基于机电耦合框架的桌面FDM打印机的可验证稳态频率-速度映射方法 邹新峰， 苗海燕， 黄宝山， 李振， 顾春风

《Machines》：A Verifiable Steady-State Frequency–Velocity Mapping for Desktop FDM Printers Based on an Electromechanical Coupling Framework Xinfeng Zou, Haiyan Miao, Baoshan Huang, Zhen Li and Fengshou Gu

　　摘要 为了在线监测桌面熔融沉积建模（FDM）打印机的操作状态和质量，必须准确理解振动声学的动态特性。本文建立了一个电磁耦合（EMT）框架，以关联步进电机驱动、传动链和机器运动之间的动态关系，并推导出稳定或接近稳定打印阶段的稳态频率-速度映射关系。通过数值计算评估该映射关系，从而获得不同刀具路径方向和指令打印速度下的理论驱动频率。在实验平台I上进行了验证。通过在靠近电机端的x轴梁上安装加速度计来测量驱动端的振动。记录声学信号作为辅助的定性检查手段，而非用于定量误差评估。对于稳定打印阶段，将驱动端振动中的主导频率与理论驱动频率进行比较。在测试的稳定阶段和刀具路径方向中，相对误差保持在3%以下。在进一步的案例研究中，修改G-code代码，在同一连续打印记录中引入两个恒定打印速度段（40 mm/s和80 mm/s），从而能够直接比较两个稳定阶段之间的主导频率。结果表明，在开环步进驱动下，并且在本文采用的稳定/接近稳定范围内，可以稳定地观察到与驱动相关的主导频率，且该频率与理论驱动频率相匹配。当指令的恒定打印速度翻倍时，相应稳定阶段中驱动端振动的主导频率会发生大致成比例的变化。本研究为所测试配置下的稳定阶段提供了一个可验证的驱动参考频率-速度映射关系，并为后续案例研究中同一打印记录内稳定阶段的比较提供了可追溯的频率参考。

