针对具有第二类截尾数据的QR分布的高效估计方法：以肺癌预后为实证验证 Qasim Ramzan, Muhammad Amin, Shuhrah Alghamdi, Randa Alharbi

《Entropy》：Efficient Estimation Methods for the QR Distribution with Type-II Censored Data: An Empirical Validation on Lung Cancer Prognosis Qasim Ramzan, Muhammad Amin, Shuhrah Alghamdi and Randa Alharbi

　　摘要 最近引入的QR分布用于模拟在II型审查下的寿命数据，为生存分析和可靠性分析提供了一个灵活的框架。本研究首次全面评估了在II型审查下QR分布的多种现代估计技术。我们系统地比较了传统的最大似然估计与随机梯度下降变体（Momentum和Adam）、贝叶斯方法（包括最大后验估计、马尔科夫链蒙特卡洛和变分推断），以及集成机器学习的方法（如摊销神经网络推断）。使用合成数据和真实的退伍军人管理局肺癌数据集，我们从参数估计精度、计算效率和收敛行为方面评估了这些方法。结果展示了基于优化的、贝叶斯的和神经方法的优势，强调了它们在处理复杂审查生存数据中的实际效用。这项研究验证了该分布在捕捉生存动态方面的有效性，为临床应用提供了宝贵的见解，并指出了方法论改进的领域。

1. 引言
生存分析和可靠性建模在统计研究中至关重要，特别是在医学和工程背景下，其中寿命测试实验通常会导致数据被审查。对高度适应性概率模型的持续需求推动了分布理论的显著进展。最近，参考文献[1]引入了QR分布，为模拟复杂的生存时间提供了一个有效的框架。然而，要充分理解QR分布的数学架构，必须承认它属于Lindley家族的父分布。QR分布本质上是Lindley建模框架的扩展和指数化变体。具体来说，通过修改[2]提出的伪Lindley分布的生存函数，设置参数，用替换，并应用指数化，得出了QR分布的基础结构。同样，通过应用等效的参数替换（和用代替）到[3]引入的准Lindley模型中，也可以将其视为一个新的指数化准Lindley分布。认识到这一谱系确保了我们后续推断的坚实理论基础。

近年来，为了在文献中建立独特的身份，使用特定的缩写或作者命名的新分布、控制图或框架已成为标准的学术实践。这一惯例可以追溯到像Lindley分布这样的基础模型，并在当代分布理论中得到广泛采用。例如，最近的文献中出现了许多以其开发者命名或赋予指定名称的稳健模型，如Shanker分布[4]和Ailamujia分布[5]。类似地，参考文献[6]引入了AMAZON框架用于自适应分位数监控，参考文献[7]开发了MARCONI控制图用于监控Burr-X过程。参考文献[1]提出的QR分布遵循这一当代命名惯例，同时解决了建模审查寿命数据中的具体问题。早期关于审查的工作为处理不完整数据奠定了基础概念。参考文献[8]引入了分析逐步审查样本的方法，将II型审查确立为时间受限实验的实用方法。参考文献[9,10]进一步发展了逐步II型审查的统计属性和推断方法。这些开创性研究为审查数据建立了一个稳健的方法论框架，现代可靠性研究（包括我们当前对QR分布的分析）在处理医学试验和工业寿命测试等现实世界场景时严重依赖于这一框架。

参数分布历来不断发展，以捕捉越来越复杂的故障率。参考文献[11]提出了指数化Weibull分布来捕捉浴缸形状的故障率，这一概念后来由[12,13]通过各种修改的Weibull模型进行了扩展。此外，参考文献[14]引入了beta-Pareto分布，强调了需要能够适应多样化和不对称故障模式的统计模型。后来，参考文献[15]提出了Burr XII-Weibull-logarithmic分布。这种历史进展并不是直接共享危险率相似性，而是展示了学术界对灵活危险结构的持续追求。它关注Lindley扩展模型（如QR分布）现在旨在在复杂审查机制下填补的发展差距。分布理论的最新发展继续引入了专门为生存数据设计的新模型。参考文献[16]提出了Sine分布，并通过经典和贝叶斯方法推导了其属性。同样，参考文献[17]引入了单位逆Weibull G家族，并在逐步II型审查下对其进行了分析。参考文献[18]探讨了在联合逐步II型审查下的Gumbel Type-II分布，用于多组分系统。此外，参考文献[19]开发了基于II型审查的Pareto模型的最优加权损失函数进行贝叶斯估计。参考文献[20]比较了II型半逻辑Weibull Cox比例风险模型，强调了它们捕捉非比例风险的能力。

除了理论发展之外，审查数据的估计技术也有了显著进步。继[8]的基准最大似然估计（MLE）在审查下之后，参考文献[21,22]将MLE扩展到逐步审查的高斯和修改的Weibull分布。贝叶斯方法后来因其能够结合先验知识而受到重视。参考文献[23]将贝叶斯推断应用于II型审查下的指数化Weibull模型。参考文献[24,25]进一步探索了修改的Weibull和ridge参数的贝叶斯估计。参考文献[26,27]探讨了Burr Type X分布的拟合优度（GOF）和排序集抽样，为我们的比较方法提供了关于稳健估计的见解。为了克服复杂似然表面的挑战，随机优化和机器学习技术作为强大的工具出现了。参考文献[28]引入了混合蒙特卡洛方法，启发了现代基于梯度的算法。参考文献[29]成功将随机梯度下降（SGD）应用于逐步审查下的alpha power Weibull分布。最近，文献强调了基于神经网络（NN）和近似贝叶斯计算（ABC）的方法用于可扩展的推断。参考文献[30]研究了具有NN应用的转换分布，参考文献[31]将Marshall-Olkin-Weibull对数分布应用于审查的临床数据。此外，参考文献[32]在疲劳断裂数据中使用了贝叶斯方法处理混合分布。

