱导效应（特别是通过求解控制扩散方程）对于跨设备、电路和系统的全面可靠性分析至关重要。

已经开发了几种基于物理的技术来准确模拟辐射诱导的电荷传输，但它们的计算需求限制了它们在大规模半导体系统中的应用。依赖于矩阵指数形式的解析方法可以为扩散方程提供精确解，但随着离散三维域大小的增加，其复杂性急剧上升，导致内存使用和运行时间大幅增加[4]。当考虑温度效应时，这一限制变得更加明显，因为温度依赖的传输参数会改变系统动态，通常需要为每个运行点重新计算解。另一种方法是随机游走漂移-扩散（RWDD）方法，通过跟踪大量载流子来近似电荷积累，但它们受到大量的粒子跟踪开销和统计噪声的影响，需要广泛的平均处理才能达到可接受的精度[5]。温度变化还会通过改变载流子的迁移率和复合行为来加剧这些问题，增加收敛所需的粒子数量和模拟次数。因此，基于矩阵指数的解析技术和RWDD方法在复杂半导体几何形状中进行温度感知的SER分析时面临显著的可扩展性挑战。

模型降阶（MOR）技术最近作为一种有效的替代方案出现，通过显著降低基于扩散的电荷传输系统的维度来加速基于物理的SER建模，同时保留其主要动态特性。通过将大规模离散的扩散方程投影到低维子空间，MOR能够快速准确地评估瞬态电流和积累的电荷，非常适合大型三维半导体几何形状[6][7]。然而，现有的基于MOR的SER模型通常是针对一组固定的物理参数和运行条件构建的。当引入温度变化时，如扩散系数和载流子寿命等关键传输参数会发生变化，从而产生一组温度依赖的系统矩阵。在本文中，我们提出了一种温度感知的PMOR方法，用于高效估计基于扩散的电荷积累模型中的SER。本文的关键贡献如下：首先，我们通过将温度依赖性明确纳入电荷传输参数来扩展基于物理的扩散-积累公式，得到一个温度参数化的大规模状态空间表示；其次，我们开发了一种基于扩展克里洛夫子空间（EKS）[8]投影与矩匹配（MM）相结合的PMOR方法，能够提取出在一系列运行温度下准确捕捉电荷扩散和积累动态的紧凑降阶模型，而无需在每个温度点重复降阶；最后，实验结果表明，与原始模型相比，我们的方法实现了超过270倍的速度提升，在所有测试案例中相对误差低于1%。

**2.2. 基于物理的SER建模**
2.2.1. 电离粒子相互作用的基础
在地面和太空环境中运行的电子设备不断暴露于宇宙射线和高能粒子的作用下。当这些粒子与半导体材料（通常是硅）相互作用时，可能会引发故障。根据入射粒子的能量和类型，这种相互作用可能导致软错误（即电路操作或存储状态的暂时中断）或硬错误（即永久性损坏，如单事件锁存（SEL）[1]。高能粒子撞击硅设备时，会沿其路径通过直接和间接电离沉积一定量的电子-空穴对（图1）。生成的部分电荷可能在生成后不久就复合。剩余的电荷则通过相邻敏感区域（如p-n结）的电场传输和积累。最初，快速漂移电流流向收集节点。在此阶段，耗尽区扩展到硅中，形成一个漏斗，增强电荷积累。最后，较慢的扩散过程在粒子撞击后完成电荷积累[9]。

**2.3. 三维中的扩散方程离散化**
求解方程（3）的常见方法涉及用步长Δx、Δy和Δz离散化三个空间坐标。三维中的扩散方程最初写为：
(5)
?δn(r,t)
?t
?δn(r,t)
τ = D??2δn(r,t)

通过使用中心有限差分近似二阶导数，我们得到以下表达式，表示每个离散点（i,j,k）及其相邻点的对数：
(6)
dδni,j,k/dt = D?(δni+1,j,k ? 2δni,j,k + δni,j+1,k ? 2δni,j,k + δni,j,k?1,kΔx2 + δni,j,k+1?2δni,j,k + δni,j,k?1Δy2 + δni,j,k+1?2δni,j,k+δni,j,k?1Δz2) + δni,j,kτ

这种离散化过程产生了一组常微分方程（ODE）：
(7)
δn?(t) = Aδn(t)

