针对圆柱形低温储罐中非稳态自然对流现象，通过计算流体动力学（CFD）方法分析了诱发振动效应的影响

《Journal of Energy Storage》：CFD analysis of induced vibrational effects on unsteady natural convection in a cylindrical cryogenic storage tank

　　艾卜杜勒拉希姆·莫克赫菲（Abderrahim Mokhefi）| 尤金妮亚·罗西·迪·斯基奥（Eugenia Rossi di Schio）| 保罗·瓦尔迪塞里（Paolo Valdiserri）| 萨拉·尤塞菲（Sarra Youcefi）
阿尔及利亚奥兰国立理工学院机械工程系，LTE实验室，BP 1523 El Mnaouer，31000，奥兰

摘要
在石油工程中，液化气体的低温储存（特别是液化天然气LNG）依赖于稳定的自然对流来调节热传递，从而最小化蒸发损失。然而，这种内部对流本身可能受到自然环境振动的影响。因此，本文旨在研究垂直振动对液化气体在圆柱形容器中低温储存期间的热流体动力学特性以及蒸发速率的影响，该气体的普朗特数（Pr）为2。在假设轴线对称性的前提下，容器被建模为一个矩形腔体，其底部具有隔热性能；但是，外部热量会通过侧壁和蒸发自由表面泄漏。基于无量纲CFD（计算流体动力学）公式，本文强调了振动幅度（由振动瑞利数表示，103 ≤ Raω ≤ 10?）以及振动角频率（101 ≤ Ω ≤ 103）的影响。此外，还利用努塞尔特数（Nusselt number）量化了外部热量泄漏和表面蒸发产生的热通量。通过有限元方法模拟，数值结果显示，垂直振动与重力引起的浮力相互作用，产生一个脉动的体积力，使蒸发速率产生同步的周期性变化。当振动加速度等于重力时（Ra = Raω），增加振动幅度可使蒸发速率和对流热传递分别提高多达40%。此外，适中的振动频率（约Ω = 102）进一步增强了这些效应，而非常高的频率则趋于使蒸发速率和热传递稳定在静态值附近，部分抵消了振幅的影响。

1. 引言
在石油和天然气行业中，液化气体的储存尤为重要，因为液化过程可显著减小其体积，从而提高了运输和大规模储存的经济可行性。液化石油气（LPG）通常在接近室温的压力下储存，而液化天然气（LNG）的沸点在准大气压下约为-162°C，需要低温储存条件。由于加压储存会对储罐造成较大的机械负荷，因此在大气压下进行低温储存已成为储存低液化温度气体的优选方案[1][2][3][4][5]。尽管储罐具有有效的隔热性能，蒸发仍然是一个关键问题。由于储存液体与外部环境之间的温差较大，热量会泄漏到液化气体中。这些热量不仅促进蒸发，还会在液体内部产生自然对流，从而在液体上方形成自由表面，并在该表面之上形成蒸发蒸汽[6][7]。因此，液化气体低温储罐的设计需要采取额外的保护措施来限制蒸发，同时最小化相关的操作风险[8][9]。

鉴于自然产生的内部流场对液化气体储存系统有显著影响，许多研究人员专注于研究和分析这一现象，特别是蒸发现象[10][11][12]。实际上，关于低温储罐中自然对流和蒸发的CFD研究通常遵循两种主要方法。第一种方法采用二维几何形状或圆柱形容器的轴线对称性，其中液体和蒸汽两相均通过两相模型（VOF，Volume of Fluid）进行显式建模。

基于VOF方法，该领域早期的CFD研究由Aszodi等人[13]开展，他们首次验证了3D沸腾模型数据，强调了基于数值研究的浮力驱动流动和蒸发现象。Manalo和Akyuzlu[14]使用2D非定常CFD模型对低温推进剂储存条件下的温度和速度场进行了基准验证，该模型耦合了液体和蒸汽域。Ferrín和Pérez-Pérez[15]利用耦合SST湍流模型的共轭传热模型，展示了LNG储罐内的液位和隔热厚度对蒸发、热分层和对流流动模式的影响。Duan等人[16]结合了液相和气相的相互作用效应，表明较高的储存压力和增加的液体填充量能有效抑制蒸发并减少储罐中的总蒸发损失。Saleem等人[17]使用全尺寸LNG储罐的轴线对称模型和Lee相变模型，发现典型隔热条件下的表面蒸发占主导地位，并估计了临界壁过热值为2.5–2.8 K。Huerta和Vesovic[18][19]开发了等压蒸发计算流体动力学（CFD）和解析模型，准确预测了蒸汽流量、温度和蒸发气体速率，其解析解与工业规模储罐的实验结果偏差低于5%。在另一项研究中[20]，他们对储罐中非等压蒸发进行了CFD建模，以与等压情况进行了比较。

第二种较为简化的方法是在自由表面施加热通量边界条件，而不显式建模蒸汽相。这种方法可以近似且通常能满足蒸发速率和自然对流强度的估算要求，同时计算复杂度较低。Lemembre和Petit[21]为了获得稳态CFD解，假设蒸发可以视为等于来自侧壁的热通量。另一方面，Haddar等人[22]认为自由表面完全隔离，以分析挡板对液化天然气圆柱形容器中自然对流的影响。他们发现，在靠近侧壁的顶部放置挡板可将储罐的平均温度降低多达44 K。Roh等人[23]通过对自由表面的饱和温度施加狄利克雷边界条件（取决于储罐压力），预测了加压LNG储罐中的蒸发气体生成情况，并表明蒸发气体的产生强烈依赖于垂直温度分布。在另一项相关研究中[24]，Roh和Gihun Son在相同操作条件下量化了外部对流、储罐尺寸和储罐形状对流场、温度分布和界面热通量的影响。

最广泛认可的边界条件源自Hashemi和Wesson[25]的工作，他们将自由表面的热通量定义为质量蒸发通量，这一定义基于Yaws等人[26]报告的蒸发潜热。Khelifi-Touhami等人[27]进行了全面的研究，为后续工作提供了关键的验证参考。他们分析了垂直圆柱形容器模拟LNG储存时的稳态热行为和层流动态，指出蒸发热通量在靠近侧壁处达到峰值，在自由表面中心最小。为了接近实际情况，Khelifi-Touhami[28]在相同操作条件下研究了加热LNG圆柱形容器中的湍流自然对流，使用了低雷诺数RANS k–ε模型并考虑了蒸发冷却效应。他报告了蒸发热通量随着湍流级别的增加而增强。Kozhevnikov和Sheremet[29]的工作引入了产生热毛细效应的自由表面张力，以改进CFD模型，表明将马兰戈尼数（Marangoni number）提高到1000可以减少自由表面的热传递。Rachedi[30]将马兰戈尼数扩展到2000，并证明强热毛细效应可使表面蒸发减少多达5%。

