关于分数阶微分方程的高效两阶段隐式求解方案：并行OpenMP类型执行及基于学习的初始化方法 Mudassir Shams 和 Bruno Carpentieri

《AppliedMath》：On Efficient Two-Stage Implicit Schemes for Fractional Differential Equations: Parallel OpenMP-Type Execution and Learning-Guided Initializations Mudassir Shams and Bruno Carpentieri

　　摘要
本文提出了一种混合两阶段隐式方案，用于数值求解涉及Caputo导数的分数初值问题。所提出的公式将非线性源项直接纳入时间步进过程，与传统的分数隐式方案相比，提高了稳定性和准确性。所得到的非线性系统采用基于Weierstrass型方法的并行迭代策略进行求解，并结合OpenMP风格的并行化，以确保有效的工作负载分配和加速收敛。此外，引入了一个数据驱动模块来生成高质量的初始猜测值，从而增强了非线性求解器的鲁棒性和效率。主要贡献包括开发了一个统一的分数-并行-数据驱动框架，改善了稳定性特性并扩大了实轴稳定区域，以及通过并行实现和有信息的初始化降低了计算成本。理论分析在标准Lipschitz假设下证明了该方法的一致性、有界性和收敛性。在代表性分数模型上的数值实验表明，与传统的隐式方法相比，所提出的方案具有更高的准确性和更快的效率，误差和迭代次数显著减少。通过增强型ANN的变体，甚至在一系列分数阶数下也能达到接近机器精度的准确性。总体而言，所提出的方法为高效求解非线性分数动力系统提供了一个强大且可扩展的计算框架。

1. 引言
分数微分方程（FDEs）为建模复杂动力系统中的记忆和遗传效应提供了强大的数学框架。与传统的整数阶模型相比，分数算子包含了非局部时间行为，使其特别适合描述异常扩散、粘弹性、生物工程过程和非线性传输现象[1,2,3,4]。从数值角度来看，有效捕捉这些非局部特征仍然是一个关键挑战。在这项工作中，我们开发了一种离散化和求解策略，它在离散层面上明确考虑了分数模型的记忆依赖结构。所提出的方法旨在提高数值解的稳定性和准确性，特别是在非线性动力学存在的情况下。特别是，所提出的方法通过将非线性效应直接嵌入时间步进公式中，与标准分数方案不同。
在各种分数导数的定义中，Caputo导数因其与经典初始条件的兼容性而被广泛采用。考虑以下分数初值问题（FIVP）：
(1)
其中，f是一个非线性映射。这里，Δf表示阶数为α的Caputo分数微分算子。对于α ≠ 1，Caputo分数导数Δfα定义如下[5]：
(2)
对于α = 1，该表达式简化为：
(3)
这里，Γ表示Gamma函数。采用Caputo导数是因为它与经典初始条件的兼容性。特别是，它保持了常数的导数为零的性质，确保了与经典微积分的一致性，并便于制定物理意义上的初值问题。相比之下，其他分数算子如Caputo–Fabrizio和Atangana–Baleanu导数不能以相同的形式保持这一经典性质，这可能会使标准初值问题的制定变得复杂。相比之下，Caputo算子保持了与经典初始条件的兼容性，并具有弱奇异核，为建模遗传动力系统提供了一个一致的框架。
算子Δfα是线性的，并满足以下性质：
线性：
对于α ≠ 1：
幂函数：
对于α = 1：
常数函数：
此外，如果f(x) = c（常数），则Δfα(c) = 0；因此，该算子与经典导数一致。这些性质使得Caputo导数成为本工作中考虑的分数初值问题的制定和数值处理的自然选择。

1.1. 文献综述与动机
传统的分数初值问题的数值方法包括L1方案[6]、分数Adams–Bashforth–Moulton方法[7]、Grünwald–Letnikov离散化[8]以及各种隐式预测器-校正器策略[9,10,11,12]。最近的发展集中在改进Caputo型模型的离散化技术上，包括快速卷积方法、谱方法和更高阶分数方案[13,14,15,16]。
同时，人们也致力于开发高效的分数系统非线性求解器，特别是牛顿型和改进的牛顿迭代方法，以及旨在降低计算成本的并行实现[17,18,19,20]。尽管取得了这些进展，但在准确性、稳定性和计算效率之间取得平衡仍然具有挑战性，特别是对于强非线性问题。
虽然这些方法在适当的规则性假设下是一致且收敛的，但它们通常存在几个局限性：
- 对于刚性非线性系统，稳定区域受到限制；
- 在强非线性存在的情况下，收敛速率降低；
- 由于历史项的存在，记忆和计算成本增加；
- 大规模或并行模拟的可扩展性有限。
隐式分数方案[21]可以提高稳定性，但需要在每个时间步长解决非线性代数系统。实际上，这些系统通常使用传统的牛顿型迭代方法求解[22]，通常没有优化的初始化或显式的工作负载平衡[23,24]，这可能导致收敛缓慢或计算成本增加[25]。
尽管取得了实质性进展，但在分数问题的背景下，同时整合（i）改进的非线性离散化、（ii）高效的并行求解策略和（iii）数据驱动初始化机制的统一框架仍然很大程度上未被探索。

1.2. 研究空白
尽管上述取得了进展，当前文献中仍存在几个具体限制：
在许多分数隐式方案中，非线性源项被显式或半隐式处理，这可能在强非线性情况下降低稳定性和准确性。
每个时间步长产生的非线性代数系统通常使用标准迭代方法求解，通常没有有信息的初始化或显式的收敛控制，导致不必要的计算开销。
尽管已经探索了并行实现，但工作负载分配、求解器参数调整和非线性阶段效率的联合效应尚未在分数问题的统一框架内系统地整合。
这些观察结果激发了开发一个数学上有根据且计算效率高的混合框架的动机，该框架将非线性离散化、并行求解策略和有信息的初始化整合在一个统一的公式中。

