一种基于混合分析技术的优化框架，用于精准农业中特定区域的场地管理

《Decision Analytics Journal》：A hybrid analytics-driven optimization framework for site-specific zone management in precision agriculture

　　路易斯·E·乌尔班-里维罗 | 乔纳斯·贝拉斯科
墨西哥墨西哥城墨西哥自治技术学院工业与运筹工程系

**摘要**
在精准农业中，特定地点管理区（SSMZ）的划分是一个关键决策问题，其目标是将田地划分为尽可能少的空间连续区域，同时确保区域内的一致性达到预定水平。现有方法面临一个根本性的权衡：精确优化模型能够保证最优性，但受到指数级内存需求的限制且可扩展性较差；而启发式和元启发式方法虽然速度快，但依赖于参数调整且缺乏质量保证。为了解决这些限制，本研究提出了一种基于混合分析的优化框架，该框架包含三个组成部分。首先，一种基于懒惰约束的混合整数非线性规划（MINLP）公式在分支剪枝过程中动态生成连通性约束，避免了指数级的枚举。其次，两种无参数的断开启发式方法H1和H2利用可行解的生成树结构，在亚秒时间内生成接近最优的划分结果。第三，混合策略将启发式解作为温启动点，用于基于流和基于懒惰约束的MINLP公式。在合成和真实农业数据集上的计算实验表明，当α=0.9时，H2的平均相对误差范围为2.8%至12.6%，显著优于H1。混合策略H2+F在92.5%的真实场景中达到了或超越了现有最佳解决方案，与独立优化模型相比，解决了时间最多缩短了十五倍。基于懒惰约束的公式所需的内存显著少于基于流的模型，使其适用于资源受限的环境。

**1. 引言**
精准农业代表了从统一田地管理向空间定向干预的范式转变，利用传感器技术、GPS和数据分析在亚田尺度上优化投入品的应用[1]。这种数据驱动的方法改变了农业决策方式，使农民能够根据当地土壤条件以不同的速率施用肥料、杀虫剂和灌溉水[2]。实施精准农业的一个核心挑战是划定特定地点管理区（SSMZ）：将农田划分为在物理化学性质（如养分浓度、pH值或有机质含量）上具有最大一致性的空间连续子区域[3][4]。通过将相似区域组合在一起，SSMZ减少了投入品的浪费，提高了作物产量，并支持环境可持续性[5][6]。

管理区的数量直接影响运营成本：每个区域都需要特定的土壤处理，随着区域数量的增加， farming实践的变化也更加频繁[7]。从实际角度来看，较少的区域简化了田地操作并减少了设备重新配置的时间，而更多的区域则提供了更精细的投入品施用控制。因此，SSMZ的核心目标是在保持每个区域内用户定义的一致性水平的同时，将田地划分为尽可能少的区域[8][9]。尽管这个问题涉及两个相互竞争的目标——最小化区域数量和最大化区域内一致性——但它们并不是在帕累托意义上同时优化的。相反，实践者指定一个一致性阈值α，优化模型在满足全局一致性度量H(M,Z)≥α的约束下最小化区域数量。因此，阈值α控制了这种权衡：较高的值要求更均匀的区域，通常需要更细的划分；而较低的值则允许更粗略的划分，从而减少区域数量。这种受限的单目标公式使得SSMZ成为一个计算上具有挑战性的组合优化问题，特别是在需要强制执行空间连续性约束以确保区域与农业机械兼容的情况下。

已经提出了几种方法来解决SSMZ问题，每种方法都有其独特的优势和局限性。早期方法依赖于聚类算法（如k-means和模糊c-means）将空间数据聚合成均匀的类别[10][11][12][13]。虽然这些方法在捕捉统计相似性方面有效，但它们通常会产生碎片化、形状不规则的区域，这对农业机械的操作来说是不切实际的[8][14]。地质统计协议[15]和降维技术（如空间PCA[16][17]以及深度自编码器[18]提高了聚类性能，但它们仍然缺乏对空间连续性或解决方案最优性的保证。

为了克服这些限制，SSMZ问题被重新表述为一个组合优化问题。最初引入了二进制整数线性规划（BILP）模型来划分矩形区域[8]，后续扩展纳入了邻近性约束[19]、多变量分析[20]和不规则田地边界[21]。虽然这些精确模型能够生成技术兼容的区域并保证最优性，但它们需要显式枚举所有可行子集，导致指数级的内存需求，限制了其可扩展性，仅适用于小规模实例[9]。为了解决这一瓶颈，基于分布估计算法（EDA）的元启发式方法被开发出来，用于正交形状的区域[22][23]，以及一种基于图的贪婪启发式方法用于快速执行[24]。最近，基于流的MINLP模型消除了子集预生成，使得中等规模实例能够得到精确解[9]。然而，基于流的公式仍然需要为每条边和每个区域显式定义流变量，对于大型网格来说会消耗大量内存。此外，现有的启发式方法要么牺牲了解质量[24]，要么需要仔细调整参数[23]，这限制了它们在自动化决策支持系统中的应用。

