基于多维分形理论对页岩导电响应的特性分析方法 谢伟彪（Weibiao Xie） 尹秋丽（Qiuli Yin） 戴学平（Xueping Dai） 赵建斌（Jianbin Zhao） 曾敬波（Jingbo Zeng） 张潘（Pan Zhang）

《Fractal and Fractional》：Characterization Method for the Conductive Response of Shale Based on Multi-Dimensional Fractal Theory Weibiao Xie, Qiuli Yin, Xueping Dai, Jianbin Zhao, Jingbo Zeng and Pan Zhang

　　摘要 电阻率是页岩储层表征中的关键参数。页岩中多样的微孔类型和复杂的导电机制导致使用现有的导电模型时精度较差。建立一个高精度的导电响应模型需要全面考虑孔隙结构和粘附在粘土上的水的导电性。本研究的主要创新在于用一个机械性的、多维的分形框架取代了宏观的经验拟合参数。我们开发了一种新的导电响应表征模型，该模型明确地将多维分形孔隙结构理论与粘附在粘土上的水的导电性结合起来。实验数据验证表明新模型具有更高的表征精度。结果显示页岩导电性与孔隙水导电性关系存在三个不同的区域：非线性区域、过渡区域和线性区域。粘土表面较高的阳离子交换率导致低盐度地区页岩和孔隙水的非线性特性增强。导电路径分形维数、孔隙形态分形维数和孔隙分形维数的增加都会降低页岩的导电性。尽管新模型与传统双水模型和页岩体积模型共享粘土诱导的导电项，但在操作简便性和参数可访问性方面具有优势。这项研究为基于导电性的储层参数计算提供了一种物理上严谨且易于理解的方法，为复杂的页岩油/气评估提供了新的技术视角。

1. 引言
岩石的電導機制是岩物理學中的主要研究课题之一，是反演参数（如碳氫化合物储层饱和度）的基本理論基礎[1,2]。随着页岩油和页岩氣在能源结构中的比重不断增加，理解页岩的导电機制并开发相应的表征模型已成为准确评估页岩有利位置和预测储量的核心技術要求[3]。
为了准确表征岩石的電學性能，G. E. Archie在1942年提出了兩個實驗模型，用以描述清洁砂岩中電阻率、孔隙度和饱和度之间的关系[4]。在此基礎上，基于不同的孔隙結構框架，衍生出了許多新的导电模型[5,6]。頁岩地層具有明显的特徵，包括高粘土含量、複雜的孔隙結構和显著的各向異性。传统的导电模型主要針對均質砂岩或簡單的孔隙幾何形態進行開發，無法準確捕捉頁岩中多尺度孔隙網絡和流體分佈的耦合效應。為了闡明頁岩的导电機制，研究人員採用了綜合方法來處理頁岩的低孔隙度、低滲透性和強異質性問題。Zhu等人將核磁共振（NMR）和電阻率測量與自發吸水-壓力飽和實驗結合起來，揭示了粘附在粘土上的水和自由水在有機孔隙中的不同導電行爲[7]。Wang等人利用X射線衍射和氮吸附技術研究了不同孔隙類型的導電效率[8]。Nie等人通過CT（計算機斷層掃描）基礎的3D電學模擬和有限元建模研究了不同的Archie參數（膠結指數m和飽和度指數n）在不同水飽和度條件下的變化[9]。Zhang等人展示了有機物如何通過成岩作用和沉积環境中的陽離子交換能力變化影響頁岩的导电性[10]。Fu等人利用有效介質理論發展了一種富含有機物的頁岩导电模型，以改善總有機碳（TOC）的量化[11]。Borysenko和Han等人證明了頁岩的親水性對導電模式有显著影響，為未来的研究提供了重要指導[12,13]。
將分形理論應用于研究岩石的導電特性一直是全球學者關注的重點[14,15]。Rembert等人利用分形理論研究了岩石系統的電阻率特性，并建立了分形維數與Archie電阻率方程系數之間的關聯[16,17]。Shi等人發展了將分形維數與岩石電阻率和相對滲透率聯繫起來的函数關係[18]。Luo等人基於分形毛细孔理論提出了凍結多孔介質的导电模型[19]，而Cai等人則在分形葉脈模型框架下构建了岩石导电模型[20]。雖然基於分形的導電模型具有廣泛的適用性，但尚未有研究利用分形理論探索頁岩的导电機制。
本研究從岩石中微觀孔隙的分形特徵出發，基於多重分形理論發展了一種岩石导电模型。通過进一步加入粘土表面導電效應，建立了一種基於分形的頁岩导电特性表征模型。實驗验证確認了該模型的高精度，并全面討論了頁岩的電學响应特性。多重分形导电模型有助於從機制上分析微觀孔隙對不同孔隙結構中電阻率的影響，提高了頁岩中碳氫化合物饱和度的計算精度，并在儲層評估和岩石物理特性表征中展示了重要的應用前景。

