综述：一种用于多服务器环境中的负载分配方法 李德成（Der-Cherng Liaw）和 马宣友（Xuan-You Ma）

《Electronics》：A Method for Load Distribution Used in Multi-Server Environments Der-Cherng Liaw and Xuan-You Ma

　　摘要 我们分析了各种涉及de Sitter背景、二次?2背景和非最小耦合标量背景的引力理论，并应用了Dyson–Schwinger技术，该技术基于Green函数的确切背景解。我们指定了特定的度量解集，以便对理论进行量子分析。这种解被识别为共形平坦度量。在使用Dyson–Schwinger方程研究Yang–Mills理论时，通过映射定理自然得出了这样的结论。我们展示了一系列从这种共形不变性破缺开始的宇宙相变，这些相变可能会受到非最小耦合的影响。

1. 引言
在引力理论中，爱因斯坦的广义相对论（GR）是一个极其成功的经典理论。它经受住了时间的考验，与多项观测结果一致。其最近的成功包括引力波（GWs）的发现，这些引力波是由LiGO GW探测器观测到的黑洞合并产生的[1]。此外，我们还通过事件视界望远镜[2,3,4,5,6]获得了位于我们银河系中心的黑洞的图像。我们也知道，爱因斯坦的广义相对论可以扩展到包含物质场。这构成了我们对宇宙学的现代理解的基础，也包括了早期宇宙和大爆炸的起源。尽管如此，爱因斯坦的GR在紫外谱中表现出病态行为，并且无法通过已知的微扰方法进行重整化[7,8]，这是在远低于普朗克尺度的理论长度范围内微扰理论有效的范围，以理解量子领域。GR的另一个不足之处是缺乏一致的欧几里得路径积分：GR的欧几里得作用量是从下限开始的，这也被称为“共形因子问题”。通过添加二次曲率项，可以解决GR的重整化问题和共形因子问题。实际上，由此产生的理论通常被称为二次引力[9,10,11,12]，并且简单地应用[13]来确定欧几里得作用量表明，在其参数空间的相当大区域内，它也不存在共形因子问题[14]。

在这篇综述中，我们分析了一些可以使用Dyson–Schwinger方程的量化技术处理的引力模型，只要主要自由度可以简化为标量场理论的解。在几篇论文中，人们一直在追求用类似的概念但不同的方法来理解量子引力，例如Lee–Wick模型[15,16,17,18]、相应的fakeon处方[19]，以及作者们在受弦理论启发的非局部无鬼方法中对高阶导数引力的研究[20,21,22,23,24,25,26,27]。在参考文献[28,29]中提供了对二次引力的理解。

我们在这里应用的Dyson–Schwinger技术源于Bender、Milton和Savage[30]的一篇论文，他们得到了一个PT不变的模型的Dyson–Schwinger方程组，这些方程以偏微分方程的形式出现。Jacobi椭圆函数被证明是解决这类量子场理论方程的强大工具，如参考文献[31]所示。在粒子物理学和量子色动力学中也有几项应用[32,33,34,35,36,37,38]。

我们展示了对于某些修正引力模型，假设Dyson–Schwinger方程组的领先解是共形解，可以在早期宇宙中识别出一些相变。当观察到对于爱因斯坦–希尔伯特作用量来说，从共形解开始量化它们并不是正确的方法时，就需要一个修正的引力模型。

本文的组织结构如下：第2节我们介绍了Dyson–Schwinger技术；第3节我们展示了基于该技术的de Sitter解；第4节我们展示了具体的Starobinsky理论；第5节我们对标量场进行了量化；第6节我们考虑了物质场的影响；第7节我们讨论了非最小耦合情况；最后，在第8节我们提出了结论和一些讨论。