尽管取得了这些进展，但仍存在三个关键差距。首先，精确优化模型在大规模实例上计算成本高昂且内存密集，限制了其实际应用。其次，现有的启发式方法要么缺乏质量保证，要么依赖于敏感的参数校准（例如，种群大小、变异率），阻碍了其在实时农业系统中的部署。第三，目前还没有一个系统性的框架能够结合精确方法的最优性保证和启发式方法的速度，以提供不同操作场景下的可操作决策支持。

本文通过引入一种基于混合分析的优化框架来解决这些差距。我们的方法整合了三个互补的组成部分：（i）一种新颖的基于懒惰约束的MINLP公式，在分支剪枝过程中动态生成连通性约束，避免了指数级枚举，并显著减少了内存需求；（ii）两种无参数的断开启发式方法（H1和H2），它们利用可行解的树结构，在亚秒时间内生成高质量解决方案，无需任何用户定义的参数；（iii）混合策略将启发式解作为MINLP公式的温启动点，与独立优化模型相比，解决方案时间最多减少了十到十五倍。在真实世界和合成实例上的全面计算实验证明了该框架的有效性，其中以一致性为导向的启发式方法H2在所有基准类别中的平均相对误差范围为2.8%至12.6%（α=0.9），而混合策略H2+F在92.5%的真实场景中达到了或超越了现有最佳解决方案。

本文的其余部分安排如下：第2节回顾了SSMZ方法的文献，总结了从聚类方法到基于优化的模型的发展历程。第3节正式定义了SSMZ问题和一致性度量。第4节介绍了所提出的方法，包括基于懒惰约束的MINLP公式和断开启发式方法。第5节报告并讨论了计算实验结果。最后，第6节提出了结论，第7节概述了未来研究的方向。

**2. 文献综述**
精准农业包括一系列数据驱动的阶段，将原始的田地观测转化为可操作的管理决策[1]。这一流程通常从数据采集开始，土壤样本、遥感图像和产量监测器提供地理参考的物理化学性质测量数据[25][26]。然后通过空间分析（包括地质统计插值、变异图建模和探索性数据分析）来处理这些测量数据，以表征田地的空间变异性[5][6]。下一个阶段是区域划分（SSMZ），根据前一阶段识别的空间模式将田地划分为均匀的管理区域[3][4]。最后，划分出的区域作为变量率应用的基础，根据区域特性施用肥料、杀虫剂和灌溉水等投入品，以优化作物产量并最小化环境影响[27][28]。因此，SSMZ在这个流程中占据中心位置：它弥合了原始空间数据和操作田地管理之间的差距，其质量直接决定了所有下游决策的有效性[29][30]。此外，分区越来越被视为更广泛规划的前奏，其中分区决策直接影响作物选择和灌溉模型[19][20]，以及通过农场实验实现动态决策的机器学习方法[31]。

早期方法主要依赖于聚类算法（如k-means和模糊c-means）将空间数据聚合成均匀的类别[10][11]。虽然模糊c-means仍然是根据土壤肥力和产量图定义区域的标准方法[12][13]，但这些方法通常会产生碎片化、形状不规则的区域，这对农业机械的操作来说是不切实际的[8][14]。已经对商业农业田地进行了划分方法的比较分析[32]，并且已在包括可可种植在内的多种农业环境中进行了应用探索[33]。为了解决空间连续性问题，已经建立了结合地质统计分析和聚类的协议[15]。还引入了先进的降维技术来提高聚类性能，包括用于区域连续性的空间PCA[16][17]、用于复杂数据集的深度学习模型（如AutoEncoders）[18]，以及基于预测变量对产量变异性影响的加权多变量空间聚类模型[34]。

为了确保操作的可行性，SSMZ被重新表述为一个组合优化问题。最初引入了二进制整数线性规划（BILP）模型来划分矩形区域，最大化一致性同时最小化区域数量[8]，后来进行了网格大小优化的改进[35]。这一范式被扩展到包括邻近性约束[19]、用于综合土壤属性分析的多变量区域划分[20]，以及通过自适应网格处理支持不规则田地边界[21]。虽然这些模型能够生成技术兼容的区域并保证最优性，但它们需要显式枚举所有可行子集，导致指数级的内存需求，限制了其可扩展性。为了解决这一瓶颈，研究人员转向了“正交”形状，提供了比严格矩形更大的灵活性，同时保持了对机器的友好性。一项基础工作[22]使用进化算法实现了正交形状区域的配置优化，后续改进集中在快速解决方案评估和优化目标函数上[23]。