2. 页岩的分形電導理論
頁岩是一種由頁岩、細粒沉积物和有機物組成的沉積岩。其主要矿物成分包括粘土、石英和長石，其中粘土和石英通常佔總體積的80%以上（圖1a）。假設一種簡化的純頁岩模型（不包括有機物），僅由粘土和石英組成，其中石英主要以細粒泥質的形式存在，則頁岩基質可以概念性地分爲粘土部分和石英部分。在粘土部分，孔隙度主要由納米級的孔隙間隙決定，導電主要通過粘土表面上的水進行；在石英部分，孔隙度主要由膠結在晶粒間的毛細孔隙構成，導電性依赖于孔隙的連通性（圖2a）。因此，頁岩的電導率可以表示為：
\[ \text{頁岩電導率} = \text{連通多孔水導電率} + \text{粘土表面粘附水導電率} \]
根據頁岩孔隙水的導電類型，總孔隙體積（V_pore）可以分爲連通的多孔水體積（V_pore-connected）和粘土表面粘附水體積（V_pore-bound）：
\[ V_pore = V_pore-connected + V_pore-bound \]

2.1. 微孔多重分形理論
分形理論已發展成研究多孔介质孔隙結構異质性的有效方法。分形維數反映了微孔的幾何形態、結構和不規則程度。基於多孔介质的分形理論，連通孔隙度的分形表示式如下：
\[ D = \frac{\log(N)V_pore}{log(N)-1} \]
其中D是分形維數，無量綱。d_min是最小孔隙直徑，d_max是最大孔隙直徑。
在多孔岩石介质中孔隙流體的滲透和電導過程中，多孔介质通常等效於由不同直徑的曲折毛細管組成的集合體。根據分形理論，飽和水岩石的電導率可以表示為：
\[ \text{電導率} = \frac{\lambda D}{\pi d_min^3} \]
因此，方程（3）可以重寫為：
\[ \text{電導率} = \frac{\lambda \log(N)V_pore}{\pi d_min^3} \]
當非潤湿相流體進入孔隙空間時，它最初會佔據直徑較大的孔隙。假設非潤湿相流體是不導電的，這個過程有效地將大孔隙從岩石的導電網絡中移除。根據損失原理，隨着岩石逐漸失去大孔隙，形成了新的孔隙結構（如圖1b,c所示）。結果岩石的孔隙水量爲V_pore’。由於非潤湿相流體對流道的阻塞，岩石內部的電導曲率發生變化，從而影響了孔隙水的電導率的分形維數。因此，修改後岩石中孔隙水的電導率分形關係可以表示為：
\[ \text{電導率} = K \cdot \left( \frac{\lambda d_min}{V_pore'} \right)^{\frac{D}{d_min} \]
其中K是新的電導曲率，V_pore'是修改後岩石的孔隙水量。

2.2. 粘土表面導電理論
自然状态下，粘土顆粒主要以分散的聚集体或條狀塊狀存在於岩石中。乾燥的粘土顆粒本身是不導電的；然而，當浸入水溶液中時，它們的表面會形成電雙層（EDL），形成導電通路。粘土具有兩個明確的特徵：（1）由於其超微粒尺寸（通常≤2 μm），具有很大的表積；（2）由於其独特的化學結構，表面帶有負電荷。研究表明，這種化學結構促成了EDL的形成——乾燥的粘土保持絕緣性，而水合的粘土主要通過表面EDL導電（圖2b）。粘土表面EDL的導電性與孔隙水的礦物化有關（圖2c）。當礦物化超過一個臨界值時，EDL的導電性趨近于一個常数值。
在純粘土富集的岩石中，粘土顆粒直接相互連接，只留下充滿水的納米級孔隙和粘土表面上的界面水。這個整個系統在電場作用下的電導率構成了粘土表面的附加導電性。雖然乾燥的粘土顆粒是不導電的，但水合粘土的導電性主要來自於EDL。然而，由於界面水和孔隙水之間的導電性差異，描述粘土粘附水導電性的項需要進行修正。將粘土粘附水視爲某種孔隙結構中的導電水，則根據分形理論，可以表示為：
\[ \text{粘土粘附水導電率} = k \cdot \frac{f}{1-d_{\text{EDL}}} \]
其中k是粘土粘附水的導電貢獻，f是粘土粘附水的分形維數，d_{\text{EDL}}是EDL的厚度。分形維數f主要反映了粘土粘附水的形態配置，由粘土顆粒的表面幾何形狀決定。