1.3. 主要贡献
为了解决上述挑战，本文提出了一种混合两阶段隐式框架，用于分数初值问题，主要贡献包括：
- 一种两阶段隐式分数离散化，它将非线性源效应直接嵌入时间步进公式中，增强了非线性情况下的鲁棒性；
- 一种理论分析，在标准平滑性和Lipschitz假设下证明了所提方案的一致性、有界性和收敛性；
- 一种在OpenMP中实现的并行迭代求解策略，旨在改善非线性阶段的工作负载分配和收敛效率；
- 一种数据驱动的初始化机制的整合，以提供改进的起始猜测值并支持求解器参数调整；
- 一个全面的数值评估，包括误差指标和实轴稳定性分析，证明了所提方法相对于传统分数隐式方案的性能。
总体而言，所提出的方法在一个统一的计算框架中整合了非线性离散化、并行求解策略和有信息的初始化。与通常将离散化和非线性求解阶段解耦的经典方法相比，本方法将非线性源贡献直接嵌入分数更新中。这种耦合导致了对非线性效应的更好处理和更强的收敛行为。这些特点使所提出的方法区别于现有方法[26,27]，并为求解非线性分数动力系统提供了一个高效且稳定的框架。

1.4. 初步概念
设Δx是区间[a, b]的均匀分割，步长为h。方程(1)的通用分数离散化可以表示如下：
(4)
其中ω_i是来自卷积求积的分数权重。此类方案的稳定性通常使用线性测试方程(5)进行分析，该方程在复平面上定义了稳定区域。
收敛性通过证明全局误差ε满足以下条件来评估：
(6)
对于某些依赖于离散化的阶数k。

1.5. 本文结构
本文的组织结构如下：第2节介绍了所提出的混合两阶段隐式方案的公式，并建立了其一致性、收敛性和稳定性特性。第3节描述了ANN辅助的初始化策略及其与并行非线性求解器的集成。第4节通过离散扰动分析对所提方案进行了数值验证。第5节报告了数值结果和性能比较。第6节总结了本研究并指出了未来工作的方向。

2. 混合两阶段隐式分数方案的发展和理论分析
在本节中，我们提出了分数初值问题的两阶段隐式方案的公式和理论分析。设Ω是感兴趣的域，并考虑以下问题：
其中f在g中假设为Lipschitz连续。解在配备了上确界范数的Banach空间L中考虑。
为了完整性和比较，我们首先回顾了经典的Caputo分数后向隐式Euler方案（CFES）[30]。
该方法是一致的，因为…
为了提高准确性，我们考虑了分数梯形两阶段隐式方案（CFTS）[31]，其定义为：
(8)
其中…
局部截断误差满足：
这意味着全局收敛阶数为…
使用调和平均数[32]，我们提出了以下隐式分数阶方案（表示为CFCH?）：
(9)
其中…
规则性假设：假设f在其第二个参数中是Lipschitz连续的，即：
(10)
对于某个常数c。
注1. 所提出的公式适用于一般的非线性源项，无需显式或半隐式分割。权重参数ω_i和ω_j提供了平衡阶段贡献的灵活性，这可能会影响方案的稳定性和误差特性。

2.1. 一致性、有界性、收敛性和稳定性
在本节中，我们分析了所提方案的一致性、有界性、收敛性和稳定性特性。设f满足Lipschitz条件(10)，并假设精确解g足够光滑。
通过分析局部截断误差来建立方法的一致性，而收敛性则基于Lipschitz假设下的标准稳定性论证。
定理1. 设方案由(11)定义，其中…
那么…
证明。分数泰勒展开：
(12)
函数表示：
(13)
展开式：
(14)
级数形式：
(15)
匹配系数得到：
(16)
代入得到：
(17)
因此：
(18)
选择适当的c和h，得到：
(19)
从而：
□

2.1.1. 提出的CFCH?族的具体方案
为了增强非线性情况下分数隐式离散化的鲁棒性，我们引入了一种基于调和平均类型的改进两阶段公式。在更新阶段使用非线性平均数的动机在于它能够在保持方法隐式结构的同时平衡阶段贡献。与传统的分数隐式方案不同，其中阶段组合通常是线性的，所提出的公式旨在改善阻尼行为并减少局部截断误差常数，而不增加函数评估的次数。
因此，我们考虑以下参数化的两阶段隐式调和平均分数方案：
(21)
其中…
局部截断误差分析得到：
(22)
其中C是依赖于f及其分数导数的常数。
施加以下条件：
消除了第一阶项，得到：
这意味着在标准稳定性假设下全局收敛阶数为…
在此约束下，CFCH?族出现了几个可接受的第二阶成员。通过选择满足条件的参数对，可以获得代表性的实例。

2.2. 所提方案的有界性
定理2. 设x_i和x_j是由方案生成的两个数值解，并假设f满足Lipschitz条件(10)。进一步假设x_i和x_j足够接近。那么，对于足够小的h，存在一个常数c，使得…
证明。使用f的Lipschitz连续性，我们首先估计…
从定义中得到：
(26)
重新排列项得到：
对于足够小的h，这意味着…
使用这个估计以及方案的定义，得到：
(27)
其中c是依赖于Lipschitz常数和解的有界性的常数。
通过迭代，我们得到：
这证明了结果。
□

2.3. 所提方案的收敛性
设ε表示全局误差。使用上述局部截断误差估计以及建立的稳定性估计和f的Lipschitz连续性，我们得到递推关系…
对于某个与h无关的常数k。
应用离散Gr?nwall不等式得到：
因此：
对于足够小的h和k，这意味着…
因此所提方案是收敛的，阶数为…
注2. 上述建立的有界性、稳定性和收敛性性质不依赖于参数c和d的具体选择，而仅依赖于方案(21)的结构形式和约束。
因此，所有满足条件的参数对都会生成二阶()收敛、有界且零稳定的隐式分数方案。特别是，CFCH2和CFCH3方案表现出与CFCH1相同的定性行为。
这一观察表明，CFCH?族定义了一类具有共同结构形式的方案。不同的c选择仅影响内部阶段的权重，而不改变收敛阶数或方法的稳定性特性。

