基于输入力误差卷积高斯过程的方法，用于预测卫星可展开臂的回弹姿态偏差

《Aerospace Science and Technology》：Input?force?error convolved Gaussian process for predicting spring?back pose deviations in satellite deployable arms

　　吕玉龙|李东升|翟云农|刘鹏|文柯
北京航空航天大学机械工程与自动化学院，中国北京102206

摘要
卫星可展开臂中杆件和关节的连接是一个关键的组装步骤，直接影响最终组装的精度。当杆件和关节连接后，受约束的位置会产生组装力，导致杆件发生弹性变形（回弹），从而在组装后产生姿态偏差。为了解决这个问题，本文提出了一种预测可展开臂回弹姿态偏差的方法。我们引入了一种带有输入力误差替代的高斯过程模型，该模型可以直接从组装力预测最终的六维回弹姿态偏差。通过这种方式预先评估姿态偏差，该方法显著减少了测量姿态偏差的工作量，从而提高了补偿效率。通过将高斯过程核与力/扭矩（F/T）传感器的统计分布进行解析卷积，GPIFE将测量不确定性直接嵌入到模型中。与随机克里金法、通用克里金法和多元回归法相比，该方法将平移和旋转的均方根偏差降低到了0.0329毫米和5.27×10^-4度，分别比最佳竞争方法提高了17%和4%。在广泛的F/T传感器噪声水平范围内进行的噪声敏感性实验进一步证实了GPIFE的优越鲁棒性和预测可靠性。

引言
卫星上的可展开臂可以将天线定位在指令姿态，从而决定了在轨观测的精度和覆盖范围[1]。由于卫星运行在较高的轨道高度，即使是很小的姿态偏差也可能放大成显著的地面投影误差；因此，严格控制可展开臂的姿态偏差对于观测精度至关重要[2]。由于臂的长度较大且具有柔顺性，在有限的航天器空间内实现严格的组装公差具有挑战性。传统做法使用专用夹具或“定位器”来引导柔性杆件和关节的连接[[3], [4]]。组装后，需要迭代测量和补偿姿态偏差，这涉及重复的安装-拆卸周期，效率较低[5]。值得注意的是，闭合关节中保留的残余组装力与释放夹具后出现的回弹姿态偏差密切相关[6]。如果能够捕捉到这种力-偏差关系，就可以在现场预测偏差并在返工前进行补偿，从而减少重新安装的步骤并提高整体组装效率。

关于柔性结构中组装偏差的预测已经得到了广泛研究。在微小变形假设下，刘和胡[7]率先提出了影响系数法（MIC），该方法将有限元分析（FEA）与统计识别相结合，构建了一个敏感性矩阵，将几何误差源线性映射到组装过程中的姿态偏差。在MIC的基础上，陈等人[8]结合了一阶扰动和精细的FEA建模，提高了精度同时保持了计算的可行性。蔡等人[9]通过结合协同变换矩阵和MIC，统一了刚体和柔顺体的变化。尽管这些方法在计算上具有吸引力，但它们依赖于线性化力学，因此在卫星可展开臂组装这种强非线性载荷条件下会失去准确性[10]。考虑到线性模型的局限性，最近的研究尝试采用非线性模型来处理复杂的组装结构，如径向基函数[11]、克里金模型[12]、支持向量机[13]、人工神经网络[[14], [15]]等。同时，最新的关于某些非线性偏微分方程的研究不再仅依赖数据驱动的方法，但纯解析方法难以描述复杂的组装环境[[16], [17], [18], [19]]。在数据驱动模型中考虑不同类型的不确定性也可以提高变形的估计精度。文等[20]和岳等[21]为复合结构组装开发了具有多重不确定性的变形预测模型，其性能优于传统的数据驱动模型。然而，上述方法仅考虑了与响应相关的外在噪声不确定性，例如数值截断、模型形式缺陷或其他与潜在随机过程无关的未量化误差。在许多实际情况下，输入变量也会受到污染；我们将这种污染称为内在噪声[22]。与响应相关的外在噪声不同，内在噪声与输入有关。在本研究中，内在噪声来源于F/T传感器的测量误差。

带有显式输入力误差的高斯过程（GP）建模提供了一种原理性的解决方案。在GP术语中，添加到响应中的随机干扰称为外在噪声，导致随机克里金法（SK）[23]；而添加到输入中的随机干扰称为内在噪声[24]。可展开臂的组装测量显然属于后者，因为F/T传感器报告的组装力带有不可避免的不确定性。在生产中，每个新的F/T传感器读数都带有内在不确定性；因此，模型必须根据带噪声的力测量值估计预期的姿态偏差，而不是理想化的无误差输入。Wolff等人[25]的最新工作表明，显式建模这种内在噪声显著提高了非线性动力系统的多步状态预测能力，突显了带噪声输入的GP的实际重要性。岳等人[26]提出了一个考虑输入力不确定性的主动学习框架，并在复合机身的形状控制上展示了其有效性。这两条研究路线都在不改变GP协方差封闭形式的情况下处理了内在不确定性，并且适用于轨迹或主动数据采集，但它们不太适合需要从带噪声的力测量值中进行可靠的一次性预测的可展开臂组装。