1. 引言
熔融沉积建模（FDM）因其低成本和广泛的应用性而在工程领域得到广泛应用[1,2]。打印质量和工艺稳定性仍然依赖于机器状态和工艺一致性[1]。最近对增材制造的更广泛评估还强调了材料挤出技术的持续发展，以及对可持续性、材料选择和应用导向的工艺优化的日益关注[3,4]。因此，关于FDM工艺、监测和缺陷识别的研究也得到了扩展[5,6]。常用的监测信号包括振动、声学、视觉和电信号，这些信号被用来表征制造过程中的异常、故障和工艺相关缺陷[2,6]。对于桌面FDM系统，一个关键的实际问题是如何使用可测量的信号来可靠地跟踪打印过程[2,5]。
对于材料挤出工艺（FDM/FFF），现有研究系统地回顾了监测目标、传感器技术、信号处理程序和代表性的诊断策略，同时区分了与工艺状态、几何偏差、层沉积和表面质量相关的监测任务[1,5,6,7,8]。最近的应用导向研究进一步表明，振动、声学、视觉、热成像、电信号、力和流动相关测量可以在桌面和实验室规模的FDM/FFF系统中提供不同但有用的工艺信息[2,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23]。最近对增材制造的更广泛评估还强调了基于材料挤出技术的持续发展，这涉及到材料、应用和工艺优化[3,4]。在桌面FDM监测中，尚未明确解决的问题是如何将物理上可追溯的驱动相关参考与打印速度联系起来，并通过驱动端的结构测量进行验证。在特定应用中，数据驱动的现场监测已被用于异常识别和状态识别[1,5,9]。声发射和声学观察已被用于识别丝材断裂及相关工艺异常[16,17]，并且还被扩展到更广泛的故障诊断以及跟踪变形和翘曲趋势[18,19]。基于视觉和数字孪生的方法已被用于评估几何偏差[20]，而热成像、基于机器学习的监测和多视图视觉方法已被用于质量推断、机械性能预测、在线校正和实时结构验证或决策制定[10,11,21,22,23]。电信号、力和流动相关信号也被用于监测挤出条件、聚合物流动状态和与翘曲相关的相互作用[2,12,13]。此外，基于电流的监测和多传感器信息融合已被用于状态识别和异常检测[9,14,15]。
振动和声学信号常被用来观察FDM工艺状态[1,6,17,24]。在桌面FDM应用中，不同的传感方式提供不同类型的信息，并涉及不同的实际限制。基于视觉的方法适用于几何偏差评估、表面检查和在线校正任务[7,10,20]。然而，它们在桌面FDM中的适用性仍然取决于打印过程中的稳定图像采集条件。声学测量易于部署且非接触式，但它们对环境噪声和背景振动敏感[8,24]。电信号、力和流动相关测量可以揭示局部工艺条件，如挤出状态、相互作用和流动行为[2,12,13]。相比之下，靠近驱动端测量的振动与步进电机驱动、传动链和支持结构更为直接相关，传感器位置会影响主要成分的可观测性[24,25,26,27]。这两种传感通道对于桌面FDM监测很有吸引力，因为它们可以使用相对简单的仪器实现，并已在实际条件监测研究中得到应用[17,24]。先前的研究表明，振动或声学信号中的频谱特征可以反映工艺条件的差异，并支持状态区分或异常相关评估[17,28]。与挤出端振动或全局声学相比，驱动端振动更接近电机侧的激励源，因此在本研究的背景下，更适合用于跟踪与驱动相关的主导成分。在FDM运动过程中，测量到的响应受到执行的刀具路径和步进电机驱动系统行为的影响[29,30,31]。为了减少瞬态变化的影响，本研究关注稳态打印阶段。步进电机驱动广泛应用于小型精密定位系统，包括3D打印机[30,31]。对于固定配置，控制器步进脉冲所暗示的理论驱动频率是确定性的和可重复的，因此可以作为检查工艺一致性的参考。同时，开环步进操作、微步进控制和电机侧扭矩变化可能会将驱动相关因素引入振动和声学响应中[30,31,32,33]。在基于振动的监测中，可以从结构测量中提取主导频率，传感器位置会影响其可观测性[24]。基础振动或外部振动也会影响测量响应，并在分析中予以考虑[25]。更广泛地说，条件监测研究还指出声学测量对环境噪声和背景振动敏感[8]。在这种情况下，本文探讨的问题是在稳态打印阶段是否可以稳定地观察到驱动端振动中的理论驱动频率，并以可验证的方式将其与打印速度联系起来。尽管现有的FDM监测研究已经使用振动和声学信号进行异常识别、状态分类和质量相关推断，但它们 rarely 明确建立理论驱动频率、打印速度以及开环步进驱动下的桌面FDM打印机驱动端振动中观察到的主导成分之间的对应关系。本研究通过建立电磁耦合（EMT）框架，推导出相应的频率-速度关系，并通过稳定阶段检查和恒定速度加倍案例进行了验证，从而解决了这一缺失环节。
尽管现有的FDM监测研究涵盖了多种传感和诊断方法，但对于开环步进驱动下的桌面FDM打印机，理论驱动频率与打印速度之间的关系往往没有以明确的形式给出，使用驱动端振动直接验证稳定阶段对应关系的工作仍然有限。与异常识别、状态分类或质量推断相比，验证理论驱动频率、打印速度和驱动端振动中的主导频率之间的联系仍然不足。为了支持桌面FDM打印机的操作状态和质量的在线监测，本研究建立了电磁耦合（EMT）建模框架，并推导出了开环步进驱动下的理论驱动频率与打印速度之间的映射关系，通过段内检查和恒定速度加倍案例进行了验证。在测试条件下，从驱动端振动中识别出的主导频率与理论驱动频率参考值之间的相对误差低于3%，并且从40 mm/s到80 mm/s的指令恒定速度变化会导致两个稳定阶段之间的主导频率发生大致成比例的变化。实验在实验平台I（EP-I平台）上进行。通过安装在x轴梁上的加速度计测量驱动端振动，而声学信号仅用于补充性定性比较。定量分析仅限于稳定或接近稳定的打印阶段；未包括非稳态加速/减速过渡，且本工作中未评估打印头模块的末端位移。本文的结构如下：第2节建立了一个电磁耦合（EMT）建模框架，并在稳定条件下推导出频率-速度映射关系。第3节使用基于MATLAB的数值计算获得不同刀具路径方向和指令打印速度下的理论驱动频率，然后在EP-I平台上对稳定打印阶段进行验证，声学信号仅用于补充性定性观察。第4节修改G-code代码，在同一连续记录中引入两个恒定打印速度段，并比较两个稳定打印阶段之间驱动端振动中的主导频率变化，以评估所提出映射关系的适用性。

