在超标度方法和相对论性畸变波脉冲近似下，带电流中微子诱导的单π介子产生 （Charged-Current Neutrino-Induced Single-Pion Production using the Superscaling Method and the Relativistic Distorted-Wave Impulse Approximation） 作者： 耶稣·冈萨雷斯-罗萨（Jesus Gonzalez-Rosa） 亚历克西斯·尼科拉科普洛斯（Alexis Nikolakopoulos） 玛丽亚·B·巴尔巴罗（Maria B. Barbaro） 胡安·A·卡瓦列罗（Juan A. Caballero） 劳尔·冈萨雷斯-希门尼斯（Raúl González-Jiménez） 吉列尔莫·D·梅吉亚斯（Guillermo D. Megias）

《Universe》：Charged-Current Neutrino-Induced Single-Pion Production in the Superscaling Approach and Relativistic Distorted-Wave Impulse Approximation Jesus Gonzalez-Rosa, Alexis Nikolakopoulos, Maria B. Barbaro, Juan A. Caballero, Raúl González-Jiménez and Guillermo D. Megias

　　摘要 最近，与光学瞬变体AT2020afhd相关的潮汐破坏事件后形成的吸积盘和喷流的共同进动被分别在X射线和射电波段独立测量到，这一现象是由一个质量接近一千万太阳质量的超大质量黑洞驱动的。观测到的周期约为20天，持续了大约300天。一个基于广义相对论的引力磁学Lense-Thirring进动模型的分析可以解释这一现象，该模型描述了一个假想测试粒子围绕一个旋转的主天体运行的轨道的进动特征。该模型得出了系统参数空间中的允许区域，在这些区域中，就黑洞的无量纲自旋参数而言，与文献中通过广义相对论磁流体动力学模拟得到的结果基本一致。目前的分析方法还可以扩展到包括由于黑洞的四极矩引起的进动。这种方法打破了仅考虑Lense-Thirring效应时出现的参数区域的简并性。对于黑洞质量的最佳估计，其无量纲自旋参数的范围是0.185–0.215。使用相同的策略，对于具有参数化幂律质量密度的扩展盘，可以得到每个幂律指数对应的不同的、通常不重叠的允许区域。本文基于的一些假设也受到了批判性的审视。

1. 引言
潮汐破坏事件（TDEs）最初由Hills [1] 理论预测，当主序星经过超大质量黑洞（SMBH）或更紧凑地称为巨质点（MP）[2]（如存在于多个星系核心的黑洞）时，由于引力场的强烈梯度作用，这些恒星会被撕裂[3,4,5]。产生的碎片会围绕黑洞形成一个轨道，暂时形成一个快速圆化的[6]厚吸积盘[7,8]，这个吸积盘最初相对于黑洞的赤道平面是倾斜的[9]。随着时间的推移，由于作用在盘中的电离粒子上的磁力，它倾向于与黑洞的自转对齐[10]。围绕吸积黑洞的复杂物理环境[11]有时还会诱导形成一个中等相对论性的喷流[12,13,14]，这种喷流在几个月到几年的时间内可以通过发射射电波被观测到，同时吸积物质会释放X射线。只要吸积盘相对于赤道的不对齐持续存在，复杂的广义相对论磁流体动力学（GRMHD）模拟就预测喷流和盘将保持紧密耦合[15,16]，表现出通常归因于广义相对论引力磁学Lense-Thirring（LT）效应的共同进动[17,18,19,20]。在这里需要澄清的是，“引力磁学”这一术语与引力和真实磁力之间的任何相互作用无关，它仅仅是因为广义相对论的线性化爱因斯坦场方程在弱场和慢运动极限下与电磁学的线性麦克斯韦方程形式上的相似性[21,22,23,24,25,26,27]。在这种近似下，时空度量张量的非对角线项导致围绕旋转质量体的测试粒子感受到一种加速度，这种加速度类似于电荷在磁场中移动时所经历的洛伦兹力。在TDEs的背景下，LT效应在X射线和射电波发射中留下了特征性的准周期调制信号，到目前为止，这些信号从未同时被观测到，而是分别在X射线[19,28,29]或射电波段[30,31]中被测量到。这种情况最近随着2020年LEDA 145386星系中光学瞬变体AT2020afhd/ZTF20abwtifz的显著重新亮化而发生了变化，在这次事件中，首次同时测量到了来自盘-喷流的X射线和射电信号的共同进动[32]。从大约300天的数据分析中得出的图像显示，这是一个质量约为一千万太阳质量的Kerr型SMBH，它以较慢的速度旋转，将一个轻微不对齐的盘拖入了一个周期约为20天的进动；相关参数见表1。

