一种用于大规模紧密耦合线性天线阵列辐射模式预测的快速高效方法 魏建树、 徐鹏、 卢海涛、 蔡晓

《Sensors》：A Fast and Efficient Method for Radiation Pattern Prediction in Large-Scale Tightly Coupled Linear Antenna Arrays Jianshu Wei, Peng Xu, Haitao Lu and Xiao Cai

　　摘要 对于大规模紧密耦合的线性天线阵列来说，可靠且快速的辐射模式预测至关重要。强烈的相互耦合和有限阵列边缘效应限制了传统阵列因子方法的准确性，而全波仿真对于大型阵列来说在计算上变得不可行。为了解决这个问题，提出了一种快速高效的辐射模式预测方法（FERPP）。对于中心元素，其远场响应是从校准的参考阵列获得的，并通过位置依赖的相位补偿进行扩展。对于边缘元素，响应是从独立的局部全波仿真中提取的。所有元素的响应被组合成一个全局远场响应矩阵，从而可以使用扩展的最大功率传输效率方法直接合成辐射模式。使用1024个元素的线性微带贴片天线阵列在3.5 GHz频率下进行仿真，且元素间距较小时，其结果与全波仿真非常吻合。对于宽侧单波束情况，预测的峰值增益为29.10 dBi，而全波仿真结果为29.02 dBi。对于30°扫描波束，预测的峰值增益为28.22 dBi，全波仿真结果为28.99 dBi。对于在?30°、0°和30°等权配置的三波束情况，所提出的方法得到的峰值增益为23.87 dBi，而全波仿真结果为24.21 dBi。在计算效率方面，所提出的方法仅需要全波仿真所需计算时间的约1.8%。这些结果表明，所提出的FERPP方法为大规模紧密耦合的线性天线阵列的辐射模式预测和波束成形分析提供了一种实用且高效的解决方案。

1. 引言
大规模天线阵列在现代无线通信、雷达和传感系统中发挥着重要作用，因为它们提供了高增益、灵活的波束控制和空间选择性。相控阵天线的理论基础在经典文献中已经得到了很好的建立，其中系统地制定了阵列合成和波束指向的原理[1]。随着大规模和超大规模天线系统的快速发展，可靠且高效的建模和辐射模式预测变得越来越重要，特别是在大规模MIMO和未来的无线网络中[2]。在实际工程应用中，相控阵天线被广泛用于毫米波通信系统和太空平台。典型的例子包括用于5G毫米波应用的切换波束天线[3]、高效毫米波相控阵[4]以及用于雷达系统的低轮廓波束成形阵列[5]。有源相控阵也广泛应用于卫星有效载荷和基于太空的通信平台，这些地方需要高可靠性和灵活的波束控制[6,7,8]。在这些设计中，通常采用紧凑的元素间距以满足尺寸限制并提高集成密度。当元素间距变得非常小时，阵列元素之间的电磁相互作用显著增强。在有限阵列中，边缘元素经历的边界条件与内部元素不同，导致明显的边缘效应，这些效应强烈影响辐射特性[9]。在紧密耦合的阵列配置中，这个问题更加严重，因为相互耦合不能被忽略，传统的阻抗匹配技术可能变得无效[10]。在这种情况下，可靠的辐射模式预测成为阵列设计中的一个挑战性任务。

为了高效评估天线阵列的辐射特性，已经开发了几种分析方法，其中阵列因子方法因其简单性和低计算成本而被广泛使用[11]。通过将天线元素建模为理想点源，它可以快速估计模式，并且适用于电气尺寸适中且耦合较弱的阵列。然而，对于具有紧凑元素间距的大型有限阵列，强烈的相互耦合和边缘效应使得点源假设不再成立。由于这些效应没有包含在传统的阵列因子公式中，与全波仿真或测量相比，可能会出现明显的差异，特别是对于紧密耦合的阵列[12,13]。从数值角度来看，全波电磁仿真通过直接考虑相互耦合和边界效应，提供了对阵列行为的严格描述。早期的研究展示了针对大型有限微带天线阵列的快速全波分析技术[14]，随后在数值加速方法（如多层快速多极算法和域分解技术）方面的进步进一步扩展了大规模仿真的能力[15,16]。尽管如此，对于具有数百或数千个元素的阵列，计算成本仍然非常高，特别是在设计优化或激励调整期间需要重复仿真时。在分析电大阵列的散射和辐射时也遇到了类似的挑战[17,18]。

