CLASH-VLT：通过联合透镜效应和运动学方法研究变色龙引力中的第五种力 洛伦佐·皮祖蒂（Lorenzo Pizzuti）、 费德里科·里瓦诺（Federico Rivano）、 梅津圭一（Keiichi Umetsu）以及 安德烈亚·比维亚诺（Andrea Biviano）

《Universe》：CLASH-VLT: The Fifth Force in Chameleon Gravity from Joint Lensing and Kinematics Cluster Mass Profiles Lorenzo Pizzuti, Federico Rivano, Keiichi Umetsu and Andrea Biviano

　　摘要：我们通过对CLASH和CLASH-VLT调查中九个巨大星系团的高精度联合引力透镜和运动学分析，来检验变色龙屏蔽引力及其在百万秒差距（Mpc）尺度上的子类。我们研究了总星系团质量剖面的假设参数化对分析结果的影响，采用了三种模型：Navarro–Frenk–White（NFW）、Burkert和Hernquist。当在一般变色龙框架中假设尖锐模型（NFW或Hernquist）时，来自这九个星系团的联合约束与广义相对论（GR）完全一致，排除了修改引力参数空间（耦合常数和背景变色龙场）的大部分区域，为迄今为止基于星系团的广义变色龙模型提供了最严格的限制之一。相比之下，采用Burkert剖面——这种模型不被透镜数据所支持——在联合分析中会导致与GR预期的轻微（约2σ）偏离。在考虑变色龙子类的情况下，我们得到了NFW和Hernquist模型的背景标量场限制（95%置信水平），这与宇宙学尺度上的当前约束一致；而对于Burkert模型，则显示出与标准引力的明显偏差。我们研究了运动学分析中的系统误差影响，发现当从样本中排除表现出明显动态扰动的星系团时，这种紧张关系得到了缓解。我们的结果表明，星系团为在百万秒差距尺度上测试屏蔽修改引力提供了有力的手段，同时突显了准确的质量建模和动态状态评估的关键作用。即将到来的宽视场透镜调查和光谱随访计划将能够在更大的样本上进行类似的分析，从而有望加强对引力和暗物质领域的限制。

1. 引言
自从发现宇宙低红移加速膨胀以来，其起源已成为宇宙学中的一个基本未解问题[1,2]。在当前由ΛCDM模型形式化的宇宙学范式中，这种加速是由广义相对论（GR）中的宇宙常数引起的，标准物理学尚未对其找到自然解释[3,4]。最简单的解释是，宇宙常数包含了占宇宙能量预算约68%的新未知成分——暗能量（DE）[6]，其特征是具有恒定的状态方程。尽管ΛCDM模型在不同尺度上出色地描述了多种现象，但数据集的质量和数量的增加突显了早期和晚期观测之间的几个矛盾[7,8]。此外，最近的DESI结果[9]提供了支持暗能量随宇宙时间演化的证据，进一步降低了ΛCDM模型的有效性，并暗示需要对其进行修改。然而，更近期的贝叶斯研究[10]表明，DESI DR2与ΛCDM的偏差主要是由于数据集之间的系统误差造成的，一旦适当考虑了残余的系统误差，这种偏差可能会减少。这突显了在测试非标准宇宙学场景时系统误差、数据集一致性和理论建模之间的微妙相互作用。

在各种可能性中，也考虑了对引力相互作用的大规模重塑（即修改GR）。虽然GR在小尺度上已经得到了巨大的成功验证[11,12,13]，但在宇宙学层面上的修改仍然是可行的，并且可以提供一种模仿ΛCDM范式背景演化的现象学[14,15]。暗物质和修改引力（MG）的替代方案通过引入新的（动态）自由度来改变宇宙结构的形成和演化。在这方面，星系团作为限制ΛCDM框架[16]和宇宙学层面新物理可能性的独特实验室而脱颖而出[17,18,19]。实际上，它们是宇宙中最大和质量最大的自引力系统，构成了结构形成过程的终点[20]。星系团的内部形状以及重子和暗物质的分布携带了关于引力和暗物质本质的关键信息[21,22]。的确，MG或新的动态成分改变了物质扰动与引力势之间的关系。如果GR被修改，非相对论性（星系和气体）和相对论性（光子）的质量剖面追踪器对引力相互作用的响应会有所不同；因此，结合透镜[23]和运动学[24]的质量重建的联合分析可以用来在Mpc尺度上限制MG模型。由于GR的预测几乎完美地适用于太阳系和银河系的测试，为了保持其有效性，可行的MG理论需要实现一种屏蔽机制[25,26,27]，这种机制可以在小尺度上抑制新的自由度并恢复标准引力。屏蔽的细节——即屏蔽的效率——决定了最终的现象学，对星系团的质量分布和动态特性留下了独特的印记[28]。