其中A∈R?×n，单个网格点（i,j,k）的相应矩阵元素定义为：
A(i,j,k) = ?2D?Δx2 + D?Δy2 + D?Δz2 + 1τ
对于其六个最近邻居：
A(i+1,j,k), (i,j,k) = A(i?1,j,k), (i,j,k) = D?Δx2
A(i,j+1,k), (i,j,k) = A(i,j?1,k), (i,j,k) = D?Δy2
A(i,j,k+1), (i,j,k) = A(i,j,k?1), (i,j,k) = D?Δz2

此外，为了纳入外部电荷注入项Bu(t)，我们将方程（7）定义为以下线性时不变（LTI）系统：
(8)
δn?(t) = Aδn(t) + Bu(t)

其中B∈R?×p指定外部源u(t)注入电荷的空间位置，u(t)表示外部电荷生成函数。外部电荷生成函数u(t)给出为：
(9)
u(t) = δn?(t)
0 ≤ t ≤ T

**2.4. 温度依赖的电荷传输模型**
在现实运行条件下，半导体设备会经历温度变化，这直接影响辐射诱导的电荷传输[11]。为了捕捉这种效应，我们通过将温度依赖性明确引入关键传输参数来扩展扩散-积累模型，同时保留原始公式和符号。温度主要通过影响载流子的迁移率和复合机制来影响电荷传输。特别是，电子和空穴的扩散系数Dp和Dn变得温度依赖，并可以通过爱因斯坦关系表示为：
(10)
Dn,p(T) = μn,p(T)kTq
其中μn(T)和μp(T)分别表示温度依赖的电子和空穴迁移率，k是玻尔兹曼常数，q是基本电荷（如前一小节所述）。扩散与迁移率之间的爱因斯坦关系在半导体传输建模中是标准的，反映了热能与载流子运动之间的基本联系[12]。因此，(4)中定义的双极扩散系数成为温度的函数：
(11)
D?(T) = 2Dn(T)Dp(T)Dn(T) + Dp(T)

此外，由于复合速率的变化，载流子寿命也依赖于温度，因此建模为：
(12)
τ = τ(T)

因此，通过纳入这些依赖性，扩散-积累方程写为：
(13)
?δn(r,t)
?t
?δn(r,t)
τ(T) = D?(T)?2δn(r,t)

其中δn(r,t)表示如前所述的过剩载流子浓度。尽管控制方程的数学形式保持不变，但其系数现在随温度变化，改变了空间扩散率和生成电荷的时间衰减。

根据第2.3节描述的空间离散化，D?(T)和τ(T)的温度依赖性直接传播到离散系统公式中。特别是，结果系统矩阵的所有系数都通过这些参数继承了它们的温度依赖性。因此，虽然系统矩阵的稀疏模式和结构属性保持不变，但其条目的数值随运行温度连续变化。更具体地说，系统矩阵的对角线条目（表示每个离散点处的载流子复合和扩散损失）取决于D?(T)和τ(T)。与最近邻居相互作用相关的非对角线耦合项与D?(T)成比例变化。

为了符号紧凑，离散三维域中的每个网格点（i,j,k）都与一个唯一的状态索引（? = i+Nxj+NyNz）相关联，其中Nx和Ny分别表示x和y方向的离散点数量，?∈{1,…,n}，n=NxNyNz。在这种表示下，温度依赖系统矩阵的对角线条目给出为：
(15)
A?,?(T) = ?2D?(T)Δx2 + D?(T)Δy2 + D?(T)Δz2 + 1τ(T)

与最近邻居相互作用相关的非对角线条目定义为：
(16)
A?′,?(T) = D?(T)Δx2,?′∈Nx(?), D?(T)Δy2,?′∈Ny(?), D?(T)Δz2,?′∈Nz(?)

因此，离散的扩散-积累模型产生了一个温度参数化的状态空间表示：
(17)
δn?(t) = A(T)δn(t) + Bu(t)