2. EMT模型和稳态公式
图1概述了本研究的主要工作流程。首先开发了一个通用的EMT模型，并推导出稳态频率-速度映射关系。然后在不同打印路径下进行实验验证，随后在速度加倍情况下进行额外验证。第2章介绍了EMT模型和稳态映射关系，为后续分析提供了基础。

2.1. 运动系统描述
在熔融沉积建模（FDM）过程中，打印头模块的位置和运动轨迹由打印机运动系统决定，该系统直接控制材料是否能够沿着规定的打印路径沉积。在桌面FDM系统中，每层的平面运动通常由步进电机和同步皮带传动装置共同实现。图2展示了打印头模块运动系统的基本x轴布置。电机通过滑轮组驱动同步皮带，由此产生的皮带运动使打印头模块相对于构建平台产生线性位移。为了清楚起见，在以下部分中，电机轴、定时滑轮、空转滑轮和打印头模块分别表示为子系统M1至M4。如图2所示，M1是由步进电机组成的驱动单元；M2和M3分别是由定时滑轮和空转滑轮组成的传动单元；M4是由打印头模块组成的打印单元。这种布置表明，打印运动起源于驱动单元，并通过传动链传递到打印头模块。在打印过程中，运动指令通过机械传动结构逐步实现，最终转化为打印头模块的运动，在此过程中材料被连续沉积和成形[26,27]。本小节首先概述了系统配置，这为后续的建模和分析提供了基础。

2.1. 运动系统描述
在熔融沉积建模（FDM）过程中，打印头模块的位置和运动轨迹由打印机运动系统决定，该系统直接控制材料是否能够沿着预定的打印路径沉积。在桌面FDM系统中，每一层的平面运动通常由步进电机和同步皮带传动装置共同实现。图2展示了打印头模块运动系统的基本x轴布置。电机驱动同步皮带通过滑轮组，由此产生的皮带运动使打印头模块相对于构建平台产生线性位移。为了明确后续内容，电机轴、定时滑轮、空转滑轮和打印头模块分别表示为子系统M1至M4。如图2所示，M1是由步进电机组成的驱动单元；M2和M3分别是由定时滑轮和空转滑轮组成的传动单元；M4是由打印头模块组成的打印单元。这种布置表明，打印运动起源于驱动单元，并通过传动链传递到打印头模块。在打印过程中，运动指令通过机械传动结构逐步实现，最终转化为打印头模块的运动，在此过程中材料被连续沉积和成形[26,27]。本小节首先概述了系统配置，为后面的建模和分析提供了基础。在监控方面，结构振动被用来反映过程状态的变化，而且已经证明，在桌面FDM平台上，主要组分的可观测性取决于传感器的位置和边界振动条件[24,25]。综合这些研究，它们仍然没有在单一框架内描述桌面FDM打印机的完整从驱动到运动的链条。基于此，本研究提出了EMT模型的一般形式，其中驱动单元、传动单元和打印单元按照能量和运动传递的实际路径进行组织，从而为后续的建模和分析提供了基础。与子系统级模型相比，所提出的EMT框架将步进驱动、同步带传动和打印头运动联系在一个耦合描述中，并用于在稳定或近似稳定打印条件下推导出理论驱动频率参考与驱动端振动响应之间的可追溯关系。

2.2 EMT动态模型
在本研究中，为FDM运动系统建立了一个EMT模型，该模型涵盖了步进电机、机械传动和打印头模块。耦合拓扑结构如图3所示。在这个公式中，电机扭矩、传动动态和打印头模块的平移在一个统一的动态框架内进行解释。该模型作为后续耦合运动系统分析的基础。