2.3. 页岩的導電模型
頁岩岩石的導電率與孔隙度之間的關係可以表示為：
\[ \text{頁岩電導率} = \alpha \cdot \exp\left( -\frac{\ln(\sigma)}{\epsilon} \right) \]
其中\(\alpha\)和\(\sigma\)是已知函数，使以下方程成立：
\[ \text{電導率} = \alpha \cdot \exp\left( -\frac{\ln(\sigma)}{\epsilon} \right) \]
當曲率分形維數D為1時，方程（9）變爲：
\[ \text{電導率} = \alpha \cdot e^{-\frac{1}{d_{\text{max}} \]
根據粘土質砂岩的導電模型[22]：
\[ \text{電導率} = k \cdot \exp\left( -\frac{\ln(\sigma)}{\epsilon} \right) \cdot \left( 1-\frac{1}{d_{\text{max}} \right) \]
其中k是與粘土表面導電有關的区域因子。根據方程（11），我们可以得到：
\[ \text{電導率} = k \cdot \exp\left( -\frac{\ln(\sigma)}{\epsilon} \cdot \left( 1-\frac{1}{d_{\text{max}}} \)
根據Wang[23]的研究，由界面水導電和相互連通的孔隙引起的頁岩導電率可以表示為：
\[ \text{電導率} = k \cdot \exp\left( -\frac{\ln(\sigma)}{\epsilon} \cdot \left( 1-\frac{1}{d_{\text{max}}} \cdot \lambda \right) \]
其中\(\lambda\)是有效電學孔隙半徑。結合（11）和（13），我们得到：
\[ \text{電導率} = k \cdot \exp\left( -\frac{\ln(\sigma)}{\epsilon} \cdot \left( 1-\frac{1}{d_{\text{max}}} \cdot \lambda \right) \]
并且，
\[ \text{電導率} = k \cdot \exp\left( -\frac{\ln(\lfloor d_{\text{max}}\sigma\rfloor)}{\epsilon} \cdot \left( 1-\frac{1}{d_{\text{max}}} \)
其中\(c_1\)、\(c_2\)和\(c_3\)是常數，其值由具體地區決定。因此，方程（9）可以重寫為：
\[ \text{電導率} = k \cdot \exp\left( -\frac{\ln(\sigma)}{\epsilon} \cdot \left( 1-\frac{1}{d_{\text{max}}} \cdot \lambda \right) \cdot \left( \frac{1-\ln(\lfloor d_{\text{max}}\sigma\rfloor)}{\epsilon} \right) \]
对于未飽和水的頁岩，根據方程（6），當\(\frac{V_pore}{V_{\text{total}} \leq \frac{d_{\text{max}}\)時，我们得到：
\[ \text{電導率} = k \cdot \exp\left( -\frac{\ln(\sigma)}{\epsilon} \cdot \left( 1-\frac{1}{d_{\text{max}}} \cdot \left( \frac{1-\ln(\lfloor d_{\text{max}}\sigma\rfloor)}{\epsilon} \right) \cdot \frac{V_{\text{water}}{\V_{\text{total}} \right) \]
然而，先前的研究表明，隨着岩石孔隙空間的拓扑複雜性增加，系統顯示出明顯的多重分形特性[24]。主要原因是大孔隙空間具有相对簡單的幾何形態（在2D投影中近似爲圓形），而微孔度網絡則表現出複雜的結構，具有曲折的線性特徵。因此，單一分形理論無法充分描述這種層級孔隙複雜性，而多重分形形式提供了更強健的孔隙異質性量化方法[25]。
當岩石孔隙系統表示爲多種孔隙類型的累加時，特定巖性的孔隙分形維數可以近似爲微觀多重分形結構的集合體。如图3所示，可以表示為：
\[ D_i = \sum_{j=1}^m D_{ij} \]
其中\(D_{ij}\)是第i種孔隙的孔隙體積，\(d_{ij}\)是第i種孔隙的分形維數，\(d_{\text{min}}\)是第i種孔隙的最小孔隙直徑，\(d_{\text{max}}\)是第i種孔隙的最大孔隙直徑。圖3展示了微觀孔隙的多維分形示意圖：（a）電子掃描下頁岩中微觀孔隙的二维形態；（b）兩維孔隙結構的示意圖；（c）兩維孔隙結構的多維分形示意圖。根據損失原理，當依次移除第i種孔隙中最大的孔隙以形成改性的岩石孔隙結構時，第i類的有效導電孔隙度變為\(D_i\)。根据方程（5）-（7），水饱和岩石和部分饱和岩石的电导率可以表示为[26]，其中ρ_i是第i种类型孔隙的毛细管长度的分形维数。ρ_unsat是第i种类型孔隙导致的水非饱和岩石的电导率，κ_i是第i种类型孔隙的电导率。根据方程（7），对于特定的岩石样本，ρ_i与κ_i有关，并且其值是固定的。考虑到幂函数的特点，对于第i种类型的孔隙，只有一个ρ_i和κ_i，从而确定了ρ_i和κ_i之间的关系。方程（20）可以修改为（21），其中κ_saturated和κ.partial_saturated分别是水饱和岩石和部分水饱和岩石的第i种类型孔隙的电导率。当岩石中只有一种类型的孔隙时，方程（21）变为单一分形形式，其结果与方程（5）相同。根据方程（21）、（16）和（18），可以重新写出（22），方程（22）描述了在水分多孔网络下水饱和和部分水饱和粘土岩的电导率响应特性。假设孔隙水的导电性满足一维分形，方程（22）可以简化为（23），其中ρ_saturated和ρ_unsat分别是水饱和岩石和部分水饱和岩石的电导率指数，κ_saturated和κ_unsat分别是它们的电导率指数。尽管方程（22）严格捕捉了页岩孔隙网络的连续多维分形特性，但由于需要完整的多分形维数，其直接应用受到限制，这需要大量的计算资源和高分辨率的实验室数据（例如CT扫描实验）。在标准的岩石物理评估中，提取连续维数通常是不切实际的。因此，引入了方程（23）作为实际的简化方法，将方程（22）重写为一维分形函数。通过提取两个有效指数ρ_i和κ_i，这种伪单一分形公式保留了多维理论所捕获的核心异质性，但以符合传统岩石工作流程的格式呈现。

