用于不规则域中异质弹性问题的指数收敛扩展多尺度有限元方法（EC-EMsFEM）

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Exponentially convergent extended multiscale finite element method (EC-EMsFEM) for heterogeneous elasticity problems in irregular domains

　　张明硕|梁源|郭旭|程庚东
中国大连理工大学工程力学系，国际计算力学研究中心，工业设备结构分析、优化与CAE软件国家重点实验室，大连116023

**摘要**
扩展的多尺度有限元方法（EMsFEM）为非周期性异质结构提供了一个高效的低阶框架，但在精度和效率之间存在权衡。本文提出了一种适用于不规则域中异质弹性问题的指数收敛EMsFEM（EC-EMsFEM）。首先，引入了具有曲线边缘的粗元素以实现精细尺度的几何离散化，并在其中结合了线性位移自由度（DoFs）和额外的模态自由度。其次，通过解析双射导出了线性边界条件以确保完备性和一致性；同时，通过解决考虑周围异质性的局部谐波扩展广义特征值问题，获得了符合性的单位分割模态边界条件。第三，在这些边界条件下求解局部平衡方程，构建用于线性位移自由度和额外模态自由度的数值基函数（NBFs），从而捕捉粗细尺度自由度之间的关系。最后，利用NBFs、粗元素刚度矩阵、低阶FEM方程和降尺度计算方法。数值示例表明，所提出的方法能够随着额外模态自由度数量的增加而实现精细尺度位移误差的指数收敛，对于不规则域中的非周期性异质二维问题，可以将自由度减少95%以上，并保持误差在1%以下；该方法还可以扩展到三维问题，从而在整体计算时间上具有优势。

**引言**
在自然和工程系统中，存在许多具有内在多尺度特性的异质结构和材料，对其机械分析具有重要意义[[1], [2], [3], [4], [5]]。然而，这类结构和材料通常在多个尺度上表现出强烈的异质性，直接在最细尺度上进行离散化在计算上是不可行的。因此，开发高效且精确的多尺度分析方法至关重要。在现有的方法中，多尺度有限元方法（MsFEM）已成为一个强大的框架，因为它可以直接应用于非周期性和强异质的多尺度结构和材料，而不需要假设尺度分离。MsFEM的思想源于Babu?ka等人的开创性工作[6]，并由Hou[7]和Efendiev等人[8]进一步发展。MsFEM最初是为求解具有异质系数的二阶标量椭圆方程而开发的。其核心思想是将计算域离散为异质粗元素，进一步细分为均匀细元素，并在粗尺度上定义自由度（DoFs），从而能够在较低（粗）尺度上解决问题并实现模型阶数的降低。通过在每个粗元素上求解局部平衡问题，构建数值基函数（NBFs）来捕捉微分算子的多尺度特性。由于NBFs在每个元素中独立构建，MsFEM天生适合并行实现，进一步加速了计算速度。

为了将MsFEM扩展到固体力学中的多维矢量场问题，张等人[9,10]提出了扩展的多尺度有限元方法（EMsFEM）。EMsFEM通过在NBFs中引入耦合项来处理多维矢量场问题中不同方向之间的耦合效应。随后，EMsFEM已被应用于各种问题，包括桁架结构[11]、异质材料的静态分析[12]、动态问题[13,14]和热弹性问题[15]。通过引入粗元素内的自适应节点，EMsFEM也被扩展到断裂分析[16,17]。后续研究扩展了应用范围，包括粘弹性复合材料[18]和夹层梁板[19]。刘等人还开发了一个开源教育代码来实现EMsFEM[20]，并将其扩展到拓扑优化[21,22]。