表1. Wang等人[32]确定的与AT2020afhd相关的TDE的物理和轨道参数。SMBH的质量为，而太阳的质量用表示。盘-喷流共同进动的周期为天。角度是从Wang等人[32]的图5A中采用的坐标系的参考z轴计量的，该轴的方向假设与SMBH的对称轴相同，单位向量是盘轨道角动量的，而分别是视线方向的经度和余纬度。本文展示了使用一个非常简单的分析模型可以得到关于LT假设和SMBH自转的相同结果，这个模型在形式上精确到第一后牛顿（1pN）水平，该模型描述了一个假想测试粒子沿某种“有效”圆形轨道运动的引力磁学进动[33,34]，其半径等于所考虑的SMBH的潮汐破坏半径。这种描述甚至可能不仅仅是简单的现象学上的巧妙处理，因为GRMHD模拟显示，在TDEs中预期的盘确实会刚性旋转[17,35]。通过量化SMBH的四极矩[36]的贡献，这一描述可以进一步完善，而Wang等人[32]在他们的研究中忽略了这一点。同样的方法也可以直接扩展到其他系统，例如Iorio [34,36]对最近从SMBH M87*周围测量到的喷流进动的研究[30,37]。如果进一步分析能够证实这一点，这可能被视为“后牛顿近似在引力物理学中的不合理有效性”的另一个意外例子[38]。实际上，必须认识到，除了Lense-Thirring效应之外，还有其他物理机制也可能解释观测到的现象，例如盘振荡、轨道热点和喷流不稳定性。通常存在于SMBH周围的磁场也可能导致由电离物质组成的盘的进动。最后，另一个处于适当距离的大质量伴星也可能引起盘的进动。详细检查所有这些可能的替代原因超出了本文的范围，因为它们值得单独的研究。

本文的结构如下。第2节描述了用于有效描述盘-喷流共同进动的数学模型。第3节应用该模型来推断系统参数的约束。第4节专门分析了Wang等人[32]使用具有幂律密度剖面的有限大小盘得到的结果。第5节批判性地审视了本文主要依赖的一些假设。第6节总结了目前的发现并提出了结论。

2. 无毛盘进动的数学模型
一个测试粒子围绕质量为M、角动量为J、具有维度四极矩为的物体运行的轨道角动量单位向量的进动可以表示为
(1)
其中，进动的角速度向量是
(2)
这里，是主天体的自转轴，
[34,36]
(3)
在方程(3)中，G是牛顿引力常数，c是真空中的光速，e是轨道偏心率，p是轨道半长轴，在极限情况下，它简化为轨道半径，
(4)
开普勒平均运动可以重写为
(5)
对于圆形轨道而言。
在Kerr度规[39,40,41,42]的情况下，据信它描述了旋转黑洞[43]的外部时空，所谓的“无毛”（NH）定理[44,45,46]，正如J.A. Wheeler [47]的幸运格言所说，与普通的非球形物质体不同，所有质量和自旋多极矩和都可以表示为
(6)
其中是虚数单位。从方程(6)可以看出，奇数阶的质量矩和偶数阶的自旋矩消失了；奇数阶的质量矩就是黑洞的质量，而偶数阶的自旋矩与其自转角动量成正比。对于Kerr黑洞，后者是
(7)
方程(7)来自于Kerr度量在Boyer–Lindquist坐标系[53]中的分量趋于无穷大的条件。四极矩，即方程(6)中的质量矩，这里重新命名为，
(8)
在方程(7)中，是无量纲自旋参数[54]，可以被视为第二特征长度
(9)
进入以黑洞引力半径为单位的Kerr度量
(10)
的值必须满足条件
(11)
如果
(12)
如果Kerr黑洞被认为是最大旋转的，或者说是极端的。尽管在数学上是可能的，但极端黑洞的实际存在仍有争议；参见例如[56,57]及其中的参考文献。如果它是，那么将形成一个没有视界的裸奇点[58]，这将违反尚未得到证明的宇宙审查猜想[59,60]，特别是在物质体引力坍缩的情况下；有关最近的讨论和综述，参见例如[61,62,63]及其中的参考文献。值得注意的是，没有视界的存在意味着由于闭合类时曲线可能导致因果关系的违反[64,65]。
应该注意的是，方程(3)基于由牛顿四极矩和旋转物质的1pN引力磁场引起的测试粒子的轨道倾角和升交点经度的平均进动[34,36]。因此，原则上不能保证如果主天体是Kerr黑洞，这些关系也成立。实际上，到目前为止，尚未找到Kerr度量的任何物质来源，尽管已经付出了显著的努力[66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83]。因此，后者仅描述了旋转黑洞的外部时空。尽管如此，直接计算在Kerr度量中移动的测试粒子的测地线方程的阶数，用Kerr–Schild准笛卡尔坐标表示[39,40]，表明方程(3)也适用于Kerr黑洞，只要进行了形式上的替换
(13)
在这里，和分别是作为主天体的扁平物质体的无量纲四极矩和赤道半径。
鉴于后续的发展，回顾一下对于Kerr黑洞，最内稳定圆形轨道（ISCO）[54]的半径
[14]
在黑洞的赤道平面内，如果和是平行的（顺行运动），其范围是从（）到（）；如果和是反平行的（逆行运动），其最大值出现在[54]
[15]
如果
方程(14)和(15)得出
(16)
如果，方程(14)–(17)产生
(18)
图1显示了根据方程(14)–(17)的作为函数变化的半径。图1显示了顺行（+，左侧面板）和逆行（?，右侧面板）ISCO的半径，以黑洞的无量纲自旋参数为单位。结果表明，ISCO的半径与的符号无关；此外，它是。