2.4. 线性稳定性分析
我们考虑分数测试方程：
将所提出的CFCH?方案应用于此方程，得到以下形式的一步关系：
其中δ表示方法的稳定性函数。经过代数操作后，稳定性函数可以表示为：
(28)
通过将测试方程代入方案并通过直接的代数操作消除中间阶段变量，得到稳定性函数的表达式。绝对稳定区域由以下条件定义：注释：对于某些情况，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理稳定函数，与一阶方案相比，该函数能够在负实轴上表现出更好的阻尼效果，同时保持二阶精度。作为参考，经典隐式方案的稳定函数如下：隐式反向分数阶（CFES）：(29)；隐式梯形分数阶（CFTS）：(30)。所提出的CFCH?系列产生的有理稳定函数对阶段值有非线性依赖性，这可以改善负实轴上的阻尼特性。对于每个选定的参数值，我们列出了稳定区间沿负实轴的量以及数值确定的左端点。端点表示满足条件的z的最小负实数值。计算出的稳定界限在表1中报告，并在图1中示意。图1中使用的稳定函数的详细表达式在附录A的表A1中提供。

绝对稳定区域由以下条件定义：注释：对于某些参数，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理稳定函数，与一阶方案相比，该函数能够在负实轴上表现出更好的阻尼效果，同时保持二阶精度。作为参考，经典隐式方案的稳定函数如下：隐式反向分数阶（CFES）：(29)；隐式梯形分数阶（CFTS）：(30)。所提出的CFCH?系列产生的有理稳定函数对阶段值有非线性依赖性，这可以改善负实轴上的阻尼特性。对于每个选定的参数值，我们列出了稳定区间沿负实轴的量以及数值确定的左端点。端点表示满足条件的z的最小负实数值。计算出的稳定界限在表1中报告，并在图1中示意。图1中使用的稳定函数的详细表达式在附录A的表A1中提供。

绝对稳定区域由以下条件定义：注释：对于某些参数，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理稳定函数，与一阶方案相比，该函数能够在负实轴上表现出更好的阻尼效果，同时保持二阶精度。作为参考，经典隐式方案的稳定函数如下：隐式反向分数阶（CFES）：(29)；隐式梯形分数阶（CFTS）：(30)。所提出的CFCH?系列产生的有理稳定函数对阶段值有非线性依赖性，这可以改善负实轴上的阻尼特性。对于每个选定的参数值，我们列出了稳定区间沿负实轴的量以及数值确定的左端点。端点表示满足条件的z的最小负实数值。计算出的稳定界限在表1中报告，并在图1中示意。图1中使用的稳定函数的详细表达式在附录A的表A1中提供。

该区域由以下条件定义：注释：对于某些参数，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理稳定函数，与一阶方案相比，该函数能够在负实轴上表现出更好的阻尼效果，同时保持二阶精度。作为参考，经典隐式方案的稳定函数如下：隐式反向分数阶（CFES）：(29)；隐式梯形分数阶（CFTS）：(30)。所提出的CFCH?系列产生的有理稳定函数对阶段值有非线性依赖性，这可以改善负实轴上的阻尼特性。对于每个选定的参数值，我们列出了稳定区间沿负实轴的量以及数值确定的左端点。端点表示满足条件的z的最小负实数值。计算出的稳定界限在表1中报告，并在图1中示意。图1中使用的稳定函数的详细表达式在附录A的表A1中提供。

该区域由以下条件定义：注释：对于某些参数，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理稳定函数，与一阶方案相比，该函数能够在负实轴上表现出更好的阻尼效果，同时保持二阶精度。作为参考，经典隐式方案的稳定函数如下：隐式反向分数阶（CFES）：(29)；隐式梯形分数阶（CFTS）：(30)。所提出的CFCH?系列产生的有理稳定函数对阶段值有非线性依赖性，这可以改善负实轴上的阻尼特性。对于每个选定的参数值，我们列出了稳定区间沿负实轴的量以及数值确定的左端点。端点表示满足条件的z的最小负实数值。计算出的稳定界限在表1中报告，并在图1中示意。图1中使用的稳定函数的详细表达式在附录A的表A1中提供。

该区域由以下条件定义：注释：对于某些参数，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理稳定函数，与一阶方案相比，该函数能够在负实轴上表现出更好的阻尼效果，同时保持二阶精度。作为参考，经典隐式方案的稳定函数如下：隐式反向分数阶（CFES）：(29)；隐式梯形分数阶（CFTS）：(30)。所提出的CFCH?系列产生的有理稳定函数对阶段值有非线性依赖性，这可以改善负实轴上的阻尼特性。对于每个选定的参数值，我们列出了稳定区间沿负实轴的量以及数值确定的左端点。端点表示满足条件的z的最小负实数值。计算出的稳定界限在表1中报告，并在图1中示意。图1中使用的稳定函数的详细表达式在附录A的表A1中提供。

该区域由以下条件定义：注释：对于某些参数，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理稳定函数，与一阶方案相比，该函数能够在负实轴上表现出更好的阻尼效果，同时保持二阶精度。作为参考，经典隐式方案的稳定函数如下：隐式反向分数阶（CFES）：(29)；隐式梯形分数阶（CFTS）：(30)。所提出的CFCH?系列产生的有理稳定函数对阶段值有非线性依赖性，这可以改善负实轴上的阻尼特性。对于每个选定的参数值，我们列出了稳定区间沿负实轴的量以及数值确定的左端点。端点表示满足条件的z的最小负实数值。计算出的稳定界限在表1中报告，并在图1中示意。图1中使用的稳定函数的详细表达式在附录A的表A1中提供。

