一种结合统计线性化和长椭球波函数的改进波估计方法 Malwin Wermbter, Jian Tan, Moustafa Abdel-Maksoud

《Journal of Marine Science and Engineering》：An Enhanced Wave Estimation Approach by Combining Statistical Linearization and Prolate Spheroidal Wave Functions Malwin Wermbter, Jian Tan and Moustafa Abdel-Maksoud

　　摘要：在浮动结构运行过程中，基于运动测量的相位分辨波估计提供了一种高效且低成本的方法来提升运营效率。长椭球波函数（PSWFs）借助波到运动响应幅度算子（RAO）能够在短时间内重建波形。尽管完全线性的流体动力学建模可以有效地推导出浮动结构的RAO，但其适用性很大程度上仅限于相对线性的运行条件。本研究通过将PSWF方法与统计线性化方法相结合，扩展了波估计的应用范围，使得基于测量运动的非线性因素能够被纳入RAO中。该方法通过对一个浮动圆柱体和球体的运动进行验证而得到证实，这些运动是使用基于Cummins方程的时域模拟计算得出的。研究考虑了粘性阻力和非线性静水力的影响。结果表明，结合使用PSWFs和统计线性化方法可以提高波形的准确性，体现在相关性和频谱差异方面。对于周期大于9秒的波浪，该方法能够再现出相关性值超过0.9的波形。对于球体，同时考虑非线性效应后，由于运动幅度的减小，方法的准确性略有提高。

1. 引言
在海洋工程和海事工程中，实时波估计是预测和控制系统运动、载荷以及功率的关键需求。此外，结合任意测量值（例如运动、载荷和功率）的波形数据，可以深入了解浮动结构在复杂海环境中的运行行为、数值工具的预测准确性以及长期统计特性。在浮动平台上，波估计可以通过上游的波浪雷达或浮标获得。然而，这两种选项通常不可用或成本较高[1]。浮动结构会对波浪激励作出响应，从而可以通过运动测量和模拟的运动特性来重建入射波形。现有的波估计方法主要分为两类：数据驱动方法和基于物理的方法。Cademartori等人[2]比较了这两种方法，发现它们可以重建波形，但前提是输入数据中必须很好地反映了运行条件。基于物理的方法，如卡尔曼滤波器（Kalman-Filter）方法和基于响应幅度算子（RAO）的方法，利用了来自数值模拟的运动行为知识。依赖卡尔曼滤波器的方法[1,3]需要一个校准阶段。基于RAO的方法[4,5,6,7]使用长椭球波函数（PSWFs），无需校准即可应用。不过，PSWF方法的准确性仍然受到从数值模型或实验结果获得的RAO准确性的限制。

