一种利用自组织映射和聚类方法来表征非线性动态系统行为的新技术

《Ain Shams Engineering Journal》：A new technique for characterizing nonlinear dynamical system behavior using self-organizing maps and clustering

　　阿迪尔·詹吉尔（Adil Jhangeer）| 托马斯·马丁诺维奇（Tomas Martinovic）| 海卡·埃桑（Haiqa Ehsan）| 穆罕默德·齐拉克·阿万（Muhammad Zeerak Awan）| 扬·马丁诺维奇（Jan Martinovic）
IT4Innovations，VSB-奥斯特拉瓦技术大学，捷克共和国奥斯特拉瓦-波鲁巴

**摘要**
复杂的非线性动态系统由于交互参数的高维度而难以分析，这可能会掩盖潜在的行为模式。理解不同参数组合的影响对于预测和控制这类系统至关重要。在这项工作中，我们使用自组织映射（Self-Organizing Maps, SOM）根据参数变化对动态行为进行聚类，并对每个聚类的行为进行了动态分析。作为应用示例，我们在FitzHugh-Nagumo模型中展示了这一策略。聚类技术确定了产生相似模式的潜在模式和参数。这些聚类进一步被划分为12组，这一点得到了混沌定量分析的支持，因为系统的行为具有异质性。该算法在10×10的六边形网格上训练，邻域半径从σ0=6.67线性减小到σf=1.0，经过100次迭代后，量化误差为QE=0.2034，拓扑误差为TE=0.0001，平均轮廓宽度为0.3147，G1指数为51.4033，这证实了良好的拓扑保持性和强大的聚类质量。量化误差值0.2034实际上是一个显著值，表明输入数据的表示精度很高，这种条件足以依赖聚类方法来研究复杂的动态系统并了解参数变化对系统行为的影响。

**1. 引言**
动态系统是系统随时间演变的数学模型[1][2]。动态系统非常重要，因为即使初始条件的微小扰动也会导致截然不同的结果。这些系统的参数对其行为至关重要，因为它们决定了系统对输入和初始条件的响应。参数值的小偏差可能导致动态的极端变化，包括从稳定状态进入混沌状态。适当的参数化是正确预测和模拟的基础。参数在分离点识别中起着关键作用，这对应于动态系统的定性变化[3]，同时还能显示这些系统中的特定结构模式。因此，从参数的角度研究动态系统是我们关注的重点；它还为物理学、工程学和生物学领域的许多分支提供了宝贵的信息[3][4]。所有提到的规则构成了关于流体动力学、电路和机械系统知识的基础。

除了提高对系统内部动态的理解外，它还有助于有效跟踪系统内的关键现象，如分离和转变。这些能力本身就展示了机器学习算法（ML algorithms）[6][7]的适应性，在不同环境中成功应用。例如，聚类可以提高预测模型的可预测性，从而提高对未来系统状态的准确性。此外，与系统聚类相关的算法还可以用于异常检测，这有助于跟踪超出正常范围的特性；因此，它们可以提供关于处于故障边缘的系统动态的信息。此外，为了改进理论系统的知识，它还有助于开发控制策略，以提高复杂系统设计的效率、规范和管理。聚类还用于动态系统的分析，基于时间依赖性活动对具有相关行为的状态进行分类。从群体级事件到大气现象，动态系统通常被定义为根据特定规律修改点的系统。利用聚类概念，可以根据参与聚类的参与者具有相似活动的状态对这些系统进行分类。

**2. 自组织映射（SOM）的应用**
本研究的重要贡献是应用自组织映射（Self-Organizing Maps, SOM）这种无监督神经网络算法来研究复杂的动态行为。与经典方法（如参数组合或分析方法）相比，SOM允许非线性降维，并提供高维参数空间的即时可视化表示。它能够自动将参数分组到与系统不同动态状态相关的聚类中。过去的聚类技术主要应用于固定数据点或参数值，但没有针对系统产生的真实动态轨迹进行聚类。本研究的关键区别在于我们首先模拟动态结构以生成随时间演变的轨迹，然后根据这些轨迹的相似性进行分组。这种基于轨迹的聚类使我们能够直接发现表现出相似动态行为的参数组，而这在之前尚未得到广泛研究。由于同一聚类中产生相似轨迹的参数在SOM拓扑中彼此接近，因此该算法在揭示参数空间的潜在结构方面非常有效。这有助于方法论上的理解和系统定性行为的分类。总体而言，这种方法提供了一种有效的方式，将大量参数组合按其动态行为分组。它特别适用于复杂的高维非线性系统，其中状态空间的不同部分具有完全不同的行为。我们使用FHN模型作为代表性示例，展示所提出的基于SOM的轨迹聚类框架如何有效地识别和分类非线性系统的不同动态状态。

**3. 结论**
传统的分岔分析广泛用于通过分析稳定性边界或使用分析方法或参数组合来跟踪定性行为来分析非线性动态系统，但这通常计算成本较高，且不适用于高度非线性的高维工程系统。所提出的机器学习模型并不是为了替代传统分析，而是提供了一种数据驱动的视角；它不是显式计算分岔结构，而是通过模拟系统轨迹直接学习模式，并通过基于SOM的聚类自动对相似的动态行为进行聚类。这有助于有效可视化和系统参数空间的系统结构化，从而使工程师能够确定操作状态、转变和隐藏的行为结构，这些结构用传统方法可能难以识别。

**4. 总结**
聚类[8]通过识别稳定区域、瞬态状态和重要转变来帮助理解动态系统中的稳定性和相变。然而，由于降维也可以被视为将输入数据减少到更少的维度（或聚类），SOM有时也被视为一种聚类方法。自1982年引入以来[9]，SOM已被用于多种用途，包括数据可视化、数字图像处理等。SOM成为聚类分析的流行神经网络方法[10]有两个主要原因：首先，SOM保持拓扑结构并具有自组织能力。训练后，网格上的相邻权重向量被投影到输入空间中的封闭数据上，表明映射到相邻权重的输入向量可能属于同一聚类。除了聚类能力外，SOM在可视化方面也有显著优势。生成的聚类结构在有序的低维网格上描述得很好，因此有助于直观理解高维数据。在可视化中，统一距离矩阵（U-Matrix）是一种有效的显示聚类组织的方式[11]。一旦学习了映射，U-Matrix就会覆盖在网格上，以提供对局部级别相邻权重向量距离相关性的洞察。

在这里，我们针对某些参数条件下的FitzHugh-Nagumo（FHN）模型[12][13]的预测问题进行了研究。目的是识别哪些参数集表现出相同的定性动态行为。然后通过聚类技术描述这些集合，这有助于理解系统，并为系统的设计和控制提供更快的解决方案。聚类方法为研究动态系统中的复杂行为和现象提供了有效的框架。本文展示了将聚类方法纳入动态过程研究中的有效性和实际用途。通过这种方式，获得的轨迹分区可以用来将高维系统或复杂系统的动态简化为更容易理解的动态。在从动态系统派生的时间序列中，聚类算法可以识别出使用传统系统分析难以识别的系统行为状态。