该区域由以下条件定义：注释：对于某些参数，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理稳定函数，与一阶方案相比，该函数能够在负实轴上表现出更好的阻尼效果，同时保持二阶精度。作为参考，经典隐式方案的稳定函数如下：隐式反向分数阶（CFES）：(29)；隐式梯形分数阶（CFTS）：(30)。所提出的CFCH?系列产生的有理稳定函数对阶段值有非线性依赖性，这可以改善负实轴上的阻尼特性。对于每个选定的参数值，我们列出了稳定区间沿负实轴的量以及数值确定的左端点。端点表示满足条件的z的最小负实数值。计算出的稳定界限在表1中报告，并在图1中示意。图1中使用的稳定函数的详细表达式在附录A的表A1中提供。

该区域由以下条件定义：注释：对于某些参数，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理稳定函数，与一阶方案相比，该函数能够在负实轴上表现出更好的阻尼效果，同时保持二阶精度。作为参考，经典隐式方案的稳定函数如下：隐式反向分数阶（CFES）：(29)；隐式梯形分数阶（CFTS）：(30)。所提出的CFCH?系列产生的有理稳定函数对阶段值有非线性依赖性，这可以改善负实轴上的阻尼特性。对于每个选定的参数值，我们列出了稳定区间沿负实轴的量以及数值确定的左端点。端点表示满足条件的z的最小负实数值。计算出的稳定界限在表1中报告，并在图1中示意。图1中使用的稳定函数的详细表达式在附录A的表A1中提供。

该区域由以下条件定义：注释：对于某些参数，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理稳定函数，与一阶方案相比，该函数能够在负实轴上表现出更好的阻尼效果，同时保持二阶精度。作为参考，经典隐式方案的稳定函数如下：隐式反向分数阶（CFES）：(29)；隐式梯形分数阶（CFTS）：(30)。所提出的CFCH?系列产生的有理稳定函数对阶段值有非线性依赖性，这可以改善负实轴上的阻尼特性。对于每个选定的参数值，我们列出了稳定区间沿负实轴的量以及数值确定的左端点。端点表示满足条件的z的最小负实数值。计算出的稳定界限在表1中报告，并在图1中示意。图1中使用的稳定函数的详细表达式在附录A的表A1中提供。

该区域由以下条件定义：注释：对于某些参数，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理稳定函数，与一阶方案相比，该函数能够在负实轴上表现出更好的阻尼效果，同时保持二阶精度。作为参考，经典隐式方案的稳定函数如下：隐式反向分数阶（CFES）：(29)；隐式梯形分数阶（CFTS）：(30)。所提出的CFCH?系列产生的有理稳定函数对阶段值有非线性依赖性，这可以改善负实轴上的阻尼特性。对于每个选定的参数值，我们列出了稳定区间沿负实轴的量以及数值确定的左端点。端点表示满足条件的z的最小负实数值。计算出的稳定界限在表1中报告，并在图1中示意。图1中使用的稳定函数的详细表达式在附录A的表A1中提供。

该区域由以下条件定义：注释：对于某些参数，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理稳定函数，与一阶方案相比，该函数能够在负实轴上表现出更好的阻尼效果，同时保持二阶精度。作为参考，经典隐式方案的稳定函数如下：隐式反向分数阶（CFES）：(29)；隐式梯形分数阶（CFTS）：(30)。所提出的CFCH?系列产生的有理稳定函数对阶段值有非线性依赖性，这可以改善负实轴上的阻尼特性。对于每个选定的参数值，我们列出了稳定区间沿负实轴的量以及数值确定的左端点。端点表示满足条件的z的最小负实数值。计算出的稳定界限在表1中报告，并在图1中示意。图1中使用的稳定函数的详细表达式在附录A的表A1中提供。

该区域由以下条件定义：注释：对于某些参数，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理稳定函数，与一阶方案相比，该函数能够在负实轴上表现出更好的阻尼效果，同时保持二阶精度。作为参考，经典隐式方案的稳定函数如下：隐式反向分数阶（CFES）：(29)；隐式梯形分数阶（CFTS）：(30)。所提出的CFCH?系列产生的有理稳定函数对阶段值有非线性依赖性，这可以改善负实轴上的阻尼特性。对于每个选定的参数值，我们列出了稳定区间沿负实轴的量以及数值确定的左端点。端点表示满足条件的z的最小负实数值。计算出的稳定界限在表1中报告，并在图1中示意。图1中使用的稳定函数的详细表达式在附录A的表A1中提供。

该区域由以下条件定义：注释：对于某些参数，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理稳定函数，与一阶方案相比，该函数能够在负实轴上表现出更好的阻尼效果，同时保持二阶精度。作为参考，经典隐式方案的稳定函数如下：隐式反向分数阶（CFES）：(29)；隐式梯形分数阶（CFTS）：(30)。所提出的CFCH?系列产生的有理稳定函数对阶段值有非线性依赖性，这可以改善负实轴上的阻尼特性。对于每个选定的参数值，我们列出了稳定区间沿负实轴的量以及数值确定的左端点。端点表示满足条件的z的最小负实数值。计算出的稳定界限在表1中报告，并在图1中示意。图1中使用的稳定函数的详细表达式在附录A的表A1中提供。