3. 实验验证
本研究提出的新表达式模型描述了先前研究中记录的富粘土岩石的导电特性，并与实验数据高度吻合，如图4所示。实验获得的电导率数据被拟合到多维分形导电模型中。采用了非线性最小二乘优化算法来确定最佳拟合参数，最小化预测和测量导电响应之间的均方根误差。图4显示了孔隙水导电性与岩石导电性之间的关系拟合结果：(a) 使用Friedman, 2005 [27]和Levy等人, 2018 [28]的数据（线性坐标）的拟合结果；(b) 使用Friedman, 2005 [27]和Levy等人, 2018 [28]的数据（对数坐标）的拟合结果；(c) 使用Waxman & Smits, 1968 [29]和Revil等人, 2019 [30]的数据（线性坐标）的拟合结果；(d) 使用Waxman & Smits, 1968 [29]和Revil等人, 2019 [30]的数据（对数坐标）的拟合结果；(e) 计算结果的残差。基于方程（23）的拟合结果展示在图4的一维模型中；使用二维分形拟合的结果展示在图4的二维模型中；使用Archie模型（方程（24）拟合的结果展示在图4的Archie模型中。图4a展示了使用Friedman, 2005 [27]的数据的Bonsall-B样品（L31样品数据来自Levy等人, 2018 [28]）的实验数据拟合结果，采用线性坐标系。图4b展示了使用Friedman, 2005 [27]和Levy等人, 2018 [28]的数据的Bonsall-B样品（L31样品数据）的对数坐标系拟合结果。图4c展示了使用Revil等人, 2019 [30]的数据的AE样品和Waxman & Smits, 1968 [29]的Smits 26样品的对数线性坐标系拟合结果。图4d展示了使用Revil等人, 2019 [30]的数据的AE样品和Waxman & Smits, 1968 [29]的Smits 26样品的对数坐标系拟合结果。不同样品的拟合参数分别为：(1) Bonsall-B样品：ρ_saturated, κ_saturated1, κ_saturated2, κ_saturated3, κ_saturated4, κ_saturated5；(2) Levy L31样品：ρ_saturated1, κ_saturated2, κ_saturated3, κ_saturated4, κ_saturated5, κ_saturated6；(3) Smits 26样品：ρ_saturated1, κ_saturated2, κ_saturated3, κ_saturated4, κ_saturated5, κ_saturated6；(4) AE样品：ρ_saturated1, κ_saturated2, κ_saturated3, κ_saturated4, κ_saturated5, κ_saturated6。拟合结果显示，Archie模型对于Friedman的核心样品的拟合优度为0.9401（平均误差：10.75%）；对于Levy的L31样品的拟合优度为0.8075（平均误差：17.74%）；对于AE样品的拟合优度为0.9179（平均误差：13.18%）；对于Smits 26样品的拟合优度为0.9177（平均误差：12%）。Archie模型的拟合优度均大于0.945，四个岩石样品的平均残差为0.15（如图4e所示）。方程（23）（一维模型）的拟合结果显示，对于Friedman的核心样品的拟合优度为0.984（平均误差：4.75%）；对于Levy的L31样品的拟合优度为0.9544（平均误差：7.74%）；对于AE样品的拟合优度为0.972（平均误差：5.18%）；对于Smits 26样品的拟合优度为0.9873（平均误差：5.02%）。一维模型的拟合优度均大于0.955，四个岩石样品的平均残差为0.08（如图4e所示）。方程（22）（二维模型）的拟合结果显示，对于Friedman的核心样品的拟合优度为0.987（平均误差：4.05%）；对于Levy的L31样品的拟合优度为0.963（平均误差：6.17%）；对于AE样品的拟合优度为0.981（平均误差：4.92%）；对于Smits 26样品的拟合优度为0.991（平均误差：4.55%）。二维模型的拟合优度均大于0.963，四个岩石样品的平均残差为0.075（如图4e所示）。这些与以往研究的实验数据的定量比较证实了新电导方程在描述富粘土岩石导电特性方面的高精度。相比之下，简化模型（方程（23）仅使用了有效指数ρ_i和κ_i。比较结果如图4e所示。二维分形结果的准确性高于一维分形结果。多分形模型的平均拟合优度为0.9805（图4中的二维模型），能够捕捉到导电响应的极端微小变化。简化模型的平均拟合优度为0.974。虽然真正的分形方法提供了边际性的定量改进（相对误差降低了约1.1%），但简化模型在实际评估中仍然非常稳健。鉴于完整计算需要更多的计算资源和专业的结构数据，简化方法是合理的，因为它在确保广泛工程适用性的同时提供了可比的准确性。

