在磁流体动力学（MHD）和辐射效应下，对具有润滑层作用的非牛顿四混合纳米流体进行热分析，并采用人工智能和响应面方法对其进行优化研究

《Results in Engineering》：Thermal Analysis of Non-Newtonian Tetra-Hybrid Nanofluid with Lubrication Layer Effects under MHD and Radiation Using Artificial-Intelligence and Response Surface Methodology

　　卡迪贾·拉菲克 | 扎法尔·马哈茂德 | 伊万-卢西亚诺·波帕 | 阿布杜瓦利·索塔罗夫 | 博布拉·米尔扎耶夫 | 吉约斯别克·库济耶夫 | 阿比纳夫·库马尔
巴基斯坦拉瓦拉克奥特普恩奇大学数学系

**摘要**
在微观和宏观工程应用中使用的复杂润滑系统中，有效的热量调节和减少摩擦损失至关重要。本研究探讨了由Al?O?、Cu、TiO?和SiO?纳米颗粒悬浮在海藻酸钠中的非牛顿Jeffrey四混合纳米流体的停滞点流动，重点是在磁流体动力学、焦耳加热、热辐射和滑移现象的框架下改善传热并最小化壁面剪应力。为了数值求解控制偏微分方程（PDEs），使用MATLAB的bvp4c将其转换为适当的相似变量下的常微分方程组。为了提高预测能力和优化性能，进一步采用了基于缩放共轭梯度的人造神经网络（ANN）和响应面方法（RSM）。研究结果表明，增加滑移参数和纳米颗粒体积百分比会降低速度分布，而较大的Deborah数和磁参数则会增强这种效果。随着辐射参数和Eckert数的增加，温度场也会升高。ANN模型具有很强的预测能力，相关系数超过0.99，并且均方误差最小。RSM研究表明，Deborah数和辐射参数对表面摩擦和热传递的影响最大。理想条件下的最小表面摩擦系数为0.0919（在?4=0.02, β=1.5, α=2.0时），最大努塞尔数为15.6426（在?4=0.02, Rd=0.6, Ec=0.1时）。通过降低剪切阻力和增加散热，我们的结果表明四混合海藻酸钠纳米润滑剂可以改善润滑性能。

**引言**
润滑、磨损和摩擦的研究被称为摩擦学。润滑是指在界面涂抹润滑剂以减少磨损和摩擦。润滑可以防止生锈、水分和灰尘的侵入，并降低摩擦。在某些系统中（如变压器），它甚至可以起到绝缘作用[1]。过度的磨损和摩擦会导致发动机、轴、轴承和齿轮损坏，从而浪费大量能源。因此，保持足够的润滑对于确保平稳运行和防止机械损坏至关重要。Holmberg等人[2]指出，由于摩擦，发动机和其他运动部件可能会损失超过三分之一的能量。他们的分析预测，减摩技术可能在5-10年内将汽车使用量减少18%，在15-25年内减少61%。为了减少摩擦，可以选择涂层、纹理处理、复杂的化学物质和轮胎尺寸。提高导热性和离心流控制对于在旋转拉伸片上传热和去除热量至关重要。这些特性使得流动模型在旋转机械系统、太阳能热收集器、电子冷却、飞机热防护罩和核反应堆冷却中非常有用[3]。
由于非牛顿四混合纳米流体出色的流变和热物理性质，它们在摩擦学性能方面引起了兴趣。基础流体中的多组分纳米颗粒可以增加承载能力、减少摩擦并最小化接触面磨损，特别是在高应力润滑条件下。四混合纳米流体润滑层具有剪切变稀特性，由于其非牛顿性质，可以增加薄膜稳定性和流动均匀性。四混合纳米颗粒的协同作用改善了热管理，减轻了局部温度升高，并延长了润滑组件的寿命。因此，四混合纳米流体作为改进的润滑剂在摩擦学系统中显示出巨大潜力，因为它们提高了能源效率，延长了组件寿命，并且在恶劣条件下仍能保持良好的工作状态。Esfe等人[4]使用RSM统计方法研究了MWCNT-Al?O?（10%–90%）/ SAE40油混合纳米流体（HNF）的流变性质。Aoudia等人[5]采用摩擦学热-溶质分析方法研究了Marangoni对流和焦耳加热对无限盘上MHD三元混合纳米流体轴对称Darcy-Forchheimer流动的影响。Choudhary等人[6]研究了在多孔介质中穿过拉伸表面的辐射磁流体动力四混合纳米流体的流动特性。
非牛顿流体在许多工业、研究和工程领域得到了广泛应用[7]。化学物质、基于等离子体的热塑性材料和淀粉悬浮液只是许多不符合牛顿粘性定律的物质的例子。Aparna等人[8]研究了不可压缩Jeffery流体中球体的轴对称旋转振荡。Ahmed等人[9]通过将滑移作为界面条件进行建模，展示了幂律 lubrication如何影响磁Jeffrey流体的停滞点流动。Sharma等人[10]指出，Jeffrey流体描述了直径很小的动脉中的血液动力学，因为它表现出非牛顿行为。研究人员研究了霍尔效应、焦耳加热、辐射和粘性耗散如何影响动脉中的血流，特别是当分支中存在重叠狭窄和主干动脉中存在钟形狭窄时。Akolade等人[11]在之前的研究基础上，进一步研究了在辐射热、对流边界条件、焦耳加热和Darcy耗散存在的情况下Jeffery流体中霍尔电流的动力学。Agrawal和Saini[12]的研究基于早期研究，探讨了非均匀热源和汇以及混合对流如何影响在多孔介质中拉伸或收缩表面上Jeffery流体的流动。

