一种基于数据驱动的并行多尺度有限元-频率响应分析（FE-FCA）方法，用于预测大规模复合材料结构在弹塑性非线性力学作用下的响应

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A data-driven concurrent multiscale FE-FCA method for the elastoplastic nonlinear mechanical response prediction of large-scale composite structures

　　严军|刘志辉|程庚东|王俊杰|陈旭毅|罗彩虹|聂英豪
中国大连理工大学工程力学系，国际计算力学研究中心，工业设备结构分析、优化与CAE软件国家重点实验室，大连116024

**摘要**
复合材料的层次化多尺度结构带来了巨大的计算挑战。精确地解析组件内的微观结构异质性通常需要跟踪数亿个自由度，执行耦合的非线性本构更新，并在各个尺度之间传输大量数据，这些因素共同导致了高内存消耗和巨大的计算成本。为了解决这些问题，我们提出了一种数据驱动的并行多尺度降阶模型方法，用于预测大型复合材料的弹塑性非线性力学响应。该方法分为两个阶段：在离线阶段，基于我们之前提出的FEM-Cluster基分析（FCA，Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 348:157–168, 2019）方法构建微观尺度代表性体积元素（RVE）的降阶模型；在在线阶段，提出了一种增量FE-FCA算法，以实现宏观尺度结构的加载-卸载响应和微观尺度RVE内局部应力行为的有效预测。整个方法被称为FE-FCA方法，它在一个统一的有限元框架内构建，允许使用不规则网格和具有高材料对比度的RVE（如多孔材料）。此外，在每个结构加载步骤中，与所有积分点相关的RVE都会并行求解，并提出了一种加载步长自适应策略，以进一步加速RVE的计算，从而显著提高整体计算效率。与传统的FE2方法相比，所提出的FE-FCA方法在保持相似精度的同时显著降低了计算成本和内存需求，为复合材料的虚拟测试和基于微观结构的设计提供了一种可扩展、高效的方法。

**引言**
在现代工程实践中，由于纤维或颗粒增强聚合物或金属具有较高的比强度和比刚度，这些复合材料被广泛用于结构设计[1,2]。这些材料本质上是异质且多尺度的，其不同尺度之间的组分之间存在复杂的相互作用。此外，在实际应用中，它们经常表现出非线性力学行为，如弹塑性或损伤行为。这些因素使得准确评估这类材料的力学行为变得具有挑战性。

评估复合材料的力学行为，实验测试方法是一种有效的方式。但这类方法通常涉及高昂的成本和繁琐的程序[[3], [4], [5]]。一种有效的替代方法是使用数值模拟方法[6]，这些方法能够评估宏观尺度结构性能和微观尺度异质性。其中，多尺度模拟是一种流行的方法，可以大致分为两类：层次化多尺度方法[[7], [8], [9]]和并行多尺度方法[[10], [11], [12], [13], [14]]。在层次化多尺度方法中，必须在每个尺度上定义本构律，并将有效的材料参数（如弹性模量和塑性硬化）从低尺度逐步放大到高尺度。虽然不同尺度的模拟是独立的且计算效率较高，但层次化多尺度方法在很大程度上依赖于宏观尺度本构模型的准确性。实际上，这些本构模型通常为了数值实现而被简化。相比之下，并行多尺度方法直接将微观或介观尺度的代表性体积元素（RVE）与宏观尺度有限元模型的每个积分点耦合起来。这使得非线性行为可以直接在不同尺度之间传递，同时结合了局部信息（如微观应力分布）。由于其对宏观尺度现象学校准的依赖性较低，并且能够捕捉跨尺度相互作用，本研究重点关注并行多尺度方法。

传统的并行多尺度方法FE2使用有限元方法（FEM）来模拟高度异质结构的力学行为[[11], [12], [13], [14]]。然而，由于宏观-微观变量之间的紧密耦合，它通常涉及高昂的计算成本。如图1所示，宏观尺度网格包含6188个元素，每个积分点都与包含421,899个元素的微观尺度RVE耦合。即使忽略每个元素中的多个高斯点和牛顿迭代，这也导致了大约26亿个元素的总问题规模。这种规模的模拟通常需要超大型高性能计算（HPC）资源，严重限制了对大型复合结构的非线性分析。因此，使用传统的FE2进行高效的并行多尺度分析仍然具有挑战性。

