一种用于水资源管理中设计洪水流量曲线图的新方法 Cornel Ilinca Constantin Albert Dmytro Rozputniak Valentin Minghira?

《Applied Sciences》：A Novel Approach to Design Flood Hydrograph Plotting in Water Management Cornel Ilinca, Constantin Albert, Dmytro Rozputniak and Valentin Minghira?

　　**特色应用**
这项研究由布加勒斯特土木工程学院水力工程与水资源管理学院与蒂米什瓦拉理工大学土木工程学院共同开展，建立了一个简化且数学上稳健的框架，用于定义设计洪水流量过程线。该框架作为一种图形化表示方法，旨在融入未来的水力结构设计标准，并修订罗马尼亚的水文规范。通过优化有理函数（包括Cadariu函数）以及结合三次样条插值技术，本研究为工程师提供了一种标准化的、实用的方法，能够准确描绘不同地点的洪水流量过程线形状。

**摘要**
本研究提出了一个统一的分析框架，用于基于四个特征参数（总持续时间Tt、峰值到达时间Tp、洪水量W和峰值流量Qp）来绘制设计洪水流量过程线（DFH），这些参数与特定的超越概率相关联。其目标是改进洪水流量过程线形状的数学表示方法，以便应用于工程实践并推动水文设计标准的更新。研究利用了150个罗马尼亚河流代表性横截面的数据集，并采用标准化坐标轴来进行无量纲比较分析。提出了三种建模方法：改进型有理函数（RRF），该函数显著增强了Radu Cadariu最初开发的框架；[4/4] Padé逼近法，该方法将二次有理函数框架提升为四次有理函数框架，具有降低的四次分子和四次分母，从而提供了更高的自由度；以及通过自然三次样条插值法绘制非参数洪水流量过程线。研究结果表明，RRF方法将形状系数γ的适用范围扩展到了传统区间0.15–0.50之外，能够表示γ值高达0.99的洪水流量过程线。[4/4] Padé逼近法对非对称和多模态洪水流量过程线具有更好的适应性，而自然三次样条插值法能够确保异常洪水流量过程线的准确重建，其体积保持误差低于3%。这些方法提供了一个统一、客观的框架，确保了在罗马尼亚不同水文条件下的高准确性和适应性。