基于图的模型代表了最新的前沿。一种快速的贪婪启发式方法以牺牲解决方案质量为代价实现了快速执行[24]，而基于流的MINLP模型消除了子集预生成，使得中等规模实例能够得到精确解[9]。图结构已在其他领域得到广泛应用，用于建模空间连通性并获得可以表示为平面图的集合划分，例如地理地图和子区网络[36][37]。更广泛地说，MINLP已被证明是一个多用途的框架，适用于结合离散结构选择和非线性目标或约束的决策问题。成功应用涵盖了多个领域，包括供应链成本优化[38]、设施位置和网络设计[39][40]、具有容量限制的车辆路线规划[41]以及医疗保健中的劳动力调度[42]。这些应用与SSMZ问题具有共同的结构：离散的分配决策（哪些单元属于哪个区域）与非线性质量度量（区域内方差）相结合。MINLP在这些领域中的有效性激发了其在SSMZ中的应用，其中整数分配变量和非线性一致性度量H(M,Z)的结合使得MINLP成为自然的建模选择。

处理空间划分问题中大量连通性约束的一个关键技术是动态约束生成，也称为懒惰约束。这种策略源于旅行商问题的经典子游消除方法[43]，通过在分支剪枝过程中按需添加约束来避免预先枚举所有约束。在图划分的背景下，懒惰约束验证候选解决方案中的每个区域是否形成连通子图；如果检测到不连通的组件，则将违反的不等式动态添加到公式中。这种机制在车辆路线规划[41]、网络设计[39]和政治区划问题[44]中被证明是有效的，其中必须在大型图上强制执行空间连续性。SSMZ问题也具有这种组合结构，因为每个管理区域必须在田地图中形成一个连通组件，使得懒惰约束生成成为一种自然且理论上有充分依据的方法。

另一种提高精确优化模型性能的策略是将启发式方法作为温启动点进行集成。在运筹学文献中，这种混合方法通常被称为数学启发式[45]。其原理是启发式方法可以快速生成可行的解决方案，虽然可能不是最优的，但可以为分支定界或分支剪枝求解器提供紧密的初始界限，从而修剪搜索树的大部分并加速收敛到最优解。这种协同效应已在设施选址[40]、调度[42]和农业规划[38]中得到成功验证。在SSMZ（空间连续性管理区域）的背景下，基于树的可行解结构中，每个分区对应于场地图的一个生成森林，为启发式构建提供了一种自然机制：通过迭代删除生成树中的边，可以产生区域数量单调递增的可行分区。这种结构洞察力使得设计出不依赖于通用元启发式操作符的参数化启发式方法成为可能。表1总结了现有SSMZ方法与本工作中提出的框架相比的主要特点。如表所示，以前的方法没有一种能够同时提供空间连续性保证、对大型实例的可扩展性、无参数操作以及将启发式速度与精确最优性界限相结合的能力。尽管取得了这些进展，但在可扩展性和形状与均匀性之间的权衡方面仍存在差距。对于大型网格，精确优化模型在计算上非常昂贵[8]，[9]，而且与不规则聚类相比，几何规则性通常会降低均匀性[7]，[24]。此外，现有的启发式方法要么需要敏感的参数调整，要么为了速度而牺牲解决方案的质量[23]，[24]。此前还没有任何工作将动态约束生成与无参数的 warm-start 启发式方法结合在一个统一的框架中用于SSMZ。基于图的基础，本研究通过引入一种懒惰约束的 MINLP（混合整数线性规划）公式和两种基于树的断开启发式方法（H1 和 H2），在不到一秒的时间内提供接近最优的解决方案，而无需参数调整。