为了平衡建模精度和计算效率，基于有源元素模式（AEP）的方法被广泛采用，作为简化分析模型和全波仿真之间的中间方法。有源元素模式的概念被引入，通过将每个元素嵌入其实际的电磁环境中来考虑相互耦合效应[19]。后续研究检查了其在有限阵列中的行为，并证明了其在考虑耦合的辐射模式预测中的有效性[20]。最近的工作提出了用于估计平面阵列中有源元素模式的高效技术，从而更快地评估阵列辐射特性[21,22]。还开发了考虑耦合的快速合成和评估方法，以进一步提高效率同时保持可接受的准确性[23,24,25]。尽管有这些优点，传统的基于AEP的方法通常基于所有阵列元素经历相似电磁环境的假设，这通常由单个参考元素表示。在大型有限阵列中，这种假设的准确性较低，因为边缘元素在边界条件下的工作与中心元素显著不同。为了更好地表示大型阵列中的空间非均匀性，已经探索了基于不规则子阵列分区的区域建模方法[26]。此外，还开发了相关的波束合成和模式成形技术，用于多波束和形状波束阵列系统[27,28]。为了进一步提高预测性能，提出了基于分区的AEP方法，其中阵列被划分为不同的区域，并根据局部电磁环境为每个区域分配代表性的有源元素模式[29,30]。尽管这些方法优于单参考AEP模型，但分区方案和代表性元素的选择往往是经验性的，准确的模式提取可能仍然需要全阵列仿真或精心设计的子阵列[31]。因此，对于大规模紧密耦合的阵列来说，在预测保真度和计算效率之间取得良好的平衡仍然具有挑战性。

基于这些考虑，本工作专注于大规模紧密耦合的线性天线阵列的可靠且高效的辐射模式预测。所提出的方法与现有的基于AEP和基于分区的建模思想相关，因为它也利用了有限阵列中电磁环境的空间非均匀性。然而，它的区别不仅在于确定中心区域和边缘区域之间的边界。更重要的是，边界大小是通过收敛驱动的校准程序选择的，中心区域的响应是从紧凑的校准阵列获得的校准参考响应构建的，而边缘区域的响应是通过逐个元素的局部全波仿真明确建立的。通过这种方式，形成了一个适用于大规模紧密耦合线性阵列的位置依赖预测框架。通过结合紧凑的全波仿真和校准的场提取，所提出的方法与全波仿真结果非常吻合，同时显著降低了计算成本。因此，所提出的方法为大规模紧密耦合的线性天线阵列的辐射模式预测和波束成形分析提供了一种系统且物理上一致的解决方案。

2. 快速高效的辐射模式预测方法
2.1. 阵列分区策略和校准阵列构建
考虑一个具有m个辐射元素的大型有限线性天线阵列。在这样的阵列中，位于物理边界足够远的元素经历一个近似周期性的电磁环境，而位于阵列边界附近的元素则更强烈地受到位置依赖的边界效应的影响[12,13]。因此，每个元素的电磁响应取决于其在阵列中的位置，特别是在边界效应破坏周期性电磁环境的区域。基于这一观察，定义了一个边界区域，包括从阵列两端开始n个元素内的元素。n的值是通过给定工作频率和元素间距下的收敛驱动校准程序确定的，以确保超出此范围的耦合效应足够小。因此，阵列被划分为两个具有不同电磁特性的区域：中心区域，包含中间的m ? 2n个元素；边缘区域，包含2n个边界元素，如图1所示。在中心区域，由于距离物理边界相对较远，元素经历的电磁环境近似是周期性的。因此，在选定的中心区域内，这些元素的响应可以近似由一个校准的中心元素模型表示。相比之下，位于边缘区域的元素直接受到阵列截断和边界引起的耦合变化的影响，这必须在建模过程中明确考虑。