**1. 引言**
在水资源工程中，设计洪水流量过程线被广泛应用于大坝、堤坝和水闸等水力结构的设计以及有效的洪水风险管理。它们还用于校准洪水预测和预警系统的水文模型，以及流域管理和规划[1]。在罗马尼亚，设计洪水流量过程线（单峰）是确定水力结构规模和进行洪水风险管理的必备输入数据。该流量过程线根据国家水文与水资源管理研究所（INHGA）提供的四个已知参数（总洪水持续时间Tt、峰值到达时间Tp、洪水量W和峰值流量Qp）来表示随时间变化的流量[2,3]。
对于有测量数据和无测量数据的流域，估算设计洪水流量过程线（DFH）是水资源工程中的一个基本挑战，这对水力结构的平安和经济性设计至关重要。DFH表示在特定概率条件下（例如，百年一遇的洪水，其年超越概率为1%）的设计风暴所导致的流量过程线。估算DFH的两种主要方法是合成单元流量过程线（SUH）法和区域洪水频率分析法[4,5,6]。
合成单元流量过程线（SUH）方法（如SCS法、Snyder法或Clark法）通常用于小型、未监测（无测量数据）的水文流域的DFH估算。这些方法依赖于经验系数或关系式（如峰值到达时间），这些系数或关系式是根据特定水文同质区域内有测量数据的流域进行校准得出的[6,7,8]。
基本概念单元流量过程线（UH）是一种线性的、时间不变的反应函数，表示在指定时间内均匀降落在流域上的一个单位有效降雨量（降雨超额量）所产生的径流。自然降雨超额量的时间和空间变异性很大，特别是在极端事件期间，这与UH的均匀性假设不符，从而在预测DFH时引入了主要误差来源[9]。因此，在像罗马尼亚这样地形、土壤和水文网络特征变化较大的流域中，使用带有通用参数的标准SUH方法可能会引入较大的不确定性[10,11]。
INHGA并没有对物理过程进行建模，而是分析了实际观测到的数据，即水文站记录的洪水流量过程线。设计洪水流量过程线的特征参数（峰值流量Qp、洪水量W、峰值到达时间Tp和总洪水持续时间Tt）是根据区域合成关系（通常是回归方程）确定的[2,10]。这些关系是根据分析区域内水文站记录的最大洪水数据进行统计和处理得出的。
单峰洪水事件的设计洪水流量过程线特征通常是基于长期水文记录（理想情况下为25年或更长时间）在有测量数据站点得出的。然后利用这些特征参数以及水文类比方法，通过应用区域合成关系来估算无测量数据和有测量数据的流域的DFH。
确定设计最大流量（Qmax,p%）的标准做法是采用区域洪水频率分析法（RFFA）。该方法基于水文同质区域内观测到的最大流量进行直接合成（或区域回归）[12]。
对于洪水量、总洪水持续时间和峰值到达时间，可以建立这些时间参数与流域关键特征（如河流长度Lr、河流平均坡度Ir、流域平均坡度IB和流域面积FBH）之间的相关性[5,10]。研究发现，总洪水持续时间与非线性因素（如Lr/IB或流域平均海拔Hm与流域面积的对数值之比）有关。峰值到达时间Tp与非线性因素Lr/Ir有关，对于小流域则主要与河流长度Lr有关。洪水量主要取决于流域面积和流域平均海拔。对于小流域，还发现与河流长度Lr也有较好的相关性[10]。虽然水文形态的区域化对于定义潜在径流响应至关重要，但未来必须将其与气候动态区域化相结合，以准确预测非静态环境下的洪水演变[13]。这种方法更受青睐，因为洪水过程，尤其是极端事件，本质上是非线性和非静态的，而线性UH概念无法准确建模这一现实[14]。INHGA方法有效地消除了估算DFH并将其与UH相结合这一高度不确定的中间步骤，而是直接利用区域化关系来估算特定重现期内的特征DFH参数。
在这种方法中，非常小流域的洪水基流（Qb）通常被视为零，或者对于较大流域则取一个估算值（例如多年平均流量的两倍或其他值）[10,15]。
为了定义DFH的形状，采用了一系列标准化的数学模型（如Γ函数或其他在罗马尼亚水文学实践中常用的参数模型[10]）。选择特定模型及其参数是为了最小化模型计算出的流量与统计得出的特征参数之间的偏差[10]。
INHGA的统计和区域化方法为极端事件下的DFH估算提供了一种更稳健的方法。该方法直接基于观测到的大洪水特征的统计频率，隐含地考虑了主导的水文条件和标准SUH方法明确忽略或简化的非线性因素。INHGA并未提供完整的流量过程线形状，必须使用峰值流量Qp、洪水量W、峰值到达时间Tp和总洪水持续时间Tt等特征参数来绘制形状。
尽管罗马尼亚技术标准NP 129-2011为估算设计洪水提供了一个总体框架，但在现代水文工程中其适用性仍存在若干限制。该标准主要定义了特征洪水参数，但没有提供统一的流量过程线形状分析公式，导致图形化表示依赖于经验近似或简化的插值技术。此外，罗马尼亚实践中使用的传统分析公式对洪水形状系数γ的适用范围以及峰值到达时间与总洪水持续时间之间的比例设置了限制性条件。因此，在受调控的流域或大型流域中观测到的某些洪水流量过程线无法在经典函数的范围内准确再现。
气候变化和人类活动对河流流域的改造导致水文条件日益多变，产生了传统的参数公式无法充分表示的异常洪水流量过程线形状。这些限制凸显出需要灵活的数学工具，以重现更广泛的洪水流量过程线几何形状，同时保持与工程标准的兼容性。
有一种基于国际文献的全国性方法[10,16,17,18,19,20]，该方法可以根据已知特征参数（Qp、Tt、Tp、γ）来重现设计洪水流量过程线。该方法依赖于从三参数分布导出的密度函数（这些函数本质上考虑了偏度）或用于近似上升支（上升分支）和下降支（下降分支）的函数。然而，这些方法存在缺陷，下面将详细说明。
最近的国际研究通过参数化和非参数化方法显著推进了设计洪水流量过程线的建模。现代参数化公式包括广义概率密度函数、灵活的伽马型分布和能够再现非静态气候条件下非对称洪水形状的高阶有理逼近[21,22]。非参数化方法越来越多地依赖于基于样条的插值技术和数据驱动的重建方法，这些方法能够保持峰值流量时间和洪水体积等整体水文特征[23,24]。最新进展还包括机器学习辅助的流量过程线生成方法，其中人工神经网络、高斯过程回归和混合随机-确定性模型在数据稀缺环境中提高了流量过程线预测的准确性[25]。这些方法能够灵活适应非线性流域响应和气候变化，与传统的合成单元流量过程线技术相比具有更高的稳健性。
尽管取得了这些进展，许多现代方法仍需要大量校准数据集或增加计算复杂性，从而限制了其在工程实践中的适用性，尤其是在需要标准化可重复性和透明度的场合。因此，在高度灵活的数学模型和适合规范实施的简化工程工具之间存在方法论上的差距。
根据国家规定，用于绘制DFH的方法必须与现有的合成数据相匹配。此外，这些方法应简单易用，或至少能够在标准软件应用程序中轻松实现。一个典型的例子是Cadariu公式，该公式由本文的主要作者开发为MathCAD应用程序，并已成为水利建设和水资源管理专家和设计师的标准工具。
本研究通过提出一个统一的分析框架来填补这一空白，该框架在保持数学灵活性的同时，满足了水力设计规范中要求的简单性。
应用密度函数通常需要复杂的计算，通常归结为求解一组非线性积分方程。这涉及两个或多个需要同时满足的方程，其中至少有一个是积分方程，且整个系统是非线性的。在罗马尼亚，使用双函数流量过程线来近似上升支和下降支的方法常被视为“刺手指的洪水”（即人为或不自然的现象），因此从一开始就被排除在外[10]。
基于布加勒斯特土木工程学院和蒂米什瓦拉理工大学的研究结果，选择了三种方法用于洪水设计流量过程线的图形化表示。Cadariu方法和三次样条插值方法由水力工程与水资源管理学院推崇已超过20年，证明了其长期可行性。它们的可靠性体现在技术专家报告、水力结构运行规范和水资源管理许可文件的持续应用中。此外，通过联合研究，这两所大学完善了一套全面的方法论，旨在成为未来设计洪水流量过程线表示的国家标准。
这些研究发现和新颖元素在表1中进行了综合，为设计洪水流量过程线的图形化表示（绘制）建立了一个统一的方法论基础。该函数目前是罗马尼亚大多数技术文献（例如专家报告、授权文件）中计算设计洪水流量曲线的标准方法。其实现主要通过作者开发的计算机应用程序来完成[3]。第二种方法使用序数[4/4]的Pade逼近式，其系数通过Levenberg–Marquardt非线性优化方法获得。这种函数是经典Cadariu函数（二次多项式）的更为复杂的一般化形式。使用四次多项式可以建模更灵活的曲线，能够捕捉洪水流量曲线的细微变化。这种特定配置的特点是四次多项式的分子较低，分母为四次多项式，从而在曲线拟合中提供了更高的自由度。通过超越低阶近似，该方法能够有效捕捉复杂洪水事件中固有的复杂非线性和微妙的流量变化。第三种方法采用三次样条插值进行图形表示，具体使用的是自然三次样条，它满足自然边界条件（即在端点处的二阶导数为零）。

