利用叶尖定时技术进行多阶段鲁棒贝叶斯高分辨率识别异步叶片振动 张清雷（Qinglei Zhang）和 陈熙文（Xiwen Chen）

《Entropy》：Multi-Stage Robust Bayesian High-Resolution Identification of Asynchronous Blade Vibrations Using Blade Tip Timing Qinglei Zhang and Xiwen Chen

　　摘要：叶片尖端定时（Blade Tip Timing，BTT）是一种用于监测旋转机械振动的重要非接触式技术，但其实际精度常常受到噪声、欠采样和频谱泄漏的影响而降低。本文提出了一种多阶段鲁棒贝叶斯高分辨率识别框架，系统地解决了这些挑战。该框架基于卡尔曼滤波的递归数字算法在无需每次旋转都使用探针的情况下估计旋转速度，有效抑制了传感器噪声。然后，一个注意力增强的动态卷积自编码器生成特定于通道的窗口函数以最小化频谱泄漏。核心识别算法通过全相位FFT提取相位，并采用子区间插值来克服传统FFT的分辨率限制。在多通道相位融合过程中，使用基于Tukey双权重的鲁棒聚合策略来抑制异常或质量不均等传感器通道的影响。在噪声条件下，贝叶斯先验分布引导估计朝向物理上合理的值。最后，一种从粗到细的多阶段搜索策略在保持精度的同时大幅降低了计算负担。在恒定和可变速度下的转子叶片测试台上的实验表明，该方法将噪声底限降低了约60 dB，最大频率识别误差为7.84%，并且与穷举搜索相比搜索速度提高了约48.6%。所提出的方法为叶片健康监测提供了一种可靠且高效的解决方案。

1. 引言
叶片是压缩机和燃气轮机等涡轮机械中的关键部件。它们在严重的振动、离心力和热负荷下工作，因此基于状态的维护以及可靠的在线健康监测对于延长其使用寿命和确保安全运行至关重要[1]。振动监测技术可以分为接触式和非接触式两类。传统的接触式测量方法需要复杂的准备过程，信号传输可靠性低，并可能改变叶片的机械特性[2]。相比之下，非接触式技术使用方便、安装成本低、灵敏度高，并且能够同时监测整个叶片圆周[3]。最近的文献综述表明，BTT研究已经从基本的非接触式振动测量发展到涉及传感器设计、探针布局优化、信号处理、不确定性分析和结构健康监测应用的更集成框架。特别是Wang等人对航空发动机的BTT技术进行了系统综述，涵盖了BTT的理论基础、常用的传感器类型、传感器布置和数量优化策略、主要的信号处理和参数识别方法，以及测量误差和不确定性的主要来源[4,5]。这些研究表明，BTT的实际性能不仅取决于识别算法本身，还取决于传感配置、欠采样特性、信号质量和不确定性管理的耦合效应[4,5]。同时，叶片振动特征的解释也依赖于对叶片动力学和结构建模的充分理解。关于航空发动机叶片动力学的最新调查系统地回顾了集总质量模型、有限元模型和半解析模型及其相关的解决方法和技术。此外，关于旋转裂纹叶片的综述总结了裂纹传播机制、开/呼吸裂纹模型以及用于故障相关振动分析的动态建模方法。代表性的非线性动力学研究，如分析带有冲击的旋转护罩叶片，进一步表明离心硬化、旋转软化、科里奥利效应和接触/冲击相互作用会显著影响叶片振动响应。这些建模研究为理解在复杂运行条件下获取BTT数据时为何需要鲁棒识别方法提供了物理背景[5,6,7]。

叶片尖端定时（BTT）作为一种高效的非接触式叶片振动监测方法而出现[8]。它使用尖端定时传感器记录精确的叶片通过时间，从而计算出瞬时振动位移。然而，BTT信号本质上是欠采样的（采样率等于旋转频率），并且受到各种噪声源的污染，导致其精度低于接触式方法[3]。此外，缺乏高精度的每次旋转一次（OPR）探针进一步复杂化了理论到达时间的确定[9]。在这种背景下，大量研究集中在BTT基础叶片振动监测的两个密切相关问题上：在没有专用OPR探针的情况下准确重建叶片到达时间/位移信息，以及从严重欠采样的信号中可靠地识别异步振动参数。Russhard提出了一种线性拟合方法来生成虚拟的OPR信号[10]，而Chen等人使用了一种高精度方法（CR-BTT）提高了精度[11]。然而，当旋转速度显著波动时，虚拟OPR技术会产生较大误差。其他方法利用叶片之间或同一叶片在不同时间的振动差异[12,13]。Guo等人使用Levenberg–Marquardt算法在没有OPR探针的情况下识别叶片振动[13]。Wang等人应用Savitzky–Golay滤波器在快速速度波动下改进了BTT估计[14]。Xu等人开发了一种在角度域中的递归BTT算法[15]。Wang等人还提出了一种基于非OPR BTT的叶片振动参数识别方法[16]。这些方法旨在准确计算预期的叶片到达时间，这对于推导振动位移至关重要。

