基于有限元方法研究具有两种不同膨胀芯材的夹层复合材料Reddy梁的弯曲与屈曲行为

《Materials Today Communications》：Bending and buckling of a sandwich composite Reddy beam with two types auxetic cores based on finite element method

　　穆罕默德巴格尔·扎希里安 | 梅赫迪·穆罕默迪伊梅尔 | 莫宾·普尔瓦加哈尔
伊朗卡尚大学机械工程学院固体力学系，邮编：87317-53153

**摘要**
本文研究了五层夹层复合梁的弯曲和屈曲性能，采用了三阶剪切变形理论来描述位移场，并利用Matlab软件通过有限元方法获得了该梁的刚度和屈曲矩阵。研究还探讨了两种类型的负泊松比材料核心：第一层和第五层核心为纳米复合材料（树脂中混入了碳纳米管（CNR）；第二层和第四层则使用了竹纤维。研究表明，第一种类型的负泊松比核心在临界屈曲载荷下表现更优，而第二种类型的核心在变形方面表现更好。例如，当将复合梁中的负泊松比核心从第二种类型更换为第一种类型时，其临界屈曲力抗力降低了约97%。此外，第一种类型的负泊松比核心的轴向应力低于第二种类型，但在剪切应力方面，第二种类型的核心略高于第一种类型。本研究还绘制了屈曲模式的图形，以帮助研究人员和工程师更好地理解临界屈曲载荷，并观察梁在临界屈曲状态下的物理形态。

**1. 引言**
夹层复合结构是目前最重要的工程材料之一，相关研究也非常丰富。夹层结构由一个厚核心以及对称分布在核心两侧的多层材料组成[1]、[2]、[3]。核心采用低密度、厚实的材料，主要用于承受剪切应力；而夹层结构的其他层则使用高强度、薄型的材料来抵抗压缩和拉伸应力[4]、[5]、[6]。在许多行业中，减轻结构重量同时提高其整体强度是一个重要目标。夹层结构的一大优势是其出色的强度重量比，使其成为工业领域中最广泛应用的材料之一[7]、[8]、[9]。夹层结构还具有高能量吸收能力、隔热、减振和隔音等特性[10]、[11]、[12]。这类结构在日常生活中有很多应用，如汽车、航空和土木工程[13]、[14]、[15]、[16]；它们也被用于风力涡轮叶片[17]、[18]、[19]。这种材料的性能受三个因素影响：1) 夹层结构的整体设计（如层数）；2) 层材和核心材料的选取；3) 各层之间的连接方式。

夹层结构常见的三种失效形式包括：1) 表面分层；2) 核心失效；3) 表面-核心界面失效[20]、[21]、[22]、[23]。
鉴于自然界是完美的工程杰作，研究人员和科学家开始从自然界中汲取灵感，并将其应用于研究中，以通过推动材料技术的发展创造出具有特殊性能的复杂智能材料，满足工业需求。负泊松比核心就是一个成功的例子——这类核心比传统泡沫材料具有更好的性能，例如更高的抗压痕性、抗热震性、更大的剪切模量、更高的断裂韧性、更轻的重量以及更好的隔音效果[24]、[25]、[26]。由于这些优点，负泊松比核心被广泛应用于建筑、航空航天、造船等多个领域[27]、[28]、[29]、[30]；甚至汽车轮胎和医疗植入物中也有使用[31]、[32]。

材料可分为三类：正泊松比材料、零泊松比材料和负泊松比材料。负泊松比材料在受垂直压缩时横向收缩，在受垂直拉伸时横向膨胀；零泊松比材料在受拉或压载荷下不会发生横向变形[33]、[34]、[35]。

在机械工程问题中，数值方法是解决平衡控制方程的最佳手段，常用的方法包括里兹法（Ritz method）、p-版本有限元法（p-version FEM）、伽辽金法（Galerkin method）和无网格法（mesh free method）。这些方法被用于蜂窝核心、负泊松比核心、功能梯度材料（FGM）、多孔核心及碳纳米管层的振动、屈曲和弯曲分析。对于具有非线性行为、复杂几何形状和多种边界条件的材料，有限元法（FEM）是最佳选择，广泛应用于热力学、电学和流体力学等领域。该方法基于将复杂系统分解为更小、更易处理的单元的概念，分别分析每个单元后再综合结果以全面理解整个系统。一些研究人员利用数值方法（如里兹法）对蜂窝核心夹层结构[36]、粘弹性温克勒-帕斯特纳克基础（viscoelastic Winkler-Pasternak foundation）复合梁[37]以及功能梯度夹层曲梁[38]进行了弯曲、屈曲和振动分析。