本研究的目标是提出一种可以整合到未来监管框架中的方法，并将先进的数学模型传播给水力工程界。这种方法结合了作者在水力设计方面的实践经验以及他们在协调本科生和研究生专业发展项目方面的经验。

2. 材料与方法
2.1. 新方法的概念和分析框架
在水资源工程中，设计最大流量的年超越概率（AEP）通常由国家法规规定。对于这些标准化的概率，必须获得设计洪水流量曲线（DFH）。表2总结了适用于罗马尼亚监管环境的具体AEP规定[26,27,28]。表2. 年超越概率在FFA中的分布。

绘制洪水流量曲线是一项复杂的任务，因为它们必须用数学函数来表示，而这些函数的参数需要根据已知的洪水流量曲线特征进行计算。本研究基于对罗马尼亚不同地区150个代表性横截面的分析，提出了一种实用的方法，对水力工程领域非常有用。本研究使用的数据集包括分布在罗马尼亚主要水文区域的150个代表性河流横截面，覆盖了山区、亚山区、高原和低地流域（图1）。图1. 用于DFH分析的罗马尼亚参考位置。用于验证洪水演算方法的数据经过筛选，以确保样本具有多样的地貌特征。该样本涵盖了罗马尼亚所有水文区域，高度范围从2050米的山区源头到黑海海平面，从而涵盖了山区、丘陵区、平原和沿海地区，以确保地理上的适用性。此外，通过包含不同规模（从1平方公里到576,230平方公里）的流域，实现了区域的代表性。这使得该方法具有通用性，能够为小型流域和大型河流流域生成设计洪水流量曲线。

数据完整性是通过选择记录长度至少为30年的监测站来保证的。这种纵向数据允许准确模拟流量曲线的上升部分和整体形状。自然和人为改变的流量制度的水文数据均得到了INHGA的官方验证和提供。这一严格的筛选过程将最初在MathCAD Prime 11.0.0.0中开发的软件应用程序从一个简单的计算工具转变为水力基础设施的可靠设计标准。

可以利用数学函数图形化地绘制可靠的洪水流量曲线。然而，并没有单一的解决方案，因为对于给定的数据集，洪水流量曲线可以有多种形状。这导致了需要额外的标准，并最终选择了合适的数学函数。例如，当我们分析p% AEP的设计洪水流量曲线时，它由关键特征定义：总洪水持续时间（Tt）、达到峰值的时间（tp）、洪水体积（W）和峰值流量（Qp，见图2）。INHGA通过提供洪水形状系数（γ）间接给出设计洪水体积。该系数定义为洪水体积（W）与峰值流量（Qp）和总洪水持续时间（Tt）的乘积之比。

图2. 设计洪水流量曲线。对于假设基流为零的洪水流量曲线，形状系数对应于无量纲流量函数q(τ)的积分。

DFH通常是基于使用观测到的洪水得出的区域合成关系推导而来的，这些洪水的超越概率通常比设计事件高，通常在5–20%（10%）AEP范围内。因此，对于给定的测流站，可用于分析的显著洪水事件的预期样本量（k）由记录长度（n）和选定的超越概率阈值（Ps）决定——通常设置为10%或20%。这种随机关系可以如下形式表达：

实际上，25–30年的连续记录周期只能产生有限数量的洪水流量曲线分析样本。具体来说，当采用Ps = 20%的超越概率阈值时，大约只能获得5–6个显著的洪水事件。当应用更严格的Ps = 10%的阈值时，样本数量进一步减少到只有3个事件。然而，目前的实践表明，为了获得真正具有代表性的洪水数据，通常只保留那些峰值流量对应于小于10% AEP的洪水事件。因此，可用的洪水事件数量通常减少到大约三个。

因此，在处理短数据序列时，建议使用平均参数方法（也称为平均流量曲线方法）来确定设计洪水参数。这种方法假设关键流量曲线特征——总洪水持续时间（Tt）、达到峰值的时间（Tp或上升时间）和形状系数（γ）与峰值流量（Qp）及其超越概率无关。这一假设允许开发Tt、Tp和γ的区域关系[10,29,30]。Tt、Tp、γ和Qp之间的独立性假设是区域水文综合中常用的一种简化方法。对罗马尼亚流量记录的实证分析表明，流量曲线形状描述符的可变性显著小于峰值流量大小的可变性。这允许使用区域关系来估计流量曲线的几何特征，而峰值流量则通过频率分析确定。因此，这一假设与工程实践一致，并确保了与INHGA开发的法规水文研究的方法论兼容性。

对于具有较长记录（通常超过50年）和数据不确定性很低的测流站，推荐使用更高级的统计技术，如使用多变量分布函数或copulas进行参数估计。这些方法在数学上较为复杂，如果应用于数据有限或不确定的数据集，可能会产生不可靠的结果[29]。