为了表征不同水饱和状态下的页岩电导率，我们使用以下岩石物理实验程序处理岩石样本。本研究中使用的页岩样本来自中国鄂尔多斯盆地的延安组。为了确保实验的代表性，岩芯柱是沿着层理面钻取的。实验程序包括：(1) 去除油/盐：从岩芯样本的宏观孔隙中去除原油；(2) 高温脱水：在280°C下蒸发重油；(3) 自发吸水饱和法：在样本自发吸水过程中连续测量质量和电导率，直到质量不再增加；(4) 压力驱动饱和法：在高压下使样本吸水并测量其质量和电导率，直到质量保持不变。岩石样本的其他参数可以在表1中找到。表1显示了使用鄂尔多斯盆地实验数据进行拟合验证的结果。图5和图6展示了两种鄂尔多斯盆地的岩芯样本的结果。使用了两种类型的岩芯样本，它们的名称和特性分别是Chang 73-type-1：总有机碳（TOC）5.5%，粘土含量40%，孔隙度4.7%；Chang 73-type-2：总有机碳（TOC）5.4%，粘土含量51%，孔隙度5.7%。拟合参数根据岩芯样本的特性确定。使用Archie模型（方程（24）的拟合结果展示在图5和图6的Archie模型中。图5显示了鄂尔多斯盆地Chang 73页岩样本孔隙水导电性与岩石导电性之间关系的拟合结果（线性坐标）。图6显示了鄂尔多斯盆地Chang 73页岩样本水饱和度与岩石导电性之间关系的拟合结果（对数坐标）。拟合结果表明，Archie模型对于Chang 73-type-1样品的拟合优度为0.9671（平均误差：5.7%）；对于Chang 73-type-2样品的拟合优度为0.9602（平均误差：7.3%）。实验数据拟合结果显示，新电导方程在描述部分水饱和页岩的电导率方面具有高精度（一维分形结果的准确性高于Archie分形结果）。值得注意的是，来自同一地区的页岩样本的虚拟粘土颗粒导电性和连接孔隙水的导电率指数是相同的。这一特性促进了这种新的导电模型在岩层评估中用于碳氢化合物饱和度计算的实际应用。

4. 讨论
4.1. 页岩的电导率响应特性
为了准确描述粘土质岩石的导电特性，G.E. Archie [4]建立了两个实验模型来描述孔隙度和饱和度对清洁砂岩电导率的影响。在Archie模型的基础上，已经开发了多种改进模型来描述粘土质砂岩的导电特性。目前流行的粘土质页岩模型包括粘土体积模型[31]和双水模型[32,33]（如表2所示）。表2列出了多孔介质中的一些电导率模型。当某些条件成立时，我们可以得到相应的数学表达式。先前的研究表明，分形维数提供了岩石孔结构复杂性的指标[24]。此外，岩石的导电特性同时受到孔结构分形维数（D_p）和毛细路径的迂曲度分形维数（D_c）的共同影响。根据方程（23），当某些条件满足时，方程（23）简化为Archie模型。前文中的实验数据验证表明：本文中的模型在表示电导率方面比Archie模型具有显著更高的准确性。如图4e和图7所示，本文中的模型残差显著小于Archie模型。在水饱和岩石中，当某些条件满足时，方程（23）的结果与双水模型相同；当其他条件满足时，方程（23）的结果与粘土体积模型的结果相同。图8展示了所提出的模型与双水模型在描述粘土质页岩导电率响应方面的比较。所提出模型的参数设置为：ρ_i, κ_i, D_p, D_c。双水模型的参数设置为：ρ_i, κ_i, D_p, D_c。结果表明，两种模型在描述页岩导电性与孔隙水导电性之间的关系方面呈现出一致的趋势。这证实了所提出模型有效地捕捉了粘土引起的额外导电特性，这一点进一步得到了实验数据的验证。图8显示了不同导电机制下孔隙水导电性与岩石导电性之间的关系。与双水模型和粘土体积模型相比，所提出模型、双水模型和粘土体积模型所需的参数数量分别为7、8和5。然而，双水模型中的参数需要复杂的阳离子交换容量（CEC）测量，这容易产生较大的实验误差。在粘土体积模型中，粘土的电阻率无法直接确定，通常需要估算，从而导致较大的不准确性。相比之下，所提出模型的参数可以通过常规岩石物理实验准确获得，程序简单且精度高，提高了实用性。在由粉砂和粘土组成的水湿页岩中，其电导率受到连接孔隙导电和表面导电的并行结构的影响。在水湿条件下，连接孔隙的导电性表现出与孔隙水导电性的线性关系，而表面导电性表现出非线性相关。当孔隙水的电导率足够高时，表面传导的贡献达到一个恒定值，使得页岩电导率与孔隙水电导率之间的关系趋于线性（如图7所示），这与先前的研究结果一致[34]。页岩电导率与孔隙水电导率的关系可以分为三个明显的区域（图8）：