在这项工作中，我们专注于流行的变色龙屏蔽理论[29,30,31]——这是引力标量-张量理论的一个分支——其中新的自由度产生了一种影响非相对论性粒子运动的第五种力，这种力的大小取决于物质密度本身。如果调整得当，在高密度区域，变色龙场的有效质量会变得如此之大，以至于第五种力的影响可以忽略不计，GR得以重新确立。修改的强度取决于变色龙场的背景值和与物质的耦合。变色龙模型的一个广泛研究的子类是[32,33]中的引力。在这个框架中，爱因斯坦-希尔伯特作用量被推广，引入了Ricci标量的函数。结果，时空的几何形状被修改，一个额外的第五种力由标量场介导，可以映射到变色龙场上。对于一般变色龙模型和特定的实现，已经在广泛的物理尺度上获得了大量的严格约束[34,35,36,37,38,39,40]。最近的研究进一步利用银河系和亚银河系尺度上的强引力透镜可观测量探索了一般屏蔽修改引力。特别是，参考文献[41]引入了MG的现象学参数化，用一个后牛顿滑移参数和一个屏蔽尺度来描述从GR到修改状态的转变，作为度量势之间关系的突然变化。通过强透镜中的时间延迟，他们获得了形式的约束，有效地探测了范围在–内的尺度。类似的方法也被用于结合强透镜和恒星动力学的星系尺度分析，以在很大程度上基于现象学的框架内限制GR的偏差[42]。最近，强引力透镜对引力波的分析被提出作为一种探测屏蔽MG模型的新方法，通过限制来约束[43]。这些分析为在大尺度上研究引力提供了新的窗口，对相对论性部分和引力波在宇宙距离上的行为敏感。

这些方法与当前的工作是互补的，但在概念上有所不同。首先，类似变色龙的理论的特点是屏蔽机制主要依赖于局部引力势（或密度），而不是固定的物理尺度。在这种情况下，屏蔽状态和未屏蔽状态之间的转变可以与一个由密度场结构隐式定义的有效屏蔽半径S相关联，这使得在银河环境中难以检测到偏差。在这方面，星系团仍然是一个特别有趣的探索领域；它们位于天体物理学和宇宙学的交界处，屏蔽机制可能以非平凡且潜在可观察的方式运作，在星系团的质量剖面上留下特征性的印记。其次，虽然强透镜分析通常在星系尺度上探测相对论性部分，但本工作中呈现的分析利用了在Mpc尺度上相对论性（强和弱透镜）和非相对论性（星系运动学）追踪器之间的联合比较。这使我们能够直接限制变色龙引力的物理参数，即耦合常数和背景场值，将现有的约束扩展到预期由于涉及的不同密度和势而使变色龙机制以不同方式运作的环境。

此外，尽管变色龙引力相对简单，但它提供了一个受控且多用途的理论框架，使其成为一个有趣的研究案例，可以充分利用星系团的约束能力，并开发出可以后来扩展到更复杂MG场景的方法论。在下文中，我们使用CLASH[44]和CLASH-VLT[45]合作项目中广泛研究的九个巨大星系团的高精度引力透镜和成员星系的运动学信息，来限制一般变色龙引力和MG模型的子类。通过MG-MAMPOSS?代码[46]，我们获得了描述变色龙模型的自由参数的联合透镜-运动学后验分布，以限制参数空间的允许区域。由于变色龙屏蔽的效率与物质分布的结构密切相关，我们探讨了不同总星系团质量剖面规定对结果的影响。这是基于[47]中进行的理论分析，我们在其中实现了不同质量假设的变色龙引力的半解析解，并将其与模拟晕进行了验证；在这里，我们首次将这样的框架应用于真实的星系团数据集。我们进一步讨论了系统误差的影响，特别是动态松弛的偏差和成员星系分布中的亚结构存在。

本文的结构如下：第2节我们简要概述了变色龙模型；第3节我们介绍了用于分析的数据集和方法论，然后在第4节中展示了主要结果。最后，我们在第5节中总结了我们的主要结论。

2. 理论背景