在作者提出的方法中，设计洪水流量曲线是使用合成平均流量曲线方法得出的。这种方法基于一个简化假设，即特征参数——总洪水持续时间（Tt）、达到峰值的时间（Tp）和形状系数（γ）与峰值洪水流量（Qp）无关。尽管这是一个简化，但为了确保实际应用性和与现有设计标准的兼容性，这一假设是必要的。DFH还包括其他几个重要的水文和监管参考点，包括基流（Qb）以及用于定义流量曲线形状的插值点，通常设置在峰值流量（Qp）的75%、50%、25%和5%。Qb是在整个洪水事件期间持续存在的地下水和地表径流。最终值（通常是峰值流量Qp的5%）被选为确保插值函数的数值稳定性和DFH体积的保持。这一阈值在罗马尼亚的水文背景下有物理依据，其中形成河道的流量通常与80% AEP相关联。对于一个变异系数Cv = 2、偏度系数Cs = 2Cv的Pearson Type III分布，Q1%幅度的5%部分与该80% AEP阈值相符。

本研究提出了三种不同的方法来图形化地表示设计洪水流量曲线。

2.2. 优化后的有理函数
绘制设计洪水流量曲线是一项复杂的任务，因为它们必须用数学函数来表示，而这些函数的参数需要根据给定洪水事件（或设计洪水）的已知特征进行计算。有理函数提供了必要的分析基础，确保生成的流量曲线严格符合DFH定义的水文现实，相比之下，其他函数会通过横轴上的渐近趋势改变总洪水持续时间（Tt）。通过调整函数的参数，工程师可以确保上升段和下降段符合水文流域的特征，同时在数学上保证洪水特征。

Cadariu的函数是一个有理函数，其分子是一个没有常数项的二次多项式（即下凹的二次多项式），分母也是一个二次多项式，是这种方法的核心。然而，Cadariu的函数不适用于洪水流量曲线形状系数（γ）的所有可能值范围以及总洪水持续时间（Tt）与达到峰值时间（Tp）的比率。具体来说，Cadariu的函数仅适用于有限的范围内，形状系数通常在0.15 ≤ γ ≤ 0.50之间，时间比率在2 ≤ Tt/Tp ≤ 6.5之间[31]。这一限制源于用于洪水曲线的特定标准化方法，即时间轴除以达到峰值的时间，以及对控制Cadariu方程中参数A的二维函数对称性的研究不足。例如，Cadariu的函数无法成功应用于NP 129-2011法规标准中规定的设计洪水，这一限制实际上使其过时了。图3显示，根据水文研究和监管标准得出的罗马尼亚洪水流量曲线的形状系数值高于0.5。

当前研究的基本假设是，设计洪水应该被规范化到0到1的范围内，无论是在横轴（持续时间/时间）还是纵轴（流量/流速）上。这种标准化方法使得形状系数可以覆盖整个0到1的范围，并且至关重要的是，它允许达到峰值时间和总洪水持续时间之间的比率也在0到1的范围内（0 < Tp/Tt < 1）。

DFH的无量纲形式——优化后的有理函数（RRF）是从Cadariu的公式推导出来的，表示为单一参数A的有理函数：

其中τ ∈ (0, 1) 和 c = Tp/Tt。因此，形状系数由积分定义：

图4展示了作为参数A和c函数的双维等高线图。横轴对应于变量A，纵轴代表变量c。等高线表示函数γ(A, c)的恒定值，覆盖了不同的A范围：[?1.0, 0], [0, 3], [1.0, 10.0], 和 [10.0, 200.0]。该函数对于任何A值都关于线c = 0.5对称，满足条件：

所提出的近似函数是一个在变量log(γ)和c上的双变量多项式回归，旨在近似参数A。这种形式特别选取是为了捕捉c = 0.5附近的准抛物线对称性，通过使用c的二阶多项式来表示，其系数是对数（γ）的六次多项式：

该函数确保了所需的对称性质，同时提供了足够的灵活性来准确拟合数据。为了确定流量等于峰值流量（Qp）的75%、50%、25%和5%的持续时间τ(q)，分别开发了两个关系：一个用于上升段，另一个用于下降（退水）段。

这些关系对于快速确定洪水流量曲线中的特征持续时间至关重要。这些数据支持大坝的运营决策，例如管理泄水口以控制水库放水，同时确保下游安全。高阶有理函数
这一框架的核心是经典的Cadariu函数，它是一个二次有理函数，由一个二次项的分子和一个二次项的分母构成。在此基础上，研究引入了一种重要的方法论进展：[4/4]阶Padé逼近。这种高阶有理函数代表了从二次到四次的复杂过渡，其特征是一个四次项的分子和一个四次多项式的分母[32]。这种增加的复杂性提供了更高的自由度，使模型能够捕捉到低阶模型可能会忽略的复杂洪水事件中的非线性和微妙的流量变化[33]。这种高级配置的系数是通过Levenberg–Marquardt非线性优化严格确定的[34]。

[4/4]阶Padé逼近是一种有理函数，在模拟设计洪水流量曲线时具有更大的灵活性，使其能够高度适应再现真实的洪水事件。确定这种有理函数系数有两种主要方法。
第一种方法涉及分解洪水组成部分，并根据该分析解出一组方程。这种方法基于设计洪水的基本特征来解一组非线性方程。它允许对双峰流量曲线进行建模，这种曲线通常是由于流域响应延迟或不同支流的洪水峰值同步而产生的。在这种方法中，通过将复杂的多峰事件分解为单独的单峰组成部分来建立条件。通过为每个单独的单峰流量曲线定义具体参数，可以精确校准整个有理函数以表示整个事件。