基于RAO的波估计方法近年来受到了越来越多的研究关注[4,7]。RAO的识别依赖于对浮动结构动态行为的理解。数值建模是预测浮动结构动态的关键工具，它提供了一种资源高效且时间节省的替代方案，相比实验和海上试验方法[8]。它能够分析不同浮动系统设计的动态行为和功率性能，支持设计-性能关系的探索以及向成本效益更高的技术进行迭代改进。常见的数值方法包括线性频域（FD）建模、基于Cummins方程的时域（TD）建模以及基于Navier-Stokes方程的计算流体动力学（CFD）建模[9]。CFD能够高保真地模拟非线性流动现象，但计算要求较高，因此最适合用于短时间、极端条件下的分析，如生存能力评估[10]。基于Cummins方程的TD建模[11]通过在方程中包含相关非线性函数，在准确性和计算效率之间取得了平衡。另一方面，FD建模使用谐波分析在频域中表示系统响应。尽管计算效率高，但其对完全线性的假设限制了其适用性[12]。TD和FD建模方法都需要一组固定的参数来定义运行条件，这些参数包括质量分布、阻尼参数以及操作参数（如水深、海洋生长和电流）。实际上，很少能够准确掌握所有参数。因此，在运行过程中，通常采用基于RAO初始估计的方法更为合适。根据天气数据和运动测量调整RAO是可行的，但这需要非常精确的天气数据，并且在波峰较陡的海域中获得可靠的RAO较为复杂[13,14]。为了弥合TD和FD建模之间的差距，统计线性化（SL）方法作为一种有前景的替代方案应运而生。它结合了效率，并能够使用统计线性化来表示RAO中的非线性效应。SL方法在浮动可再生能源系统中的早期应用解决了振荡式波浪能转换器（WECs）中的二次阻尼和激励力解耦问题[15]，在功率捕获和响应谱方面与非线性TD模型有很好的一致性。后续研究将SL方法扩展到包括额外的非线性效应，如阻尼[16]、末端止动机制、系泊刚度、库仑阻尼、非线性静水力和机械力限制[17,18,19,20,21]。Tan等人的最新进展[22]将该方法扩展到涵盖整个从波浪到电线的整个过程，包括流体动力学和功率转换阶段。如上所述，应用于PSWF算法中的RAO的准确性对于准确的波估计至关重要。SL方法的高计算效率和其对非线性效应的包容性使其成为改进现有依赖RAO的PSWF应用的潜在解决方案。尽管SL方法作为评估浮动结构载荷和动态运动的有效设计工具受到了广泛关注，但其集成到波估计算法中的适用性尚未得到证实。本研究提出了一种结合SL和PSWF算法的波估计方法（PSWF-SL）。Takami等人[4]的现有PSWF算法和Tan等人[23]的SL算法依次应用于短时间窗口，并通过迭代求解直到收敛来确保准确性。与Wermbter等人[7]和Takami等人[4]的方法相比，结合SL的方法能够在运行过程中适应RAO的变化，而无需RAO数据库。因此，它避免了数据库条目之间的插值误差，并提高了对未知运行条件的准确性，这些条件由于复杂性增加而无法在PSWF方法中考虑。该方法通过对受到粘性阻力影响的浮动圆柱体和受到非线性静水力影响的浮动球体进行验证而得到证实。运动计算使用基于Cummins方程的TD求解器完成。研究考虑了不同的波高和周期，以验证所开发程序对FD计算的有益性。

本研究的结构如下：第2节包含SL方法、PSWFs和组合方法的理论描述。第3节分为圆柱体和球体的结果部分，其中在结果之前简要介绍了每个数据集，并讨论了组合方法。第4节总结了本研究的贡献，并对未来工作提出了建议。

