综述：《采用Dyson–Schwinger方法研究引力中的强耦合机制》 作者：Marco Frasca 和 Anish Ghoshal

《Universe》：Review of Strongly Coupled Regimes in Gravity with Dyson–Schwinger Approach Marco Frasca and Anish Ghoshal

　　摘要 我们分析了各种涉及de Sitter背景、二次?2背景和非最小耦合标量背景的引力理论，并应用了Dyson–Schwinger技术，该技术依赖于Green函数的确切背景解。我们指定了特定的度规解集，以推进对该理论的量子分析。这种解被识别为共形平坦度规。在使用Dyson–Schwinger方程研究Yang–Mills理论时，通过映射定理自然得出了这样的结论。我们展示了一系列从共形不变性破缺开始的宇宙相变，这些相变可能受到非最小耦合的影响。

1. 引言
在引力理论中，爱因斯坦的广义相对论（GR）是一个极其成功的经典理论。它经受住了时间的考验，与多项观测结果一致。其最近的成功包括引力波（GWs）的发现，这些引力波是由LiGO GW探测器观测到的黑洞合并产生的[1]。除此之外，我们还通过事件视界望远镜[2,3,4,5,6]获得了位于我们银河系中心的黑洞的图像。我们也知道，爱因斯坦的广义相对论可以扩展到包含物质场。这构成了我们现代宇宙学理解的基础，其中包括早期宇宙和大爆炸的起源。尽管如此，爱因斯坦的GR在紫外谱范围内表现出病态行为，并且无法通过已知的微扰方法进行重整化[7,8]，这在远低于普朗克尺度的理论长度范围内是微扰理论的有效范围，以便理解量子机制。GR的另一个不足之处是缺乏一致的欧几里得路径积分：GR的欧几里得作用量从下界开始是无限的，这也被称为“共形因子问题”。通过添加二次曲率项，可以解决GR的重整化问题和共形因子问题。实际上，由此产生的理论通常被称为二次引力[9,10,11,12]，并且简单地应用[13]来确定欧几里得作用量表明，在其参数空间的相当大区域内，它也不存在共形因子问题[14]。

在这篇综述中，我们分析了一些可以使用Dyson–Schwinger方程的量化技术处理的引力模型，只要主要的自由度可以简化为标量场理论的解。为了在类似概念但不同方法上理解量子引力，已经在多篇论文中进行了探索，例如Lee–Wick模型[15,16,17,18]、相应的fakeon处方[19]，以及[20,21,22]中作者提出的基于弦理论的非局部无鬼方法来处理高阶导数引力[23,24,25,26,27]。在参考文献[28,29]中提供了对二次引力的理解。

我们在这里应用的Dyson–Schwinger技术源自Bender、Milton和Savage[30]的一篇论文，他们为PT不变的模型获得了一组以偏微分方程形式表示的Dyson–Schwinger方程。Jacobi椭圆函数被证明是解决这类量子场理论方程的强大工具，如参考文献[31]所示。在粒子物理和量子色动力学中也有许多应用[32,33,34,35,36,37,38]。

我们展示了对于某些修正引力模型，假设Dyson–Schwinger方程的主要解是共形解，可以在早期宇宙中识别出一些相变。当观察到对于爱因斯坦–希尔伯特作用量，从共形解开始并不是量化它们的正确方法时，就需要一个修正的引力模型。

本文的组织结构如下：第2节介绍Dyson–Schwinger技术；第3节展示了基于该技术的de Sitter解；第4节展示了具体的Starobinsky理论情景；第5节对标量场进行了量化；第6节考虑了物质场的影响；第7节讨论了非最小耦合情况；最后，在第8节中提出了结论和一些讨论。