**非牛顿流体动力学（MHD）在非牛顿四混合纳米流体流动中的研究**为电磁场与复杂流体动力学之间的相互作用提供了重要理解。磁场的诱导在导电纳米流体中产生洛伦兹力，影响流动结构、动量传递和热传输特性。Singh和Nandkeolyar[13]研究了非达西多孔拉伸圆柱体中磁流体动力学（MHD）对不稳定Casson四混合纳米流体流动的影响。Sravanthi[14]研究了在拉伸或收缩圆柱表面上受滑移影响的辐射Maxwell磁流体动力学（MHD）流动中，含有0.1 wt%聚氧化乙烯（PEO）的聚合物增强水基中的四混合纳米流体。Adnan[15]使用垂直定向圆柱体创建了四混合纳米流体模型。添加磁场、非线性热辐射、圆柱体吸收表面和四混合纳米流体的有效热物理性质改变了基本模型。Shakir[16]在一个新颖的计算研究中，模拟了在可伸缩和可收缩Riga楔形表面上磁流体动力四混合纳米流体的生物对流停滞点流动。
热辐射显著影响高温和光学密集环境中纳米流体流动的热传递特性[17]。具有不同辐射特性的多种纳米颗粒通过辐射和传导模式提高能量传递。辐射增强了边界层中的热能传输，提高了表面温度并改变了热梯度[18]。Mir[19]研究了三纳米颗粒对磁化对流应力流体的热增强，以提高效率应用的传热性能。通过模拟太阳能利用并考虑热辐射和外部热源的影响。Ali[20]研究了在受对流加热的拉伸表面上Carreau三混合纳米液体的运动。这项研究还探讨了Carreau流体动力学中的熵产生。Haq[21]探讨了三元混合纳米流体如何提高技术效率，强调了它们的热性质和实际应用。Sharma和Badak[22]研究了在受对流拉伸表面上三元混合纳米流体的流动，包括诱导磁场、热源/汇、热辐射和滑移边界条件的综合影响。
人工神经网络（ANN）有助于建模和预测纳米流体流动的行为。在具有非线性相互作用和众多参数的复杂传输系统中，标准数值方法通常存在收敛问题和较高的处理成本[23]。基于ANN的方法通过使用数值模拟或实验数据集创建输入因素和输出响应之间的数据驱动相关性来应对这些挑战[24]。Yaseen[25]研究了在轴向磁场中由两个同轴圆柱体形成的旋转水平环形间隙中的三元混合纳米流体的流动和热导率，同时考虑了辐射和粘性耗散。Kumar[26]研究了热泳粒子运动和辐射热传递对三元混合纳米流体在收敛或发散通道内的热和质量传递的影响。在类似的工作中，Levenberg–Marquardt方法训练了一个ANN模型，以捕捉模拟数据集中的内在相关性。Sharma[27]研究了围绕拉伸圆柱体的纳米流体的二维流动，包括磁场的影响和Cattaneo–Christov热通量公式。他们的主要目标是通过回归分析和基于Levenberg–Marquardt的人造神经网络预测来优化传热，使用合适的训练、测试和验证数据。Kumar和Sharma[28]研究了在弹性圆盘上的B?dewadt流体三维不可压缩流动，考虑了Arrhenius激活能和吸热/放热反应的影响。Taguchi设计技术有助于发现重要因素并评估热传递，而基于Levenberg–Marquardt的人造神经网络提高了预测准确性。

由于需要更好的润滑系统来减少摩擦和热量，四混合纳米流体在摩擦学和热管理方面具有巨大潜力。通过将金属（Cu）、金属氧化物（Al?O?、TiO?）和陶瓷（SiO?）纳米颗粒结合在海藻酸钠（SA）等生物聚合物载体中，这些流体提高了导热性和流变性能，使其成为高性能润滑的理想选择。尽管对混合纳米流体进行了大量研究，但关于在非牛顿Jeffrey流体背景下使用四混合纳米流体的润滑层停滞点流动的研究仍不足，特别是考虑到磁场、焦耳加热、辐射和滑移条件的同时影响。现代数据驱动的优化和建模通过结合人工神经网络（ANN）学习和响应面方法（RSM）实现了这类复杂热流系统的研究。本研究旨在通过数值、统计和计算方法分析四混合纳米流体在润滑层内的流动和热传递特性，以通过最小化阻力并提高热性能来改善摩擦学效率。

**研究目标**
- 制定并检验非牛顿Jeffrey四混合纳米流体在海藻酸钠润滑层上的停滞点流动的数学模型，包括磁流体动力学、辐射和焦耳加热的影响。
- 研究关键参数（如：纳米颗粒体积分数（）、Deborah数（）、滑移参数（）、磁参数（）、辐射参数（）和Eckert数（）对速度和温度分布的影响。
- 验证数值结果，并部署经过缩放共轭梯度（SCG）训练的人工神经网络（ANN）进行预测建模。
- 使用响应面方法（RSM）进行统计评估和多目标优化，以优化表面摩擦系数和努塞尔数，从而最小化阻力并提高传热性能。
- 确定改变润滑层热和摩擦学行为的主要物理过程和参数之间的相互作用。
- 目标是为高性能纳米润滑剂提供理想的设计参数，以改善热系统 and 摩擦学应用中的热耗散、摩擦损失和能源效率。

**实际应用**
图1(a-d)展示了在光谱引导的智能润滑剂、MEMS/NEMS微摩擦学系统、光谱仪器的磁辐射热管理和生物医学润滑中，经过ANN优化的Jeffery四混合纳米流体润滑的应用。AI辅助的化学计量方法可以研究和改进由海藻酸钠链和混合纳米颗粒之间的分子尺度相互作用引起的介电响应、辐射热传输和粘弹性流动特性。纳米工程机械、光谱和医疗系统受益于这些关联的热-磁-光谱过程的减少摩擦、热耗散和自适应控制。

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图1. (a-d)：当前问题的应用。(e)：当前问题的物理坐标和几何形状。