流体填充腔体内的机械振动及其在空间中的扰动加速度是一个值得详细分析的重要现象。事实上，众多研究表明，外部或内部诱导的振动是通过机械产生湍流来扰动边界层的一种有效方法[31][32][33]。在自然对流系统中，这些振动可能改变热不稳定性的起始条件，修改边界层结构，并产生振荡或共振流动模式[31][32][34]。这些效应会根据振动参数和腔体几何形状增强或抑制热传递。Hirata等人[35][36]关于方形腔体内自然对流的振动效应的研究，可以在控制参数（如振动瑞利数和振动频率）范围内，将流动状态分类为同步、次谐波或非周期流动响应。Crewdson和Lappa[37]的工作将这些分类扩展到了更广泛的控制参数范围。

在液化气体的低温储存中，各种自然因素和外部因素都可能在储罐内引起振动，影响自然对流和蒸发速率。这些因素包括由于部分填充或运输运动引起的晃动、泵或附近设备的机械振动、压力波动、地震事件以及爆炸产生的声波。这些振动可能改变流动模式，增强或抑制对流混合，并对热传递和蒸发产生不利影响，因此在储罐设计和建模中考虑这些因素至关重要[1][2][38][39]。大多数关于振动效应在低温储存中的数值研究主要集中在它们对储罐和容器结构稳定性和变形的影响上，主要是出于制造和安全考虑。例如，Chen等人[40]通过数值模拟强调了在地震隔振设计中考虑储罐位移的必要性，以防止辅助管道受损。此外，Zhao等人[41]展示了结构优化和早期预警系统在高液体水平下的安全运行重要性。然而，针对液化气体本身的振动效应的CFD研究通常关注晃动引起的激励，这对海运或一般运输尤为重要。Chen[42]使用两相有限解析纳维-斯托克斯（FANS）方法研究了部分填充的LNG储罐中的晃动，这种晃动对容器系统构成显著的压力风险。Liu等人[43]提出了LNG储罐蒸发的仿真框架，结合了宏观尺度HYSYS建模和微观尺度的VOF及Lee模型。Singh等人[44]基于两相热力学模型表明，低温储罐中的晃动会增加内部热量产生，破坏热分层，导致蒸发速率高于静态条件。Wang等人[45]通过VOF-CFD量化了运输引起的振动对LNG蒸发气体生成的影响，表明机械振动在道路运输过程中显著增加了蒸发气体的产生。总体而言，关于振动力或激励作用下低温储存的文献主要集中在晃动引起的扰动上，特别是在液化气体运输过程中，通常使用VOF方法，并特别关注自由表面[46][47][48]。

据我们所知，关于振动对液化气体储存的影响（尤其是自然对流和蒸发）的研究主要集中在各种容器配置下的流体运输过程中，重点是晃动现象。然而，之前研究中尚未探讨储存在静止储罐中的液体因地震活动、超声波或其他干扰而产生的内在振动。在这种情况下，振动力与重力结合，根据振动的幅度和频率在单个液滴中产生温度依赖的浮力，从而产生周期性响应。这些响应可能显著影响自然对流，进而影响蒸发速率。

基于[25][26]中提出的单相模拟模型和蒸发标准，以及Khelifi-Touhami等人[27]引入的简化模型，本研究采用有限元数值方法研究了垂直振动力对含有液化气体的圆柱形低温储罐内的自然对流、表面蒸发和流动动态的影响。分析重点关注振动幅度（通过振动瑞利数表示）和角频率对浮力驱动流动强度的影响，这种流动由重力和振动加速度的相互作用引起，以及蒸发速率的影响。这项工作的新颖性体现在两个关键方面。首先，该研究明确考虑了可能影响低温储存系统运行的外部振动力的影响。其次，这些振动效应被直接纳入到通常用于模拟低温储存罐中气体蒸发产生的纳维-斯托克斯（Navier–Stokes）公式中。振动加速度的引入在单个流体颗粒层面上引发了周期性和同步性的响应，从而改变了由浮力驱动的流动，并通过基于努塞尔特数（Nusselt-number）的热传递分析实现了蒸发率的量化。这项研究提供了关于振动扰动如何影响液化气体储存过程中的热传递和蒸发过程的见解。

为了实现这些目标，论文分为三个主要部分：建模方法、包括网格独立性和模型验证的数值方法，以及最后的结果和讨论。

2. 建模方法
2.1. 问题描述
当液化天然气（LNG）储存罐受到震动（例如由地震波引起的震动）时，内部流体会由于晃动、旋转运动和表面波的产生而发生变化。这种增强的扰动可以加剧内部对流，减少热分层，并将较暖的液体从较深区域带到表面，从而增加向外的热流量。同时，自由表面的振荡扩大了液体-气体界面面积，促进了质量传递，而蒸汽相和罐壁附近的运动促进了热更新。总体而言，这些效应倾向于增加蒸发率，进而增加蒸发气体（BOG）的产生。
本研究使用轴对称的缩比储存罐模型，研究了振动对储存在低温圆柱罐中的液体的热流体动力行为的影响（见图1）。问题涉及一个直径为D、总高度为H0的圆柱罐，其中部分充满了液态天然气（LNG），高度为H，定义了液相与其蒸汽之间的自由表面。罐体经过隔热处理，以最小化来自外部环境的热量侵入，通常使用的隔热材料包括由低导热间隔层分隔的多层反射膜、真空隔热板或膨胀珍珠岩，有时还结合真空夹套以增强热阻。侧壁和顶壁特别关键，因为它们受到周围环境的对流和辐射热传递的影响[49]。

尽管采取了这些隔热措施，残余的热量泄漏仍可能在液体内部引起温度梯度，从而导致由浮力驱动的对流。由温度梯度ρ(T)和重力加速度g引起的密度变化产生的浮力Fg遵循以下线性公式：
(1) Fg = ρTg = ρ0(1 ? βT ? T0)g
其中T、T0、ρ0和β分别表示液体温度、液体参考温度、T0时的液体参考密度以及液体的热膨胀系数。
根据阿基米德原理：较暖、密度较小的液体会上升，而较冷、密度较大的液体会下沉，形成自然对流循环。当叠加振动（例如地震）加速度时，它们通过体积力项Fa（与温度依赖的密度和振动加速度的乘积成正比）与这些密度梯度相互作用，可能会破坏对流模式并改变热流体动力分层。如果我们将振动加速度表示为a(t)，则该体积力由以下公式给出[32],[33],[37],[50]：
(2) Fa = ρTa(t)
在低温储存系统中，这种相互作用可以放大到液体-气体界面的热传递，直接影响蒸发气体（BOG）的产生率，因此在罐体和隔热策略的设计中需要仔细考虑振动效应，以减少不必要的热损失。由于我们仅考虑沿重力轴的振动扰动，而忽略了所有类型水平扰动，因此罐体的几何形状遵循先前研究中的既定配置[21],[27],[29],[30]，确保与低温储存分析中的验证模型一致（见图2）。

在这种配置下，由于自然对流引起的低速度[30]，假设由于蒸发造成的质量损失相对于总液体量可以忽略不计，从而保持恒定的液位（z = H），而相变过程中的潜热吸收在能量平衡中仍然是一个重要的热考虑因素。此外，我们进一步假设垂直振动对自由表面形态的扰动影响很小。这一假设通过考虑的极低振动幅度得到了严格证明，这些振动幅度不足以产生足以变形液体表面的显著动量或压力梯度。此外，在轴向振动下，界面实际上受到重力和表面张力的约束，确保任何潜在的扰动都很小，不会实质性地影响大部分液体的热或对流动力学。