**非线性区域**：孔隙水电导率非常低，连通孔隙传导变得无效，表面传导占主导地位。
**线性区域**：孔隙水电导率较高，表面传导趋近于一个恒定值，连通孔隙传导成为主要机制。
**过渡区域**：孔隙水电导率处于中间水平，连通孔隙传导和表面传导共同控制电导行为。

4.2. 常数参数对页岩电导率的影响
在完全水饱和条件下，方程（23）表明，当常数参数增加时，如果孔隙水矿化程度较低，页岩电导率会上升；然而，在高矿化程度的孔隙水中，其影响可以忽略不计。该参数主要反映了低盐度下粘土结合电导的极端情况，这与粘土矿物的阳离子吸附能力相关，并受粘土矿物学特性控制，如图9a所示。图9. 常数参数对页岩电导率的影响。(a) 参数a的影响；(b) 参数b的影响；(c) 参数c的影响。随着常数参数的增加，页岩电导率上升。随着参数的增加，页岩电导率与孔隙水电导率关系的非线性区域扩大。此外，该参数的值与粘土结合水的电导率和有效电半径有关，主要表明表面增强传导和连通孔隙传导对总电导率的相对贡献。较大的参数值对应较高的粘土结合水电导率；因此，页岩岩的电导率更多受到表面传导的影响，从而延长了非线性区域（图9b）。
参数主要表征有效电半径。较大的参数值对应较大的有效电半径，这增强了连通孔隙传导并提高了总的页岩电导率。重要的是要注意，在所提出的模型的推导中使用了一种特定的物理简化方法。从微观上看，水合粘土的额外电导性由电双层（EDL）控制，它包括内层Stern层（具有强吸附性的低移动性反离子）和外层扩散层（具有高移动性的离子）。在形成水盐度非常低的情景下，扩散层显著扩展。在这种情况下，方程（22）中的b和c值将增加，表明粘土的电化学电导半径增加，电导率也增强。

4.3. 具有不同的分形维度的页岩的电阻率响应特性
使用方程（23）分析了孔隙分形维度对页岩电导率的影响。结果表明，当表面水传导分形维度保持不变时，增加孔隙长度分形维度（）和孔隙分形维度（）会削弱岩石的电导率。在低矿化区域，岩石电导率与页岩-孔隙水电导率之间的非线性关系减弱，逐渐趋于线性。孔隙长度分形维度（）主要表征导电路径的长度。较高的分形维度值表示更长的导电路径，从而降低了岩石电导率（图10a）。孔隙分形维度（）反映了宏观/微观孔隙之间的差异。分形维度的增加意味着更多的微观孔隙占主导，因此电导率降低（图10b）。图10. 分形维度在孔隙水电导率项中对岩石电导率的影响。(a) 长度分形维度对岩石电导率的影响；(b) 孔隙分形维度对岩石电导率的影响。使用方程（23）分析了粘土结合水分形维度对页岩电导率的影响。由于粘土结合水以几乎相同的微观形态覆盖粘土颗粒，孔隙形态分形维度近似为1（）。如图11所示，当孔隙水电导率分形维度保持不变时，增加粘土结合水分形维度（）会降低岩石电导率。参数主要表征通过粘土结合水的导电路径的曲折程度。较高的分形维度值表示粘土颗粒之间的连通性减弱，通过粘土结合水的导电路径延长，从而导致整体电导率下降。图11. 分形维度在表面水传导项中对岩石电导率的影响。图12. 不同粘土颗粒连通性下表面水传导路径的示意图。(a) 粘土颗粒间连通性较弱时表面水的传导路径示意图；(b) 粘土颗粒间连通性适中时表面水的传导路径示意图；(c) 粘土颗粒间连通性强时表面水的传导路径示意图。在经典岩石物理学文献中广泛认识到，页岩电导率与孔隙水电导率之间的关系表现出三个明显的区域，非线性区域仅被解释为粘土结合水的体积主导。然而，所提出的多维分形模型的新颖贡献在于揭示了控制这些区域的基本拓扑机制，超越了简单的体积混合概念。我们的解释表明，页岩的非线性导电响应不仅是由阳离子交换容量（CEC）驱动的电化学现象，从根本上说是微观孔隙空间的多维分形性质的拓扑结果。
页岩中存在有机物和其他非水润湿组分会导致独特的导电行为。当非润湿流体（例如碳氢化合物）进入毛细管状孔隙时，它们占据孔隙中心而不影响导电路径。然而，改变的孔隙表面润湿性会复杂化导电流体的分布，增加导电路径的长度（分形维度增加），如图13a-c所示。有两个因素导致增加：导电路径的曲折程度增强（图13b）和导电路径的阻塞（图13c）。使用方程（23）分析部分水饱和条件时发现，随着导电路径的延长，即使在相同的饱和度下，页岩电导率也会降低，从而降低岩石的导电性能（图14a）。图13. 在相同饱和条件下岩石润湿性变化对相互关联导电性的影响示意图。(a)；(b)；(c)。图14. 分形维度在表面水传导项中对岩石电导率的影响。(a) 孔隙长度分形维度对岩石电导率的影响；(b) 粘土含水量分数对岩石电导率的影响。基于方程（23）对部分饱和条件下粘土结合水体积比（）对页岩电导率的影响的分析显示（图14b），在恒定饱和度下，增加的分形维度值会导致页岩电导率降低。这是因为：(1) 随着油分子主要占据孔隙空间，孔隙水的导电体积减少；(2) 在水饱和度不变的情况下，孔隙水体积的减少导致非导电油分子的比例增加，从而导致岩石电导率迅速下降。