**问题描述**
本研究探讨了一种特定类型的粘弹性非牛顿流体——Jeffrey模型的特性。描述Jeffrey流体行为的方程如下（见[29]）：
(1)
(2)
变量、、、和分别代表Cauchy应力张量、额外应力张量、动态粘度和与Jeffrey流体相关的材料常数。方程(1)定义了Rivlin-Ericksen张量：
(3)
研究包含氧化铝（Al?O?）、铜（Cu）、二氧化钛（TiO?）和二氧化硅（SiO?）纳米颗粒的非牛顿（Jeffrey）四混合纳米流体在海藻酸钠基础流体中的稳态层流磁流体动力学（MHD）停滞点流动。图1(e)展示了流动垂直作用于浸没在x, y平面中的润滑表面的示意图。自由流速度定义为v∞，其中α是一个正常数，L代表薄片的特征长度。一个强度为B的均匀磁场垂直于表面施加，由于磁雷诺数较低，因此忽略了感应磁场。在表面和体相纳米流体之间形成的薄润滑层的厚度为h(x)，其流量Q根据该区域内 conserved的质量变化而变化，表达式见[9,30]。由于边界层近似，以下方程用于调节连续性、动量和能量（见[9]）：

(4)
(5)
(6)

使用Rosseland辐射近似来确定辐射热流（见[9]）：采用传统的线性化方法，得到...。参数χ和σ分别代表平均吸收系数和斯特凡-玻尔兹曼常数。润滑剂与表面接触产生的无滑移条件表达式为...

在润滑过程中，我们有（见[9]）：

(9)

表面温度由边界条件中的方程表示。T∞表示环境四混合纳米流体的一致温度。

在流体-润滑剂接触处，速度和剪切应力的连续性得到满足（见[9,31]）：

(10)

假设...，则建立表观粘度与剪切率之间的关系，其中η是通过一致性指数η和流动行为指数表征的非牛顿润滑剂的表观粘度。

根据[9,30]，通常假设从表面到界面的方向上润滑组分浓度线性变化。这意味着...

方程（11）描述了润滑层内的一个一级线性速度分布。这种假设在薄膜润滑理论中很常见，因为层的厚度远小于流向尺度，主要阻力来自垂直于壁面的剪切。在这些情况下，可以使用Couette类型的线性剖面来近似界面润滑剂运动。更高阶的调整，如抛物线或非相似剖面，可以改善对较厚薄膜或较大流向变化的描述，但为了保持相似性公式的可行性，这里没有进行这些调整。

利用线性速度分布（来自方程（11））和质量守恒原理（来自方程（4）），我们可以表述润滑层的局部厚度h(x)...。此外，由于两种流体中的水平速度连续性，假设h(x)是常数。同样，垂直速度也是常数，从而建立了流体-润滑剂接触条件（12）。

假设有一层幂律分布的润滑剂（见[9]），前述的要求（...）在表面也适用。使用方程（9）到（12），我们可以得到...

自由流的条件为（14）。

当前模型基于经典的层流边界层近似，用于外部停滞点流动，其特征是局部雷诺数Rex=u∞x/νf=ax2/Lνf。该公式适用于Rex足够大以至于边界层缩放有效的情况，但流动仍然保持层流状态。在润滑亚层中，薄膜近似需要最小几何纵横比ε=h/L?1，以确保垂直于壁面的梯度超过流向梯度。在这种情况下，润滑理论提供了控制方程的一级简化。

使用以下相似性变换有助于简化控制系统（见[9]）：

(15)
u=axf′(η),
v=?aνff(η),
θ(η)=T?T∞Tw?T∞,
η=aυfy.

将这些变换纳入控制方程中，得到一组相互关联的非线性常微分方程：

(16)
μtethnf/μfρtethnf/ρf(f″′+β(f″2?ffiv)+(1+λ1)(1+ff″?f′2))?σtethnf/σfρtethnf/ρfM(1+λ1)(f′?1)=0,
(17)
1Pr1(ρCp)tethnf/(ρCp)f(ktethnfkf+43Rd)θ″+σtethnf/σf(ρCp)tethnf/(ρCp)fMEc(f′?1)2=0.

边界条件为：
f(0)=0,
f″(0)?β[f(0)f″′(0)?f′(0)f″(0)]=α(1+λ1)(f″(0))2n,
θ(0)=1,
f′(∞)→1,θ(∞)→0.

在上述方程中，普朗特数Pr=(Cpμ)fkf，Deborah数为β=aλ2，磁参数为M=B02ρf，热辐射为Rd=4σ*T∞34k*kf，Eckert数为Ec=u∞2(Tw?T∞)=a2x2L2(T∞+T0(x/L)2?T∞)=a2T0。定义滑移参数为（见[9]）：

(19)
α=x2n?1a2n?32K0νf(2Q)nμf,

对于n=0.5，方程（19）表现出局部相似解；相反，对于n≠0.5，得到的解将是不相似的。应注意，当n≥1时，润滑剂表现出剪切增稠特性。将n=0.5代入方程（19）得到：

(29)
α=lvisllub=νf/a(μf/K0)2Q,

在这种情况下，当n=1/2时，llub表示非牛顿润滑剂的方程。此外，h(x)必须足够小，以使得α显著增加。当α→∞时，分别满足无滑移和完全滑移条件，即f?′(0)=0和f?″(0)=0。

我们评估两个关键的工程参数——努塞尔特数（Nusselt number）和局部摩擦系数，以衡量四混合纳米流体流动的表面阻力和传热性能。摩擦系数Cfx和努塞尔特数Nux的表达式为：

(20)
Cfx=τwρfu∞2,
Nux=xqwkf(Tw?T∞).

其中：
(21)
τw=(μtethnfρtethnf(1+λ1)(?u?y+λ2(?3u?x?y2+?u?x?2u?y2+?u?y?2u?x?y)))
y=0,
qw=?ktethnf[(?T?y)y=0+(qr)y=0].

利用相似性方程，我们得到：

(22)
Rex1/2Cfx=μtethnf(1+λ1)(f″(0)+β(f′(0)f″(0)?f(0)f″′(0)),
Rex?1/2Nux=?(Ktethnfkf+43Rd)θ′(0).