然而，应该强调的是，SOM算法本身仍然具有条件敏感性，这意味着它仍然是随机的。这表明由于权重分配的初始变化和用于训练的不同权重更新函数，这种技术的不同应用可能会产生不同的结果。尽管这种额外的不可预测性可能会引起一些担忧，但它也创造了探索新层次的可能性，从而可能对动态系统本身有新的见解，并增强整个研究过程。此外，通过时间序列检查、相图分析以及Poincaré映射的研究，我们可以证明数据驱动的分组与非线性动态理论之间的严格联系。这种混合方法使得聚类结果更不容易解释，并为FHN电路模型中的参数空间结构提供了连贯的动态基础。

**1.1. 数学模型**
在这项工作中，FHN模型被用作演示我们分析复杂非线性系统方法的示例。当我们针对FHN神经元电路时，发现了不同变化对系统动态的影响，以及通过数据驱动方法识别不同行为状态的效果。神经模型是神经激活过程中发生的电学和代谢过程的数学表示，如多项研究所述[14][15]。神经模型通过考虑两个关键变量（膜电位和恢复变量）来消除神经激活的复杂性。例如，FHN模型的结果显著影响了我们对神经元如何对外部刺激作出反应的理解。最近的研究还表明，在神经元电路中使用双电容器结构的趋势正在增加[16][17]。传统电路模型由两个电容器组成；膜的物理特性取决于电容器的集成组件，如热敏电阻、电阻器、忆阻器[18]或压电材料。在以下研究中，研究了一种新的神经元电路结构，旨在改进特定领域的传统神经元模型，并在功能相关任务中表现出比现有生物启发式神经元模型更好的性能。特别是，提出了一种包含两个带有压电分离的并行电容器的新型FHN神经元模型[19]。由于压电组件的机械特性直接影响电路的电学特性[20]，它们的加入增加了另一个复杂层次。

基尔霍夫定律用于生成以下方程，以控制电路动态：
(1) {C1dV1/dt = ?V1 + VS ? V2/RS,
C2dV2/dt = V1 + VS ? V2/RS ? IL + 1/r(V2 ? 1/3V2/3V0/2),
LdIL/dt = ?RIL + E + V2,
其中RS = {rS[1 + δ(V2 ? V1)],
|V2 ? V1| ≤ λ~,
rS(1 + δλ~),
|V2 ? V1| > λ~。
VS是随时间t变化的压电电压源，C1和C2是两个电容器的电容，V1和V2是它们之间的电压。RS的阻力是压电材料的固有阻力，随收缩和膨胀而变化。λ是RS保持恒定的饱和电压差，rS和δ分别代表压电材料的基阻和增益。线性系数r描述了非线性电阻，V0用作参考电压。除了恒定电压源E和平行电阻R外，电路还包含一个电感器L，其电流用符号IL表示。在图1中，展示了电路的硬件配置。下载：下载高分辨率图片（480KB）下载：下载全尺寸图片 图1. 电路的硬件设置。为了简化分析并更好地了解FHN压电电路中的动态变化，原始电路方程被转换成无量纲形式。这种转换通过将物理量转换为无量纲组来减少独立参数的数量，从而突出了电阻、电容和非线性的相对影响。它还简化了方程，使其更易于分析。由于变量的大小保持在大约1的范围内，数值模拟也变得更加容易，并且可以直接与标准FHN模型进行比较。一般来说，无量纲形式为研究系统的行为提供了一个通用指南，而不受所选组件值的限制。通过引入以下无量纲转换[21]来分析和简化系统：(2){w1,2=V1,2/V0,T=trC2,us=VSV0,q=C1/C2,δ=δ~V0,λ=λ~V0,H=rRS={rrS[1+δ(x2?x1)],|x2?x1|≤λ,rrS(1+δλ),|x2?x1|>λ,z=rV0IL,f=EV0,g=Rr,j=C2r2L。控制微分方程变为：(3){dw1/dt=?Hb(w1?w2),dw2/dt=H(w1+uS)?z+(1?H)w2?1/3w23,dzdT=j(f+w2?gz)，其中b表示无量纲阻尼，H表示电容比，j、g和f是具有可独立调整值的参数。归一化的电感电流由z表示，电压由w1,2表示。外部施加的电压由uS表示。系统的动态行为由参数选择决定。当uS=0时，非自治系统简化为以下自治形式：(4){dw1/dt=?Hb(w1?w2),dw2/dt=Hw1?z+(1?H)w2?1/3w23,dzdT=j(f+w2?gz)。本文的其余部分结构如下：第2节解释了研究方法。第3节详细介绍了动态分析。第4节提出了结果和讨论。

2. 研究方法
本研究专注于非线性动态系统的行为，利用聚类技术来发现和分类不同的动态模式。我们开发了一个框架，用于在对复杂动态系统的特征没有先验知识的情况下对其进行分类。我们的研究方法包括多个步骤：
1. FHN电路本质上是一个非线性电路。在这项研究中，使用基尔霍夫定律来生成控制方程，这些方程解释了电路组件的电压和电流动态。
2. 使用不同的参数组合模拟了一个非线性三维动态系统。
3. 训练无监督机器学习模型SOM来识别轨迹数据中的自然类别。
4. 我们使用层次聚类来识别不同的行为区域。
5. 我们使用多种验证指标来测试聚类质量。
6. 我们在不同的参数空间中可视化和分析了我们的结果。

本研究识别了在控制参数变化时复杂系统中的定性等效响应，提供了关于潜在的分割结构和稳定性特征的信息。图2展示了我们研究的各个阶段，我们现在将详细解释每个阶段。

2. 数据生成
我们对非线性动态系统的研究数据获取过程从正式指定要研究的数学模型开始。我们开发了一个三维常微分方程系统来控制状态变量w1、w2和z的演变。然而，方程(4)表示系统的动态。为了在计算上实现这个数学结构，我们在R编程版本4.4.2中使用deSolve包定义了一个相应的问题函数。该包用于根据当前状态和参数值[22]、[23]计算每个状态变量的导数。这个函数作为我们动态系统的核心数学表示。

3. 动态模拟FHN模型
在我们的研究的数值模拟阶段，实现了解决先前定义的常微分方程（ODEs）所需的计算框架。我们使用了四阶龙格-库塔方法，并自适应控制步长，这为非线性动态系统提供了数值和计算效率的最佳平衡。然后，我们对每组参数在给定时间间隔内进行了不同结果的大规模数值积分研究。每种参数组合都在时间间隔[0,2]内使用四阶龙格-库塔方案进行了数值积分，步长固定为Δt=0.01，每个轨迹产生了201个时间点。积分窗口是通过初步的瞬态分析确定的：对于所有测试的参数组合，状态变量w1、w2和z在t?0.5时间单位内收敛到各自的吸引子。为了消除瞬态效应并确保只向SOM展示渐近行为（稳态或吸引子），前50个积分步骤（t∈[0,0.49]）被丢弃作为燃烧期。剩余的151个步骤（t∈[0.50,2.00]）构成了用于所有后续特征提取和SOM训练的分析窗口。这种燃烧程序保证了依赖于初始条件的瞬态不会影响聚类分配。数值实现包含在（prepare_som_data）函数中。该函数用于使用所有参数组合求解ODE。此外，该函数还说明了如何通过积分所有参数组合并应用ODE求解器来计算解。该函数提供了一个包含原始轨迹数据及其相关参数值的结构化数据集。在创建轨迹数据后，我们为其准备了降维和SOM模式识别。函数（prepare_som_data）处理SOM框架的参数数据格式要求。生成的对象（som_data）包括SOM训练所需的输入矩阵以及保留轨迹与其生成参数之间关系的标签。

