分形波与超确定性框架下的焦散特征：针对分数阶克莱因-戈登方程的PINN与PI-GNN方法的评估 Luis Rojas 和 José Garcia

《Fractal and Fractional》：Fractal Waves and Caustic Signatures in a Superdeterministic Framework: Benchmarking PINNs and PI-GNNs for the Fractional Klein–Gordon Equation Luis Rojas and José Garcia

　　

摘要

我们研究了固定方向导数的分数幂和复数幂，通过Marchaud型的奇异积分表示法进行定义。在明确的收敛假设下，这可以在射线方向上得到逐点的非局部实现。然后，我们基于点处方向流的解析插值，提出了一个Ramanujan-Hardy方法来处理分数方向微分。这种构造在流空间中是局部的，并受到Ramanujan主定理的Hardy表述的约束。我们强调，所获得的Ramanujan-Hardy导数是通过方向流的Hardy可接受插值来定义的。作为应用，我们研究了维数为2的牛顿核的分数方向导数。 r-d' data-speech-attached="true" data-semantic-braille="??????" data-braille-attached="true" has-speech="true"> r-d' data-semantic-summary=' power' data-semantic-braille="??????"> the real numbers' data-semantic-prefix ' Base' data-semantic-summary ' identifier' data-semantic-braille="????">? d' data-semantic-prefix ' Exponent' data-semantic-summary ' identifier' data-semantic-braille="?">??。经过合理的正则化和简化为Marchaud型积分后，我们得到了结果函数的一维积分表示和区域谐波描述。这导致了的一个分数Maxwell-Gegenbauer恒等式，该恒等式用复数度的Gegenbauer函数表示了的分数方向导数。通过这种方式，经典的Maxwell多极公式出现在连续解析族的整数阶情况下。此外，分数算子保持了牛顿核的主要结构属性，包括均匀性、旋转不变性和离原点的谐波性。因此，本文将Mellin分析、Ramanujan主定理、分数微积分和球面上的谐波分析联系起来，同时澄清了Marchaud构造和流插值构造在分数方向算子之间的区别。