四混合纳米流体的热物理性质
四混合纳米流体的温度表示为T，其热物理性质定义如下：
(μtethnf)表示动态粘度，
(ρtethnf)表示密度，
(ktethnf)表示热导率，
(σtethnf)表示电导率，
((ρCp)tethnf)表示有效热容量。表1列出了悬浮在藻酸钠（SA）基液中的氧化铝（Al2O3）、铜（Cu）、二氧化钛（TiO2）和二氧化硅（SiO2）纳米粒子的物理和热性质。这些纳米粒子提高了四混合纳米流体的热导率、稳定性和电性能。Al2O3和TiO2有助于保持基液的化学稳定性和抗氧化性，而Cu增强了电导率和热导率。SiO2防止粒子聚集，使悬浮液更加稳定。当与粘稠且可生物降解的生物聚合物藻酸钠混合时，这些纳米粒子生成了一种稳定性高、生态友好的流体，具有出色的润滑和导热性能。

表1. 藻酸钠和四混合纳米粒子的热物理特性（见[13,33]）。

为了评估四混合纳米流体的性能，我们使用了表2中总结的相关方程。这项工作扩展了Devi和Devi [32]建立的混合纳米流体模型，包括了四种不同的纳米粒子及其相互作用。四混合纳米流体的总体纳米粒子体积分数为（?1+?2+?3+?4）。当（?4=0）时，形成三混合纳米流体；当（?4+?3=0）时，形成混合纳米流体；当（?4+?2+?3=0）时，形成单纳米流体；当所有体积分数都为零时，即（?1+?2+?3+?4=0）时，形成纯基液。下标(s1, s2, s3, s4)分别代表Al2O3、Cu、TiO2和SiO2纳米粒子。

表2. 四混合纳米流体和基液的相关物理性质（见[13,32,33]）。

为了计算四混合纳米流体的热物理性质，我们使用了表1和表2中列出的纳米粒子和基液的物理参数。

限制
该模型忽略了粒子-粒子相互作用、沉积和布朗运动，这些因素可能会影响实际流动行为，并假设纳米粒子均匀分散。此外，模型将纳米流体视为单相连续介质，因此没有考虑滑移效应或依赖于温度的粒子浓度变化。实验验证受到与四粒子纳米流体相关的复杂制造和稳定性挑战的限制。尽管有这些限制，该模型仍是一个有价值的理论框架，用于研究四混合纳米流体的综合热、电和流变性能，以改善传热和摩擦学应用。

表1使用已发布的热物理数据集列出了基液和纳米粒子的特性，而表2使用基于混合纳米流体相关性的顺序混合规则列出了四混合纳米流体的有效性质关系。这些关系为分散良好且热平衡的悬浮液提供了实用的宏观闭合；然而，它们并不直接解决聚集、粒子形状各向异性或温度依赖的界面现象。因此，它们在当前工作中的功能是提供一个相对有效的性质模型，用于比较热流体分析，而不是直接适应特定的实验四混合系统。

**数值求解和代码验证程序**
本研究使用MATLAB中的bvp4c方案数值求解了Al2O3?Cu?TiO2?SiO2/SA四混合纳米流体的Jeffery流体流动的控制非线性常微分方程。这个边界值问题求解器基于有限差分方法，并使用三阶段Lobatto IIIa方案，收敛容忍度为10?3（见[34,35】。我们数值求解控制方程（16）和边界条件（18）。

这种数值方法对于与边界层相关的改性纳米流体问题有几个优点。bvp4c的配置结构提供了C1连续的解，非常稳定，其自适应网格细化能够快速处理四混合纳米流体流动中典型的陡峭速度和热梯度。与射击法不同，该解决方案对初始估计不敏感，并且在由Jeffery流体流变性和多组分纳米粒子相互作用引起的刚性、高度耦合系统中保持鲁棒性。这些特性使bvp4c非常适合精确描述复杂非线性模型中的摩擦系数和传热机制。

表3显示了比较分析，证实了当前数值方法的精确性和可靠性。该表显示了在不同α值下计算得到的f″(0)数值，其中M=Ec=?1=?2=?3=?4=0，λ1=β=0.5。选择这些特定参数配置是为了复制Ahmed等人[9]之前分析的基准场景。计算方法的韧性和准确性的证据是当前数值结果与引用文献中呈现的结果非常吻合。

**实验结果**
参考文献[9]中的数据表明，对于不同的α值，f″(0)的计算结果与文献中的结果非常接近。

**人工神经网络程序**
本研究使用MATLAB中的bvp4c求解器创建的数据集来训练人工神经网络。为了控制四混合纳米流体的流动，该求解器找到了非线性边界值问题的正确解。它为磁参数（M）、纳米粒子体积百分比（?4）和辐射（Rd）等物理参数提供了准确的速度f′(η)和温度θ(η)剖面。计算出的数据集作为网络训练过程的输入输出对。因此，我们采用了缩放共轭梯度（SCG）方法来训练ANN。SCG通过结合共轭梯度方向和二阶曲率的缩放近似来加速收敛，从而加快收敛速度。这种技术确保训练有素的ANN能够正确表示控制参数与流动或温度响应之间的非线性关系，同时计算快速可靠。

图2展示了神经网络架构。

**结果与讨论**
本节全面分析了研究得出的定量和计算结果。为了清晰起见，结果分为三个部分。第一小节分析了四混合纳米流体的速度f′(η)和温度θ(η)分布的数值解，强调了包括速度滑移参数（α）、Deborah数（β）、磁场强度（M）、纳米粒子体积分数（?4）、Eckert数（Ec）和辐射参数（Rd）等关键参数的影响。第二段讨论了ANN分析，测试了基于缩放共轭梯度的ANN模型的准确性和泛化能力。第三部分讨论了响应面方法（RSM）分析，重点研究了摩擦系数Rex1/2Cfx和努塞尔特数Rex?1/2Nux的统计特性，包括它们如何相互作用以及如何确定不同物理因素的最佳值。控制参数的默认值为：?1=?2=?3=0.01，?4=0.04，Ec=0.2，M=0.3，Rd=0.2，α=λ1=0.5，β=0.5，Pr=130。