3. 问题定义
SSMZ 问题旨在将农田划分为最少数量的空间连续且均匀的区域，以优化变量施用。如第1节所讨论的，该问题在用户指定的均匀性约束下最小化管理区域的数量，从而在操作简便性和农艺效果之间取得平衡。考虑一个划分为 |M| 个矩形单元的矩形田地，这些单元排列在一个 m×n 的网格中，每个单元代表一个地理参考的土壤样本。每个样本 i∈M 都由一个数值 ci 表示，代表一个物理化学性质（例如，养分浓度、pH值或有机质含量）。尽管农田通常在多个土壤属性上表现出变异性，但当前的公式仅处理单变量情况，即一次只基于一个属性来划分区域。将多变量属性同时考虑的扩展超出了本研究的范围，但在相关研究[20]，[34]中已经有所探讨。为了正式描述这个问题，我们首先引入全局均匀性度量 H(M,Z)，它量化了给定分区 Z 内样本的均匀性。该度量在下面的方程 (1) 中定义，范围从 0（最大异质性）到 1（完美均匀性），并且是任何可行分区必须满足的质量标准。然后 SSMZ 问题被正式定义为：
输入：一个包含 |M| 个土壤样本的田地 M，每个样本都有一个代表土壤性质的数值 ci，以及一个均匀性阈值 α∈[0,1]，指定区域内可接受的最小均匀性。
输出：将田地划分为 K 个空间连续区域的分区 Z={z1,z2,…,zK}，其中区域数量 K 在满足约束 H(M,Z)≥α 的条件下最小化。
问题受到三个关键约束：(i) 空间连续性，每个区域 zk∈Z 必须在场地图中形成一个连通分量；(ii) 均匀性要求，全局均匀性度量 H(M,Z) 必须达到或超过阈值 α；(iii) 完整分区，每个单元必须被精确分配到一个区域。
全局均匀性 H(M,Z) 定义为：
(1) H(M,Z)=1?∑z∈Z(|z|?1)?s2(z)σT2?(|M|?K)
其中 |z| 是区域 z 中样本的数量，s2(z) 是区域 z 内的样本方差，K=|Z| 是分区中的区域数量，σT2 是整个田地 M 的总种群方差。这个度量的范围从 0（最大异质性）到 1（完美均匀性）。分子表示区域内方差的加权总和，而分母则通过总方差和自由度进行了归一化。H(M,Z) 的较高值表示更均匀的区域，意味着每个区域内的样本具有相似的土壤性质，这对于有效的变量施用至关重要。
均匀性阈值 α∈[0,1] 是一个用户定义的参数，用于控制管理区域数量与其内部均匀性之间的权衡。较低的 α 值允许更大的区域内异质性，从而减少区域数量和简化田地操作，而较高的 α 值则要求更均匀的区域，但代价是更细粒度的划分。实际上，α 的选择取决于农艺标准和操作约束：在 [0.5,0.7] 的范围内通常用于广泛的养分管理，其中适度的均匀性对于有效的变量施用已经足够[8]，[22]，而高于 0.8 的值适用于高精度应用，如定点灌溉或农药施用[28]。第5节中提出了关于 α 的敏感性分析，我们评估了在不同阈值范围内的解决方案质量和计算成本。这使实践者能够选择最能平衡特定田地条件下的农艺效果和操作可行性的阈值。

本研究采用的方法论基于文献中的两个关键观察结果。首先，MINLP（混合整数线性规划）提供了保证的最优性，并已被证明是评估农业规划问题中启发式方法的有效基准[19]，[38]。Urbán-Rivero 和 Velasco[9] 引入的基于流的 MINLP 模型首次证明了对于小到中等规模的实例，可以对具有与网格轴对齐的边界（即与农业机械兼容的直线形状）的 SSMZ 问题进行精确优化；然而，其显式的流变量由于高内存消耗而限制了可扩展性。其次，问题的图论结构，其中可行分区对应于生成森林[24]，为精确公式（通过子图的连通性约束）和构建性启发式方法（通过从生成树中删除边）提供了自然的基础。这些观察结果激发了我们的混合框架，它结合了内存高效的懒惰约束 MINLP 公式和无参数的基于树的启发式方法，以解决第2.4节中识别的可扩展性和可用性差距。

4. 材料与方法
本节介绍了我们的 SSMZ 优化框架，它由三个主要组成部分构成：(i) 一种图论表示，用于编码空间邻接约束；(ii) 两种 MINLP 公式，一种基于流的模型和一种新颖的懒惰约束模型，用于保证空间连续性；(iii) 两种无参数的断开启发式方法，利用可行解的树结构提供高质量的 warm-start 解决方案。本工作采用了在 [24] 中提出的图表示 G=(V,E)，其中每个顶点 u∈V 对应一个土壤样本，当且仅当样本在田间空间相邻时，边 {u,v}∈E 存在。这种结构自然地编码了问题的几何约束，确保只有相邻的单元可以属于同一个管理区域。与传统的集合划分方法相比，图表示具有两个关键优势：(i) 它消除了显式枚举所有可行子集的需要，将内存需求从 O(2|M|) 降低到 O(|M|2)；(ii) 它通过标准图算法（例如深度优先搜索、生成树）实现了高效的连通性验证。

图 1 展示了这种表示：左侧面板显示了如何将田地建模为网格图 G=(V,E)，其中顶点代表土壤样本，边连接空间相邻的单元。中间面板展示了一个可行分区，每种颜色代表一个管理区域，右侧面板显示了由此图着色得出的具有空间连续区域的 SSMZ 解决方案。关键的是，有效解决方案中的每个区域在图中对应一个连通分量，意味着同一区域中的任何两个样本都可以通过相邻单元的路径到达。

基于这种图表示，我们开发了两种互补的方法。首先，我们引入了一种懒惰约束 MINLP 公式（第4.1节），它在优化过程中动态生成连通性约束，避免了传统基于流模型中约束的指数级增长。其次，我们提出了两种断开启发式方法（第4.2节），它们迭代地划分最小生成树，在不到一秒的时间内生成可行解决方案，然后这些解决方案被用作两种 MINLP 公式的 warm-start 解决方案。