一旦获得振动位移，通常使用频谱方法进行异步振动的参数识别。异步振动频率与旋转频率之间的关系为[公式省略]，其中[参数省略]是一个整数阶数，[参数省略]是差频（混叠分量）。由于[参数省略]通常超过奈奎斯特频率[公式省略]，直接进行频谱分析是不可能的；相反，使用差频原理从欠采样数据中提取低频[参数省略]。已经提出了多种技术来确定[参数省略]和[参数省略]，包括自回归方法[18]、“5 + 2”方法[19]、插值方法[20]以及结合傅里叶变换的最小二乘拟合[21]。这些方法大多依赖于傅里叶分析，并且受到FFT固有限制的影响，如频谱泄漏和栅栏效应，特别是在非平稳条件下。此外，它们通常需要大量传感器或对传感器布置有严格的要求。

近年来，深度学习在特征学习和噪声抑制方面显示出潜力[22]。然而，纯深度学习方法可能缺乏可解释性并且需要大量的训练数据集。对于基于BTT的叶片振动监测，应该分别讨论机器学习的可行性，针对同步和异步振动。最近的文献综述指出，这两种振动类型的欠采样严重程度和信号特性不同，这意味着通常需要不同的识别策略。对于同步振动，当响应模式相对有序时，机器学习可以用于共振区域识别、去噪、特征提取或辅助参数识别。然而，对于异步振动，问题通常更困难，因为信号欠采样更严重，对混叠和探针布局效应更敏感，并且往往缺乏充足的标记数据支持。因此，在严重欠采样的BTT场景中，纯端到端机器学习可能不如结合物理信号模型和学习模块的混合方法可靠。从这个角度来看，机器学习更适合作为预处理、特征增强或条件分类的辅助工具，而最终的参数识别仍然受益于物理上可解释的约束。结合信号处理和学习优化的混合方法提供了一个有吸引力的替代方案。本研究开发了一种多阶段鲁棒贝叶斯高分辨率识别框架，系统地整合了几项改进：(i) 基于卡尔曼滤波的递归算法，用于在没有OPR探针的情况下准确估计速度；(ii) 注意力增强的动态卷积自编码器（ADCAE），用于生成自适应窗口函数以抑制频谱泄漏；(iii) 应用于全相位FFT（APFFT）光谱的子区间插值，以克服分辨率限制；(iv) 基于Tukey双权重的误差函数，用于多通道相位信息的鲁棒聚合；(v) 对振动阶数的贝叶斯先验，用于指导估计；(vi) 从粗到细的多阶段搜索策略，以降低计算成本。在转子叶片测试台上的实验证明了每个组件和整个方法的有效性。

从这个角度来看，本工作的贡献不仅仅是将几种先进技术简单组合起来，而是为困难的BTT条件构建了一个最小足够的流程。递归数字算法在没有OPR探针的情况下改进了到达时间的重建；自适应窗口和APFFT/插值改善了频谱集中度和频率分辨率；鲁棒成本函数减轻了损坏通道和数据质量不均等通道的影响；贝叶斯先验将解限制在物理上合理的阶数；多阶段搜索提高了效率，同时不改变估计目标本身。这一设计原则有助于避免将该方法视为独立模块的简单累积。尽管所提出的方法包含多个组件，但它并不是一个不必要的复杂架构。相反，它是一个问题驱动的框架，每个组件都是为了解决传统异步BTT识别的特定限制而引入的。在实际的无OPR BTT测量中，通常会同时出现多个误差源，包括旋转速度不确定性、由欠采样和非平稳性引起的频谱泄漏、对异常传感器通道的敏感性以及顺序搜索的高计算成本。单一的传统技术通常只能解决这些问题中的一个。因此，所提出的框架将递归速度估计、自适应谱优化、鲁棒相位聚合、贝叶斯正则化和从粗到细的搜索结合成一个统一的流程。对于干净且平稳的情况，简单的信号处理流程可能仍然足够；完整的提出框架主要在噪声大、欠采样、无OPR和易出现异常值的场景中具有优势。当前的公式适用于每个分析窗口内的恒定速度或准平稳条件。