2. 方法论
2.1. 浮动结构的动态建模
为了预测基于浮体运动的波高，应用了三种不同的动态建模方法进行比较：非线性TD建模、线性FD建模和SL方法。
2.1.1. 非线性时域建模
浮动结构在TD中的运动通常由Cummins方程表示[11]：
(1)
其中：
M：浮动结构的质量；
z, v, a：浮体的位移、速度和加速度；
t：时间；
Fexc：波浪激励力；
Fmooring：线性系泊力；
Fhydrostatic：静水恢复力；
Fviscous：粘性阻力；
Fradial：辐射脉冲函数；
Φ：卷积积分中的中间变量；
Fnonlinear：外部非线性力。
术语Φ表示作为对Cummins方程修正的外部力。然而，它无法准确捕捉到强烈的非线性效应，如涡脱落。由于浮体动态在每个时间步都是确定性评估的，因此可以直接将非线性项Φ包含在TD模型中。
2.1.2. 线性频域建模
假设线性，浮动结构在频域中的运动表示如下：
(2)
其中：
Aexc：激励力的复振幅；
ω：角频率；
Δz：位移的复振幅；
Kmooring：系泊刚度系数；
Khydrostatic：静水刚度系数；
Dviscous：粘性阻尼系数。
FD建模方法广泛用于分析线性系统。然而，由于它依赖于谐波分析，因此忽略了非线性项。
2.1.3. 统计线性化方法
SL方法是在FD建模方法的基础上扩展的，可以通过额外的等效项来纳入非线性效应。SL方法的运动方程表示为：
(3)
其中：
Clinearized：非线性刚度效应的等效线性化系数；
Cdamping：非线性阻尼效应的等效线性化系数。
等效线性化系数的推导在附录A中有详细描述。SL方法的数学证明和推导在[24]中得到了全面展示。SL方法本质上基于海洋波浪和浮体遵循高斯分布的假设。当非线性效应较为显著时，这一假设可能会受到挑战，但本研究主要应用于非极端波浪情况。关于高斯假设的进一步论证可以在第3.4节和附录A中找到。此外，应该注意的是，等效线性化系数Clinearized, Cdamping, 和Cnonlinear是频率独立的，并与系统响应的统计估计相关。由于在求解响应之前线性化系数是未知的，因此应用迭代算法来求解(3)。
2.1.4. 数值动态模型的实现
本研究中应用的浮动结构的流体动力学系数（包括激励力、辐射阻尼和附加质量）是通过开源边界元素法（BEM）求解器使用数值模拟获得的，如Nemoh[25]所述。为了更好地模拟真实的海洋波浪条件，本研究采用了不规则波浪。不规则波浪是通过基于JONSWAP波浪谱的谐波分量叠加构建的[26]。每个不规则波浪序列包含1000个频率分量，每个分量的相位随机分布，频率范围从...到3...。在本研究中，使用长波峰海域来验证所提出方法的适用性。虽然也可以使用短波峰海域进行计算，但由于波浪能量的扩散，通常会降低准确性，如Takami等人[5]所示。在SL方法中，使用迭代方案求解运动方程，以线性FD模型的解作为初始猜测，收敛标准定义为所有考虑的模拟情况的0.01%[16,18]。
为了比较，还进行了线性FD和非线性TD建模，以推导响应幅度算子（RAO），进一步用于支持波预测。由于其更高的建模保真度，TD建模被选为准确性参考。TD模型基于Cummins方程推导[1]，其中辐射力卷积项使用Perez和Fossen[27]提出的方法基于状态空间的表示进行高效近似。微分方程在MATLAB R2026a中使用ODE45求解器数值求解，时间步长定义为0.1秒。在本研究中，ODE45求解器的容差设置为一个相对容差和一个绝对容差。所有模拟都经过验证，确保相对于选定的时间步长已经收敛。由于浮体的动态主要由惯性支配，使用固定时间步长的ODE45足以实现良好的时间收敛。然而，对于表现出更多动态行为的系统，使用可变时间步长可能更为合适。此外，Tan等人[28]已经验证了这种TD建模与另一种高保真模型的准确性。每次TD模拟总共持续1000秒，其中最初的100秒定义为斜坡期，以避免强烈的瞬态能量流动[29]，因此斜坡期间的响应结果在后续分析中被排除。
2.2. 使用PSWFs的相位分辨波预测
长椭球波函数用于重建输入运动。PSWFs能够在不要求时间窗口具有周期性的情况下重建运动，即使时间窗口很短。该过程由Takami等人[4]建立，并为单自由度（DOF）的运动测量简化如下：
输入运动被分割成时间窗口。由于PSWFs在时间窗口的开始和结束时准确性会降低，因此窗口重叠总时间窗口大小的20%。在本研究中，窗口大小设置为4分钟。运动是通过功率谱密度和相位分量来重构的，这两者都依赖于运动频率（4）。相位分量的详细确定可以在Takami等人的研究[4]中找到。使用的频率数量取决于两个输入参数：时间窗口大小和需要重构的最大频率。在本研究中，时间窗口大小被设置为2，频率步长被设置为。Boyd[30]建议将频率数量增加30个，以避免使用不稳定的功率谱密度函数（PSWFs）（5）。功率谱是借助自相关函数计算得出的（6）。自相关函数是有益的，因为它比傅里叶分析更准确地反映了相位信息。它是从时间序列中按照以下方式计算得出的（7）：其中time_window_mean_value是时间窗口的平均值。浮动结构的复数响应谱（RAO）通常用于从已知的波浪或其波谱计算线性运动。Takami等人[4]解决了逆问题，对于一个自由度（DOF）来说，问题很简单（8）。重要的是，该公式仅应用于满足方程末尾所述振幅条件的频率，因为小振幅会导致不稳定性。0.1这个值是从Takami等人的研究[4]中借鉴的。波谱参数，即有效波高和波峰周期，可以从波谱的积分公式中计算得出[26]。波形是通过计算波浪和运动之间的相位角以及从波谱计算出的波幅来得出的（9）。得到的波形使用两个指标进行评估：一个评估相位（相关性），另一个评估振幅（波谱差异）。平均相关性类似于（7）的计算方法，但是使用了两个波形（10）。相关性不依赖于信号的振幅，只评估信号之间的相位差异。信号之间没有相位差异时，相关性为1；而相位差异相反时，相关性为-1。波谱的振幅是基于归一化均方根误差（NRMSE）来评估的（11）。差异是用输入波谱的面积来归一化的，该面积不能为零。NRMSE是使用波谱数据而不是时间序列来计算的。然而，为了研究这种方法的极限，将这两种效应分开是有益的。波谱与波浪相位无关，可以分别评估结果的准确性。