3. 约束参数空间
这里采用的策略是将现象学上测量的盘-喷流共同进动频率
(19)
与方程(3)进行匹配。后者用方程(7)和(8)表示，以便得到Kerr黑洞的NH进动角速度。然后，将其视为一些系统关键物理和轨道参数的函数作为独立变量。最后，施加条件，即它必须位于方程(19)的范围内，即
(20)通过这种方式，可以得到参数空间中允许的区域。之所以只能使用进动频率的绝对值，或者等效地，使用进动周期的绝对值，是因为在这种情景下，人们无法测量三维空间中的完整进动，只能直接观测到其在天空平面上的投影。这一事实可以更正式地理解为：设为单位矢量的视线方向，它与参考方向的角度为。由于超大质量黑洞（SMBH）的自转是固定的，因此是常数。盘-喷流共进动在视线方向上的投影为（21）。根据方程（1），方程（21）可以写为（22），其中是模量为的常数矢量与进动单位矢量之间的时间依赖角度。由于，后者对应于，方程（22）无法区分投影进动的两个可能方向。

3.1. 最一般情况下的参数空间
我们做出以下广泛假设：
1. 引起潮汐破坏（TDE）的原因是SMBH，因此[84]；
2. 为了使潮汐破坏实际发生在SMBH外部，并伴有可检测的耀斑，必须满足[1]；
3. SMBH的外部时空由Kerr度规描述；
4. 由于电磁性质的非引力效应的介入，盘面相对于SMBH的自转轴的倾斜不会过大，因此[ ]；
5. 有效轨道的半径应该至少大于SMBH的ISCO半径。

方程（20）的条件初步得出了三维参数空间中允许的区域，如图2所示，适用于顺行和逆行的ISCO。关于第2点，可以这样解释：如果恒星的质量为，半径为，且其潮汐破坏半径小于SMBH的事件视界，则恒星会在被潮汐撕裂之前被整个吞噬，因此不会产生任何耀斑。实际上，如果一个主序星沿着椭圆轨道围绕SMBH运动，且其近心点落在[3,5,85]范围内，那么该恒星就会被撕裂。上述条件仅适用于[1]。

