基于局部贝塞尔-傅里叶矩和自适应嵌入的鲁棒可逆水印技术 韩宇、 高原光勇、 袁敖琪

《Electronics》：Robust Reversible Watermarking Based on Local Bessel–Fourier Moments and Adaptive Embedding Yu Han, Guangyong Gao and Aoqi Yuan

　　摘要
鲁棒可逆水印技术能够在不被攻击的情况下实现水印提取和无损图像恢复。现有的基于图像矩的鲁棒可逆水印方法主要通过在图像的全局内切圆中嵌入水印来抵抗旋转和缩放等几何攻击。然而，这些方法无法处理裁剪，而裁剪是几何攻击的一种实际应用场景。为了解决这一限制，本文提出了一种新的多区域嵌入鲁棒可逆水印框架，通过特征点域和局部贝塞尔-傅里叶矩域的深度耦合来抵抗裁剪攻击。实验结果表明，所提出的方法不仅可以抵抗裁剪攻击，还对其他典型攻击具有良好的鲁棒性。

1. 引言
目前，数字水印技术通过嵌入认证信息来实现版权保护和内容验证[1]。在军事图像、医学图像和卫星遥感等对完整性要求较高的领域，任何微小的失真都是不可接受的，这促使了鲁棒可逆水印（RRW）的发展，这种水印同时具备鲁棒性和可逆性。从失真类型的角度来看，RRW可以分为两类：一类仅抵抗常见的信号处理（CSP）操作[2,3,4,5,6]，另一类则抵抗CSP和几何变形（GD）攻击[7,8,9,10,11,12,13]。早期的研究集中在算法改进上以提高鲁棒性，但这往往会导致嵌入容量降低和不可见性下降[14,15,16]。为了解决这个问题，Coltuc等人提出了一种两阶段嵌入框架，以平衡鲁棒性和不可见性[17]。本研究旨在进一步提高鲁棒性，同时保持不可见性。然而，大多数当前的RRW方法仍然将鲁棒水印嵌入到图像的全局内切圆区域。这样的设计在抵抗旋转和缩放攻击方面表现良好，但在面对裁剪攻击时，嵌入区域的完整性会被破坏，水印提取性能会显著下降。因此，有效增强RRW对裁剪攻击和其他典型攻击的鲁棒性已成为一个迫切需要解决的研究问题。本文的目标是设计一种鲁棒可逆水印方案，既能抵抗裁剪攻击，又能保持对其他典型攻击的良好鲁棒性。使水印抵抗裁剪攻击的关键在于保持水印嵌入区域的完整性。因此，本文提出了一种多区域嵌入RRW方法，该方法选择特征点来确定区域，然后将相同的水印重复嵌入到多个局部圆形区域的贝塞尔-傅里叶矩（BFMs）中。然而，研究也发现，与全局嵌入策略相比，这种方法在抵抗CSP攻击时会牺牲一定程度的鲁棒性。这是因为需要减小嵌入区域的大小以减轻裁剪攻击造成的损害。为了解决这个问题，本文设计了一种自适应双阈值量化嵌入公式来增强鲁棒性。经过广泛的实验验证，本文提出的方案不仅可以抵抗裁剪攻击，还对其他典型攻击具有良好的鲁棒性。本文的贡献总结如下：
本文提出了一种创新的多区域嵌入RRW框架，统一了特征点选择机制和局部BFMs嵌入策略的建模和协同优化。与传统方法仅依赖矩的全局嵌入策略不同，所提出的框架实现了特征点选择、局部区域构建和水印嵌入过程之间的深度耦合和协同交互。基于这种新范式，该方法可以有效增强对裁剪攻击的鲁棒性。引入了一种基于双阈值量化的自适应嵌入方案。通过分析局部能量特征，水印能够动态响应图像内容，从而实现上下文感知的参数调整——在不影响视觉透明度的同时提高抗攻击能力。

本文剩余部分的结构如下：第2节重点介绍研究问题涉及的关键技术，介绍BFMs和图像特征点提取方法，为后续方法设计提供理论基础。第3节详细阐述了所提出的多区域嵌入RRW框架，解决了如何在保持不可见性的同时增强对包括裁剪攻击、GD和CSP在内的攻击的鲁棒性的核心问题。这包括整个过程、嵌入策略和关键实现机制。第4节通过多组实验评估所提出的方法，并将其与现有方法进行比较，验证其在不可见性和鲁棒性方面的有效性，以满足上述研究目标。第5节总结了整篇文章，根据实验结果回答了本文提出的研究问题，并讨论了未来的研究方向。

2. 相关工作
本章简要介绍了BFMs、特征点提取及相关图像变换知识。

2.1. 贝塞尔-傅里叶矩的表示和计算
矩在数字图像表示中的应用可以追溯到[18]，此后基于矩的研究不断涌现。关于图像矩的全面总结和分类可以在[19]中找到。BFMs是一种基于贝塞尔函数和傅里叶级数构建的正交矩特征描述方法，用于提取图像的径向和角向信息。它可以有效地表示图像的整体结构和详细特征，因此常用于图像识别、图像重建和数字水印领域。基本思想是将图像转换为极坐标系统，其中径向部分使用贝塞尔函数描述图像从中心向外的变化，角向部分使用傅里叶基函数描述图像沿角方向的周期性变化。然后，通过积分投影获得一组矩系数作为图像特征表示。不同阶数的矩系数对应于图像中不同尺度和频率的信息，低阶系数反映整体轮廓，高阶系数反映详细纹理。在数字水印中，水印信息可以嵌入到这些稳定的矩系数中，并且在提取阶段通过重新计算矩系数来恢复水印。不同的矩在性能和计算精度上有所不同。参考文献[20]表明，在无噪声和有噪声条件下，BFMs在图像重建能力方面优于其他一些正交矩。BFMs还能很好地抵抗几何变换，并对基于噪声的攻击具有一定鲁棒性。因此，在本文中，选择BFMs作为水印嵌入过程中的嵌入矩。
BFMs是一组基于第一类贝塞尔函数的正交矩。第一类贝塞尔函数的定义如下：
(1)
其中α是实数，γ是伽马函数，Γ是广义超几何函数。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，其表达式如下：
(2)
并且具有以下递归关系：
(3)