4. 使用定义的参数为SOM准备数据
数值模拟方法生成了大量数据，这些数据模拟了系统在各种参数制度下的复杂动态。这些数据构成了我们随后分析参数依赖行为和该复杂非线性系统中出现的模式的基础。

4. 自组织映射（SOM）
SOM是一种用于拓扑映射和降低复杂数据维度的无监督神经网络方法。在我们的工作中，SOM提供了一个框架，用于识别所分析动态系统中的独特行为模式。竞争学习使SOM能够将高维数据投影到低维格子上，同时保持观察值之间的拓扑联系。该算法通过使用大小为10×10的二维六边形网格架构来平衡计算效率和表示能力，从而产生100个潜在的原型向量，其权重通过竞争学习得到改进。三个状态变量（w1、w2和z）由201个时间点内的轨迹数据覆盖。选择10×10的六边形网格是在比较了三种候选网格大小（8×8、10×10、12×12）后做出的，每种大小在30个随机种子初始化中进行了评估（表1）。10×10的配置获得了最高的平均轮廓宽度（sˉ=0.312，σ=0.018），并提供了100个映射节点，这足以表示1024个参数空间，而不会过度欠分辨率或过分辨率。所有网格大小的拓扑误差均为零，表明无论选择哪种网格，数据的邻域结构都得到了忠实保留。这导致了高维向量，完全反映了系统在不同参数设置下的时间演变模式。权重向量在SOM训练过程中迭代更新：(5)Wij(t+1)=Wij(t)+α(t)?hij(t)?[X(t)?Wij(t)]，其中Wij(t)表示迭代t时节点(i,j)的权重向量，α(t)表示随时间减少的学习率，hij(t)表示确定影响范围的邻域函数，X(t)记录当前的输入向量。

5. 结果与讨论
第4节提出了结果和讨论。平均轮廓宽度在每个网格大小内的种子之间表现出较低的方差（10×10、12×12和8×8网格的标准差分别为0.018、0.022和0.026；见图4和表1），并且宏观聚类结构在所有配置中都是稳定的。基于最高的平均轮廓宽度，选择了10×10六边形网格和种子=123作为主要配置。下载：下载高分辨率图像（315KB）下载：下载全尺寸图像

图3. 随着k=2,...,20的变化，簇数量选择曲线。左图：平均轮廓宽度曲线；虚线红线标记了选定的值k=12，对应于一个局部最大值（sˉ=0.327）。右图：G1（Calinski-Harabasz）指数曲线；k=12位于高G1值（≥50）的平台上。这些标准共同为12个簇的解决方案提供了数据驱动的依据。下载：下载高分辨率图像（174KB）下载：下载全尺寸图像

图4. SOM鲁棒性分析：在三种网格大小（8×8、10×10、12×12）下，30次独立随机种子初始化的平均轮廓宽度分布。狭窄的四分位数范围证实了无论初始化如何，聚类结果都具有高度的可重复性。10×10网格获得了最高的中位数轮廓宽度（约0.312），因此被选为主要配置。12×12网格中可见一个异常值；所有其他种子都产生了稳定的结果。

第四阶段：层次聚类
在使用SOM进行降维后，使用层次聚类来找到映射数据中的连贯组。为了识别参数空间中的不同动态制度和可能的分岔结构，这种聚类分析在未处理的数值模拟和从系统参数依赖行为中提取重要模式之间起到了关键作用。将AGNES层次聚类应用于SOM代码空间中的节点间距离矩阵。通过分析平均轮廓宽度和G1（Calinski-Harabasz）指数在k=2,...,20范围内的变化来确定簇的数量k（见图3）。选择k=12是因为它对应于轮廓曲线的局部最大值（sˉ=0.327），并且落在k≥10时观察到的高G1值（≥50）的平台上，表明该解决方案在潜在特征空间中既具有内部凝聚力又具有明显的区分度。簇的大小从2到32个SOM节点不等，反映了不同动态制度下参数空间的异质密度。

我们使用了Agglomerative Nesting（AGNES）层次聚类算法，该算法采用自下而上的方法构建簇的层次表示。算法首先将每个SOM节点视为一个单独的簇，并通过计算代码本向量之间的欧几里得距离来迭代合并最相关的簇。所有上述考虑因素都被输入到生成的树状图的可视化中，使用这两种技术，数字12被选为系统的最佳簇数量。这个数字是粒度和可解释性之间的折中，能够在不将它们过度细分的情况下表示不同的行为制度。

图5显示了具有六边形拓扑结构的聚类SOM，其中每个六边形代表SOM网格中的一个节点，颜色对应于簇的分配。该可视化支持簇的有序空间分布，通常相邻的节点来自同一个簇；这体现了SOM算法保持邻域关系的能力。这种簇分布显示了地图上明显的区域，其中簇11和12集中在上半部分，而簇1到10则以不太均匀的方式分布在下半部分。Np在(GAN, 0)平面上的这种排列意味着上半部分存在一种与地图上描述的所有行为都不同的独特动态制度。某些簇（如黄色的簇4）的明显分离可能表明系统行为发生了相对剧烈的跳跃，这些跳跃被假设为参数分岔线上的点。下载：下载高分辨率图像（357KB）下载：下载全尺寸图像

图6提供了一个补充视图，显示了属于SOM网格上每个节点的个体点的分布。六边形的颜色根据簇的分配进行着色，黑色点对应于分配给每个节点的个体轨迹数据点。该图显示了参数空间中轨迹的密度。较高密度的区域意味着参数空间中对应于相似类型动态行为的区域，因此在某种程度上代表了系统的稳定或通用行为模式。不同簇之间的分布表明了簇内部的行为一致性。例如，一些簇（如黄色的簇）的数据点在流形上分布得更均匀，表明每个簇内的行为是一致的，而其他簇（即浅绿色和紫色的簇）则显示出自己的不同密度模式，可能反映了主要簇的子簇或子结构之间的平滑过渡。下载：下载高分辨率图像（379KB）下载：下载全尺寸图像