具有屏蔽机制的标量-张量理论为在宇宙学尺度上协调引力的修改与严格的局部约束提供了一个合理的框架。其中，变色龙形式主义[29]是一个典型的例子，在这种形式主义中，标量自由度动态地适应周围环境，在高密度区域抑制了与GR的偏差，同时在大的尺度上保持活跃。变色龙标量场的动力学，与物质场共形耦合，由爱因斯坦框架下的拉格朗日量描述[1]，其中是缩减的普朗克质量，G是引力常数。物质场遵循Jordan框架度量的测地线[2]，其中表示标量场与第i种物质物种之间的无量纲耦合，c是光速。在这项工作中，我们对重子和暗物质组分采用了通用的耦合Q[38,48]。一个特别相关的案例是引力度量理论，它可以被重新解释为具有类似变色龙屏蔽机制的标量-张量模型。在这种对应关系中，标量自由度被识别为，耦合取固定值[49,50]。变色场与标量子之间的联系由以下方程给出[51]：其中量具有引力势的维度。因此，我们下面发展的形式主义同样适用于一般的变色龙模型和本工作中考虑的可行理论类别。

标量场的自相互作用被编码在一个单调势中，可以用幂律形式描述[4]，其中和设置了特征能量尺度，通常与暗能量尺度相关[40,47]。在对于星系团而言的准静态、非相对论性情况下，标量场的运动方程为[5]，其中求和遍及所有具有密度的物质组分。与物质的耦合产生了一个有效势[6]，其最小值明确依赖于环境密度。由于当前的观测约束要求[36,53,54]，指数项可以线性化，导致[7]。在这种形式中，扮演了额外引力势的角色，介导了第五种力，其强度取决于局部密度。特别是，假设球对称性，作用在非相对论性追踪器上的总引力加速度可以写为[8]，这激发了与标量场相关的有效质量的定义[9]。从运动学探针推断出的总动态质量因此为[10]，其中是由物质组分产生的总质量剖面。

变色龙和引力的一个重要特征是，零测地线在共形变换下是不变的。因此，引力透镜仅对由产生的牛顿势敏感[31]。因此，透镜观测提供了一个独立且（理想情况下）无偏的探测真实质量分布的方法，我们在分析中利用这一方法作为先验信息。对于Chameleon场的半解析解，Chameleon机制自然地将现象学分为两个区域。在一个大质量物体的内部，由于密度很高，场迅速放松到最小值，空间梯度变得可以忽略不计。在这个被屏蔽的区域，标量场大致满足（11）式，其中。因此，第五种力被强烈抑制，引力有效地简化为广义相对论（GR）。接下来，如通常所做的[47,55]，我们将假设。在更大的半径处，物质密度减小，场尚未达到有效势能的最小值，的贡献变得次要。在这个未被屏蔽的区域，标量场遵循（12）式。假设球对称性，这对于放松的星系团是一个很好的近似[56,57]，这个方程简化为（13）式。单次积分明确显示，标量场梯度，因此第五种力，是由包围的质量分布（14）式产生的，其中是积分常数。通过在一个特征屏蔽半径处匹配内部和外部解来获得完整的标量场分布，该屏蔽半径定义为屏蔽区域和未屏蔽区域之间的过渡尺度（例如[58,59]）。在处，场被强烈抑制，第五种力可以忽略不计，而在处，标量场介导引力的长距离修改。因此，这个屏蔽半径包含了chameleon引力和引力的环境依赖性，在星系团的现象学中起着核心作用。实际上，如[47,60]中已经指出的，方程（14）依赖于假设用来模拟物质密度分布的剖面，这影响了chameleon场剖面的形状，并改变了屏蔽机制的效率。[47]对模拟的星系团大小晕进行的分析进一步表明，当其他系统误差得到控制时，质量建模的效果不会引入相关的偏差或虚假检测。然而，对于真实的星系团来说可能并非如此，因为观测系统误差和质量重建中的假设预计会影响分析[61]。在这项工作中，我们遵循[61]的方法，并考虑了三种质量剖面假设，这些假设已被发现能够适当地拟合观测到的星系团中的总物质分布[24,62]，即Navarro–Frenk–White（NFW）模型[63]，（15）式，其中是密度剖面的对数导数假设的值的半径；Burkert模型（例如，参考[64]），定义为（16）式，其中，最后是Hernquist模型（例如，参考[65]），（17）式，其中。所有剖面都由两个自由参数特征化，即尺度半径和“维里”半径，定义为包围平均密度为宇宙在星系团红移时临界密度200倍的球体的半径。相应的维里质量是。