**2. 理论公式**
为了分析和比较两种类型的负泊松比核心，本文将这两种核心应用于五层夹层结构中，并根据不同变量比较了该梁的变形和临界屈曲力。复合梁的设计基于Reddy模型，位移场的计算采用有限元方法（FEM）。

**图1**展示了基于有限元方法的夹层Reddy梁的框图。通过FEM求解平衡控制方程后，需定义轴向和横向位移，并选择与所需位移场相关的形状函数；接着定义应力和应变分量，计算复合梁的应变能，最终得到刚度和屈曲矩阵。如图1所示，位移场被代入应力和应变分量中，再利用形状函数得出刚度矩阵。由于Timoshenko理论和Euler-Bernoulli理论具有更多的变量且精度较高，因此本文采用了Reddy位移场。为获得临界屈曲载荷，还利用形状函数和有限元的数值解法计算了屈曲矩阵。在验证部分，研究了梁的临界屈曲载荷和变形情况，并对相关理论进行了验证。下一步通过现有文献对比了该方法的准确性，包括轴向和剪切应力方面。本研究的主要目的是对比两种负泊松比核心，帮助研究人员在面临设计约束（如重量要求、成本限制或特定材料供应不足）时做出更明智的选择。

**图2**显示了五层复合夹层梁的示意图。

**3. 结论**
本研究的主要目标是分析五层夹层复合梁沿厚度方向的轴向和剪切应力，以及各层间的应力分布。这些数据有助于解释为何采用这种结构（表层和核心）。研究发现，负泊松比核心的轴向应力为零，而剪切应力则取决于其机械性能（如杨氏模量和剪切模量）；数值结果强调了机械效应对弯曲和屈曲分析的重要性。此外，表层材料的轴向应力高于剪切应力。本研究还考虑了包含两种负泊松比核心的五层夹层梁，其中第一层和第五层为纳米复合材料（树脂中混入碳纳米管），第二层和第四层使用竹纤维；同时探讨了两种负泊松比核心的最佳角度及其他物理性能。此外，本文还利用FEM获得了复合Reddy梁的刚度/屈曲矩阵。

**4. 结论**
选择合适的夹层结构至关重要，工程师和研究人员需综合考虑导热系数、隔音性能、剪切模量和重量等参数。在能量吸收材料、运动器材和医疗支架等领域，这种结构具有广泛应用前景。研究人员关注夹层梁的高强度重量比优势，通常选择轻质的核心材料，同时确保表层材料具有高强度。因此，该技术可应用于航空航天、汽车和建筑等行业。

综上所述，本文对比了两种负泊松比核心在五层夹层结构中的性能，分析了它们的变形和临界屈曲力。只有刚度矩阵是计算挠度所必需的，而为了计算临界屈曲力，还需要计算屈曲矩阵。刚度矩阵的详细信息在附录A中给出。在有限元方法中获取屈曲矩阵时，使用以下关系式[2]：
(3-1) Wext = 1/2 ∫Nx0?(?w?x)2 dA
利用方程(3–1)对Wext的变化进行考虑，得到：
(3-2) δWext = 1/2 ∫(δNx0(?w?x)2 + Nx0?2?δ?w?x??w?x) dA
通过提取Nx0因子，方程(3–2)简化为：
(3-3) δWext = Nx0 ∫?w?x(δ?w?x) dA
基于变分法，方程(3-3)可以写成如下形式：
(3-4) δWext = Nx0 ∫??2w?x2(δw) dA
用于屈曲分析的形状函数定义如下：
(4) WB = [0 ?N3?x?N4?x0 0 ?N5?x?N6?x0]
现在，通过将该矩阵与其转置相乘，利用Matlab编程可以得到基于有限元方法的五层复合梁的屈曲矩阵：
(5) KB = [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 屈曲的模态形状
现在，我们将使用有限元方法研究具有简单边界条件的复合夹层梁的模态形状。图12显示了第一、第五和第九模态形状。复合夹层梁的模态形状非常重要，因为它们可以用来了解屈曲模式出现的位置。此外，夹层梁的模态形状对于更好地理解其物理特性也非常重要，这有助于研究人员设计和优化复合夹层梁。同时，了解模态的类型也可以用来分析和比较不同的设计方案。
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图12. 复合夹层梁的模态形状
a) 第一模态形状
b) 第五模态形状
c) 第九模态形状

5.5. 两种类型负泊松比芯材的比较
在本节中，研究了两种类型的负泊松比芯材（类型1和类型2），以更好地理解它们的应用。图13显示了两种类型负泊松比芯材的临界屈曲载荷，结果表明类型1的负泊松比芯材在临界屈曲载荷方面优于类型2的芯材，因为类型1的杨氏模量高于类型2；而杨氏模量对临界屈曲载荷有直接影响，杨氏模量越大，临界屈曲载荷也越大。随着梁的长度增加或高度减小，临界屈曲载荷的绝对值会减小，因为在这种情况下梁变得更细长。
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图13. 两种类型负泊松比芯材的临界屈曲载荷