由于在并行多尺度分析中必须重复求解RVE，RVE分析的效率成为决定整体计算速度的关键因素。已经开发了各种方法来实现RVE的快速计算和处理。例如，另一种直接数值模拟（DNS）方法是快速傅里叶变换（FFT）方法[15,16]，它比FEM更高效，由此产生了相应的并行多尺度方法FE-FFT[[17], [18], [19]]。然而，当应用于非线性分析（如塑性）时，FFT方法仍然计算成本高昂，并且对于高对比度的复合结构可能会遇到收敛问题。此外，一些研究人员提出了降阶模型（ROMs）来减少计算工作量，从而平衡计算精度和效率。例如，变换场分析（TFA）[20]假设不同相或子域中的应变是非线性的相同。在非均匀变换场分析（NTFA）[[21], [22], [23]]、适当正交分解（POD）[[24], [25], [26]]和适当广义分解（PGD）[28,29]方法中，非线性解表示为从DNS的非线性响应中提取的正交模式的线性组合。相应的并行多尺度方法包括FE-TFA [30], FE-NTFA [31], VMS-POD [32]和FE-PGD [33]，旨在提高多尺度计算效率。尽管这些方法具有优势，但它们通常依赖于高保真度的有限元模型来校准变形模式，且非线性解的求解仍然相对复杂。

与上述ROMs不同，近年来一类数据驱动的基于簇的降阶模型（CROMs）受到了相当多的关注。CROMs的起源可以追溯到刘等人提出的自洽聚类分析（SCA）方法[34]。该方法基于一个新颖的假设——后来由唐等人[35]总结为“一旦响应相似，始终响应相似”。SCA方法将计算过程分为离线和在线两个阶段。在离线阶段，使用基于弹性分析得到的应变浓度张量的聚类算法将规则网格化的RVE划分为几个簇。然后，基于簇模型和均匀参考材料，构建相互作用张量和簇Lippmann-Schwinger（L-S）。在在线阶段，引入一个自洽算法来迭代更新参考材料刚度，以求解簇l-S方程，从而获得RVE的非线性有效属性。这种两阶段框架有效地减少了计算自由度，同时在预测非线性响应时保持了高精度。SCA方法的最新发展包括基于SCA的并行多尺度分析，例如SCA2、FE-SCA、FE-FVSCA和FFT-SCA，用于单向、编织和编织复合材料的双尺度模拟[[36], [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43]]。此外，还提出了FE-SCA2三尺度模拟[44]。这些方法的特点是使用SCA进行微观或介观尺度的RVE分析，而使用FEM进行宏观非线性分析。此外，最近还开发了一种基于FFT2的多尺度方法，该方法在宏观尺度上结合了聚类分析[45]。

唐等人[35]提出了虚拟聚类分析（VCA）方法。与SCA方法相比，VCA方法将问题建模为嵌入在参考材料扩展域中的RVE，从而减少了与忽略的边界项相关的误差。此外，VCA通过粗网格近似策略[46]和自适应策略[47]得到了改进，并通过使用异质参考材料扩展到了长纤维增强复合材料[48]。数值示例表明，VCA方法具有高精度和高效率。

