ESIPO方法论：一种结合深度学习与元启发式策略的股票预测与投资组合优化方法 作者：Francisco Rivera Vargas, Juan Javier González Barbosa, Juan Frausto Solís, Mirna Ponce Flores, José Luis Purata Aldaz, Guadalupe Castilla-Valdez, Juan Paulo Sánchez Hernández

《Mathematical and Computational Applications》：ESIPO Methodology: An Ensemble Deep Learning and Metaheuristic Strategies for Stock Forecasting and Investment Portfolio Optimization Francisco Rivera Vargas, Juan Javier González Barbosa, Juan Frausto Solís, Mirna Ponce Flores, José Luis Purata Aldaz, Guadalupe Castilla-Valdez and Juan Paulo Sánchez Hernández

　　**摘要**
投资组合由一系列金融资产组成，如股票、固定收益证券、共同基金和房地产，持有这些资产是为了实现多元化并优化回报。准确的资产预测为投资者提供了宝贵的信息以支持决策制定。尽管已有研究提出了用于预测和投资组合优化的模型，但大多数模型主要依赖于传统技术和元启发式方法。本文介绍了ESIPO（投资组合优化的集成策略），该方法结合了深度学习和元启发式算法来执行资产预测和投资组合优化。数据集来自标准普尔500指数，这是主要的股票市场之一。为了提高预测准确性，ESIPO结合了国际M4竞赛中表现最佳的五种方法：(a) ARIMA（自回归积分移动平均）和ETS（指数平滑状态空间），这两种方法代表传统的统计方法；(b) FFORMA（基于特征的再预测模型平均）和JAGANATHAN，这两种方法基于集成；(c) CNN（卷积神经网络），这是最常见的深度学习模型之一。ESIPO通过应用TAIPO（阈值接受投资组合优化）元启发式算法来选择最佳资产并优化投资组合构成，从而提高了投资组合的预测性能。根据夏普比率指标，结果表明改进了45%。

**1. 引言**
投资组合理论领域得到了多位作者的丰富发展，他们提出了更有效的模型来解决这一问题，无论是从解决方案还是使用的方法方面[1]。投资组合是个体或实体在特定市场中获得的一系列资产或金融工具。在这个框架下，风险被定义为未来结果的不确定性，反映了回报可能不利的概率[2]。投资是指将资本分配给公司、资产或金融工具，期望随时间获得回报和利润。从单一工具中获得高股息是具有挑战性的，而最小化风险实际上是不可能的。因此，投资组合的概念应运而生，旨在提高多样化和风险管理。
从科学的角度来看，现代投资组合理论引入了有效前沿的概念，它划定了在给定风险水平下最大化预期回报的所有可能资产组合[1,2,3]。在这个框架中，资产配置起着基础性作用，因为它涉及确定分配给投资组合中每个候选资产的投资比例。为了应对这一挑战，采用了多种优化方法，包括元启发式技术，这些技术在处理大量信息以及识别符合投资者或分析师目标和约束的解决方案集方面具有特别的价值[4,5]。
预测是从历史数据中得出的预测性估计，是一种系统化的分析程序，用于预测未来事件或特定现象的预期行为。这一过程提供了关键信息，提升了决策质量，并加强了有效应对各种潜在情景的能力[6]。
整合多种预测方法是提高预测精度和稳健性的关键实践。鉴于没有任何一种预测技术是完美的，结合多种方法可以减轻它们各自的局限性。通过这种方法论的聚合，依赖于单一技术的偏见的影响大大降低，从而提高了整体预测的可靠性[7]。
本文提出了一种使用计算算法来解决两个基本任务的方法：预测和投资组合优化。分析的数据集对应于标准普尔500指数，该指数被广泛认为是美国股市最具代表性的基准。所提出的方法旨在利用启发式优化和深度学习的优势来提高预测准确性和投资组合构建。该方法分为三个主要阶段：
? 第一阶段（预处理）专注于构建初始投资组合，其中一个关键策略是使用GENPO（遗传投资组合优化）算法进行资产选择[8]。
? 第二阶段（资产预测）旨在通过基于模拟退火（SA）算法的集成预测策略来提高预测准确性[9]。SA结合了以下方法以产生更精确的预测：自回归积分移动平均（ARIMA）、指数平滑状态空间方法ETS（误差、趋势和季节性）[5]；基于特征的FORecast模型平均（FFORMA）[10]和JAGANATHAN[11]；以及卷积神经网络（CNN）[12]。在这组方法中，ARIMA和ETS是最常用的两种传统统计方法，并已在国际预测竞赛（如M4）中作为基准方法使用[13]；接下来是FFORMA[10]和JAGANATHAN[11]，这两种基于集成的方法在各种背景下都取得了出色的性能；最后，CNN是最常见的深度学习方法之一[12]。
? 第三阶段（资产选择和优化）使用TAIPO（阈值接受投资组合）算法[4]将预测资产整合到优化后的投资组合中，这是一种基于阈值接受算法的元启发式方法，用于资产选择和投资组合优化。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍背景；第3节介绍使用元启发式和深度学习对股票市场资产进行预测和优化的方法；第4节介绍实验过程的细节；第5节介绍实验期间的结果；最后，在第6节中得出结论。