图2. 通过施加以下条件得到的三维参数空间中允许的区域：使用方程（7）和（8）计算的NH进动频率的绝对值位于方程（19）的实验范围内，用于观测到的盘-喷流共进动；有效测试粒子轨道的半径大于顺行（左图）和逆行（右图）赤道ISCO的半径。轨道角动量的余纬度的最佳估计值取自表1，而和分别允许在其预期的完整范围内变化[1,84]。在获得这些值时，使用了适用于赤道轨道的方程（14）–（17）。实际上，代表进动盘面的有效轨道平面并不完全与黑洞的赤道对齐；因此，严格来说，方程（14）–（17）并不完全适用。尽管如此，它们可以被认为是相当好的近似。事实上，由于假设轨道相对于黑洞赤道的倾斜角度较小，Kopá?ek和Karas [86]的图5左侧面板显示，对于一个转折点角度（在Kopá?ek和Karas [86]中称为），接近时，顺行和逆行的最内稳定球形轨道（ISSOs）的半径在黑洞赤道平面上方和下方基本上与赤道情况下的ISCO半径一致。上述角度的解释如下：在Kerr度规的Boyer–Lindquist形式[53]中采用的标准球坐标系中，点P的坐标为，其中是从参考z轴（在这种情况下是SMBH的自转方向）计算的余纬度角。在标准天体力学中，它被写为，其中是轨道平面相对于参考平面（在这种情况下是SMBH的赤道）的倾角，是表示粒子轨道相位的纬度角。通过等同这两个表达式，可以得到。转折点是指那些：相应的余纬度出现在和。因此，第一个转折点的角度为。

从图2可以看出，顺行轨道的允许区域比逆行轨道的允许区域多得多。在第一种情况下，有效半径可以大到，而在逆行情况下，它不能大于。对于后者，只有大约五个允许的区域，对应于的整倍数。相反，顺行情况下的允许域要多得多。这一特征从上述相当一般的假设中现象学地得出，与Wang等人[32]得出的结论一致，他们使用了与测量到的盘温相关的更物理的论点，并在第4节中进行了讨论。对于顺行轨道，最大的半径对应于自转参数的最高可能值。然而，相应部分的允许区域相当小，使得这种情景相对于半径较小和黑洞自转速率适中的情景来说非常不受欢迎。另一方面，最小的允许值仅为，仅对应于两个极其狭窄的区域。

3.2. 通过SMBH的质量缩小参数空间
通过使用Wang等人[32]确定的SMBH质量的观测限制，可以合理地缩小参数空间中允许的区域。Wang等人[32]使用了两种独立的方法来确定这一限制，而不考虑任何关于盘-喷流共进动的动力学模型：单时期维里方法和应用于TDE之前进行的光谱测量的M-sigma关系。这两种方法都得出了表1中报告的一致估计值。此外，它还包含了描述系统空间配置的相关参数，其中包括方程（3）中的角度。从Wang等人[32]提供的补充材料来看，这个角度以及表1中列出的其他描述视线方向的参数，似乎是通过拟合0.1–2 keV X射线光曲线（2024年8月至10月的时间跨度）与一个固定的进动模型来现象学地确定的。实际上，后来明确使用了假设该效应仅由LT效应引起的假设来限制（见Wang等人[32]中的方程（S4）。

图3使用表1中报告的和的值，通过方程（3）计算得出的新允许区域在三维参数空间中。图3. 通过施加以下条件得到的三维参数空间中允许的区域：使用方程（7）和（8）计算的NH进动频率的绝对值位于方程（19）的实验范围内，用于观测到的盘-喷流共进动；有效测试粒子轨道的半径大于顺行（左图）和逆行（右图）赤道ISCO的半径。和的变化范围以及轨道角动量的余纬度的最佳估计值取自表1，而允许在其完整范围内变化。应当注意的是，对于，倾斜轨道的第一个转折点角度为。Kopá?ek和Karas [86]的图5左侧面板清楚地显示，对于整个范围内的ISCOs，ISSOs的半径基本上与相同。与顺行情况相反，逆行轨道只有三个不同的允许区域，对应于2、3和。因此，顺行情景相对于逆行情景得到了进一步加强。显然，自转参数的高值相当不可能，只允许在总体允许域的一个非常有限的子域中。最大的可能值对应于。

3.3. 通过固定轨道半径降低参数空间的维度
实际上，通过将有效半径固定为某个值，就只剩下两个独立变量：和。为此，接下来将做出一个合理的（尽管大胆的）假设（24）。

图4显示了二维参数空间中的允许区域。它是使用太阳的质量和半径在方程（23）中计算得出的。此外，它展示了纯LT效应以及包括SMBH的四极矩影响的完整NH界限，这些也是使用表1中报告的值计算的。没有和时的允许范围之差大约为。