2. BTT原理和异步振动模型
2.1. 叶片尖端定时测量
图1展示了BTT系统的典型配置。一个或多个尖端定时传感器（例如光纤、电容式或涡流式）围绕叶片外壳周向安装，轴附近可能安装一个速度同步传感器（OPR）以提供每次旋转的参考。当叶片经过传感器时，会生成一个脉冲，并高精度记录到达时间。在没有振动的情况下，预期的到达时间仅由轴速度、叶片尖端半径和传感器角位置决定。叶片振动会导致叶片比预期提前或延迟到达，振动位移计算为：
[公式省略]
其中[参数省略]是叶片尖端半径，[参数省略]（以rad/s为单位）是瞬时角速度。为了清晰起见，[符号省略]表示旋转频率（以Hz（每秒转数）为单位）。

2.2. 异步振动模型
符号说明。在本文中，[符号省略]表示旋转频率（以Hz（每秒转数）为单位），[符号省略]表示角速度（以rad/s为单位）。异步叶片振动频率表示为[符号省略]（Hz）。我们进一步写作：
[公式省略]
其中[参数省略]是整数振动阶数，[参数省略]是小数部分。相应的差频定义为：
[公式省略]
考虑一个在频率[频率省略]（Hz）下进行异步单频振动的叶片。第[次数省略]次旋转时第[i]个传感器测量的振动位移可以表示为：
[公式省略]
其中A是振动幅度，[参数省略]是初始相位，[参数省略]是叶片在旋转[i]时到达传感器i的时间。对于速度恒定的转子（每秒转数[次数省略]），传感器[i]（相对于参考传感器的角位置为[角度省略]）的到达时间为：
[公式省略]
其中[参数省略]考虑了振动引起的时间偏移。将（5）代入（4）并忽略高阶项，得到：
[公式省略]
由于BTT传感器每次旋转采样一次，有效采样频率为[频率省略]。如果[参数省略]（这是异步振动的典型情况），则信号是欠采样的。然而，我们可以利用[公式省略]的事实，其中[参数省略]是整数（振动阶数），[参数省略]是小数部分。方程（6）变为：
[公式省略]
定义差频[频率省略]（Hz），我们得到：
[公式省略]
方程（8）表明，欠采样的振动信号表现为频率为[频率省略]的低频正弦波，其相位偏移取决于传感器角度[参数省略]、阶数[参数省略]和小数部分[参数省略]。因此，通过从BTT数据中估计[参数省略]并确定传感器之间的相位关系中的整数m，可以恢复真实的振动频率[频率省略]。多阶段鲁棒贝叶斯高分辨率识别方法

该方法主要包括三个主要阶段：预处理以获得干净的振动位移信号和准确的旋转频率；通过子区间插值进行高分辨率差频估计；以及使用贝叶斯正则化成本函数和多阶段（从粗到细）搜索来鲁棒地识别阶数[23,24,25]。整个工作流程的概述如图2所示。

3.1 预处理
3.1.1 用于旋转频率估计的递归数字算法
准确了解瞬时旋转频率对于位移计算（方程（1）和随后的频率识别至关重要。我们采用基于卡尔曼滤波器的递归算法，该算法根据多个传感器测量的叶片到达时间来估计瞬时旋转频率，而无需使用OPR探头。

设共有n个传感器和m个叶片。对于第i个传感器和第j个叶片，两次连续旋转之间的到达间隔表示为Δti。在加性时间噪声下，观测到的间隔为Δti = ti+Δτi。相应的单传感器伪测量值为Δfi = (ti+Δτi) / n。根据卡尔曼滤波器的标准状态空间公式和预测更新递归，这里将瞬时旋转频率作为系统状态，将来自叶片到达间隔的多传感器伪测量值作为观测向量来建模无OPR旋转频率估计问题。通过堆叠所有传感器的测量值，递归估计器以状态空间形式表示，其中状态变量是瞬时旋转频率。以下方程不是新推导的卡尔曼方程，而是对经典卡尔曼滤波框架的BTT定向实现[26,27]：

(11) Σi=1^n Δti
(12) Δfi = Σi=1^n (Δti+Δτi) / n
(13) Δfi^2 = Σi=1^n (Δti+Δτi)^2

方程（11）-（13）定义了状态转移模型、观测模型和旋转频率递归估计的相应噪声假设。

3.1.2 通过动态窗口网络的自适应频谱优化
原始振动位移序列通常受到噪声和非平稳性的污染。使用固定窗口进行直接频谱分析可能会导致频谱泄漏和频率分辨率下降。为了解决这个问题，使用注意力增强的动态卷积自编码器（ADCAE）为每个传感器段生成特定于通道的窗口。对于第i个通道，设xi表示输入段。动态窗口生成过程如下表示：

(19) xi = Σi=1^n φ(xi-τi)
(20) wi = σsi * φ(xi-τi)
(21) y = wixi + (1-σsi) * φ(xi)