以下方程组描述了第一种方法的实际应用，特别是洪水流量曲线组成部分的分解。该系统的目标是确定有理函数的未知系数（i = 1..8），确保得到的曲线严格符合例如双峰洪水的物理特征（图5）。

图5. 使用[4/4]阶Padé逼近的双峰设计洪水流量曲线。方程（9）–（13）定义了径流量，其中随时间的流量积分代表了对应于双峰事件各个阶段的特定流量曲线段的累积体积。方程（14）和（15）施加了几何约束，以确保流量曲线的结构完整性；具体来说，它们定义了峰值。将导数设为零可以确定无量纲时间c和cs处的临界点（局部最大值）。最终条件（16）确保在标准化持续时间（τ = 1）结束时，流量回归到零，标志着洪水的结束。

通过施加这些边界条件，积分特定段落的体积并通过一阶导数精确定位峰值，建立了一个非线性方程组。解这个系统可以获得[4/4]阶Padé有理函数的系数，从而提供必要的数学灵活性，以准确再现观察到的具有双重峰值的复杂洪水曲线。

图5展示了在Vartoapele水文站（Q1% = 82 m3/s, Qs = 67 m3/s, Tt = 5.4天, Ts = 1.25天, Tp = 3.25天, Fbh = 535平方公里, Lr = 106公里）的Cainelui河流中，使用[4/4]阶Padé逼近对双峰洪水流量曲线进行建模的应用。如图所示，有理函数成功捕捉了多峰洪水事件的复杂流量变化，证明了模型能够表示流域响应延迟或不同支流洪水峰值同步的情况。归一化流量值的范围从0到1.0，通过两个明显的峰值和它们之间的中间低谷清晰地显示出双峰特性。

第二种方法通过离散化洪水流量曲线来近似该函数。具体来说，使用平均流量曲线方法，它解决一组最符合定义数据点的非线性方程。这种方法直接使用洪水流量曲线中的观测或合成数据点。连续的流量函数q(τ)由一系列离散测量值(tj, qj)表示。这种离散化将问题转化为曲线拟合方法，其中[4/4]阶Padé逼近必须通过这些数据点。还对形状系数、上升时间和总洪水持续时间施加了额外的约束。由于系统通常是过定的（数据点多于未知数），该方法使用非线性最小二乘优化（如前面提到的Levenberg–Marquardt算法）来最小化这些约束。

为了数值稳定性和优化过程的可重复性，使用标准化的参数设置实现了Levenberg–Marquardt算法。初始系数值是基于低阶有理近似选择的，以确保收敛稳定性。终止标准包括最大迭代次数为2000次和残差范数的收敛容忍度为10^-6。使用均方根误差（RMSE）和洪水体积的相对误差来评估拟合精度，以确保保留流量曲线的局部和整体特征。这些设置确保了优化结果的可重复性，并允许在工程软件中的一致实施。例如，对于Vartoapele水文站的Cainelui河流，获得了以下[4/4]阶Padé逼近的系数：α1–8 = (16.242, ?100.82, 215.81, ?131.231, 2.605, ?9.131, ?11.406, 49.996)。这种方法验证了高阶有理函数在再现表现出非线性行为的真实洪水事件方面的优越灵活性，这是低阶模型试图准确捕捉的特征。峰值之间的平滑过渡和逐渐消退的部分进一步证明了所采用方法在保持物理一致性的同时提供建模复杂流量曲线所需自由度的有效性。值得注意的是，这种方法也适用于具有非典型形状的单峰洪水流量曲线的图形表示。

2.4. 自然三次样条
样条插值函数提供了一种数值上精确且高度适应性强的方法，用于准确绘制非典型的设计洪水流量曲线。这些通常是修改后的水文状况的结果，例如由于水力结构（或水资源基础设施）导致洪水流量曲线的传播或变化。与预定的解析函数不同，样条方法不施加固定的数学形状，而是构建一条精确通过设计洪水流量曲线所有预定义点的曲线。这一特性确保了严格遵循设计数据确立的水文现实，而不会引入与渐近行为或固定数学约束相关的失真。通过使用三次样条，工程师可以在整个曲线上实现平滑性和连续性，准确反映单峰洪水流量曲线上升和消退部分之间的动态过渡。

在标准化的计算机应用程序中采用样条插值方法具有一致性和验证的关键优势。由于样条函数由输入坐标（设计流量曲线点）唯一确定，任何在标准化软件中使用相同输入参数的工程师都将生成相同的设计洪水流量曲线。

一个核心挑战是在修改后的水文状况中准确表示洪水事件，这在罗马尼亚大部分地区都很普遍，因为那里有广泛的河流流域管理，包括大规模的水资源转移、大坝、取水口和堤防系统。鉴于罗马尼亚技术标准NP 129-2011规定使用非参数方法来确定最大流量洪水（表示为p%），本研究建议使用样条曲线插值的数据点来定义设计洪水流量曲线。图6所示的非参数设计洪水流量曲线的结果图形表示需要一种高效的数据提供方法。这是通过使用最小数量的水文相关点来表示流量曲线来实现的，以确保准确捕捉流量曲线在其各个阶段（峰值、主体、上升尾部和消退尾部）的曲率。为了通过插值绘制非参数流量曲线，采用了最大流量百分位数的上升时间，即75%、50%、25%和5%，以及特征持续时间W75%、W50%、W25%和W5%。这些描述符作为可靠指标来表征洪水流量曲线的形状。描述符Wq%表示洪水流量超过最大流量q百分位的总持续时间[35,36]。