2.2. 数学公式
使用计算流体动力学（CFD）数值研究低温液体储存中自然对流的振动效应，主要关注确定与自然对流相关的速度场、温度场和流函数，这提供了关于罐内流动强度的见解。分析考虑了先前定义的体力，即重力和振动力（Fg和Fa）。问题在层流、不可压缩流体在非稳态条件（时间依赖/χ = 1）下的假设下被构建，因为加速度强烈依赖于时间。控制方程是纳维-斯托克斯方程，包括连续性和动量守恒方程，以及包含粘性耗散源项的热方程。浮力使用布辛涅斯克（Boussinesq）近似进行建模，在该近似中，储存液体的所有热物理性质（除了随温度变化的密度）都被假设为恒定。在一个轴对称坐标系（O, r, z）中，其中r和z表示径向和轴向空间坐标，如果依赖变量是速度场u = (ur, uz），ur和uz分别表示径向和轴向速度分量，温度T，压力p，则随时间t的非稳态公式表示如下[21],[27],[29],[30]：
(3) ?ur/?r + ?uz/?z + urr = 0
(4) χ ?ur/?t + ur?ur/?r + uz?ur/?z = ?1/ρ0 ?p/?r + υ ?2ur/?r^2 + ?2ur/?z^2 + 1/r ?ur/?r ? urr^2 + ρρ0χa
(5) χ ?uz/?t + ur?uz/?r + uz?uz/?z = ?1/ρ0 ?p/?z + υ ?2uz/?r^2 + ?2uz/?z^2 + 1/r ?uz/?r + ρρ0χaz + g
(6) χ ?T/?t + ur?T/?r + uz?T/?z = kρ0cp ?2T/?r^2 + ?2T/?z^2 + 1/r ?T/?r + ?
其中υ、cp和k分别表示运动粘度（υ = μ/ρ0）、热容率和热导率。此外，χ和?是表示流动状态（稳态或非稳态）及其粘性耗散函数（分别）的指示函数。后者由以下公式给出：
(7) ? = υc2 ?ur/?r^2 + 2?uz/?z^2 + ?ur/?z + ?uz/?r^2
对于简化的分析，假设振动加速度遵循非随机轮廓，其信号由纯正弦函数表示。加速度场的径向和轴向分量分别由以下公式给出[32],[51]：
(8) ar = Aω2cosγsinωt
(9) az = Aω2sinγsinωt
在这个函数中，角频率ω和两个空间方向上的波幅A被认为是恒定的；然而，振动方向根据角度γ而变化。由于本研究关注垂直振动，我们设定γ = π/2，因此ar = 0。加速度振荡周期τp由以下公式给出：
(10) τp = 2πω
在当前情况下，假设振动效应仅在圆柱腔内的流动已经在浮力作用下建立之后发生。它们不会与浮力作用的开始同时发生，因为它们代表一种突然现象。因此，在控制方程中引入了χ因子，表示流动状态（稳态或非稳态）的指示函数。具体来说，χ = 0对应于纯稳态，而χ = 1对应于非稳态。因此，必须解两个方程组：第一个描述仅由浮力驱动的稳态流动，作为第二个描述在振动下的非稳态流动的初始条件。在给定时间t，边界条件保持不变，这种方法适用于稳态和非稳态情况。
边界条件在罐的侧壁和底部施加无滑移速度约束。在侧壁上，施加一个规定的热通量（qsw）以表示来自周围空气的外部加热，而底部则假设为近似绝热。实际上，通过对一系列底部热通量值进行参数研究，已经评估了绝热底部墙的假设。分析是通过改变相对底部到侧面的热通量比从理想化的绝热情况（零热通量）到侧壁热通量的30%（qbottom = 0.3qsw）来进行的，这对应于文献中报道的某些操作和环境条件下的上限范围。由于外部热条件、季节变化和环境温度，特别是在白天条件不利时，热增益可能更大，可能会出现这样的相对高值。数值结果表明，在底部热通量比大约为侧壁热通量的0%到10%的范围内，热场和流体动力学结构基本上不受影响。超过这个阈值，偏差会逐渐变得明显。因此，这个条件可以被认为是当前研究的有效和令人满意的建模假设[17],[27],[30]。
在罐的顶部，即液体的自由表面，施加无滑移速度条件，以及垂直速度的零径向梯度。此外，在这个自由表面施加蒸发热通量（qev）条件（见图2）。在数学上，对于χ = 0和t > 0的情况，我们可以写出：
- 在侧壁上 (r = D/2)：(10) ur = uz = 0 和 ?k?T/?r = q
- 在底部 (z = 0)：(11) ur = uz = 0 和 ?k?T/?z = 0
- 在顶部 (z = H)：(12) uz = 0, ?ur/?z = 0 和 ?k?T/?z = qev
- 在对称轴 (r = 0)：(13) ur = 0, ?uz/?r = 0 和 ?T/?r = 0
在热传递中，蒸发热通量是指在相变过程中从液体传递到蒸汽相的单位面积和单位时间的热能。在CFD建模中，它表示维持液体-气体界面蒸发所需的潜热率，通常表示为 [26]：
(14) qev = Lm?
其中m?是蒸发率，L是液体的潜热。蒸发率由以下公式给出[25]：
(15) m? = ckLgeffβαυ1/3T ? Tsat^4/3
如果 T > Tsat，则 m? = 0
其中α是液体热扩散率（α = k/(ρ0cp)，Tsat是相变温度（液体到蒸汽）。geff表示结合了重力和垂直振动效果的有效垂直加速度，因此 geff = g + χaz。至于c因子，它是一个经验常数，用于根据实验结果[25],[27]调整热通量。在当前研究中，我们还假设由于振动效应很小，这个常数的值不会随振动而变化。结合方程式(14)、(15)，并假设自由表面对振动效应的响应非常小，且值c保持不变（变形可忽略不计），我们可以得出：
(16) qev = ckgeffβαυ1/3T ? Tsat^4/3
如果 T > Tsat，则 qev = 0
关于初始条件，它表示振动效应的开始（χ = 1），它在整个域上在 t = 0 时应用如下：
(17) ur,uz,p,Tχ = 1