4.4. 多重分形页岩的电阻率响应特性
先前关于岩石毛细压力曲线、电阻率增加率曲线和核磁共振（NMR）T2谱形态的研究表明，岩石微观孔隙结构表现出多重分形特性[35]。基于方程（22）对页岩孔隙的多重分形分析，我们假设有三种孔隙分形情况：单分形特征、双分形特征和三重分形特征。图15显示了水饱和和部分饱和页岩的相应电导率响应。图15. 多重分形页岩的电阻率响应特性。(a) 孔隙水电导率与岩石电导率之间关系的响应特性；(b) 孔隙度与岩石电导率之间关系的响应特性。(c) 水饱和度与岩石电导率之间关系的响应特性；(d) 水饱和度与岩石电阻率增加率之间关系的响应特性。图15a展示了孔隙水电导率变化时页岩在单分形、双分形和三重分形条件下的电导率响应曲线。结果表明，分形维度的增加（从单分形到三重分形）降低了页岩电导率，水饱和页岩中的非线性逐渐减弱。更简单的孔隙形态趋近于单分形特性。随着分形从1D过渡到3D，结构复杂性增加。更复杂的孔隙结构会降低电导性能。值得注意的是，较低的孔隙电导率比例降低了表面传导的影响。这种效应减少了页岩电导率的非线性。
图15b显示了在单分形、双分形和三重分形条件下不同孔隙度下页岩的电导率响应曲线。分形维度的增加（从单分形到三重分形）由于孔隙结构复杂性的恶化而降低了页岩电导率。我们发现在对数-对数坐标中，单分形孔隙表现出线性的孔隙度-电导率关系，这通常被称为Archie现象[36]，而复杂分形孔隙（分形维度从1D变化到3D）表现出非线性关系，这是非Archie行为[37]。这证实了孔隙结构复杂性是页岩中非Archie效应的主要驱动力。
图15c展示了在单分形、双分形和三重分形条件下，随着水饱和度变化的部分饱和页岩的电导率响应曲线，图15d展示了在相应分形条件下部分饱和页岩的电阻率增加率曲线。如图所示，随着分形维度的增加（从1D到3D），电导率降低而电阻率增加率增加，因为孔隙结构变得更加复杂。在对数-对数坐标中，页岩的电阻率增加率在不同饱和度水平上表现出不同的模式：在高饱和度水平下与水饱和度呈线性关系（Archie现象），而在低水饱和度水平下表现出非线性行为（非Archie现象），其中饱和度水平与非线性区域的分形维度呈正相关。
当非润湿流体（非导电相）进入并逐渐占据岩石孔隙时，存在三种状态：
在高饱和度水平下，非润湿相流体占据大孔隙中心，产生类似Archie的岩石电阻率增加率与水饱和度之间的关系；随着饱和度的降低，非润湿相流体逐渐侵入微观孔隙，改变了导电路径，导致岩石电阻率增加率与水饱和度之间的非Archie行为；直到非润湿相流体无法进入孔隙，孔隙中剩余的水是不可置换的结合水，随着孔隙结构变得更加复杂，岩石的结合水饱和度增加，导致岩石电阻率增加率与水饱和度的非Archie现象区域向高饱和度区域移动。
准确预测宏观导电响应在很大程度上依赖于对底层多维分形参数的定量获取。在实际的页岩样本中，这些关键输入参数可以通过结合间接流体侵入方法和高分辨率成像技术（X射线计算机断层扫描（CT）或原子力显微镜（AFM）来定量提取。例如，原子力显微镜（AFM）提供了纳米尺度内部孔隙表面的超高分辨率定量地形图，可以直接计算表面分形维度。此外，非破坏性的3D成像技术，特别是高分辨率X射线计算机断层扫描（CT），已成为绘制复杂多孔介质真实3D空间几何形状的不可或缺的工具。将X射线CT成像与分形理论结合起来，可以精确地进行三维建模和宏观孔隙结构的定量分析，得出非常准确的空间分形维度[38]。通过将这些先进的直接成像方法（AFM、X射线CT）与传统的流体侵入数据相结合，可以跨多个尺度稳健且全面地确定我们提出的导电模型所需的多维分形参数。
澄清所提出模型的理论性质是很重要的。虽然该模型是基于严格的多维分形理论推导出来的，但最终的数学公式（方程（23）并没有完全消除经验主义。由于页岩的极端异质性，不经过校准直接将连续的微观分形谱转换为宏观电导率在实际上是不可行的。因此，该模型采用了通过拟合程序确定的几个可调参数。然而，与传统经验模型不同，传统模型中的指数仅被视为数学曲线拟合工具，这种新公式将经验主义重构为一个具有物理意义的框架。因此，该模型最好被描述为一个受物理约束的半解析框架，提供了一种比纯经验方法更合乎逻辑和结构化的替代方案。