在方程（21）中，符号*表示逐元素乘法，用于将保留的单元状态信息与新生成的候选信息结合。编码器输出y描述了输入段的局部时频特性，wi是注意力权重向量，φ(xi-τi)是门控的潜在表示。为了保证可用分析窗口，初步系数通过对称化和归一化进行处理：

(23) wi = σsi * φ(xi-τi) / (1+σsi^2)

然后使用窗口化信号进行频谱分析。

3.2 通过子区间插值进行高分辨率差频估计
接着应用全相位FFT（APFFT）进行高精度相位、幅度和频率估计，以获得后续识别阶段使用的频谱[28]。窗口化振动信号的APFFT频谱在差频附近显示出一个峰值。然而，由于FFT的离散性质，峰值位置被量化到整数频率区间，对应于频率fi = (ti+Δti) / n（其中n是段长度）。这种“篱笆”效应限制了频率分辨率。为了克服这一点，我们应用子区间插值。设Mfi为幅度谱。真实峰值位于区间[fj, fj+Δf]之间。三点抛物线插值使用fj、fj+Δf和fj+2Δf的幅度来估计分数偏移Δf，遵循经典的抛物线频谱峰值插值方法[29]：

(26) Δf = (fj+Δf - fj) / 3 * (fj+2Δf - fj)

这种插值显著提高了频率估计的准确性，特别是当真实频率与FFT网格不对齐时。第5.2.1节展示了这种改进的效果。

3.3 使用Tukey双权重进行鲁棒多通道相位聚合
从方程（6）可知，传感器i（相对于参考传感器，例如传感器0）在估计的旋转频率ti处测量的相位为φi（mod 2π）。传感器i和传感器0之间的理论相位差为Δφ，其中Δφ = φi - φ0。测量的相位差Δφi是从APFFT相位获得的。差异Δφi（范围[-180°, 180°]）包含了关于候选相位φi正确性的信息，但可能会受到噪声或传感器故障的影响。为了鲁棒地结合所有传感器的差异，我们使用Tukey双权重误差函数[30]对每个传感器的贡献进行加权：

(27) Δφi = αi * φi + βi * (φ0 - φi)

其中αi是一个调整参数（通常设置为中位数绝对偏差的4.5倍）。在本研究中，Tukey调整参数设置为α = 4.5，其中MAD表示相位残差的中位数绝对偏差。这个值被选为一个适度的鲁棒设置，平衡了异常值的抑制和内部数据的敏感性：较小的值会过于激进地降低中等偏差的权重，而较大的值会降低对异常通道的鲁棒性。因此，α被作为一个固定基线参数使用，而不是为每个测试案例单独优化。候选相位φi的总成本为：

(28) Δφi = αi * φi + βi * (φ0 - φi)

在原始公式中，所有通道使用单一的全局阈值。然而，在实际的多传感器BTT测量中，不同的探头可能会表现出不同的噪声水平。因此，除了全局阈值公式外，本文还考虑了针对异质噪声分析的通道自适应变体。在自适应公式中，每个通道残差在应用Tukey双权重之前先按其自身的噪声尺度进行归一化。具体来说，如果φi表示通道i的相位残差，归一化后的残差定义为φi' = (φi - μi) / σi，其中si是通道特定的噪声尺度。然后对φi'应用一个共同的Tukey阈值。这种自适应公式在第5.2.2节中进行评估，以检验在异质通道噪声下单一全局阈值是否是最优的。

3.4 关于阶数m的贝叶斯先验
阶数m是一个整数，通常与叶片数量或激励的发动机阶数相关。在许多情况下，关于m可能范围的先验知识是可用的（例如，来自设计规范或之前的测量）。我们通过离散先验分布来结合这些知识。例如，如果转子有m个叶片，最可能的阶数是m的倍数。这里我们假设一个以叶片计数为中心的高斯形状先验，标准差为δ：

(31) πm = μ + ε

先验标准差δ设置为0.5，以便先验保持弱信息性。这种选择给予预期阶数最高的概率，同时仍然为相邻候选阶数分配不可忽视的概率质量，从而在不主导数据驱动成本的情况下规范搜索。如果m太小，先验可能会过度约束解决方案；如果m太大，先验几乎变得平坦，失去其规范效果。先验被归一化，使得πm ≤ 1。我们将先验与数据驱动的成本结合起来，得到一个受后验启发的度量：

(32) φ?i = πm * φi + λ * (φi - μ)