2.3. 无量纲数学公式
在基于定性而非定量方法的研究中，研究人员经常使用无量纲模型来简化热流体动力分析，从而便于模拟[34],[51]。因此，之前介绍的一组控制方程式(3)、(4)、(5)、(6)，以及相应的边界条件方程式(10)、(11)、(12)、(13)和方程式(17)，都基于以下无量纲依赖变量转换为无量纲形式，包括速度场U = (UR, UZ)、压力(P)、温度(Θ)：
(18) URUZ = Huruzα, P = H2pρα2, Θ = T ? TcΔT
以及独立变量时间(τ)和空间(R, Z)：
(19) τ = tαH2/RZ = rzH
其中ΔT是侧壁和罐内最低温度之间的温差。它由以下公式给出：
(20) ΔT = qsw/Hk
通过将这些无量纲变量(18)、(19)代入尺寸方程组(3)、(4)、(5)、(6)，我们得到以下无量纲的质量、动量和能量控制方程：
(21) ?UR/?R + ?UZ/?Z + URR = 0
(22) χ ?UR/?τ + Ur?UR/?R + UZ?UR/?Z = ??Pˉ/?R + Pr?2UR/?R^2 + ?2UR/?Z^2 + 1/R ?UR/?R ? URR^2
(23) χ ?UZ/?τ + Ur?UZ/?R + UZ?UZ/?Z = ??Pˉ/?Z + Pr?2UZ/?R^2 + ?2UZ/?Z^2 + 1/R ?UZ/?R + RaPrθ + χRaωPrsinΩτΘ
(24) χ ?Θ/?τ + Ur?Θ/?R + UZ?Θ/?Z = ?2Θ/?R^2 + ?2Θ/?Z^2 + 1/R ?Θ/?R + BrΦ
Φ项表示用于简化问题的修正压力。它定义如下[32]：
(25) Pˉ = P + RaωPrZsinγ + RcosγsinΩτ
出现在无量纲纳维-斯托克斯和能量方程式(21)、(22)、(23)、(24)中的无量纲数取代了物理参数，并概括了研究现象。普朗特数(Pr)表征了流体的热粘性特性。瑞利数(Ra)描述了由浮力驱动的对流，而与振动相关的瑞利数(Raω)反映了施加振动的幅度。无量纲角频率数（Ω）表示振动频率，Brinkman数（Br）表示由粘性耗散产生的热量。这些无量纲参数允许以通用形式分析系统行为，并突出热效应、粘性效应、浮力效应和振动效应的相对重要性。它们的表达式如下：(26) Pr=υα/Ra, (Raω=Aω2βΔTH3/αυ), Ω=ωH2/α, 以及 Br=μα2kH2ΔT。项Φ代表无量纲粘性耗散函数，其表达式为：(27) Φ=2?UR/?R2+2?UZ/?Z2+?UR/?Z+?UZ/?R2。根据我们采用的无量纲方法，无量纲时间τ可以直接与一个称为傅里叶数（Fo）的无量纲参数相关联。这个数在热传递分析中广泛用于解释结果。傅里叶数表示热过程的特征时间与热扩散时间的比值。因此，无量纲时间τ和傅里叶数Fo有时可以互换使用，因为它们代表相同的物理量。实际上，我们有：Fo = τ [32]。对于χ = 0和1的无量纲边界条件，当τ > 0时，其表达式为：•在侧壁（R = 1/2）处：(28) UR=UZ=0 和 ?Θ/?R=1•在底部（Z = 0）处：(29) UR=UZ=0 和 ?Θ/?Z=0•在顶部（Z = 1）处：(30) UZ=0, ?UR/?Z=0 和 ?Θ/?Z=?cRaeff1/3Θ?/3（如果Θ?0）；否则 ?Θ/?Z=0；其中Raeff=Ra+χsinΩτ。•在对称轴（R = 0）处：(31) UR=0, ?UZ/?R=0 和 ?Θ/?R=0。关于初始条件，其表达式为：(32) UR,UZ,P,Θχ=1, τ=0=UR,UZ,P,Θχ=0。

2.4. 流函数
在这项专注于自由对流的研究中，流函数（ψ）提供了关于罐内流体流动强度的重要信息。实际上，它能够显示稳态下液滴的轨迹，并且在所有状态下对应于质量流动强度的线条。该函数以无量纲形式（Ψ = ψ/α）表达，其方程为：(33) 1/R?ψ/?R=?UZ 和 1/R?ψ/?Z=UR。在本研究中，它是通过求解以下泊松方程获得的：(34) ?2ψ/?R2+?2ψ/?Z2?1/R?ψ/?R=?RΩ′。其中Ω′表示流动涡度，其表达式为：(35) Ω′=?UZ/?R??UR/?Z。

2.5. 热传递率
在低温储存中，热传递率对流体蒸发和能量损失有重要影响。努塞尔特数（Nu）用于量化对流热传递相对于传导的效率，其定义如下：(36) Nu=hkH，其中h是对流热传递系数。努塞尔特数的增加表示对流热传递的增强，导致储存流体的热能输入增加，从而提高蒸发速率。相反，努塞尔特数的减少反映了对流的减少，限制了热量进入并最小化了流体沸腾。因此，控制努塞尔特数对于优化低温储存系统的热管理并减少蒸发是至关重要的。关于涉及将热通量作为边界条件的蒸发研究，可以在罐的任何壁面上评估平均努塞尔特数。根据文献，通常基于总体温度Θb和平均壁温Θsw，在侧壁（sw）和自由表面（fs）上计算该数值[27]。本研究中的总体温度精确地表示了随时间的域平均温度，因此其公式为：(37) Θbτ=2∫?1∫?1ΘR/Z·dR·dZ。在侧壁，瞬时平均努塞尔特数由[27]计算为：(38) Nuswτ=2Θswτ?Θbτ，其中Θswτ=∫?1ΘR=1/Z·dZ。对于自由表面，瞬时平均努塞尔特数由[27]给出为：(39) Nufsτ=qev,avτ。Nuswτ=2c.Ra1/3Θsw?Θb∫?1ΘR/Z=1/4/3R·dR，其中qev,av表示蒸发表面的平均热通量率。为了更全面地研究努塞尔特数，时间平均值反映了整体的对流热传递能力。在持续时间τmax内的时间平均和空间平均努塞尔特数由下式给出：(40) Nuˉsw,fs=1/τmax∫?τmaxNusw,fsτ·dτ。

3. 数值方法、网格研究和验证
3.1. 数值方法
采用了Galerkin有限元方法[52]、[53]来解决完全耦合方程组（方程（21）、（22）、（23）、（24）以及相应的边界和初始条件（方程（28）、（29）、（30）、（31）、（32）），无论是稳态情况（χ = 0）还是非稳态情况（χ = 1）。该过程首先在指定的边界条件下求解稳态系统。在这种状态下，离散化基于变分公式，通过将控制方程乘以适当的测试函数[52]来实现。使用分部积分来降低导数的阶数，从而得到方程的弱形式[53]。计算域被离散为非结构化的矩形元素，如图3所示，未知变量在每个元素内通过适当的插值函数（形状函数）来近似。非线性稳态系统采用完全耦合的直接策略求解，其中所有控制方程被组合成一个单一的代数系统。由此产生的稀疏线性系统由多前沿大规模并行稀疏直接求解器处理，确保了强耦合的速度-压力-温度无量纲场的稳健性和准确性。通过迭代细化直到残差满足规定的容忍度来实现收敛。实际上，当迭代n+1时的依赖变量（UR、Uz、P或Θ）与其在迭代n时的值之间的绝对差小于ε = 10??时，认为已经收敛。