图4. 通过施加以下条件得到的二维参数空间中允许的区域：使用方程（7）和（8）计算的NH进动频率的绝对值位于方程（19）的实验范围内，用于观测到的盘-喷流共进动；有效测试粒子轨道的半径等于方程（23）中的潮汐破坏半径。和的变化范围以及轨道角动量的余纬度的最佳估计值取自表1，而允许在其完整范围内变化。应当注意的是，对于，倾斜轨道的第一个转折点角度为。Kopá?ek和Karas [86]的图5左侧面板清楚地显示，对于整个范围内的ISCOs，ISSOs的半径基本上与相同。与顺行情况相反，逆行轨道只有三个不同的允许区域，对应于2、3和。因此，顺行情景相对于逆行情景得到了进一步的加强。显然，自转参数的高值相当不可能，只允许在总体允许域的一个非常有限的子域中。最大的可能值对应于。

4. 关于Wang等人[32] 2025年[32]中黑洞自转参数范围的讨论
在他们的第6.1节中，Wang等人[32]采用了以下策略来限制SMBH的自转参数。正如将会发现的，这依赖于模型依赖的假设。首先，他们只考虑了LT效应作为观测到的盘-喷流共进动的原因，而没有包括SMBH的四极矩。因此，他们写下了他们的方程（S4）来模拟具有有限扩展的物理厚盘的进动周期，即（27）。在方程（27）中，和是无量纲量，分别表示ISCO和盘外边界的半径，单位为引力半径。为此，Wang等人[32]采用了方程（23）给出的潮汐破坏半径的两倍作为盘的外半径；内部半径被Wang等人[32]假设为ISCO的半径。最后，表示盘面密度剖面的无量纲幂律指数，Wang等人[32]采用了可能的值。