这表示了一组由运行温度索引的大规模线性时不变系统。由于瞬态电流、收集的电荷以及由此产生的SET都是从该系统的解中得出的，因此温度变化会直接影响SER的估计。由于线源离子化粒子在敏感节点处收集的电荷可以表示为在不同时间发生的多个离散点电荷，因此可以将其建模为各个点电荷贡献的总和：(18) Icol(r,t) = qASvcol ∑j=1M δn(r,tj)，其中AS是敏感漏区面积，vcol是空间电荷区域中的平均载流子速度，M是沿线源的离散点电荷数量，tj是它们各自的到达时间[4]，[13]。然后通过对电流进行时间积分来获得总收集的电荷：(19) Qcol(r,t) = ∫0t Icol(r,t′) dt′。对于使用离散时间步长的数值近似，积分变为求和：(20) Qcol(r,t) ≈ ∑i=1N Icol(r,ti) Δti。根据Hazucha和Svensson提出的模型[14]，SER与临界电荷Qcrit和收集电荷Qcol的比率呈指数关系：(21) SER ∝ Nflux?Aeff?e?Qcrit/Qcol。从这个模型中可以得出两种操作模式：• 如果Qcol?Qcrit，则SER→0，表明软错误概率可以忽略不计。• 如果Qcol≥Qcrit，则软错误概率会急剧上升，特别是在Qcrit较低的比例缩放技术中。该模型捕捉了沿轨迹（线源）发生的多次电离事件及其对电荷收集和错误率的累积影响，在先进的CMOS技术中尤为重要。这项工作的主要目的是高效评估由粒子撞击产生的电流脉冲和收集的电荷，以替代TCAD模拟。使用TCAD进行辐射模拟需要构建3D器件几何结构，并使用内置模型沿预定义的轨迹在器件内沉积电荷，同时线性能量转移（LET）决定了撞击的强度。为了准确分析电荷动态，特别是在离子轨迹和电荷收集区域附近，需要精细的空间离散化。在3D域中进行这种精细网格划分会导致模拟时间增加，特别是当考虑多个参数（如温度）时。模拟时间还受到瞬态分析持续时间和求解器配置的影响，后者需要较小的时间步长来准确捕捉快速的电荷生成动态。由于这些因素，当必须检查多种撞击条件和器件配置时，TCAD模拟变得不切实际。这一观察结果促使人们使用能够准确捕捉温度依赖系统行为的有效PMOR技术[15]，如下一节所述。