2.3 综合PSWF-SL方法
在本节中，介绍了用于改进波浪估计的结合PSWF和SL（PSWF-SL）方法。SL方法来自第2.1节，而第2.2节中描述的PSWF被修改以包含SL。图1展示了这种组合方法的概念。与PSWF方法相比，PSWF和波浪参数的顺序估计被替换为一个包含SL的迭代循环，其输出为RAO。迭代一直进行，直到两次连续迭代之间的SL参数变化（ΔSL）小于设定的边界值（12）。

图1. 综合PSWF-SL方法的模块化可视化。橙色框表示输入数据，蓝色框表示前一节的计算结果，绿色框表示每次迭代的输出参数。在SL计算中应用的线性化系数在迭代后会被保存下来，并作为下一次迭代的输入。所建立的方法基于两次嵌套迭代。以下算法1列出了当前方法中的计算步骤：
算法1：PSWF-SL方法
将两次迭代合并为一个优化问题会在波谱参数和RAO之间引入强烈的双向耦合。由于PSWF-SL的输出依赖于这两个量，因此得到的目标函数容易产生多个局部最小值。嵌套方法通过在固定RAO下估计波浪参数和基于更新后的波浪参数调整SL RAO之间交替来解决这个问题。在本研究中的发展在5-10次外部迭代后趋于收敛。

3. 结果与讨论
为了验证所提出方法对不同应用和非线性类型的广泛适用性，本工作采用了两种几何形状，并且结果分为五个部分进行结构化。第3.1节讨论了具有粘性阻力的浮动圆柱体，第3.2节讨论了受到非线性静水力作用的球体，第3.3节讨论了同时受到粘性阻力和非线性静水力作用的球体。第3.4节、第3.5节和第3.6节包含了高斯假设、噪声和多自由度运动的研究。

3.1 具有粘性阻力的浮动圆柱体
3.1.1 仿真设置
如图2所示，采用了一个通用的圆柱形浮体作为第一个研究参考。浮体仅限于纵荡运动，系泊张力被建模为垂直方向的线性弹簧力。在这种情况下考虑的非线性效应是粘性阻力。在这种情况下使用的主要几何和仿真参数总结在表1中。表1. 在一个自由度（纵荡）或三个自由度（横摇、纵荡和俯仰）中移动的圆柱形浮体的仿真参数。粘性阻力可以用Morison方程来描述（13），其中CD是阻力系数，A是物体在运动方向上的投影面积，ρ是水密度，v是浮体速度。线性化的粘性阻尼项可以在频域中表示为（14），其中VR是浮体速度的复数振幅，κ是统计线性化的粘性阻尼系数。该系数在之前的研究[15]中已经推导出来（15），其中σ表示浮体速度的标准差。因此，SL方法的运动方程可以具体化为（16）。
对于表2中列出的一系列有效波高和峰值周期，进行了仿真。选择的波高和周期限制对应于根据DNVGL-CP-205[31]确定的全球最可能的波浪条件。由于在某些情况下RAO的适用性，最大高度受到限制，当波浪振幅超过浮体的吃水深度时，RAO的可靠性会降低。仿真时间设置为1000秒，时间步长为。结果仅显示了初始上升阶段之后的900秒仿真时间。