3.2. 网格和时间步长独立性测试
在基于CFD的数值研究中，选择和评估计算网格是重要的步骤。特别是，必须进行网格独立性测试，以确保无量纲速度、压力和温度场不会因网格的进一步细化而显著受到影响。实际上，当使用更细的网格时数值结果发生显著变化，则没有技术可靠性。在本稳态分析中，使用了四种不同分辨率的非结构化矩形网格进行了网格独立性测试：50 × 50、100 × 100、150 × 150和200 × 200元素。对于这些网格，沿水平中线（Z = 0.5）的无量纲温度（Θ）和轴向速度（Uz）的分布进行了比较，如图4所示。

3.3. 粘性耗散的忽略
关于稳态情况（χ = 0）研究中的粘性耗散函数，进行了严格调查，以验证在低温液体情况下是否可以安全地忽略这一效应[54]。为了评估这一点，进行了包括粘性耗散项的模拟，基于数值分辨率（最佳网格尺寸150 × 150和时间步长Δτ = 10?3）。在这种情况下，雷诺数Rayleigh被固定在最高值Ra = 105，以检查极端情况。例如，对于在低温下的液化天然气（LNG），普朗特数通常约为Pr ≈ 2。使用LNG在低温?162°C时的热物理性质：热扩散率α ≈ 1.4 × 10?? m2·s?1，动态粘度μ ≈ 1.4 × 10?? Pa·s，以及热导率k ≈ 0.2 W·m?1·K?1 [55]，根据无量纲公式计算了参考Brinkman数，使用特征速度uref = α/H，最大罐高H = 40 m。这得出Brinkman数约为Br ≈ 4 × 10??，明显小于1（Br ? 1），表明在这些条件下粘性耗散可以忽略不计。尽管如此，为了确保彻底分析，还使用从模拟结果得出的实际流体速度计算了最大Brinkman数Brmax。使用了基于无量纲速度的定义Brs = μu2/(k·ΔT)。从模拟中得出最大无量纲速度Umax = 165，这导致最大Brinkman数为Brmax ≈ 10??，仍然远小于1（Br ? 1）。因此，即使在最极端的模拟条件下，粘性耗散也可以忽略不计。由于大部分封闭空间内的流体速度较低，包括壁附近的接近零的速度以及在较低雷诺数下的流动强度进一步减少，因此排除了能量方程中的粘性耗散项是合理的。在稳态情况（χ = 0）的最终模拟中，Brinkman数因此被设置为零（Br = 0）。

3.4. 与以往工作的比较
为了确保我们通过计算方法获得的结果的有效性，进行了与以往研究的比较。比较过程涉及评估每种现象的模拟结果。由于我们的研究重点关注低温液体储存过程中的蒸发现象，同时引入振动力以研究其对罐内自然对流的影响，因此有必要将当前结果与同时涉及这两个研究方面的文献进行验证。我们首先从与低温储存过程中蒸发相关的研究开始验证。为此选择了几篇参考文献。具体来说，我们比较了在不同瑞利数（Rayleigh numbers）下稳态条件下自由表面平均努塞尔特数（Nusselt number at the free surface, Nufs）的变化情况，并与Kozhevnikov和Sheremet [29]、Khelifi-Touhami等人[27]以及Rachedi等人[30]报告的结果进行了比对。图6展示了这一比较。尽管各参考文献中的努塞尔特数值存在一些可观察到的差异，但我们计算出的努塞尔特数值位于这些数值的中间范围内，因此符合文献中的报告范围。这一结果验证了我们的方法，并确认我们的方法论是正确的。下载：下载高分辨率图像（230KB）下载：下载全尺寸图像图6. 自由表面平均努塞尔特数与自由自然对流瑞利数的比较。

此外，我们还检查了沿水平中线的无量纲温度分布，并将其与Kozhevnikov和Sheremet [29]以及Rachedi等人[30]的数据进行了比较，如图7所示。当前结果与这两篇参考文献中的分布非常吻合。另外，我们还绘制了沿垂直中线的径向流速分布，并将其与Rachedi [30]的结果进行了比较。如图7右侧所示，我们的流速曲线与参考文献中的几乎完全一致，进一步证实了我们在蒸发方面的模型的有效性。下载：下载高分辨率图像（353KB）下载：下载全尺寸图像图7. 沿水平中线（Z = 0.5）的温度分布与沿垂直中线R = 0.5的速度分布与文献的比较。

关于考虑振动源的验证，本研究与Hirata等人[35]的工作进行了比较。在相同的工作条件下，我们在坐标（0.25, 0.25）的测量点绘制了流函数Ψ，如图8所示。该图表明，我们计算代码得到的流函数的时间分布与参考文献中的结果非常吻合，从而证实了振动源的实现是正确的。因此，综合所有验证，我们可以认为我们的工作是一致且可靠的，因此可以用来提出新的贡献。下载：下载高分辨率图像（172KB）下载：下载全尺寸图像图8. 本研究中的无量纲流函数随时间的变化与文献的比较。

此外，虽然验证案例主要关注没有振动的自然对流和蒸发现象，但它们确保了数值模型能够准确捕捉低温系统中的传热和相变基本机制。由于在当前模型中，振动源作为附加的体力项引入到了动量方程中，因此经过验证的基础模型也适用于振动引起的场景。因此，与基准研究的一致性证实了数值框架用于研究振动强迫对对流和蒸发行为影响的可靠性。

4. 结果与讨论
本节介绍了通过一系列数值模拟获得的低温储存罐内自然对流的数值结果。如前一节所述，工作流体表现出低温液化特性，普朗特数（Prandtl number）固定在Pr = 2 [27]、[29]、[30]。另一方面，所有模拟的浮力瑞利数（buoyancy Rayleigh number）都设置为Ra = 10^5。由于本研究关注机械振动脉动对储存行为的影响，因此研究了振动瑞利数在10^3 ≤ Raω ≤ 10^5范围内的效应。此外，无量纲角频率根据本研究采用的假设，在10^1 ≤ Ω ≤ 10^3 [35]、[37]的范围内进行了变化。

如第2节（建模方法）所述，只有在达到稳态浮力驱动状态后，才会开始振动效应，如图9所示。可以观察到，忽略马兰戈尼表面效应（Marangoni surface effects）时得到的等温线和流线与Rachedi [30]以及Kozhevnikov和Sheremet [29]报告的结果非常吻合。在这种状态下，如Rachedi [30]所述，流动模式形成了一个环状涡旋，最大速度出现在腔体中心轴、靠近壁面的地方以及自由表面，而最小速度出现在涡旋核心（见流线和等速度线）。这种热流体动力学状态作为整个计算域的初始条件，用于求解非稳态条件下的控制方程。下载：下载高分辨率图像（394KB）下载：下载全尺寸图像图9. 在Ra = 10^5且完全处于稳态（初始时刻Fo = 0）情况下的等温线、流线和等速度线。

根据本研究采用的模拟条件，并确定控制方程的依赖变量后，表2展示了一些低温储存罐内自然对流流动的全局特征。这些特征包括体积温度（Θb）、侧壁（Nusw）和自由表面（Nufs）的平均努塞尔特数、最大速度（Umax）和流函数（ψmax）以及平均蒸发热通量（Qev, ave）。表2. 根据稳态流动的一些流动全局特征。Θb Nufs Nusw Umax ψmax Qev, ave 0.5 456 15.354 15.353 164.3 7.176 3 ?1.000 2