选择75%、50%和5%的百分位数作为控制点是一个策略性决定，旨在使用最小数据集捕捉洪水流量曲线的几何轮廓。这些特定的阈值使得在整个时间演变过程中有效离散化流量曲线成为可能。75%和50%的区域在国际文献中是定义“峰值区域”或洪水顶峰的基准。相反，包括25%和5%的百分位数是为了确保对较低部分的准确表示，特别是延长的消退部分（“洪水尾部”）。使用75%、50%和5%不仅直观，符合四分位的逻辑，而且也得到了国际研究的验证[30,31]。此外，由于洪水体积是流量曲线下面积的积分，包括5%的控制点是至关重要的；它确保了流量曲线的持续时间（宽度）不会被低估。这保留了总洪水体积，使MathCAD实现成为安全关键水力基础设施的可靠标准[3]。

这种方法成功平衡了“通用”简单性的需求，便于软件集成，同时又满足了“技术”准确性要求。结果是一个既计算上可访问又在水文学上严谨的合成流量曲线。这种方法通过确保准确的插值简化了NP 129-2011标准中提出的流量曲线表示方法，同时没有显著牺牲任何关键洪水参数：体积。

为了表示非参数设计洪水流量曲线（DFH），从经验得到的非参数流量曲线中提取了一组离散的控制点（ti,Qi）。这组点包括最大流量（Qmax%）、流量曲线的起点和终点，以及由百分位数描述符Wq%定义的中间点。流量Q(t)由三次样条函数S(t)定义，该函数是由每个子区间[ti, ti+1]上的分段三次多项式Si(t)组成的复合函数。该方法通过在所有内部节点处施加C1（一阶导数）和C2（二阶导数）连续性来确保高度平滑[37,38]。

重要的是，具体实现使用了自然三次样条插值，其定义了边界条件[39]：在这一条件中，流量曲线的第二导数在洪水开始和结束时为零，反映了流量曲线基部附近的曲率可以忽略不计的物理现实，即流量曲线斜率的变化率接近于零。

使用样条插值提供了重要的水文优势，其中最重要的是保持总洪水体积（V）的完整性。一旦函数Q(t) ≡ S(t)被数学定义，就可以通过在洪水持续时间内积分该函数来精确计算体积。仔细选择Wq%控制点确保得到的样条函数紧密逼近原始非参数流量曲线下的面积，保留了这个关键的洪水参数。由于其固有的C2平滑性，三次样条插值可以有效地处理通常由修改后的水文状况（例如受大坝或堤坝影响的流域）导致的复杂和不对称形状。与刚性的解析函数相比，这种方法提供了更好的图形表示。

3. 结果
可以使用RRF方法构建DFH，其特性包括水文参数，如上升时间、总持续时间、峰值流量和洪水体积。这种方法适应任何形状系数以及总持续时间与达到峰值时间的任何比率。由于NP 129-2011标准的限制缺乏建模复杂洪水波形的所需灵活性，因此有必要超越传统的解析限制。如图7所示，RRF方法能够在定义DFH的参数不受限制的范围内生成洪水波形。RRF方法在绘制DFH（设计洪水过程）方面的效率体现在其能够处理各种水文参数，包括上升时间（Tp）、总持续时间（Tt）、峰值流量（Q1%）和洪水体积。该方法突破了NP 129-2011标准的限制，提供了必要的灵活性，以模拟复杂的洪水波形，无论形状系数（gamma）或峰值流量与总持续时间的比值（c）如何。表3总结了罗马尼亚不同河流断面的这些参数，突出了形状指数g的显著变化性，其范围从0.15到0.60不等。表3. 罗马尼亚不同河流断面的特征洪水参数。表4详细列出了用于校准RRF模型的形状系数（γ）和无量纲峰值流量与总持续时间比值（c）的具体组合，以及它们对应的计算参数（A），这些参数定义了图7中展示的各种流量图轮廓。表4. RRF方法应用中使用的代表性参数。值得注意的是，当形状系数（γ）超过0.5且相对峰值时间（c）低于1/6.5时，参数A会呈现负值，从而表明传统的Cadariu有理函数的操作限制已被超越。因此，可以利用方程（3）的最终表达式高效地重建无量纲设计洪水图，该表达式仅依赖于这个单一参数。参数A在γ > 0.5时进入负值域，表明洪水图出现了显著的衰减，这是原始Cadariu函数在数学上无法处理的。这一扩展表明RRF方法足以模拟具有显著衰减或延长退水阶段的水文图，这些特征常见于大型流域或高度调控的集水区。

在精炼有理函数（RRF）中，参数A代表了控制无量纲洪水图整体几何形状的主要形状参数。A的值通过调节洪水图上升阶段和退水阶段之间的相对平衡来控制流量随时间的变化。系数γ描述了洪水图的“饱满度”，表示理论矩形体积（Qp*Tt）中有多少实际上被洪水波占据。因此，参数A作为建模控制变量，决定了洪水体积在峰值流量周围的分布。参数A的变化会导致洪水图几何形状的系统性变化。当A接近零时，洪水图变得更加尖锐且呈三角形，表明流量迅速上升和迅速退去。这种配置对应于形状系数（γ ≈ 0.15–0.3）的较低值，通常出现在储存能力较低、坡度陡峭或表面高度不透水的流域。这样的洪水图通常与山洪暴发相关，其中洪水波传播迅速且退水阶段较短。随着参数A减小并取负值，洪水图逐渐变得平坦且更接近矩形。A的负值对应于洪水体积相对于峰值流量较大的情况，导致形状系数γ大于0.5。从水文角度来看，这种行为表明流域-河流系统内存在强烈的衰减过程。流量在较长时间内接近峰值，退水阶段变得更加平缓。这种类型的洪水图常见于大型流域、低坡度河流、洪泛区或受水库、湿地或水力结构影响的调控集水区。具有负A值的洪水图通常需要更大的水库储存容量，因为洪水波在较长时间内保持高流量。相比之下，A值接近零的洪水图需要主要关注峰值流量容量的设计解决方案，例如溢洪道尺寸或涵洞容量验证。