每个模型在小尺度和大尺度上表现出不同的行为；对于，Burkert剖面变平，而NFW和Hernquist模型随着的增加而发散。因此，这转化为方程（8）右侧最后一项中外部梯度的不同形状。更具体地说，对于NFW模型，有（18）式，其中，是上面定义的积分常数，是典型的中心密度参数。在匹配半径处的条件由（19）式给出。在以上，量代表背景中的场值，它是我们旨在约束的自由参数之一。在Burkert剖面的情况下，外部chameleon场梯度由（20）式给出，与内部解的匹配在获得。为了得到屏蔽半径S，必须解决数值方程（21）式。对于Hernquist模型，梯度为（22）式，条件为（23）。3. 星系团数据集和分析设置在这项工作中，我们考虑了来自CLASH [44]和CLASH-VLT [45]合作项目的九个大质量星系团样本。整个CLASH样本包括25个星系团，这些星系团已经由哈勃太空望远镜收集了高质量的成像数据；其中14个系统可以从南半球通过甚大望远镜（VLT）上的VIMOS仪器进行光谱随访，提供了大量——具有精确速度确定的确认的光谱星系团成员。五个CLASH星系团因其强透镜特性而被选中，而其他20个系统则是根据钱德拉观测选出的，因为它们具有高X射线温度（keV）和形态规则的形状。对于CLASH样本的一个大子集——包括在这项工作中针对的九个星系团——进行了深入的地面多波段成像，并作为CLASH项目的一部分进行了详细的弱透镜研究，如[62]中所呈现的。CLASH和CLASH-VLT数据集的前所未有的质量使得使用独立探针进行准确的质量剖面重建成为可能，例如[57,62,66,67]。几项多波段分析进一步探讨了CLASH星系团的动力学和形态学特性，例如[68,69,70,71,72,73]，这些研究揭示了一些系统可能远非平衡配置的复杂特征。一系列最近的工作[61,74,75]专注于九个CLASH星系团的子样本——Abell 383（A383）、Abell 209（A209）、RX J2129.7 + 0005（R2129）、MS2137 ? 2353（MS2137）、RXC J2248.7 ? 4431（R2248，也称为Abell S1063）、MACS J1931.8 ? 2635（M1931）、MACS J1115.9 + 0129（M1115）、MACS J1206.2 ? 0847（M1206）和MACS J0329.7 ? 0211（M329）——跨越了红移范围，以研究成员星系的动力学特性，并进一步限制了与GR偏离的通用特征。在这里，我们利用相同的九个系统通过成员星系的运动学来重建chameleon引力中的总引力势，并在子情况下提供背景标量场（）的界限。对于每个星系团，我们采用了一个基于[62]中对所有第2节讨论的参数质量模型进行的强透镜和弱透镜分析结果的质量剖面参数的信息性先验。这一步对于打破chameleon屏蔽中的第五种力与描述物质分布的参数之间的不确定性至关重要（参见例如[38]）。[62]中的联合弱透镜和强透镜分析是使用CLUMI代码[76,77]进行的，该代码是一个基于透镜可观测量的方位角平均径向剖面的似然框架。在这种方法中，每个星系团的投影质量分布由一个分段定义的、径向分箱的收敛剖面表示。分析结合了来自16波段哈勃太空望远镜（HST）观测[78]的内部约束和主要使用Suprime-Cam在Subaru望远镜[79]获得的宽场多波段成像。通过结合互补的透镜探针，这个框架不仅提高了质量重建的精度，还使得探针依赖的系统效应的校准更加准确。具体来说，质量重建基于一个联合输入数据向量，该向量由两组测量组成：（1）在四个等间隔的积分半径（10–40弧秒）处的中心封闭孔径-质量约束，这些约束来自CLASH-HST数据的详细强透镜和弱剪切建模[78]；以及（2）在10个对数间隔的径向区间内评估的更大尺度上的弱透镜剪切和放大偏差测量。对于所有剖面，最亮的星系团位置被采纳为星系团中心。为了严格考虑重建的收敛剖面中的不确定性，参考[62]使用了一个完整的协方差矩阵，其中包括四个不同的贡献：（1）来自联合似然分析的统计观测误差；（2）残余的质量片不确定性；（3）沿视线方向投影的未相关大尺度结构的宇宙噪声协方差；以及（4）由晕的三轴性和相关子结构驱动的投影星系团透镜信号的内在变化。