**2. 背景**
投资组合理论领域得到了多位作者的丰富发展，他们提出了更有效的模型来解决这一问题，无论是从解决方案还是使用的方法方面[1]。投资组合是个体或实体在特定市场中获得的资产或金融工具的集合，例如标准普尔500指数。一个高效的投资组合的特点是为投资者提供在给定回报水平下的最低可能风险，或者在给定风险水平下最大化预期效用。在这个框架下，风险被定义为未来结果的不确定性，反映了回报可能不利的概率[1]。
目前广泛使用的投资组合构建方法是由Harry Markowitz在1952年提出的，称为均值-方差模型或Markowitz模型（MM）。该模型认为，理性投资者应寻求在特定风险水平下最大化预期回报，同时最小化与预期回报相关的风险。这两个假设导致了有效投资组合前沿的构建，在此前沿内，投资者可以根据他们的风险偏好进行选择。在这种情况下，方差被用作资产风险的指标，而均值（或期望值）用于估计预期回报[1]。
风险平价方法被广泛研究作为传统均值-方差优化模型的稳健替代方案，特别是在考虑一般风险度量时。在这种情况下，Cesarone等人（2020）[15,16]发展了理论结果，他们在风险平价原则下形式化了投资组合选择问题，并提出了一种高效且精确的多贪心启发式算法来解决该问题。基于使用纳斯达克100指数、富时100指数和标准普尔500指数资产进行的实证实验，Cesarone等人表明，多样化的最优投资组合在样本内的表现仅略逊一筹，但在样本外始终表现出优于纯粹的多元化或纯粹优化策略的性能。特别是，与标准普尔500指数相关的结果显示出有竞争力的夏普比率值，支持了多元化-优化组合方法的有效性[15,16]。
从数学建模的角度来看，Puerto等人（2023）[17]通过双标准均值-风险框架解决了投资组合优化问题，在该框架中，最大化平均投资组合回报的同时最小化明确的风险度量。Puerto等人提出了一个混合整数线性规划（MILP）公式，能够综合解决聚类和资产选择问题。特别是，使用条件风险价值（CVaR）作为主要目标函数提供了对风险的适当和一致的表示。通过对标准普尔500市场的应用，该公式的有效性得到了实证验证，在风险调整后的表现方面取得了有利的结果[17]。
最近，Purata等人（2025）[18]引入了MASIP（投资组合资产选择方法）框架，它提出了一种综合方法来选择和分配金融资产。MASIP包括三个基本组成部分：基于最低可接受回报的资产预选阶段、使用改进的阈值接受算法优化的资产预测过程，以及构建最终投资组合的再平衡阶段。该方法结合了基于中位数-方差标准和夏普比率的目标函数，以及明确的最低回报水平和最大允许风险的接受方案。对于标准普尔500市场获得的结果显示出了有利的夏普比率，表明先进的预测、多元化和优化启发式方法的结合构成了构建稳健投资组合的有效策略[18]。

**2.1. 标准普尔500股市**
标准普尔500指数是美国股市最具代表性的指数之一，包含了美国最大和资本最雄厚的500家公司。自成立以来，标准普尔500指数的年均回报率为10%，尽管它会受到经济和政治因素的显著影响。研究表明，从长期来看，复制标准普尔500的投资组合往往优于许多其他类型的投资[19]。标准普尔500指数分为以下几个主要行业：
- 信息技术行业，包括苹果和微软等公司；
- 医疗保健行业，包括强生和辉瑞等公司；
- 金融行业，包括摩根大通和高盛等银行和金融公司；
- 消费者奢侈品行业，包括亚马逊和星巴克等公司。