该区域由以下条件定义：注释：对于某些参数，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理稳定函数，与一阶方案相比，该函数能够在负实轴上表现出更好的阻尼效果，同时保持二阶精度。作为参考，经典隐式方案的稳定函数如下：隐式反向分数阶（CFES）：(29)；隐式梯形分数阶（CFTS）：(30)。所提出的CFCH?系列产生的有理稳定函数对阶段值有非线性依赖性，这可以改善负实轴上的阻尼特性。对于每个选定的参数值，我们列出了稳定区间沿负实轴的量以及数值确定的左端点。端点表示满足条件的z的最小负实数值。计算出的稳定界限在表1中报告，并在图1中示意。图1中使用的稳定函数的详细表达式在附录A的表A1中提供。

该区域由以下条件定义：注释：对于某些参数，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理稳定函数，与一阶方案相比，该函数能够在负实轴上表现出更好的阻尼效果，同时保持二阶精度。作为参考，经典隐式方案的稳定函数如下：隐式反向分数阶（CFES）：(29)；隐式梯形分数阶（CFTS）：(30)。所提出的CFCH?系列产生的有理稳定函数对阶段值有非线性依赖性，这可以改善负实轴上的阻尼特性。对于每个选定的参数值，我们列出了稳定区间沿负实轴的量以及数值确定的左端点。端点表示满足条件的z的最小负实数值。计算出的稳定界限在表1中报告，并在图1中示意。图1中使用的稳定函数的详细表达式在附录A的表A1中提供。

该区域由以下条件定义：注释：对于某些参数，该方案简化为经典的整数阶隐式方法。随着参数的变化，稳定区域会收缩，这反映了分数阶记忆效应的影响。不同的参数选择会影响稳定区域的详细形状，同时保持其一般的定性行为。作为比较，经典的分数阶方案具有以下稳定函数：CFCH?系列产生了一个有理总体而言，CFCH系列在准确性和计算效率之间提供了良好的平衡，与标准的分式方案相比，显示出更强的收敛行为。为了验证定理1中建立的理论收敛结果，我们对提出的CFCHj方案进行了系统的收敛性测试，该方案应用于分数阶热粘弹性模型（34）。目的是确认观察到的数值收敛速率与理论预测一致。用h表示时间步长，并定义最大误差如下：（39）收敛的实验阶数（EOC）的计算方法如下：（40）下表报告了随着步长减小时的收敛行为。表3中呈现的数值结果显示，实验计算出的收敛速率与定理1中推导出的理论预测非常吻合。特别是，随着步长的减小，EOC值趋近于2，这证实了所提出的CFCHj方案对于所考虑的分数问题的二阶收敛行为。这些发现验证了所提出的数值框架的准确性和可靠性。此外，这里观察到的误差减少与表2中报告的准确性趋势一致，进一步支持了该方法的整体收敛特性。表4比较了不同分数阶下所考虑的隐式方案的性能。结果表明，CFCH2和CFCH3方案在所有测试值下始终比CFES和CFTS实现了更小的最大误差。例如，在某个值时，CFES的最大误差为，而CFCH3将其降低到，相当于大约的改进。在另一个值时，CFTS显示出较大的误差，而CFCH3将误差限制在。除了提高准确性外，CFCH方案还展示了有竞争力的计算性能。特别是，CFCH3在某个值时只需要640次总函数调用（TFC），而CFES需要678次，表明计算工作量有所减少。总体而言，CFCH2和CFCH3在考虑的分数阶范围内提供了准确性和效率之间的良好平衡，支持了它们在分数阶热粘弹性问题上的有效性。表5显示，所提出的CFCHj方案实现了非常小的最大误差，表明了高近似精度。相应的误差范数也显著降低到，证实了该方法的高全局准确性。低迭代次数（It-Count = 3）表明非线性求解器收敛迅速，而报告的百分比改进（）反映了计算效率的提高。这些结果与图5b中显示的误差剖面一致，其中绝对误差在整个域内保持均匀较小。总体而言，所提出的方案表现出高准确性、快速收敛性和稳健的数值性能。

基于ANN的框架：FOEVP-I的数值结果
图6a、b和图7以及表6展示了ANN辅助的CFCH?方案在FOEVP-I中的性能。这些结果突出了神经网络的训练行为及其对方案整体数值准确性的影响。图6显示了ANN-CFCH?框架解决（34）时的训练和过渡统计信息。面板（a）显示了均方误差（MSE）的演变，而面板（b）报告了梯度、阻尼参数和验证行为。图7显示了不同分数参数的误差直方图，说明了绝对误差的衰减以及ANN-CFCH?方案的高数值精度。较低的值对应较大的误差，而较高的值则产生越来越精确的近似值。表6显示了ANN-CFCH?方案解决（34）时的误差和收敛指标。图6a中的训练曲线显示均方误差（MSE）迅速减小，在210个周期后达到大约。训练曲线、验证曲线和测试曲线的紧密对齐表明了神经网络的学习行为稳定，以及良好的泛化能力。图6b进一步确认了训练过程的收敛，因为梯度范数和自适应学习参数分别稳定地减小到和。这些结果表明网络参数已经达到稳定配置，且ANN为非线性求解器提供了可靠的初始猜测。图7中的误差直方图显示了不同分数阶的绝对误差分布。随着的增加，误差分布越来越集中在零附近，表明数值精度得到了提高。对于较大的值，该方法实现了接近机器精度的准确性，而对于较小的值，误差仍然略大，但仍在非常小的范围内。表6中报告的定量指标证实了ANN-CFCH?框架的高准确性和效率。低MSE和小的梯度值反映了基于ANN的初始化的有效性，而适度的计算时间表明改进的收敛是在没有过多开销的情况下实现的。总体而言，ANN辅助的初始化显著增强了非线性求解器的收敛行为，并与文献中报告的经典初始化策略相比提高了准确性。