或者，可以使用另一种先验惩罚方法。先验惩罚远离预期范围的阶数，引导搜索朝向物理上合理的解决方案，特别是在噪声条件下，成本景观可能平坦时。

3.5 多阶段搜索策略
对所有整数区间（因此m=0, 1, …, n）和所有阶数（包括子区间细化）进行暴力搜索在计算上非常昂贵。我们提出了一种从粗到细的多阶段搜索，大幅减少了评估次数而不牺牲准确性。在第一阶段（粗搜索）中，对于每个整数区间，我们设置m=0，并使用原始（未插值的）相位来评估所有m的 cost。只有成本最小的m个最佳候选者（例如m=1）被保留下来进行进一步细化。在第二阶段（细搜索）中，对于每个保留的候选者，我们通过探索围绕m的一小组子区间偏移（例如步长0.1/N）来细化m。对于每个偏移，我们重新计算相位（如有必要进行插值）和鲁棒成本，然后结合先验得到φ?i。最小化cost的组合被选为最终估计。可选地，可以引入第三阶段，采用更细的步长，但在本研究中，单个细化阶段使用11个子区间点就足够了。这种多阶段策略相对于穷举搜索大大减少了成本评估的次数。对于这里考虑的参数范围，测量到的运行时间减少了大约48.6%，同时保持了相同的频率估计准确性，如第5.2.4节所述。

3.6 完整算法的总结
整个过程在图2的流程图中总结。从多通道BTT位移信号开始，卡尔曼滤波器首先提供准确的速度估计。然后ADCAE应用特定于通道的动态窗口，接着使用APFFT获得频谱。粗搜索评估所有整数区间和阶数，保留一个候选者列表。对于每个候选者，子区间插值细化m，然后结合Tukey加权成本和贝叶斯先验得到最终度量。具有最小cost的候选者给出了识别的阶数m和差频Δf，从中计算出真实的振动频率f。

4. 实验设置
4.1 转子-叶片测试台
实验在转子-叶片测试台上进行。转子盘均匀配备了四组自冠状叶片（高度=125毫米，旋转半径=300毫米）。伺服电机通过油膜润滑轴承驱动转子达到3000转/分钟。空气动力激励通过直接作用在选定叶片上的电磁振动器模拟。叶片尖端的位移使用最多七个涡流传感器（BTT探头）测量，采样率高达50 kHz，名义测量范围为2毫米。在本研究中，我们在相对于参考传感器（TIP0）的角度[0°, 60°, 135°, 210°, 310°]安装了五个传感器。使用机械激励器进行静态测试，确定了各个叶片的自然频率（图4）。叶片S1–S4的测量自然频率分别为128.95 Hz、119.64 Hz、129.32 Hz和124.67 Hz。

4.2 数据采集
转子以恒定速度1400转/分钟运行，对应的旋转频率约为Ω ≈ 23.33 Hz，用于大多数实验。还进行了1200转/分钟和1600转/分钟的额外测试，以评估该方法在不同运行速度下的性能。对于每次旋转，记录了四个叶片在五个传感器处的到达时间。使用方程（1）和卡尔曼滤波器的速度计算振动位移。每个实验条件共收集了1024个连续旋转（即每个传感器1024个样本）。为了验证该方法在具有挑战性场景下的鲁棒性，我们通过添加白噪声（σ = 0.5）、幅度调制（1 + 0.6 sin(2π·3t)）和接近真实振动频率的干扰音调（频率差为0.8 Hz）人工生成了信号的“应力”版本。为了更好的可解释性，加性白噪声水平也可以表示为等效的信噪比（SNR），定义为SNR = 10log10(Signal Power / Noise Power)。由于白噪声的标准差为σ，相应的噪声功率为Pnoise = σ^2。在本研究中使用的标准化应力信号对应的等效加性噪声信噪比（SNR）约为3.7 dB。需要注意的是，该SNR仅表征了加性白噪声成分；额外的幅度调制和附近的干扰音调进一步增加了应力条件的复杂性。该应力数据集用于评估子区间插值、Tukey加权以及贝叶斯先验。此外，为了研究多通道相位聚合的鲁棒性，在相位残差级别施加了合成异构信道噪声条件，以模拟不同传感器之间的质量差异。

5. 结果与讨论
5.1. 转子叶片测试台
5.1.1. 速度估计精度
表1比较了在目标速度1400 rpm时（噪声水平σ = 0.05），来自各个传感器的原始速度估计值与卡尔曼滤波后的速度。原始估计值的最大波动幅度为±1.16 rpm，而滤波后的估计值与真实速度的偏差在0.1 rpm以内。所有传感器经过滤波后的相对误差均低于0.1%，这证明了递归数字算法的有效性。
表1. 速度估计结果（噪声）
图6显示了卡尔曼增益随迭代次数的衰减情况，表明滤波器能够快速达到稳态。状态协方差的收敛过程在插图中有所说明。
图6. 卡尔曼增益Kk随迭代次数的衰减