3.1.2 收敛性研究
PSWF-SL方法的准确性取决于RAO的准确性以及SL对非线性效应的适当近似。影响准确性的变量是时间窗口大小和迭代边界（12）。图3表明，如第2.2节所述，选择240秒（4分钟）的时间窗口会导致高相关性和低NRMSE值。将时间窗口大小减小到30秒会导致结果波形中的较大偏差，特别是在高振幅波浪中。偏差归因于假设的高斯分布，当时间窗口内捕获的峰值周期数量较少（在30秒窗口大小的情况下大约为三个）时，这种假设就会被违反。图3. 不同时间窗口大小的PSWF-SL方法的相关性和NRMSE，对于具有10秒峰值周期的圆柱体在波浪中的情况。图4显示了相关性、NRMSE以及CPU和仿真时间之间的比例关系。仿真是在一台配备Intel i7-8700 CPU（3.2 GHz）的标准台式电脑的单核上执行的。收敛限制为可以在低计算成本下获得高精度。减小限制可以减少内部和外部迭代次数，如第2.3节所述，但这在本研究中对计算时间没有可测量的影响。收敛限制为一次迭代，这表明图1和算法1中的单次循环已经能够达到可接受的准确性。

3.1.3 RAO和响应谱的比较
在本节中，使用Cummins方程、SL和FD计算的响应谱进行了比较。图5显示了有效波高为3米、峰值周期为8秒的波浪中圆柱体的响应谱。它表明，SL的适应显著减少了TD计算中的差异。TD结果的谱是使用Welch方法计算的，而谱和FD谱是在频域中计算的[26]（17）。
图5. 在有效波高和峰值周期的波浪中，FD、SL和TD计算的圆柱体响应谱。图5中FD到SL的峰值减少可以追溯到图6中显示的RAO的共振峰。从（15）插入到（16）中的粘性阻力修正显著降低了峰值。RAO的相位仅受到SL的轻微影响。这可以通过SL将与运动响应相关的修正系数纳入运动方程来解释，该修正系数将粘性阻力效应作为阻尼项考虑在内。

3.1.4 使用FD和SL RAO的波浪估计
在本节中，比较了使用PSWF方法的波浪估计结果，输入分别为FD和SL RAO。
图7显示了500秒仿真时间后的结果波形。应用的RAO与图6中的相同，这解释了由于RAO振幅较低，SL估计的波幅较高的原因。图7. 使用FD和SL RAO在具有有效波高和峰值周期的波浪中计算和估计的圆柱体波形。图8显示，图7中的定性观察结果转化为了使用Welch方法计算的波谱，其中TD和SL之间的差异小于TD和FD之间的差异。尽管在共振频率附近的波能相对较小，但结果表明RAO的适应可以提高估计的准确性。

3.1.4 使用FD和SL RAO的波浪估计
在本节中，比较了使用PSWF方法的波浪估计结果，输入分别为FD和SL RAO。
图7显示了500秒仿真时间后的结果波形。应用的RAO与图6中的相同，这解释了SL估计的波幅较高的原因。图8显示，图7中的定性观察结果转化为了使用Welch方法计算的波谱，其中TD和SL之间的差异小于TD和FD之间的差异。尽管在共振频率附近的波能相对较小，但结果表明RAO的适应可以提高估计的准确性。

3.1.5 使用PSWF-SL方法的波浪估计
在本节中，比较了使用基于FD建模得到的RAO的PSWF方法的波浪估计结果和结合PSWF-SL方法的结果。
图10重复了FD的结果，但将它们与开发的PSWF-SL方法进行了比较。与图9类似，结合使用的方法在NRMSE（均方根误差）方面表现更好，但在相关性方面准确性略有下降。PSWF-SL方法的应用是成功的，并证明了在每个时间窗口中调整RAO（随机运动场）是可行的，其准确性与在所有测量数据收集完成后应用SL方法得到的结果相似。需要强调的是，SL方法不适合在船上使用，因为它只能在测量运动数据之后应用。而PSWF-SL方法可以在测量过程中应用，并且如图4所示，不会增加评估时间。图9中SL方法的结果与图10中PSWF-SL方法的结果显示出大致相同的相关性和NRMSE值。这证明了PSWF-SL方法能够在较短的时间窗口内识别出最佳拟合的RAO。与Wermbter等人[7]的PSWF结果相比，这是一个优势，因为当某些参数（例如阻力系数）已知时，所需的数据库可以大大缩小。