3. 紧凑型SER模型
3.1. MM概述
对于方程(8)中定义的LTI系统，MOR的目标是创建一个简化模型：(22) δn??(t) = A?δn?(t) + B?u(t)，y?(t) = L?δn?(t)，其中A?∈Rr×r，B?∈Rr×p，L?∈Rp×r，且r?n。注意L表示在接触点收集的电荷。通过对系统应用拉普拉斯变换并假设初始条件Δn(0)=0以及脉冲响应U(s)=1，系统可以重写为：(23) (sI?A)Δn(s) = B，Y(s) = LΔn(s)。考虑X(s)在零点附近的泰勒级数展开，即方程(8)的传递函数H(s) = L(sI?A)?1B，可以按其矩展开如下：(24) H(s) = M0 + M1s + M2s2 + M3s3 + ?，其中M0、M1、M2、M3等代表传递函数的矩。一般来说，Mi与系统矩阵的关系为：(25) Mi = L(A?1)iA?1B。MM技术的目标是创建一个降阶模型（ROM），其中降阶传递函数H?(s)的某些矩M?i与原始传递函数H(s)的相应矩对齐。
3.2. EKS子空间
为了生成降阶模型，MM方法计算一个迭代投影子空间并将原始系统投影到该子空间中进行提取。具体来说，对于一个r阶的降阶模型，以及矩的数量k=rp，矩阵V∈Rn×r（r?n）是跨越k维Krylov子空间的投影矩阵：(26) range(V) = span{BE, AEBE, AE2BE, …, AEr?1BE}，其中(27) AE≡A?1，BE≡A?1B，然后计算相应的ROM如下：(28) A?=V?AV，B?=V?B，L?=LV，其中A?∈Rr×r，B?∈Rr×p，L?∈Rq×r。降阶过程本身不依赖于子空间的选择方式，但其成功与否主要取决于所选的子空间。为此，可以使用EKS子空间，特别是因为围绕多个展开点确定降阶模型缺乏统一的方法，并且因不同问题条件而异。EKS结合了之前描述的标准Krylov子空间和从A?1导出的逆Krylov子空间。因此，投影子空间可以如下计算：(29) range(V) = span{BE, AE?1BE, AEBE, …, AE?r/2BE}。最后，可以使用任何Arnoldi程序计算投影矩阵V∈Rn×r，该矩阵跨越方程(29)中定义的EKS子空间。具体来说，计算从[BE, AE?1BE]开始，并通过交替应用矩阵AE和AE?1来迭代扩展EKS子空间，直到达到“预先选定的”矩。下载：下载高分辨率图像（235KB）下载：下载全尺寸图像
更具体地说，所提出的过程如算法1所示。特别是，EKS的构建使用修改后的Arnoldi程序，该程序交替应用矩阵AE和AE?1到当前基向量，以丰富生成的子空间。从步骤1中的初始块[BE, AE?1BE]开始，算法通过乘以AE或AE?1迭代扩展EKS，具体取决于迭代索引j（步骤7–13）。这种交替确保了大规模模型的正向和逆向动态都被纳入子空间。在每次迭代中，新的候选块向量使用修改后的Gram–Schmidt过程相对于所有先前计算的基向量进行正交化（步骤15–19），然后通过QR分解进行正交归一化（步骤20）。最后，在步骤24中，一旦达到目标迭代次数，就截断基向量，只保留前r列，从而得到最终的投影矩阵V。值得注意的是，通过EKS子空间构建的ROM只需计算一次。ROM适用于分析不同的输入激励（例如，不同的粒子撞击位置或能量），从而无需每次重复降阶过程即可高效地进行跨多种场景的瞬态模拟。
3.3. 用于温度依赖SER模型的PMOR实现
所提出的PMOR方法的目标是构建一个紧凑的降阶模型，该模型能够准确捕捉在指定温度范围内的扩散-收集动态，而无需对每个温度实例重复进行模型降阶。如第2.4节所述，离散化的扩散-收集模型允许使用形式为(30) δn?(t) = A(T)δn(t) + Bu(t)的状态空间表示，其中温度依赖性通过双极扩散系数D?(T)和载流子寿命τ(T)体现。尽管A(T)的稀疏模式保持不变，但其数值条目随温度连续变化。为了应用基于投影的PMOR技术，系统矩阵使用温度相关的仿射分解来表示。具体来说，温度依赖的系统矩阵可以写为：(31) A(T) = D?(T)L+1τ(T)I，其中L表示来自扩散模板的温度无关的离散拉普拉斯矩阵，I是对应于载流子复合效应的单位矩阵。温度依赖性仅通过标量系数函数D?(T)和τ(T)进入模型，而矩阵结构保持不变。因此，系统允许使用以下形式的仿射参数表示：(32) A(T) = θ1(T)A1 + θ2(T)A2，其中(33) θ1(T) = D?(T)，θ2(T) = 1/τ(T)，A1=L，A2=I。基于采样的PMOR策略总结在算法2中。在步骤3中，在感兴趣的操作温度范围内选择一组温度样本{T(1), T(2), …, T(K)}。然后在步骤5-9中，对于每个采样的温度T(k)，通过将算法1应用于相应的系统矩阵A(k)来构建局部降阶基Vk。在每个温度样本处获得的局部投影基被连接起来，然后进行正交归一化（步骤10），形成全局投影矩阵V=orth[V1, V2, …, VK]。这个全局基捕捉了整个温度范围内的主导扩散-收集行为，消除了显式多参数矩展开的需要。在步骤11-13中，通过将系统矩阵的仿射分量投影到全局子空间A?1=V?A1V，A?2=V?A2V以及输入矩阵B?=V?B来获得降阶参数模型。所提出的框架基于仿射温度分解和上述基于EKS的PMOR程序，能够构建在宽温度变化范围内保持准确的紧凑型SER模型。降阶过程仅在模型生成时执行一次，之后可以高效地评估多个温度场景的降阶模型，非常适合大规模可靠性分析和基于蒙特卡洛的SER估计。