**2.2. Markowitz模型**
1952年，现代投资组合理论的先驱Harry Markowitz提出了一个投资组合最优整合模型，根据回报和风险评估其表现[1]。Markowitz认为，尽管投资组合可能提供高回报，但如果波动性（即风险）过高，其吸引力可能会大大降低。
Markowitz理论的一个显著特点是它能够为投资组合内的资产配置提供定量解决方案。这一理论解决了预期回报与所考虑资产的风险暴露之间的权衡。本质上，投资组合模型可以被构想为一个具有两个目标函数的优化问题，如方程（1）和（2）所示，其中Max E和Min V分别代表最大预期回报和最小总投资组合风险。整个模型包括下面所呈现的方程（1）至（4）：
(1) (2) (3) (4)
其中，表示资产i的预期回报，xi表示分配给资产i的总资本的比例（或权重），σij表示资产i和j之间的协方差，E定义了整个投资组合的预期回报。此外，资产i和j之间的相关系数为[20]。
需要注意的是，根据方程（3）中的约束，总投资资本被规范化为1，而方程（4）中规定的非负条件明确排除了卖空行为。优化问题以决策变量E和投资组合方差V的形式制定，其双重目标是最大化预期回报和最小化风险。
可以看出，构建投资组合可以被视为一个优化问题。这意味着以尽可能高效的方式解决投资组合的整合问题，理想情况下使用最少的资源。在这个背景下，处理了一组独立变量，表示为i。模型中的主要约束包括资产权重总和不得超过1，即100%的投资资本。根据采取的方法不同，目标函数可能是投资组合的方差或回报。
实施的Markowitz模型使用了相关资产的时间序列。然而，算法使用的参数不是时间序列本身，而是通过特定于每种方法的计算调整过程获得的。Markowitz的贡献在于识别了有效前沿，它代表了风险和回报之间的最佳权衡。
在现代优化术语中，有效前沿正是这个双目标问题的帕累托最优解集。此外，在这种优化框架内对投资组合选择的解释在文献中已经得到了很好的建立，包括将其表述为一个双目标优化问题，以便在真实金融市场实现风险和回报之间的良好平衡[21]。在这种方法中，已经应用进化算法来识别在多个财务标准下的帕累托最优投资组合[22]。另外，还有几项研究提出了双目标框架，以同时应对回报和风险[23]。

2.3. 夏普比率
威廉·F·夏普引入了夏普比率（本文中称为SR）；通过最大化这一比率，优化问题被表述为一个单目标优化问题[3]。该比率量化了风险调整后的回报，并清晰地评估了表现与波动性之间的关系。较高的夏普比率表明回报与风险之间的平衡更为有利[24]。SR允许比较具有不同风险水平的投资组合，并评估哪种表现更好，因为它将风险管理纳入了其计算中；它揭示了通过选择风险较高的金融资产所实现的额外回报，为风险与回报之间的权衡提供了清晰的视角[13]。SR在方程（5）中定义：
(5)
其中RP代表预期投资组合回报，Rfr代表无风险资产的回报，投资组合的波动性通过标准差σp来衡量。
负的SR表明投资回报低于无风险资产的回报；只有SR为正的投资组合才能被考虑，前提是它们的回报高于最低可接受率（MARR）；SR最高的投资组合具有最好的表现。

2.4. 最低可接受回报率（MARR）
最低可接受回报率（MARR）是投资者为证明将资本分配给一个投资项目而要求的最低盈利能力阈值。其计算允许考虑通货膨胀和风险溢价等因素，从而对未来投资的可行性进行严格评估。任何投资的基本目标都是随着时间的推移产生财务增长。因此，投资者必须清楚地了解预期的经济回报。MARR方法旨在帮助建立现实的回报预期，同时识别与投资相关的潜在风险。通过至少预测五年的表现，可以确定投资是否可能产生利润，或者可能导致资本减少和潜在损失。MARR使用以下公式计算：
(6)
其中Rf代表无风险利率，RP对应于与投资相关的风险溢价。无风险利率代表安全投资的收益率，通常与政府债券相关联，风险溢价是指投资者因承担投资风险而要求的额外补偿。这个指标对于财务决策至关重要，因为它允许比较不同投资选择，并选择那些与假设的风险水平相匹配的回报。

2.5. 元启发式算法
元启发式算法是一种近似搜索方法，用于识别复杂优化问题的可行和高质量解决方案，尽管不一定是精确解决方案。这些技术适用于包括金融、工程和工业在内的各种领域，以解决这些领域中出现的复杂挑战[25]。这些元启发式算法的一些例子包括GENPO模型和TAIPO算法。