使用每个星系团的分箱收敛剖面及其完整协方差矩阵，CLASH弱透镜和强透镜分析推导出了NFW、Burkert和Hernquist质量模型的晕结构参数的后验分布。在目前的工作中，我们采用相应的边缘化后验分布，表示为，作为一个稳健的、数据驱动的先验。对于运动学数据，我们考虑了每个星系团的投影相空间（以下简称p.p.s.），其中是第i个成员星系相对于星系团中心的投影位置，是星系团静止帧中测量的视线（los）速度。星系团成员的选择是使用[74]中的CLUster Membership in Phase Space（CLUMPS）方法进行的。我们使用[46]中的MG-MAMPOSS?代码分析p.p.s.，这是[81]中的MAMPOSS?算法的一个版本，它在动态平衡的假设下对球形自引力系统的质量剖面进行运动学确定。该方法基于Jeans方程，并进一步假设三维速度场的高斯形状。MG-MAMPOSS?配备了描述在宇宙尺度上可行的各种暗物质、暗能量和修正引力模型的通用参数化[57,82]。请注意，解决Jeans方程需要知道星系的数密度分布，以及轨道的各向异性剖面，定义为（24），其中分别是沿径向、切向和方位角分量的速度弥散；在球对称性中。速度各向异性定义了星系团中星系的平均形状，它通常是距离星系团中心的距离的函数。由于所谓的质量各向异性简并性，无法直接观测到（例如[83]）；MG-MAMPOSS?通过假设一个各向异性参数模型并拟合描述这些参数以及引力势的参数来克服这一限制。我们使用广义Tiret模型（例如[74,84,85]），（25），该模型已被证明能够很好地描述星系团中各种星系的轨道[85]。在方程（25）中，和代表在和非常大的半径处的各向异性，而是一个尺度半径，通常设置为星系团质量剖面的。关于数密度剖面，我们依赖于[74]的结果，他们拟合了成员星系的投影分布，修正了完整性，采用了[86]中的方法。所有星系团的投影数密度剖面都很好地被投影NFW模型描述，除了A209，对于该星系团更倾向于使用King模型[87]。虽然两个模型都由两个自由参数描述，在Jeans方程中，的标准化简化了它，剩下的唯一参数是特征尺度半径。在MG-MAMPOSS?分析中，我们考虑了一个高斯先验，其幅度由[74]的拟合发现的不确定性确定。关于动态属性和从透镜和运动学分析（在标准引力下）得出的质量剖面参数的约束，以及数密度尺度半径的总结可以在[61]的表1中找到。在这里，我们应用了[61]中描述的相同设置，并考虑了投影区域内的星系，其中是参考[71]的透镜分析估计的维里半径的值。作为一致性检查，我们将每个星系团的上限变化了约10%，以确保最终结果不会受到这一假设的显著影响。我们实现了方程（8）中引力势的表达式，假设了NFW、Burkert和Hernquist模型的场剖面分别为（18）、（19）和（22）。对于一般的chameleon框架，与GR的偏离程度完全由耦合常数和背景场值指定。然而，如第2节所讨论的，第五种力的形状也取决于质量剖面参数。因此，我们进行了蒙特卡洛-马尔可夫链（MCMC）探索整个参数空间。在每次尝试中，我们从透镜分布中采样，同时对假设平坦的先验。请注意，在MG-MAMPOSS?中，用于各向异性的缩放参数总是正的，分别是切向、各向同性和径向轨道的。我们考虑的是：尺度半径是从上述描述的信息性高斯分布中采样的。至于变色龙参数，我们考虑了重新缩放的变量（例如，[38,54]），这些变量的范围在某个特定范围内。当关注某个类别时，我们假设一个平坦的先验分布。对于所有的MCMC运行，我们丢弃前5000个点作为燃烧期，并通过执行Geller–Rubin测试来确保收敛，具体方法如[61]中所述。4. 结果首先，我们考虑一个一般的变色龙场景。在图1中，我们以A209的联合透镜和运动学分析为例，展示了在平面上允许的区域（深色阴影区域）和（浅色阴影区域）。每个面板对应于不同的总星团质量分布假设。图1. A209的MG-MAMPOSS?分析中平面上允许的区域（深色区域）和（浅色区域）。（左）：NFW质量剖面。（中）：Burkert剖面。