4.1. 基于懒惰约束的模型
我们引入了一种替代 [9] 中提出的基于流的 MINLP 模型的方法，该方法构建最大生成森林以最小化区域数量，同时保持均匀性。基于流的模型需要为每条边和每个区域显式定义流变量，导致内存消耗增加。我们的新模型通过用仅在分支剪枝过程中需要的懒惰约束来替换这些流变量，从而消除了这些流变量。我们的新模型利用基于子集的最大生成树，在解决方案过程中动态地强制连通性。完整模型在方程 (2)–(17) 中给出。

参数和集合：
• V：顶点（区域，样本）的集合。
• Vk：区域 k 内的顶点集合。
• E：边的集合。
• K：可能的区域集合。
• cu：顶点 u 处的属性数值。
决策变量：
• xu,k=1 如果顶点 u 被分配到区域 k，否则为 0。
• yu,v,k=1 如果边 {u,v} 被分配到区域 k，否则为 0。
• rk=1 如果区域 k 被激活，否则为 0。
• zk：区域 k 内的顶点数量。
• z?k：区域 k 内顶点的平均值。
• du,k：|cu?z?k| 的辅助变量。
• pu,k：du,k?xu,k 的辅助变量。
• θ：激活区域的数量。
(2) minθ
(3) ∑u∈V xu,k=zk,k∈K
(4) ∑k∈K xu,k=1,u∈V
(5) ∑k∈K rk=θ
(6) xu,k≤rk,u∈V,k∈K
(7) yu,v,k≤rk,{u,v}∈E,k∈K
(8) rk≤∑u∈V xu,k,k∈K
(9) ∑k∈K yu,v,k≤1,{u,v}∈E
(10) yu,v,k≤xu,k?xv,k,(u,v)∈E,k∈K
(11) du,k=|cu?z?k|,u∈V,k∈K
(12) pu,k=du,k?xu,k,u∈V,k∈K
(13) z?k?zk=∑u∈V cu?xu,k,k∈K
(14) σT2(|V|?θ)?(1?α)≥∑u∈V∑k∈K(pu,k)2
(15) ∑k∈K∑{u,v}∈E yu,v,k=|V|?θ
(16) ∑{u,v}∈E yu,v,k=zk?rk,k∈K
(17) ∑{p,q}∈Skyp,q,k≤|Sk|?rk Sk?Vk,Vk?V,k∈K
其中 Sk 表示分配给区域 k 的任何顶点子集，该约束通过防止子回路来确保区域 k 内不存在不连通的分量。
目标函数 (2) 最小化管理区域的数量 θ，这对应于田地被划分的区域数量。约束 (3) 计算分配给区域 k 的土壤样本数量并将其存储在辅助变量 zk 中。约束 (4) 确保每个样本都被分配到确切的一个区域。约束 (5) 通过变量 θ 定义了活动区域的总数。约束 (6)、(7) 确保只有当区域被激活时（即 rk=1）才能将顶点（样本）或边分配给该区域。约束 (8) 在至少有一个样本被分配给区域 k 时激活区域 k。约束 (9) 确保每条边最多分配给一个区域。约束 (10) 允许连通性：如果两个相邻样本属于同一个区域，则连接它们的边可以被分配给该区域。约束 (11)–(14) 计算全局均匀性度量 H(M,Z) 并强制满足 H(M,Z)≥α 的要求。具体来说：
(11) 计算区域 k 中每个样本 u 的绝对偏差 |cu?z?k|。Gurobi 通过自动将其重新表述为线性约束来处理这个绝对值约束，
(12) 通过 pu,k 计算每个样本对区域内方差的贡献。这个双线性项 du,k?xu,k 由 Gurobi 的非线性优化引擎处理，
(13) 计算区域 k 的平均值 z?k。双线性乘积 z?k?zk 使用空间分支定界技术解决，
(14) 强制均匀性水平约束 H(M,Z)≥α，确保解决方案的质量。
约束 (15) 确保整体解决方案形成一个森林（一组不连通的树）。约束 (16) 保证每个活动区域 k 引导一个树结构（即，是连通且无环的）。最后，约束 (17) 防止任何单个区域 k 内形成不连通的分量，确保完全的区域连通性。
虽然模型 (2)–(16) 可以直接求解，但随着图 G 的大小增加，子回路消除约束 (17) 的数量会呈指数级增长。预先枚举所有这些约束将使模型即使在中等规模的实例中也变得难以处理。为了解决这个问题，我们在 Gurobi 的回调框架内实现了 (17) 作为懒惰约束。