为了确保对所研究效应进行简洁且一致的非稳态分析，每个结果都是在计算启动后系统有足够的时间稳定下来的时间间隔内获得的。因此，振动周期的数量被限制并保持所有控制参数相同。根据方程（8）中给出的振动加速周期的表达式，最大无量纲模拟时间被设置为τ/τp = 10倍振动周期，即τmax = 10τp。

4.1. 波幅的影响
在低温储存罐的背景下，振动效应指的是外部施加的振荡加速度对所含流体的热和流体动力学行为的影响。这些振动通常以其振幅为特征，振幅决定了在流体域内产生的惯性力的大小（方程（9）。

改变振动振幅对于评估其对热流体动力学行为的影响至关重要，因为更高的振幅会加剧流动不稳定性，从而影响对流传热，并可能影响蒸发速率。根据无量纲标准，振动振幅A的变化直接反映在振动瑞利数（Raω）的变化上，该范围在10^3 ≤ Raω ≤ 10^5内，如方程（26）所定义，因为角频率ω本身是一个独立的无量纲控制参数Ω。值得注意的是，在这部分研究中，振动的无量纲角频率被设置为Ω = 10^2。

图10和图11分别展示了Raω = 5 × 10^4和10^5的振动瑞利数下的无量纲温度分布（等温线）、流函数（其轮廓代表流线）和速度等值线，对应于不同的傅里叶数（无量纲时间τ）。选定的时间点对应于储存罐内自然对流的最大无量纲速度幅值Umax = (Ur^2 + Uz^2)^1/2的周期性演变，如每个图（图10、图11）中的热和流体动力学图所示。对于这两个图，第一个傅里叶数被选为代表最大流速的中间过渡阶段，而第二个和第三个傅里叶数分别对应于第四个振荡周期内该最大速度的正负峰值。这种选择旨在捕捉与每个振动加速度周期的最大值和最小值相关的热和流体动力学结构变化。

从Raω = 5 × 10^4的振动瑞利数情况开始（图10），可以观察到，尽管振幅相对较小，但随着时间的推移，热和流体动力学结构都发生了一些变化，尤其是在速度等值线方面。无论如何，等温结构几乎与初始状态相同，见图9。换句话说，对于该图中考虑的振动瑞利数，热量变化实际上可以忽略不计或非常微弱。然而，在流线和速度等值线中观察到了明显的修改。

具体来说，当从Fo = 0.1924的傅里叶数过渡到Fo = 0.2001时，对应于最大速度的正峰值，流速趋于增加，导致自然对流涡旋核心的循环和质量流率增强。这反过来在罐轴附近以及自由表面附近瞬时且脉动地增强了自然对流。相反，在Fo = 0.2423的傅里叶数时，对应于最大速度的负峰值，腔体内的惯性减小，从而削弱了整个罐内的对流。

关于低温储存罐内的热和流体动力学分布，在Raω = 10^5的振动瑞利数情况下（相当于本研究中考虑的浮力），采用与前一个图中相同的傅里叶数，可以观察到热演变变得更加明显且强烈依赖于时间。具体来说，对流过程随时间显著变化：最初减弱，然后在Fo = 0.2001的傅里叶数时增强，而在Fo = 0.2423的傅里叶数时再次减弱。这种行为在等温线图中得到了清晰体现，其中在第二个傅里叶数（Fo = 0.2001）时对流最为强烈。这一点进一步通过流体动力学剖面得到证实：当对流增强时，流函数达到更高的值；而在第三个傅里叶数（Fo = 0.2423）时，流函数趋于消失，流动变得更弱且结构更不规则。从物理学上讲，这是由于在振动条件下浮力具有时间依赖性。由于振动瑞利数由正弦函数sin(Ωτ)调制，因此浮力会周期性增强或抵消。在速度的正峰值处（当sin sin(Ωτ) ≈ 1时），浮力达到最大值，从而强烈增强了自然对流，并使重力翻倍。相反，在速度的负峰值处（当sin(Ωτ) ≈ ?1时），浮力趋于抵消，从而抑制了对流并减少了低温罐内的流体流动。

当流速在振动脉动周期内达到最大值时，液体变得相对较冷，表明有更多的液体体积被加热到了饱和温度以上，从而促进了自由表面的蒸发，特别是对于靠近热侧壁的流体颗粒。在这个过程中，蒸发所需的潜热由下方的液体层提供。相反，当流速在脉动周期内达到最小值时，液体温度变得相对较高，有效地产生了隔热效应，减少了蒸发速率。这种增强和抑制蒸发的交替过程以由施加振动的角频率决定的频率迅速重复。

正如Rachedi [30]和Khelifi Touhami [27]所报告的，以及蒸发热通量方程（方程（30）所指出的，浮力瑞利数的增加会导致蒸发速率的增加，伴随着浮力的增强，从而导致流体流速的增加。这一机制与我们研究中的现象类似，其中的关键因素是速度的增强；然而，在我们的案例中，这种效应是以纯粹的脉动方式引起的。在我们的研究中，振动瑞利数的增加并不直接意味着推动低温储存罐内流体循环的体力简单增加。相反，它反映了之前解释的交替的正负转换。这些转换周期性地增强或减弱了有效重力，导致蒸发速率的振荡变化。因此，该过程应被解释为瞬时蒸发率，而不是稳定蒸发率。为了更好地理解振动幅度（振动瑞利数）对圆柱形储罐内对流和蒸发的影响，监控几个关键的总体特性是有用的。这些特性包括最大速度、整体温度、平均蒸发率以及自由表面和侧壁的努塞尔特数，作为时间函数，在归一化周期（τ/τp）内变化，针对不同的振动瑞利数。图12展示了对应于不同振动瑞利数值的最大流函数的相图。该图提供了关于由脉动自然对流引起的流动周期性的洞察，其中sin(Ωτ)沿横坐标绘制。从图中可以看出，增加振动瑞利数会导致准周期性稳定性，在第一个周期之后，自然对流流动表现出重复性。特别是当Raω = 105时，由于sin(Ωτ)的负值导致了一个额外的周期，流动分裂成两个子周期。还值得注意的是，尽管最大流函数与较低的振动瑞利数相比有所增加，但它会随时间逐渐减小，这表明脉动力和浮力之间存在负相互作用，两者趋于相互抵消。相反，对于较低的振动瑞利数，最大流函数的两个峰值之间的差异可以忽略不计，因为浮力占主导地位，从而在储罐内保持单一的流动周期。

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图12. 不同振动瑞利数下的最大流函数相图，其中Ra = 105且Ω = 102。

在同一流体动力学背景下，图13展示了不同振动瑞利数下低温储罐内自然对流最大速度的周期性分布。正如从速度等值线分析中已经观察到的，这个最大速度随着时间出现在储罐轴线的紧邻区域。它在连续脉动周期内的演变表明，增加振动瑞利数，以及因此增加的正弦扰动幅度，会产生与振动加速度同步的响应，无论瑞利数值如何。

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图13. 在Ra = 105且Ω = 1 × 102的情况下，不同振动瑞利数的最大速度幅度。