在极坐标系统中，使用第一类贝塞尔函数的图像的BFMs定义如下：
(4)
其中I是图像，n表示阶数，m表示重复次数，可以是正数、负数或零。α是归一化常数。β是n阶贝塞尔多项式，权重为r，并且在区间[0, 1]内满足正交性，γn是β的第n个正零点。φ是BFMs的基函数，在单位圆内满足正交性。
图像I可以通过从BFMs及其基函数重构得到：
(5)

2.2. 贝塞尔-傅里叶矩的几何不变性
旋转不变性是BFMs的一个基本属性，意味着旋转目标不会改变其幅度。当图像旋转α度时，旋转后图像的BFMs与原始图像的BFMs之间的关系为：
(6)
图像旋转一定角度后，BFMs仅在相位上有所不同，幅度不受影响。因此，将水印信息嵌入BFMs的幅度中可以实现对抗旋转的鲁棒性。
非线性插值在图像缩放期间会影响单位圆的内容，表明BFMs确实缺乏尺度不变性。参考文献[21]提出了一种归一化方法，通过用零阶BFMs归一化其他阶数的BFMs来实现尺度不变性。通过将水印嵌入到这些归一化BFMs的幅度中，水印可以实现对抗缩放的鲁棒性。

2.3. 图像特征点和图像变换
2.3.1. 图像特征点提取
特征点是图像中具有明显局部特征的关键位置，易于检测和区分，通常出现在灰度变化明显或纹理信息丰富的区域，如角点、边缘交点、斑点区域或纹理突变的位置。与普通像素相比，特征点包含更多的结构信息。特征点检测一直是计算机视觉和数字图像分析中的核心课题。检测到的特征点在多种图像变化下表现出很强的鲁棒性——包括光照变化、仿射变形和加性噪声——使得它们对于依赖可靠视觉线索的任务至关重要。在特征提取技术中，尺度不变特征变换（SIFT）作为一种开创性的斑点检测方法而脱颖而出[22]。与基于角点的方法[23,24]相比，SIFT具有更好的稳定性、精度和通用性，其性能在众多实际应用中得到了广泛验证。
可以通过将图像I(x,y)与标准差为σ的高斯核G(x,y,σ)卷积来生成平滑版本L(x,y,σ)，数学公式如下：
(7)
其中G(x,y,σ)的定义如下：
(8)
通过对图像I进行迭代下采样，生成一系列逐渐缩小的图像——称为一个八度。在每个八度内，每个下采样图像都与不同的高斯核G进行卷积，从而得到与图像I相关的高斯金字塔。随后，通过计算同一八度内连续高斯模糊图像之间的像素级差异来构建差分高斯（DoG）金字塔，如公式(9)所示：
(9)
在DoG金字塔中，每个像素都会进行局部极值检查：它与其当前尺度级别内的八个相邻像素以及上下两个尺度级别的九个像素进行比较——总共26个周围样本。只有当一个像素在其3D邻域内代表局部最大值或最小值时，才被视为潜在的关键点候选者。
通过评估候选位置的对比度和边缘响应特性来识别特征点，从而从所有潜在候选者中选择最稳健的空间极值。为了实现旋转、尺度变化和光照变化下的不变性，每个检测到的关键点都带有精确的坐标、相关的尺度级别和主导方向。在获得稳定特征点的位置、尺度和主方向后，算法选择以该特征点为中心的某个范围内的局部区域，根据其尺度进行归一化，并根据主方向进行旋转对齐，以消除尺度变化和旋转的影响。然后，统计分析该区域内像素梯度的方向分布和幅度信息，将局部纹理特征编码为固定维度的数值向量，即描述符。可以通过距离度量比较不同图像中的描述符以找到相应的特征点，从而实现图像匹配、目标识别和数字水印中的同步定位等任务。

2.3.2. 特征点匹配和图像恢复
特征点描述符是一个数值向量，捕获该点邻域内的局部梯度特性。它紧凑地表示了周围图像区域中强度变化的强度和方向，因此是特征的核心表征。在几何变形（如旋转、缩放或平移）下，从变形图像中提取的描述符可以与原始图像的描述符对齐。这种对齐使得可以估计出潜在的几何变换，从而逆转变换以恢复图像的原始几何形状。形式上，这种几何变形可以使用仿射变换矩阵TGD来建模：
(10)
其中x和y分别表示像素坐标。在变换矩阵TGD中，s和t分别表示与线性变换（缩放、旋转）相关的系数和与平移相关的系数。要对图像执行逆操作，需要计算变换矩阵TGD的逆矩阵，并将逆变换应用于被攻击的结果：（11）然而，图像处理包括插值、压缩、添加噪声和裁剪等操作可能会扭曲甚至消除关键特征点。M-Estimation Sample Consensus（MSAC）算法和Random Sample Consensus（RANSAC）算法都是在含有异常值的数据集中进行鲁棒参数估计的经典方法，常用于图像特征点匹配和几何变换模型求解[25,26]。RANSAC的基本思想是从所有匹配点中随机选择最小样本集来建立模型，然后使用该模型来测试剩余的数据点。误差小于设定阈值的点被视为内点，而误差较大的点被视为异常值。通过多次随机采样，最终选择具有最多内点支持的最优模型，从而消除错误的匹配点。MSAC是RANSAC的改进版本，整体流程类似。它也通过随机采样和迭代来估计模型，但在模型评估阶段，它不仅考虑内点的数量，还引入了一个残差成本函数来权衡每个匹配点的误差，并选择总成本最小的模型。因此，与RANSAC相比，MSAC可以在保持鲁棒性的同时更准确地区分高质量匹配点和异常值，在图像裁剪和噪声干扰等复杂攻击场景中具有更高的估计准确性和稳定性。因此，在匹配过程中，采用MSAC算法来消除偏差较大的异常点，从而提高TGD计算的准确性。3. 提出的方法论裁剪攻击会破坏图像内的空间结构关系，因此选择鲁棒的水印嵌入区域直接影响水印的存活概率。当采用单区域嵌入策略时，如果使用整个图像的全局内切圆区域作为唯一的鲁棒水印载体，那么当该区域完全保留时可以直接提取水印，由于这个圆形区域总是填充整个水印图像，因此不需要额外的信息来提取鲁棒水印。