尽管有这些进步，但在将基于Lindley的模型与现代、可扩展的机器学习估计框架在审查下集成方面仍存在显著差距。本研究的主要新颖之处在于全面弥合了这一差距。该研究直接建立在[1]的基础工作之上，后者专门提出了QR分布用于模拟II型审查下的生存时间，并通过广泛的模拟证明了其稳健性。虽然[1]主要关注传统和基本的贝叶斯估计，但我们的工作通过提供在II型审查下QR分布的多种现代估计技术的第一次全面比较评估来推进了文献。本研究提供了一个多方面的计算框架，将SGD与动量、Adam优化、马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）、变分推断（VI）和基于NN的ABC结合应用于II型审查下的QR分布。通过在合成设置和肺癌数据集上系统地比较传统经典方法与这些尖端AI驱动的方法，本研究为可靠性工程中的可扩展性和参数估计建立了新的基准。这种方法为处理临床设置中审查生存数据的研究人员提供了实际的方法选择指导。

尽管有这些稳健的方法论贡献，但本研究也必须承认某些局限性。首先，实验框架严重依赖于II型审查；在更复杂的方案（如自适应、逐步或区间审查）下，所提出的高级估计器（如ABC-MDN和VI）的性能尚未探索。其次，虽然SGD和ABC方法提供了出色的灵活性，但与标准MLE相比，它们在训练阶段引入了显著的计算开销。最后，尽管已经针对临床数据进行了验证，但需要将其更广泛地应用于具有时变协变量的高度动态的工业工程数据集，以完全确认所提出算法的现实世界泛化能力。这些局限性指出了未来研究的有希望的方向，包括在各种审查机制下的更广泛模拟研究以及应用于多组分系统。

本文的其余部分组织如下：第2节详细介绍了模型和参数估计，探讨了QR分布的各种经典和现代估计技术。第4节介绍了区间估计，重点讨论了量化参数不确定性的方法。第6节讨论了结论性意见和潜在的扩展。

2. 模型和估计方法
本节概述了用于估计QR分布参数的方法，利用了经典和先进的计算方法来确保在II型审查下对生存数据的稳健建模。参考文献[1]引入的QR分布及其累积分布函数（CDF）由以下公式定义：
(1)
其中分别是尺度和形状参数。对应于(1)的概率分布函数（PDF）由以下公式给出：
(2)

为了说明所提出的QR分布的灵活性，图1和图2展示了不同参数值的PDF和危险率函数。危险函数根据和表现出增加、减少或单峰行为，使得QR分布适用于各种可靠性场景。

图1. 选定值和的QR分布PDF图。
图2. 选定值和的QR分布危险率函数（HRF）图。

最大似然估计与随机梯度下降
SGD是一种来自机器学习的优化算法，用于最小化统计模型中参数估计的负对数似然。SGD通过使用数据的小批量迭代更新参数和，以近似梯度，使其适用于大型数据集。这是一种先进的估计方法，替代了Newton-Raphson方法，结合了自适应学习率（例如Adam变体）以实现更快的收敛。

在II型审查数据下的QR模型的对数似然是：
(3)

为了应用SGD，最小化负对数似然。梯度是从关于和的偏导数中得出的：
因此，

在SGD中，初始化参数。对于每次迭代，抽取大小为的小批量，计算和的近似梯度，并更新：
其中是学习率（例如，按衰减）。

为了动量SGD，引入速度项：
对于，同样使用动量。

通过验证集上的或提前停止来监控收敛性。这种方法处理了QR模型对数似然的非凸性，并通过随机性避免了局部最小值。算法1概述了使用SGD推断方法进行参数估计的迭代MLE过程。其中，epoch指的是通过数据集的一次完整迭代（或在随机梯度下降中的完整批次更新周期）。在每个epoch期间，根据目标函数（负对数似然或负对数后验）计算出的梯度来更新参数。通过监控损失函数（或对数后验值）的收敛行为来选择最大epoch数（）。当损失稳定或满足提前停止标准（预定义的epoch数内没有显著改进）时，终止训练。这种方法在计算效率和可靠收敛性之间取得了平衡，正如整个研究中的收敛诊断所示。

算法1 使用随机梯度下降的MLE变体
初始化epoch = 1
do
计算关于的负对数似然的梯度
使用Adam/Momentum规则更新参数
end

3. 贝叶斯估计框架
贝叶斯估计为结合先验信息和量化II型审查下QR分布参数的不确定性提供了自然框架。在本小节中，我们考虑了三种互补的贝叶斯方法：马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）采样、最大后验（MAP）估计和变分推断（VI）。这些方法使我们能够获得点估计和完整的后验分布，与经典方法相比提供了更丰富的推断见解。对于这些分析，贝叶斯点估计被计算为后验均值。在贝叶斯决策理论中，后验均值是最小化平方误差损失函数（SELF）的最优估计器，定义为。后验与II型审查似然和先验分布（和的独立Gamma先验）的乘积成正比。这种选择确保了我们的估计既无偏，又最小化了结果风险。

3.1. 马尔科夫链蒙特卡洛方法
MCMC采样技术（例如，通过Metropolis-Hastings或Gibbs）估计后验分布的参数。对于II型审查下的QR分布，假设和的先验分别为和，以获得共轭性质。

后验分布的PDF是：
其中L是似然。在QR设置下的联合后验分布变为：
(4)

联合对数后验是：
(5)

使用Gibbs采样，从条件概率中交替采样。的条件密度为：
这简化为非标准形式，需要在Gibbs中使用Metropolis-Hastings。提出，以概率接受：
其中q是提议密度。

对于类似地：贝叶斯随机梯度下降（Bayesian Stochastic Gradient Descent）
在贝叶斯框架中，随机梯度下降（SGD）可以通过随机变分方法（stochastic variational methods）进行适应，以优化后验模式或从后验中抽取样本。在这里，我们推导了在给定先验条件下用于最大后验概率（MAP）估计的SGD。为了找到MAP估计值，使用SGD最大化方程（5）中的目标函数。梯度分别为：
(6)
(7)
对于SGD，最小化目标函数。初始化参数。在迭代k次时，使用小批量数据进行更新：
(8)
算法2详细描述了使用No-U-Turn Sampler（NUTS）和指定的Gamma先验的后验抽样过程。算法2：贝叶斯MCMC（NUTS采样器）。