5.2. 应用：具有长记忆材料的智能热调节
在先进的热工程应用中[35]，例如：
- 相变热存储系统；
- 热粘弹性复合材料；
- 纳米结构绝缘层；
- 自适应热屏蔽。
温度演变强烈依赖于过去的热暴露。具有内部微结构的材料能够存储热能，导致热量释放延迟和明显的非局部时间效应（见图8）。传统的整数阶模型通常不足以描述这种遗传行为，而分数阶微积分提供了一个自然且有效的框架来结合热记忆。图8显示了分数阶热调节系统的结构控制图。系统动态包括一个Caputo分数阶导数，用于模拟热记忆效应。反馈回路确保温度跟踪，同时考虑了遗传热存储。用表示温度偏离平衡状态，其中x代表时间。对于某个值，考虑修改后的分数阶热系统（CFIVP-II）：
（41）
其中：
- 是热耗散系数；
- 表示Caputo分数阶导数；
- 是双参数Mittag–Leffler函数（MLF）。
相应的解析解由（42）给出
这个解反映了两种不同热机制之间的相互作用：多项式加热贡献和由Mittag–Leffler函数控制的记忆驱动的耗散响应。后者引入了分数阶热系统特有的长时间松弛效应。

工程解释
对于某个值，解简化为：
这表现出经典的指数型热衰减。
对于另一个值，衰减遵循Mittag–Leffler行为，比指数型慢，反映了长记忆效应。
第二项引入了额外的耗散贡献，导致更丰富的瞬态动态，包括延迟稳定。
长时间行为是代数的：
这表明了持久的热记忆。

表7、表8、表9和表10比较了使用CFES、CFTS和CFCH1–CFCH3获得的精确解和数值解。相应的精确解和近似解以及（41）的误差剖面在图9a、b中展示。表7总结了应用于（41）的所提出分数阶方案的准确性指标和计算性能。表8显示了应用于（41）的CFCHj方案的收敛测试结果。表9显示了五种隐式方案在（41）中不同分数阶的性能。表10显示了带有OpenMP类型实现的CFCHj方案在（41）中的性能指标。图9显示了分数阶问题（41）的精确解和数值解以及相应的绝对误差分布。（a）精确解和数值解之间的比较。（b）对应于（41）的数值解的绝对误差剖面。在表7中，CFCH2和CFCH3方案始终优于经典方法。例如，CFES的最大误差为，而CFCH3将其降低到，相当于大约25倍的减少。同样，误差从减少到。这些结果证明了所提出方案的准确性提高和全局误差传播的减少。

收敛的实验阶数（EOC）是使用（40）计算的。下表报告了随着步长减小时的收敛行为。表8中的结果显示，随着步长的减小，最大误差一致减少。计算出的EOC值趋近于2，证实了CFCH1方案预期的二阶收敛行为。尽管与CFCH2相比误差幅度略高，但该方法在所有网格细化过程中都表现出可靠且一致的收敛性。这种行为与定理1中建立的理论收敛结果一致，并且得到了表7中报告的误差趋势的进一步支持。表9显示，与CFES和CFTS相比，CFCH2和CFCH3方案显著降低了最大误差。例如，在某个值时，CFES的最大误差为，而CFCH3将其降低到，相当于误差幅度的显著减少。在另一个值时，CFTS显示出较大的误差，而CFCH3将误差限制在。除了提高准确性外，CFCH方案还展示了提高的计算效率。例如，CFCH3在某个值时只需要622次总函数调用，而CFES需要689次，表明计算工作量有所减少。总体而言，CFCH2和CFCH3在考虑的分数阶范围内提供了准确性和效率之间的良好平衡。

表10显示，所提出的CFCHj方案仅使用两次非线性迭代就实现了非常小的最大误差，表明求解器收敛迅速。相应的误差范数也极小，证实了该方法的高准确性。报告的百分比改进（）表明在保持高解决方案准确性的同时减少了计算工作量。这些结果与图9b中显示的误差剖面一致，其中绝对误差在整个计算域内保持均匀较小。总体而言，所提出的方案表现出快速收敛、高准确性和稳健的数值性能。

基于ANN的框架：FOEVP-II的数值结果
图10a、b和图11以及表11展示了ANN-CFCH?方案在FOEVP-II中的性能。这些结果证明了所提出混合框架的高精度收敛性和稳健性。图10显示了ANN-CFCH?混合框架解决（41）时的训练和过渡统计信息。面板（a）显示了训练期间均方误差的演变，而面板（b）报告了梯度范数、自适应参数和验证检查。图11显示了不同分数参数的误差直方图，说明了绝对误差的快速衰减以及ANN-CFCH?方案实现的高数值精度。较大的值导致误差接近机器精度。表11显示了ANN-CFCH?方案解决（41）时的误差和收敛指标。从图10a、b可以看出，ANN-CFCH?框架表现出稳定且一致的训练行为。均方误差迅速减小，并达到大约的值，而梯度范数和自适应参数分别衰减到和。这表明训练过程稳定且收敛可靠。

图11和表11进一步证实了所提出方法在分数阶上的高数值精度。随着的增加，绝对误差逐渐接近机器精度，而较小的值产生的误差虽然略大，但仍然非常小。总体而言，与传统的ISBF方法（通常产生的MSE在范围内）相比，ANN-CFCH?方案在非线性分数阶热粘弹性杆问题上表现出显著提高的准确性和更快的收敛速度。

5.3. 非局部和依赖记忆的问题[36]
分数阶松弛方程自然出现在具有遗传（记忆）效应的材料和系统中。与传统的阶数一松弛模型不同，分数阶模型通过一个弱奇异卷积核纳入了状态变量的整个过去历史（见图12）。图12显示了具有Caputo记忆、加热器输入和热耗散的分数阶热控制系统的物理示意图。这样的模型出现在：
- 粘弹性应力松弛；
- 复合介质中的介电极化；
- 具有热记忆的材料中的热传递；
- 多孔或分形结构中的扩散过程。
在这种情况下，强迫项被构造为诱导由Mittag–Leffler函数控制的非平凡的记忆驱动响应。我们考虑Caputo分数阶初值问题（CFIVP-III）：
（43）
其中，
，和。
强迫函数定义如下：
其中是非整数，确保了非多项式响应。