2.5.1. TAIPO算法
TAIPO算法基于经典的阈值接受框架，旨在通过结构化的温度驱动搜索有效地探索解空间。如图1所示，该算法由嵌套的外部循环和内部循环组成，共同控制整个优化过程中的多样化和强度。图1. TAIPO算法。在初始化阶段（第1行），TAIPO由初始温度Ti、终止温度Tf、冷却因子α、内部循环的初始长度Lk、内部循环增长系数β和容忍度衰减参数δ参数化。后者控制接受阈值逐渐收紧的速率，使得算法在搜索的早期阶段能够接受次优解，从而避免过早收敛。
在第2行，算法生成一个初始候选解决方案Xc，表示为随机分配资产权重的投资组合。然后在第3行评估目标函数值，该值定义为负夏普比率。随后，当前温度Tk被初始化为Ti（第4行）。如果当前温度仍高于预定义的最终温度，则算法的外层循环从第5行开始迭代。在这个框架内，基于Metropolis的内部循环在第6行被激活，以根据不断变化的容忍度标准来接受邻近解。
在TAIPO算法中，对当前解决方案进行扰动以生成新的提议（第7行）。然而，如果新解决方案不如当前解决方案好，则只有在差异不超过容忍度阈值Tolk（第9行）的情况下才能替换当前解决方案。这个阈值在整个过程中逐渐减小，并通过第17行的乘法操作进行调整。最初，Tolk取Tk的值（第4行），从而在温度较高时更倾向于接受新解决方案。实际上，在冷却过程的90%时间内，Tolk保持Tk的值，此时δ等于1。在最后阶段，δ被设置为0.96[4]。TAIPO元启发式算法的超参数是通过应用调整方法进行优化的。
TAIPO算法在2022年发表的一篇论文中针对投资组合管理进行了测试[4]。在这篇论文中，TAIPO算法的表现优于Yu、Gilli和Masese的算法。
TAIPO算法的数学模型旨在最大化SR，同时满足投资组合的预期价值大于或等于MARR比率的条件。方程（7）至（9）代表了TAIPO的数学模型：
(7)
受……约束
(8)
(9)
其中E(R) = xi 是投资组合的预期回报。此外，表示资产i和j之间的协方差。因此，方程（7）的分母代表投资组合的标准差，用作衡量投资组合风险的指标。
目标函数通过将预期投资组合回报与最低可接受回报率（MARR）进行比较来最大化夏普比率，后者由参数γ表示。方程（8）中的约束确保只有预期回报大于或等于MARR的资产才有资格被纳入投资组合。最后，方程（9）中的非负性约束保证了不允许卖空。

2.5.2. GENPO模型
GENPO模型基于夏普比率和资产回报的相关性[4]。使用遗传算法（GA），该模型试图将Markowitz双目标问题转化为单目标问题：即最大化夏普比率。GENPO算法随机搜索资产集合，并对每个集合最小化一个函数，下面将对其进行描述。相应的数学模型被表述为方程（10）中描述的优化问题。与Markowitz方法类似，该模型施加了约束，确保资产权重之和等于一，并且每个资产的个别权重大于零，如方程（11）和（12）所定义。此外，方程（13）引入了另一个约束，要求投资组合的预期回报超过最低可接受回报率γ。遗传算法的实现允许高效地探索资产搜索空间，以识别提供更高预期回报且风险较低的最佳组合。
(10)
受……约束
(11)
(12)
(13)
在实现中，使用性质max SR = min (?SR) = min 来最大化方程（10）中的SR函数，其中 = ?SR。因此，在算法中，这个函数根据方程（14）进行最大化：
(14)

2.5.3. 模拟退火算法
SA算法由Kirkpatrick在1980年代提出[9]，灵感来源于金属退火这一物理过程。这种冶金方法涉及控制冷却过程，其中温度先升高，然后逐渐减少。该算法是一种用于解决优化问题的技术，特别是在最小化特定目标函数方面。这种方法从一个初始解开始，并分为两个不同的循环：一个称为温度循环的外循环和一个称为Metropolis循环的内部循环[25]。
该方法涉及随机生成新解决方案，该解决方案是对当前解决方案的修改。如果新解决方案比当前解决方案更好，即其值更低，则直接接受。否则，使用一个称为Boltzmann准则或分布的概率函数来确定较差解决方案的接受情况，该概率在算法执行过程中逐渐减小。这种策略有助于避免过早收敛到可能不是最适合当前问题的局部最优解。算法的调整参数包括初始温度Ti、冷却因子α和每个Metropolis循环的迭代次数。如图2所示，这些元素对于调整外部循环的迭代次数和管理系统的逐步冷却至关重要。

2.6. 深度学习
在当前以高度动态市场和大量数据为特征的金融环境中，深度学习的应用已成为构建更加稳健和适应性强的投资组合的战略工具。与依赖线性假设和正态分布的传统模型不同，深度神经网络允许对复杂的非线性关系和金融模式进行建模[26]。
深度学习是机器学习中的一个技术，基于神经网络的使用。该技术涉及数十甚至数百层的神经元叠加，从而增加了建立规则的复杂性。尽管它经常被呈现为一个创新和现代的领域，但实际上它的出现早于Markowitz模型。
深度学习在这一领域的优势之一在于其处理大量数据的能力，例如历史价格、技术指标、财务新闻和社交网络，并将它们整合到一个连贯的表示中，从而识别相关的市场信号。此外，诸如循环神经网络（RNN）和卷积神经网络等技术在预测金融时间序列方面表现出色。此外，深度学习可以通过结合预测和优化的混合方法纳入投资组合优化模型中。