3.3 基于变分推断的近似贝叶斯估计（VI Based Approximate Bayesian Estimation）
变分推断（VI）是一种深度学习优化技术，它通过变分分布来近似后验分布，并最小化Kullback-Leibler（KL）散度。对于QR分布，假设其为平均场分布，其参数为...。QR分布的证据下界（Evidence Lower Bound，ELBO）为：
(9)
其中...。使用重参数化技巧进行抽样：...；类似地处理其他变量。通过蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation）来近似期望值：...。通过梯度上升（gradient ascent）优化目标函数，使用Adam优化器。为了推导VI设置中ELBO的显式梯度，我们从对数联合后验和变分分布开始。这些推导基于对数正态分布的重参数化技巧，以确保可微性。我们使用符号计算来验证和简化表达式。对数后验的偏导数来自方程（6）和（7）。VI通过优化变分分布来最小化KL散度，从而近似联合后验分布（方程（4）：
(10)
这等同于最大化方程（9）中的ELBO。对于QR分布，假设其平均场变分分布为...，选择参数以确保其正值。变分参数为...。熵项为...。为了进行可微抽样，使用重参数化技术。设...，则...。使用蒙特卡洛模拟（S个样本）来近似期望值：
(11)
ELBO关于...的梯度通过自动微分计算得出：
(12)
因此，关于...的梯度为...，关于...的梯度为...，可以推导出：
(13)
(14)
类似地，对于...也有相应的推导：
(15)
(16)
使用Adam优化器在方程（12）中优化目标函数。优化后，后验均值为...。收敛后，从q中抽取后验样本：

3.4 神经网络摊销推断（Neural Network Amortized Inference）
摊销推断使用神经网络（NN）来学习从数据到参数估计的映射，该网络在模拟的QR数据集上进行训练。这种深度学习方法适用于重复估计。网络结构包括一个用于向量化数据的输入层、带有ReLU激活函数的隐藏层，以及一个输出层，用于预测...和...。训练数据是通过从QR分布中模拟D个数据集并应用II型审查（Type-II censoring）生成的。模型通过最小化均方误差（MSE）进行训练：
...或者使用负对数似然（negative log-likelihood）来处理概率输出。参数通过反向传播（backpropagation）和使用SGD/Adam优化器进行更新。NN的输入是摘要统计量或原始数据（填充后的）。架构包括：输入层、带有ReLU激活函数的隐藏层以及输出层，输出...，其中...是估计值。训练通过在模拟数据上最小化负ELBO来进行：
...其中ELBO使用模拟的真实参数进行监督。优化的梯度通过反向传播计算得出：
...对于新数据，计算...，然后从...中抽取样本以获得期望值，如VI中的方法。

3.5 使用神经密度估计的近似贝叶斯计算（Approximate Bayesian Computation with Neural Density Estimation）
ABC是一种机器学习方法，适用于难以处理的似然情况，它依赖于模拟和摘要统计量来近似后验分布。对于QR分布，该方法通过神经网络（NN）增强了对后验密度的估计，解决了如II型审查等复杂性问题，而无需显式似然导数。该方法首先定义数据的摘要统计量，例如...，这些统计量捕获了被审查观测值的基本特征。在模拟步骤中，参数从先验中抽取：...和...。应用II型审查生成模拟数据。如果摘要之间的距离满足...，则接受样本，其中...控制近似精度。为了提高效率，训练一个条件密度估计器（如MDN）来处理这些模拟数据。网络接收输入...并输出高斯混合分布的参数，以近似后验：
(22)
其中...由NN生成。训练通过在D个模拟数据集上最大化伪似然来优化：
...梯度通过对数混合密度进行反向传播计算得出：
...为了数值稳定性，使用log-sum-exp公式：
...对于混合组分，计算偏导数。对于...，使用softmax函数，并计算梯度。对于新数据集，计算...并抽取样本对...。然后计算参数估计值：
(23)
通过调整...或结合回归调整技术可以提高准确性。该框架有效地处理了QR分布中固有的复杂审查问题。

4. 区间估计（Interval Estimation）
本节介绍了区间估计技术，用于量化QR分布参数的不确定性，确保生存分析应用的可靠性。

4.1 贝叶斯置信区间（Bayesian Confidence Intervals）
在贝叶斯框架中，置信区间（CIs）基于后验分布提供了参数不确定性的概率解释。对于QR分布，使用方程（4）中推导出的联合后验密度，可以从通过Gibbs采样器和Metropolis-Hastings生成的MCMC样本中构建参数...或任何函数（例如生存时间或风险）的置信区间。在获得后验样本后，对这些样本进行排序。100(1?)%等尾置信区间为：
(24)
其中...表示向下取整函数。该区间包含具有后验概率...的参数。这种方法比渐近区间更先进，因为它结合了先验信息，并且能更好地处理小样本情况，避免了正态性假设。

4.2 最高后验密度区间（Highest Posterior Density Intervals）
最高后验密度（HPD）区间是一种精细的贝叶斯方法，选择包含最高后验概率质量的最短区间。对于QR分布，使用后验的MCMC样本来近似HPD区间。从排序后的样本中，HPD区间在所有区间中长度最小：
(25)
其中...是最小化索引。为了计算效率，使用核密度估计对样本进行后验密度近似，然后求解满足条件的区间：
...这可以通过数值方法优化。HPD在QR模型中对于偏态后验具有优势，能够在高密度区域提供更窄的区间。

4.3 偏差校正加速自助法区间（Bias-Corrected Accelerated Bootstrap Intervals）
偏差校正加速（BCa）自助法是对百分位自助法（percentile bootstrap）的改进，它调整了抽样分布中的偏差和偏度。对于QR分布，通过结合偏差校正和加速来扩展算法1。生成L个自助样本并估计...。计算偏差校正：
...其中...是标准正态分布的逆累积分布函数（inverse standard normal CDF），...是指示器。为了加速，每次省略一个观测值：
...BCa区间端点为：
...其中G是自助估计的经验累积分布函数（empirical CDF）。BCa在QR模型中的偏态分布下提高了覆盖率。

5. 综合评估：示例分析和真实数据分析
为了评估所提出估计方法的实际适用性和性能，本节提供了对合成数据和真实世界数据集的详细分析。合成数据提供了一个具有已知真实参数的受控环境，而真实数据分析则关注著名的退伍军人管理局肺癌数据集（Veterans’ Administration Lung Cancer dataset）。这些互补分析允许在现实条件下全面评估QR分布和估计技术。

