一种新颖的准光滑流形方法，结合了丰富的插值技术，用于波动传播和结构动力学分析

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A novel quasi-smooth manifold method with enriched interpolation for wave propagation and structural dynamics

　　康克轩|洪永宇|叶欣|王攀|文伟斌|梁军
北京工业大学先进结构技术研究所，北京100081，中国

**摘要**
本文提出了一种具有增强插值的准光滑流形元素（QSME-E），用于实现精确高效的弹动力学分析。所提出的公式包括三维（3D）四面体8节点准光滑流形元素（Tetra-8 QSME）和二维（2D）三角形4节点准光滑流形元素（Tri-4 QSME）。对于这两种元素，节点位移及其梯度都被引入作为自由度（DOFs），以丰富近似空间并实现位移近似的立方完整性。基于变分原理，在Galerkin框架内对控制方程进行离散化，并采用高精度的三步时间积分方案进行瞬态模拟。此外，还引入了一种弱耦合几何映射策略以及兼容的数值积分程序来处理曲线边界。通过一系列基准问题以及涉及波传播和结构动力学的代表性示例，证明了所提出方法的性能。数值结果表明，QSME-E在2D和3D情况下的波传播以及瞬态结构动力学分析中均比传统有限元素具有更高的精度。

**引言**
弹动力学分析和波传播对许多工程应用至关重要，例如振动分析[1]、冲击响应[2]、超声检测[3]和动态稳定性评估（例如颤振[4]）。这些问题的可靠数值模拟依赖于精确的空间和时间离散化。特别是对于波传播和高频瞬态动力学，不足够的近似精度可能会导致明显的相位和幅度误差，这些误差会随着时间的推移而累积，使得实际计算中的准确预测变得具有挑战性。这些考虑激发了开发高精度空间元素以及适当时间积分策略的必要性。
对于一些理想化的配置，可以推导出解析解并用于表征弹动力学响应[5,6]。然而，对于大多数具有复杂几何形状和一般边界/载荷条件的实际问题，解析解很少可用，因此需要数值方法。通常，瞬态弹动力学模拟涉及空间和时间的离散化[7,8]。空间离散化将控制偏微分方程转换为离散系统，然后使用时间积分来获得瞬态响应。在波传播和高频瞬态动力学中，空间近似精度对预测的相位和幅度有显著影响。近年来，已经开发了许多空间近似方法。代表性的方法包括有限元方法（FEM）[[9], [10], [11]]、无网格方法（MM）[12,13]和数值流形方法（NMM）[[14], [15], [16]]。这些方法包括低阶离散化和高阶或增强公式，提供了精度、鲁棒性和计算成本之间的不同权衡。
在这些方法中，FEM仍然是最广泛用于瞬态弹动力学和波传播分析的框架。然而，传统的低阶有限元素可能精度不足。在瞬态弹动力学模拟或波传播过程中，误差可能会累积，通常需要高度精细的网格才能获得可靠的结果[17,18]。为了提高元素质量，已经开发了各种高阶和增强公式[[19], [20], [21], [22], [23]]。一种重要的方法是谱元素方法（SEM）[24,25]，它在FEM框架内使用高阶多项式近似，并在波传播分析中表现出高精度和计算效率[26]。最近的研究进一步表明，SEM可以在需要显著较少自由度和计算时间的情况下实现快速收敛[27]。谱近似对于平滑波场是有效的。然而，在非平滑响应或波前不连续的情况下，其性能可能会下降[28]。
另一个相关的发展是C1连续元素和其他涉及位移导数的有限元素。C1连续元素主要是为那些控制方程要求位移场及其一阶导数连续的问题开发的，例如薄板弯曲和应变梯度依赖的连续介质[[29], [30], [31]]。代表性的示例包括Argyris等人提出的TUBA系列和Hsieh–Clough–Tocher型三角形元素[32]。这种公式的一个实际困难是，通常难以定义可接受的形状函数，同时通常需要相对较多的节点自由度来满足连续性约束。除了严格的C1连续元素之外，Hermite型插值提供了另一种结合位移导数的方法，其中函数值和导数作为插值自由度。对于2D和3D问题，这些插值通常通过结构化网格上的张量积形式获得，这可能会使几何处理复杂化并限制离散化的灵活性[33,34]。在弹动力学和波传播分析中，传统的Hermite插值也可能出现Runge现象，尤其是在使用高阶近似时[26]。对于本研究考虑的瞬态弹动力学和波传播问题，通常C0连续有限元近似就足够了。
近年来，在FEM框架内进行局部谐波或波包增强在波传播分析中引起了越来越多的关注。这种增强有限元方法已应用于在机械、电和热激励下的弹性及压电介质中的波传播分析[[35], [36], [37], [38], [39], [40]]。最近的一项数值色散研究进一步表明，局部域三角函数增强可以显著改善色散性能，并允许每个波长使用更大的元素尺寸[41]。
除了FEM之外，另一类重要的空间离散化方法是MM，其中近似是从散布的节点构建的，不需要预定义的元素网格[42,43]。许多无网格公式基于移动最小二乘（MLS）近似[44,45]，其形状函数通常不是插值的，不满足Kronecker-delta属性，因此直接施加本质边界条件比较困难。相比之下，基于点插值的无网格公式，如径向点插值方法（RPIM）[46,47]和移动Kriging插值[48,49]，具有Kronecker-delta属性。Bathe等人最近采用了有限球方法[50]进行波传播分析[51]。有限球方法使用重叠的球体覆盖域，并结合基于球的单位分割权重函数构建近似。然而，MM通常需要背景网格或其他辅助程序进行数值积分。对于非均匀离散化，相关的积分工作量可能很大，可能导致高计算成本。在这种情况下，NMM[[52], [53], [54], [55], [56]]提供了另一种框架，它在保持基于网格的积分的同时增强了近似。它通过由数学覆盖和物理覆盖组成的两级覆盖系统构建近似。前者在单位分割框架内定义高阶和增强基函数，而后者反映了实际几何形状和边界。然而，得到的自由度通常不是直接物理的，本质边界条件通常使用惩罚函数方法施加。此外，基于单位分割的公式可能存在内在的线性依赖性问题。
在空间离散化之后，弹动力学问题可以等价为时间上的二阶常微分方程系统。瞬态响应可以通过模态叠加[57]或直接时间积分[58]获得。模态叠加受到模态截断的影响，对于涉及高频分量的响应和波传播可能会失去精度。近年来，已经开发了许多有效的瞬态积分方案。两种广泛使用的代表方法是Newmark方法的特殊梯形规则（TR）和广义α方法。TR方案是无耗散的，而广义α方法通过算法参数引入可控的数值耗散，这可能会在低频范围内牺牲精度。为了在精度和耗散之间取得更好的平衡，进一步开发了多步时间积分方法[51,[59], [60], [61], [62], [63]]。然而，许多现有的高精度时间积分方案通常与传统的有限元素一起使用。当空间离散化精度有限时，瞬态弹动力学和波传播分析通常需要精细的网格。对于显式时间积分方法，需要足够小的时间步长来满足稳定性条件，这不可避免地会增加计算成本并降低整体效率。
近年来，文伟斌和梁军的研究团队[[64], [65], [66], [67], [68]]提出了一种名为准光滑流形元素方法（QSMEM）的新颖高效数值方法，其中物理场通过具有明确物理意义的广义节点变量进行近似。这里的“准光滑”并不表示全局C1连续元素，而是指通过广义节点变量实现的近似场的改进平滑度，特别是位移梯度的平滑度。这也允许在共享顶点节点更直接地描述应变和应力相关量，而无需依赖额外的平滑或恢复程序。
在本研究中，开发了一种新的Tetra-8 QSME。所提出的元素引入了一个面心节点，其形状函数具有气泡函数的形式。这种额外的位移型自由度丰富了近似空间，使位移近似实现立方完整性。因此，当前的公式被称为具有增强插值的准光滑流形元素（QSME-E）。此外，所提出的3D Tetra-8 QSME可以降级为2D Tri-4 QSME。本研究还将高精度三步时间积分方案[69]纳入所提出的QSME-E公式中，为瞬态结构动力学和波传播提供了一个准确高效的框架。
本文的其余部分组织如下。第2节介绍了具有增强插值的准光滑流形元素的公式，包括3D Tetra-8 QSME和2D Tri-4 QSME。第3节推导了弹动力学变分公式和相应的Galerkin离散化，并介绍了高精度三步时间积分方案。第4节提出了用于曲线边界的弱耦合几何映射策略（WCGMS）以及相关的数值积分方案。第5节通过三个基准示例、两个瞬态结构动力学示例和四个波传播示例评估了所提出方法的精度和效率。最后，第6节总结了本工作的主要结论。