为了始终如一地建模中心区域，使用与原始阵列相同的元素几何形状、材料和空间排列构建了一个校准阵列。校准阵列包含2n + 1个元素，这代表了再现大型有限阵列中中心元素所经历的电磁环境所需的最小有效尺寸。这个校准尺寸的选择直接影响预测的元素响应的质量和计算成本。

使用迭代程序来确定n的最佳值。从n = 0的初始值开始，模拟一个包含2n + 1个元素的校准阵列。然后提取中心元素沿H平面的实际增益模式，并表示为。在采样的H平面角度区域内评估两次连续迭代之间的均方根（RMS）误差，表示为（1）。和分别表示从大小为n和n ? 1的校准阵列获得的中心元素的实际增益模式。求和是在采样的H平面角度区域内进行的。如果，其中是一个预定义的收敛阈值，则认为中心元素的电磁响应已经收敛，并选择相应的n作为最小有效边界尺寸。这种基于收敛的策略确保校准阵列既不会过大也不会不足以表示中心电磁环境。

2.2. 中心区域等效建模和边缘区域精确仿真
在确定了校准阵列的大小后，对校准阵列进行全波仿真以提取中心元素的远场响应，如图2所示，其中虚线框表示相应的校准阵列。这个响应代表了在真实耦合条件下的典型中心区域元素的辐射行为，并与有源元素模式概念一致[19,20]。这个提取的响应作为后续等效建模选定中心区域的参考。由于相应的元素位于校准阵列的中心，其电磁环境最能代表有限阵列的近似周期性内部区域。因此，校准的中心元素响应为通过位置依赖的相位补偿将响应扩展到其他中心区域元素提供了物理上有意义的基础。

对于位于选定中心区域的元素，它们的远场响应通过空间相位平移从校准的中心元素响应中近似得到，并组装成中心区域响应向量（2）。这里表示中心元素的校准远场响应，k = 2π/λ是自由空间波数，和分别表示第i个元素和中心元素的位置向量，是沿观测方向的单位向量。指数项考虑了由空间位移引起的相位移动。基于（2），选定中心区域内每个元素的远场响应通过校准的中心元素的参考响应加上位置依赖的相位移动来近似。这种近似并不意味着内部元素在相位移动之外完全相同。相反，它仅应用于由收敛驱动的校准程序确定的选定中心区域内，在该区域内元素响应的残差变化对于当前的预测任务来说足够小。边缘和近边缘元素仍然需要明确建模。

由于在边界附近近似周期性的电磁环境不再成立，边缘元素需要独立处理。如图3所示，每个边缘元素都是基于一个紧凑的子数组进行独立的全波模拟来建模的，该子数组包括感兴趣的元素及其最近的邻居。图3展示了用于边缘元素模拟的紧凑子数组。这种局部建模策略遵循了针对大型阵列的现有方法[21,22,23]，同时考虑了每个边缘元素的位置依赖性电磁环境。边缘元素的远场响应被组合为（3），其中表示从相应的局部全波模拟中获得的第i个边缘元素的远场响应。与中心区域不同，在中心区域内部元素的响应可以通过空间相位平移来近似，而边缘区域的响应必须明确建立，以保留由于截断和边界效应引起的位置依赖性耦合变化。通过结合中心元素的等效建模和对边缘元素的精确模拟，可以有效地捕捉整个有限阵列中耦合效应的位置依赖性特性。

2.3. 全局场积分和波束成形优化
在获得所有阵列元素的准确或等效远场响应后，根据阵列的物理顺序将中心和边缘区域的响应组合起来，形成阵列的全局响应。具体来说，全局响应是通过根据阵列中元素的实际位置来组合和构建的。对于波束合成，根据所需的波束配置，在规定的观测区域内指定一组有限的角度位置。通过提取这些角度位置对应的方向响应样本，构建一个响应矩阵，用于后续的激励优化。为了合成所需的辐射模式，基于扩展的最大功率传输效率（EMMPTE）[27,28]方法确定最优激励向量，该方法为耦合电磁环境下的阵列激励设计提供了一个物理上有意义的标准。为了简洁起见，这里不再重复详细的实现过程，可以在[32]中找到。然后使用得到的最优激励向量进行后续的辐射模式评估。