**速度和温度的数值结果**
图3(a-d)展示了速度滑移（α）、Deborah数（β）、磁场参数（M）和松弛时间与延迟时间之比（λ1）对Al2O3?Cu?TiO2?SiO2/SA四混合Jeffery纳米流体的速度剖面（f′(η)）的影响。如图3(a)所示，随着滑移参数（α）的增加，四混合Jeffery纳米流体的速度剖面（f′(η)）减小。滑移参数定量表示流体-表面接触的程度；α值越高，表示边界处的流体滑移越大，意味着流体与表面的粘附越小。这种壁面粘附的减少使得动量从边界传递到相邻流体层变得更加困难，从而减慢了墙面附近的整体流动速度。结果是，边界层的厚度增加，而表面的速度梯度减小，导致壁面剪切应力下降。大量纳米粒子的存在进一步增加了粘度和粒子间的阻力，加剧了这种减速效应。由于这个原因，在四混杂Jeffery纳米流体的边界层区域，较大的滑移值会有效降低速度幅度。
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图3：(a) α=0.1、0.2、0.3、0.4对f′(η)的影响；(b) β=0.1、0.3、0.5、0.7对f′(η)的影响；(c) λ1=0.2、0.4、0.6、0.8对f′(η)的影响；(d) M=0.2、0.4、0.6、0.8对f′(η)的影响。
图3(b)表明Deborah数（β）影响Al2O3?Cu?TiO2?SiO2/SA四混杂Jeffery纳米流体的速度剖面（f′(η)）。Deborah数量化了流体松弛时间与变形特征时间的比例，揭示了Jeffery流体的粘弹性特性。因此，β→0表示记忆效应较小，而较大的β表示更明显的粘弹性响应。随着β的增加，流体的弹性特性变得更加明显，使其能够在变形过程中积累和释放能量。为了促进流体前进，这种弹性反应降低了内部阻力，并增加了流动方向上的前进速度。结果，流体粒子远离壁面的速度加快，靠近壁面的速度减慢，从而使整个边界层的速度上升。
图3(c)显示，当松弛时间与延迟时间之比参数（λ1）增加时，Al2O3?Cu?TiO2?SiO2/SA四混杂Jeffery纳米流体的速度剖面f′(η)表现出分叉行为。当λ1较低时，流体具有强的延迟效应，这会减慢流动并降低表面附近的速度。但当λ1增大时，松弛效应增强，有助于流体元素在变形后更快恢复。这种弹性恢复促进了边界层中的动量传递，从而改善了流体运动并提高了速度。
在图3(d)中，随着磁参数（M）的增加，Al2O3?Cu?TiO2?SiO2/SA四混杂Jeffery纳米流体的速度剖面f′(η)上升。横向磁场提供了洛伦兹力，可以在Al2O3?Cu?TiO2?SiO2/SA纳米流体中传导电流。在这种排列下，洛伦兹力沿着流动方向作用，提供了额外的驱动力，增强了流体速度。Cu和Al2O3纳米粒子都能有效传导电流，增加了磁流体动力学耦合，使能量从磁场传递到流体运动变得更加简单。这导致边界层动量增加，进而使流体力学边界层厚度减小，速度值上升。
观察图4(a–b)，了解四混杂纳米粒子体积分数（?4）对Jeffery纳米流体温度θ(η)和速度f′(η)剖面的影响。在图4(a)中，随着?4的增加，f′(η)剖面减小。更多的固体纳米粒子使纳米流体变得更粘稠和更厚，流速因内部阻力增加而减小，这扩大了速度边界层并抑制了流体动量。另一方面，图4(b)显示，随着纳米粒子体积百分比的增加，温度剖面θ(η)上升。添加像Al2O3、Cu、TiO2和SiO2这样的导热纳米粒子可以提高纳米流体的热导率，从而更好地吸收热量和传递能量。随着边界层温度的升高，Al2O3?Cu?TiO2?SiO2/SA四混杂纳米流体的热扩散能力得到改善。
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图4：(a-b) ?4=0.01、0.02、0.03、0.04对f′(η)和θ(η)的影响；(c-d) Ec=Rd=0.2、0.4、0.6、0.8对θ(η)的影响。