（右）：Hernquist剖面。图1中的所有三个后验分布都与标准引力预期在水平上保持一致；然而，在大偏差范围内，可以观察到轮廓形状的边际变化，其中在NFW剖面的情况下，排除的区域略有缩小。这种行为反映了具有不同密度斜率的星团中筛选机制的不同效率[47]。特别是，NFW模型对于较大的耦合常数值显示出更有效的筛选效果，通常导致参数空间中允许的区域更大，与其他两个剖面相比。所有星团的完整后验分布分别显示在附录A的图A1、图A2和图A3中，对应于NFW、Burkert和Hernquist质量模型。当假设NFW或Hernquist剖面时，没有发现任何星团与广义相对论（GR）有统计学上显著的偏差。A209、A383和R2248在假设Hernquist时显示出轻微的偏差，而M329在选择NFW模型时也显示出偏差，尽管这三个系统已知具有动态复杂性。虽然[73]的分析表明M329距离动态松弛不远，但该星团位于一个相对丰富的环境中；R2248显示出扰动的迹象[61,72,82]，而A209显示出最近或正在进行的合并事件的证据[70]。这些因素可能会增加动态质量参数与修正引力自由度之间的简并性。当使用Burkert剖面对星团质量分布进行建模时，会出现略有不同的行为。在这种情况下，R2248中的张力增加到约3的水平，而A383、R2129和M329则更倾向于较大的变色龙参数。这一趋势与[62]中的强+弱透镜分析结果一致，这些分析对于我们的星团样本稍微不青睐Burkert模型。特别是对于R2248和R2129，透镜数据更适合于从运动学推断出的显著较小的值。在变色龙框架内，这部分张力可以通过额外的参数和来吸收。由于方程（6）的结构，如果比较GR中的更深势阱（较大的）和由非零修正引力参数补充的较浅质量剖面，成员星系的投影相空间分布可以几乎保持不变。因此，当透镜先验倾向于较低的晕半径时，联合似然可能会将概率转移到与GR偏差相关的参数空间区域。为了量化这些偏移是否真正支持修正引力，我们进一步计算了在变色龙模型内联合运动学+透镜分析中每个质量剖面假设的贝叶斯证据。表1列出了样本中所有九个星团的值。表1. 对数证据（）以及与NFW模型的差异。正值表示相对于NFW的偏好。值得注意的是，NFW和Hernquist之间的对数证据差异相对较小（–2），这表明一旦包括了修正引力部分，联合透镜和运动学数据并不能显著区分这些尖锐的参数化。相反，在A209中Burkert剖面被明确不青睐（相对于NFW），而在R2248和R2129中则中度不青睐。因此，所检查的证据表明，在一些基于Burkert的运行中观察到的向和的轻微偏移可能不是修正引力的稳健标志，而是由于采用的透镜先验下质量剖面参数与变色龙自由度之间的简并性所致。仅基于运动的运行假设和的平坦对数先验，并且没有偏好任何模型，其中始终小于1。为了完整性，我们还评估了Akaike（AIC）和贝叶斯（BIC）信息准则（参见例如[85]），这些准则基于似然值的比较，并引入与自由参数数量成比例的惩罚。然而，由于这里考虑的所有质量模型具有相同数量的自由参数，这些准则简化为基于最大似然的比较，得出的结果与贝叶斯证据完全一致。图2进一步显示了假设NFW剖面时每个星团的筛选半径S的后验分布作为的函数。在九个星团中有六个，该分布在Mpc以上减少了90%，这与星系团的物理尺度相符，而R2248、M1115和M1931在大S值时显示出较浅的后验分布。图2. 从单个星团分析中获得的筛选半径S的后验分布。假设使用NFW模型来模拟质量分布。原则上，背景变色龙场随宇宙时间演化（即：；这种演化由表征场势的参数驱动（例如，[31,88,89]）；然而，由于我们的星团样本的红移范围有限（0.19–0.45），我们可以安全地忽略时间演化，并将所有星团的独立分布结合起来。图3显示了三种质量模型的联合二维约束。图3. 从九个星团的联合边缘化分布中得到的参数空间中的二维（深色区域）和（浅色区域）允许区域。（左）：NFW。（中）：Burkert。（右）：Hernquist。垂直虚线指的是（即，变色龙的子情况）。NFW和Hernquist模型与GR完全一致，进一步提供了对允许参数空间的严格限制，排除了该区域。