图3. EMT结构示意图和子系统指标（x轴）。电气频率被定义为相位电流换向事件率，而理论驱动频率被定义为完整步长等效驱动频率（即完整步长事件率）。这两个频率之间的关系由下式表示（1），其中由换向方案和电机相位数确定（例如，对于典型的四步换向的双相步进电机）。这种关系在控制器输出和电机的电状态之间建立了一个共享的时间参考。电磁扭矩由相位电流和转子位置决定，其表达式为（34）。

电机轴动态由惯性、粘性阻尼和外部负载扭矩之间的平衡决定，如方程（3）所示。

为了将步进脉冲与角速度联系起来，引入了角度和每转的完整步长数，以便将理论驱动频率与平均角速度联系起来（4）。通过重新排列方程（3）然后除以，可以得到一阶形式（5）。

2.2.1 弹性耦合：轴-滑轮
电机轴和定时滑轮之间的弹性耦合由等效扭转刚度和阻尼表示，导致负载扭矩为（6），其中和分别是定时滑轮的角位移和角速度。因此，传递回电机侧的扭矩受到轴和滑轮之间相对位移和速度的控制。定时滑轮的角动量平衡表示为（7）。

2.2.2 传动耦合：滑轮-皮带-打印头
同步带的弹性变形通过皮带伸长来描述，定义为（8），其中是打印头模块沿x轴的位移，是有效滑轮半径。和的正方向与正的x方向一致选择，因此对应于皮带张紧和对打印头模块的正拉力。皮带驱动力通过组合的弹性和阻尼贡献来建模（9），其中和分别表示等效的皮带刚度和阻尼。在本研究中，和与子系统索引相匹配。皮带刚度以变量形式表示（10）。

2.2.3 统一的一阶模型
根据上述公式，电机轴、定时滑轮和打印头模块构成一个闭环耦合系统。为了紧凑表示，状态向量被定义为

然后运动系统的动态可以写成一阶统一形式。对于电机轴，角位置和角速度满足（14）。

对于定时滑轮，旋转运动由（15）控制。

打印头模块沿x轴的平移运动由（16）描述。在这些方程中，电磁扭矩、负载扭矩和皮带驱动力分别由方程（2）、（6）和（9）给出。因此，EMT模型捕捉了电机驱动、传动链和打印头模块运动之间的动态耦合，包括由传动负载引起的反馈。EMT模型保留了运动系统的全部动态项。因为在实际FDM打印过程中，打印头模块通常以接近恒定的速度在大多数工具路径段上移动，所以接下来引入了稳定打印假设，以简化模型并推导出打印速度和理论驱动频率之间的稳态映射（）。

2.3 稳态频率-速度映射
在FDM打印过程中，打印头模块的速度在大多数工具路径段上保持恒定。在这些稳定打印条件下，可以通过忽略快速瞬态项来简化第2.2节中介绍的EMT模型，从而推导出理论驱动参考（）和打印速度之间的稳态映射。对于稳定段，打印头模块的运动可以很好地近似为沿工具路径的均匀平移。打印头模块的平均加速度非常小，在分析中被忽略，即。同步带被视为准稳定的，因此其伸长率变化保持在有限范围内。结果，变化缓慢，皮带力可以在稳定段上近似为常数。在这些条件下，电机轴和定时滑轮之间的扭转变形很小，角速度可以近似为。这些简化适用于稳定或近似恒定速度的段，在这些段中，指令运动在足够长的时间内保持不变，瞬态加速度效应不占主导。在本研究中，后续的验证仅限于这些段，而不是包括加速度、减速和频繁路径转换的整个打印过程。根据方程（4）和皮带伸长定义，定时滑轮的角速度可以表示为（17）。