在分支剪枝算法过程中，每当找到一个整数可行的解决方案时，分离例程会检查是否有违反的约束。如果检测到任何有效解，它们将被动态注入模型中，剔除无效解，并引导搜索朝向可行的解集。这种懒惰的强制执行机制大大减少了内存需求，使求解器能够在优化过程的早期探索到高质量的解。同样的策略也应用于基于懒惰约束的模型（LC）中，在该模型中，子集行约束取代了流变量，但仍需要动态连接性的强制执行。4.2. 断开启发式方法在本小节中，我们介绍了一种利用SSMZ解的基于树的结构的新启发式方法。一个可行的字段划分是由不相连的树组成的森林[9]，这允许我们从初始生成树中迭代地移除边，以满足所需的同质性水平α。这种方法在概念上与迷宫生成算法相关，后者使用最小生成树来创建具有随机连接性的连续区域[46]。启发式方法使用Kruskal算法[46]计算最小生成树，其计算复杂度为O(|E|?αA(|E|,|V|))，其中αA表示Ackermann函数的逆[47]（不要与同质性阈值α混淆）。这种接近线性的复杂度确保了即使对于大规模实例，启发式方法也能保持高效。断开启发式的两种变体H1和H2具有相同的迭代结构，但它们的边移除标准不同。在每次迭代中，应用以下标准之一：•H1标准：移除当前生成树中权重最大的边（即连接最不相似相邻样本的边）。这个标准基于边权重w(e)采用贪婪方法，选择e?=argmaxe∈E(T)w(e)。•H2标准：移除消除后能够最大程度提高全局同质性H(M,Z)的边。这个标准评估每个候选边对同质性的实际影响，选择e?=argmaxe∈E(T)ΔH(e)，其中ΔH(e)表示通过移除边e所获得的同质性提升。虽然H2在计算上比H1更复杂，但它基于优化目标做出明智的决策。请注意，每次边移除都会增加森林中的连通组件数量，从而增加管理区域（区域）的数量。算法1总结了完整的断开启发式方法。该算法明确指定了输入参数，包括图G=(V,E)、同质性阈值α以及要使用的标准（H1或H2）。程序从构建最小成本生成树开始（第1行），其中两个相邻节点之间的边权重反映了它们相关土壤样本的不相似性（即|cu?cv|）。在计算由连通组件引起的初始划分后（第2行），主循环（第3-10行）根据选定的标准迭代地移除边：H1选择权重最大的边（即表示最大不相似性的边）（第4-5行），而H2选择移除后能最大程度提高同质性的边（第6-7行）。这个过程持续进行，直到满足全局同质性度量H(M,Z)≥α，从而得到一个由同质区域组成的可行森林。实验结果表明，这种解决方案对于基于流的（F）和基于懒惰约束的（LC）MINLP模型都是一个高质量的热启动。下载：下载高分辨率图像（174KB）下载：下载全尺寸图像为了说明启发式过程，考虑一个3 × 3的小字段，其土壤值为{2,5,3,8,4,6,1,7,9}，同质性阈值α=0.6。第一步计算网格图的最小生成树T，其中边权重为|cu?cv|；该树通过八条最低成本的边连接所有九个单元格。最初，Z={z1}（一个区域），H(M,Z)=0.6。在第一次迭代中，H1移除最重的边（例如，连接值分别为1和7的单元格的边，权重为6），将T分成两个部分，创建Z={z1,z2}；而H2则会评估每条边移除后的同质性提升ΔH(e)，选择ΔH(e)最大的边。尽管H2在计算上更密集，但它基于优化目标做出明智的决策。请注意，每次边移除都会增加森林中的连通组件数量，从而增加管理区域（区域）的数量。算法1总结了完整的断开启发式方法。该算法明确指定了输入参数，包括图G=(V,E)、同质性阈值α以及要使用的标准（H1或H2）。程序首先构建最小成本生成树（T，第1行），其中两个相邻节点之间的边权重反映了它们相关土壤样本的不相似性（即|cu?cv|）。在计算由连通组件引起的初始划分后（第2行），主循环（第3-10行）根据选定的标准迭代地移除边：H1选择权重最大的边（即表示最大不相似性的边）（第4-5行），而H2选择移除后能最大程度提高同质性的边（第6-7行）。每次迭代都会从树中移除选定的边e?（第9行），并更新划分Z（第10行）。这个过程持续进行，直到满足全局同质性度量H(M,Z)≥α，从而得到一个由同质区域组成的可行森林。所得到的解决方案对于基于流的（F）和基于懒惰约束的（LC）MINLP模型都是一个高质量的热启动，显著减少了计算时间和最优性差距。下载：下载高分辨率图像（174KB）下载：下载全尺寸图像为了说明启发式过程，考虑一个3 × 3的小字段，其土壤值为{2,5,3,8,4,6,1,7,9}，同质性阈值α=0.6。第一步计算网格图的最小生成树T，其中边权重为|cu?cv|；该树通过八条最低成本的边连接所有九个单元格。