4.5. 未来工作计划
基于分形理论的孔隙微观结构表征是研究复杂多孔岩石系统中声学、电阻率和流动特性的主要方法[39]。所提出的多重分形框架改进了对复杂孔隙结构，特别是致密岩石和页岩的描述和表征[40]。随着实验方法的进步和精度的提高，多重分形表征方法也可以广泛应用于未来的研究，例如在数字岩石模拟中。
岩石电阻率描述函数的准确性对于确定储层中的碳氢化合物饱和度至关重要[41]。本文提出的页岩电阻率模型可用于页岩储层的饱和度计算，并能够量化总有机碳（TOC）含量。此外，研究有机物质对页岩导电性的影响仍然是未来研究的主要方向。本研究基于双重分形理论建立了毛细压力曲线与岩石电阻率之间的功能关系，为探讨微观结构孔隙几何形态如何控制电响应提供了一种有效的方法和新的概念框架[42]。这一进展对于页岩和碳酸盐岩等微观结构复杂的地层尤为重要。尽管该新模型全面考虑了孔隙结构和表面导电性质，但尚未明确描述润湿性效应。润湿性是控制油页岩导电性的关键因素[43]。量化润湿性对页岩导电性的明确影响对于提高岩石导电性表征的准确性至关重要。

5. 结论
(1) 本研究的核心创新在于从纯粹的经验性电阻率公式转向多维分形力学框架。通过表征微观结构孔隙几何形状的拓扑复杂性以及粘土束缚水表面导电路径的明确贡献，成功开发了一种基于分形的页岩导电性模型。
(2) 在泥质页岩中，粘土束缚水的导电性是一个不可忽视的因素。根据分形理论原理，对这些表面导电路径的表征使得能够开发出基于分形的页岩导电性模型。实验验证表明，该新模型显著提高了页岩导电性表征的准确性。
(3) Archie方程在数学上可以视为这种新公式的特化简化形式。重要的是，该模型的常数参数可以通过标准岩心样品分析实验来确定。与双水分模型和泥质体积模型相比，它在实验协议简化以及参数获取方面具有显著的实际应用优势。
(4) 页岩导电性与孔隙水导电性之间的关系可以分为三个区域：非线性区域、过渡区域和线性区域。由粘土束缚水引起的导电性决定了非线性行为；随着阳离子交换容量（CEC）的增加，当孔隙流体的盐度较低时，这种非线性会加剧。
(5) 分形维数（曲率维数）和（孔径维数）表征了孔隙结构的复杂性。这两个维数的增加会导致岩石导电性的降低。粘土束缚水的分形维数量化了通过粘土束缚水的导电路径长度。较高的维数值表明粘土颗粒之间的连通性较弱，延长了表面导电路径，进一步降低了整体导电性。
(6) 在对数-对数坐标系统中，电阻率随水饱和度的变化率在较高饱和度下表现出线性行为，在较低饱和度下则表现出非线性特征。随着孔隙分形度从1D演变为3D，形态复杂性增加，导致非线性区域的饱和度阈值逐渐扩大。通过准确捕捉这些微观结构差异，本研究显著提高了高度非均质地层中水饱和度计算的准确性，为非常规页岩资源评估提供了坚实的岩石物理基础。