2.7. 预测方法
在本节中，我们描述了在实验中使用的预测方法。我们使用了五种方法，其中两种属于传统方法（ARIMA-ETS），两种用于M4比赛（FFORMA-Jaganathan），最后一种属于深度学习领域（CNN）。
本研究中使用的预测方法的选择基于它们的理论和实证相关性。ARIMA和ETS是文献中最广泛使用的两种经典统计方法，并在国际预测比赛（如M4）中作为基准方法。FFORMA和JAGANATHAN方法对应于集成方法，在该比赛中表现出色，证明了它们在多种环境下的有效性。最后，卷积神经网络代表了一种在近期文献中广泛采用的深度学习方法，特别是在与传统的统计方法结合使用时显示出竞争力的结果。
M4是一个全球公认的预测比赛，一直作为评估预测方法的基准。自其成立以来，该比赛为比较各种技术提供了平台，并推动了预测准确性和稳健性的显著进步。第一届M4比赛由Spyros Makridakis组织，于1982年举行，被称为“Makridakis比赛”或M-competition。这一初始事件标志着通过比较统计方法和人类判断来预测时间序列的领域的一个里程碑。比赛表明，简单的统计方法往往比基于人类判断的复杂模型和预测表现得更好[13]。2018年推出的M4比赛是一个重大突破，因为它将人工智能（AI）和机器学习（ML）纳入了比赛之中。比赛提供了超过10万个时间序列数据供分析，这使得这些新方法的效果能够与传统方法进行比较[27]。2.7.1. ARIMA模型是时间序列预测的另一种方法论。与指数平滑方法一起，它们代表了该领域中最广泛使用的技术，为时间序列数据的分析和预测提供了互补的方法。虽然指数平滑模型侧重于明确表示序列的趋势和季节性，但ARIMA模型旨在捕捉和建模数据中的自相关性[5]。这种统计方法由Box和Jenkins在1976年首次提出，基于三个基本组件的组合：自回归（AR）、差分或积分（I）和移动平均（MA）。ARIMA模型通常表示为ARIMA（p, d, q），其中p是回归部分的阶数，d表示达到平稳状态所需的差分次数，移动部分的阶数由q表示[28]。ARIMA模型的一个主要优点是其适用于各种时间数据，前提是这些数据可以通过转换变得平稳。然而，在数据中存在非线性关系或复杂结构的情况下，其性能会受到限制，因此出现了混合方法[28,29]。2.7.2. 指数平滑ETS指数平滑技术出现在20世纪50年代末，已成为最有效的预测技术之一[5]。这种方法生成的预测基于先前数据的加权平均，其中权重随着时间推移呈指数级减少。这意味着最近的观测值会得到最高的权重。该方法允许快速获得可靠的预测结果，因为它适用于多种时间序列，这在工业领域尤其有价值[5]。每个模型都包括一个测量方程，用于表示观测数据与一组状态方程之间的关系，后者描述了未观测成分（如水平、趋势和季节性）的时间演变。由于这种结构，这些模型通常被称为状态空间模型。对于每种指数平滑方法，都可以制定两种变体：一种具有加性误差，另一种具有乘性误差[5]。为了区分具有加性误差和乘性误差的模型，以及不同的模型和指数平滑方法，在分类中引入了第三个字母。在这种方案中，每个状态空间模型表示为ETS，其中各成分分别代表误差类型、趋势和平稳性。2.7.3. FFORM时间序列预测可以通过两种基本策略来实现：从单一模型生成预测，或者结合多个模型的预测，这种技术称为预测模型的平均。后一种方法的相关性在文献中得到了广泛记录，其理论基础建立在Bates和Granger（1969年）的开创性工作上[7]，他们证明预测的组合往往优于单个模型。在这种情况下，Talagala、Hyndman和Athanasopoulos（2018年）[30]引入了FFORMS（基于特征的FORecast模型选择）框架，该框架结合了时间序列特征和元学习来优化预测模型选择。这种方法包括应用多种预测策略，并根据每个时间序列的特性确定组合权重。FFORMA是FFORMS的一种进化，它在M4预测比赛中发挥了主导作用。该方法将传统的统计预测技术与深度学习模型结合起来，构建了一个强大的集成框架[31]。另一种常用的提高预测准确性的方法是对模型进行加权组合，这可以减轻选择指定不恰当模型的风险。然而，确定最佳权重方案是一个重大挑战，因为多项研究表明某些权重分配方法的效果不如均匀分配，这种现象在文献中被称为“组合预测问题”[10]。FFORMA根据分析的数据特征自适应地组合模型，从而提高了预测准确性[5]。FFORMA包括以下九种方法：朴素法[5]；带漂移的随机游走[32]；季节性朴素法（snaive）[5]；theta方法（theta）[33]；自动ARIMA[5]；ETS[5]；TBATS（三角季节性、Box-Cox变换、ARMA误差、趋势和季节性成分）[34]；STLM-AR（使用Loess和自回归模型的季节性和趋势分解）[35]；以及Nnetar（神经网络时间序列预测）[5]。2.7.4. JAGANATHAN Jaganathan提出的预测方法基于一个灵活的集成框架，该框架由二十四种预测方法派生的候选模型配置组成，根据时间序列的结构特性和数据频率选择合适的子集。这种方法整合了来自不同方法论家族的组件模型，其中以下方法尤为突出：朴素法[36]；theta方法[33]；ARIMA[37]；ETS[37]；以及TBATS[34]。