然而，一旦裁剪区域与这个全局内切圆重叠，嵌入区域的完整性就会受到破坏，导致水印信息部分丢失，提取错误率显著增加。此时，单区域水印的存活概率高度依赖于裁剪后是否保留了这个唯一的载体区域。相比之下，多区域嵌入策略将水印信息重复嵌入到多个局部圆形区域中，将系统从“单点故障”模式转变为“冗余容错”模式。在裁剪攻击下，即使一些局部嵌入区域受损，只要至少保留一个完整的局部圆形区域，就可以通过特征点定位到相应的区域并提取水印。因此，多区域嵌入下水印的存活概率可以表示为“至少有一个嵌入区域存活”的概率，这显然高于单区域嵌入下的“唯一区域存活”的概率。此外，随着嵌入区域数量的增加，至少有一个区域完全保留的概率进一步增加，从理论上证明了多区域嵌入可以有效提高水印的存活概率。实现抗裁剪和几何失真（GD）水印的核心挑战是保持水印嵌入区域的结构连贯性。为了解决这个问题，我们的方法不同于传统方法，后者仅在整个图像的最大内切圆内嵌入水印。相反，我们利用从二值特征图（BFM）中得到的多个局部圆形区域进行重复的、分布式的水印嵌入。在三个关键标准的指导下——嵌入区域大小、特征点在失真下的稳定性以及水印在图像几何布局中的空间分布——我们引入了一种新颖的两阶段鲁棒区域基水印（RRW）框架。该框架将精心设计的特征点选择机制与基于BFM的嵌入相结合。它利用了显著特征点的抗失真检测和重建能力以及BFM的固有旋转和尺度不变性。在良性条件下，即水印图像未发生变化时，可以完全恢复原始宿主图像。在涉及裁剪或其他GD引起的尺寸变化的场景中，通过自适应元数据转换，仍然可以通过安全辅助通道检索水印。图1是所提出的多区域嵌入RRW框架的流程图，主要包括五个核心步骤。第一步是基于SIFT提取图像的特征点。第二步是选择特征点并确定圆的半径。第三步是根据综合得分确定一组不重叠的圆形区域。第四步是基于BFM在每个局部圆形区域嵌入水印。第五步是记录每个局部圆形区域生成的辅助信息并将其嵌入到局部圆形区域之外。图1中的绿色点是提取的特征点，红色和白色的圆圈是嵌入水印的局部圆形区域。图2展示了基于BFM在单个局部圆形区域嵌入水印的过程。图2中的箭头指示下一步。图1. 提出的RRW框架示意图。图2. 基于BFM的局部圆形区域中的水印嵌入过程。3.1. 图像嵌入区域的选择SIFT方法能够检测到宿主图像中的许多独特关键点。通过调整对比度阈值参数，算法可以优先选择对几何和光度失真具有更高抵抗力的关键点。然而，目前还没有明确的、系统化的标准来进一步精炼这组鲁棒关键点。尽管传统的鲁棒水印工作中提出了一些选择启发式方法[27]，但由于需求和约束的根本差异，这些方法不能直接应用于可逆鲁棒水印（RRW）场景。为了填补这一空白，本研究提出了一种双管齐下的关键点选择策略。嵌入区域尺寸：为了提高对裁剪攻击的抵抗力，所提出的方法在局部圆形区域内嵌入水印。给定一个固定的量化步长，相应BFM中的水印鲁棒性随着嵌入区域的空间范围的增加而增加——当区域缩小时相应减少。嵌入区域的位置：在基于梯度下降（GD）的攻击中，图像数据在边界附近特别容易受到损坏。相反，数字图像的中心部分通常包含其最具语义意义的内容——这正是对手操作最常针对的区域。根据这些观察，我们制定了以下标准来指导RRW框架内的特征点选择：从SIFT关键点集中，应选择最鲁棒和最稳定的关键点作为局部嵌入区域的中心。为了有效防御如裁剪这样的GD攻击，建议在图像中使用多个空间分散的嵌入区域。在图像边缘区域，由于基于梯度的（GD）攻击往往会严重扭曲视觉内容，建议最小化嵌入区域的数量和空间范围。这种策略有助于在这些敏感区域保持结构完整性，并降低与辅助数据相关的开销。相反，在中心区域——感知影响较小且鲁棒性要求较高的地方——可以适当地扩大嵌入区域以提高抵抗力，同时不牺牲不可见性。根据上述特征点选择原则，首先通过设置对比度阈值λ，消除在载体特征点中稳定性较差的特征点。剩余的候选特征点根据其稳定性强度从高到低排序，稳定性强度得分Sr通过归一化获得。随后，通过计算并归一化特征点与图像中心之间的距离来获得空间位置得分Sd。综合考虑特征点的强度和位置信息，可以得到一个综合得分S。（12）在这种情况下，参数位于[0, 1]区间内，反映了在特征点选择过程中稳定性强度与空间位置的相对权重。经过初步筛选后，大多数候选点——除了那些表现出明显独特特征的点——其稳定性指数只有轻微的变化。因此，空间分布成为决定最终特征点选择的主要标准。考虑到嵌入区域的大小对水印的鲁棒性和不可见性的影响，特征点与图像中心的距离直接决定了嵌入区域的大小。特征点离图像中心越近，嵌入区域越大；距离越远，嵌入区域越小。在所提出的方法中，整个图像的内切圆半径表示为。根据特征点与图像中心的距离Sd，局部嵌入圆形区域的推送半径r分为三个等级，分别是从大到小依次为6/16 × ，5/16 × ，和4/16 × 。获得综合得分S后，根据这些得分从高到低对候选特征点进行排序。然后，选择一组综合得分较高的特征点，并根据它们的距离得分确定一组不重叠的局部圆形区域。3.2. 水印嵌入过程嵌入过程主要包括两个阶段：鲁棒水印嵌入和辅助信息嵌入。获得一组不重叠的局部圆形区域后，每个区域都用作鲁棒水印嵌入的独立载体。与基于BFM的传统全局内切圆嵌入方法不同，BFM域是为每个局部圆形区域分别构建的，并在相应区域内完成水印嵌入。通过这种局部化和多区域嵌入机制，可以有效提高算法对裁剪攻击的抵抗力。基于BFM的单个局部圆形区域的嵌入过程如图2所示。