在没有测量站的流域中，可以使用盆地面积、坡度、土地利用和储存指数等地貌描述符来区域化参数A和c。在这种情况下，具有显著储存能力的流域或流量受调控的流域预期会出现A的负值。因此，RRF公式表示负A值的能力显著扩展了经典Cadariu模型的适用范围，使得以前位于数学不可接受范围内的洪水图也能得到表示。总体而言，引入参数A作为洪水图几何形状的连续描述符，提供了流域特征与洪水波形状之间的物理可解释联系。允许参数A取负值的可能性使模型能够表示大规模持续的洪水事件，提高了水力工程应用中设计洪水图的真实性。RRF方法在这些扩展参数范围内的稳定性使其能够集成到自动化水文建模软件中，而传统有理函数的手动调整在这种情况下会失败。这种方法可以适应任何形状系数和任何总持续时间与峰值到达时间之比。由于NP 129-2011标准的限制，需要额外的灵活性来模拟复杂的洪水波形，因此有必要超越传统的分析限制。如图6所示，RRF方法能够在定义DFH的参数范围内不受限制地生成洪水波。

为了说明RRF方法的应用，本文展示了奥尔特河流域Brescioara河某一横截面的DFH。该流量图对应于1%的年超越概率（Q1% = 10^2 m^3/s），总持续时间为35小时，峰值到达时间为9小时。基流量被认为是多年平均流量的两倍（Qb = 2 × Qm = 2 × 0.694 m^3/s = 1.39 m^3/s）。图8是通过以下关系（方程（22）将无量纲洪水图转换为尺寸洪水图的图形表示：（22）图8. 用RRF方法绘制的设 计洪水图示例。通过[4/4]阶Padé逼近得到的设计洪水图（DFH）与NP 129-2011标准非常吻合（图9）。这种有理函数在保持基本洪水特征的同时提供了简化的表示，使其在水资源管理和建模中非常有效。例如，展示了??nd?rei测量站Ialomi?a河的1%年超越概率的峰值洪水流量。图9. 用[4/4]阶Padé逼近（高阶有理函数）绘制的设 计洪水图。定义无量纲设计洪水图（对应于方程（8）的[4/4]阶Padé逼近的八个系数分别为7.338、-32.612、51.713、-26.44、0.916、-12.665、17.855和3.104。为了重建设计洪水图，还提供了以下参数：基流量（Qb = 150 m^3/s）、峰值流量（Q1% = 629 m^3/s）和总洪水持续时间（Tt = 11.5天）。需要注意的是，使用这种方法绘制DFH需要更多的数据点，而精炼有理函数（RRF）方法只需要参数A、峰值到达时间（c）和总持续时间（Tt）。这个例子进一步展示了[4/4]阶Padé逼近在无量纲设计洪水图（DFH）方面的多功能性，其适用范围远远超出了Cadariu关系的标准范围（0.15 ≤ γ ≤ 0.50），这种方法已由第一作者推广了25年以上（方程（23）和（24）。

最终，[4/4]阶Padé逼近在水利实践中的整合促进了更灵活和精确的设计洪水建模，这对于优化水资源管理策略和水力结构安全至关重要。与强加严格数学形状的有理函数不同，自然三次样条插值（NCSI）是由通过所有预定义控制点的分段三次多项式构建的，如图10所示。样条方法的基本优势在于其数据驱动的本质，确保严格遵循实际水文数据，而不会出现固定分析约束通常引入的扭曲。该方法能够很好地适应由于人类干预（如大坝、改道或堤坝）导致的不典型洪水图形状，标准分析曲线经常无法拟合这些形状。其中一个最关键的优势是总洪水体积（W）的精确保持。由于函数Q(t)在每个子区间内都是数学定义的，因此可以通过积分精确计算体积。此外，样条函数完全由输入坐标（QW%: 5% Qp, 25% Qp, 50% Qp, 75% Qp, 和 Qp）确定。这消除了主观性，因为在标准化软件中使用相同参数的任何工程师都将生成相同的水文图。尽管非常准确，但样条方法需要比其他方法更多的离散坐标来捕捉洪水图的关键阶段。图11展示了基于NP 129-2011标准（以下简称标准洪水图）的??nd?rei水文站的DFH示例，评估了三种不同的绘制方法。RRF方法虽然提供了最简单的几何形式，但在质量曲线的演变和标准洪水图的斜率上存在显著偏差。尽管它保留了总洪水体积，但其均方根误差（RMSE）为1.764。这一高误差值使得RRF方法对于这种特定应用来说不够适用；在此仅作为示例。NCSI方法对上升和退水阶段提供了更好的近似。然而，得到的形状系数为γ = 0.622，而实际值为0.604，误差为3%。在这种背景下，[4/4]阶Padé逼近方法对于表示复杂洪水图最为有效。它保留了洪水的合成特征，同时准确近似了各个阶段。其RMSE为0.043，与NCSI相当。此外，Padé方法易于适应双峰设计洪水图。对于高度复杂的洪水图，例如那些在修改后的流域中的洪水图，插值方法仍然是最合适的选择。最终，这三种方法应根据具体情况选择使用。选择最合适的方法是在水力结构设计中的工程决策，由具体项目要求和可用数据的类型决定。