基于合成的阵列响应，最终辐射性能通过实现增益来评估，表示为（4），其中表示在观测方向上阵列的合成全局远场响应，是对应于归一化输入功率的参考响应幅度。这种公式确保了在实际端口匹配条件下，合成阵列响应的实现增益能够得到一致的评价。

总体而言，所提出的FERPP方法将基于收敛的校准、区域响应建模和波束合成结合成一个统一的预测过程。中心区域的响应是通过位置依赖的相位补偿从校准的参考响应构建的，而边缘区域的响应则是通过独立的局部全波模拟建立的。然后将这些响应组合成阵列的全局远场响应，用于后续的激励确定和实现增益评估。

3. 结果与分析
3.1. 仿真设置
为了评估所提出的FERPP方法的实际性能，选择了一个在3.5 GHz下工作的1024元素线性微带贴片天线阵列作为验证平台，如图1所示。贴片元素的尺寸为l = 19.7 mm，f = 5 mm。天线阵列的元素间距为d = 0.245λ0，其中λ0表示自由空间波长，印刷在厚度为2 mm、相对介电常数为4.4、损耗正切为0.02的FR4基板上。所有电磁仿真都在相同的计算机平台上进行，该平台配备了Intel Core i5-12400处理器、NVIDIA GeForce RTX 3060 Ti显卡和64 GB的系统内存，以确保本工作中报告的数值结果的一致性和可靠性。

3.2. 校准阵列大小的确定和模型验证
确定校准阵列的最小有效尺寸n对于实现中心和边缘区域的准确和高效等效建模至关重要。为此，采用了一种基于中心元素响应稳定性的动态收敛评估策略来验证校准阵列大小的合理性。如图4a所示，连续模拟了相邻元素数量n从0到15的校准阵列。对于每个校准阵列，提取中心元素的H平面远场实现增益。对于所考虑的线性阵列，选择H平面进行收敛评估，因为它最直接地反映了主波束的演变、指向方向和旁瓣特性，因此为评估中心区域建模的收敛行为提供了相关的基础。通过计算两个连续校准阵列（大小分别为n和n ? 1）在主瓣区域获得的实现增益曲线之间的均方根（RMS）误差来定量评估收敛行为。结果收敛曲线作为n的函数（1 ≤ n ≤ 15）显示在图4b中。图4. 校准阵列大小的收敛性。(a) 不同相邻元素数量n的中心元素H平面实现增益模式。(b) RMS误差与n的关系。当n从1增加到7时，RMS误差从0.75迅速降低到0.04。当n超过这个点继续增加时，RMS误差的减少变得微不足道，收敛曲线逐渐趋于稳定平台。因此，一个由中心元素及其两侧的七个最近邻居组成的15元素校准阵列足以表征具有强相互耦合的考虑中的大型有限阵列的中心电磁环境。这为后续的中心区域响应的等效建模提供了可靠的基础。采用阈值作为平衡建模精度和计算成本的实用标准。如图4b中的收敛趋势所示，n > 7后的改进是有限的，而更宽松的阈值会以牺牲建模精度为代价来减小校准尺寸。