这种故意异质的集成旨在利用成熟的统计预测方法的互补优势，从而增强具有不同特征的时间序列（如趋势行为、季节模式和不同持久性程度）的稳健性和稳定性[11]。2.7.5. 卷积神经网络卷积神经网络是一种多层网络，包含多个交替的卷积层和下采样层，最终是一系列连接层[12]。最初是为图像处理开发的，CNN已被证明对分析具有空间或时间依赖性的数据非常有效。对于时间序列预测，可以使用一维卷积（1D-CNN）来实现CNN，其中滤波器自动提取局部时间模式，如短期动态、周期性行为和波动结构。卷积神经网络已成为分析具有空间或时间依赖性数据的有效工具，例如在金融时间序列模式检测中的应用。它们的主要优势之一在于能够在不同输入区域之间共享权重，这不仅显著减少了与多层感知器（MLP）相比所需的参数数量，还提高了训练效率并降低了超参数拟合过程的复杂性[12]。在相关研究中，提出了一种基于CNN的组件转换方法，用于将复杂的COVID-19时间序列分解为有信息的潜在特征，从而增强了预测的稳定性和稳健性[38]。2.8. 性能指标在预测模型的准确性分析中，特别是在时间序列的背景下，使用量化观测值与估计值之间误差程度的指标至关重要。最常见的指标包括平均绝对百分比误差（MAPE）、均方误差（MSE）和对称平均绝对百分比误差（sMAPE）[6,39,40]。MAPE以相对于实际值的百分比形式提供平均误差的度量。其公式如下（15）：其中表示时刻t的实际值，表示估计值，n是观测值的总数。该指标因其直观的解释而广为使用，尽管当实际值接近零时，它可能会产生不成比例高甚至无法定义的误差。MSE计算平均平方误差，对大误差的惩罚更严厉。其公式如下（16）：该指标有助于避免极端误差，尽管其解释可能不太直观，因为结果以原始值的平方单位表示。最后，sMAPE作为一种对称的MAPE替代方案出现，旨在减轻接近零的值的效应，并提供更平衡的实际值与估计值之间的比较。其公式如下（17）：与MAPE不同，sMAPE在分母中加入了实际值和预测值的平均值，从而提高了指标的稳健性和对称性。最后三个指标提供了不同的预测误差视角。选择合适的指标取决于数据类型、误差行为以及分析的目标。3. 方法论ESIPO方法论包括三个阶段：预处理、资产预测以及资产选择和优化，如图3所示。ESIPO利用元启发式算法和深度学习算法的潜力，通过结合这两种方法，旨在实现高预测性能和优秀的投资组合。为了达到这一目标，ESIPO专注于初始投资组合的构建，其中的关键策略之一是使用GENPO算法进行资产选择。此外，还使用了五种不同的方法通过基于模拟退火算法的集成预测策略来提高预测准确性。用于预测集成的方法分类如下：两种是传统的，两种用于M4比赛，一种是深度学习类别的。最后，TAIPO算法将预测资产整合到一个优化的投资组合中。图3. ESIPO方法论。ESIPO方法的每个阶段详细描述如下：I. 预处理：在所提出方法的初始阶段，进行了全面的数据验证和预处理程序，以确保在整个分析期间资产时间序列的可靠性、一致性和数值完整性。此阶段包括系统地识别异常观测值，包括离群值和不规则值，以及明确处理发生在序列边界或内部的缺失数据。时间序列开头或结尾的缺失观测值通过外推技术进行处理，而内部空白则使用插值方法重建。这些预处理步骤旨在最小化数据不完善对后续建模阶段的影响，并确保优化和预测结果来自干净、连贯且方法ologically合理的数据集。该阶段涉及的步骤如下：1. 在此步骤中，确定用于实验的资产时间序列的数量N0。该数量是通过整合所有值都完整的序列来获得的，以确保它们能够被正确读取和处理。2. 将N0个资产时间序列输入GENPO算法，对其进行处理以进行资产预选。在此过程中，选择具有最佳风险-回报比的资产。资产筛选过程基于绩效、风险和多样性标准。具有过度波动性和与其他资产高相关性的资产会被迭代淘汰，以减少维度同时保持投资组合的质量。此外，还设置了11%的最大风险阈值。这种过滤程序减少了资产集的维度，提高了后续优化和分析阶段的计算效率。3. 一旦GENPO算法获得了资产集的预选，就使用这些资产来构建初始投资组合N1个资产时间序列。4. 在此步骤中，将N1个资产时间序列划分为训练、验证和测试块。II. 资产预测：在此阶段，为N1个资产时间序列生成预测，以表征资产的时间行为，并为后续的投资组合构建提供定量基础。此阶段分为以下步骤：1. 首先，使用五种预测技术（ARIMA、ETS、FFORMA、Jaganathan和CNN）处理步骤I中获得的N1个资产时间序列以生成预测。这些方法包括之前在M4预测比赛中使用的经典统计模型，以及一个基于深度学习的模型，从而实现对预测动态的多样化表示。2. 使用标准误差指标（即平均绝对百分比误差、对称平均绝对百分比误差和均方误差（MSE）评估每种方法产生的预测。这些指标可以比较不同方法和资产之间的预测准确性，突出它们的相对优势和局限性。3. 将N1个资产时间序列的预测结果输入模拟退火算法，以构建优化的集成预测。在这个过程中，集成预测被定义为各个单独预测的加权线性组合，其中权重被限制为非负值并且它们的总和为一。SA算法通过最小化MAPE（平均绝对百分比误差）来估计每个资产的最优权重向量，选择MAPE作为目标函数，因为它具有可解释性和尺度不变性。最后，一旦SA算法为N1资产时间序列生成了优化后的集成预测，这些预测就被用作构建初始投资组合的输入。该组合反映了所有预测方法的汇总预测信息，为后续的资产选择和投资组合优化阶段奠定了基础。