4. 实验结果
为了评估所提出的PMOR方法在电离辐射下的SER估计，我们构建了一组五个三维基准测试。每个基准测试对应于在均匀网格上离散化的硅基板，并由其物理体积、离散化步长、接触（收集）面积以及电荷沉积路径与敏感区域之间的最小距离来表征。接触区域模拟了电荷收集区域，例如MOSFET的漏极或存储单元中的结节点，并被建模为嵌入在基板内的矩形表面。根据典型的VLSI PVT（工艺-电压-温度）验证实践，所有基准测试都在从-25°C到150°C的宽温度范围内进行评估，涵盖了汽车、工业和高可靠性电子系统中常见的冷、标称和高温操作条件[16]。这个温度范围涵盖了最佳和最差的操作场景，使得在真实的热条件下进行稳健的SER评估成为可能。基准测试几何形状的多样性，无论是空间范围还是离散化分辨率，都允许系统地评估所提出的PMOR框架在不同系统规模上的表现。模拟基板的尺寸从小而紧凑的域到具有较大体积实例不等，电荷注入与敏感区域之间的间距也有所不同。虽然这些配置不是直接从物理IC布局中得出的，但它们旨在探索可以隐式反映实际半导体几何形状中的尺寸的更广泛的设计空间。特别是，接触面积的范围从亚微米特征（0.1μm2）到较大的收集区域（高达1.8μm2）。表1总结了本研究中使用的每个基准测试的详细特性，包括相应的温度范围。尽管整个研究考虑了从-25°C到150°C的宽温度范围，但个别基准测试在该范围内的子范围内进行评估，如表1所示。具体来说，较小的基准测试（B1–B2）在较低温度下进行评估，而较大的基准测试（B3–B5）在较高温度下进行评估。这种选择减少了计算成本，同时仍然能够捕捉整个温度范围内的代表性操作条件。电离粒子被建模为长度可变的连续能量沉积线（轨迹）。使用所提出的PMOR方法解决了方程(13)中的高维状态空间系统。对于每个基准测试，离线生成一个单一的降阶参数模型，然后在跨越整个温度范围的多个仿真场景中重复使用。这些场景涉及能量沉积剖面和粒子轨迹的空间位置的系统变化，而不需要为不同的热操作点额外进行模型降阶步骤。所有实验都在Matlab 2024.1中使用内置的数值分析包实现。仿真在具有32 GB内存和4.7 GHz Intel Core i9-9900k处理器（支持16个线程）的Windows工作站上执行。对于每个基准测试，都使用了完整模型和降阶模型来计算敏感节点处的收集电荷，并收集了包括运行时间和相对误差在内的性能指标。

表1. 带有空间、电荷注入和温度特性的仿真基准测试。
基准测试 体积（μm3） 接触面积（μm2） 距离（μm） 轨迹长度（μm） 温度范围（°C）
B1 1×1 0.05 0.1 0.7 [-25, 25]
B2 2×2 0.08 0.2 1.3 1.5 [-25, 25]
B3 4×4 0.1 0.5 2.2 3.0 [25, 150]
B4 6×6 0.1 1.2 3.6 5.0 [25, 150]
B5 10×10 0.1 1.8 1.5 5.2 7.0 [25, 150]
表2总结了所提出的基于PMOR EKS的降阶模型在五个大型3D基准测试中的运行时间和准确性性能。原始系统的阶数从8000（基准测试B1）到大约230000（基准测试B5），原始模型的运行时间相应地从几十毫秒增加到超过18秒。通过应用所提出的PMOR框架，所有基准测试都实现了超过99.68%的高降阶率，生成的降阶模型阶数从25到68不等。一个参数化的降阶模型离线生成，随后在从冷到热的代表性温度操作点上进行评估，有效地覆盖了最佳到最差的热场景。对于仿真阶段，每个基准测试的行为都在其对应的温度范围内选择一个代表性的温度值进行评估。PMOR降阶模型实现了显著的计算节省，仿真加速因子从最小基准测试的约14倍到最大基准测试的超过270倍不等。同时，相对误差在所有情况下都保持较低水平，始终低于10^-2，甚至达到了10^-5的数值。总体而言，这些结果表明所提出的PMOR方法在准确性和计算效率之间取得了有效的平衡，能够在不同的热操作条件下快速可靠地对大规模3D几何结构进行SER模拟。表2显示了原始模型和PMOR简化模型在大规模3D基准测试中的运行时间和准确性比较。

| 基准测试 | 原始模型 | PMOR模型 | 基于EKS的模型 | 模拟加速倍数（×） | 相对误差（%） |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| B1 | 800 | 0.058 | 259 | 9.68 | 80.6 | 10^-2 |
| B2 | 156 | 0.149 | 329 | 9.79 | 51.47 | 0.00 | 17.00 |
| B3 | 640 | 0.121 | 369 | 9.94 | 22.28 | 0.00 | 30.00 |
| B4 | 105 | 0.286 | 345 | 9.95 | 79.35 | 0.00 | 100.00 |
| B5 | 237 | 18.16 | 268 | 9.97 | 116.20 | 0.06 | 271 |