2. Dyson–Schwinger技术
在本节中，我们介绍了Bender、Milton和Savage[30]提出的一种技术，用于获得以偏微分方程形式表示的Dyson–Schwinger方程组。这个想法最初是在研究PT不变的量子力学模型时提出的。这种方法最近已经被扩展到更一般的量子场理论设置[31]。我们考虑了一个通用标量场（）理论在欧几里得度量下的配分函数（1），其中j是一个任意源，耦合常数进入自相互作用项。为了评估这个配分函数，我们需要以封闭形式获得所有的nP相关函数。这些由以下泛函导数给出（2）。从我们对相关函数的表达式中可以得出以下关系（3）。该程序评估了以下PDE（4），这些相关函数依赖于源j。起点是由运动方程（5）给出的。我们想要获得；因此，我们使用Z对这个方程进行平均，得到（6）。这里我们认识到是对场的立方的平均。这可以使用其定义来评估（7）。通过对关于的导数进行迭代，我们得到（8）。这些可以直接代入方程（6），提供第一个Dyson–Schwinger方程（9）。最后，我们可以取，以便（10）。对于，我们对方程（9）关于进行求导，得到（11），然后再次取。这样的程序可以迭代到任何所需的阶数，提供更高阶相关函数的方程。我们看到这些更高阶的相关函数出现在低阶方程中。这是Dyson–Schwinger方程组的一个特征，但我们可以假设至少有两个变量是相同的，从而为配分函数提供一个精确的高斯解。这种选择事后看来是一致的，并且仅通过和就提供了Dyson–Schwinger方程组的完整解。

为了理解这种方法的物理意义，我们指出，Dyson–Schwinger方程组的解为它们所衍生的量子场理论提供了一个相应的精确解。这是因为当所有相关函数都精确已知时，统计理论的可观测量是完全可计算的。具体来说，对于量子场理论，这是Lehmann–Symanzik–Zimmermann（LSZ）缩减公式的陈述[39]。

3. De Sitter情况
从前面对非阿贝尔规范理论应用的Dyson–Schwinger技术的讨论来看，很明显需要某种共形解（在我们的情况下是映射定理）才能直接应用这种方法。在爱因斯坦的理论中，我们处于非常相似的情况，最简单的映射解是共形平坦解。我们知道爱因斯坦方程不是共形不变的，作为一个标准教科书案例，我们展示了如何需要扩展引力部门才能一致地应用Dyson–Schwinger方法。因此，我们考虑带有宇宙常数的真空爱因斯坦方程（12），度量具有签名，并将注意力限制在共形平坦部门（13），其中是闵可夫斯基度量，是标量共形因子。Ricci张量采取形式（14），其中和。同样，Ricci标量采取形式（15）。将Ricci张量插入得到张量方程（16），取迹得到单个独立的运动方程（17）。使用这个方程进入方程（16），我们得到（18）。这个方程不引入新的动力学；它是一个兼容性条件，确保共形平坦假设与爱因斯坦度量一致。使用（19），兼容性条件可以紧凑地写为（20），其中“TL”表示相对于的无迹部分。等价地，（21）这意味着在闵可夫斯基坐标中最多是二次的，因此在共形平坦坐标中生成精确的闵可夫斯基、de Sitter或反de Sitter时空。为了解运动方程，我们选择了由条件[40]保证的广义谐波规范（22）。这个选择确保了数学表述和物理的一致性（简单的谐波规范是不够的）。然后，对于共形度量，找到一个仅依赖于共形时间的解（24），产生兼容性条件（25），这意味着（26），其一般解是（27），带有常数。不失一般性，可以通过移动来设置，并定义，以便（28）。将这个表达式插入标量运动方程（29），最终找到（30）。因此，得到的度量是（31），这是在共形平坦（庞加莱）坐标中写的de Sitter时空。

从这个教科书示例中得出的相关结论是，标量场方程和约束条件迫使解是de Sitter或闵可夫斯基解，对于真空中的爱因斯坦方程，直接使用Dyson–Schwinger方法进行量化似乎是不可能的。我们需要通过向标准的爱因斯坦–希尔伯特作用量中添加进一步的项来扩展理论。

4. 理论
为了扩大引力部门，最简单的步骤是考虑作用量（41,42,43），其中代表普朗克尺度，是Ricci标量，M?1表示项起作用的尺度。在进行了变换之后，作用量（32）可以用引力和标量场之间的相互作用来重写，从而转移到爱因斯坦框架中（44,45），其中是一个通用度量。这是Yang–Mills理论的映射定理的类似物，前提是我们考虑某些特定的度量。结果是以下作用量（46）：运动方程是（35），其中是拉普拉斯–贝尔特拉米算子。我们希望保持一般性，并寻找R为常数的解。这很有趣，因为只要标量场决定了度量的非对角元素，方程的一致性就得到了保持。因此，我们有（36），其中代表，并且通过无量纲缩放的场变量和，我们得到以下方程（37），将第一个方程插入第二个方程中，最终得到（38）。这只是一个四次标量场理论，通过改变场变量可以得到（39），这给出了（40）。