图10显示了FD（傅里叶波谱分解）和PSWF-SL方法对圆柱波估计的相关性和NRMSE值，这些数据是按照峰值周期绘制的。虚线表示具有最高显著波高的点。PSWF-SL方法的一个关键特点是它能够适应波浪条件的瞬时变化以及浮体的动态行为。图11表明，在900秒的测量时间内，显著波高发生了显著变化。如图9和图10所示，考虑到运动的非线性，PSWF-SL方法允许根据当前的显著波高进行独特的RAO调整。图11还显示了TD（时间域）计算的波浪剖面时间序列，每个100秒用条形图表示每个时间窗口的显著波高。峰值周期为8秒，平均显著波高为3米；最小和最大时间窗口的波高也有标注。图12显示，与SL和FD方法相比，PSWF-SL方法能够成功地为每个时间窗口调整RAO并降低NRMSE。与FD方法相比，PSWF-SL方法在较高波高下的优势更为明显，因为非线性效应在更陡峭的波浪中影响更大。

图12显示了圆柱体的平均NRMSE（其中h是bin中心的波高）以及所有时间窗口和方法的标准差，这些时间窗口和方法根据与平均显著波高的百分比差异进行了分类。

3.2. 具有非线性静水力的浮动球体
3.2.1. 仿真设置
第二个案例研究采用了一个浮动球体，专门研究非线性静水力对所提出的组合方法预测性能的影响。浮动球体如图13所示，相关仿真参数在表3中提供。表3列出了球形浮体的仿真参数。球体的非线性静水力可以表示为（18），其中V是球体的瞬时浸没体积。如[21]中详细说明的，（18）的统计线性化表示可以推导为（19），其中δ、d和R分别代表位移的标准差、浮体的吃水深度和半径。随后，球体的运动方程可以表示为（20）。模拟的波高和周期根据之前对圆柱体的研究结果，在表2中列出。

3.2.2. 使用线性FD和SL方法的波浪估计
在本节中，比较了使用PSWF方法以及从FD和SL方法获得的RAO对球形浮体的波浪估计结果，同时考虑了非线性静水效应。图14显示了SL和FD方法得到的RAO结果。与图6相比，非线性静水力的建模导致振幅略有增加，更重要的是，共振频率发生了变化。图14显示了具有非线性静水力的球体在特定波高和峰值周期下的线性及频谱RAO的绝对值和相位。图15比较了FD和SL方法在峰值周期内的估计结果的相关性和NRMSE，表明非线性静水力对波浪估计的影响比粘性阻力更大。NRMSE值更高，尤其是在6到8秒的周期范围内。SL方法至少将NRMSE降低了50%。波高对结果有很大影响，可以得出结论，通过改变球体的浸没深度引入的非线性静水力可以用（19）中的运动振幅依赖项来表示，其值会随着每个波浪条件而变化。然而，球体的浸没深度取决于静水力和波浪力。用运动依赖项表示静水力会引入误差，因为这会导致波浪和静水力的模糊。应该用一个取决于水面和球体重心之间相对向量的项来代替它。图14中的共振振幅对应于大约5秒的周期，这意味着所研究的波浪条件主要处于球体和波浪高度之间的相对运动较小的范围内。未来工作将探讨亚共振周期的研究。

3.2.3. 使用PSWF-SL方法的波浪估计
在本节中，比较了使用PSWF方法以及从FD RAO和PSWF-SL方法得到的球体在非线性静水力条件下的波浪估计结果。图16显示，PSWF-SL的相关性更高，NRMSE明显低于FD方法的结果。除了最高波高处NRMSE较高外，PSWF-SL复制了前一节中的SL结果；然而，相关性也更高。如前一节所讨论的，关于波浪力和静水力分离的不确定性并不简单，特别是对于PSWF-SL方法，因为短时间窗口引入了更多的不确定性，因为不能假设运动和波浪遵循高斯分布。

