基于Four-Flat方法的光学平面原位绝对表面测量技术

《Optics & Laser Technology》：In-situ absolute surface metrology of optical flats based on the Four-Flat method

　　

李文瀚|张罗家|刘斌|蔡梦雪|刘忠凯|薛东霖|王晓坤|张学军

中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，中国吉林省长春市130033

摘要

传统的四平方法在分离辅助传输平面的重力诱导变形和夹紧诱导变形时经常遇到限制，这限制了其最终的测量精度。为了解决这个问题，我们提出了一种基于多表面干涉测量的新型现场绝对计量方法。通过利用摩尔-彭若斯伪逆算法，我们推导出一组稳健的重建方程，以将绝对表面地形与系统误差成分分离。这种方法有效地分离了辅助光学的重力诱导变形和安装畸变，同时避免了繁琐的机械重新组装需求。值得注意的是，它克服了传统位移-旋转测试中固有的旋转对称性简并问题，能够高保真地获取包括像差在内的绝对表面特征。理论分析和数值模拟表明，重建的极限精度为0.0068纳米。实验结果显示，绝对测量精度为0.9纳米（RMS），重复性为0.5纳米（RMS）。这项技术为未来大规模水平平面光学器件的高精度现场绝对测试提供了一个有前景的范例。

引言

随着现代光学系统的不断进步，对光学表面高精度计量的需求变得越来越严格。目前，干涉测量是高精度表面测试的主要技术[1]、[2]、[3]、[4]。然而，传统的干涉测量方法受到干涉仪参考平面精度的内在限制，无法直接确定被测光学的绝对表面轮廓。商用高精度参考平面的精度通常优于λ/20（约32纳米（PV））。然而，这往往不足以满足亚纳米计量要求。因此，能够将参考表面误差与测量结果分离的绝对测量方法对于表征亚纳米精度的光学表面至关重要。

为了解决这个问题，研究人员提出了各种绝对测量方法。经典的三平测试及其扩展版本通常需要在旋转之外进行平面的横向平移。虽然可以进行绝对校准，但机械移动可能会引入额外的误差，而且对准精度和夹具稳定性的严格要求限制了它们的实际应用[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]。N位置旋转平均方法可以分离旋转对称和非对称成分。然而，由于角采样的周期性，它对频率为kNθ的角模式不敏感[14]、[15]、[16]。此外，这种方法依赖于镜面的表面轮廓在旋转过程中保持不变的刚体假设。尽管位移-旋转方法通过结合旋转和平移实现了亚纳米精度，但它仍然不适合现场测量[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]。此外，在没有精确参考平面的情况下，它无法准确获取像差项，这是光学平面镜加工中最常见的像差。传统的四平方法结合了N位置旋转和奇偶函数分解来获取绝对表面信息，但排除了奇奇分量[23]。该方法设置简单，无需移动测试镜，能够达到纳米级精度，使其成为光学车间现场测量的最合适方法之一。

然而，尽管传统的四平方法简化了操作流程，但它本质上简化了潜在的物理模型。如图1（顶部面板）所示，在水平测试配置下，辅助传输平面（TF）不能被视为理想的刚体；实际上，其复合表面误差是多种物理机制交织的结果。如图1所示，传统方法经常忽略关键的系统误差成分，特别是折射率不均匀性（δ，蓝色部分）、重力引起的变形（G，红色部分）以及来自安装结构的夹紧引起的应力畸变（J，青色部分）。尽管初步研究试图通过有限元分析（FEM）进行补偿，但这些静态模型难以捕捉动态现场环境中的复杂实时机械响应[24]、[25]、[26]。这种“误差耦合”现象导致了理论重建与实际物理状态之间的根本差异，成为限制四平方法达到其最终精度极限的主要瓶颈。

为了解决这些挑战，本研究引入了一种基于摩尔-彭若斯伪逆的现场绝对计量框架（图1，底部面板），该框架系统地分离了复杂的误差成分。通过有效隔离辅助传输平面（TF）的机械和非理想光学特性，我们的方法能够高保真地获取内在的表面特征，特别是解决了长期以来难以恢复的二阶像差（例如像差）的问题。这为大口径平面计量提供了一种稳健的亚纳米级解决方案。首先通过分析去相关的残差通过数值模拟确定了理论精度极限。随后，该方法使用高精度标准平面（PV ≈ 1/50 λ，RMS ≈ 0.33纳米）进行了基准测试，并通过严格的自洽性测试进行了验证。数值和实验结果均表明，经过优化的旋转和翻转序列集成的改进算法成功从复杂的机械变形中提取了绝对地形。这项技术为超精密光学系统的现场表征提供了重要的通用性和工程价值。

节片段

绝对测量原理

菲佐干涉仪是获取高精度光学平面轮廓的最成熟架构之一。得益于共路配置，它有效地减轻了非共路像差的影响。然而，作为一种相对干涉测量技术，其精度本质上受到参考平面质量的限制（测量原理见方程（1），如图2所示）。这产生了一个矛盾的要求，即

理论算法误差

为了验证所提出的算法，使用Fringe Zernike多项式的前625项构建了A、D和B的表面误差，以及J的表面误差。同时，使用前36项模拟G的表面误差，以反映其主要为低频的特点。在所有模拟情况下，活塞和倾斜（Z1 ≈ Z3）的系数被设置为零。对于更高阶项（A、B和C为Z625项，G为Z36项），系数是随机生成的

实验设置和环境测试

进行实验以验证所提方法的可行性，即获取光学平面的绝对表面地形（不包括活塞和倾斜项）。实验配置如图10所示。由于实验室的限制，概念验证实验使用了4英寸的光学平面。然而，为了严格评估算法在分离重要重力诱导和夹紧诱导变形方面的能力——这些在

讨论

在这项研究中，开发了一种基于改进的四平方法的现场绝对计量技术，以解决大口径光学测试中系统误差分离的长期挑战。与传统的N位置方法或三平测试不同，所提出的方法可以在不重新定位光学器件的情况下进行高精度绝对测量。通过利用摩尔-彭若斯伪逆算法，我们成功分离了重力诱导的

结论

总之，本研究开发并验证了一种基于摩尔-彭若斯伪逆算法的高精度水平四平绝对计量框架。这项工作的主要贡献在于制定了一个系统分离算子，能够在现场条件下有效分离辅助传输平面（TF₂）的整体折射率不均匀性以及重力诱导和夹紧诱导的变形。

CRediT作者贡献声明

李文瀚：撰写——初稿、可视化、验证、软件、方法论、研究、正式分析、数据管理、概念化。张罗家：撰写——审阅与编辑。刘斌：撰写——审阅与编辑。蔡梦雪：项目管理。刘忠凯：撰写——审阅与编辑。薛东霖：监督。王晓坤：撰写——审阅与编辑、资源获取。张学军：资源获取、资金争取。

利益冲突声明

作者声明以下可能被视为潜在利益冲突的财务利益/个人关系：李文瀚的报告得到了中国国家自然科学基金的资助。王晓坤与中国国家自然科学基金有合作关系，包括资金资助。王晓坤拥有发给中国科学院长春光学精密机械与物理研究所的专利。如果有其他作者，他们也声明了

致谢

这项工作得到了中国国家自然科学基金（项目编号62127901）的支持。