5. 标量场的量化
从参考文献[29]中，我们知道Dyson–Schwinger方程组可以写成（41），（42），现在我们设置了（43），其中量子涨落的修正由（44）给出，经过维度规正后得到（29），（45），其中是欧拉–马谢罗尼常数。根据Aizenman及其同事[47,48,49]证明的四次标量场的性质，我们可以假设对于，即当两个或更多坐标相同时，是一个一致的选择，给出了预期的高斯解。保持平移不变性，我们从方程（46）找到解，从而自发地打破了理论的共形不变性，引入了一个质量尺度。在参考文献[50]中提出了关于不同真空之间隧穿的最新研究。

为了看到我们结果的物理后果，不难计算（47），其中可以看出标量场是有质量的且短程的。这对项在低能量极限下的相关性和可观测性有一些影响。

6. 对物质场的贡献
我们从参考文献[51,52,53,54,55,56]中知道，在Starobinsky模型中从Jordan框架转移到爱因斯坦框架，或者更一般地，对于理论，意味着运动方程中的能量–物质张量发生了变化。人们可能会问如何处理这种情况。我们可以将分析限制在希格斯领域H上，表示为（48），其中H是希格斯的自四次项，v是真空期望值（VEV）。在Starobinsky模型中，引入了共形变换（50），将希格斯作用量变为（51）。在我们的情况下，我们有（52），在爱因斯坦框架下动能项为（53），势能为（54），而共形因子则产生（55）。前一节中看到的共形不变性的破缺，允许由1P函数产生的解保持希格斯领域的形状不变，因为在转变过程中共形因子只是一个常数。

7. 非最小耦合情况
我们考虑以下非最小耦合情况的拉格朗日量（56），其中是标量场，G是牛顿常数，是里奇标量，是宇宙常数，是非最小耦合项；势能被假设为最简单的共形不变形式（57）。从拉格朗日量（56）出发，我们可以写出Dyson–Schwinger方程组[31]（58），其中是拉普拉斯–贝尔特拉米算子。我们想要评估在某种度量选择下的1P和2P相关函数。在与Starobinsky模型相同的极限下工作，即里奇标量保持恒定且非常大时，我们得到方程（59）。我们观察到，在正则化之后，会取负值（见方程（45）），但观察方程（59）中势能最小值的解，非最小项的存在可能会阻碍相变的发生。这与参考文献[50]中的结论一致，该文献指出这种非最小耦合的一般效应是阻碍真空之间的隧穿。

8. 讨论与结论
在这篇综述中，我们回顾了处理强耦合理论的方法，特别是涉及具有de Sitter背景、二次引力和非最小耦合标量与里奇曲率的理论。在某些条件下，与Nambu–Jona–Lasinio模型中的情况非常相似，后者可以用来描述强相互作用[57]，可以实现一个涉及非线性可重整化模型的有效描述；在本文中，我们还展示了如何用一个标量来描述引力。特别是，我们从包含Starobinsky项的简单二次引力模型出发，发现在强耦合极限下，情况简化为具有一个大且恒定的以及为标量场生成的质量间隙。强耦合条件可以理解为，M是由于二次项导致的标量子之间的自相互作用的质量项。这反映了这一项代表了理论中引力子和标量自由度之间的自相互作用。特别是，我们发现，在不包含宇宙常数的理论中，该理论具有质量间隙。对于Starobinsky和非最小耦合两种情况，我们都得到了一个涉及类虚假真空行为的有效势能描述，并且这些描述可能会发生相变。特别是在涉及与引力的非最小耦合的情况下，我们所知的强耦合会影响原初宇宙学场景，例如那些涉及强一级相变的场景，从而促使人们寻找早期宇宙中的随机引力波背景。LIGO–Virgo–KAGRA网络已经在寻找这样的信号[58,59]，并为在强耦合极限下开发和测试具有引力波特征的真空衰变技术打开了可能性。我们预期这种探索非微扰窗口的新技术可以在不久的将来通过当前和未来计划中的全球引力波探测器网络得到验证。