除了确定中心区域的有效校准阵列大小外，还使用n = 7的紧凑子数组模拟来检验所提出策略对边缘元素的适用性。图5显示了三个代表性边缘元素的H平面实现增益模式，即最外层边缘元素（元素1）、中间边缘元素（元素3）和最内层边缘元素（元素7），它们在阵列中的位置在图3中有所指示。图5. 代表性边缘元素的H平面实现增益模式。尽管这三个元素都属于边缘区域，但它们的辐射特性差异显著，如图5所示。最外层边缘元素（黑色曲线）显示出最严重的模式失真，其主瓣明显偏离宽边，并在大约30°处达到峰值。中间边缘元素（红色曲线）的失真较小，其主瓣更接近宽边，同时仍保持明显的旁瓣结构。相比之下，最内层边缘元素（蓝色曲线）的辐射模式更类似于中心元素，其在大约?30°到50°的广泛角度范围内具有相对稳定的辐射响应，以及适度的波动和不对称性。这些观察结果表明了有限阵列中边缘效应的位置依赖性。随着元素位置从物理边界向阵列内部移动，边界引起的耦合影响逐渐减弱，导致辐射响应的连续演变。因此，均匀的边缘模型无法充分捕捉这些行为。为了解决这个问题，采用了一元素一模型的仿真策略来处理边缘元素，以便能够明确表示阵列边界附近的时空变化的电磁环境。通过结合中心元素的等效建模和边缘元素的显式建模，所提出的方法提供了更符合物理特性的有限阵列环境表示，并为后续的波束成形分析建立了可靠的基础。

4. 性能比较与讨论
4.1. 比较方法
为了评估所提出的快速高效辐射模式预测方法（FERPP）的有效性，与几种代表性的大规模天线阵列预测方法进行了系统的比较。所有方法都应用于第3节描述的相同1024元素紧密耦合的线性阵列，在相同的阵列配置和激励设置下进行。使用CST Microwave Studio 2020获得的全波仿真结果作为参考基准。与第1节中回顾的方法一致，考虑了四种代表性方法：阵列因子方法、传统的AEP方法、基于分区的AEP方法和所提出的FERPP方法。

对于阵列因子方法，假设所有元素具有相同的元素模式。对于传统的AEP方法，使用中心元素的激活元素模式来表示所有阵列元素。对于基于分区的AEP方法，将阵列划分为中心和边缘区域：所有内部元素使用中心元素的激活模式，而从相应边缘子数组（n = 7）的全波模拟中提取的代表性边缘元素模式分配给边缘区域。对于所提出的FERPP方法，从校准阵列中提取中心元素响应，并通过空间相位平移扩展到其他中心元素，而边缘元素响应则是通过第2节中描述的建模程序从独立的紧凑子数组模拟中获得的。为了确保公平比较，所有方法使用相同的激励向量和输入功率归一化。评估重点是在规定的波束成形区域内实现的最大增益以及相应的旁瓣水平，这两者都是相对于全波仿真结果来测量的。相应的辐射模式显示在图6、图7和图8中。

4.2. 不同场景下的波束成形性能
本节展示了在代表性波束成形场景下的数值结果，重点讨论了所提出的FERPP方法相对于全波仿真的性能。分析考虑了在规定波束成形区域内的最大实现增益和相应的旁瓣水平。此外，还评估了每种方法的计算成本，包括总仿真时间和内存使用情况。由于计算负担主要取决于预测策略和硬件配置，而不是特定的波束成形情况，因此不同场景下的计算成本大体上是一致的。详细结果分别在4.2.1节、4.2.2节和4.2.3节中呈现。