这证实了[46,47]的预测，并在使用星系团时对一般变色龙模型在Mpc尺度上施加了最严格的限制。另一方面，Burkert模型在所有九个对象的联合分析中导致与GR预期的约2的偏离。这种明显的张力源于后验分布中每个星团的轻微偏移，这为联合约束增加了连贯性。作为第二步，我们通过固定并根据方程（3）1将标量场识别为变色场函数的变色龙模型类别进行了研究。我们再次对样本中的所有星团进行了MG-MAMPOSS?分析；图4中的三个图表显示了NFW、Burkert和Hernquist的一维分布。在每个面板中，我们描绘了单个星团的后验（带部分透明度的实线）以及通过组合九个边缘化后验得到的联合分布（完全不透明的实线）。图4. 我们样本中九个星团的MG-MAMPOSS?运动学+透镜分析得到的背景场的边缘化分布。（左）：NFW。（中）：Hernquist。（右）：Burkert。实线蓝色线条对应于考虑所有星团得到的联合分布，而虚线黑色线条指的是排除受扰动星团的情况。与一般变色龙框架的发现类似，NFW和Hernquist质量模型的联合后验与一致，尽管在后一种情况下有轻微的偏移。在图5中，我们进一步展示了使用Hernquist剖面分析A209时涉及的所有参数的三角形图示例。等高线的形状反映了标量场和质量剖面参数之间的简并性。特别是，二维平面显示第五力的效应可以通过较浅的势阱来补偿（即，允许较小的）。图5. 在A209的MG-MAMPOSS?运动学+透镜分析中，自由参数的边缘化一维（深色填充区域）和二维（浅色填充区域）分布。假设使用Hernquist模型作为总质量剖面。总体而言，我们获得了NFW和Hernquist在95%置信限制下的联合约束。正如预期的那样，当采用Burkert剖面时，与GR的系统性张力更为明显，导致联合约束为（26），这与当前的天体物理学和宇宙学界限（例如，[40,90]）明显矛盾。为了支持这种明显偏差是由残余系统误差而不是真正的修正引力特征驱动的观点，我们遵循[61]中概述的程序，将联合分析限制在动态松弛的系统上。具体来说，我们排除了显示出明显动态扰动证据的星团，这些扰动通过两个互补指标来量化：亚结构中的星系比例，以及从成员星系的视线速度分布计算出的Anderson–Darling统计量。参数衡量了速度分布中的高斯性偏离，并已被证明与由非平衡动力学引起的虚假修正引力信号的似然性强烈相关[91]。亚结构中的星系比例是通过[92]开发的DS+算法估计的，该算法利用了全部p.p.s.信息来识别亚结构。相应的值报告在[61]的表中的最后两列中，我们在这里不再重复它们。请注意，选择具有低值和的星团不仅隔离了动态松弛的系统，还间接偏好具有更规则和对称质量分布的系统。实际上，松弛的星团预计更接近球形对称性，而强烈扰动的系统更可能表现出显著的三轴性。这一考虑进一步得到了CLASH样本本身的属性的支持，专门的天体动力学模拟表明它没有显示出显著的方向偏差[93]，使得在当前考虑的精度水平上使用球形模型是一个合理的近似。因此，这种选择部分减轻了与偏离球形对称性相关的潜在系统误差。同样重要的是要指出，三轴性已经在强+弱透镜协方差矩阵中被视为统计不确定性的来源，这些协方差矩阵是基于数值模拟校准的[62,79]。我们从联合拟合中移除了具有和的系统，即A209、M1115、R2248和MS2137；结果分布显示为图4中的黑色虚线。虽然上限几乎没有变化，但在所有情况下都发现了在处的边缘化分布的上升，尤其是在Hernquist质量模型中最为明显。这一练习再次强调了在使用星团质量剖面测试引力本质时系统校准和准确质量建模的重要性。我们的MG约束在限制分析到这个子样本时仍然稳定，这表明残余的三轴性不是观察到的趋势的主要驱动因素，主要系统效应与动态非平衡有关。5. 结论在这项工作中，我们使用来自CLASH和CLASH-VLT数据集的九个大质量星团，对变色龙筛选引力及其子类进行了联合运动学-透镜测试。我们使用MG-MAMPOSS?代码在球形对称性和动态平衡的假设下对成员星团的动力学进行了建模，并采用了来自强+弱透镜重建[62]（如在[61]中实现的）的晕结构参数的信息性先验。