最初，Z={z1}（一个区域），H(M,Z)=0.6。在第一次迭代中，H1移除最重的边（例如，连接值分别为1和7的单元格的边，权重为6），将T分成两个部分，创建Z={z1,z2}；而H2则会评估每条边移除后的同质性提升ΔH(e)，选择ΔH(e)最大的边。虽然H2在计算上更密集，但它基于优化目标做出明智的决策。请注意，每次边移除都会增加森林中的连通组件数量，从而增加管理区域（区域）的数量。算法1总结了完整的断开启发式方法。该算法明确指定了输入参数，包括图G=(V,E)、同质性阈值α以及要使用的标准（H1或H2）。程序首先构建最小成本生成树（T，第1行），其中两个相邻节点之间的边权重反映了它们相关土壤样本的不相似性（即|cu?cv|）。在计算由连通组件引起的初始划分后（第2行），主循环（第3-10行）根据选定的标准迭代地移除边：H1选择权重最大的边（即表示最大不相似性的边）（第4-5行），而H2选择移除后能最大程度提高同质性的边（第6-7行）。每次迭代都会从树中移除选定的边e?（第9行），并更新划分Z（第10行）。这个过程持续进行，直到满足全局同质性度量H(M,Z)≥α，从而得到一个由同质区域组成的可行森林。所得到的解决方案对于基于流的（F）和基于懒惰约束的（LC）MINLP模型都是一个高质量的热启动，显著减少了计算时间和最优性差距。下载：下载高分辨率图像（174KB）下载：下载全尺寸图像为了说明启发式过程，考虑一个3 × 3的小字段，其土壤值为{2,5,3,8,4,6,1,7,9}，同质性阈值α=0.6。第一步计算网格图的最小生成树T，其中边权重为|cu?cv|；该树通过八条最低成本的边连接所有九个单元格。最初，Z={z1}（一个区域），H(M,Z)=0.6。在第一次迭代中，H1移除最重的边（例如，连接值分别为1和7的单元格的边，权重为6），将T分成两个部分，创建Z={z1,z2}；而H2则会评估每条边移除后的同质性提升ΔH(e)，选择ΔH(e)最大的边。虽然H2在计算上更密集，但它基于优化目标做出明智的决策。请注意，每次边移除都会增加森林中的连通组件数量，从而增加管理区域（区域）的数量。算法1总结了完整的断开启发式方法。该算法明确指定了输入参数，包括图G=(V,E)、同质性阈值α以及要使用的标准（H1或H2）。程序首先构建最小成本生成树（T，第1行），其中两个相邻节点之间的边权重反映了它们相关土壤样本的不相似性（即|cu?cv|）。在计算由连通组件引起的初始划分后（第2行），主循环（第3-10行）根据选定的标准迭代地移除边：H1选择权重最大的边（即表示最大不相似性的边）（第4-5行），而H2选择移除后能最大程度提高同质性的边（第6-7行）。每次迭代都会从树中移除选定的边e?（第9行），并更新划分Z（第10行）。这个过程持续进行，直到满足全局同质性度量H(M,Z)≥α，从而得到一个由同质区域组成的可行森林。所得到的解决方案对于基于流的（F）和基于懒惰约束的（LC）MINLP模型都是一个高质量的热启动，显著减少了计算时间和最优性差距。下载：下载高分辨率图像（174KB）下载：下载全尺寸图像为了说明启发式过程，考虑一个3 × 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可扩展性分析所提出方法的可扩展性主要取决于两个因素：网格中的单元格数量|V|和同质性阈值α。对于精确的MINLP模型（F和LC），决策变量的数量增长为O(|V|?Kmax)，其中Kmax是区域的最大数量，这使得它们仅适用于在8小时时间限制内最多有大约50个单元格的实例。基于流的模型（F）还需要O(|E|?Kmax)个流变量，这会导致内存耗尽，尤其是在RAM为16GB的网格上，当网格超过10×10时。懒惰约束模型（LC）通过按需生成连接性约束来缓解这一问题，与F相比，对于等效实例，其峰值内存使用量减少了3-5倍；然而，其收敛速度较慢，因为每次回调都会中断分支剪枝过程。对于更大的实例（第2-10类，网格大小可达30×30=900个单元格），即使采用热启动初始化，F和LC也无法在时间限制内产生可行解决方案。这与底层连接划分问题的NP难度性质一致。相比之下，独立启发式方法的扩展性更好：最小生成树计算的时间为O(|E|?αA(|E|,|V|))，每次边删除迭代对于H1需要O(|V|)次操作，对于H2需要O(|V|?|E(T)|)次操作（评估所有候选删除项）。实际上，H2在不到250秒的时间内解决了最大的基准实例（900个单元格，α=0.9），而[23]中的EDA则需要900秒。