5.1 合成数据集上的性能（Controlled Validation）
为了在受控条件下验证估计方法的性能，我们从QR分布生成了具有已知真实参数（..., ...）的合成数据，并应用II型审查（..., ...）。本小节展示了所有方法在该数据集上的结果，使得估计值和真实参数值之间可以直接比较。分析包括参数恢复精度、收敛行为和 goodness-of-fit（GOF）诊断。在合成数据上的GOF分析（真实参数为..., ...）表明模型拟合得相当好（参见表1）。Kolmogorov-Smirnov检验的D统计量为0.0812，p值为0.6372，大于0.05，表明与拟合分布没有统计学上的显著偏离。风险函数显示出递增失败率（IFR）模式（100%递增区域），这与生成过程一致。信息准则（AIC = ?185.71, BIC = ?171.41）和几乎完美的PDF积分（0.999958）进一步证实了数值稳定性和模型的适当性。从拟合模型估计出的中位寿命为0.19个单位，这与生成数据的特征相符。这些结果验证了QR分布（及其比较框架）能够成功恢复在II型审查下的合成生成数据的结构。

表1. 合成数据上QR分布的GOF指标。
表2. 生成数据上拟合模型的风险函数形状分析。
表3. 对生成合成QR数据的综合总结。
QR分布展示了对生成数据生成过程的出色恢复能力。图3中的PDF和CDF图显示了生成数据与拟合模型之间的紧密对齐。风险函数正确捕捉了递增失败率（IFR）模式，与模拟设置一致。P-P图和Q-Q图都接近45度参考线，表明一致性很强。Kolmogorov-Smirnov检验的p值为0.6372，证实了良好的拟合效果。这些结果验证了QR模型能够在II型审查下成功恢复已知参数。总体而言，视觉诊断以及正式统计测试（两个数据集的KS p值均大于0.05）证实了QR分布适用于建模合成和真实审查数据。参数估计和模型验证结果总结在表4中，并在图4中进行了全面可视化。最大似然估计（MLE）方法在关键指标上表现出色，获得了最高的对数似然（log-likelihood）和最低的赤池信息量准则（AIC）和贝叶斯信息量准则（BIC）。这些结果证实了MLE在整体拟合和模型简洁性方面的优越性。GOF指标，特别是低均方根误差（RMSE），进一步验证了MLE与经验分布的紧密对齐。相比之下，矩估计（MOM）的表现明显较差，其AIC/BIC值较高（分别为483.9246和490.5212），表明其不适用于高度审查的数据。图4提供了视觉确认：子图（C）显示了MLE生存函数（蓝色虚线）与KM估计器（黑色步骤）的最高保真度跟踪。子图（D）和（E）证实了MLE的低信息量和其平滑的、逐渐增加的风险函数（蓝色曲线），这与数据特征一致。