5.1.2. 动态窗口增强
图7比较了传统汉宁窗口和由ADCAE生成的动态窗口在典型信号段上的形状。动态窗口能够适应信号的局部结构，在瞬态冲击期间变窄，在稳态部分变宽。图8展示了未加窗口处理和加动态窗口处理后叶片S1（传感器0）的APFFT频谱。表2中的定量指标显示，动态窗口将噪声底限从25.36 dB降低到?34.57 dB，并将最大旁瓣从50.35 dB抑制到?8.49 dB，同时保持了峰值频率（11.028 Hz）。这证实了自适应窗口在提高频谱清晰度方面的优越性。
图7. 窗口函数形状比较（汉宁窗口与动态窗口）
图8. 频谱比较（无窗口处理与动态窗口处理）
表2. 叶片的频谱指标

两种方法得到的峰值频率几乎相同（11.03 Hz），表明动态窗口不会扭曲基频，而是细化了频谱特性。动态窗口显著降低了峰值幅度，从1180.93降至1.16，显示出其在抑制噪声和提升频率峰值清晰度方面的有效性。噪声底限从25.356 dB（无窗口处理）显著降低到?34.568 dB（动态窗口处理），突显了动态窗口在降低噪声方面的能力。旁瓣最大值从50.352 dB大幅降至?8.489 dB，表明不需要的频谱成分得到了有效抑制。信号的欠采样和基频的窄带宽是阻碍准确检测主瓣宽度的主要因素。动态窗口函数显著改善了BTT信号的频谱特性。峰值幅度的降低和噪声底限的减少，以及旁瓣的抑制，表明动态窗口提供了更清晰的频谱。这对于在噪声较大、欠采样的BTT信号中准确识别振动频率至关重要。

为了进一步量化ADCAE的计算成本，我们在CPU平台上测量了其模型大小和推理效率。本研究中使用的ADCAE包含1,324,928个可训练参数，在批量大小为1的情况下，每个1024点输入段的平均推理时间为4.37 ms（标准差：0.16 ms）。对于本研究中使用的五传感器配置，当通道依次处理时，相应的总窗口生成时间约为21.85 ms。这些结果表明，ADCAE引入的额外在线成本有限。

5.2. 核心识别算法性能
一个关键问题是，与传统的信号处理方法相比，所提出的多阶段框架是否真的必要。我们认为答案取决于操作条件。在清洁、稳定且仪器完善的条件下，基于APFFT/FFT的传统方法结合固定窗口和直接相位比较可能已经能够提供可接受的识别精度。然而，本研究中考虑的实际BTT场景更具挑战性：它是非OPR的、欠采样的、受到噪声污染的，并可能受到异常传感器通道的影响。在这种情况下，识别误差不是由单一因素主导的，因此组合框架变得有益，因为每个模块针对不同的误差源。因此，提出该方法的动机不是为了增加复杂性本身，而是为了在传统流程可靠性降低的情况下提高鲁棒性。

我们现在使用带有噪声和干扰的应力数据集来评估所提出的多阶段鲁棒贝叶斯识别方法的每个组成部分。除非另有说明，基于蒙特卡洛的实验重复了50次，每次实验使用不同的噪声设置。在第5.2.2节中关于异构信道噪声的研究中，进行了200次试验以获得更稳定的统计结果。

5.2.1. 子区间插值效果
图9展示了子区间插值的好处。图8显示了围绕真实差频Hz的APFFT频谱的放大图。对应于整数区间的频率为Hz，误差为0.0047 Hz。经过抛物线插值后，估计频率为Hz，误差降低到0.0033 Hz。为了定量评估改进效果，进行了50次独立试验，表3总结了有无抛物线插值的频率估计误差。统计数据显示，插值将平均误差从0.005948 Hz降低到0.004990 Hz，相对改进了16.1%。中位误差减少了15.8%，标准差减少了12.5%，表明不仅精度提高，变异性也降低了。最小和最大误差分别减少了7.9%和16.9%。这些结果表明，子区间插值有效地克服了FFT的分辨率限制，提供了更精确的频率估计。
图9. 放大的围绕差频的APFFT频谱
表3. 有无抛物线插值的频率估计误差统计（50次试验）

5.2.2. 在异构信道噪声下的鲁棒性
为了进一步解决由传感器质量差异引起的鲁棒性问题，我们将Tukey加权实验扩展到了具有不同信道噪声水平的多传感器情况。在原始公式中，引入Tukey双权重是为了抑制多通道聚合过程中异常相位偏差的影响。然而，在实际的BTT系统中，由于传感器安装、局部干扰或信道质量变化，不同探头的噪声水平可能会有很大差异。在这种情况下，对所有残差应用单一的全局阈值可能并不总是最优的。因此，除了普通的最小二乘聚合和全局阈值Tukey加权外，我们还评估了一种通道自适应的Tukey公式，其中每个通道残差在应用Tukey双权重之前先按照其自身的噪声尺度进行归一化。这种扩展与第3.3节中介绍的鲁棒多通道相位聚合框架是一致的。考虑了四种噪声配置：均匀情况、轻度异构情况、一个坏通道情况和强烈异构情况。每种配置进行了200次蒙特卡洛试验。此外，对其中一个通道施加了额外的90°相位偏置；对于异构情况，这种偏置应用于噪声最大的通道。然后比较了三种聚合策略（最小二乘、全局阈值Tukey加权和通道自适应Tukey加权）下正确候选顺序的识别精度。