精确解析解
（43）的精确解由（44）给出
其中表示单参数Mittag–Leffler函数。

数值结果在表12、表13、表14和图13a、b中报告。表12总结了应用于（43）的所提出分数阶方案的准确性指标和计算性能。表13显示了应用于（43）的CFCHj方案的收敛测试结果。表14显示了五种隐式方案在（43）中不同分数阶的性能。表15显示了带有OpenMP类型实现的CFCHj方案在（43）中的性能指标。图13显示了分数阶问题（43）的精确解和数值解以及相应的绝对误差分布。（a）精确解和数值解之间的比较。（b）对应于（43）的数值解的绝对误差剖面。

5.4. 讨论
表12进一步支持了所提出方案的有效性。CFTS方法表现出相对较大的误差（），而CFCH3的误差为，相当于改进了两个数量级以上。同样，范数从（CFES）减小到（CFCH3），表明全局误差常数显著降低。这些结果表明，反对谐校正有效地减少了主要的截断误差项，同时提高了数值解的整体稳定性和准确性。实验收敛阶数（EOC）是使用（40）计算得出的。表13报告了随着步长减小收敛行为的变化。表13显示，随着步长的减小，误差明显降低。在初始的预渐近阶段之后（由EOC值1.53反映），观察到的收敛速率迅速稳定在2左右，这证实了定理1中预测的理论收敛阶数。结果表明，与其他CFCH?家族成员相比，CFCH3方案实现了更小的误差常数，同时保持了相同的理论收敛阶数。误差衰减在连续细化过程中是平滑且均匀的，证明了对于更细的离散化具有稳健的数值性能。此外，这里观察到的误差减少与表12中报告的准确性趋势一致，为理论分析提供了额外的验证。表14比较了不同分数阶数的隐式方案的性能。结果表明，CFCH2和CFCH3方案在所有测试的值中都一致地实现了比CFES和CFTS更低的最大误差。例如，在某个值处，CFES的最大误差为某个值，而CFCH3将其降低到另一个值，相当于大约的改进。在另一个值处，观察到了更明显的差异，其中CFTS显示出较大的误差，而CFCH3将误差限制在另一个值。除了提高准确性外，CFCH方案还展示了有竞争力的计算性能。特别是，CFCH3在某个值处需要616次总函数调用（TFC），而CFES需要682次，表明计算工作量有所减少。这些结果强调，尽管所有CFCH?方案都具有相同的理论收敛阶数，但参数的选择会影响误差常数和计算效率。特别是，CFCH2和CFCH3在考虑的分数阶数范围内提供了准确性和效率之间的有利平衡。表15报告了一个极小的最大误差，表明与之前测试问题中获得的相应结果相比有显著改进，并在图13b中进行了说明。收敛率的百分比提高（92.13%）进一步证实了所提出方案稳定性的增强。此外，减少的CPU时间（2.9873秒）和内存使用量（125.84 KB）表明，这种准确性的提高是在不增加整体计算复杂性的情况下实现的。这些结果突出了CFCH?框架在提供高精度解决方案的同时保持计算效率方面的有效性。

基于ANN的框架：FOEVP-III的数值结果
ANN-CFCH?方案对于FOEVP-III的高精度收敛性和准确性在图14a、b和图15以及表16中得到了说明。图14的(a,b)面板报告了用于解决（43）的ANN-CFCH?混合框架的训练和过渡统计信息。图15显示了不同分数参数的误差直方图，说明了绝对误差的衰减以及ANN-CFCH?方案的高数值精度。较小的分数值对应于略大的误差，而某个分数值接近机器精度。表16显示了用于解决（43）的ANN-CFCH?方案的误差和收敛指标。图14a,b展示了训练、验证和测试曲线之间的一致性，表明ANN组件的稳健收敛。最佳验证性能在训练期间达到了大约某个值，而表16中报告的最终预测准确性实现了某个误差。梯度范数和自适应学习率分别降低到某个值和另一个值，证实了稳定的优化行为。图15和表16进一步表明，对于较大的分数值，ANN-CFCH?方案达到了接近机器精度，而较小的分数值产生的误差虽然略大但仍然非常小。与传统的ISBF方法（通常产生的MSE在某个范围内）相比，ANN增强方法展示了改进的收敛行为和更高的解决方案准确性。

5.5. 示例：非均匀非线性分数IVP
为了说明所提出的CFCHj家族在缺乏精确解的现实问题中的适用性，考虑以下非线性、非均匀分数初值问题（CFIVP-IV）：
（45）
其中表示某个阶数的Caputo导数。
备注：源项使得问题变得非均匀，而非线性项引入了二次非线性。没有封闭形式的精确解，这使得这个问题适合评估数值方案的稳健性和收敛行为。表17提供了所考虑分数方案的数值准确性和计算性能的比较。观察到CFCH2和CFCH3变体相比传统方法实现了更高的准确性，其中CFCH3实现了最低的最大误差和范数。特别是，CFCH3将最大误差从（CFES）降低到某个值，显示出一致性的近似质量改进。表17显示了应用于（45）的分数方案的准确性和计算性能比较。就计算效率而言，所有方法展示了可比的执行时间，反对谐校正仅引入了边际开销。总体而言，结果表明CFCH2和CFCH3方案在准确性和计算成本之间提供了有利的平衡，使它们适用于非线性分数动力系统的数值模拟。实验收敛阶数（EOC）是使用（40）计算得出的。下表报告了随着步长减小收敛行为的变化。表18中的结果表明，随着步长的减小，最大误差一致减小。计算出的EOC值接近2，证实了CFCHj方案预期的二阶收敛行为。误差减少在所有网格细化过程中是平滑且单调的，表明数值性能稳定。表18显示了应用于（45）的CFCHj方案的收敛测试结果。还观察到表17中随着步长减小误差的减少与定理1中报告的收敛行为一致。表19进一步证实了所提出的CFCHj方案的改进数值性能。例如，在某个值处，最大误差从（CFES）降低到（CFCH3），相当于大约的减少。同样，对于另一个值，误差从（CFES）降低到（CFCH3），表明减少了超过某个百分比。表19显示了（45）中不同分数阶数的隐式方案的性能比较。就计算效率而言，CFCH3实现了更低的CPU时间和减少的总函数调用（TFCs）。例如，在某个值处，CFCH3需要602次函数调用，而CFES需要670次，相当于大约的减少。存储成本在所有方法之间保持可比，表明内存需求相似。总体而言，结果表明所提出的CFCHj方案在准确性和计算成本之间提供了有利的平衡，且在所有分数阶数上都实现了一致的误差减少和效率提升。表20和图16a,b表明所提出的CFCHj方案实现了最大误差为某个阶数，范数为某个阶数，证实了计算解决方案的高数值准确性。和的减少与理论收敛行为一致。观察到的性能改进大约进一步突出了混合并行框架在加速隐式分数方案的同时保持数值准确性的有效性。