值得注意的是，在稳定打印条件下。对于具有打印速度的工具路径，定义为指令（标称）工具路径速度，以及相对于x轴的路径角度，x方向上的速度分量为。由于皮带伸长的变化可以忽略（），上述表达式简化为（18），其中表示等效的啮合效率因子。总之，方程（18）是通过在稳定段上简化方程（14）–（16）得到的。当加速度项可以忽略（）且皮带伸长率变化有限（）时，该方程适用。这些条件产生，并导致在后续验证中使用的运动学映射。当打印过程偏离上述稳定或近似稳定条件时，简化映射的有效性可能会降低。例如，在加速/减速或频繁的轮廓转换期间，假设不再成立。同样，当皮带张力变化、皮带松弛或传动链动态变得更加明显时，假设、和近似恒定可能变得不准确。在这种情况下，近似也可能减弱，额外的瞬态或传动相关成分可能会进入测量响应。因此，理论驱动参考可能不再像在本研究选择的稳定段中那样清晰地对应于观察到的主导频率。因此，所提出的映射应被视为稳定或近似恒定运动的段级关系，而不是整个打印过程的通用描述。

3. 实验验证
为了验证第2节中的稳态EMT公式，使用MATLAB R2024b在稳态条件下通过稳态EMT映射来计算。在商用桌面FDM平台上进行了稳态打印实验。记录了驱动端的振动和相应的声学响应。通过识别驱动端振动中的主导频率并与进行比较来评估一致性。

3.1 实验设置和数据采集
稳态实验平台（EP-I）实施在深圳创想3D科技有限公司（中国深圳）。CR-6商用桌面FDM 3D打印机，其简化示意图如图4所示。该平台采集驱动端振动和声学响应信号。使用YMC PIEZOTRONICS YMC 122A200（中国扬州）单轴IEPE加速度计测量驱动端振动，其灵敏度为200 mV/g，测量范围为±25 g pk。声学响应使用北京声学传感技术有限公司（中国北京）制造的ICP麦克风前置放大器测量，其灵敏度为50 mV/Pa。所有通道使用YE6231数据采集系统同步记录，在打印过程中以2.5 kHz采样，并以MAT格式导出。由于基于麦克风的声学测量可能会随环境条件和温度漂移，因此声学通道仅作为补充的定性观察保留（28,37）。因此，定量分析仅限于稳态段，在这些段中可以更可靠地识别驱动端振动中的主导频率。对于EMT计算中使用的同步带驱动，M2子系统中的定时滑轮是一个20齿滑轮，有效半径为毫米。这些传动参数取自制造商的标称几何规格，并作为平台特定的输入用于当前计算；它们不是通过单独的实验校准获得的。

图4. 实验平台I（EP-I）：简化示意图和安装布局。加速度计安装在x轴梁靠近x步进电机端的位置，以捕获驱动端结构振动，而麦克风记录了打印过程中的声学辐射。数据采集涵盖了整个打印过程，以确保在稳态条件下的连续性。实验中打印了一个20 × 20毫米截面的样品。切片后的工具路径如图5所示，包括周边路径和填充路径。周边路径（用绿线表示）由轴线对齐的直线路径组成，而填充路径（用黄线表示）沿单一预定方向沉积。设表示周边路径方向和填充路径方向之间的角度；x轴速度分量满足。在本研究中。周边路径的理论驱动频率表示为，填充路径的理论驱动频率表示为。对于路径方向角度（定义为x轴和周边路径方向之间的角度），相应的理论驱动频率计算为（19）。

如图6所示，测试了四个放置角度：、、和，其中表示周边路径平行于x轴。打印参数保持不变：喷嘴温度、打印床温度60 °C、层高0.2毫米、PLA材料，G代码速度设置为40毫米/秒。

3.2信号配置与主导频率提取

在开环步进驱动和近似稳态操作下，理论驱动频率是根据G代码定义的运动指令通过稳态EMT映射确定的，这反过来又确定了相应的x轴速度分量。在本研究中，使用该理论驱动频率作为输入参考，并在MATLAB中通过稳态EMT映射计算得出。数值实现是在MATLAB R2024b中进行的。对于每个选定的段落，通过直接评估稳态映射并使用相应的G代码段落中的命令打印速度和路径角度来获得理论驱动频率。计算中使用的平台特定设置和几何参数与第3.1节中描述的EP-I配置相匹配。在MATLAB计算中没有使用额外的参数拟合或迭代优化。计算中使用的打印机设置和几何参数与EP-I平台的实验配置相匹配。

