基于数据的建模与预测：利用HODMD-CI方法研究船舶在不规则波浪中的运动

《Ocean Engineering》：Data-driven modeling and prediction of ship motion in irregular waves using HODMD-CI

　　陈长哲|王子豪|邹璐|邹昭健|周晓|刘晓健
上海交通大学海洋与土木工程学院，上海，200240，中国

**摘要**
准确预测船舶运动对于航行安全和运营效率至关重要。高阶动态模态分解（HODMD）在预测波浪中的船舶运动方面展现出潜力，但往往无法考虑外部波浪激励，这限制了其在不同波浪条件下的性能。本文研究了一种基于HODMD的控制延迟嵌入公式，称为“结合控制输入的高阶动态模态分解”（HODMD-CI），该方法将HODMD的高阶时间建模与“带控制的动态模态分解”（DMDc）的控制输入框架相结合。通过明确将波浪高度作为控制输入，该方法能够区分船舶的固有动态和波浪引起的响应。利用计算流体动力学（CFD）数据对无人水面航行器在长峰不规则波浪中的运动进行了研究，并进行了超参数敏感性分析，将HODMD-CI的预测性能与标准HODMD、两种普通的循环神经网络基线（LSTM和GRU）以及在波浪已知输入条件下的Transformer模型进行了比较。结果表明，在基准测试集中，HODMD-CI取得了最佳的整体性能，而标准Transformer通常优于普通的LSTM/GRU基线。此外，HODMD-CI在所有测试条件下的皮尔逊相关系数（PCC）值均超过0.98。该方法为船舶运动预测提供了一个高效的框架。

**引言**
准确预测船舶运动对于确保航行安全、保持结构完整性和优化海洋环境中的运营效率至关重要。无论是传统船舶还是自主船舶，预测纵摇、横摇和俯仰等动态响应对于航线规划、疲劳分析以及执行关键海上作业都至关重要。在不规则海况下，预测动态响应尤为重要，因为复杂的多频率波浪激励会导致高度非线性的耦合船舶运动，这对传统预测方法构成了重大挑战。

在船舶运动的六个自由度（DOF）中，横摇运动尤其关键，因为它与稳定性和安全性密切相关。Yin等人（2014年）开发了一种灰序列极端学习机（GS-ELM）用于在线预测船舶横摇运动，有效捕捉了其非线性和时变动态。Huang等人（2018年）开发了一种粗调和细调固定网格小波网络（CFT-FGWN），通过滑动数据窗口动态调整其结构和参数，实现了在规则波浪中有效预测船舶横摇运动。Li等人（2019年）开发了一种混合PEM & LSSVR-CCPSO模型，该模型将船舶横摇运动时间序列分解为周期性和非周期性成分，并分别使用周期图估计方法（PEM）和最小二乘支持向量回归（LSSVR）模型以及混沌云粒子群优化（CCPSO）算法进行预测。Wang等人（2024年）提出了一种基于预兆的长短期记忆（LSTM）模型，该模型利用运动极值的前兆信息来提高剧烈船舶横摇运动的预测精度。

除了单独的横摇运动外，不同自由度之间的耦合效应（如横摇-俯仰和纵摇-俯仰-横摇耦合）对于全面理解波浪中的船舶动态至关重要。这些耦合运动比单自由度横摇运动更具预测挑战性。Schirmann等人（2023年）比较了共享层神经网络（SLNN）模型和高斯过程回归（GPR）模型，用于校正基于物理的船舶纵摇、俯仰和横摇运动预测。Zhang等人（2024a）提出了一种混合卷积神经网络-多循环神经网络（CNN-MRNN）模型，通过改进的自适应粒子群优化（IADPSO）进行优化，用于预测船舶纵摇、横摇和俯仰运动。Yan等人（2025年）提出了一种混合Quat-Trans-LSTM模型，通过使用四元数表示和Transformer-LSTM架构，提高了预测精度和稳定性。Hou等人（2025年）提出了一种EWT-SampEn-iTransformer模型，利用经验小波变换（EWT）和样本熵进行去噪，使用模拟和真实的破冰船数据实现了船舶纵摇、横摇和俯仰运动的实时多步预测。