结果总结在表4和图10中。在几乎均匀的信道噪声下，全局阈值和通道自适应公式之间的差异有限。例如，在没有额外偏置的均匀情况下，最小二乘、全局Tukey和自适应Tukey的识别精度分别为95.5%、91.0%和91.0%。这表明当所有通道质量相似时，单一的全局阈值就足够了。相比之下，在具有额外90°偏置的异构信道噪声下，自适应公式通常提供了更好的鲁棒性。在噪声最大的通道上施加额外偏置的情况下，最小二乘的识别精度从46.0%和全局Tukey的65.5%提高到自适应Tukey的73.5%。在没有额外偏置的情况下，识别精度进一步从74.5%和83.5%提高到94.5%。
表4. 在异构信道噪声条件下，最小二乘、全局阈值Tukey和通道自适应Tukey加权的正确识别精度
图10. 在均匀和异构信道噪声条件下，最小二乘、全局阈值Tukey加权和通道自适应Tukey加权的识别精度比较。在严重异构情况下，差异更加明显。在噪声最大的通道上施加额外90°偏置的情况下，最小二乘的识别精度为48.5%，全局Tukey为25.0%，自适应Tukey为61.5%。这一结果表明，当通道质量差异显著且最差的通道受到额外损坏时，全局阈值公式可能变得不可靠，而自适应公式则更加稳定。总体而言，这些结果表明，在多传感器BTT场景中，单一的全局阈值虽然鲁棒但并不总是最优选择。当一个或多个通道的噪声明显高于其他通道时，通道自适应阈值特别有益。

因此，可以更精确地解释Tukey加权在所提出框架中的作用。其主要好处不仅在于抑制孤立异常值，还在于在多通道残差受到异构噪声影响时提高鲁棒性。因此，这个额外的实验加强了第3.3节中鲁棒聚合阶段的实际相关性，并澄清了单一阈值公式应被视为一种鲁棒基线，而不是普遍最优的选择。

5.2.3. 贝叶斯先验的贡献
我们评估了先验分布p(m)对识别精度的影响。先验被设置为中心位于的高斯分布。图11显示了先验的形状以及在50次蒙特卡洛试验中正确顺序()首次被排名的百分比。几乎相同的成本值表明，在测试条件下，基线算法已经高度优化。可区分性的轻微提高（约1%）表明贝叶斯先验在更恶劣的情景中具有增强鲁棒性的潜力。
图11. 贝叶斯先验的贡献：(a) 先验分布p(m)；(b) 有先验和无先验时正确识别的百分比（m = 5）；(c) 通过正确候选者和第二最佳候选者之间的成本比率来衡量可区分性。这种有限的改进表明，选定的先验参数主要作为一个轻微的正则化项，而不是性能提升的主要来源。

5.2.4. 多阶段搜索的效率
ADCAE模块的计算成本已在第5.1.2节中报告；这里我们关注多阶段搜索策略带来的效率提升。我们比较了所提出的多阶段搜索与穷举搜索（即评估所有整数区间k和所有从?0.5到0.5的子区间偏移，步长为0.1）的计算时间和精度。图12显示了50次试验的平均运行时间。多阶段搜索平均需要1.046秒，而穷举搜索需要2.035秒——速度提高了约1.95倍（即减少了近50%）。更重要的是，两种方法的频率估计误差相同（0.01023 Hz），这证实了从粗略到精细的策略不会影响精度，如表5所示。
表5. 多阶段搜索与穷举搜索的性能比较