4.2.1. 宽边单波束辐射（θ = 0°）
图6显示了不同方法预测的宽边单波束配置下的H平面辐射模式。这种情况代表了最简单的波束成形场景，因此用于评估所提出的FERPP方法（θ = 0°）的基本辐射模式预测能力。比较为评估不同预测方法在对称激励条件下的准确性提供了基准。这些方法得到的波束成形结果总结在表1中。图6. θ = 0°时单波束情况下的H平面辐射模式比较。(a) 全波仿真与阵列因子方法的比较。(b) 全波仿真与传统AEP方法的比较。(c) 全波仿真与基于分区的AEP方法的比较。(d) 全波仿真与所提出的FERPP方法的比较。表1. θ = 0°时单波束辐射的波束成形性能比较。由于忽略了相互耦合和边缘效应，阵列因子方法在主波束形状和旁瓣分布上显示出明显的偏差。如表1所示，阵列因子方法预测的峰值增益比全波仿真高约1 dB，而旁瓣水平也略有升高。这种高估反映了阵列因子方法对于紧密耦合的有限阵列的准确性有限。传统的AEP方法通过引入单个参考元素来改善了整体模式预测，通过考虑耦合效应。如表1所示，预测的峰值增益为28.79 dBi，比全波仿真结果低约0.23 dB。然而，由于只使用一个激活元素模式来表示所有阵列元素，峰值增益和旁瓣分布的差异仍然明显。基于分区的AEP方法通过考虑区域依赖的元素行为进一步减少了这些偏差。预测的峰值增益为28.86 dBi，更接近全波结果的29.02 dBi。尽管如此，由于每个区域仍然由单一的活跃元素模式表示，因此无法完全捕捉边缘区域内电磁环境的空间变化，这导致预测的辐射模式存在残余差异。所提出的FERPP方法预测的辐射模式与全波模拟在考虑的角度范围内非常吻合。如表1所示，预测的峰值增益为29.10 dBi，与全波模拟结果29.02 dBi相差不到0.1 dB。旁瓣水平也非常接近参考值，表明主波束形状和旁瓣分布都被准确捕捉到了。与传统的AEP和基于分区的AEP方法相比，FERPP方法通过显式建模中心和边缘元素，从而有效地捕捉了有限阵列中电磁环境的空间变化，实现了更高的预测精度。此外，计算成本也显著低于全波模拟，如表1中减少的模拟时间和内存使用量所示。因此，所提出的方法能够为宽侧单波束情况提供准确的辐射模式预测。

4.2.2 扫描单波束辐射（θ = 30°）
θ = 30°时扫描波束的辐射模式如图7所示。与宽侧单波束情况（θ = 0°）相比，波束扫描在电磁环境中引入了更强的不对称性，并增加了辐射模式预测对互耦和有限阵列边界效应的敏感性，使得准确的辐射模式预测更加具有挑战性。相应的波束成形结果总结在表2中。如图7所示，由于忽略了互耦和有限阵列边界效应，阵列因子方法在波束扫描下表现出波束失真和旁瓣不匹配。这种行为也反映在表2中：阵列因子方法预测的峰值增益为30.10 dBi，比全波参考值（28.99 dBi）高约1.11 dB。这种高估表明，当在紧密耦合的阵列上应用较大的渐进相位梯度时，简化的点源模型变得不太可靠，因为没有捕捉到扫描依赖的耦合和阻抗不匹配。