如图7所示，在步进电机端附近的x轴梁上安装了一个加速度计，用于测量驱动侧的振动。从测量的驱动侧振动中，识别出与驱动相关的主导频率，并将其表示为（即，从x轴梁振动信号中提取的主导频率）。在不同操作条件下比较该频率，可以实验性地评估EMT映射的稳态表现。同时记录了一个声学信号，但仅作为辅助观察。图7显示了多源状态信号之间的传输路径和相关性。第2节中推导出的稳态EMT映射在MATLAB中实现，以计算不同路径方向和命令打印速度下的理论驱动频率。由于打印过程开始时仍处于过渡阶段，尤其是在喷嘴和床温调节期间，频率识别和比较仅在打印过程的中后期选定的稳定段落中进行。在本研究中，这些稳定段落是从G代码中命令的恒定速度部分选择的，通常从第三层开始，因为该阶段的信号受启动阶段和喷嘴-床相互作用的影较小。在这些部分中，使用具有稳定振动响应的时间间隔来进行主导频率提取，并且对所有比较案例应用了相同的选定原则。对于选定的稳定段落，首先在时域检查振动信号，然后将其转换到频域以识别峰值。时频表示仅用于辅助观察信号演变，而定量比较基于选定稳定段的频谱。驱动侧振动中的主导频率被定义为选定稳定段中振幅最大的频谱峰值，并与相应的理论驱动频率参考值进行比较。频谱计算中使用的频率轴间距为，其中是采样频率，是选定段中的样本数量。由于不同的稳定段落具有不同的持续时间，相应的频率分辨率因段落而异，因此不是所有案例都报告一个固定的值。在解释频谱时，没有使用谐波或附近的次要成分作为主要定量指标。相反，与EMT参考值的比较基于与驱动相关响应的主要峰值。

图8总结了四个x角度的频谱分布。每一行对应一个工具路径角度，每一列对应一种结果类型。面板(a)、(d)、(g)和(j)显示MATLAB计算结果；面板(b)、(e)、(h)和(k)显示在x轴梁上测量的驱动侧振动的时间-频率响应；面板(c)、(f)、(i)和(l)显示相应声学通道的时间-频率响应。对于，图8a显示了基于稳态方程(18)的MATLAB计算结果：与周边打印相关的理论驱动频率约为141.5 Hz，其次谐波约为282.5 Hz；与填充打印相关的理论驱动频率约为200 Hz，其次谐波约为400 Hz。两个理论驱动频率值之间的关系遵循方程(19)给出的方向约束。图8b显示了x轴梁驱动侧振动的时间-频率结果，其中在140.63 Hz和199.22 Hz附近出现了稳定且明显的峰值，并且显示出与打印顺序一致的时间模式。图8c显示了相应的声学时间-频率结果。与振动通道相比，声学响应的振幅分布不同，一些成分不太明显。然而，主要趋势仍然一致，接近199.22 Hz的成分仍然清晰可见。因此，声学通道仅用作定性交叉检查，而定量比较基于驱动侧振动信号。

表1总结了在MATLAB中计算的理论驱动频率与测量值（即驱动侧振动中的主导频率）之间的统计比较。相对误差是相对于理论驱动频率定义的。表1中报告的值对应于列出的操作条件下的代表性稳定段落比较。虽然没有对表中列出的每个条件进行完整的重复性分析，但在其他命令打印速度下进行的额外测试显示了与理论参考值有小偏差的相同映射趋势。因此，结果表明在稳态条件下误差保持较小，并为后续分析提供了基准。

实验结果表明，对于稳定的打印段落，不同工具路径方向下的理论驱动频率与实际测量值一致，误差小于3%。总之，在开环步进驱动和近似稳态操作下，可以在x轴梁振动中观察到主导频率。在测试的路径方向和驱动条件下，从驱动侧振动信号中提取的主导频率与稳态EMT映射预测的结果一致。这一结果验证了使用驱动侧观察得到的稳态驱动响应对应关系，并为后续比较提供了稳定的参考。由于打印过程中打印速度指令可能会发生变化，因此通过比较同一连续记录中两个恒定速度稳定段的主导频率进行了案例研究。