5.2.5. 总体识别结果
将完整的多阶段鲁棒贝叶斯方法应用于实验数据（原始的、未受应力）后，得到了叶片S1–S4在1400 rpm下的异步振动频率，如表6所示。识别的阶数均为m = 5。与静态测试获得的自然频率相比，最大误差为7.84%（叶片S4）。表7显示了叶片S1在三种不同转速（1200、1400、1600 rpm）下的识别结果。识别的频率随转速增加，符合一阶弯曲模式的预期趋势，综合误差指标J保持稳定，显示出对速度变化的鲁棒性。
表6. 在恒定转速1400r/min下所有叶片的异步振动频率
表7. 多种速度下的识别结果
图13显示了总误差J随候选阶数m的变化情况，其中最小值对应于识别的阶数。讨论
当前结果表明，不同的模块贡献并不相同，且在每种情况下它们也不是同样必要的。当没有可靠的OPR参考时，递归速度估计器非常重要。自适应窗口和子bin插值主要在噪声较大或采样条件不理想的情况下改善了频谱质量和频率分辨率。当多通道相位残差受到异常通道或不同信道噪声水平的影响时，Tukey加权变得尤为重要。贝叶斯先验在当前实验中提供的增益相对较小，但它提高了物理合理性，并且可以在成本评估变得模糊时帮助稳定阶数选择。多阶段搜索主要提高了计算效率，而不是识别准确性。因此，该框架应被视为一种针对挑战性操作条件的模块化解决方案，而不是声称所有组件在每个应用中都是不可或缺的。

实验结果验证了所提出方法的每个组成部分。递归数字算法在没有OPR探针的情况下提供了准确的旋转速度估计（误差<0.1%），从而能够精确计算振动位移。动态窗口网络通过抑制噪声和旁瓣显著提高了频谱质量，这直接有利于后续的相位提取。子bin插值有效克服了FFT的分辨率限制，在报告的应力数据集试验中平均将频率估计误差降低了约16%。基于Tukey的鲁棒聚合不仅提高了对孤立异常传感器的抗干扰能力，还提高了对不同探针间信道质量差异的适应能力。额外的异质噪声研究表明，当一个或多个通道的噪声明显高于其他通道时，通道自适应阈值可以提供比单一全局阈值更高的识别准确性。贝叶斯先验在不利条件下提高了正确阶数识别的成功率，利用了关于叶片数量的先验知识。多阶段搜索将计算时间减少了近50%，同时保持了准确性，使该方法适用于实时或接近实时的应用。所有叶片的总体频率识别误差都在7.84%以内，这对于工程监测目的来说是可接受的。该方法在不同旋转速度下也表现一致，表明其具有适用于变速操作的潜力。

同时，结果也表明，自适应公式在每种情况下并不总是更优的；在信道噪声几乎均匀的情况下，全局阈值和自适应版本的表现相似。因此，自适应公式应被视为更适合异构多传感器场景的选择，而不是普遍必需的替代方案。

尽管如此，仍存在一些局限性。在极端负信噪比（SNR）条件下，混叠的振动成分可能会深埋在噪声中，从而降低差频估计和后续阶数识别的准确性。在这种情况下，所提出的方法仍预计比传统的固定窗口和直接相位比较方法更稳定，因为自适应窗口、鲁棒的多通道聚合和贝叶斯正则化提供了互补的噪声容忍能力。然而，一旦大多数通道中的有用振动成分持续低于噪声底限，就无法再可靠地保证正确的识别。在这种情况下，要提高性能需要更长的观测窗口、更可靠的传感器通道、更强的先验约束，或额外的去噪和阶数跟踪策略。该方法假设分析窗口内的速度是恒定的；快速的速度变化可能会降低性能。未来的工作将通过引入阶数跟踪和自适应窗口分割来扩展该框架以处理非稳态速度。此外，动态窗口网络是在特定数据集上训练的；将其推广到不同的叶片几何形状或传感器类型需要进一步研究。叶片在离心载荷下的扭曲以及非零尖端间隙的影响也值得研究。

6. 结论
本文提出了一种使用叶片尖端定时（Blade Tip Timing，BTT）的异步叶片振动的多阶段鲁棒高分辨率识别框架。该方法的主要价值在于以统一的方式解决了基于BTT的识别中的几个实际难题，包括无需OPR的速度估计、频谱泄漏、有限的频率分辨率、对异常或质量不等传感器通道的敏感性以及搜索效率。实验结果表明，所提出的框架能够在噪声较大和采样不足的条件下提供鲁棒的频率识别，在报告的测试中最大频率识别误差为7.84%。结果还表明，不同模块的贡献并不相同：自适应频谱处理和鲁棒多通道聚合在困难条件下提供了主要的改进，而贝叶斯先验主要起到正则化作用，多阶段搜索主要提高了计算效率。特别是，额外的异质信道噪声研究表明，在Tukey基础上的单一全局阈值并不总是最优的；当传感器噪声水平差异较大时，通道自适应阈值更为合适。对于较简单的操作条件，传统的信号处理方法可能仍然足够。因此，所提出的框架特别适用于具有挑战性的BTT场景，而不是作为传统方法的普遍必要替代方案。然而，在信道噪声几乎均匀的情况下，全局阈值和自适应公式之间的差异有限。因此，自适应公式应被视为异构多传感器BTT场景的鲁棒性增强措施，而不是普遍强制的选择。