3.2.1. Bessel–Fourier矩的计算假设图像中局部嵌入区域I的大小为M × M，其中内切圆上的BFM阶数为n，重复次数为m，表示为Bnm。这里，n和m满足：（13）这里的N表示BFM的最大阶数。Bnm的计算可以从方程（1）和（4）获得。根据现有的BFM水印方法，当m = 4j（j为整数）时，BFM将偏离正交性，无法精确计算。因此，用于水印嵌入的BFM满足。集合C的长度表示可以在此区域内嵌入的总位数。每个BFM可以嵌入一位水印。假设有一个随机生成的水印位序列W，长度为L（L < lengthC(C)），其中每个位表示为（），并使用密钥K从集合C中随机选择BFM进行嵌入，即。3.2.2. 鲁棒水印的嵌入和水印图像的重建由于缩放过程会改变BFM的大小，通常会用零阶BFM对其进行归一化。如方程（14）所示。（14）考虑到不同阶数和重复次数的BFM对各种攻击的鲁棒性不同，水印嵌入的强度也应不同。为了在相同的嵌入失真下最大化水印的鲁棒性，本文采用了一种自适应归一化方法，即（15）其中Tni是自适应归一化权重，大于0，并随着BFM阶数的变化而变化。在我们的工作中，我们将Tni设置为（16）这里，Tni表示自适应归一化權重的初始值，β（β > 0）是调节嵌入水印强度的全局参数。参数Tni和β用于控制鲁棒水印图像的不可见性，可以通过实验模拟来实际确定。然后，将水印位嵌入到标准化的BFMs的幅度中。现有的基于矩的RRW方案采用如方程（17）所示的水印位嵌入公式。（17）其中，是嵌入了水印的版本，表示向下取整函数，Δ是量化步长，是一个大于0的偶数，Q表示量化操作，公式如下：（18）无论是在平滑区域还是具有复杂纹理的区域，这种嵌入公式都使用固定的偏移量（3/4 Δ和1/4 Δ）。平滑区域和具有复杂纹理区域的能量波动不同，嵌入强度也不同。使用固定偏移量有一定的缺点。因此，本文提出了一种自适应的双阈值量化嵌入公式，旨在在保持水印不可察觉性的同时提高鲁棒性。对于选定的嵌入系数，其频域邻域被定义为一个以（ni, mi）为中心的5 × 5窗口。邻域幅度集和邻域均值（反映局部平均能量）定义如下：（19）邻域标准差（反映局部能量波动/纹理复杂性）定义如下：（20）引入一个局部复杂性因子：（21）这里，是一个非常小的常数（10^-6），用于防止除以零的错误。自适应偏移量设计如下：（22）其中，是一个全局调整因子，其值范围从0.1到0.2。它可以通过实验实验获得。所提出的自适应双阈值量化嵌入公式如下：（23）其中，是嵌入了水印的版本，表示向下取整函数，表示的分数部分。Δ是量化步长，是一个大于0的偶数，Q表示量化操作。表示自适应偏移量。自适应双阈值量化嵌入过程主要包括三个核心步骤。第一步是邻域统计。在每个要嵌入的系数周围构建一个5 × 5的邻域窗口（不包括系数本身）。提取邻域内所有系数的幅度值，并计算它们的均值和标准差，以获得反映局部纹理特征的复杂性因子。第二步是计算自适应偏移量。根据要嵌入的水印位的值，根据预设公式动态计算相应的量化偏移量，使嵌入参数能够根据局部区域的特征进行自适应调整。第三步是量化和生成水印值。首先，通过向下取整对原始系数的幅度进行量化，然后乘以量化步长以获得参考值。随后，将参考值与自适应偏移量和原始系数的分数部分结合起来，以获得最终的水印幅度值。这种方法的核心思想是，图像纹理越复杂，人眼对微小失真的敏感度就越低，因此调整偏移量的范围越大，以增强该区域水印的鲁棒性；而在平滑区域，使用较低的强度嵌入以确保水印的不可察觉性。自适应双阈值量化嵌入过程如图3所示。图3中的箭头指示下一步，虚线是相关解释。图3. 自适应双阈值量化嵌入的流程图。可以从方程（24）获得：（24）为了确保从这些矩重建的图像的所有像素都是实数，需要对及其共轭同时进行嵌入操作。共轭矩也经历相同的嵌入过程以获得。计算鲁棒水印嵌入对图像的总体影响Irw。（25）这里，L表示水印长度，是BFMs的基函数，是的共轭。通过将这种影响添加到原始图像的局部区域I中，可以获得包含水印的局部区域Iw。（26）3.2.3. 辅助信息的可逆嵌入在从原始图像的局部区域I获得水印局部区域Iw时，会发生两种类型的错误：量化误差Eq和舍入误差Er。为了确保方案的可逆性，我们需要以可逆的方式将这两种错误嵌入到图像的非鲁棒水印嵌入区域。由于在量化操作中提前排除了的分数部分di，量化误差Eq以整数的形式存在。补偿这种误差所需的数据量显著减少。可以通过以下计算获得Eq：（27）通过基函数模型（BFMs）重建图像时，舍入误差是不可避免的——既源于数值计算的不准确性，也源于像素值必须是整数的固有约束。这些错误构成了准确重建所需辅助数据的一个组成部分。关键的是，在接收端，恢复无水印的图像区域需要一个两阶段的基于BFM的转换：首先，将空间域像素映射到BFMs；随后，将得到的BFMs逆转换为空间域。因此，从原始图像到最终去除水印的版本的重建像素值经历了恰好两个连续的舍入步骤。为了减轻这些双重舍入操作引入的累积失真，进行预重建补偿步骤是必不可少的。对于带有水印的局部图像区域Iw，使用相同的密钥K选择相同的BFMs。此时，获得的BFMs表示包含鲁棒水印信息的集合，记为。类似于方程（15），经过标准化后，得到。去除水印后，其幅度可以表示如下：（28）其中Eqi表示对应于BFMs的量化误差，Ewi表示水印嵌入过程中的误差，满足：（29）值得注意的是，由于预重建过程是在发送端进行的，因此在嵌入过程中Eq和Ew都是已知的。可以计算用于预重建的BFM。（30）类似地，可以计算由鲁棒水印去除操作产生的影响，记为：（31）通过将添加到带有水印的局部图像区域Iw中，可以获得预重建的局部图像区域Ipr。