**本文片段**
**具有增强插值的准光滑流形元素**
为了方便构建位移近似，引入了体积坐标。如图1所示，四面体P1P2P3P4的任何内部点P (x, y, z)可以将四面体划分为四个子四面体：PP2P3P4、P1PP3P4、P1P2PP4和P1P2P3P。因此，点P在四面体中的位置由体积坐标唯一确定，即
L1=V1V,
L2=V2V,
L3=V3V,
L4=V4V
其中L1、L2、L3和L4表示点P的体积坐标。

**弹动力学的变分原理**
结合边界条件的弹动力学方程的强形式表示为
{?·σ+b=ρu¨+μu˙
在域Ω内
u=uˉ
在Γ上
u,σ·n=tˉ
在Γ上
其中σ是柯西应力张量；b是单位体积的体力；ρ是密度，μ是阻尼系数；u¨和u˙分别是加速度和速度；u和uˉ分别是位移和预设位移；n是向外单位法向量；tˉ是预设的牵引力。域Ω∈R3。Γu和Γt是...

**曲线边界中的几何映射和插值公式**
为了在保持简单和稳健的场近似的同时准确表示曲线几何形状，开发了一种弱耦合几何映射策略（WCGMS），使曲线边界的元素能够准确符合物理几何形状。根据几何表示要求，该策略支持一阶、二阶及更高阶的几何映射以实现边界一致性，如图4所示。

**数值示例**
在本节中，提供了几个数值示例来评估所提出的QSME-E在结构动力学和波传播中的性能。在5.1节中，进行了基准测试，以验证Tetra-8 QSME和Tri-4 QSME的基本属性，包括元素的兼容性、位移近似的完整性以及数值精度。在5.2节中，对两个代表性格子结构进行了瞬态动力学分析，以检查...

**结论**
本研究开发了一种用于高精度波传播和结构动力学的QSME-E。开发了3D Tetra-8 QSME和2D Tri-4 QSME。所提出的公式结合了Galerkin离散化和高精度三步时间积分方案，实现了波传播和瞬态动力学的准确稳定模拟。首先，QSME-E被开发为实现立方完整近似。在顶点节点CRedi处分配位移和导数自由度。

**作者贡献声明**
康克轩：写作 – 审稿与编辑、写作 – 原始草稿、可视化、验证、项目管理、调查、数据管理、概念化。
洪永宇：软件、调查、数据管理。辛烨：写作——审稿与编辑、调研
潘旺：写作——审稿与编辑、调研、概念化
文伟斌：写作——审稿与编辑、监督、资源协调、资金筹集、概念化
梁军：监督、方法论设计、资金管理