在实际打印中，单个打印过程的连续记录可能包含不同命令恒定打印速度的稳定段落。基于第3节中建立的稳态映射，本节介绍了对G代码的局部修改，在一个实验中创建了两级恒定打印速度切换，并比较了切换前后的稳定段落。目的是检查在这种条件下稳态映射是否仍然可观察。提供两组对比图表：每组中，左侧面板显示了在打印速度指令不变时的结果，右侧面板显示了在指定打印动作期间命令的恒定打印速度加倍时的结果。在右侧面板中，时间频率表示包括切换前后的稳定响应，使得在同一图表内可以直接进行比较。加速度和减速过渡没有进行定量处理，结论仅限于稳定段落。

所有测试都在EP-I平台上进行；其平台配置、传感器布置和数据采集程序与第3节中的相同。打印路径和基本过程参数保持不变。唯一的修改是对G代码进行了修改。在同一个G代码文件中引入了两种打印速度设置。对于选定的恒定速度段落，命令的打印速度设置为原来的两倍，而其余段落保持原来的恒定速度指令。为了保持运动方向的一致性并减少定位和比较的复杂性，选择了两个平行于x轴的边缘打印段落，并将其命令的恒定打印速度从40 mm/s更改为80 mm/s。选择这两个速度是因为它们都属于本研究中使用的桌面FDM平台的稳定且常用的操作范围。此外，40 mm/s和80 mm/s形成了一个明显的1:2比例，这为检查当命令打印速度加倍时选定稳定段中的主导频率是否与稳态频率-速度映射一致提供了直接依据。由于对角线段落涉及x-y步进电机的协调运动，会增加不必要的复杂性，因此本案例研究仅限于稳定段落之间的频率变化。

根据本实验中使用的G代码，边缘打印包括四层。在边缘打印过程中，x轴和y轴的步进电机以交替的方式工作。因此，对于四层边缘打印，x轴步进电机和y轴步进电机各自独立工作八次。打印后，确定了G代码中两个修改位置对应的大致时间间隔。然后对振动记录进行了局部放大，以定位稳定运动段落。对于每次修改，选择一个命令速度为40 mm/s的稳定段落作为比较段落。使用第3.2节中定义的相同稳定段落选择规则来提取速度变化前后的比较段落。对于本案例研究，选择一个命令速度为40 mm/s的稳定段落和一个命令速度为80 mm/s的稳定段落进行比较。