（32）通过计算原始局部图像区域I和预重建的局部图像区域Ipr之间的像素差异，可以获得由两次舍入操作产生的舍入误差Er。（33）对于每个局部图像区域I，可以通过上述过程嵌入鲁棒水印以获得水印局部区域Iw。在所有局部区域都嵌入水印后，必须收集每个局部区域对应的量化误差Eq和舍入误差Er。为了更准确地确定接收端的水印图像是否受到攻击，将为最终的水印图像Ifw生成一个哈希值H以进行完整性验证。此外，在没有攻击且没有任何辅助信息的情况下，为了实现局部区域的同步，收集选定特征点的位置信息Ml。为了嵌入H和Ml，从鲁棒水印图像中保留h + Ml个像素用于最低有效位（LSB）嵌入，其中h是H的长度。量化误差Eq、舍入误差Er和原始保留像素的LSB Mlsb都以无损方式压缩并嵌入到鲁棒水印图像的非水印区域中。3.3. 水印提取和图像恢复3.3.1. 完整性验证完整性验证是识别水印图像是否受到攻击的必要手段。假设接收端的最终水印图像Ifw是。通过提取并比较嵌入的哈希值H与接收到的水印图像的哈希值，可以完成验证。只有当与H完全相同时，接收到的水印图像才被认为是完整且未受损的。否则，接收到的水印图像被确定为受到攻击的图像。3.3.2. 水印提取和图像恢复在水印嵌入过程中，一个鲁棒的水印被冗余地插入到多个局部圆形区域中。精确定位这些圆形区域对于确保解码器处可靠的水印恢复至关重要。在没有失真的情况下，可以使用机器学习（ML）技术可靠地识别合适的特征点。然而，在对抗性攻击下，使用从每个关键点周围的尺度自适应邻域的局部像素梯度的统计分析中得出的不变特征描述符来唯一地表征和匹配图像更改版本之间的相应特征。由于这些描述符对常见的几何和光度变换具有高稳定性，它们支持攻击前后图像之间的鲁棒对应关系的建立。一旦识别出匹配的关键点，就计算它们相对于图像中心的径向距离；这允许重建由相同半径定义并以恢复的关键点为中心的原始圆形嵌入区域。最后，应用可逆提取程序可以从这些精确定位的区域中忠实地恢复嵌入的鲁棒水印。对于特定的局部嵌入区域，首先计算其BFMs值并使用密钥K获得集合。经过标准化后，得到。可以如下计算：（34）其中。它表示接收端标准化BFMs的幅度，忽略了分数部分的影响。可以根据以下公式提取水印：（35）其中，，。与预重建操作类似，在提取水印信息后，可以使用第3.2节中的方程（30）获得。然后，可以通过第3.2节中的方程（31）和（32）获得Ipr。借助辅助信息Er，可以恢复原始图像。（36）当图像受到对抗性操作时，可逆嵌入方案无法准确恢复辅助数据，从而无法完全重建原始图像。在这种情况下，只有鲁棒水印仍然可以提取。在CSP攻击中——其中失真主要降低整体视觉保真度而不是显著改变局部结构——捕获细粒度梯度模式的特征描述符仍然足够稳定。因此，仍然可以建立特征点之间的可靠对应关系，从而精确定位嵌入鲁棒水印的圆形区域。然后通过方程（35）检索水印符号wi。相比之下，GD攻击引入了非均匀的变换——包括缩放、旋转和裁剪——这些变换会破坏图像区域的空间范围和结构一致性。为了应对这一点，使用从匹配的特征点派生的逆映射应用几何校正过程。由于GD效应在不同局部区域中有所不同，因此在多个局部区域中冗余嵌入相同水印的策略非常有效。在提取过程中，优先考虑那些失真最小的区域——特别是那些较大且位置居中的区域，这些区域保留了更高的完整性。4. 实验结果和分析本章通过一系列实验对所提出的方案进行了全面评估。所有实验都基于从http://dde.binghamton.edu下载的200张大小为512 × 512的灰度图像（访问日期：2026年1月5日），其中图3显示了四张标准测试图像。第4.1节探讨了水印嵌入对图像特征点提取的影响。第4.2节评估了最终水印图像的视觉质量，并量化了所提方案所需的辅助信息。第4.3节进行了五种不同的消融实验，以进一步验证所提方案的有效性。第4.4节将所提方案的鲁棒性与各种GD和CSP攻击方法[7,8,10,12]和[13]进行了比较。所有实验都是在MATLAB（R2023a）中实现的，实验结果图表是由Origin（2024）生成的。所提出的方法涉及以下七个关键参数：（1）对比度阈值λ；（2）局部嵌入区域半径r；（3）权重因子α；（4）最大阶数N；（5）自适应归一化权重的初始值Tstart；（6）用于调整嵌入水印强度的全局参数β；（7）全局调整因子χ。λ是对比度阈值，它决定了候选特征点的数量。如果λ太大，检测到的特征点数量将不足；相反，如果λ太小，则会导致不必要的计算开销。为了获得合适的候选特征点集，建议将λ设置为0.04。r是局部嵌入区域的半径，它决定了局部嵌入区域的大小。根据特征点到图像中心的距离Sd，局部嵌入区域的半径被分为三个级别。嵌入区域既不应重叠也不应过于接近图像边缘区域，这可以通过水印嵌入后的图像进行校准。α是权重因子，它决定了候选特征点与图像中心之间的距离的重要性。如3.1节所述，从最小化被破坏概率的角度来看，需要强调特征点位置的权重。建议将α值设置在一个0到1的范围内。N代表BFM的最大阶数，它决定了BFM的嵌入能力和计算复杂性。可以根据水印嵌入能力获得适当的N值。Tstart是自适应归一化权重的初始值，建议将其设置在一个1000到3000的范围内。β是用于调整嵌入水印强度的全局参数，建议将其设置在一个2到20的范围内。Tstart和β用于控制鲁棒水印图像的不可见性，它们可以通过仿真实验中的PSNR进行校准。χ是全局调整因子。为了确保自适应调整的有效性，防止量化结构的破坏，并在不可察觉性和鲁棒性之间取得平衡，建议将其设置在一个0.1到0.2的范围内，并且可以通过仿真实验中的PSNR指数进行校准。PSNR应控制在37到39 dB的范围内。所有仿真实验都是在MATLAB（R2023a）中实现的。关键参数的总结在表1中呈现。表1. 所提方案的参数设置。