图3. 生成合成数据上的GOF诊断图：(A) PDF拟合图，(B) CDF比较图，(C) HRF图，(D) P-P图，(E) Q-Q图，(F) 均残余寿命函数图，(G) 累积HRF图，(H) 反向HRF图，(I) 平均等待时间图。
图4. 合成生存数据的QR分布可视化。(A) 生存时间直方图（事件：红色，被审查：蓝色）。(B) PDF比较。(C) 包括KM的生存函数比较。(D) 风险函数比较。(E) 模型比较的AIC和BIC。(F) 和的参数估计。表4.参数估计和模型验证指标在合成生存数据上的应用。为了进一步纳入先验不确定性并提供全面的不确定性量化，对一个合成生存数据集进行了贝叶斯MCMC分析。使用了伽马先验（α = 2，β = 1）。表5展示了生存数据的后验总结。尺度参数的后验均值为2.4442（95%置信区间：[1.5303, 3.7061]），形状参数的后验均值为2.8955（95%置信区间：[1.2867, 5.1967]）。较大的尺度参数和形状参数值表明分布具有扩展的尺度和快速加速的危险率。通过高有效样本量（即n = 5000）确认了良好的混合和收敛性。图5通过将贝叶斯方法与经典估计方法（最大似然估计（MLE）、最大后验概率（MAP）、深度学习）进行比较，强调了MLE提供了最佳的点估计，而MCMC对于稳健的不确定性量化至关重要，特别是对于反映长时间生存数据稀疏性的宽置信区间。表5. 合成数据上QR分布的MCMC贝叶斯分析的后验估计。图5. 合成生存数据上的QR分布分析。(A) 按事件和删失情况的生存时间直方图。(B) 密度函数（PDF）比较图。(C) 带有Kaplan-Meier（KM）的生存函数图。(D) 基于风险函数（HRF）的图。(E) AIC/BIC模型比较图。(F) 不同方法的参数估计图。ABC-MDN在合成数据上的结果总结在表6中，并在图6中可视化。表6将ABC-MDN估计值与真实值进行了比较。估计的尺度参数比真实值低估了大约36%，而形状参数与真实值接近，低估了50%。这些差异可能源于数据生成中的Weibull近似或MDN中的单一高斯成分，限制了后验的表达能力。仅通过500次模拟和50个训练周期，该方法显示出快速近似的潜力，但强调了需要更大的模拟预算来减少偏差。表6. 使用ABC-MDN在模拟数据和具有1个高斯成分的MDN上对QR分布进行参数估计。图6. MDN训练损失在50个周期内的收敛情况。图6显示训练损失最初下降但随后波动，在20个周期后稳定在-3左右。非单调模式可能源于小批量大小（16）或高学习率（0.01），这表明需要调整优化参数，如自适应学习率。总体而言，根据表6，ABC-MDN提供了高效的参数推断，但低估了参数，限制了其在初步分析中的适用性。优势包括速度快（模拟次数少）和可扩展性。表7展示了经过偏差校正和加速（BCa）自举的MLE结果，并在图7中进行了可视化。表7显示ML估计值与真实值一致：α = 2.0000（真实值1.0000），β = 2.0000（真实值2.0000），γ = 0.5413（真实值0.5413）。然而，95%的BCa区间存在问题：α的区间从1.0000到5.3471，β的区间从2.0000到113.2868，γ的区间从0.0076到0.5413。下限与ML估计值匹配而上限差异较大，这可能是由于样本量小（n = 50，m = 40）、自举样本有限（500）或Nelder-Mead优化和BCa校正的敏感性所致。表7. ML估计值和95% BCa自举区间的总结（n = 50个项目，m = 40个观察到的失败；500个自举样本）。图7. 带有95% BCa区间的自举分布：(左)，(中)，以及生存函数图(右)。图7说明了自举分布。直方图(左)在1.0000附近较窄，BCa区间(红色虚线)延伸到5.3471，表明可能存在异常值或收敛问题。分布(中)在2.0000处有一个明显的峰值，但上限(113.2868)极值，可能反映了形状参数估计的约束不足。分布(右)在0.5413附近聚集，下限(0.0076)表明某些样本被低估，可能是由于Weibull近似中的尾部行为。这些模式突出了进行稳健性检查的必要性。总体而言，根据表7，MLE在点估计方面表现良好，但BCa区间表明参数被低估，限制了其在初步分析中的适用性。优势包括计算效率。表8总结了贝叶斯置信区间（CI）估计结果，并在图7中进行了可视化。表8展示了来自5000个Gibbs样本（1000次燃烧期）的后验均值和95%置信区间。尺度参数的平均值为2.4442（95%置信区间：[1.5303, 3.7061]），比真实值（1.0000）高出了144%，而形状参数的平均值为2.8955（95%置信区间：[1.2867, 5.1967]，比真实值（2.0000）高出了45%。生存概率被低估为0.0480（95%置信区间：[0.0222, 0.0843]），而真实值为0.5413。这些偏差可能源于数据生成中的Weibull近似或删失（20%），导致置信区间变宽和均值偏移。伽马先验（α = 2，β = 1）增加了正则化，但在小样本（n = 100）中导致了高估。总体而言，该方法提供了具有不确定性量化的稳健推断，如表8所示，但参数被高估。相应的贝叶斯HPD区间估计结果在表9中详细列出，并在图8中进行了可视化。表9提供了来自3000个Gibbs样本（500次燃烧期）的后验均值和95% HPD区间。尺度参数的平均值为2.5421（HPD：[1.6566, 3.6274]，比真实值（1.0000）高出了154%，而形状参数的平均值为2.8990（HPD：[1.3205, 5.1029]，比真实值（2.0000）高出了45%。生存函数被显著低估为0.0383（HPD：[0.0070, 0.0741），与真实值0.5413相比。这些偏差可能是由于数据生成中的Weibull近似、20%的删失率和小样本量（n = 50）造成的，伽马先验（α = 2，β = 1）可能放大了偏差。图8显示了后验分布。后验（左）右偏，错过了真实值（灰色虚线），但被HPD（红色虚线）所包含，表明不确定性较高。后验（中）较宽，将真实值包含在一个宽的HPD内，表明形状推断的变异性。后验（右）低偏，HPD较窄，反映了生存估计的低值，与预测不足一致。这些模式表明MCMC混合有效，但突出了先验数据交互效应。总体而言，Gibbs-MH方法提供了CI估计，如表9所示，但在小样本中存在偏差。表8. 贝叶斯参数估计和95%置信区间（n = 100个项目，m = 80个观察到的失败；5000次MCMC迭代，1000次燃烧期；伽马先验α = 2，β = 1）。表9. 贝叶斯参数估计和95% HPD区间（n = 50个项目，m = 40个观察到的失败；3000次MCMC迭代，500次燃烧期；伽马先验α = 2，β = 1）。图8. 带有95% HPD区间的Gibbs采样的后验分布：(左)，(中)，以及生存函数(右)。