这种同步响应在较低的振动瑞利数（Raω）下完全稳定，但随着Raω接近静态浮力瑞利数（Ra），变得越来越不稳定。不稳定性的表现是最大速度的正负峰值与振动加速度的正负峰值之间出现相位偏移。这种行为可以进一步解释为由于总体力的非单调性，这是由于其依赖于温度以及在较高振动瑞利数下浮力与振动力的交替增强和抵消所致。

图14显示了储罐的整体温度随时间的变化以及不同振动瑞利数的平均蒸发热通量。观察到随着振动瑞利数的增加，整体温度也增加。对于Raω值在10^3–10^4范围内的情况，整体温度以完全同步且稳定的周期性方式演变。然而，对于更高的值（5×10^4和10^5），温度在达到准稳定状态之前表现出周期性且同步的增加，但并不稳定。尽管如此，蒸发热通量显示出准稳定的周期性同步，表明蒸发过程是重复的伪稳定过程。这个过程在每个周期内交替出现最大和最小的通量，最高和最低的值出现在最大的振动瑞利数下。

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图14. 在Ra = 105且Ω = 1 × 102的情况下，不同振动瑞利数的平均蒸发热通量和整体温度。

比较蒸发通量和最大速度的趋势（图13）时，可以注意到最大速度的正峰值在一个周期内与平均蒸发通量的负峰值以及整体温度的负峰值重合（反之亦然）。这些负峰值在物理上对应于液体质量的增加以及其几乎40%的蒸发转变成蒸汽，与非振动或初始稳态情况相比（对于Raω = 105），这种情况发生在流体动力学活动更加剧烈时，并伴有整体温度的瞬时下降。特别地，对于Raω = 105，蒸发率接近于零，表明由于浮力的有效缺失，蒸发几乎不存在，因此对流也被抑制。这一行为进一步通过图15中显示的自由蒸发表面平均努塞尔特数的演变得到证实，其正负峰值显示出一致的结果。最高的平均努塞尔特数对应于正速度峰值和负蒸发峰值。相反，蒸发的消失直接与努塞尔特数的减少相关，表明一方面是导热传热占主导，另一方面是自由表面的热绝缘。

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图15. 在Ra = 105且Ω = 1 × 102的情况下，不同振动瑞利数下自由表面和侧壁的瞬时努塞尔特数。

对不同振动瑞利数的平均努塞尔特数和蒸发热通量演变的全球评估表明，尽管在正弦扰动下蒸发率可能瞬间达到相对较高的值，但它也可能瞬间降至非常低的值。这种时间平衡使得时间平均蒸发通量趋于相对较小的值，这也解释了为什么随着振动瑞利数的增加整体温度会增加，即使它随着更高的浮力瑞利数而减少[27]，[30]。这突出了一个重要点：储罐的整体温度并不总是可以被视为蒸发率的可靠指标，因为它没有考虑到自由表面的局部热状态。相比之下，平均努塞尔特数提供了关于自由表面热传递交换的更相关和更有信息量的特征，因此与蒸发率有更直接的联系。

更仔细地关注储罐内的自然振动对流（见图15），比较在自由表面和侧壁计算的平均努塞尔特数被认为是有用的。在初始时刻（Fo = 0），正如Khelifi-Touhami等人[27]之前报告的，对于相同的纵横比（在我们的案例中，Al = 1/2），两个努塞尔特数几乎是相同的，如表2所示。这种相似性本质上是一个数学特性，而不是物理现象。实际上，自由表面的平均努塞尔特数（Nufs）的计算本质上取决于侧壁的努塞尔特数（Nusw）乘以平均蒸发通量率，如方程（39）中所表达的。由于用于计算平均蒸发通量的积分收敛到单位值，这就导致了观察到的相似性。

随着时间的推移，在振动扰动下，两个平均努塞尔特数之间的差异变得更加明显。具体来说，在正峰值期间，自由表面的努塞尔特数（Nufs）高于侧壁的努塞尔特数（Nusw）。相反，在负峰值期间，Nusw变得大于Nufs。这种效应在Raω = 105时尤为明显，此时Nufs的负峰值几乎为零，而Nusw的负峰值接近12。这突出了蒸发过程中自由表面附近切向对流流动的重要性，以及在热绝缘阶段其完全减弱的现象。此外，这也反映了自由表面的平均热通量（Qev,ave）与侧壁热通量（Qsw）的绝对值更大，后者是作为诺伊曼边界条件强加的（见方程（39）。

4.2. 波动角频率的影响

在评估振动效应对流体流动的影响时，扰动的振动角频率或脉动频率至关重要，因为它本质上扮演了振动速度的角色。在本小节中，我们专注于分析其对低温储罐内自然对流和蒸发的影响。基于以前的研究[35]，[37]，并考虑到所采用模型的局限性（假设了层流状态），无量纲角频率Ω在10^1到10^3的范围内变化，其中振动雷诺数固定在Raω = 105，相当于浮力瑞利数。

图16、图17分别展示了角频率为101和103时的温度、流函数和速度等值线（图中指出了傅里叶数以及相应的最大速度）。可以观察到，只有在最低值101时，角频率才有显著影响。在这个频率下，振荡强迫与自然对流流动强烈相互作用，导致热结构和流动结构的明显变化。相反，对于更高的频率，等温线基本保持不变，流动速度减小。这种行为归因于在大角频率下，流体没有足够的时间来响应快速振荡，导致振动效应随时间平均化，从而减少了它们对对流和蒸发动力学的影响。

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图16. 在Ra = Raω = 105且Ω = 1 × 101的情况下，等温线、流线和等速度线。

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图17. 在Ra = Raω = 105且Ω = 1 × 103的情况下，等温线、流线和等速度线。

尽管在这个振动瑞利数相当于浮力瑞利数的情况下，如图19所示，流体速度并没有达到会抵消重力效应的取消值，如之前对非常高角频率所观察到的那样。相反，在足够高的频率下，速度逐渐稳定，并且只显示出围绕初始静止状态速度的弱周期性。此外，在我们分析中采用的角频率范围内，我们观察到随着频率从101增加到102，最大速度增加，同时保持与振动加速度的同步行为。然而，这种同步是以稳定性为代价的，因为单调性丧失，流动振荡在102时变得更加明显。超过这个阈值后，频率的影响发生了逆转：最大速度开始减小，同时系统恢复了与施加振动的同步性，并逐渐恢复其稳定性。这种行为可以通过惯性力和浮力之间的竞争来解释，这种竞争受到振动的影响。在中等频率下，振动强迫通过增强浮力驱动的循环来增强对流运动，从而导致速度增加。然而，随着频率的继续增加，流体不再有足够的时间来完全适应每个振荡周期。然后流动的响应随时间平均化，减少了向流体的有效能量传递，从而降低了最大速度，同时恢复了稳定性。