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图2显示了在t=6ps时，基准测试B4中xy平面（z=0）上的电荷分布散点图，比较了名义工作温度（27°C）和接近最坏情况的热条件（135°C）。电荷由一个线性输入源沉积，该源包含25条轨迹，每条轨迹包含3000个电子。总轨迹长度为5μm，源位于距离接触区域3.6μm处。图2展示了电荷沉积的几何结构以及基准测试B4的电荷分布结果。电离粒子被建模为从顶表面进入基板的连续源线，并沿着长度为5μm的直线轨迹均匀沉积电荷。接触区域用红色标出，位于轨迹的横向偏移位置3.6μm处。下方面板显示了在t=6ps时，两种工作温度下的xy平面电荷分布散点图，分别对应于名义情况（27°C）和接近最坏情况（135°C）。尽管初始电荷沉积几何结构相同，但比较突出了温度对电荷向接触区域扩散的影响，这直接影响了收集到的电荷量。这种扩散过程对于判断是否有足够的电荷到达敏感节点以触发软错误事件至关重要。

为了评估所提出的PMOR模型的准确性，图3展示了在t=6ps时基准测试B4的载流子密度热图，比较了原始模型和PMOR模型在名义（27°C）和接近最坏情况（135°C）温度条件下的结果。等高线图显示了xy平面上的平滑扩散剖面，并标注了两个模型在选定离散化节点处的载流子密度。原始模型值（用黑色显示）与相应的PMOR预测值（用蓝色显示）在所有标注点上的高度一致，证明了该方法在不同热条件下的高准确性。

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图3显示了在t=6ps时，基准测试B4中xy平面（z=0）上电荷扩散受温度影响的载流子密度图。结果展示了名义（27°C）和接近最坏情况（135°C）的温度条件。标注的值对应于选定离散化节点处的载流子密度，原始模型结果用黑色显示，提出的PMOR模型预测结果用蓝色显示。

为了进一步研究电离轨迹与敏感节点之间的空间接近性对电荷收集的影响，我们检查了基准测试B3的多种配置，其中轨迹与接触区域之间的距离从完全重叠（0μm）变化到2.2μm。该实验在固定工作温度50°C下进行。如图4所示，“原始”曲线对应于全阶扩散模型，而“简化”曲线是使用所提出的PMOR降阶模型获得的。两组曲线几乎完全重叠，表明简化模型准确再现了原始系统的瞬态电荷收集动态。两种模型之间的偏差可以忽略不计，始终低于1%，这与表2中报告的总体误差水平一致。当离子轨迹与接触区域相交时，收集到的电荷达到最大值，表明电荷收集效率最高。这种情况的特点是初始上升较陡峭，收集到的电荷饱和速度较快，反映了电荷生成区域与敏感节点之间的强空间耦合。随着轨迹与接触区域之间的距离增加，由于横向扩散和复合损失的增强，收集到的电荷峰值和收集速率都持续下降。特别是，零偏移配置下的收集电荷峰值大约是最远偏移情况（2.2μm）的六倍，这突显了电荷收集对空间对齐的强烈依赖性。尽管在典型工作条件下直接重叠的可能性较小，但其分析对于辐射加固设计至关重要，因为在辐射加固设计中识别极端电荷收集事件对于制定稳健的防护策略是必要的。

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图4显示了在T=50°C时，基准测试B3在离子轨迹与接触区域之间不同距离（0, 0.5, 1.0, 1.3, 1.7, 和 2.2μm）下接触区域收集到的电荷量。

5. 结论

在本文中，我们提出了一种新的温度感知型PMOR方法，以解决先进半导体器件中SER估计的计算挑战。通过结合EKS投影和MM技术，我们开发了一个框架，该框架在保持准确性的同时降低了线源诱导电荷传输模型的维度。实验结果表明，与全阶模型相比，我们的方法实现了高达271倍的加速，并且所有基准测试的相对误差均小于1%，使得大规模系统的SER分析成为可能。

尽管目前的工作主要集中在器件级别的电荷传输及其高效简化上，但所提出的温度感知型PMOR模型与电路级仿真流程直接兼容。特别是，降阶模型提供了敏感节点处的瞬态电流和收集到的电荷，这些可以作为等效电流源或紧凑的宏观模型集成到类似SPICE的仿真器中。这使得能够评估逻辑和存储电路中的SET传播和锁定行为。本工作中使用基板级基准测试允许对模型准确性和计算效率进行受控验证，同时保持了与高级电路可靠性分析的直接接口。