4. 讨论
本研究的结果表明，应用先进的数学方法（如RRF、高阶[4/4] Padé逼近和自然三次样条插值）表示DFH，相对于依赖数学上未充分利用的有理函数的Cadariu方法，代表了显著的进步。这些结果表明，高阶有理函数的灵活性能够更好地表示与储存效应和流域调控相关的不对称洪水图。γ允许范围的扩展反映了在大型和受修改的流域中观察到的洪水波衰减过程的多样性。一个关键的观察是这些函数逼近方法的多功能性，它们能够适应超过Cadariu关系经典范围（0.15 ≤ γ ≤ 0.50）的形状系数。这种适应性在当前气候变化的背景下至关重要，因为水文状况变得越来越不稳定和典型化。Ialomi?a河（T?nd?rei站）的案例研究清楚地展示了高阶有理函数如何保留基本的洪水特征，为水资源管理模拟提供了简化而稳健的表示。本研究解决的一个基本问题是同时保持总洪水体积（W）与其他关键水文参数。关于自然三次样条插值，其优势在于其数据驱动的本质。与刚性分析函数不同，三次样条消除了渐近失真，确保了精确通过所有预定义的控制点。该方法对于模拟多模态洪水图或来自人为改造的流域（受大坝、改道或堤坝影响）的洪水图至关重要。C2连续性（斜率和曲率的连续性）不仅仅是一个数学上的优势；它反映了洪水波传播的物理现实，其中上升部分和下降部分之间的过渡必须平滑，以保持水力学的合理性。此外，样条法在计算积分流量方面确保了高精度，这是设计水坝和堤坝的关键参数。然而，必须注意的是，与完全基于解析函数的方法相比，样条方法需要更密集的输入数据集（百分位持续时间、W%和流量QW%）。虽然自然三次样条插值法在预定义的控制点（例如Qp的75%、50%、25%和5%）上固有地保证了零均方根误差（RMSE），但这并不一定能忠实表示这些节点之间的水文图行为。然而，在罗马尼亚使用的合成平均水文图方法简化了水文图的形状，使得这些偏差保持最小。该方法通过将峰值流量和持续时间与总洪水体积联系起来，在模拟关键合成洪水参数方面表现出色，即使对于复杂的多模态水文图也是如此。

必须承认几个局限性。该数据集仅限于罗马尼亚的水文条件。与参数估计相关的不确定性没有明确量化，这是未来研究的一个重要方向。尽管有这些优势，每种提出的方法都有其特定的局限性。[4/4] Padé逼近法需要解决非线性优化问题，这增加了计算复杂性。三次样条插值法严重依赖于控制点的质量和可用性，这可能限制其在数据稀缺地区的适用性。未来的水文学设计方法必须考虑非稳态气候条件日益增长的影响，包括降水模式的变化和极端洪水事件频率的增加。所提出框架的数学灵活性使其能够适应不断变化的水文图特征，支持水力设计标准的未来更新。

5. 结论

本研究建立了一个现代化且多功能的数学框架，用于绘制设计洪水水文图，有效克服了现行法规（NP 129-2011）的固有局限性。研究表明，核心目标——数学灵活性、表示精度、体积守恒和实际适用性——已经得到决定性满足。RRF方法成功超越了经典的Cadariu模型的限制，该模型是作者推广了25年以上的标准。[4/4] Padé逼近法已被证明是一种强大的工具，用于表示无量纲水文图；它能够适应广泛的洪水波剖面——其中许多超出了传统解析方法的范围，标志着重要的技术进步。对于复杂的洪水水文图建模，自然三次样条插值提供了最准确的表示。所有提出的方法都强调体积守恒和关键洪水特征的保持，这确保了DFH参数与几何表示之间的直接且稳定的关系，这对水力工程的结构安全性至关重要。实际上，这种方法的实施降低了设计不确定性和计算开销，允许优化水力结构的尺寸，从而直接增强基础设施的韧性并降低长期建设和维护成本。这项研究证明，只有通过采用这些高阶数学工具，才能彻底克服过时方法的系统几何刚性和体积不准确性，为水文设计和水资源管理的未来安全树立一个新的、更优越的基准。所开发的方法专门针对集成到工程软件中进行了优化。该框架使任何实践者都能从相同的输入参数生成相同且可验证的结果，从而消除了任意解释所带来的风险。与罗马尼亚实践中使用的经典解析公式相比，所提出的方法可以在改善复杂洪水水文图的洪水体积守恒精度的同时，调整任何类型的设计洪水水文图，精度达到1-3%以内。这些改进支持将该方法整合到NP 129-2011及相关水技术标准的未来修订中。总之，这些技术不仅重新定义了图形表示的准确性，还为洪水风险评估和水资源管理基础设施的优化提供了更优越的基础，尤其是在日益波动的水文环境中。未来的研究应集中在水文图参数的不确定性量化、使用扩展的国际数据集进行验证以及随机降雨-径流建模方法的集成上。所提出的框架为水力工程设计标准化计算工具的进一步发展提供了灵活的基础。