适用于MsFEM的几何离散化方法对于处理不规则域中的复杂多尺度工程结构至关重要。一种简单的几何离散化策略是使用由直线边缘的四边形粗元素组成的粗尺度网格，相应的细尺度网格由这些粗元素确定，如图1(a)所示。因此，得到的细尺度网格无法实现对不规则域的体适应离散化，需要更多的直线边缘四边形粗元素，这降低了模型降维效率。一些研究尝试通过将等几何分析（IGA）与MsFEM结合[23], [24], [25], [26]来克服这一限制，但在选择控制点和施加边界条件方面仍存在挑战。多尺度虚拟元素方法（MsVEM）[27,28]将虚拟元素方法（VEM）扩展到多尺度问题，非常适合多边形网格。它们允许将细尺度特征直接嵌入计算域，而无需在网格之间传输数据，但需要VEM公式中使用的投影算子或稳定化项。总之，在不规则域中定义的问题中，平衡计算效率和几何精度仍然是一个主要挑战。

EMsFEM的精度和效率主要取决于NBFs的质量和粗尺度自由度的设置。现有的提高精度的方法大致可以分为两类。第一类主要通过为局部平衡问题设计更合理的边界条件来提高精度。最常用的局部平衡条件是线性边界条件，它可以确保完备性（即在均匀情况下表示刚性位移和恒定应变变形）和一致性（即粗元素之间的位移连续性）。然而，这种选择往往导致粗元素过于刚性[12]。周期性边界条件是另一种选择，适用于周期性异质结构，但在粗元素边界附近会损失精度[12]。过采样策略扩大了局部平衡问题的计算域，以包含所考虑粗元素周围的异质性，这可以减轻线性边界条件引起的过度刚性问题[12]，但可能会破坏一致性，并导致粗元素边界处的细元素应力和应变能量不连续[12]。总之，理想的NBFs应确保完备性、一致性和包含所考虑粗元素周围的异质性。然而，现有方法的边界条件无法同时满足这三个要求，使得难以同时实现高精度和高效率。

第二类提高精度的方法借鉴了P-版本FEM[29]和富集技术，如扩展有限元方法（XFEM）[30]，通过在粗元素上引入额外的界面节点和自由度。有限单元方法（FCM）[31]可以逐步添加边界和内部界面节点（或界面自由度），并使用正交多项式构建高达十阶的基函数[32]，而无需求解局部平衡问题。通过引入额外的边界节点和高阶多项式边界条件，可以进一步扩展EMsFEM框架。这些边界条件可用于构建高阶NBFs，从而提高精度，但无法考虑所考虑粗元素的周围异质性[33]。李等人[34]引入了桥接节点和贝塞尔函数以提供更大的变形能力，并将其应用于大规模工业地质模型。广义MsFEM（GMsFEM）[35]引入了由四个相邻粗元素形成的粗节点计算域。在这些域中求解局部谐波扩展广义特征值问题（以下简称局部特征值问题），并将得到的模式乘以单位分割函数，直接用作弹性问题的NBFs。这些模式自然地包含了周围异质性，同时保持了粗元素之间的一致性。然而，GMsFEM需要足够数量的模态自由度来反映每个粗尺度元素中不连续的高刚性区域（岛屿）的完整性和运动[35]。因此，确定足够但不过多的模态自由度数量是GMsFEM的主要问题[35]。

根据p-版本有限元理论，即使对于均匀元素，也只有在非常严格的条件下才能实现指数收敛；否则，只能获得代数收敛[36]。因此，大多数基于p-版本的多尺度有限元方法通常表现出代数收敛，即增加少量额外自由度可以根据∥E∥∝p?k减少状态变量（位移、应力等）的全局误差，其中p是每个粗元素的额外自由度数量，k是一个常数。最近，陈一凡等人[37,38]从数学上证明了某种多尺度FEM构造可以实现指数收敛，即∥E∥∝e?kp。然而，这一结果仅适用于标量椭圆PDE，尚未扩展到向量值弹性问题。填补这一空白并实现异质弹性问题的指数收敛是本工作的核心动机。