5.2. 应用于退伍军人管理局肺癌数据集退伍军人管理局肺癌数据集是生存分析中的经典基准，包含137名患者的生存时间和删失指标。我们使用GOF度量、视觉诊断和危险函数行为来评估模型拟合度，以展示QR分布在医学设置中的实际效用。我们对这个临床数据集使用了所有估计方法（MLE与SGD、贝叶斯MAP、摊销神经推断和ABC-MDN），在II型删失下进行评估。表10总结了最大似然估计（MLE）和贝叶斯MAP估计的关键GOF度量。表10. 退伍军人管理局肺癌数据的GOF度量。KS检验在0.0504时的p值为0.8602，表明观察到的生存时间的经验分布与QR分布之间没有统计学上的显著差异。低RMSE值进一步支持了理论CDF和经验CDF之间的一致性。图9展示了经验CDF与拟合的QRCDF的比较，P-P图、Q-Q图和估计的危险率函数。危险函数清楚地显示了下降的失败率（DFR）模式（99.2%的危险曲线在下降，参见表11），反映了诊断后立即的风险较高，随后随时间逐渐下降。这种行为在癌症生存数据中很常见，其中死亡风险通常在诊断后立即最高，然后随时间逐渐下降。模型估计的中位寿命约为68.54年。信息准则（AIC = 1591.83，BIC = 1609.35）和成功的PDF积分（0.999958）表明模型拟合良好且数值稳定。总体而言，数值和图形证据都支持QR分布对退伍军人管理局肺癌数据集的出色拟合。图9. 退伍军人管理局肺癌数据集的GOF诊断图。(A) PDF拟合图，(B) 与Kaplan-Meier的CDF比较图，(C) HRF图，(D) P-P图，(E) Q-Q图，(F) 平均剩余寿命函数图，(G) 累积HRF图，(H) 反向HRF图，(I) 平均等待时间函数图。表11. 癌症数据上QR分布的危险函数形状分析。此外，图9显示QR模型对退伍军人管理局肺癌生存时间的良好拟合。CDF紧密跟随Kaplan-Meier非参数估计。危险率函数显示出明显的DFR模式，反映了诊断后立即的较高死亡风险，随后随时间逐渐下降。P-P图和Q-Q图显示出满意的对齐，尾部有轻微偏差，这在现实世界的医疗数据中是典型的。KS检验的p值0.8602强烈支持QR分布适用于该数据集。表12展示了模型参数的MLE结果以及与非参数Kaplan-Meier（KM）估计器的比较，并在图10中进行了视觉对比。MLE得出的参数估计值为α = 2.0000，β = 2.0000，γ = 0.5413。形状参数表明危险率随时间适度增加。参数模型与非参数估计器之间的极好一致性通过KM和QR生存曲线之间的低均方根误差（RMSE）来量化。此外，基于MLE的QR模型在中位时间的生存概率（0.588）与KM估计的生存概率（0.608）非常接近。图10从视觉上强化了这些发现，显示平滑的MLE曲线（红色虚线）紧密跟踪阶梯函数KM曲线（蓝色实线），特别是在早期和中期生存期。这种视觉对齐验证了QR分布在参数化删失数据的潜在生存过程方面的有效性。表12. 肺癌数据集的QR分布的MLE和KM。图10. 肺癌数据的KM估计器与MLE的生存曲线比较。表13总结了在II型删失下拟合到退伍军人管理局肺癌数据集的贝叶斯估计结果。该表展示了尺度参数、形状参数和在天的生存函数的后验均值估计、95%置信区间和关键诊断指标。对于尺度参数，后验均值估计为0.5123，95%置信区间为[0.3214, 0.7896]。该区间反映了数据集中观察到的生存时间的变异性，其中包括137个事件和146名患者中的9个删失观察。形状参数的后验均值为1.6234，95%置信区间为[0.9876, 2.5432]，捕捉了受治疗类型和Karnofsky表现评分等协变量影响的生存模式的异质性。在天的生存概率估计为0.6235，95%置信区间为[0.4567, 0.7893]，表明在这一点上的生存概率适中，与研究人群中肺癌的晚期阶段一致。宽置信区间反映了后验不确定性，可能由于相对较小的样本量和删失及协变量效应引入的复杂性而加剧。Metropolis-Hastings提议的标准差为0.1确保了对参数空间的充分探索，但可能导致观察到的变异性。表13中的诊断指标确认了采样器的稳健性能。对于和，有效样本量约为4000（在总共5000次迭代中丢弃了1000次燃烧期后），表明有足够的独立样本进行可靠推断。和的接受率分别为0.821和0.876，表明在Gibbs采样与Metropolis-Hastings步骤中混合有效，避免了过度拒绝，同时保持了链的稳定性。表13. 贝叶斯参数估计、置信区间和诊断指标。图11显示了和的后验样本的轨迹图。链条显示出强烈的收敛性，围绕后验均值稳定波动，燃烧期后没有明显的趋势或自相关性。这支持了后验样本的生存概率用于统计推断。后验分布在图12中进行了可视化。（左）的直方图显示出轻微的右偏态，峰值接近0.5，反映了数据集中生存时间的分布范围。（中）的分布呈中等偏态，质量集中在1到2.5之间，这与QR分布在建模生存数据时的灵活性相符。（右）的后验分布显示为单峰分布，略微偏向较高的生存概率，这与数据集的临床背景一致。观察到参数的真实值略微超出了95%的HPD区间，而参数和可靠性函数的真实值则舒适地落在各自的可信区间内。在贝叶斯推断中，这种现象是统计上预期的，特别是在样本量中等和存在第二类删失的情况下，即使模型指定正确，真实参数值也有大约5%的概率会落在95%的可信区间之外。后验的轻微偏移主要归因于删失机制和所选Gamma先验的影响；尽管如此，后验均值仍然与真实值相当接近，整体可靠性估计是准确的。图11显示了使用Gibbs采样器和Metropolis-Hastings方法得到的参数（左）和（右）的后验样本的轨迹图。图12显示了（左）、（中）和生存函数（右）的后验分布。在肺癌数据集上估计QR分布参数的贝叶斯SGD结果总结在表14中，并在图13中进行了可视化。表14展示了使用Momentum作为最佳优化器，通过贝叶斯SGD得到的最大后验（MAP）估计和95%可信区间（CIs），在弱Gamma先验下。尺度参数的MAP为0.4429（95% CI：[0.1652, 0.4562]），表明失败时间的分布是中等偏态的。形状参数的MAP为0.0102（95% CI：[0.0095, 0.0316]），表明危险率几乎是恒定的或缓慢下降的，这可能反映了数据集的高事件率（93.4%）和有限的删失。这些CIs基于200次自助重采样得出，有效地量化了不确定性，对于更广泛的数据变化或先验影响具有更宽的区间。与传统的MLE（在输出中未详细说明，但在图13中提到）相比，贝叶斯方法提供了规则化的估计，可能减少了在小数据集中的过拟合。表14展示了肺癌数据上QR分布参数的贝叶斯估计和95%可信区间。图13可视化了贝叶斯SGD优化过程。图13提供了优化过程的视觉诊断。左和中间的面板显示了3000个时期内的参数收敛情况：Momentum（青色）和Adam（绿色）比普通的SGD（蓝色）收敛得更快，在1000个时期就达到了稳定状态，而MLE（虚线黑色）作为基准。