4.1. 水印嵌入对特征点的影响
本小节研究了水印插入后特征点的鲁棒性——这是确保我们提出的水印技术可靠性的一个关键因素。具体来说，水印被嵌入到以预先选定的特征点为中心的几个局部圆形邻域中。由于这一过程修改了空间域中的像素强度，因此有效地引入了类似于针对性攻击的局部扰动。因此，从水印图像中一致地重新检测到原始特征点的能力是评估该方法实际可行性的主要指标。这里的实验旨在评估水印嵌入操作是否会影响这些关键点的重复性和定位稳定性。使用了四张512 × 512的灰度图像，分别是Airplane、Walkbridge、Barbara和Pirate，如图4所示。图4. 四张标准的512 × 512测试图像：(a) Airplane；(b) Walkbridge；(c) Barbara；(d) Pirate。提出了一种新的局部BFM嵌入方法，该方法利用了基于特征点的选择机制。通过仔细调整量化步长，鲁棒的水印图像始终能够实现超过38 dB的PSNR。表2展示了水印嵌入前后特征点的平均位置位移。结果表明几何失真最小——证实了基于特征点的局部嵌入有效地保持了结构完整性。换句话说，虽然水印嵌入对特征点位置引入了轻微的扰动，但其影响远小于裁剪、缩放、旋转或高斯噪声等常见的几何失真。

4.2. 不可察觉性和辅助信息量
选择了四张标准测试图像（如图4所示）以及来自BOSSbase数据集的200张512 × 512大小的灰度图像作为载体图像，并嵌入了相同的128位水印。该方法的量化步长Δ设置为16到22，而在[7]中，Δ设置为24到30。如表3所示，尽管两种方法都能达到相似的视觉保真度，但所提出的方法需要更多的辅助数据。这种更高的辅助数据需求源于我们采用了扩大的量化步长——这是为了在局部嵌入框架内增强鲁棒性的一个关键设计选择。此外，缩小嵌入区域在水印插入过程中引入了更大的近似误差，这放大了辅助信息中的像素级失真，并影响了无损压缩的效果。然而，局部嵌入的一个关键优势——与全局嵌入不同——是它能够可逆地利用额外的非鲁棒区域进行辅助数据嵌入。这种灵活性部分抵消了与增加的辅助信息相关的开销。因此，尽管量化步长较大且辅助信息量增加，最终水印图像的感知质量仍然得到了很好的保持。表3. 在不同量化步长下，Xiang方案与本方案之间的辅助信息比较。结构相似性指数（SSIM）用于衡量两幅图像在亮度、对比度和结构信息方面的相似性。通常，该值越接近1，图像质量越高，失真越小。学习感知图像块相似性（LPIPS）是一种基于深度学习特征的感知相似性度量方法，用于评估两幅图像在人类视觉感知层面的差异。该值越小，两幅图像越相似，视觉质量越好。为了更准确地评估水印图像的不可察觉性，本文采用了SSIM和LPIPS两种度量方法，分别测量带有嵌入水印和辅助信息的最终水印图像与原始图像之间的视觉相似性。以四张标准测试图像为例，如表4所示，所有图像的SSIM值均高于0.98，LPIPS值均低于0.04，表明本文提出的方案获得的水印图像在不可察觉性方面达到了良好的水平。表4. 最终水印图像与原始图像之间的视觉相似性。以Airplane为例。图5展示了I和Ifw之间的差异，其中图像之间的差异被放大了25倍以便更好地观察。

4.3. 消融实验
在本节中，为了进一步通过实验验证所提方案的有效性，进行了五项相关的消融实验，以比较在PSNR约为38 dB时两种方法的鲁棒性表现。考虑到平滑区域和纹理复杂区域的能量波动不同，水印嵌入强度也应不同。在嵌入水印时，使用固定偏移量有一定的缺点。为了解决这个问题，本文提出了一种自适应双阈值量化嵌入方法，该方法根据嵌入系数的频域中的能量波动和纹理复杂性自适应地调整偏移量。为了证明这一点，第一个消融实验是验证带有固定偏移量的嵌入公式和自适应双阈值量化嵌入公式。高质量的特征点在面对图像的各种变化时具有一定的稳定性和鲁棒性，并在图像中起到关键线索的作用。为了证明这一点，第二个消融实验是验证不带特征点选择的多区域水印嵌入方法和带特征点选择的多区域水印嵌入方法，即所提出的方案。使水印抵抗裁剪攻击和其他GD攻击的关键在于保持水印嵌入区域的完整性。与单区域嵌入相比，多区域嵌入可以提高生存率。为了证明这一点，第三个消融实验是验证带特征点选择的单区域水印嵌入方法和带特征点选择的多区域水印嵌入方法，即所提出的方案。与其考虑冗余（即不重复嵌入水印），不如随机将128位水印分割成多个区域进行嵌入。第四个消融实验是验证无重复的水印嵌入和有重复的水印嵌入，即所提出的方案。不同阶数和重复次数的BFM对攻击的鲁棒性不同。为了在相同的嵌入失真下最大化鲁棒性，应该对不同的BFM应用不同的嵌入强度。为了证明这一点，第五个消融实验是验证固定权重策略和自适应权重策略，即所提出的方案。图6设置了七种裁剪攻击类型。缩放攻击的缩放因子范围从0.5到2，间隔为0.1。高斯噪声攻击的方差值范围从0.005到0.3，间隔为0.002。椒盐噪声攻击的方差值范围从0.005到0.3，间隔为0.002。JPEG攻击的压缩质量因子范围从10到100，间隔为10。JPEG2000攻击的压缩比率范围从10:1到100:1，间隔为10。所有六种攻击都在每张图像上进行了测试，并计算了BER。