2. Dyson–Schwinger技术
在本节中，我们介绍了Bender、Milton和Savage[30]提出的一种技术，用于获得以偏微分方程形式表示的Dyson–Schwinger方程组。这个想法最初是在研究PT不变的量子力学模型时提出的。这种方法最近被扩展到了更一般的量子场理论设置[31]。我们考虑了一个通用标量场()理论的配分函数，在欧几里得度规中 (1) j是一个任意源，耦合常数进入自相互作用项。为了评估这个配分函数，我们需要获得所有nP相关函数的封闭形式。这些由以下泛函导数给出 (2) 从我们相关函数的表达式中可以得出以下关系 (3) 该过程评估了以下PDE (4) 这些是依赖于源j的相关函数。起点由运动方程给出 (5) 我们想要获得；因此，我们使用Z对这个方程取平均，得到 (6) 这里我们认识到场的立方的平均值。这可以使用其定义来评估 (7) 通过对关于的导数进行迭代，我们得到 (8) 这些可以直接代入方程(6)中，得到第一个Dyson–Schwinger方程 (9) 最后，我们可以取，使得 (10) 对于，我们对方程(9)关于进行导数，得到 (11) 然后再次取。这样的过程可以迭代到任何所需的阶数，从而得到更高阶相关函数的方程。我们看到这些更高阶的相关函数出现在低阶方程中。这是Dyson–Schwinger方程组的一个特征，但我们可以假设，即至少有两个变量相同时，为配分函数提供一个精确的高斯解。这种选择事后看来是一致的，并且仅通过和就提供了Dyson–Schwinger方程组的完整解。

为了理解这种方法的物理意义，我们指出，Dyson–Schwinger方程组的解为它们所衍生的量子场理论提供了一个相应的精确解。这是因为当所有相关函数都确切已知时，统计理论的可观测量是完全可以计算的。具体来说，对于量子场理论，这是Lehmann–Symanzik–Zimmermann (LSZ)约化公式的陈述[39]。

3. De Sitter情况
从前面对应用于非阿贝尔规范理论的Dyson–Schwinger技术的讨论来看，很明显需要某种共形解（在我们的情况下是映射定理）才能直接应用这种方法。在爱因斯坦的理论中，情况非常相似，最简单的映射解是共形平坦解。我们知道爱因斯坦方程不是共形不变的，作为一个标准教科书案例，我们展示了如何需要扩展引力部分来一致地应用Dyson–Schwinger方法。因此，我们考虑带有宇宙常数的真空爱因斯坦方程 (12) 度规具有签名 ，并将注意力限制在共形平坦部分 (13) 其中是闵可夫斯基度规，是标量共形因子。Ricci张量具有形式 (14) 其中 和 。同样，Ricci标量具有形式 (15) 将Ricci张量插入到中得到张量方程 (16) 取迹得到单个独立的运动方程 (17) 使用这个方程代入方程(16)，我们得到 (18) 这个方程不引入新的动力学；它是一个兼容性条件，确保共形平坦假设与爱因斯坦度规一致。使用 (19) 兼容性条件可以紧凑地写为 (20) 其中“TL”表示关于的无迹部分。等价地， (21) 这意味着在闵可夫斯基坐标中最多是二次的，因此在共形平坦坐标中生成精确的闵可夫斯基、de Sitter或反de Sitter时空。为了解运动方程，我们选择由条件[40]授予的广义谐振规范 (22) 这种选择保证了数学表述和物理之间的一致性（简单的谐振规范是不够的）。然后，对于共形度规，找到一个仅依赖于共形时间的解 (24) 从而得到兼容性条件 (25) 这意味着 (26) 其一般解是 (27) 其中是常数。不失一般性，可以通过移动来设置，并定义，使得 (28) 将这个表达式插入标量运动方程 (29) 最终得到 (30) 因此得到的度规是 (31) 这是在共形平坦（庞加莱）坐标中写的de Sitter时空。

从这个教科书示例中得出的相关结论是，标量场方程和约束条件迫使解是de Sitter或闵可夫斯基解，对于真空中的爱因斯坦方程，直接使用Dyson–Schwinger方法进行量化似乎是不可能的。我们需要通过向标准的爱因斯坦–希尔伯特作用量中添加进一步的项来扩展理论。