为此，我们构建了一个带有输入力误差的高斯过程（GPIFE），该模型可以从带噪声的力测量值预测姿态偏差。GPIFE将输入力误差分布直接嵌入到协方差核中，通过将其与传感器误差密度进行卷积来校正标准平方指数核，从而使预测器在输入噪声下仍然是最佳线性无偏预测器（BLUP）[27]。与传统的多元回归（MLR）、通用克里金（UK）或随机克里金（SK）相比，所提出的GPIFE保持了GP的封闭形式，但显式嵌入了F/T传感器的误差统计信息。然后开发了一种高效的最大似然算法，可以在一步中估计趋势系数、过程方差和核超参数[28]。该框架能够直接从带噪声的力读数预测姿态反弹，减少了可展开臂组装中的重复“拟合-测量-补偿”循环。

随后，我们将提出的GPIFE与三个代表性基线——MLR、UK和SK进行了比较。定性评估表明，由于其显式处理输入力不确定性，GPIFE在所有噪声设置下都具有最高的预测精度。然后通过逐渐增加传感器误差方差进行了专门的噪声适应性研究：当内在噪声较小时，GPIFE和SK的性能几乎无法区分，反映了它们相同的理论下限；随着噪声水平的增加，GPIFE保持稳定的精度，而SK开始恶化。这些观察结果证实，GPIFE在低噪声环境下继承了SK的效率，但在实际或高噪声条件下超越了SK。因此，这项工作通过以下方式推进了技术进步：（i）提出了一种通过协方差的双边卷积解析边缘化输入噪声的GPIFE，同时保持GP的封闭形式训练和预测；（ii）在受传感器污染的FE数据上验证了GPIFE，显示出比MLR/UK/SK更好的性能，并实现了在线一次性偏差补偿；（iii）进行了噪声敏感性分析，解释了为什么随着输入噪声的增加GPIFE的精度会提高，从而为可展开臂组装预测提供了稳健的框架。

本文的其余部分结构如下：第2节描述了卫星可展开臂的组装过程及其相应的自动化平台。第3节介绍了考虑输入力误差的GP模型，并开发了用于参数校准和响应预测的最大似然估计器。第4节通过结合实验测量的F/T传感器噪声的有限元模拟验证了所提出的模型，并进行了适应性分析。第5节简要总结了本文的工作。

**卫星可展开臂的组装过程**
如图1所示，一个典型的卫星可展开臂包括三个关节和两个杆段。根关节与卫星主体相连，关节A连接杆A和杆B；关节B将结构连接到柔性天线。杆端和关节接口都装有方形法兰，通过螺栓固定。

**带有输入力误差的高斯过程**
我们现在开发了一个预测模型，用于描述输入变量（组装力）和响应变量（回弹姿态偏差）之间的关系。在组装过程中，不可避免地存在内在噪声，F/T传感器的测量误差可能会给输入变量带来不确定性。模型必须在显式考虑输入不确定性的同时提供准确的预测。我们首先回顾了传统的基线——MLR、UK和SK，然后介绍了一个带有输入力误差的高斯过程模型。

**考虑内在误差的实验设计**
在模拟可展开臂组装的姿态偏差时，十二个组装力分量作为输入，一个六维姿态偏差向量作为输出。我们为每个偏差分量训练一个预测器，从而得到六个模型。从有限元模型生成了一个包含120个样本的最大最小拉丁超立方设计（LHD）；80个样本用于训练，40个用于测试[35]。为了反映组装过程中发生的F/T传感器测量误差，我们将测量误差直接嵌入到模型中。

**结论与讨论**
在本文中，我们提出了一种带有输入力误差的高斯过程模型（GPIFE），用于预测卫星可展开臂组装过程中柔性杆件和关节连接时产生的回弹姿态偏差。通过将测量的F/T传感器不确定性直接嵌入到双边卷积核中，并通过最大似然步骤校准所有超参数，该方法保留了普通克里金法的封闭形式便利性，同时显式传播了内在噪声。

**数据可用性**
数据可根据请求提供。

**作者贡献声明**
吕玉龙：概念化、数据管理、方法论、软件开发、验证、可视化、初稿撰写、审稿与编辑。
李东升：概念化、监督、审稿与编辑。
翟云农：概念化、资金获取、项目管理、审稿与编辑。
刘鹏：数据管理、形式分析、调查。
文柯：概念化、资源获取、监督、验证。