图6. 六边形地图可视化了不同区域中的参数分布。当这些可视化结合使用时，可以轻松获得系统行为随参数空间变化的概览。现在希望这些即使在位置空间中也具有明显边界的簇应该与质量不同的动态制度（单稳态/双稳态或其他）相关联。这些簇可能由分岔点表示，在那里系统的质量属性发生变化。分析提供动态行为的参数集集合，一方面使我们能够识别出哪些参数组合是重要的。这种聚类方法不仅对系统活动进行了分类，还为进一步的研究提供了路线图。为了找出不同动态制度之间转换的确切数学特征，可以根据每个簇的代表性轨迹进行更详细的分岔分析。此外，簇结构有助于指导参数空间的探索，指出了特别感兴趣的区域，这些区域可以通过实验进一步研究或验证。

3. 结果与讨论
SOM和层次聚类的结合为所提出的三维非线性模型创建了一个强大的结构，以确定几种动态状态。为了衡量使用这种方法的有效性，有一组评估指标，这些指标基于SOM表示的准确性以及动态模式的进一步聚类质量。有四个指标被整合到评估框架中。使用量化误差和拓扑误差来评估SOM的保真度和结构精度，使用平均轮廓宽度和G1指数来评估分组质量。所有这些指标都提供了额外的视角，并共同对模型的性能进行了全面的评估。

3.1. SOM质量指标
量化误差决定了SOM代码本向量表示原始数据的程度。数学上，我们将其定义为每个输入向量与其相关最佳匹配单元（BMU）之间的平均欧几里得距离：
(8) Eq=1/N∑i=1/N|xi?wc(i)|，
其中N是输入向量的数量，xi是第i个输入向量，wc(i)是xi的BMU的权重向量。较低的量化误差表示更好的表示准确性。
拓扑误差评估了SOM通过将其映射到二维网格来保持高维数据空间的拓扑结构的程度。其计算方法如下：
(9) Et=1/N∑i=1/Nu(xi)，
其中u(xi)=1如果xi的第一个和第二个BMU不相邻于SOM网格，否则为0。拓扑误差为0表示完美保持了拓扑结构。

3.2. 聚类质量指标
我们使用Rousseau轮廓来衡量簇的质量和分离分析[25]。轮廓宽度量化了每个观测值与其分配的簇相比的适合程度。对于观测值i，轮廓值为：
(10) s(i)=b(i)?a(i)max(a(i),b(i)，
其中a(i)是观测值i与同一组中所有其他观测值的平均不相似度，b(i)是i与任何其他组的最低平均不相似度。平均轮廓宽度范围从-1到1，较高的值表示簇定义得更清晰。
G1指数提供了一个综合的簇质量度量标准，考虑了簇的紧凑性和它们之间的分离程度：
(11) G1=∑i=1/k∑j=1/nid(xij,xˉi)∑i=1/k?1∑j=i+1/kninjd(xˉi,xˉj)，
其中k是簇的数量，ni是簇i中的观测值数量，xij是簇i中的第j个观测值，xˉi是簇i的质心，d(?,?)是距离函数。较高的G1指数值表示更好的聚类结果。表2总结了我们的SOM模型和聚类结果，提供了模型性能的简洁概述。

表2. SOM和聚类性能指标。
指标 值 解释
量化误差 0.203 良好的输入数据表示
拓扑误差 0.0001 完美的拓扑保持
平均轮廓宽度 0.3147 中等的簇分离
G1指数 51.40 强大的聚类质量

使用了三个互补的指标来评估SOM和聚类的质量。量化误差（0.203）测量每个输入向量与其最佳匹配单元（BMU）之间的平均欧几里得距离，提供了地图表示精度的度量。拓扑误差（0.000）量化了其第二最佳匹配单元不是地图网格上BMU直接邻居的输入向量的比例。值为零意味着对于每个观测值，两个最相似的地图节点在空间上是相邻的；因此，学习到的拓扑完整地保持了数据流形的邻域结构。实际上，这保证了U矩阵上簇的空间排列是明确的，并且地图上的视觉接近性可靠地反映了原始状态空间中的相似性，从而可以自信地解释簇边界。
平均轮廓宽度（0.315）测量每个SOM节点与其自身簇的相似程度，与下一个最近的簇相比。中等值反映了相邻簇之间的部分重叠，这是系统中参数依赖制度转换的平滑、连续性质的物理预期结果。如图7所示，每个组的轮廓分数范围从0.12到0.53。轮廓值较小的簇（例如，簇6，sˉ=0.12）位于参数空间中行为转换逐渐的区域，边界划分本质上是不明确的，而轮廓值较高的簇（例如，簇4，sˉ=0.53）对应于更明确的制度。

图7. 12个簇SOM解决方案（k=12，种子=123，10×10六边形网格）的轮廓图。平均轮廓宽度为0.315，反映了与非线性动态系统中行为范围一致的中等簇分离。每个簇的平均值范围从0.12（簇6）到0.53（簇4）。
G1（Calinski-Harabasz）指数（51.40）测量了SOM代码空间中簇间分散与簇内分散的比率。从物理上讲，高G1值表明识别的行为组在内部是同质的（相似的吸引子形状和光谱内容），并且在潜在的动态特征空间中彼此分离得很好。这个指标在这里特别有信息量，因为与轮廓宽度不同，它不受簇边界形状的影响，因此即使轮廓分数适中也能确认簇的有效性。
平均轮廓宽度为0.315，表明簇的分离程度适中，这与所研究系统的物理性质一致。在参数变化时，非线性动态系统的定性行为是连续演变的，因此不期望有明确的簇边界；因此，识别的簇应被解释为跨越动态制度连续体的主导行为倾向，而不是互斥的、离散限定的状态。这种解释得到了每个簇的轮廓统计的支持（图7），这些统计显示了簇内的凝聚值范围（0.12–0.53），反映了系统的异质参数的敏感性。在气候和流体动力学文献中，基于SOM的制度分析中通常报告类似的轮廓分数（0.25–0.40），并将其视为逐渐制度转换的证据，而不是簇失败。G1（Calinski-Harabasz）指数为51.40，进一步证实了这些簇占据了SOM潜在特征空间中的不同区域。G1指数值为51.4033，表明簇的质量非常高。这显著展示了12个组在紧凑性和分离性之间的平衡稳定性，增强了我们研究结果的可信度。如表3中的示例所示，对每个组的详细解释详细描述了其大小和内部距离测量值，这些值有效地描述了不同范围内动态行为的分布和均匀性。