如图18所示基于最大流函数的相图所示，流函数随着角频率的增加而增加，直到102。然而，超过这个值后，它减小，表明在非常高频率下质量流量减少。这种行为也反映在图20所示的蒸发热通量中，随着时间的推移，表明在振动瑞利数为102时蒸发更加明显。在这种情况下，随着振动瑞利数的增加，整体温度逐渐降低，直到最终收敛到其初始值。这种趋势归因于中等振动频率引起的增强混合和热传递，促进了更强的蒸发。然而，在更高的频率下，快速振荡限制了流体维持有效对流传输的能力，从而降低了净蒸发率，并导致整体温度在其初始状态附近稳定。

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图18. 在Ra = Raω = 105的情况下，不同角频率的最大流动循环。

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图19.不同角频率下的最大速度幅值，其中Ra = Raω = 105。
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图20. 不同角频率下的平均蒸发热通量，其中Ra = Raω = 105。
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图21. 不同角频率下自由表面和侧壁的瞬时努塞尔数，其中Ra = Raω = 105。
如图21所示，自由表面的平均努塞尔数显示出比侧壁更明显的峰值。然而，在与浮力相当的振动瑞利数时，侧壁的时均努塞尔数仍然较高，因为它没有达到抵消的值。在更高频率下，出现了一个准稳态，其中振动的影响在传热和储液蒸发方面几乎与自然对流相同。

在分析随时间变化的蒸发现象时，确定一个最大速率可以直接衡量其强度，无论是通过蒸发热通量的时间演变还是自由表面的努塞尔数。这表明，尽管过程中存在脉动，蒸发速率在不同的振幅和角频率下仍然显著。与振荡流结构不同，蒸发本质上是不可逆的：一旦液体转化为蒸汽，储存液体的净损失就不可避免。

从这个角度来看，振幅的影响（由振动瑞利数表示）和角频率的影响（代表扰动速度）都起着关键作用。振幅的增加系统性地增强了蒸发，而频率与振幅相互作用产生特定的行为。在本研究中，分析限制在与浮力瑞利数相当的振动瑞利数范围内。观察到，频率的增加显著影响蒸发，直到大约10^2的值，之后会出现饱和效应。在非常高的频率下，蒸发热通量趋于趋于相似的值，表明频率的影响减弱，蒸发速率几乎不再随频率的增加而变化。这种收敛表明系统达到了一个准稳态振动状态，其中自然对流和振动诱导的对流的蒸发影响变得无法区分。

5. 结论
本研究关注了垂直诱导振动对含有液化气体（Pr = 2）的圆柱形低温储罐内自然对流和蒸发的影响。通过分析施加振动的振幅和频率，该研究提供了关于振动驱动力和浮力驱动流动之间复杂相互作用的见解。基于此分析，主要结论可以概括为以下关键点：
• 振动调节的全局浮力在流动和蒸发速率中引起周期性振荡，交替增强和抑制对流和蒸发速率。
• 在低温储罐中储存液化气体时引入振动力会导致与振动体力加速度的振荡同步的周期性响应。然而，蒸发速率和对流热传递的最小和最大效应可以相对于加速度的峰值而变化。
• 增加振动振幅会交替增强储罐内的循环和最大速度，在周期性时刻导致对流和蒸发通量出现高达40%的显著脉动变化（在Raω = 105和Ω = 101的情况下）。
• 对于低振幅，温度效应保持最小，而速度轮廓显示局部循环增强；对于高振幅，热效应变得明显且强烈依赖于时间。
• 振动角频率影响动态。实际上，根据所研究的条件，在低频率下，对流和蒸发受到强烈影响；而在适中频率下，它们达到最大值；然而在高频下，振动效应减弱，系统趋近于准稳态。
• 流量的脉动交替在蒸发通量和平均努塞尔数中产生峰值和低谷，自由表面是蒸发速率最可靠的指标。
• 振动振幅和频率控制着对流和蒸发的脉动行为。实际上，振幅的增加一致地增强了两者，而频率决定了现象的稳定性和强度。

理解和控制振动活动（无论是来自地震事件的垂直振动、超声设备、附近机械或其他垂直激励源）的影响，对于了解振幅和频率的强大影响至关重要。这种知识对于防止不良影响和指导低温储罐的最佳设计非常重要。振动诱导的对流和蒸发从而减少了蒸发损失并提高了操作安全性。

本研究的发现为受到低振幅振动影响的圆柱形低温储罐的操作提供了实际指导。这些结果可以帮助工程师实施策略来最小化蒸发损失，并更好地理解在动态条件下的流体行为，例如由操作干扰、地震事件或其他瞬态现象引起的机械振动波。此外，这些见解有助于开发更准确的CFD模型，以预测振动环境中的非稳态自然对流，支持未来在低温储罐性能和安全方面的研究和优化工作。

5.1. 限制和展望
本研究的局限性涉及几个方面。首先，只有层流条件被考虑在内，而在实际应用中，低温储罐内的自然对流可能完全变为湍流，瑞利数可达到10^17。尽管如此，当前的工作仍可以作为一个领域的基准，正如之前的研究中所强调的。为了捕捉振动的全部效应，未来的研究应包括考虑所有空间方向振动的三维分析，而不仅仅是垂直激励。此外，为了更好地理解对自由表面扰动和由此产生的蒸发速率的影响，未来的工作应结合多相流模拟，准确捕捉表面变形并提供对蒸发过程的更全面理解。最后，当前模型的另一个局限性是在底壁应用的绝热热边界条件。虽然敏感性分析表明这种假设对于低底面-侧面热通量比的影响可以忽略不计，但在底面热传递更显著的情况下，其准确性可能会降低。

**术语表**
符号 | 备注 |
Vibration acceleration (m·s^-2) | 振动加速度（m·s^-2）
AVibration amplitude (m) | 振动振幅（m）
Brinkmann number | 布林克曼数
c | 经验常数
cp | 热容（J·kg^-1·K^-1）
DTank diameter (m) | 储罐直径（m）
F | 体积力（N·m^-3）
g | 重力加速度（m·s^-2）
h | 对流系数（W·m^-2·K^-1）
H | 自由表面高度（m）
H0 | 储罐高度（m）
k | 热导率（W·m^-1·K^-1）
LLatent heat (J·kg^-1) | 潜热（J·kg^-1）
m | 流量速率（m^3·s^-1）
Nu | 努塞尔数
p | 压力（Pa）
P | 无量纲压力
Pr | 普朗特数
q | 热通量（W·m^-2）
r | 径向坐标（m）
R | 无量纲径向坐标（m）
Ra | 瑞利数
Raω | 振动瑞利数
t | 时间（s）
TT | 温度（K）
u | 速度（m·s^-1）
UD | 无量纲速度
z | 轴向坐标（m）
Z | 无量纲轴向坐标
γ | 振动角度（rad）
Δ | 差分运算符
ε | 相对误差
Θ | 无量纲温度
μ | 粘度（Pa·s）
ν | 运动粘度（m^2·s^-1）
ρ | 密度（kg·m^-3）
τ | 无量纲时间
τp | 无量纲周期
? | 粘性耗散（W·m^-3）
Φ | 无量纲?
χ | 平稳性测试函数
ψ | 流函数（m^2·s^-1）
Ψ | 无量纲ψ
ω | 振动频率（rad）
Ω | 无量纲ω
Ω' | 无量纲涡度
下标 | 表示特定含义的符号