为了解决上述挑战，本文提出了一种适用于不规则域中异质弹性问题的指数收敛扩展多尺度有限元方法（EC-EMsFEM）。首先，所提出的框架采用了边缘符合不规则域边界的曲线边缘粗元素，实现了体适应的精细尺度离散化，如图1(b)所示。仅对曲线边缘粗元素节点引入了线性位移自由度和额外的模态自由度组合，NBFs基于粗尺度和细尺度自由度之间的关系定义。其次，引入了解析双射映射，以在曲线边缘粗元素上准确施加线性边界条件，确保完备性和一致性。此外，为了构建符合性的过采样边界条件，并受到GMsFEM的启发，我们选择了适当的粗节点计算域。在这些域内，通过解决局部谐波扩展广义特征值问题来计算额外模态自由度的符合性单位分割模态边界条件。这些问题考虑了所考虑粗元素的周围异质性。因此，主要变形模式可以使用少数低阶模态边界条件捕获，从而实现指数收敛。与直接将这些模式用作NBFs的GMsFEM不同，所提出的方法利用边界上的模态值来构建考虑周围异质性的符合性过采样边界条件。这提供了更大的灵活性，可以随着任意数量额外模态自由度的增加而单调减少误差。最后，使用这些边界条件求解局部平衡方程，从中得到粗元素刚度矩阵、低阶FEM方程和降尺度计算。数值示例表明，所提出的方法能够随着额外模态自由度数量的增加而实现精细尺度位移误差的指数收敛，将自由度减少95%以上，同时保持误差在1%以下。EC-EMsFEM能够处理异质和不规则结构，包括具有奇点的结构，并可以扩展到三维（3D）问题，从而在整体计算时间上具有优势。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍了异质弹性问题的基本理论和EMsFEM的概述。第3节提出了EC-EMsFEM的理论公式。第4节提供了数值分析示例。第5节给出了结论和展望。

**异质弹性问题的精细尺度FEM**
我们考虑一个二维（2D）异质弹性问题。设Ω?R2为结构域，其边界分解为Γ=ΓD∪ΓN，其中ΓD∩ΓN=?。ΓD和ΓN分别表示狄利克雷边界和诺伊曼边界。x?Ω是Ω中的一个点。每个点x处的位移向量为u(x)=(ux(x),uy(x))T。无体力且具有均匀狄利克雷边界条件的线性弹性问题是找到满足以下条件的位移u：
{
?·σ=0,
inΩ
u=0,
onΓD
σ·n=t,
onΓN
}
其中σ是一个秩为2的柯西张量。

**指数收敛扩展多尺度有限元方法（EC-EMsFEM）**
基于经典的EMsFEM框架，本节介绍了指数收敛扩展多尺度有限元方法（EC-EMsFEM）。EC-EMsFEM的新颖之处在于它保留了EMsFEM的线性位移自由度以确保完备性和兼容性，并在粗元素节点引入额外的模态自由度以快速减少误差，同时保持兼容性。此外，引入了具有曲线边缘的粗元素的高精度几何离散化网格。

**性能评估的数值示例**
本节所有数值示例中的材料都是各向同性的，泊松比为0.3。为了测试EC-EMsFEM的性能，在结构的不同区域显著变化杨氏模量。在以下内容中，黑色的细小元素被设定为具有杨氏模量 E=1 的固体材料，而白色细小元素的空隙材料的杨氏模量 Emin=1×10^-6，除非另有说明。对于二维问题（从第4.1节到第...节），我们提出了指数收敛扩展多尺度有限元方法（EC-EMsFEM），用于处理不规则域中的异质弹性问题。通过使用曲线边缘的粗元素实现了精确的几何离散化，并通过解析的双射映射来执行边界条件。引入了一组线性位移和额外的模态自由度（DoFs），基于粗细尺度自由度之间的关系定义了NBFs，以平衡精度和计算效率。

CRediT作者贡献声明：
张明硕：撰写——原始草稿，可视化，软件开发，方法论研究，数据分析，形式化分析，概念化。
梁远：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，监督工作，方法论研究，资金筹集，形式化分析，概念化。
郭旭：撰写——审阅与编辑，监督工作，研究工作，资金筹集。
程庚东：撰写——审阅与编辑，监督工作，研究工作，资金筹集。