基于ANN的框架：FOEVP-IV的数值结果
ANN-CFCH?方案对于FOEVP-III的高精度收敛性和准确性在图14a、b和图15以及表16中得到了说明。图14的(a,b)面板报告了用于解决（43）的ANN-CFCH?混合框架的训练和过渡统计信息。图15显示了不同分数参数的误差直方图，说明了绝对误差的衰减以及ANN-CFCH?方案的高数值精度。较小的分数值对应于略大的误差，而某个分数值接近机器精度。表16显示了用于解决（43）的ANN-CFCH?方案的误差和收敛指标。图14a,b展示了训练、验证和测试曲线之间的一致性，表明ANN组件的稳健收敛。最佳验证性能在训练期间达到了大约某个值，而表16中报告的最终预测准确性实现了某个误差。梯度范数和自适应学习率分别降低到某个值和另一个值，证实了稳定的优化行为。图15和表16进一步表明，对于较大的分数值，ANN-CFCH?方案实现了接近机器精度，而较小的分数值产生的误差虽然略大但仍然非常小。与传统的ISBF方法（通常产生的MSE在某个范围内）相比，ANN增强方法展示了改进的收敛行为和更高的解决方案准确性。

6. 结论
本研究提出了一类隐式两阶段分数方案，称为CFCHj，用于分数阶初值问题（FOIVPs）的数值近似。理论分析在Lipschitz连续性假设下建立了有界性和扰动稳定性，从而确保了离散公式的一致性。所提出方案的一致性以及零稳定性保证了经典Dahlquist框架意义上的收敛性（表1和图1）。表2、表3、表4、表5、表6、表7、表8、表9、表10、表11、表12、表13、表14、表15、表16、表17、表18、表19、表20和表21中的数值验证表明，初始条件的微小扰动在离散解中产生均匀有界的偏差，即对于某个与步长h无关的常数。针对不同分数阶数的计算实验（见表4、表9、表14和表19）表明，所提出的混合隐式公式实现了：与传统的隐式方案CFES和CFTS相比，最大误差减少；在CPU时间和函数评估方面计算效率提高；在不同分数阶数下数值行为稳定；ANN-CFCH?框架在所有测试问题中的稳健性能（表6、表11、表16和表21）；对于较大的分数阶数，接近机器精度的准确性，残差衰减迅速（图7、图11、图15和图18）；与传统的迭代方法相比，ANN-CFCH?方案的收敛行为得到增强。特别是，所提出的CFCHj方案将最大误差从（CFES）降低到大约某个值，取决于分数阶数。ANN增强的CFCH?方案进一步提高了准确性，实现了平均平方误差在某个范围内，具有稳定的收敛行为。通过parfor实现的并行MATLAB（R2023a）进一步减少了计算时间，同时保持了方法的数值属性（表5、表10、表15和表21）。特别是，与参考方案相比，计算效率提高了大约某个百分比，同时在所有测试的分数阶数上保持了稳定性和准确性。总体而言，所提出的ANN增强CFCHj框架提供了数据驱动初始化与结构保持的分数时间步进的一致集成。这种混合策略为非线性分数动力系统的数值解提供了一种有前景且高效的方法，并建议将其扩展到更复杂的模型，包括高维问题和耦合分数系统。

6.1. 局限性
尽管所提出的CFCHj和ANN-CFCH?框架的性能良好，但仍应注意到几个局限性：
- 理论分析依赖于f的全局Lipschitz连续性，这对于强非线性、非平滑或不连续的分数系统可能不成立。
- 稳定性分析仅限于标量FOIVPs。扩展到多维或耦合系统需要额外的谱分析和基于矩阵的分析，特别是在存在刚度的情况下。
- 分数导数的非局部性质导致随着时间步数的增加而增加内存和计算成本，这可能限制长时间模拟的可扩展性。
- ANN组件是离线训练的，其性能取决于训练数据的代表性，这可能会影响对未见问题类别的泛化。

6.2. 未来方向
未来的研究方向包括：
- 将稳定性和收敛性分析扩展到非线性多维和耦合分数系统；
- 开发自适应步长和误差控制策略，以在保持准确性的同时提高效率；
- 设计保持零稳定性和稳健性的高阶隐式分数方案；
- 结合快速卷积和内存减少技术（例如，短记忆原则或基于FFT的方法）来减轻分数运算符的计算负担；
- 为混合ANN-数值方案建立严格的先验和后验误差估计，特别是在刚性较强的情况下；
- 探索ANN初始化策略在不同类别的分数微分方程中的泛化和可转移性。