图7. θ = 30°时单波束情况下H平面的辐射模式比较。(a) 全波模拟与阵列因子之间的比较。(b) 全波模拟与传统AEP之间的比较。(c) 全波模拟与基于分区的AEP之间的比较。(d) 全波模拟与提出的FERPP之间的比较。
表2. θ = 30°时单波束辐射的波束成形性能比较。传统AEP方法通过引入活跃元素模式部分补偿了耦合效应，从而比阵列因子结果有所改进。然而，在波束扫描下其局限性变得明显：预测的峰值增益降至26.18 dBi，比全波参考值低约2.81 dB。这种显著的下降表明，在波束偏离宽侧时，仅在阵列中心提取的单一参考AEP不足以表示位置依赖的电磁环境。特别是，波束扫描打破了元素相互作用的对称性，并增强了边界引起的耦合变化，因此中心元素AEP无法充分表示波束扫描下有限阵列中位置依赖的元素响应。这种限制也反映在旁瓣区域。如表2所示，预测的旁瓣水平为-36.38 dB，偏离参考值-35.22 dB，表明传统AEP表示无法完全再现波束扫描下的实际旁瓣分布。通过进一步考虑与边缘相关的变化，基于分区的AEP方法相对于传统AEP方法有所改进。如表2所示，预测的峰值增益增加到27.37 dBi，相对于全波结果将增益误差减少到约1.62 dB。尽管如此，仍然存在明显的差异。这主要是因为每个区域仍然由单一的活跃元素模式表示，而在波束扫描下，耦合环境沿阵列开口连续变化，无法通过粗略的区域分配来完全近似。因此，主波束区域和旁瓣结构中仍然存在残余误差。特别是，该方法预测的旁瓣水平达到-39.26 dB，远低于参考值。这种对旁瓣的过度抑制表明，当扫描引起的耦合变化没有准确捕捉时，简化的区域建模倾向于扭曲旁瓣分布。所提出的FERPP方法在所有比较的快速预测方法中与全波模拟的整体一致性最好。预测的峰值增益为28.22 dBi，相对于参考值28.99 dBi的误差约为0.77 dB。与传统的AEP和基于分区的AEP方法相比，这种减少的误差表明，在波束扫描下显式建模中心和边缘元素是有益的，因为边界效应被放大了。与宽侧情况相比，波束扫描下观察到的略微较大的偏差主要归因于电磁环境的更强不对称性和当波束偏离宽侧时增强的扫描依赖变化。在提出的FERPP方法中，中心区域的响应是根据带有空间相位补偿的校准参考响应来近似的。尽管这种近似在波束扫描下仍然有效，但其相关误差略大于宽侧情况。尽管如此，所提出的方法与全波模拟的整体一致性仍然优于基于传统AEP的方法，表明保留位置依赖的响应建模对于扫描波束情况是有益的。此外，旁瓣分布和波束指向精度也得到了很好的保持。如表2所示，预测的旁瓣水平（-35.35 dB）非常接近全波参考值（-35.22 dB），表明所提出的方法能够准确再现主波束和旁瓣特性。此外，表2还显示，FERPP方法在计算成本上大幅降低，与全波模拟相比，证实了其在扫描单波束场景中的鲁棒性和效率。

4.2.3 多波束辐射（θ = -30°, 0°, 和 30°）
图8显示了不同方法为等权重三波束配置预测的辐射模式，这些波束同时指向θ = -30°、0°和30°。与单波束情况相比，这种情况通常更具挑战性，因为多个波束的同时激发增加了波束间的相互作用，需要更精确的阵列辐射响应建模。阵列因子方法无法准确再现多波束情况下的相对波束幅度和旁瓣结构。如表3所示，与全波参考值相比，它高估了峰值增益约1.1 dB（25.32 dBi对比24.21 dBi）。这种偏差主要是由于忽略了互耦和有限阵列边界效应，当多个波束同时形成并且对非宽侧波束施加较大的相位梯度时，这些效应变得更加明显。图8中的旁瓣分布与全波结果相比存在明显差异，表明简化模型无法可靠地捕捉多波束场景下的旁瓣特性。

图8. 等权重三波束配置下的H平面辐射模式比较。(a) 全波模拟与阵列因子之间的比较。(b) 全波模拟与传统AEP之间的比较。(c) 全波模拟与基于分区的AEP之间的比较。(d) 全波模拟与提出的FERPP之间的比较。
表3. 等权重三波束辐射的波束成形性能比较。传统AEP方法通过引入单一参考元素来改善整体模式形状，从而改善了耦合效应。然而，多波束情况突出了其固有的局限性：预测的峰值增益为22.26 dBi，比全波参考值低约2 dB。这种显著的低估表明，当多个波束（特别是两个在±30°扫描的波束）同时激发时，单一中心元素AEP无法表示所有元素的位置依赖耦合变化。因此，三个波束之间的不平衡以及旁瓣区域的差异仍然存在。通过引入空间变化的元素响应，基于分区的AEP方法相对于传统AEP方法有所改进。预测的峰值增益增加到23.15 dBi，相对于全波结果将增益误差减少到约1.1 dB。尽管如此，预测的旁瓣水平（-39.98 dB）显著低于参考值（-34.75 dB），表明旁瓣被过度抑制。这种行为意味着使用有限数量的代表性AEP进行粗略的区域分配可能会在多波束情况下扭曲旁瓣结构，因为电磁环境在阵列中连续变化，且三个同时形成的波束的耦合特性不同。所提出的FERPP方法在所有三个波束上与全波模拟的整体一致性最好。如表3所示，预测的峰值增益为23.87 dBi，相对于参考值（24.21 dBi）的误差约为0.34 dB，而预测的旁瓣水平（-35.06 dB）也接近全波结果。此外，图8中还很好地再现了相对波束幅度和角度位置，表明结合中心和边缘元素的建模即使在多波束同时激发下也能有效捕捉有限阵列中的电磁环境空间变化。这些结果表明，所提出的方法在等权重多波束场景下保持了稳定和可靠的辐射模式预测能力，同时所需的计算资源远低于全波模拟。