表5、表6、表7、表8和表9总结了BOSSbase数据集中200张灰度图像在不同攻击下的各种方法的鲁棒性结果。表5、表6、表7、表8和表9中的粗体数据代表每种攻击模式的最低BER。实验结果表明，在各种攻击下，自适应双阈值量化嵌入方法的BER远低于固定偏移量嵌入方法。这表明所提出的自适应双阈值量化方法在保持不可察觉性的同时提高了鲁棒性，证明了其有效性。特征点选择方法的BER也低于不带特征点选择的方法，证明了特征点的有效性。多区域嵌入方法的BER也低于单区域嵌入方法，进一步证实了所提出的多区域嵌入RRW方法的有效性。重复水印嵌入方法的BER也低于非重复水印嵌入方法，证实了所提出的重复水印嵌入方法的有效性。自适应加权方法的BER也低于固定加权方法，证明了自适应归一化方法的有效性。图6. 七种裁剪攻击类型：(a) 1/2顶部裁剪；(b) 1/2底部裁剪；(c) 1/2左侧裁剪；(d) 1/2右侧裁剪；(e) 1/3水平裁剪；(f) 1/3垂直裁剪；(g) 1/9中心裁剪。表5. 固定和自适应嵌入方法对各种攻击的鲁棒性。表6. 有和没有特征点选择的方法对各种攻击的鲁棒性。表7. 单区域和多区域方法对各种攻击的鲁棒性。表8. 非重复嵌入和重复嵌入水印方法对各种攻击的鲁棒性。表9. 固定权重和自适应权重方法对各种攻击的鲁棒性。

4.4. 水印的鲁棒性
为了确保比较的公平性，水印图像的峰值信噪比（PSNR）被控制在大约38 dB。图4中的测试图像被用作嵌入相同128位水印的载体图像。在经历了各种攻击（包括缩放、高斯噪声、椒盐噪声、JPEG压缩、JPEG2000压缩和裁剪）之后，就水印提取的误比特率（BER）而言，所提出的方案与[7,8,10,12,13]进行了比较。为了更好地展示所提出方法对裁剪攻击的鲁棒性，对最终的水印图像应用了七种类型的裁剪攻击。以飞机图像为例，这四种测试图像的裁剪攻击结果如图6所示。为了应对广泛的恶意裁剪攻击，设置了七种具体的图像裁剪攻击类型，包括：(1) 从图像顶部裁剪1/2的区域；(2) 从底部裁剪1/2的区域；(3) 从左侧裁剪1/2的区域；(4) 从右侧裁剪1/2的区域；(5) 水平裁剪中心1/3的区域；(6) 垂直裁剪中心1/3的区域；(7) 裁剪中心1/9的区域。图7展示了水印对广泛裁剪的鲁棒性。由于不同裁剪攻击之间的参数设置没有线性关系，水印提取的BER以散点图的形式呈现。横轴代表不同类型裁剪攻击的编号。所比较的五种方案都是最先进的RRW（鲁棒水印）方案，它们的共同特点是都采用了全局内切圆嵌入策略。实验结果表明，当受到任何裁剪攻击时，这五种比较方案都无法成功提取水印，而所提出的方案在大多数攻击中都能成功提取水印。这是因为使用多区域嵌入策略时，只要保留了任何完整的局部水印圆形区域，就可以通过定位嵌入的局部圆形区域来成功提取水印。通过特征点域和矩域的耦合机制，实现了对裁剪攻击的鲁棒性。此外，在这些测试中，不同覆盖图像中局部区域的完整性保持程度各不相同。例如，Walkbridge和Barbara中的局部水印成功抵抗了所有七种类型的裁剪攻击，而Airplane未能通过图6e,g所示的测试。图7将水印对裁剪攻击的鲁棒性与[7,8,10,12,13]进行了比较。(a) 在飞机图像上的比较；(b) 在Walkbridge图像上的比较；(c) 在Barbara图像上的比较；(d) 在Pirate图像上的比较。图8展示了最终水印图像在缩放攻击下的鲁棒性。实验结果表明，所提出的方案基本上能够有效抵抗此类攻击。与其他五种方案相比，所提出的方案在水印提取过程中的比特错误率最低，显示出最佳的鲁棒性。这主要归功于局部嵌入策略和自适应归一化策略。其中，自适应归一化使BFM（Binary Feature Moments）具有良好的尺度不变性，从而显著增强了算法对缩放攻击的抵抗力。图8将水印对缩放攻击的鲁棒性与[7,8,10,12,13]进行了比较。(a) 在飞机图像上的比较；(b) 在Walkbridge图像上的比较；(c) 在Barbara图像上的比较；(d) 在Pirate图像上的比较。图9显示了六种方案在高斯噪声攻击下的鲁棒性比较。随着噪声方差的增加，每种方案的BER都呈现出上升趋势。实验结果表明，所提出的方案在高斯噪声攻击下的鲁棒性略低于[12,13]方案，但优于[7,8]和[10]方案。这表明，与全局水印嵌入方法相比，局部嵌入策略更容易受到高斯噪声的影响。尽管如此，由于BFM出色的抗噪声能力、自适应加权策略在相同失真条件下的鲁棒性最大化，以及自适应双阈值量化方法在确保不可感知性的同时增强鲁棒性，所提出的方案总体上仍然保持了相对良好的抗高斯噪声能力。图9将水印对高斯噪声攻击的鲁棒性与[7,8,10,12,13]进行了比较。(a) 在飞机图像上的比较；(b) 在Walkbridge图像上的比较；(c) 在Barbara图像上的比较；(d) 在Pirate图像上的比较。如图10所示，在椒盐噪声攻击下，所提出的方案在所有比较方法中表现出优越的性能，其BER在所有噪声方差条件下的变化均在6%以内。其优越性能主要归因于BFM比ZM（Zernike Moments）、伪Zernike矩和极坐标谐波变换矩具有更强的抗噪声能力和更好的图像重建性能。此外，自适应加权策略和自适应双阈值量化方法的引入进一步增强了算法的鲁棒性。图10将水印对椒盐噪声攻击的鲁棒性与[7,8,10,12,13]进行了比较。(a) 在飞机图像上的比较；(b) 在Walkbridge图像上的比较；(c) 在Barbara图像上的比较；(d) 在Pirate图像上的比较。