与其他CROMs不同，程等人[49]提出了基于FEM-Cluster的分析（FCA）方法来预测异质材料的非线性有效属性。该方法在一个统一的FEM框架内构建，不依赖于均匀参考材料和l-S方程。在离线阶段，直接基于实际RVE的特征应变驱动的FEM控制方程构建降阶模型。在在线阶段，提出簇最小互补能量原理（PCMCE）[50]来建立增量在线算法，以计算非线性有效属性。由于不涉及参考材料，FCA方法成功应用于具有极高材料对比度的多孔材料。进一步的研究表明，相互作用矩阵中的小特征值会影响预测精度，因此开发了用于重建簇相互作用矩阵的算法[51]。李等人[52]也对PCMCE进行了数学研究，聂等人[53]后来开发了一种用于构建异质RVE中相互作用矩阵的快速算法。朱等人[54]使用改进的FCA方法快速预测了三维编织复合材料的动态力学性能。尽管取得了这些进展，现有研究主要集中在预测RVE的非线性有效属性上。迄今为止，将其扩展到结构尺度的弹塑性分析尚未实现。因此，开发用于大规模结构弹塑性预测的FCA方法仍然是优先事项。这样的改进使得该方法既能捕捉RVE尺度微观结构对结构行为的影响，又能考虑宏观尺度场演化对局部RVE属性的相互影响，从而支持大规模安全评估和数据驱动的微观结构材料设计。

因此，本文提出了一种用于大型复合结构的并行多尺度FE-FCA方法，考虑了弹塑性非线性力学行为。由于整个方法在一个统一的FEM框架内，它比基于FFT和SCA的并行多尺度方法具有优势，例如能够采用不规则网格和处理含有孔隙的RVE。此外，为了更准确地捕捉弹塑性加载-卸载行为，构建了一种基于FCA的增量多尺度算法。为了识别弹塑性转变点，本研究实施了加载步长自适应策略，并在RVE中发生塑性变形时应用返回映射算法，以减少多尺度计算中的误差传播。几个数值示例证明了所提出方法的有效性。与传统的FE2方法相比，本文提出的方法可以显著减少分析所需的计算机内存并提高计算效率。图2显示了与传统的FE2方法的比较。

本文的组织结构如下：第2节介绍了多尺度分析中的基本问题，包括基本模型和控制方程。第3节概述了并行多尺度FE-FCA方法的框架和实现，总结了离线CROM构建和在线增量算法，并展示了它们在高效多尺度分析中的集成。第4节展示了含有纤维增强或颗粒增强RVE的结构的并行多尺度分析结果，讨论并比较了微观尺度和多尺度计算的准确性和效率，并详细描述了不同变形状态下的结果。最后，第5节总结了研究结果并提出了未来工作的展望。

**符号列表**
**缩写列表**

**基本问题描述**
本节在均质化框架内阐述了宏观和微观尺度的边界值问题及其尺度转换关系。整个宏观-微观结构和均质化过程在图3中示意性地说明。本研究重点关注在小变形弹塑性假设下的宏观-微观分析，假设包含体-基体界面完美粘结。进一步假设RVE的大小远小于特征尺寸。

**并行多尺度FE-FCA方法**
本节介绍了并行多尺度FE-FCA方法的理论框架和算法实现。FE-FCA方法包括离线阶段和在线阶段。离线阶段用于构建FE-FCA中使用的CROM，包括RVE的聚类、相互作用矩阵的计算及其后续重建。在线阶段用于构建增量FE-FCA算法，以实现宏观尺度结构的加载-卸载的有效预测。

**数值示例**
本节通过几个数值示例评估了并行多尺度FE-FCA方法的准确性和计算效率。所有计算都在配备Intel(R) Xeon(R) Gold 6248R CPU（96核）的工作站上进行。在所有后续的示例中，离线阶段的计算都采用了多加载条件算法[52,53]。对于负载步长自适应策略，根据数值经验，当前示例中Kmax的值被设置为50。

结论与展望：本文提出了一种数据驱动的并行多尺度FE-FCA方法，用于高效预测大规模复合结构的弹塑性非线性力学响应。该方法基于统一的有限元框架构建，在其中将增量FCA算法嵌入到宏观尺度非线性FE分析中，以准确预测加载-卸载行为。在每个宏观尺度负载步长内，所有积分点的RVEs（随机向量元）会并行求解。

作者贡献声明：
袁军：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，方法论，资金获取，概念化。
刘志辉：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，软件，方法论。
程庚东：撰写——审阅与编辑，方法论，概念化。
王俊杰：可视化，软件。
陈旭毅：软件，数据管理。
罗自强：可视化，软件。
聂英豪：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，软件，方法论，概念化。