表3. 簇的详细特征。
| Cluster | Size | Average Distance | Minimum Distance | Maximum Distance | Homogeneity Ratio |
|---------|---------|-----------------|-----------------|------------------|
| 1 | 170 | 0.225 | 0.0167 | 3.362 |
| 2 | 201 | 1.202 | 0.0109 | 2.091 |
| 3 | 191 | 0.147 | 0.0074 | 80.639 |
| 4 | 185 | 0.174 | 0.0170 | 0.559 |
| 5 | 132 | 0.861 | 0.243 | 57.0 |
| 6 | 144 | 1.546 | 0.0021 | 110 |
| 7 | 30 | 0.0051 | 13.191 | 72.0 |
| 8 | 20 | 0.190 | 0.0325 | 42.0 |
| 9 | 179 | 0.174 | 0.0190 | 93.2 |
| 10 | 108 | 0.861 | 0.752 | 34.0 |
| 11 | 25 | 0.201 | 0.885 | 87.0 |
| 12 | 10 | 0.0019 | 50.4 | 98.5 |
| 13 | 19 | 0.147 | 0.0019 | 40.0 |
| 14 | 17 | 0.0170 | 0.559 | 32.8 |
| 15 | 27 | 0.201 | 0.0051 | 144 |
| 16 | 15 | 0.0021 | 151 | 72.0 |
| 17 | 11 | 0.0325 | 0.190 | 42.0 |
| 18 | 10 | 0.0074 | 0.861 | 95.4 |
| 19 | 17 | 0.0170 | 0.850 | 34.0 |
| 20 | 13 | 0.0081 | 0.0109 | 19.0 |
| 21 | 10 | 0.0109 | 0.0025 | 20.0 |
| 22 | 10 | 0.0051 | 0.147 | 25.0 |
| 23 | 10 | 0.0090 | 0.147 | 17.0 |
| 24 | 17 | 0.0019 | 0.0170 | 93.2 |
| 25 | 10 | 0.0081 | 0.0083 | 87.0 |
| 26 | 17 | 0.0019 | 0.0190 | 85.4 |
| 27 | 10 | 0.0074 | 0.639 | 98.5 |

簇的大小分布揭示了关于参数空间探索的重要信息。簇11拥有32个成员，明显大于其他簇，这表明参数空间的一个较大区域产生了相似的动态行为。这一发现对于识别可能对实际应用有价值的稳健参数范围非常有用。

平均距离指标提供了关于每个簇紧凑性的信息。簇3的平均距离最低（0.147），表明其成员之间的动态行为高度相似。相比之下，簇10的平均距离最高（0.272），表明其动态模式具有更大的多样性。组内最大距离的较大变化（从簇4的0.559到簇1的3.36）表明某些组中存在异常行为。这可能反映了在不同参数组合下产生的过渡性动态。

同质性比率提供了关于簇均匀性的额外信息，其计算公式为：同质性比率 = 最大距离 / 最小距离。较低的比率表示簇更加均匀。尽管簇4和簇7的规模最小，但它们的同质性比率最低（分别为32.88和23.14），表明它们代表了明确的动态范围。相比之下，尽管簇11的规模较大，但其同质性比率非常高（3359.78），表明该簇内部存在显著的变异性。

请查看图8以更好地理解表3中描述的距离测量结果。簇的距离结构分析为我们动态系统的参数空间及其行为排列提供了一些线索。但也许最重要的是某些簇在最大距离上的差异程度，这些差异用绿色条形表示。簇4和簇1的最大距离范围分别在3到3.36之间。这种较大的分散表明有些簇具有非常不同的动态行为，尽管它们属于同一动态范围。特别是，簇1、簇6和簇10的最大距离也相对较大，这表明这些簇中可能存在异常行为或过渡性动态。

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图8. 条形图展示了簇距离分析。橙色条形显示最小距离始终非常低，接近于零。这意味着在每个簇中，存在一组参数组合，它们产生了几乎相同的动态特征。簇5、簇6、簇11和簇12中的极小最小距离（所有距离均小于0.003）表明在这些簇中观察到了某些重复出现的潜在动态模式。蓝色条形表示的平均距离以及对应的簇显示出较为中等的变异性范围，通常在0.15到0.27之间。簇3的平均距离为0.147，是所有簇中最低的，表明该簇具有更高的同质性。相比之下，簇10的平均距离最高（0.272），表明该簇内的变异性最大。值得注意的是，尽管簇11的规模最大（有32个成员），但其平均距离仍为0.176。这表明尽管簇规模较大，但仍存在连贯的动态状态。

每个簇内的距离方差有助于理解可能的参数复杂性以及参数的微小变化如何在同一动态范围内引发不同的动态行为。这在连续非线性动态系统中也很明显，其中急剧的分岔之间有相对连续的部分。评估指标验证了我们的方法利用SOM聚类有效捕获并表示了三维非线性系统，同时考虑了多个序列中的不同参数。绝对地形误差尤为重要，它表明二维表示保留了高维数据空间内的邻域结构，而获得的簇展示了参数空间的丰富性，提供了12种不同的动态范围。簇内距离的分析提供了关于这些动态范围同质性的信息，以及簇大小的变化范围，特别是簇11的主导地位，说明了某些动态行为如何主导参数空间。

我们没有单独描述每个簇的时间序列，而是使用三种互补的分析方法来集体描述所有12个簇：(w2,z)平面上的相位图、输出的功率谱密度和最大李雅普诺夫指数（MLE）估计。表4总结了每个簇的关键动态特性。

表4. 簇级行为总结。MLE = 最大李雅普诺夫指数（后过渡吸引子上的最近邻对数散度估计）。
| Cluster | Nodes | Obs. | Avg. Sil. | MLE |
|---------|------|------|--------|
| 1 | | +0.0077 | |
| 2 | | +0.0077 | |
| 3 | | +0.0015 | |
| 4 | | +0.0034 | |
| 5 | | +0.0081 | |
| 6 | | +0.0083 | |
| 7 | | +0.0026 | |
| 8 | | +0.0043 | |
| 9 | | ?0.0055 | |
| 10 | | ?0.0039 | |
| 11 | | ?0.0081 | |
| 12 | | +0.0017 | |
| 总体平均轮廓 | | 0.315 | |

Obs. = 映射到该簇的参数组合数量。MLE值是根据每个簇内BMU距离最小的单个代表性轨迹估计的。

所有12个簇的MLE值都在[?0.011,+0.008]范围内，将每个识别出的动态范围分类为倾向于混沌行为。这与探索的参数范围（H,b,j,f,g∈[0.1,1.0] in Δ=0.25）一致，这些范围不包含预期会出现混沌动态的强耗散或强驱动区域。尽管所有簇都属于同一广泛的动态类别，但它们通过相空间中吸引子的形状和它们的主导振荡频率（如光谱分析所表征的）而有意义地区分开来。MLE接近零的簇（例如簇1、4、5、7）具有更大的相空间轨道和更丰富的谐波内容，而MLE略负的簇（例如簇8-11）对应于更紧密缠绕、收敛的轨迹。这种分类提供了参数空间中行为多样性的物理可解释的总结，取代了之前的逐个图示描述。

3.3. SOM的利用
自组织映射显示该区域使用了92%的面积，100个单元中有92个被使用。如此高的利用率表明分配给SOM网格的维度适合输入数据的复杂性。此外，未使用的8个单元可能指的是产生介于活跃单元之间的动态行为或未在我们的参数范围内捕获的动态行为。参数组合在SOM单元上的分布是不均匀的。这是因为一些单元包含多个参数组合，而其他单元则根本不包含任何组合。这种不均匀分布是动态系统本身的特征，其中参数空间的某些区域可能产生质量相似的行为。