Eckert数（Ec）和辐射参数（Rd）影响Al2O3?Cu?TiO2?SiO2/SA四混杂Jeffery纳米流体的温度分布，如图4(c–d)所示。随着(Ec)和(Rd)值的增加，温度剖面升高。Eckert数表示通过焦耳加热将电能转化为内能的过程。Ec的增加导致磁场诱导的电流在导电纳米流体中增大，从而导致流体温度上升和热边界层变厚。由于没有考虑粘性耗散，温度升高仅由焦耳加热效应引起。同样，较大的辐射参数(Rd)增加了辐射热流，使更多热能通过边界层传递。电（焦耳）加热和辐射加热的协同效应显著增强了热能分布，导致Al2O3?Cu?TiO2/SA四混杂纳米流体的温度θ(η)剖面均匀上升。
基于尺度共轭梯度（SCG）的人工神经网络（ANN）的结果和讨论
表4和表5展示了SCG训练的人工神经网络（ANN）在预测四混杂纳米流体速度和温度剖面方面的性能。将MATLAB的bvp4c求解器数据集分为70%的训练集、15%的验证集和15%的测试集，确保了有效的学习和正确的泛化。表4表明，基于SCG的ANN模型在每种情况和条件下都能有效工作，显示出较低的平均平方误差（MSE）和持续下降的梯度，表明网络能够快速收敛且不会过拟合。后期的低梯度值表明网络能够在不改变学习步骤的情况下快速调整权重。训练、验证和测试结果一致，表明模型能够很好地预测不同纳米粒子和磁参数下的速度响应。
表4：SCG-ANN程序涵盖了多种场景和设置。
表5同样展示了SCG-ANN在温度剖面方面的结果，具有类似的收敛特性。最小MSE和一致的验证趋势表明ANN准确反映了温度、辐射参数和纳米粒子体积百分比之间的非线性关系。短时间内的高收敛速率表明SCG方法学习能力强。此外，验证和测试误差之间的小差异表明网络泛化性能良好，没有过拟合。
图5(a)和5(b)中的误差直方图显示，对于不同纳米粒子值，大部分误差值接近零。这表明ANN预测与实际值之间存在很强的相关性。训练、验证和测试数据集中的误差分布均匀且对称，表明网络成功掌握了基本的物理关系，没有过度拟合。如此小的误差范围表明SCG训练能够提供非常准确的速度和温度预测。
图5(c)显示了根据磁参数（M）预测速度的ANN误差分布。训练有素的ANN能够可靠地捕捉磁场对流体速度的影响，因为数据集之间的方差很小。图5(d)显示了随热辐射参数(Rd)变化的温度预测不准确性。缺乏大的异常值和误差值紧密聚集在零附近，表明ANN忠实再现了数值模型对辐射热传递特性的预测。
图6(a)和6(b)表明，ANN预测与数值计算数据之间的函数拟合几乎完美。数据点紧密遵循回归线，表明ANN有效地表示了纳米粒子浓度对流动和温度场的非线性影响。高拟合度表明SCG训练的网络理解了输入和输出变量之间的关系，因此对所有数据集（训练、验证和测试）都能做出准确预测。
图7(a)和7(b)提供了四混杂纳米粒子体积分数（?4=0.01、0.02、0.03、0.04）对速度f′(η)和温度θ(η)的性能图表。定量研究表明，平均平方误差（MSE）在早期训练阶段迅速降低，随后稳定在一个较低水平，表明快速收敛和高效学习。随着?4的增加，加入高导热纳米粒子（如Al2O3、Cu、TiO2和SiO2）后，流体在热和粘度上变得更加稳定。SCG方法精确地描绘了纳米粒子载荷与流动/热动力学之间的相关性，因为ANN捕捉到了这些非线性振荡。
图8(a)和8(b)提供了回归图，比较了不同纳米粒子体积分数（?4=0.01、0.02、0.03、0.04）对目标速度f′(η)和温度θ(η)的回归情况。回归线很好地拟合了数据点，相关系数（R）接近1（通常>0.999），表明预测值与实际值相似。SCG训练的人工神经网络整合了纳米粒子浓度与流动和温度响应之间的非线性联系。
图9(a)和7(b)提供了四混杂纳米粒子体积分数（?4=0.01、0.02、0.03、0.04）对速度f′(η)和温度θ(η)的性能图表。定量研究显示，平均平方误差（MSE）在早期训练阶段迅速降低，随后稳定在一个较低水平，表明快速收敛和高效学习。随着?4的增加，流体的热稳定性和粘度稳定性提高。随着温度梯度的上升（?4的增加），f′(η)曲线逐渐减小，这表明由于纳米粒子浓度的提高，粘度和热导率都得到了增强。下载：下载高分辨率图片（704KB）下载：下载全尺寸图片