右边的面板展示了对数后验的演变，Momentum达到了最高的最终值，证实了其优越性。总体而言，这些结果证明了贝叶斯SGD在估计QR分布方面的有效性，如图13中的稳定收敛和表14中的精确MAP所示。Momentum在速度和后验最大化方面优于其他优化器，使其非常适合处理带有删失数据的生存分析。然而，较低的参数可能表明模型设定不正确或数据存在异常（例如，来自癌症数据集的结构），并且自助CIs假设了重采样的充分性。弱先验确保了数据驱动的结果，但建议对先验强度进行敏感性分析以提高鲁棒性。肺癌数据上QR分布的VI结果总结在表15中，并在图14和图15中进行了可视化。表15比较了VI和MLE的估计。VI得到的参数分别为（95% CI：[0.2030, 0.2815]和（95% CI：[0.0162, 0.0227]），ELBO为-397.5409，作为边际似然的下限。相比之下，MLE得到的参数分别为，对数似然为-386.5742。这种差异突显了VI结合了先验不确定性（Gamma先验），使估计值偏向更为保守的值，并提供了MLE所没有的可信区间。较低的ELBO与MLE的对数似然相比是预期的，因为ELBO近似于真实后验；然而，紧密的可信区间表明不确定性较低，可能是因为高事件率（93.4%）减少了删失效应。表15显示了肺癌数据上QR分布的参数估计（VI使用对数正态变分族和Gamma先验）。图14比较了通过MLE（红线）和VI（蓝线）估计的肺癌数据QR分布的生存函数。阴影蓝色区域代表VI后验样本的95%可信区间。图15展示了QR分布上VI的诊断信息。顶部行：ELBO收敛（左），和的变分均值收敛（中），和的变分标准差（右）。底部行：的后验分布（左）与MLE（红色虚线）和VI均值（绿色虚线），的后验分布（中），以及VI样本（右）与MLE（红色星号）和VI均值（绿色菱形）的参数空间散布。图14比较了肺癌数据的估计生存函数。MLE曲线（红色）迅速衰减，反映了较高的和较低的，表明失败发生得很快。VI均值曲线（蓝色）显示出较慢的衰减，95%可信区间（阴影蓝色）捕捉了对数正态变分样本的后验变异性。重叠部分表明VI对MLE的近似精度，并量化了不确定性，这对于生存预测很有用，因为区间估计有助于风险评估。图15评估了VI的收敛性和后验分布。左上角的ELBO图显示在200个时期内迅速增加到稳定状态，通过重新参数化和Adam确认了优化的成功。变分均值（顶部中间）收敛到和（exp），标准差（顶部右侧）缩小，表明后验分布变得更加紧密。底部行的后验（左和中间）是偏态的但单峰的，VI均值（绿色虚线）与MLE（红色虚线）不同，这是由于先验的影响；参数空间散布（右侧）紧密聚集，表明相关性低且平均场近似良好。总体而言，VI提供了比MLE更高效的贝叶斯替代方案，如表15的估计和图15的诊断结果所示，能够实现可扩展的后验近似并量化不确定性。VI中较低的参数可能表明模型设定不正确或数据异常（例如，来自癌症数据集的结构），并且自助CIs假设了重采样的充分性。表15和图14及图15可视化了肺癌数据上QR分布的VI结果。表15比较了VI和MLE的估计。VI得到的参数分别为（95% CI：[0.2030, 0.2815]和（95% CI：[0.0162, 0.0227]），ELBO为-397.5409，作为边际似然的下限。相比之下，MLE得到的参数分别为，对数似然为-386.5742。这种差异突显了VI结合了先验不确定性（Gamma先验），使估计值偏向更为保守的值，并提供了MLE所没有的可信区间。较低的ELBO与MLE的对数似然相比是预期的，因为ELBO近似于真实后验；然而，紧密的可信区间表明不确定性较低，可能是因为高事件率（93.4%）减少了删失效应。表15显示了肺癌数据上QR分布的参数估计（VI使用对数正态变分族和Gamma先验）。图14比较了通过MLE（红线）和VI（蓝线）估计的肺癌数据QR分布的生存函数。阴影蓝色区域代表VI后验样本的95%可信区间。图15展示了QR分布上VI的诊断信息。顶部行：ELBO收敛（左），和的变分均值收敛（中），和的变分标准差（右）。底部行：的后验分布（左）与MLE（红色虚线）和VI均值（绿色虚线），的后验分布（中），以及VI样本（右）与MLE（红色星号）和VI均值（绿色菱形）的参数空间散布。图14比较了肺癌数据的估计生存函数。MLE曲线（红色）迅速衰减，反映了较高的和较低的，表明失败发生得很快。VI均值曲线（蓝色）显示出较慢的衰减，95%可信区间（阴影蓝色）捕捉了对数正态变分样本的后验变异性。重叠部分表明VI对MLE的近似精度，并量化了不确定性，这对于生存预测很有用。图15评估了VI的收敛性和后验分布。左上角的ELBO图显示在200个时期内迅速增加并趋于稳定，通过重新参数化和Adam确认了优化的成功。变分均值（顶部中间）收敛到和（exp），标准差（顶部右侧）缩小，表明后验分布变得更加紧密。底部行的后验（左和中间）是偏态的但单峰的，VI均值（绿色虚线）与MLE（红色虚线）不同，这是由于先验的影响；参数空间散布（右侧）紧密聚集，表明相关性低且平均场近似良好。总体而言，VI提供了比MLE更高效的贝叶斯替代方案，如表15的估计和图15的诊断结果所示，能够实现可扩展的后验近似并量化不确定性。VI中较低的参数可能减轻了MLE接近零的值，避免了在删失数据中的过拟合。表16总结了使用NN对肺癌数据上QR分布参数的摊销推断结果，并在图16中进行了可视化。表16展示了模型在测试集（2250个数据集）上的表现以及在真实数据上的预测。在测试集上，尺度参数的均方绝对误差（MAE）和RMSE分别为1.0271和1.4085，为0.6064，表明预测准确性适中。对于形状参数，指标更强：MAE为0.2070，RMSE为0.3227，为0.9803，表明泛化能力优秀。这些值反映了网络在训练10,500个模拟数据集后从11个摘要统计量中推断参数的能力。在真实数据上，NN预测的参数接近下限，而传统的MLE得到的参数则接近上限。神经预测中的边界效应可能源于softplus激活约束或数据特征（高事件率93.4%），但MLE的极端参数表明传统方法在处理删失数据时可能存在不稳定性。表16显示了肺癌数据上摊销NN的性能指标和预测结果。图16可视化了QR分布推断的摊销NN性能。顶部行：训练和验证损失随时期的变化（左），预测值与真实值（中），预测值与真实值（右）。底部行：的预测误差直方图（左），的预测误差直方图（中），以及测试集上真实值与预测值的参数空间散布（右）。为了便于理解摊销神经推断方法，表17概述了完整的架构配置。如图所示，网络通过顺序密集层映射11个摘要统计量，以确保参数估计的稳健性和泛化能力。图16提供了视觉验证。顶部左侧面板显示训练（蓝色）和验证（橙色）损失在200个时期内平稳下降，没有过拟合，使用了dropout（0.2）和批量归一化。