图14显示类型2的负泊松比芯材的挠度大于类型1的芯材，这是因为类型2的杨氏模量小于类型1的芯材。此外，随着梁的高度增加或长度减小，夹层梁的挠度会减小，因为夹层梁变得更厚。
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图14. 两种类型负泊松比芯材的挠度

图15展示了轴向应力和剪切应力。在图15a中，类型1的负泊松比芯材的轴向应力值小于类型2的芯材；而在图15b中，类型2的负泊松比芯材的剪切应力值大于类型1的芯材，这取决于两种类型负泊松比芯材的机械性能。
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图15. 两种类型负泊松比芯材的比较
a) 轴向应力
b) 剪切应力

6. 结论
本文研究了两种类型负泊松比芯材的挠度、临界屈曲载荷以及轴向和剪切应力。在本研究中，考虑了五层夹层梁，其中第一层和第五层使用了CNR增强复合材料，第二层和第四层使用了竹纤维。同时，在芯材层中考虑了两种类型的负泊松比芯材（类型1和类型2）。通过获取五层夹层梁的高阶剪切变形理论形状函数，并将这些函数代入应变能和外部功的表达式中，利用MATLAB程序中的代码计算得到了刚度和屈曲矩阵。研究人员和工程师可以利用这些矩阵来研究临界屈曲载荷或绘制模态形状，从而更好地理解机械、土木和建筑科学中的这一重要现象，并避免财务和人员风险及损失。在解决复杂问题时，提出了多种方法，其中有限元方法是一种能够快速且准确解决问题的方法。有限元方法可以处理非线性弹性结构、复杂几何形状和各种边界条件。此外，该方法还可以用于解决热电磁力学载荷、旋转结构以及流体力学现象等问题。有限元方法是分析工程问题和物理现象的强大工具。由于速度快且准确度高，它是解决复杂问题最常用的数值方法之一。本文对三种不同L/h比例下的挠度和临界屈曲载荷进行了验证，所有情况下的误差均低于1%；对于轴向和剪切应力的验证也表明误差在可接受范围内。进一步研究了负泊松比芯材的角度对物理性能的影响，观察到当芯材叶片的角度较小时，机械性能显著降低，这种现象在其他某些角度也会重复出现。还研究了角度对挠度和屈曲的影响，发现将类型2的负泊松比芯材替换为类型1的芯材后，临界屈曲力抗力减少了约97%。这导致挠度减少了79.83%。此外，类型1的负泊松比芯材的轴向应力小于类型2的芯材，而在剪切应力方面，类型2的芯材略高于类型1的芯材。因此，根据本研究的结果，这两种类型的负泊松比芯材中的一种可以用于工业或实验室应用，并根据具体项目需求进行选择。同时，研究了两种类型负泊松比芯材的角度对其性能的影响，发现类型2的芯材在轴向应力方面表现更好，而在剪切应力方面也略优于类型1的芯材。总体而言，这两种芯材在轴向应力问题上的耐受性都优于剪切应力问题，这种结构适用于轴向应力重要性大于剪切应力的应用。最后，使用有限元数值方法绘制了第一、第五和第九模态的形状，以更好地理解屈曲现象。考虑到本文的主要目标是研究和比较两种类型的负泊松比芯材，它们具有重量轻、能量吸收能力强和经济效益高等优点。

7. 对未来工作的建议
鉴于上述情况，未来的工作可以包括：
1. 研究负泊松比芯材的自由振动和受迫振动。
2. 研究芯材的正泊松比行为，并与普通芯材进行比较。
3. 设计和研究新型负泊松比芯材的性能。
4. 使用人工神经网络或人工智能优化这两种类型负泊松比芯材的物理参数。
5. 研究不同厚度梁或板中负泊松比芯材的行为。
6. 研究负泊松比芯材在冲击下的行为。
7. 使用机器视觉检查复合夹层梁的临界屈曲载荷模式，并利用人工神经网络或人工智能预测这种行为。

8. 根据观察结果，这些结构的失效通常是由于芯材对剪切载荷的抵抗力不足造成的，因此建议未来的研究应重点优化材料的剪切性能（如剪切模量和剪切强度），以提高结构的整体承载能力。

作者贡献声明
Mehdi Mohammadimehr：撰写、审稿与编辑、监督、资源准备、方法论制定、数据整理、概念构思。
Mobin Pourvaghar：撰写、审稿与编辑、资源准备。
Mohammadbagher Zahirian：撰写初稿、资源准备、方法论制定、数据收集、概念构思。