实验获得的信号包括通过安装在x轴梁上的加速度计获得的驱动侧振动，以及全局声学记录。图9显示了驱动侧振动结果，每个图对应于两种打印速度修改之一，并包含两个面板：(a)打印速度指令不变的基线情况；(b)在指定打印动作期间命令的恒定打印速度加倍的修改情况。相应的声学结果总结在图10中。在两个通道中，都可以识别出打印速度切换，主导频谱成分集中在10–500 Hz之间。在从40 mm/s切换到80 mm/s的过程中，主导峰值从大约199.22 Hz转移到大约398.44 Hz，而接近199.22 Hz的成分显著降低或变得不可区分。对于本案例研究中使用的x轴平行段落，路径方向保持不变，因此方程(18)意味着理论驱动频率与命令打印速度之间大致成正比。命令速度比为80/40 = 2.00，而相应的主导频率比为398.44/199.22 ≈ 2.00。这直接量化了在选定的稳定段落条件下观察到的比例变化，并支持方程(18)所暗示的频率-速度关系。在图(b)中，时间-频率结果来自同一连续记录，这使得可以在一个图中区分开关前后的稳定响应。以图9为例，识别出的结果与表2中报告的相应理论驱动频率相匹配，相对误差低于3%，并且峰值位置在局部放大的稳定窗口内是可重复的。声学通道显示出相同的偏移趋势（图10），仅用于定性交叉验证；结论主要基于驱动侧的振动比较得出。表2。打印周长：以及（两个稳态速度）。4.3. 适用范围第3节表明，在恒定指令速度下进行稳定打印时，测量到的结果与从稳态映射得到的理论驱动频率一致。在本节中，同一连续记录中引入了两次速度加倍的修改，产生了两组独立的比较数据；两者都显示出相同的偏移行为。局部放大和从稳定段中提取的数据显示，当指令的恒定打印速度从40 mm/s增加到80 mm/s时，频率从大约199.22 Hz偏移到大约398.44 Hz，并在每个稳定段内保持稳定。这一观察结果与第3节中验证的稳态映射一致。从物理上讲，这种偏移表明，主要的驱动相关振动成分随指令驱动状态的变化而变化，而不是固定在一个仅与结构相关的共振频率上。这对于监测非常重要，因为它表明驱动侧的振动信号包含一个可追踪的频率特征，可以用来区分稳定操作条件，并在受控打印段中检查理论驱动频率参考的一致性。图9和图10还显示，在速度转换间隔内，频谱响应并不是瞬间从一个稳定峰值变化到另一个稳定峰值。在速度变化瞬间周围，频谱特征暂时变得不那么集中，在新的主要峰值稳定之前可以观察到短暂的过渡。尽管本研究中没有定量分析这一过渡间隔，但它从定性上表明，在速度变化间隔期间，驱动相关的频率成分不如在稳定段中那样清晰。这支持将定量频率比较限制在稳定或接近稳定的运动中。值得注意的是，结论仅限于在同一连续记录中两个指令恒定打印速度下的稳定段之间的比较。由于加速/减速间隔短暂且非稳态，因此它被排除在定量分析之外。因此，所提出的映射应被解释为稳定或接近稳定运动的段级关系，而不是对整个打印过程的通用描述。5. 结论与未来工作本研究为桌面FDM打印机建立了一个机电耦合（EMT）框架，并推导出在开环步进控制下稳态或接近稳态段中理论驱动频率与打印速度之间的映射关系。通过数值计算评估了该映射，并通过段内检查和段间比较进行了验证，包括恒定速度加倍的情况。进行了实验，并使用安装在x轴梁上的加速度计测量了驱动侧的振动，而声学信号仅用于补充性定性比较。EMT稳态映射参考了理论驱动频率（）。制定了一个稳态EMT映射框架，其中负载扭矩连接了电气侧和机械传动侧。在开环步进驱动下，对于稳定（或接近稳定）的恒定速度段，得到了理论驱动频率与指令打印速度之间的明确关系。通过MATLAB评估了理论计算与稳态段中观察结果的一致性，以获得理论驱动频率。将理论驱动频率与从驱动侧振动测量中提取的主导频率进行比较。验证了不同工具路径方向下稳态段的映射关系。声学通道仅作为补充性定性检查保留，而定量评估基于驱动侧振动。对于测试的稳态段和工具路径方向，相对误差保持在3%以下。与许多现有的FDM监测研究相比，这些研究通常侧重于信号的定性敏感性，本研究为桌面开环步进驱动的FDM系统提供了一个明确且可验证的稳态段频率-速度对应关系。通过恒定打印速度加倍的情况说明了适用性。比较了同一连续记录中的两个稳定、恒定速度段。驱动侧振动中的主导频率随着指令恒定打印速度的两倍变化而变化，支持了稳态EMT映射所暗示的可追踪频率-速度对应关系。当指令的恒定打印速度从40 mm/s加倍到80 mm/s时，在相应的稳态段中，驱动侧振动中的主导频率从大约199.22 Hz偏移到大约398.44 Hz。对于本案例研究中使用的固定路径方向，这一结果直接定量表明观察到的主导频率变化跟随了速度的两倍增加。在所测试的驱动模式和传动配置下，只要保持开环步进驱动并且能够可靠地识别出稳定段，该映射预计适用于测试速度范围内的其他恒定速度段。本研究关注的是稳态和接近稳态条件。诸如摩擦变化、同步带的粘弹性以及反向间隙等非线性因素被简化且未被考虑。当这些效应变得显著时，它们可能会降低简化映射的准确性，因为它们可能会改变假设在整个选定段内保持准稳定的传动响应。一些参数对平台配置和操作条件敏感，可能在部署前需要通过实验进行识别和校准。在配置为PLA和常规工具路径的商用桌面FDM打印机上进行了验证。测试的恒定速度范围是40–80 mm/s。加速和减速转换是非稳态的，因此被排除在定量分析之外。因此，所提出的映射应被视为稳定或接近稳定运动的段级关系，而不是整个打印过程的通用描述。