4. 理论
为了扩大引力部分，最简单的步骤是考虑作用量[41,42,43] (32) 其中代表普朗克尺度，是Ricci标量，M?1表示项开始起作用的尺度。在进行了变换之后，作用量(32)可以用引力和标量场之间的相互作用来重写，从而转移到爱因斯坦框架中，[44,45] (33) 其中是一个通用度规。这类似于Yang–Mills理论的映射定理，前提是我们考虑某些特定的度规。结果是以下作用量[46]： (34) 然后的运动方程是 (35) 其中是拉普拉斯–贝尔特拉米算子。我们希望保持通用性，并寻找R为常数的解。这很有趣，因为只要标量场决定了度量的非对角元素，方程的一致性就得到了保持。因此，我们有 (36) 其中代表，并且通过无量纲缩放的场变量和，我们得到以下方程 (37) 将第一个方程代入第二个方程，最终得到 (38) 这只是一个四次标量场理论，通过改变场变量得到 (39) 这给出了 (40)

5. 标量场的量化
从参考文献[29]中我们知道，Dyson–Schwinger方程组可以写为 (41) (42) 现在我们设置了 (43) 其中由于量子涨落而产生的修正由 (44) 给出，经过维度规正后，[29] (45) 其中是欧拉–马舍罗尼常数。从Aizenman及其同事[47,48,49]证明的四次标量场的性质出发，我们可以假设对于，即当两个或多个坐标重合时，是一个一致的选择，给出了预期的高斯解。保持平移不变性，我们从方程 (46) 中找到解，从而自发地打破了理论的共形不变性，引入了一个质量尺度。

6. 对物质场的贡献
我们从参考文献[51,52,53,54,55,56]中知道，从Jordan框架转移到Starobinsky模型中的爱因斯坦框架，或者更一般地，对于理论，意味着运动方程中的能量–物质张量发生了变化。人们可能会问如何处理这种情况。我们可以将分析限制在希格斯领域H上，表示为（48），其中H是希格斯的自四次方项，v是真空期望值（VEV）。在Starobinsky模型中，引入了共形变换（50），将希格斯作用量变为（51）。在我们的情况下，我们有（52），在爱因斯坦框架下动能项为（53），势能为（54），而共形因子给出（55）。前一节中提到的共形不变性的破缺，允许由1P函数产生的解保持希格斯领域的形状不变，因为在转变过程中共形因子只是一个常数。

7. 非最小耦合情况
我们考虑以下非最小耦合情况的拉格朗日量（56），其中是标量场，G是牛顿常数，是里奇标量，是宇宙常数，是非最小耦合系数；势能采取最简单的共形不变形式（57）。从拉格朗日量（56）出发，我们可以写出Dyson–Schwinger方程组[31]（58），其中是拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们想要对某种度量下的1P和2P相关函数进行评估。在与Starobinsky模型相同的极限下工作，即里奇标量保持恒定且非常大，我们得到方程（59）。我们观察到，在规范化之后，取负值（见方程（45）），但观察方程（59）中势能最小值的解，非最小项的存在可能会阻碍相变的发生。这与参考文献[50]中的结论一致，该文献指出这种非最小耦合的一般效应是阻碍真空之间的隧穿。

8. 讨论与结论
在这篇综述中，我们回顾了处理强耦合理论的方法，特别是涉及具有de Sitter背景、二次引力和非最小耦合标量与里奇曲率的理论。在某些条件下，与Nambu–Jona–Lasinio模型中发生的情况非常相似，后者可以用来描述强相互作用[57]，可以实现一个涉及非线性可重整化模型的有效描述；在本文中，我们还展示了如何用一个标量来描述引力。特别是，我们从包含Starobinsky项的简单二次引力模型出发，强耦合极限下的情况归结为具有一个大的且恒定的，以及为标量场产生的质量间隙。强耦合条件可以理解为，M是由于二次项导致标量子之间自相互作用的质量项。这反映了这一项代表了理论中引力子和标量自由度之间的相互作用。特别是，我们发现在没有宇宙常数的情况下，该理论具有质量间隙。对于Starobinsky和非最小耦合情况，我们都得到了一个涉及假真空行为的有效势能描述，并且这些描述可能会发生相变。特别是在涉及与引力的非最小耦合的情况下，众所周知的强耦合会影响原初宇宙学情景，例如那些涉及强一级相变的情景，从而促使人们寻找早期宇宙中的随机引力波背景。LIGO–Virgo–KAGRA网络已经在寻找这样的信号[58,59]，并为发展和测试强耦合极限下的真空衰变技术提供了可能性。我们预计这种探索非微扰窗口的新技术可以在不久的将来，利用当前和计划中的全球引力波探测器网络进行测试。