3.3. 具有非线性静水力和粘性阻力的浮动球体
在本节中，比较了使用PSWF方法以及从线性FD建模得到的RAO和PSWF-SL方法对具有非线性静水力和粘性阻力的球体的波浪估计结果。图18显示，对于几乎所有情况，PSWF-SL的相关性高于0.9，RMSE低于0.2。与前一节仅应用非线性静水力的情况相比，FD和PSWF-SL对波高的敏感性较低。粘性阻力减小了运动振幅，提高了PSWF方法的性能。运动振幅的变化较小是有益的，因为预测振幅和相位的小误差不会导致波浪剖面的大幅变化。图18显示了具有非线性静水力和粘性阻力的球体波浪估计的相关性和NRMSE，这些数据是按照峰值周期绘制的。图19总结了图15和图16的研究结果，表明在较高波高下，FD方法的表现较差，而SL和PSWF-SL方法的表现更好。由于短时间窗口内的瞬时变化可能违反附录A中描述的统计假设，PSWF-SL的性能略低于SL方法。因此，未来的工作可以考虑根据测量的运动振幅分布调整假设的高斯分布。

3.4. 高斯分布假设的影响
从实际角度来看，假设浮体响应服从高斯分布允许在底层系统动力学未知的情况下，在SL程序中推导出等效的线性化系数。这一假设在以线性波浪为主的海洋工程应用中是合理的。然而，几个因素可能会挑战其有效性。除了第2.1节和附录A中讨论的增加的非线性外，PSWF和SL在短时间窗口上的组合也可能违反这一假设。为了研究假设与测量分布之间的差异，评估了（A6）中的平均值。计算平均值只会略微增加计算工作量。本节展示的结果是针对具有静水阻力的球体，因为在所研究的案例中，偏差最大。图20显示了每个时间窗口与从平均值和标准差计算出的高斯分布之间的NRMSE。较高的波高增加了偏差和结果之间的散布。这些偏差源于测量的波浪高度分布和静水力的非线性贡献，后者由于波浪高度到升沉运动的非线性转换而增加了偏差。图20显示了每个时间窗口的测量升沉位移分布与高斯分布之间的NRMSE。图21显示了图20中最大NRMSE偏差的分布。测量分布的峰度高于高斯分布。尽管NRMSE值约为0.5，但在应用高斯分布公式时，预期的偏差是可以接受的，因为仅峰度不同的分布得到的SL公式只会产生小的差异。图21显示了高度和周期对应的波浪的直方图和高斯分布。图22比较了PSWF-SL与高斯公式以及（A6）评估的相关性和PSD（功率谱密度）。对于所有计算的波浪条件，相关性都有所增加，而PSD值仅部分改善。红色圆圈表示图21中显示的最大偏差波浪条件。尽管最初分布的偏差最大，但得到的相关性和PSD并不是最高的，这表明高斯假设并没有被严重违反。图22. 在峰值周期内，绘制了具有非线性静水力的球面波估计的PSWF-SL方法与带噪声和漂移的PSWF-SL方法之间的相关性和NRMSE。虚线表示具有最高显著波高的点。圆圈表示图21中偏差分布最强相关性和NRMSE的值。3.5. 测量噪声的影响现实世界的测量数据受到来自测量加速度和角速度的惯性测量单元（IMUs）的噪声和漂移的影响。为了弥合数值模拟和测量数据之间的差距，图23展示了一个人为引入噪声和漂移的时间序列。在模拟过程中，漂移呈线性增加，在模拟结束时其值为1。噪声呈正态分布，标准差为，平均值为（21）。图23. 在波高为，峰值周期为的波浪中，展示了带有0.3米噪声和漂移的起伏运动。图24显示了带有噪声和漂移的PSWF-SL方法的结果。对于噪声和漂移的数据集，相关性降低，NRMSE值增加。与之前的图表相比，连接线的波高是最小值，而不是最大值1。由于噪声的标准差几乎与波幅相等，因此在低波高时准确性受到影响，如图6中的RAO所示。PSWF算法无法区分噪声和真实的起伏运动，这限制了其在低波高情况下的适用性。建议对信号进行预处理以去除大部分噪声和漂移。来自基于Cummins方程的时间序列的进一步偏差可能源于未建模的动态。