顶部中间和顶部右侧的散点图确认了表16中的值，点紧密沿着理想线（红色虚线），但显示出更大的分散，可能是由于对删失的敏感性较高。底部左侧和底部中间的误差直方图集中在零附近，的误差更窄（MAE 0.2070）比（MAE 1.0271），表明形状推断的精度更高。底部右侧的参数空间散布对比了真实值（绿色）和预测值（红色），真实数据的神经预测（金色X）接近原点，而MLE（紫色星号）在高参数时表现不佳，这突显了通过训练先验进行的摊销推断的 regularization。总体而言，摊销方法在新数据集上的推断速度更快，如表16中的高参数和图16中的收敛性所示，优于MLE在处理带有删失数据的稳定性方面的表现。然而，较低的参数可能表明模型设定不正确或数据存在异常（例如，来自癌症数据集的结构），并且自助CIs假设了重采样的充分性。表16总结了肺癌数据上QR分布的VI结果，并在图14和图15中进行了可视化。表15比较了VI和MLE的估计。VI得到的参数分别为（95% CI：[0.2030, 0.2815]和（95% CI：[0.0162, 0.0227]），ELBO为-397.5409，作为边际似然的下限。相比之下，MLE得到的参数分别为，对数似然为-386.5742。这种差异突显了VI结合了先验不确定性（Gamma先验），使估计值偏向更为保守的值，并提供了MLE所没有的可信区间。较低的ELBO与MLE的对数似然相比是预期的，因为ELBO近似于真实后验；然而，紧密的可信区间表明不确定性较低，可能是因为高事件率（93.4%）减少了删失效应。表15显示了肺癌数据上QR分布的参数估计（VI使用对数正态变分族和Gamma先验）。图14比较了通过MLE（红线）和VI（蓝线）估计的肺癌数据QR分布的生存函数。阴影蓝色区域代表VI后验样本的95%可信区间。图15展示了QR分布上VI的诊断信息。顶部行：ELBO收敛（左），和的变分均值收敛（中），和的变分标准差（右）。底部行：的后验分布（左）与MLE（红色虚线）和VI均值（绿色虚线），的后验分布（中），以及VI样本（右）与MLE（红色星号）和VI均值（绿色菱形）的参数空间散布。图14比较了肺癌数据的估计生存函数。MLE曲线（红色）迅速衰减，反映了较高的和较低的，表明失败发生得很快。VI均值曲线（蓝色）显示出较慢的衰减，95%可信区间（阴影蓝色）捕捉了对数正态变分样本的后验变异性。重叠部分表明VI对MLE的近似精度，并量化了不确定性，这对于生存预测很有用，因为区间估计有助于风险评估。图15评估了VI的收敛性和后验分布。左上角的ELBO图显示在200个时期内迅速增加并趋于稳定，通过重新参数化和Adam确认了优化的成功。变分均值（顶部中间）收敛到和（exp），标准差（顶部右侧）缩小，表明后验分布变得更加紧密。底部行的后验（左和中间）是偏态的但单峰的，VI均值（绿色虚线）与MLE（红色虚线）不同；参数空间散布（右侧）紧密聚集，表明相关性低且平均场近似良好。总体而言，VI提供了比MLE更高效的贝叶斯替代方案，如表15的估计和图15的诊断结果所示，能够实现可扩展的后验近似并量化不确定性。VI中较低的参数可能减轻了MLE接近零的值，避免了在删失数据中的过拟合。限制包括平均场假设可能低估了相关性，以及ELBO的松弛性。表16总结了使用NN对肺癌数据上QR分布参数的摊销推断结果，并在图16中进行了可视化。表16突出了模型在测试集（2250个数据集）上的表现以及在真实数据上的预测。在测试集上，尺度参数的均方绝对误差（MAE）和RMSE分别为1.0271和1.4085，为0.6064，表明预测准确性适中。对于形状参数，指标更强：MAE为0.2070，RMSE为0.3227，为0.9803，表明泛化能力优秀。这些值反映了网络在训练10,500个模拟数据集后从11个摘要统计量中推断参数的能力。在真实数据上，NN预测的参数接近下限，而传统的MLE得到的参数接近上限。神经预测中的边界效应可能源于softplus激活约束或数据特征（高事件率93.4%），但MLE的极端参数表明传统方法在处理删失数据时可能存在不稳定性。表16显示了肺癌数据上摊销NN的性能指标和预测结果。图16可视化了QR分布推断的摊销NN性能。顶部行：训练和验证损失随时期的变化（左），预测值与真实值（中），预测值与真实值（右）。底部行：的预测误差直方图（左），的预测误差直方图（中），以及测试集上真实值与预测值的参数空间散布（右）。为了便于理解摊销神经推断方法，表17概述了完整的架构配置。如图所示，网络通过顺序密集层映射11个摘要统计量，以确保参数估计的稳健性和泛化能力。图16提供了视觉验证。顶部左侧面板显示训练（蓝色）和验证（橙色）损失在200个时期内平稳下降，没有过拟合，使用了dropout（0.2）和批量归一化。顶部中间和顶部右侧的散点图确认了表16中的值，点紧密沿着理想线（红色虚线），但显示出更大的分散，可能是由于对删失的敏感性较高。底部左侧和底部中间的误差直方图集中在零附近，的误差更窄（MAE 0.2070）比（MAE 1.0271），表明形状推断的精度更高。底部右侧的参数空间散布对比了真实值（绿色）和预测值（红色），真实数据的神经预测（金色X）接近原点，而MLE（紫色星号）在高参数时表现不佳，这突显了通过训练先验进行的摊销推断的 regularization。总体而言，摊销方法在新数据集上的推断速度更快，如表16中的高参数和图16中的收敛性所示，优于MLE在处理具有边界问题的真实数据时的表现。优势包括可扩展性（训练后即时预测）和来自多样化模拟的稳健性（范围广泛：[0.05, 8.0]，[0.05, 8.0]）。从图16可以看出，训练和验证损失在前20个时期内迅速下降，并在71个时期提前停止之前稳定下来。合成数据和真实数据分析（特别是退伍军人管理局肺癌数据集）均证实，QR分布能够有效捕捉现实中的风险行为，并在不同估计方法中展现出良好的拟合效果。尽管取得了这些有希望的结果，该研究仍存在一些局限性。首先，分析主要集中在第二类删失情况上，这与QR分布的原始开发背景一致。其次，由于ABC-MDN方法的计算需求较高，未能进行涵盖广泛样本量和删失比例的蒙特卡洛模拟研究。第三，仅使用了两个数据集进行真实数据验证，某些方法（尤其是经典的最大似然估计法）对小样本量和严重删失情况较为敏感，偶尔会产生极端的参数估计结果。最后，神经网络的性能取决于模拟训练数据的质量和多样性。未来的研究可以通过在各种删失机制下进行大规模模拟，并探索结合精确贝叶斯推断与深度学习优化的混合估计方法来克服这些局限性。通过在多样化的临床和可靠性数据集上进行更广泛的验证，以及采用自适应先验选择和鲁棒优化策略，将进一步增强QR分布在实际决策中的应用能力。

总体而言，本研究将QR分布视为一种适用于删失生存分析的稳健且灵活的模型，并展示了将经典统计方法与现代计算技术相结合的价值。QR分布借助多方法估计框架的支持，在医学和可靠性工程领域的预后建模方面具有巨大潜力。