III. 资产选择和优化：在这个阶段，将进行最终的资产选择，以便整合一个优化的投资组合。此阶段要采取的步骤如下：
1. 使用五种方法对N1资产时间序列的集成预测结果输入TAIPO算法。在此步骤中，TAIPO算法对N1资产时间序列进行初步评估，并通过计算其效用和风险来分析每个序列。预计资产数量会减少，因为并非所有资产都会表现出良好的表现，即高效用和低风险。
2. 对N1资产时间序列进行的评估结果将导致选择N2资产时间序列。这一选择使得算法能够专注于最适合纳入投资组合的资产。
3. 接下来，TAIPO算法使用选定的N2资产时间序列。该算法使用SR（夏普比率）和MARR（最低可接受回报率）指标来进行第二次选择。随后，表现最佳的资产被赋予最高的权重，而表现最差的资产则被赋予较低的权重或零权重。最后，根据Markowitz的投资组合效率原则[1]，计算构建的投资组合的预期效用、波动性和SR。SR在TAIPO算法的迭代过程中代表目标函数。换句话说，算法寻找并提供一组最优或接近最优的解决方案。最终，得到一个由N3资产时间序列组成的优化投资组合。

4. 实验
本实验使用的数据集来自S&P 500股市。S&P 500指数是美国股市最具代表性的指标之一，包含了美国500家市值最大的公司[19]。使用了2005年4月至2016年4月的445个金融时间序列的S&P 500股市资产价值记录，每个时间序列共有572个每周平均收盘价。选择这个时期是因为指数和个股都观察到了明显的波动性。
选择S&P 500指数的原因是它全面代表了美国股市，涵盖了不同经济领域和市值的公司。其广泛的历史覆盖范围、高市场流动性和作为投资组合绩效参考基准的普遍采用进一步支持了其适用于实证分析的特点。此外，美国金融市场强大的监管环境和制度稳定性为评估优化和预测方法提供了可靠的环境。
为了构建数据集，实现了一个定制的计算程序，从Yahoo Finance平台收集了选定S&P 500成分股的每日收盘价序列。数据采集后，系统地筛选出缺失或非数值观测值（NaN），并排除了记录不完整超过总观测期50%的资产，以便后续分析。
数据集被分为三个不同的部分：80%用于训练块，剩余数据平均分配到验证块和测试块（各10%）。这些块的构建方式如下：训练块的时间跨度为2005年4月至2014年1月，包含458个收盘价观测值；验证块覆盖2014年2月至2015年3月1日的区间，包含57个收盘价；测试块从2015年3月8日持续到2016年4月，包含57个观测值。这种基于块的时间划分保持了时间序列的 chronological 结构，确保了对预测性能的可靠评估。