除了上述数据驱动的方法外，动态模态分解（DMD）作为一种降阶建模的强大替代方案也应运而生。作为一种模态分解技术，DMD在从高维数据中提取时空连贯结构方面表现出色，计算效率高且超参数需求少，非常适合实时预测（Schmid, 2010, 2022; Kutz et al., 2016）。对于具有更强非线性或更高阶时间依赖性的系统（如波浪中的船舶运动），高阶动态模态分解（HODMD）通过延迟嵌入扩展了标准DMD框架，通过有效捕捉多频率动态显著提高了预测精度（Le Clainche和Vega, 2017; Vega和Le Clainche, 2020）。

由于这些特性，DMD和HODMD最近成为船舶运动预测的吸引人的方法。Diez等人（2022年）和Serani等人（2023年）应用DMD及其增强变体预测波浪中的船舶运动，展示了长达两个遭遇周期的有效短期预测。Chen等人（2023年、2024年、2025年）开发并改进了基于HODMD的降阶模型，用于预测各种船舶运动，在从波浪中的航向保持和转向操作到使用海试数据的全尺寸船舶操纵等应用中表现出更高的精度。然而，标准DMD和HODMD在船舶运动预测应用中的一个显著限制是：它们本质上是时间序列建模方法，无法区分系统的固有动态和外部激励。这一限制对于船舶运动预测至关重要，因为船舶响应主要由波浪激励驱动而非自维持动态。如果激励没有明确建模，识别的模态会将固有动态与波浪效应混合在一起，当海况或遭遇条件发生变化时变得不可靠。因此，预测的船舶运动可能会迅速恶化甚至出现非物理衰减。在波浪中的船舶运动背景下，这意味着标准DMD和HODMD无法明确考虑波浪激励这一主要控制输入。当波浪条件发生显著变化时，仅基于过去运动状态的模型预测精度可能会下降，其结果对依赖波浪信息的控制策略提供的指导作用有限。最近的研究已成功将控制输入纳入DMD框架，用于海洋浮动结构的运动预测。Palma等人（2025a, 2025b）将带控制的Hankel-DMD（Hankel-DMDc）应用于波浪中的浮动海上风力涡轮机和水面船舶，明确模拟了系统对外部激励（包括风、波浪和舵作用）的响应。最近，Palma等人（2025c）提出了用于船舶运动数字孪生的贝叶斯Hankel-DMD框架，Palma等人（2025d）研究了规则和不规则波浪中系泊ASV的系统识别的确定性和贝叶斯Hankel-DMDc，Palma等人（2026）开发了一种用于不规则波浪中双体船不确定性感知的集成HDMDc方法。这些最新研究表明，控制延迟嵌入的DMD公式为建模波浪驱动的海洋动态提供了有效框架。

基于我们之前关于HODMD的研究（Chen等人，2023年、2024年、2025年），以及最近的Hankel-DMDc/HDMDc海洋系统研究，本文研究了“结合控制输入的高阶动态模态分解”（HODMD-CI）方法。该公式是在我们之前的基于HODMD的研究基础上扩展而来的，同时与最近的Hankel-DMDc文献保持一致。HODMD-CI将HODMD的高阶时间建模能力与“带控制的动态模态分解”（DMDc）的控制输入范式相结合（Proctor等人，2016）。该公式属于与Hankel-DMDc/HDMDc相同的广泛家族，但在这里以HODMD风格呈现，具有独立选择的状态延迟和输入延迟阶数（d1和d2）以及基于εSVD的秩截断。因此，本研究的目的是在特定于不规则波浪中的船舶运动预测的背景下检验和评估这种公式。通过明确将波浪高度的时间历史作为控制输入，HODMD-CI能够实现更准确和物理上一致的预测。这种方法在实践中是可行的，因为可以使用现有技术（如波浪探测雷达或X波段海洋雷达系统）实时获取或预测船舶前方的短期未来波浪激励；然而，在本研究中，未来的波浪高度被视为理想化的已知输入。