3.4. 参数敏感性分析
从最终结果来看，我们观察到参数H和b对系统动态有显著影响。具体来说，参数组合（H=0.85,b=0.85）、（H=0.6,b=0.85）和（H=0.85,b=0.6）在j=0.1,f=0.35和g=0.85的固定值下产生了不同但相关的动态模式。H和b在调节系统质量行为方面的重要性通过它们对这些参数的明显敏感性得到了证明。这些参数组合的簇分配将提供有价值的信息，即这些参数的微小变化是否会导致不同动态范围之间的转换或在同一范围内产生更微妙的变异。这种分析有助于识别参数空间中的分岔边界。为了说明这一概念，随附的图表展示了电压和电流测量的簇分析。

坐标y对应于电压和电流水平，而坐标x对应于迭代次数，范围从1到201。使用特定参数集的系统性能通过该特定参数集的系统值进行了彻底讨论，实线表示该特定参数集的实际值。作为一般图表中每种趋势的示例，另一种趋势使用虚线表示，虚线表示具有相似参数的一组系统的平均值。使用蓝色表示电压2，使用绿色表示电压1。此外，使用蓝色表示具有相似电压和电流值的样本，使用虚线表示样本，然后使用其他两种颜色：使用实线表示电压1的值，使用蓝色表示另一组电压2的值，最后使用虚线表示电流值。

使用这些样本的电压和电流变化提供了关于系统在其迭代期间稳定性的信息，使用聚类系统根据它们的相似性对这些样本进行分组，然后通过分析它们的趋势，获得了这些样本在簇中的特定模式。如使用FHN系统所述，这些系统中的电压2（膜电位）的亚阈值活动，以及负电压的值。综合考虑所有因素，图表清楚地展示了电压和电流样本与系统迭代次数的关系，使得更容易理解系统在其活动期间的趋势。簇表现出相似的行为，但最相似的图表位于单元中。当参数值如下时，图9中的电压和电流行为相似：

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图9. 簇1中单元1的二维表示。(H,b,j,f,g)=(0.1,0.35,0.6,0.85,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.35,0.85,0.85,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.6,0.85,0.85,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.85,0.85,0.85,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.35,0.85,0.85,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.6,0.85,0.85,0.3)。曲线紧密聚集，表明系统的输出相对恒定，仅随参数集的变化而略有变化。电压1略有短暂上升然后逐渐下降，而电压2从中间水平开始，逐渐下降，没有高峰值。这种活动表明神经元逐渐恢复到休息状态，变化很小。神经活动逐渐增加，达到最高点后下降，意味着放电逐渐减少。电压和电流的收敛体现了动态的、暂时的平衡，暗示向更稳定和能量效率更高的状态的转变。

在图10中，这些是该单元中使用的参数值(H,b,j,f,g)=(0.35,0.6,0.85,0.85,0.6)和(H,b,j,f,g)=(0.35,0.85,0.85,0.85,0.6)。电压1显示出平稳的平稳过渡到稳态，没有振荡，这是稳定亚阈值神经活动的特征。虚线曲线是类似系统的平均值，电压随时间平稳下降。参数越高，电压2越负，意味着抑制效应越强，恢复动态越强。达到最大电流后下降，表明神经活动立即减少。电压和电流的交点对应于系统进入恢复阶段的转变点。