图9. (a-b)：对于?4=0.01、0.02、0.03、0.04时，f′(η)和θ(η)的训练状态图。(c)：对于M=0.2、0.4、0.6、0.8时，f′(η)的训练状态图。(d)：对于Rd=0.2、0.4、0.6、0.8时，θ(η)的训练状态图。

如图9(c)所示，在一系列磁场参数（M=0.2-0.8）下，人工神经网络（ANN）成功模拟了洛伦兹力对速度f′(η)曲线的影响，这与数值趋势一致。图9(d)展示了当辐射参数（Rd=0.2–0.8）变化时，温度的变化情况。结果表明，随着热辐射的增强，温度也随之升高。SCG训练曲线显示出收敛性良好，训练误差、验证误差和测试误差在多个周期内持续下降并稳定，表明学习稳定性强，过度拟合现象较少。误差曲线如此接近表明ANN正确再现了控制参数与流动变量之间的非线性物理关系。这证明了基于SCG的神经网络模型具有较强的可靠性和有效性。

响应面方法学（RSM）分析
人工神经网络（ANN）和RSM被互补使用，而不是作为多余的工具。ANN模型用于准确地表示控制参数与输出响应之间的高度非线性关系。RSM用于创建易于理解的回归方程，进行方差分析（ANOVA）以确定主效应和交互效应，并找到减少摩擦力和提高热传递的最佳参数。因此，ANN-RSM架构共同作用，提供了物理上可解释的优化结果和可靠的预测。本节使用Minitab 22软件对数值结果进行了响应面分析，以研究主要控制因素如何影响Al2O3?Cu?TiO2?SiO2/SA四混合纳米流体的努塞尔数Rex?1/2Nux和摩擦系数Rex1/2Cfx。分析考察了德博拉数（β）、滑移参数（α）和纳米粒子体积分数（?4）对摩擦力的影响，以及埃克特数（Ec）、热辐射参数（Rd）和纳米粒子体积分数（?4）对热传递特性的影响。我们采用成熟的实验设计（DOE）方法RSM来全面探讨这些影响。这种方法定量评估了参数之间的单独效应和交互效应，有助于识别影响流体流动和热传递的最重要因素。为了构建实验矩阵，响应面方法学（RSM）使用了中心复合设计（CCD）[37]。表6和表7展示了Rex1/2Cfx和Rex?1/2Nux的数据。CCD模拟了20次运行，其中三个自变量分别标记为低（-1）、中（0）和高（+1）。Rex1/2Cfx分析选定的变量是纳米粒子体积分数（A）、德博拉数（B）和滑移参数（C）。Rex?1/2Nux研究将关注三个变量：纳米粒子体积分数（A）、热辐射（B）和埃克特数（C）。这种结构有效地且科学地探索了参数空间，包括非线性和线性现象。以下是广义响应面模型的形式：
(26)y=r0+rAA+rBB+rCC+rABAB+rACAC+rBCBC+rA2A2+rB2B2+rC2C2+ε，
其中（ε）表示残差误差项，（rAB, rAC, rBC）为交互系数，（r0）为截距，（rA, rB, rC）为线性效应，（rA2, rB2, rC2）为二次效应。该统计模型分析了四混合纳米流体中流体弹性、滑移动态和热效应的复杂相互作用，揭示了改善边界层流动阻力和热传递的方法。通过对回归方程（27）和（28）进行偏微分，我们可以构建敏感性分析。
(27) y_skinfriction=0.8814+0.0395A?0.1389B+0.0931C?0.0610A2?0.0196B2?0.0008C2?0.0757A*B+0.0577A*C?0.1649B*C,
(28) y_heattransfer=13.777?0.0898A+0.9856B?0.0698C?0.0068A2?0.0227B2?0.0064C2?0.0131A*B?0.0025A*C?0.0037B*C,
表6. Rex1/2Cfx的实验设计。
S. 编号编码值 实际值
摩擦系数 空单元
ABC ?4 β α 空单元
100 -1 0.04 1.0 0.6 276
322 -1 -1 -1 0.02 0.5 1.0 0.709
323 -1 0 0.02 1.0 1.5 0.463
631 400 0 0.04 1.0 1.5 0.882
1725 000 0.04 1.0 1.5 0.882
1726 000 0.04 1.0 1.5 0.882
1727 001 0.04 1.02 0.103
7018 0 -1 0.04 0.5 1.5 0.995
453 911 0.06 1.5 2.0 0.543
747 101 -1 -1 0.06 0.51 0.782
1781 100 0.04 1.0 1.5 0.882
1721 121 0 0.06 1.01 1.5 0.927
295 131 1 -1 0.06 1.5 2.00.543
747 140 0 0.04 1.0 1.5 0.882
1721 15 -1 1 -1 0.02 1.5 0.967
315 16 -1 10.02 1.5 2.00.542
985 171 -1 10.06 0.52.01.248
571 18 -1 -1 0.02 0.52.01.138
561 190 100 0.04 1.5 1.50.629
213 200 0 0.04 1.0 1.50.882
表7. Rex?1/2Nux的实验设计。
S. 编号编码值 实际值
空单元 空单元
努塞尔数 空单元
ABC ?4 Rd Ec 空单元
100 0 0.04 0.40.313.7765
2 -1 10.02 0.60.514.9498
3 100 0.06 0.40.313.6674
0 0 0.04 0.40.313.7765
5 00 0.04 0.40.313.7765
6 1 -10.06 0.60.114.883
370 10 0.04 0.40.513.692
4 80 10 0.04 0.60.314.915
19 -1 -1 0.02 0.20.512.56
181 1 -1 0.06 0.20.112.532
81 100 0.04 0.40.313.7765
12 -1 10.02 0.40.313.883
913 0 -1 0.02 0.20.312.545
914 -1 -1 0.02 0.20.112.717
415 0 -1 0.04 0.40.113.860
616 11 10.06 0.60.514.703
171 -1 10.06 0.20.512.367
718 000 0.04 0.40.313.7765
模型准确性
方差分析（ANOVA）评估了摩擦系数和努塞尔数响应面模型的适用性和预测准确性。表8和表9提供了摩擦系数和努塞尔数的统计结果。自由度（DF）、调整后平方和（Adj SS）、调整后均值（Adj MS）、F值（F-value）、p值（p-value）和残差误差（Residual errors）是示例。该研究使用了95%的置信水平和5%的显著性阈值（p<0.05）来验证回归模型并测试所选参数的统计显著性。摩擦系数模型中的关键因素，包括纳米粒子体积百分比（?4）、德博拉数（β）和滑移参数（α），其F值大于1，p值低于0.05。表10表明回归方程准确解释了摩擦系数响应中的大部分方差，决定系数（R2=83.77%）和调整后决定系数（R2=69.17%）。利用该模型，我们可以确定降低摩擦系数、提高流动效率的最佳条件。

表8. 摩擦系数的方差分析（ANOVA）。
来源 DF Adj SS Adj MS F-值 P-值
系数
A 10.0213 0.0213 0.70.0254 0.0395
B 10.2635 540.2635 54 18.14 0.002 -0.1389
C 10.1183 88 0.1183 88 8.15 0.0170.0931
A*A 10.0535 42 0.0535 42 3.68 0.084 -0.0610
B*B 10.0055 55 0.0055 55 0.38 0.0055
C*C 10.0000 09 0.0000 09 0.000.0098
1 -0.0008
A*B 10.0457 93 0.0457 93 3.15 0.0106 -0.0757
A*C 10.0266 68 0.0266 68 1.84 0.0205 0.0577
B*C 10.2176 52 0.2176 52 14.98 0.003 -0.1649
Error 100.1453 000.01453
缺乏拟合 50.1453 000.029060**
纯误差 50.0000 000.0000
总计 190.8955 0

表9. Rex?1/2Nux的方差分析（ANOVA）。
来源 DF Adj SS Adj MS F-值 P-值
系数
A 10.1102 0.1102 1.42 0.0261 -0.0898
B 113.2674 13.2674 170.76 0.0000.9856
C 10.0666 0.0666 0.86 0.0376 -0.0698
A*A 10.0007 0.0007 0.010.0092 8 -0.0068
B*B 10.0074 0.0074 0.100.0764 -0.0227
C*C 10.0006 0.0006 0.010.0093 2 -0.0064
A*B 10.0014 0.0014 0.020.0089 7 -0.0131
A*C 10.0000 0.0000 0.0000 0.0098
0 -0.0025
B*C 10.0001 0.0001 0.0001 0.0097 -0.0037
Error 100.7769 0.0777
缺乏拟合 50.7769 0.1554**
纯误差 50.0000 0.0000
总计 1914.2306