在之前的研究中已经使用PSWF方法[7]表明，Cummins方程数据的准确性可与全尺寸测量数据相媲美。未来的工作应包括从数据库中泛化RAO识别，并在全尺寸数据上结合使用PSWF-SL方法处理多种非线性因素。图24. 在峰值周期内，绘制了具有非线性静水力的球面波估计的PSWF-SL方法与不假设高斯分布的PSWF-SL方法之间的相关性和NRMSE。虚线表示具有最低显著波高的点。3.6. 具有粘性阻力和涌浪、起伏和俯仰运动的浮筒如第3.3节所述，PSWF方法通过包含多个自由度（DOFs）而受益，因为可以在更宽的频率范围内评估（9）。在本节中，计算了具有涌浪、起伏和俯仰运动的浮筒。每个自由度的阻力系数为1，并为每个自由度引入了额外的系泊刚度以防止漂移。波浪轮廓的评估遵循Takami等人[4,34]给出的公式。图25显示了多自由度计算的相关性和NRMSE。与图10中的起伏圆柱相比，相关性更高，而在周期小于12秒的波浪中NRMSE相当，但在周期大于12秒的波浪中NRMSE增加。这些偏差是由于系泊系统对涌浪和俯仰运动的影响造成的。在长波中，圆柱开始以等于波频率的频率进行涌浪、起伏和俯仰振荡，但由于系泊恢复力或力矩的作用，振幅减小。刚度被包含在RAO中，但系统以特征频率而不是波频率振荡，特别是对于涌浪，因此PSWF-SL略微高估了波浪。包括一个考虑了系泊的PSWF-SL公式可以改善解决方案，尽管带有粘性阻力阻尼的PSWF-SL已经比FD表现得稍好一些。图25. 在峰值周期内，绘制了具有粘性阻力的多自由度圆柱波估计的FD和PSWF-SL之间的相关性和NRMSE。虚线表示具有最高显著波高的点。4. 结论本研究介绍了一种结合波估计与长椭球波函数和统计线性化的方法，旨在提高波估计的准确性。该方法基于两种独立算法的迭代，直到收敛返回RAO和波参数。该方法使用基于Cummins方程的TD方法的起伏运动进行了验证。分别测试了具有二次粘性阻力的圆柱形浮筒和具有非线性静水力的球体，以研究非线性因素的影响。研究结果得出以下结论：使用统计线性化计算RAO并将其应用于PSWF波估计，与从势理论程序得出的线性RAO相比，减少了谱差异并提高了相关性。粘性阻力计算的差异主要体现在谱差异上，而非线性静水力也显示出相关性的差异。组合方法的准确性可与使用整个测量时间得到的RAO相媲美。波高的变化对粘性阻力的影响有限；然而，对于高波高，考虑非线性静水力的波谱准确性显著提高。组合方法对于较高波高的时间窗口减少谱差异的效果比对于较低波高的时间窗口更为显著。非线性静水力的贡献可以通过组合方法纳入波估计中。结合球体的两种非线性因素表明，偏差可以进一步减少，因为非线性静水力和粘性阻力既会引起运动的激励也会引起阻尼，从而减少了其对波高的依赖性。用数值评估代替高斯分布得到了可比的准确性，并证明4分钟的时间窗口并没有显著偏离高斯分布。包括多个自由度与FD相比提高了准确性，并且与单自由度模拟相比准确性相当，但由于未用SL建模的系泊行为，NRMSE值通常更高。未来的工作应包括将PSWF-SL扩展到更多的非线性因素，并将多自由度研究扩展到耦合效应。对于短于4分钟的时间窗口执行PSWF-SL是具有挑战性的，因为高斯分布和数值评估对异常值敏感。未来的研究应包括调查在没有高斯假设的情况下数值评估对时间窗口大小的敏感性。鉴于这项工作的主要目标是展示将SL方法与波估计相结合的适用性，因此范围仅限于两种代表性的非线性效应。具体来说，考虑了Morison阻力和非线性静水力，分别对应于浮筒动力学中的阻尼和刚度贡献。这些选择使得在本研究的背景下能够充分评估SL技术。尽管如此，通过将分析扩展到其他非线性效应和非轴对称船舶，并与卡尔曼滤波器或RAO调谐技术进行比较，进一步评估这种方法的性能将是有价值的。