4.2.4 总结与讨论
总体而言，所提出的FERPP方法通过结合紧凑的校准阵列和独立模拟的边缘子阵列，显著降低了辐射模式预测的计算成本，同时保持了接近全波模拟的预测精度，如4.2.1节、4.2.2节和4.2.3节所示。与基于分区的AEP方法相比，FERPP方法需要稍多的计算时间，因为需要对各个边缘元素进行额外的全波模拟以准确捕捉位置依赖的电磁环境。尽管如此，总计算成本仍然远低于全波模拟。此外，由于所提出方法的计算复杂度并不直接随阵列元素总数成比例增加，因此非常适合大规模紧密耦合天线阵列的波束成形分析。

4.3 所提方法的局限性
所提出的FERPP方法是针对大规模线性天线阵列开发和验证的。虽然该方法在这种配置下有效地考虑了互耦和边缘效应，但目前仅适用于线性阵列几何形状。将该方法扩展到平面或更复杂的阵列将需要额外的建模策略，例如二维校准区域和更精细的边缘表示。此外，当前的实现假设了相同的元素类型和沿阵列的均匀间距。具有不规则几何形状、非均匀间距或异构元素的阵列可能需要修改的校准策略或更精细的建模程序来保持可靠的预测性能。另一个局限性是，收敛阈值的选择和由此产生的校准大小仍然基于实际工程标准，因此可能取决于特定的阵列配置以及预测精度和计算成本之间的权衡。此外，与简化的分析方法相比，所提出的框架仍然需要多次局部全波模拟和响应积分步骤，这增加了实现的复杂性。这些方面将在未来的工作中进行研究。

4.4 未来展望
所提出的FERPP框架为大规模天线阵列中的高效辐射模式预测提供了灵活的基础。通过适当的扩展，该方法可以通过引入二维校准区域和相应的边缘建模策略来推广到平面阵列。同时，所提出的方法通过显著缩短预测时间，使得它非常适合需要重复辐射模式计算的大规模紧密耦合天线阵列的波束成形分析和合成。未来的工作将考虑使用制造的大规模阵列原型进行实验验证，以进一步评估所提出方法的实际适用性。

5. 结论
本文提出了一种名为FERPP的辐射模式预测方法，用于大规模紧密耦合的线性天线阵列，旨在解决传统全波模拟的高昂计算成本问题。通过采用基于区域的建模策略，所提出的方法将边缘元素的精确建模与中心阵列区域的高效等效表示相结合，从而能够在大幅减少计算量的同时，可靠地预测阵列的辐射性能。该FERPP方法使用一个1024元素的线性天线阵列作为代表性示例进行了验证。仿真结果表明，FERPP预测的辐射模式与全波仿真结果在单波束和多波束波束成形场景下都非常吻合，主波束增益、波束方向和旁瓣特性等方面都表现出良好的一致性。同时，总仿真时间仅约为全波仿真所需时间的1.8%，并且内存使用量也显著降低。FERPP方法的一个关键特点是其计算复杂度并不随阵列元素总数的增加而直接增加，这使得该方法非常适合用于大规模天线阵列的分析。尽管本研究中以1024元素的线性阵列作为示例，但该方法本身并不受此阵列规模的限制，可以应用于规模更大的阵列而不会导致计算成本的成比例增加。该方法特别适用于需要反复进行辐射模式评估的迭代波束合成和优化工作流程。因此，该框架为大规模、紧密耦合的线性天线阵列的波束成形分析和辐射性能评估提供了一个高效且实用的工具。