本研究的具体目标和贡献有三个方面。首先，HODMD-CI通过明确将波浪高度作为外部输入来预测不规则波浪中船舶的纵摇、横摇和俯仰运动。其次，进行了系统的敏感性分析，以研究状态延迟阶数、输入延迟阶数和奇异值分解（SVD）的截断阈值（即d1、d2和εSVD）对预测精度的影响。第三，在相同的波浪已知输入基准下，评估了所提出框架的预测性能与标准HODMD、调优的普通LSTM/门控循环单元（GRU）基线和标准Transformer模型的性能。这种比较旨在在小数据船舶运动预测环境中评估HODMD-CI方法，而不是对所有可能的深度学习架构进行明确排名。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍HODMD和HODMD-CI的方法论。第3节描述了计算流体动力学（CFD）数据和案例设置。第4节对超参数进行了全面的敏感性分析。第5节对HODMD-CI、HODMD、普通LSTM/GRU基线和标准Transformer模型的预测性能进行了比较评估。第6节总结了本文。

**高级动态模态分解**
DMD的一步线性模型往往难以充分表示具有强非线性或更高阶时间依赖性的系统，这些特性在船舶-波浪相互作用动态中是固有的。为了解决这个问题，引入了高阶动态模态分解（HODMD）（Le Clainche和Vega, 2017; Vega和Le Clainche, 2020）。通过延迟嵌入时间延迟坐标，HODMD丰富了状态空间，使线性模型能够捕捉更复杂的动态。

**船舶详细信息和CFD数据**
目标船舶是一艘小型无人水面航行器（USV）。小型USV的主要尺寸见表1。训练数据是通过使用商业CFD软件Star-CCM+（版本：2021.1）进行数值模拟生成的。此处使用的CFD数据由Zhang等人（2023年）提供。数值模型采用了非稳态雷诺平均纳维-斯托克斯（URANS）求解器和体积法（VOF）；不规则长峰波浪是通过叠加生成的。

**超参数敏感性分析**
本节对HODMD和HODMD-CI中的超参数进行了敏感性分析。HODMD算法有两个超参数：d1和εSVD，而HODMD-CI算法有三个超参数：d1、d2和εSVD。首先，使用ARRMSE作为评估指标，研究了d1和d2对预测精度的影响。根据之前的研究（Chen等人，2023年、2024年、2025年），d1的值范围设定为1到296，d2的值范围设定为5到300（仅针对HODMD-CI）。

**预测时间历史的比较分析**
使用所有比较模型的最佳调整超参数，图8和图9比较了HODMD、HODMD-CI、普通LSTM、普通GRU和标准Transformer的预测结果。在所有条件下，HODMD-CI的预测结果与CFD数据最为吻合，表明其整体预测精度最高。标准Transformer通常比普通LSTM和GRU基线更准确地再现了相位和振幅。

**结论**
本研究提出了“结合控制输入的高阶动态模态分解”（HODMD-CI），并将其作为一种HODMD风格的控制延迟嵌入模型，用于建模和预测不规则波浪中的船舶纵摇、横摇和俯仰运动。使用长峰不规则波浪中的小型USV的CFD数据验证了HODMD-CI方法，并将其预测性能与标准HODMD、普通LSTM/GRU基线和标准Transformer模型进行了比较。

**作者贡献声明**
陈长哲：撰写——原始草稿、验证、软件、方法论、资金获取、数据整理。
王子豪：撰写——审阅与编辑、监督、方法论、资金获取、数据整理。
邹璐：监督、项目管理、方法论、资金获取。
邹昭健：监督、项目管理、方法论、资金获取。
周晓：验证、软件、研究。刘晓健：项目管理和资金来源
作者声明他们没有已知的、可能影响本文所述工作的财务利益冲突或个人关系。

致谢
本项工作得到了国家自然科学基金（项目编号：52571357、52101361）、中国博士后科学基金（项目编号：2025M770284）以及上海船舶工程重点实验室（项目编号：SE202303）的财政支持。