对于一般变色龙场景，我们探索了采用三种不同总质量分布假设（NFW、Burkert和Hernquist）的参数空间。当假设具有特定质量分布的星团模型（如NFW或Hernquist模型）时，九个星团的联合约束结果与广义相对论（GR）一致，并排除了大部分可能的区域，从而以较高的可信度排除了某些特定假设。这些结果与之前的星团尺度预测[46,47]以及对真实样本的分析[38,54,58]大体一致，表明联合使用透镜效应和动力学研究可以对Mpc尺度上的引力修正模型施加严格的限制。如果采用Burkert质量分布模型，则会出现不同的行为：此时，各个星团的参数后验分布会显示出轻微的系统性偏移，这些偏移在综合约束中累积起来，导致与GR预测结果有大约2%的偏离。证据分析表明，这些偏移并不强烈支持引力修正理论，而更自然地可以解释为当假设的内部质量分布斜率与部分样本的透镜效应约束存在矛盾时，引力修正模型参数之间的不确定性增加所致。

接下来，我们专注于一个特定子情况，即固定某些参数值，并对标量场（scalaron field）的对数进行采样，同时使用一个平坦的、信息量较少的先验分布。对于NFW和Hernquist模型，我们得到的联合约束结果与广义相对论一致，并且得到的上限值在95%置信水平上与当前的宇宙学约束相符。相反，如果采用Burkert模型，则联合后验分布的峰值会偏离零，这与天体物理和宇宙学观测结果存在矛盾（例如[40,90]）。我们通过排除那些显示出明显非平衡状态的星团（基于子结构比例和Anderson-Darling统计量），重新进行了分析，发现所有质量模型的后验分布都向某个特定值偏移，这支持了这样的解释：部分看似由Burkert模型引起的矛盾实际上是系统内部动态复杂性的结果。这种处理方法可以被视为一种有针对性的（且相对保守的）系统误差缓解策略，而非对系统误差的全面处理；因为已知还有其他因素（如投影效应和重子反馈）会影响透镜效应质量测量[94,95]，参见综述[96]；此外，残余的低信度干扰以及简单双参数质量模型的潜在建模限制也可能对推断结果产生不可忽视的影响，因此需要更精确的多组分分析[57,60]。此外，研究表明，尽管三轴性不是系统误差的主要来源，但在沿视线方向观测星团时，三轴性可能会影响质量分布的测量结果[91]。就透镜效应分析而言，如果星团样本存在朝向视线的排列偏差，那么无论假设球形还是椭球形质量分布，都会导致质量估计的系统性偏差[71]。因此，我们正在开展专门的工作，将我们的框架扩展到三轴质量分布情况。

需要注意的是，要加强对引力模型的星团尺度测试，不仅需要扩大统计样本规模（即增加星团数量），还需要通过更全面的多探针方法严格控制系统误差。随着新一代宽视场光度测量技术的出现（如Euclid[97]、Vera Rubin天文台[98]和Roman太空望远镜[99]），以及旨在测量大型星团样本中成员星系速度的专门光谱学项目（如DESI[100]、4MOST[101]或MOONS/VLT[102]），这将变得越来越可行。此外，已有几个专门针对星团的研究项目提供了高质量的多波长质量重建数据，这些数据特别适合用于晕区尺度的引力测试。例如X-COP[103]、CHEX-MATE[104]和HeCS/HeCS-SZ[105,106]等项目结合了X射线、Sunyaev-Zel’dovich效应和光学光谱数据，能够精确确定从星团核心到边缘的热力学和动力学特征。将联合透镜效应-动力学分析扩展到更复杂的系统不仅能够减少统计不确定性，还能在动态状态、质量、红移和环境等多个维度上进行严格的一致性检验，从而识别并可能建模出系统误差的主要来源。

最后，尽管“变色龙筛选”（chameleon screening）和简单的参数化方法目前已经得到了很好的约束，但它们仍然是研究星团尺度上引力修正理论的重要且定义明确的实验室工具，为更复杂的情景（如扩展的标量-张量模型[107]、环境依赖的耦合机制，或是超越Horndeski模型的更高阶理论[108,109,110]/退化的高阶理论[111,112]）提供了宝贵的基准。从这个意义上说，当前的分析为使用未来的星团数据集进行更广泛的引力测试奠定了方法论基础。