如图11所示，在JPEG压缩攻击下，实验结果表明，当质量因子高于20时，所有方案都能实现零比特错误率。当质量因子为10时，所提出的方案在所有比较方法中仍保持最低的比特错误率，显示出优越的鲁棒性。总体而言，所有方案都对JPEG压缩攻击表现出很强的抵抗力。这是由于水印对JPEG的固有抵抗力。此外，为了同时满足高鲁棒性、不可感知性和可逆性的要求，所有方案都采用了两阶段嵌入策略，即鲁棒嵌入和可逆嵌入阶段。图11将水印对JPEG攻击的鲁棒性与[7,8,10,12,13]进行了比较。(a) 在飞机图像上的比较；(b) 在Walkbridge图像上的比较；(c) 在Barbara图像上的比较；(d) 在Pirate图像上的比较。如图12所示，在JPEG2000压缩攻击下，所提出的方案在所有测试的压缩比条件下都能保持BER低于10%。综合比较显示，所提出方案的鲁棒性略低于[12]方案，但优于其他比较方案。原因是当压缩比过高时，嵌入区域的大小对水印的鲁棒性影响更大。在图像质量相似和CSP（Correlation Spread）攻击强度相同的情况下，较大的嵌入区域通常会赋予水印更强的鲁棒性。然而，这种性能权衡对于所提出的方案来说是必要的，以实现抵抗裁剪攻击的能力。尽管如此，由于自适应双阈值量化方法的有效设计，所提出的方案总体上仍然保持了良好的抗高斯噪声能力。图12将水印对JPEG2000攻击的鲁棒性与[7,8,10,12,13]进行了比较。(a) 在飞机图像上的比较；(b) 在Walkbridge图像上的比较；(c) 在Barbara图像上的比较；(d) 在Pirate图像上的比较。实验设置与表5中的设置一致。表10总结了在BOSSbase数据集的200张灰度图像上，不同方案在128位嵌入容量下对各种攻击的鲁棒性结果。表中的粗体数据表示每种攻击的最低BER。实验结果表明，该方案不仅能有效抵抗裁剪攻击，而且在高斯噪声攻击下的BER仅略高于[12,13]，在JPEG2000攻击下的BER略高于[12]。在其他攻击下，该方案的BER在所有方案中最低。这表明该方案对常见攻击和几何攻击具有良好的鲁棒性。表10. 不同方案对不同攻击的鲁棒性实验数据集。5. 结论与展望目前，尽管基于图像矩的RRW（鲁棒水印）研究取得了显著进展，但大多数现有工作将鲁棒水印嵌入到图像的全局内切圆区域，从而主要抵抗旋转和缩放几何攻击。对于裁剪攻击，这类RRW方案仍存在一定的局限性。实现抗裁剪能力的关键在于尽可能保持水印嵌入区域的完整性。因此，多区域嵌入策略具有重要的研究价值。此外，大多数RRW方案使用ZM完成水印嵌入。虽然ZM具有良好的旋转不变性，并能有效抵抗缩放攻击，但它们对CSP攻击的鲁棒性仍然不足。相比之下，BFM（Binary Feature Moments）也属于正交矩，不仅可以很好地抵抗旋转和缩放攻击，而且与ZM相比，还具有更强的抗噪声性能和更好的图像重建能力。基于此，本文提出了一种新的多区域嵌入RRW框架。具体来说，所提出的方案使用特征点提取算法结合综合选择策略，选择图像中以特征点为中心的几个不重叠的局部圆形区域作为水印嵌入区域。对于每个局部圆形区域，在其BFM的幅度中嵌入相同的水印。当图像未受攻击时，提取水印后可以完全恢复原始图像。当受到攻击时，通过安全通道将选定特征点的特征描述符作为辅助信息传输给接收者。利用特征点及其描述符的强匹配能力来逆转水印图像所遭受的GD（几何失真）攻击。这个过程包括确定图像的仿射变换矩阵。在这种情况下，由于辅助信息被破坏，只能进行水印提取。由于采用了多区域嵌入策略，只要保留了任何完整的局部圆形嵌入区域，就可以成功提取水印。通过特征点域和多个区域中的矩域的耦合机制，实现了对裁剪攻击的有效抵抗。为了嵌入不同的BFM系数，本文进一步采用了自适应加权策略，使BFM具有尺度不变性，并在相同的嵌入失真条件下最大化鲁棒性。此外，考虑到平滑区域和复杂纹理区域之间的信息承载能力差异，提出了自适应双阈值量化嵌入方法。该方法通过局部能量分析自适应调整嵌入强度，进一步增强了鲁棒性，同时确保了不可感知性。实验结果表明，与现有的先进RRW方案相比，所提出的方案不仅能有效抵抗裁剪攻击，还对其他GD攻击和CSP攻击表现出良好的鲁棒性。这项研究具有重要的学术价值和实际意义，主要体现在高效整合了高鲁棒性和完全可逆性，这对于医学成像和司法取证等对图像的真实性和完整性要求极高的应用场景尤为重要。在应用方面，它增强了数字图像的数据安全性，同时不会丢失原始信息。此外，这项研究涵盖了信号与图像处理、数字水印、密码学和模式理论等多个跨学科领域，展示了强大的综合性和前沿性。在方法设计方面，它综合运用了正交矩和频率变换等数学工具，为数字图像安全保护领域提供了新的理论支持和技术路径。研究的难点在于，所提出方案中某些参数的设置需要通过大量模拟实验来确定。总体而言，所提出的方案在大多数情况下表现良好。然而，在极少数情况下，一些覆盖图像可能具有较少的特征点或特征点集中在边缘。在这种情况下，调整图像的参数有助于识别更好的局部嵌入区域。如果特征点的质量太低，我们建议更换用于嵌入的载体图像。在我们的研究中，所提出的方案在一定程度上牺牲了对CSP攻击的鲁棒性。这是因为需要减小嵌入区域的大小以减轻裁剪攻击造成的损害。我们相信，通过使用更高性能的矩和特征点类型，可以缓解这个问题，因为提高矩计算精度和增强特征点稳定性可以在一定程度上提高水印的鲁棒性。此外，仍然有可能改进嵌入过程以减少所需的补偿。这些方面将在我们未来的工作中进一步探讨。