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图10. 簇12中单元12的二维表示。

在图11中，(H,b,j,f,g)=(0.35,0.35,0.85,0.6,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.35,0.35,0.85,0.85,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.35,0.35,0.85,0.85,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.35,0.85,0.85,0.6), (H,b,j,f,g)=(0.85,0.35,0.85,0.85,0.6)是该单元中使用的参数值。电压2是膜电位，电压1是一个在较慢时间尺度上变化的恢复变量。电压1在(20,0.731)处的线性下降和电压2在(82,0.022)处的下降表明神经元以不同的速度缓慢恢复到其静止点。电流在神经元兴奋时首先增加并达到峰值，表明神经元的最大放电。电压和电流的交点表示动态平衡点，即兴奋与恢复之间的平衡状态，而恢复电流等于膜电位。这些相互作用展示了FHN模型如何编码神经元的基本动态特性，以及神经元如何对各种输入作出反应并保持稳定，这是神经系统在信息处理方面的一个关键特征。下载：下载高分辨率图像（303KB）下载：下载全尺寸图像图11. 第3簇中细胞15的二维表示。在图12中，(H,b,j,f,g)=(0.6,0.1,0.85,0.6,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.85,0.1,0.85,0.6,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.35,0.1,0.6,0.85,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.1,0.6,0.85,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.85,0.1,0.6,0.85,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.35,0.1,0.85,0.85,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.1,0.85,0.85,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.85,0.1,0.85,0.85,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.35,0.1,0.85,0.85,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.1,0.85,0.85,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.85,0.1,0.85,0.85,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.1,0.85,0.85,0.6), (H,b,j,f,g)=(0.85,0.1,0.85,0.85,0.6) 是参数的值。电压2是跨膜电压，电压1是较慢的恢复变量。两者都显示出逐渐衰减的趋势，这描绘了神经元在刺激后逐渐恢复到静息状态的亚阈值动态。相反，电流的初始上升——即神经兴奋程度越大——电流增加得越多，放电频率也越高。电流和电压的交点代表了激活和恢复过程的动态相互作用。这种活动展示了FHN模型模拟兴奋与抑制之间适应性平衡的能力，为基本神经元动态提供了机制性解释。下载：下载高分辨率图像（325KB）下载：下载全尺寸图像图12. 第4簇中细胞5的二维表示。在图13中，参数组合如下：(H,b,j,f,g)=(0.35,0.1,0.85,0.1,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.1,0.85,0.1,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.85,0.1,0.85,0.1,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.35,0.1,0.35,0.35,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.1,0.35,0.35,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.85,0.1,0.35,0.35,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.35,0.1,0.6,0.35,0.85), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.1,0.85,0.85,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.85,0.1,0.85,0.85,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.1,0.85,0.85,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.85,0.1,0.85,0.85,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.1,0.85,0.85,0.6), (H,b,j,f,g)=(0.85,0.1,0.85,0.85,0.6) 电压1从(1,1)迅速下降到(36,0.26)，表明神经元正在从兴奋状态中恢复。膜电位的变化由电压2表示，它最初在坐标(19,0.163)处略有上升，随后呈现下降趋势。两条线的交点显示了神经元在兴奋后的稳态，因为两条线趋于平衡。原始的低电流在(135,0.363)处达到峰值，与相应的电压值一致。峰值表明高离子流入启动了神经元的活动，随后电流下降。总体而言，该图展示了电压和电流在兴奋和恢复之间来回波动的过程，最终达到另一个稳态。下载：下载高分辨率图像（255KB）下载：下载全尺寸图像图13. 第5簇中细胞10的二维表示。在图14中，(H,b,j,f,g)=(0.6,0.85,0.85,0.6,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.85,0.6,0.85,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.85,0.85,0.85) 是参数的组合。电压1随时间减小，表明神经元正在进入恢复模式。电流上升并达到一个峰值，表示最大神经元放电，然后下降。电压和电流的交点是一个动态平衡点，此时膜电位和恢复过程处于平衡状态。电压2在其最大值后也减小，表明神经元从活跃状态转变为静息状态。总体而言，这种行为表明FHN模型能够捕捉神经元兴奋与恢复之间的平衡。下载：下载高分辨率图像（230KB）下载：下载全尺寸图像图14. 第6簇中细胞33的二维表示。在图15中，(H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.85,0.6,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.6,0.85,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.85,0.85,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.85,0.85,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.85,0.85,0.35) 是我们使用的参数。电压1是神经元的膜电位，尖峰代表动作电位，电压2是使神经元休息的恢复过程。电流随着电压2中的上升尖峰（127,0.690）而增加，表示离子流入神经元，导致放电。电流上升到(19,0.093)后下降。随着电压的下降，恢复变量成比例增加，表明神经元在兴奋后返回静息状态。电压1和电流在(56,0.501)处相交。这种增减的循环线展示了神经元活动的周期性，先是兴奋过程，然后是恢复过程，最终两者都稳定下来。下载：下载高分辨率图像（302KB）下载：下载全尺寸图像图15. 第7簇中细胞16的二维表示。在图16中，(H,b,j,f,g)=(0.35,0.1,0.1,0.1,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.35,0.1,0.1,0.1,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.35,0.1,0.1,0.1,0.6), (H,b,j,f,g)=(0.35,0.1,0.1,0.35,0.6), (H,b,j,f,g)=(0.35,0.1,0.1,0.1,0.85), (H,b,j,f,g)=(0.35,0.1,0.1,0.1,0.85), (H,b,j,f,g)=(0.35,0.1,0.35,0.1,0.85), (H,b,j,f,g)=(0.35,0.1,0.1,0.35,0.85), (H,b,j,f,g)=(0.35,0.1,0.1,0.85,0.85), (H,b,j,f,g)=(0.35,0.1,0.1,0.35,0.85) 是参数的组合。膜电位和离子流由电压和电流曲线表示。交点表示动态平衡状态，其中净电流效应平衡了膜电位。在电压2中，由于输入差异，观察到小的变化，而电压1表现出激活阈值的行为。现有的刺激通过使神经元去极化和超极化来增强其兴奋性。总体而言，这些相互作用展示了兴奋-抑制平衡在稳定神经信号传导中的重要性。下载：下载高分辨率图像（224KB）下载：下载全尺寸图像图16. 第8簇中细胞50的二维表示。在图17中，(H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.6,0.1,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.85,0.1,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.35,0.35,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.1,0.6,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.1,0.85,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.35,0.35,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.1,0.85,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.35,0.35,0.6), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.85,0.35,0.6), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.35,0.85,0.6), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.35,0.85,0.6), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.1,0.85,0.35,0.85) 是参数的值。电压2稳步增加，直到在(35,0.091)处下降。电流曲线中的电流显示了电流流入或流出神经元的方向，无论是激活还是抑制神经元活动。通过多次迭代，观察到的电压可以展示其对刺激的各种动态反应。电压和电流的交点（120,0.298）代表了电流和电压效果趋于平衡的稳定电压水平。总体而言，该图展示了神经元信号传导中电流和电压关系的复杂性，并说明了这些过程如何使神经元能够随时间处理信息。下载：下载高分辨率图像（281KB）下载：下载全尺寸图像图17. 第9簇中细胞38的二维表示。在图18中，这些是参数值 (H,b,j,f,g)=(0.6,0.6,0.35,0.1,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.85,0.6,0.35,0.1,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.6,0.1,0.85,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.6,0.35,0.1,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.6,0.1,0.85,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.6,0.6,0.1,0.85,0.6), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.6,0.6,0.1,0.85,0.6), (H,b,j,f,g)=(0.6,0.6,0.6,0.1,0.85,0.6) 电压1最初值较高，随着时间逐渐减小，表明神经元在兴奋后放松到恢复状态。相反，电压2的值开始较低，然后逐渐上升，这是刺激逐渐增强的结果。电压和电流的交点表示兴奋与抑制之间的动态平衡。总体而言，这些图表表明神经元中电压和电流的相互作用由初始条件和参数决定，系统在平衡点稳定下来。下载：下载高分辨率图像（252KB）下载：下载全尺寸图像图18. 第10簇中细胞47的二维表示。在图19中，(H,b,j,f,g)=(0.85,0.85,0.85,0.1,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.85,0.85,0.35,0.6,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.85,0.85,0.35,0.35,0.35), (H,b,j,f,g)=(0.85,0.85,0.85,0.35,0.6) 是参数的值。下载：下载高分辨率图像（287KB）下载：下载全尺寸图像图19. 第11簇中细胞64的二维表示。电压1最初较大，然后随时间减小，这一过程表明神经元在兴奋后放松到恢复位置。相反，电压2从较低点开始逐渐增加，表明刺激逐渐增强。这一过程由电流的持续增加维持，意味着神经兴奋正在发生。电压和电流的交点表示兴奋和抑制的动态响应。总体而言，这些图表表明神经元内电压和电流的相互作用取决于初始条件和参数值，当系统达到平衡状态时趋于稳定。在图20中，这些是参数值 (H,b,j,f,g)=(0.1,0.35,0.6,0.1,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.35,0.85,0.1,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.35,0.35,0.35,0.1), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.35,0.35,0.35,0.35,0.6), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.35,0.35,0.6,0.35,0.6), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.35,0.35,0.85,0.6), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.35,0.85,0.35,0.85), (H,b,j,f,g)=(0.1,0.35,0.85,0.85) 电压1开始时值较大，然后缓慢下降，可能是由于神经元在开始时去极化后返回静息状态。电压也相对稳定，意味着有持续的背景活动。相反，电压2从较低值开始，在初期降至负值，表明高度超极化，可能是由其他神经元或试验引起的。总体而言，该图描绘了神经元的复杂电学行为。电压1表示规律的复极化，而电压2和电流表现出更强烈的变化。这些模式表明了兴奋性和抑制性过程之间的相互作用，以及决定神经元活动的竞争和平衡。下载：下载高分辨率图像（247KB）下载：下载全尺寸图像图20. 第12簇中细胞72的二维表示。每个簇的行为由一个代表性图表表示，同一簇中的所有其他图表将表现出类似的行为。这些图表代表了几个簇的电压和电流随时间的发展，每个簇对应于不同的系统响应模式。这些簇是由于模型参数的差异而产生的，这些参数影响了神经元模型随时间的变化方式。簇内的电压和电流具有特征性的时间进程；一些簇具有周期性的尖峰或电压振荡，这是活跃或放电的神经元状态，而其他簇的电压相对恒定，这是静息或不活跃的状态。动态相似，振荡电压组具有交替的外向和内向电流，而稳定电压组的电流几乎恒定或略有变化。这些离散行为标记了系统在功能状态之间的切换方式。聚类可以用来提供一个有效的模型，通过将具有相似动态的轨迹分组来分析复杂的神经行为，以了解参数变化如何影响整个系统的行为。4. 动态分析为了理解通过聚类找到的参数范围，我们现在对FHN模型进行动态研究。尽管聚类过程将生成相似轨迹的参数组合分组，但导致相似性的非线性过程并未明确突出显示。因此，对各个簇的代表性参数集使用非线性动力系统理论工具进行分析。该分析使我们能够得出分组范围与稳态、周期性振荡、多周期动态或更复杂行为之间的关系，从而为聚类结果提供机制性解释。具体来说，动态研究关注时间和相空间轨迹的定性组织及其对参数变化的敏感性。通过稳定性特性、吸引子几何形状和动态状态之间的转换，我们可以找到观察到的行为背后的机制。我们为每个识别的簇选择一组参数并分析其详细的动态行为。这种代表性分析使我们能够在保持计算效率和可解释性的同时，描述每个簇的主要动态特征。图21显示了该簇中代表性参数集的动态分析。时间序列图表明，在瞬态期之后有规律且持续的振荡，这是对节律性神经元活动的响应。恢复变量是固定的，并与兴奋尽管快速兴奋变量和缓慢恢复变量持续振荡，但这些振荡在振幅和脉冲间隔上有所不同。放电模式不再具有规律的节奏；相反，峰值的高度和周期的长度都有所变化，这些都是混沌神经活动的主要特征。虽然缓慢恢复过程与兴奋动态过程之间的完全解耦尚未实现，但它们对系统状态的任何微小变化都非常敏感。这种解释也得到了相位图的支持。轨迹在更大的相空间区域内分布得更广，而不是形成一个单一的平滑闭合环路，并且逐渐填充整个空间而不是重复相同的路径。这种几何模式表明存在一个奇异吸引子，而不是一个稳定的极限环。缺乏简单的重复轨道以及可观察到的拉伸和折叠现象与确定性混沌一致。这一点通过分岔图得到了证实。