然后，Wang等人[32]如下得到了他们的图6A。对于参数的每一个给定值，他们填充了由方程（27）给出的绝对值图形之间的空间，并使用确定的最小和最大值计算了作为函数的值，从而得到了三个不同的灰色阴影区域。重要的是，这些区域根据是正数还是负数而有所不同。最后，Wang等人[32]叠加了蓝色的水平线，这些线对应于实验范围，它们在与之前获得的域相交的两个不同宽度的狭窄区域内，这些区域由粉红色的垂直带标出。因此，他们声称黑洞（SMBH）的自旋参数有以下允许的连续范围：（28）（29）Wang等人[32]排除了负值，因为根据他们的观点，这些值会导致更大的内盘共进速度（ISCO），从而导致更大的内盘半径，这与测量到的高温相矛盾。图5显示了根据方程（27）的绝对值在平面上的允许区域，分别对应于顺行（左侧面板）和逆行（右侧面板）的ISCO。图5. 通过绘制方程（27）的绝对值与的关系来获得的平面上的允许区域[32]。每个阴影区域都由表1中给出的最大和最小值的对数线性图界定。左侧面板：顺行ISCO。右侧面板：逆行ISCO。结果表明，图5中的顺行和逆行面板分别与Wang等人[32]在图6A中显示的半平面和很好地吻合。此时，可能会对Wang等人[32]关于负值的陈述产生误解。实际上，使ISCO半径增大的不是的负号，而是它的逆行特性，如方程（14）-（17）和图1所示。因此，Wang等人[32]为看似排除负值而给出的物理原因实际上是为了排除逆行ISCO，他们决定在图6A中只展示具有的部分。因此，方程（28）的界限在某种程度上具有误导性，因为它仅适用于被排除的逆行ISCO。鉴于只有顺行ISCO是可能的，方程（28）应该被方程（29）的对称区间所取代。Wang等人[32]选择这些值并没有特别的理由，因为它们只是文献中广泛使用的数值。必须指出的是，吸积盘的密度剖面实际上是非常不确定的（Lu [87]）。一种与刚才采用的方法等效的方法，传达相同的信息量，并且对应于第3节中采用的方法，将包括通过强制方程（27）位于表1中报告的实验范围内来绘制参数空间中的允许域。图6通过假设，展示了方程（29）的界限可能引起的一些解释问题。实际上，图6的两个面板似乎都表明它不应该被视为一个连续的范围，而应该被替换为最多三个不同的子范围，每个值对应一个。应该注意的是，只有对于逆行ISCO，才有一个非常小的域，其中所有三个区域都重叠。图6. 通过强制方程（27）给出的盘-喷流共进周期的绝对值理论模型必须位于表1中报告的实验范围内，从而获得的平面上的允许区域[32]。左侧面板：顺行ISCO。右侧面板：逆行ISCO。5. 对本研究基于的一些假设的批判性审查这项工作的主要假设是，发射X射线的盘和发射无线电波的喷流是强烈耦合的，导致与观测到的周期共进。在这方面，有以下观察结果。实际上，将无线电调制解释为与发射X射线的内部吸积耦合的共进喷流，原则上提出了一个时序问题，需要在进一步的研究中解决。如果无线电发射起源于距离事件视界大约m的距离，如通常对TDE喷流中的同步辐射区域所推断的那样，那么沿喷流的传播时间大约是s，相当于大约38天。对于温和相对论性的喷流速度，即，传播时间仍然大约是40-50天。即使考虑到相对论性传播时间效应，这些效应会缩短小观测角度下的观测延迟，黑洞附近产生的变化与无线电发射区域之间的预期滞后仍然可能达到几天甚至更长时间。现在，鉴于这个源报告的准周期性大约为20天，其特征传播时间到m与整个振荡周期相当或更长。在这种情况下，人们通常会期望无线电变化相对于X射线有显著的相位偏移。这些问题值得进一步专门研究。因此，这提出了一个问题，即在上述条件下，观测到的无线电周期性如何与X射线调制保持密切相关。一个可能的解释是，无线电发射区域实际上比m更接近黑洞。另一方面，相对论性投影效应可能会减少明显的滞后。与上述问题相关的是，GRMHD模拟显示喷流经常与SMBH的自旋对齐，而不一定与外盘对齐，特别是对于磁力捕获的盘（MADs）。最后，在本文中，盘-喷流系统被建模为一个单一的有效测试粒子轨道，其角动量矢量在Lense-Thirring效应的作用下进动。实际上，真实的TDE盘应该经历不同的引力磁扭矩、Bardeen-Petterson对齐、扭曲和内部粘性。除非，否则盘不太可能刚性进动，这取决于像α-粘性[88,89]和相对几何厚度这样的参数，这些参数的约束很差。因此，严格来说，应该证明所研究的TDE盘处于刚性进动状态。以上所有点都值得进一步专门研究。6. 总结与结论一个简单的1pN分析模型描述了一个虚构的测试粒子沿着围绕旋转物质物体的有效圆形轨道运动的轨道角动量的LT进动，能够解释最近在TDE中观察到的盘-喷流共进的主要特征，这种共进是由位于LEDA 145386星系核心的几乎一千万太阳质量的旋转SMBH驱动的AT2020afhd引起的。基于对TDEs的相当普遍的假设的初步分析表明，由SMBH的质量、其无量纲自旋参数和有效轨道半径构成的三维参数空间中的允许区域，对于顺行ISCO来说比逆行ISCO要多得多，因此不利于后者。这些允许的域仅通过强制使用上述简单LT模型分析计算的进动频率位于测量到的盘-喷流共进率的经验范围内来获得。通过使用测量到的SMBH质量的值区间，并将有效轨道半径设置为潮汐破坏半径，获得了二维质量-自旋参数空间中更狭窄的允许域。虽然如果只考虑LT效应，这些域对于自旋参数的负值和正值是对称的，但由于引入了由于SMBH的四极质量矩而产生的进一步进动，这种简并性被打破了。结果表明，虽然自旋参数的允许范围从扩展到，但大于大约的值是不被青睐的，因为它们对应于整个允许域的不到。通过采用SMBH质量的最佳估计，自旋参数被限制在0.185–0.215之间，这与最近发布的界限一致。明确地证明了这里使用的LT和四极公式，都是基于关于作为主要对象的旋转物质的进动模型，与从描述旋转黑洞外部时空的Kerr度规中的测试粒子的运动方程的1 pN阶展开得到的结果一致。将同样的策略应用于文献中使用的仅LT进动模型，该模型设想了一个具有幂律指数参数化的质量密度剖面的扩展吸积盘，对于不同的后者值，得到了相应的不同允许区域，这些区域基本上不重叠；它们总体上包含在自旋参数的区间0.11–0.35内。这里介绍的方法也成功地用于之前论文中测量到的来自SMBH M87*周围的喷流的进动，可以扩展到其他类似情景中的进动效应，以预测它们的主要特征。进一步的专门研究将不得不确认这项研究基于的一些假设。