表10. Rex1/2Cfx的模型摘要。
SR-sq R-sq(adj) R-sq(pred)
0.1205 418 3.77% 69.17%
表11. Rex?1/2Nux的模型摘要。
SR-sq R-sq(adj) R-sq(pred)
0.2787 369 4.54% 89.63%
方差分析（R2=99.98%）和调整后（R2=99.77%）的结果表明，包括纳米粒子体积百分比（?4）、热辐射参数（Rd）和埃克特数（Ec）在内的努塞尔数模型的可靠性。这三个参数对四混合纳米流体的热传递能力有显著影响，这与高F值和极低的p值一致。这些参数最大化了Rex?1/2Nux，表明对流热传递得到了改善。

图10(a-b)中的帕累托图展示了设计参数对Rex1/2Cfx和Rex?1/2Nux的影响，置信度为95%。图表清楚地说明了参数在响应面模型内的相对重要性和层次结构，以及它们之间的相互作用。在图10(a)中，德博拉数（B）显著影响Rex1/2Cfx，进而影响流体行为和流动阻力。交互项BC（德博拉数乘以滑移参数）非常重要。研究表明，流体弹性和表面滑移显著影响壁面剪切应力。滑移参数（C）对摩擦系数的影响大于AA、AB、AC、A、BB和CC。

图10(b)显示，热辐射参数（B）是Rex?1/2Nux的主要决定因素。对于四混合纳米流体来说，它是提高辐射热传递的最关键组成部分。纳米粒子体积分数（A）是第二重要的因素。这表明固体颗粒的分布方式影响了热导率。此外，埃克特数（C）也有轻微的有利影响，它代表焦耳加热。次要因素包括AA、CC和BC。帕累托分析表明，在两个模型中B都是最重要的因素。德博拉数在摩擦系数模型中起作用，而辐射参数在热传递模型中起作用。这些结果确定了影响流动阻力和热传递的主要因素。它们展示了如何改进四混合纳米流体系统以降低Rex1/2Cfx并提高Rex?1/2Nux。

图11(a-b)显示了正态概率图，进一步证明了两个模型的正确性。残差直方图显示出随机分布，没有系统性趋势，而残差接近直线，表明分布是正态的且无偏差。这些发现表明所提出的RSM–CCD模型在统计上强大且在物理上实用。基于这些模型的优化设计旨在同时实现热传递优化和减少摩擦系数的双重目标。

图12和图13展示了等高线和表面图，显示了控制参数如何影响四混合纳米流体的摩擦系数Rex1/2Cfx和努塞尔数Rex?1/2Nux。这些图来自响应面方法学（RSM），生动地说明了成对变量对边界层内流动和热特性的同时影响。

图12(a-b)：摩擦系数与(B, A)、(c-d)：摩擦系数与(C, B)以及(e-f)：摩擦系数与(C,需要注意的是，最佳条件可能会根据各种调节因素或流动状态的不同而发生变化。这一实例展示了已建立模型的灵活性，使其可以应用于其他领域，包括四混合纳米流体系统。

结论

本研究调查了非牛顿杰弗里四混合纳米流体（Al2O3?Cu?TiO2?SiO2/海藻酸钠）在润滑层上的停滞点流动情况，该流动受到磁场（MHD）、焦耳加热、热辐射和速度滑移的共同影响。流动和热特性是通过MATLAB的bvp4c求解器进行数值计算的，同时应用了基于缩放共轭梯度（SCG）算法的人工神经网络（ANN）模型来预测和验证控制参数与流动响应之间的非线性关系。此外，还使用Minitab 22软件中的响应面方法（RSM）进行统计分析，以优化皮肤摩擦系数和努塞尔数，从而提高流体动力学和热性能。主要发现如下：

- 速度分布f′(η)随滑移参数（α）和纳米粒子体积分数（?4）的增加而减小，这是由于流体粘度增加和界面滑移造成的。
- 随着磁参数M和Deborah数β的增加，速度分布上升。
- 随着热辐射Rd和Eckert数Ec的增加，温度分布θ(η)上升。这表明焦耳加热和辐射过程显著增加了四混合纳米流体的热能。
- 四混合纳米粒子的浓度通过增加流体粘度和热导率来影响动量和能量的传递，从而减慢了流动速度。
- 在70%、15%的训练数据、15%的验证数据和15%的测试数据比例下，基于SCG的ANN模型能够准确再现速度和温度的数值数据，显示出优异的学习稳定性和预测可靠性。
- RSM-CCD框架确定Deborah数（β）和热辐射参数（Rd）是影响皮肤摩擦和努塞尔数的关键因素。
- 皮肤摩擦模型的方差分析（ANOVA）结果显示R2值为83.77%，调整后的R2值为69.17%；努塞尔数模型的R2值为99.98%，调整后的R2值为99.77%，这证实了RSM模型的统计有效性。
- 优化结果表明，在?4=0.02、β=1.5、α=2.0时，皮肤摩擦力最小（0.0919），达到100%的理想状态。
- 优化结果显示，在?4=0.02、Rd=0.6、Ec=0.1时，努塞尔数达到最大值15.6426，也达到100%的理想状态。

结论与展望

当前研究为润滑层中四混合纳米流体的行为提供了重要见解，但仍存在一些局限性：
- 该模型未考虑布朗运动或热泳扩散现象。
- 该研究仅考虑了稳定的、层流的二维流动情况，忽略了实际润滑过程中可能出现的非稳态或湍流效应。

未来的研究可以在此基础上进一步发展，例如：
- 加入时间依赖性和三维效应，使润滑动力学更加真实。
- 通过使用制造的四混合纳米流体进行实验验证，来确认数值和统计预测结果。

伦理批准：不适用。

数据可用性：本研究中使用和/或分析的数据集可应相应作者的要求提供。

作者贡献声明：
Khadija Rafique：撰写原始草稿，概念构思。
Zafar Mahmood：撰写原始草稿，监督，正式分析。
Ioan-Lucian Popa：撰写、审阅与编辑，资源准备。
Abduvali Sottarov：方法论研究。
Bobur Mirzayev：软件开发，正式分析。
Giyosbek Kuziev：撰写、审阅与编辑，数据整理。
Abhinav Kumar：数据可视化与验证。