图22显示了FHN系统第5簇的时间序列、相位图、分岔图和庞加莱映射。图表显示，在参数变化时，局部最大值分布广泛，没有明显的周期加倍级联现象收敛到规则结构。这种分散性表明了该理论的复杂性及其对参数的敏感性。此外，庞加莱映射中的交点不规则，而不是封闭且有序的。这些点不会在离散点处聚集（如周期性运动中那样），而是形成一个分散的结构，这表明了非周期性的重复和混沌性质。该簇与FHN模型的混沌放电状态相关。聚类算法能够将具有相同动态机制的参数集进行分组：由于快速兴奋和缓慢恢复机制的非线性相互作用，导致确定性混沌。

图23显示，在过渡阶段之后，时间序列图中出现了持续且高度规律的振荡。快速兴奋变量的脉冲幅度和脉冲间隔保持稳定，而缓慢恢复变量则根据兴奋周期连续且周期性变化。这种重复模式表明去极化、复极化和强烈的节律性放电是预期中的现象，并且会定期发生。这也可以在相位图中看到：在所有相空间投影中都可以看到单一的、封闭的、定义明确的环路，这是稳定极限环吸引子的典型特征。轨道以规则的方式重复出现，覆盖非扩散区域曲线，没有明显的拉伸和折叠现象，显示出没有混沌动态。几何结构平滑且规律地演变。

图23显示了FHN系统第8簇的时间序列、相位图、分岔图和庞加莱映射。分岔图仅显示一个连接的分支，没有周期加倍的级联和混沌带，表明在这种参数空间中这种振荡行为在结构上是稳定的。庞加莱映射中的交点有限且结构良好，它们都集中在几个离散点上，这些点是周期性的，而不是混沌的。因此，该簇与FHN模型中的恒定节律性放电状态相关。聚类算法成功地将具有相同潜在动态机制的参数集分组：由于快速兴奋和缓慢恢复过程之间的自维持相互作用，导致稳健的极限环振荡。

图24表明，在时间序列图中，行为类似于阻尼振荡器。快速兴奋和缓慢恢复变量在开始时都有适度的振荡，但这些振荡的幅度随时间逐渐减小，意味着系统正在释放振荡能量并趋于稳定状态。这种模式反映了短暂的脉冲活动，而不是节律性放电。相位图支持这一解释。轨迹向相空间中的一个共同点螺旋式聚集，与稳定极限环的闭合曲线相反，形成了一个以自身为中心的螺旋，这是稳定不动点吸引子的特征。轨迹不是周期性的，也没有像混沌动态那样在相空间中分散。相反，它们以和谐的方式聚集在一起达到平衡。

分岔图表明振荡幅度平滑减小，没有周期加倍或混沌带，表明系统处于非混沌的、统计上稳定的状态。庞加莱映射中有一组有限的点收敛到一个单一点，这是符合预期的，因为它正在向平衡状态稳定，而不是混沌状态。聚类算法能够将具有相同潜在动态机制的参数集分组：这些参数集的振荡是短暂的，随着时间的推移逐渐消失，受到恢复动态的支配，最终达到渐近稳定。

结论

在这项工作中，我们开发了一种新的动态系统轨迹聚类方法，包括参数空间探索和SOM（自组织映射）的应用。我们使用FHN模型识别了12个不同的簇，这些簇与特定的参数集相关。这些簇记录了振荡动态、兴奋性和神经放电模式的变化，为参数变化如何决定系统行为提供了定量框架。条形图、二维地图和分组显示用于可视化簇的结构和组成，展示了运行之间的显著变异性以及系统对初始条件和参数扰动的依赖性。除了聚类之外，我们还详细分析了FHN模型，包括时间序列、相空间轨迹、分岔图和庞加莱图。这些分析结果相互补充，有助于理解神经动态的稳定性、状态转换和潜在机制，验证并推广了使用SOM聚类发现的模式。聚类和动态分析共同提供了对系统行为的全面理解。这一框架为未来关于神经元放电模式、它们在网络层面的相互作用以及根据参数变化的转换提供了基础。此外，该方法可以应用于其他模型和大规模网络模型，是研究复杂生物系统的灵活工具。我们的研究为解码复杂的神经群体奠定了坚实的基础，理解内在和外在变量在动态行为发展中的相互作用，并为计算神经科学和系统生物学开辟了新的视野。

作者贡献声明：
Adil Jhangeer：写作 – 审稿与编辑、撰写原始草稿、监督、方法论、研究、概念化。
Tomas Martinovic：软件、方法论、研究。
Haiqa Ehsan：撰写原始草稿、可视化、形式分析。
Muhammad Zeerak Awan：撰写原始草稿、验证、研究。
Jan Martinovic：监督、软件、概念化。

资金声明
本文得到了欧盟REFRESH项目的财政支持，该项目名为“Research Excellence For Region Sustainability and High-tech Industries”，项目编号为CZ.10.03.01/00/22_003/0000048，通过Just Transition运营计划实施。