这证实了所提出的启发式方法是解决精确求解器无法处理的实例的首选方法。5.2. 讨论实验结果揭示了所提出框架的精确部分和启发式部分之间的明显互补性，这对精准农业决策具有实际意义。方法选择指南。对于小到中等规模的田地（最多50个采样点），推荐使用混合策略H2+F，因为它能够在可接受的计算时间（1-6小时）内始终获得最优或接近最优的解决方案。当内存成为限制因素时，例如在嵌入式系统或现场部署的设备上，H2+LC提供了一个可行的替代方案，具有可比的解决方案质量，并且内存占用量减少了3-5倍。对于大规模田地（50个以上采样点）或需要立即划分区域的实时应用，独立启发式方法H2在α=0.9时，无需任何参数调整即可提供平均相对误差在2.8%到12.6%之间的解决方案，并且即使对于900个单元格的网格，执行时间也不到250秒。对农业实践的影响。H2的无参数特性对于实际应用尤为重要：与需要专家校准种群规模、变异率和停止标准的元启发式方法不同，H2可以直接集成到自动化农业平台中，无需配置开销。这使得非专家用户（如农场管理者或没有优化经验的农学家）能够从原始传感器数据生成管理区地图。此外，H2的快速执行时间（小实例不到一秒，最大网格不到250秒）支持迭代假设分析，使从业者能够在制定管理计划之前探索不同的同质性阈值α并评估其对区域数量和田地操作的影响。同质性阈值的作用。在所有实验中，较低的α值（例如α≤0.5）会产生较少的区域，但允许区域内更大的变异性，而较高的α值（α≥0.8）会产生更细的分区，更适合精准应用，但会增加操作复杂性。α的选择应反映特定的农艺目标：广泛的施肥应用可能容忍α≈0.5–0.7，而有针对性的农药施用或变量灌溉通常需要α≥0.8 [28]。计算结果证实，所提出的框架在测试的所有α值范围内都能表现出稳健的性能。关于绝对运行时间和硬件依赖性。我们认识到绝对执行时间取决于硬件，例如在云服务器或超级计算机等更强大的平台上，250秒和900秒之间的差距可能会缩小。然而，H2的关键实际优势是硬件独立的：其无参数设计消除了配置开销，其相对于竞争元启发式方法的相对加速效果不受平台影响，并且其相对于H1的解决方案质量在所有测试实例中都得到了保持。从决策分析的角度来看，其贡献不在于绝对时间的节省，而在于能够实现一类新的部署场景，例如在资源有限的现场部署平板电脑或嵌入式系统上进行设备上的区域划分，这是现有方法无法实现的。从计算到田间管理。所提出框架的最终价值在于其对农业决策的影响。优化模型和启发式方法生成的区域地图直接为变量施用计划提供了信息，每个区域都能接收到定制的输入剂量。较少且更均匀的区域减少了田间操作中的处方更改次数，降低了设备重新配置时间并最小化了应用错误。能够快速生成和比较不同α阈值下的区域地图，使农学家能够在输入成本节省和作物产量改进之间做出明智的权衡决策，从而实现了从空间数据到可操作的田间管理的闭环。6. 结论本研究引入了一个针对特定地点管理区（SSMZ）问题的混合分析驱动优化框架，结合了一种新的懒惰约束MINLP公式和两种无参数的断开启发式方法。懒惰约束模型在减少峰值内存使用量3-5倍的同时，实现了与基于流的公式相当的解决方案质量，使其成为内存受限环境的首选。在启发式方法中，基于同质性的H2在所有基准类别和同质性阈值下的表现都显著优于H1：在α=0.9时，H2的平均相对误差在2.8%到12.6%之间，而H1的平均相对误差在18.5%到49.3%之间，且在较低的α值下优势更为明显。当与基于流的MINLP结合作为热启动时，混合策略H2+F在92.5%的实际实例中达到了或改进了现有解决方案，计算时间减少了多达十五倍。对于精确求解器无法处理的大规模实例（第2-10类），独立H2提供了一个实用的无参数替代方案，即使对于最大的网格，执行时间也不到250秒，适用于精准农业决策支持系统的部署。7. 未来工作从这项工作中出现了几个研究方向。首先，我们计划为H2建立理论近似保证，证明在输入数据的温和假设下（例如，有界方差或空间自相关性），它能够在常数因子内获得最优解。其次，我们将研究提高启发式性能的策略，包括多步前瞻边删除标准、局部搜索后处理（例如2-opt或变邻域下降）以及结合H2与禁忌搜索或模拟退火的混合元启发式方法以逃离局部最优解。第三，我们旨在将框架推广到精准农业之外的空间划分问题，如政治区划[44]、环境监测、图像分割和社交网络中的社区检测。H2的无参数设计和亚秒级运行时间使其特别适合资源受限环境中的实时系统和边缘计算。最后，未来的一个整合方向是使用分数阶微分模型来表征土壤特性的异常扩散和空间变异性，这可以提高用于区域划分的输入数据的质量，作为所提出框架中的预处理步骤。