4.1. 预处理
在此步骤中，选择了用于实验的445个资产时间序列并进行相应的组织。
这445个时间序列被输入GENPO算法，通过它们进行资产预选。该算法使用夏普比率作为目标函数来进行预选，选择具有最佳风险回报比的资产。这一步在整合投资组合的过程中非常重要，因为它通过对每个资产进行相关性分析，有助于降低风险比例，并满足投资组合整合的另一个关键要求——资产多样化。
在预选过程中，GENPO算法分析了445个时间序列，经过500次迭代后，得到了66个资产时间序列。这些资产之间的相关性较低且具有多样性，这对于构建表现良好的投资组合非常关键。这一过程的另一个好处是使其更加灵活，从战略角度来看，它允许我们专注于那些回报与风险比率最佳的资产序列。换句话说，预选过程中获得的66个序列被用于整合初始投资组合。

一旦获得了这66个资产的时间序列，下一步就是将它们划分为训练块、验证块和测试块。图4展示了这些块的分割情况：
图4. 每个序列的数据块划分。

4.2. 资产预测方法
为了获得资产预测，采用了五种不同的预测方法，并随后根据预测准确性进行评估。这些方法可以分为三类：两种经典统计模型（ARIMA和ETS）、之前在M4预测竞赛中应用的两种方法（FFORMA和Jaganathan），以及一种基于深度学习的方法（CNN）。通过改变预测范围（从2周到24周）进行了一系列实验。为了清晰性和可重复性，本节展示了对应于8周预测范围的实验设置。

5. 生成单个预测：在第一阶段选出的66个资产时间序列使用五种预测方法进行处理以生成预测。ARIMA、ETS、FFORMA和Jaganathan是通过RStudio 4.4.2生成的，该软件提供了适合实施M4竞赛方法的成熟库和预定义包。基于CNN的预测则是通过Spyder生成的，Spyder提供了灵活的深度学习库用于神经网络建模。

6. 评估单个预测性能：每种方法生成的预测通过平均绝对百分比误差（MAPE）、对称平均绝对百分比误差（sMAPE）和均方误差（MSE）进行评估。这些指标从相对百分比误差、对尺度的鲁棒性和对大偏差的敏感性等方面提供了关于预测准确性的互补视角。其中，“MAPE”被选为模拟退火优化预测集的目标函数，因为它具有可解释性和尺度不变性。

7. 预测集成构建：从五种方法获得的预测随后通过优化的集成策略进行组合。具体来说，集成预测是作为各个单独预测的加权线性组合构建的，其中权重被限制为非负值并且总和为一。通过最小化集成预测与观测值之间的平均绝对百分比误差来独立估计每个资产的最优权重向量。鉴于优化问题的非凸性质，采用了模拟退火（SA）算法。该算法通过温度控制的接受标准迭代探索可行的权重组合空间，从而实现探索和收敛到接近最优解的目标。这一过程产生了能够捕捉各个预测方法相对优势的资产特定集成预测。

8. 一旦SA算法获得了66个资产的五种预测集成，它们就被用来整合新的投资组合。

9. 为了开始这个阶段，使用五种预测方法对66个资产的预测结果作为输入来运行TAIPO算法。这次初步执行的目的是不是确定最终的投资组合，而是为了广泛探索解决方案空间，使算法能够识别出持续改善投资组合风险-回报特性的资产。

10. 根据最低可接受回报率（MARR）和最大风险标准对初始投资组合中的66个资产进行筛选。这些约束有助于减少问题的维度，同时保留探索阶段识别出的最相关资产。结果，算法选出了14个候选资产。

11. 在这一步中，使用TAIPO算法构建了一个优化后的投资组合，该算法进行了30次迭代，生成了多个投资组合组合。从这些组合中，根据夏普比率（SR）和预期回报选择了包含11个资产的优化投资组合。最终投资组合通过为每个资产分配相应的权重来确定。这种精细的选择增强了投资组合的稳定性，并通过识别出具有良好风险-回报权衡的资产为投资者提供了有价值的见解。

5. 结果
以下部分展示了在第4节描述的实验阶段中获得的结果，并按每个阶段分类以便于理解。

5.1. 预处理以整合初始投资组合
在此阶段获得的结果使我们能够在GENPO算法处理445个资产时间序列后整合出66个资产的初始投资组合。通过这种操作，我们可以显著减少分析过程中处理的时间序列数量，从而能够更有策略性地选择回报与风险之间表现最佳的序列。资产预选是形成投资组合过程中最重要的步骤之一，因为高质量的资产将为投资组合的最佳构建奠定基础。最后，我们将序列划分为训练块、验证块和测试块以计算预测结果。预选的资产如表1所示。
表1. 预选资产。

5.2. 资产预测
在这个阶段，对66个资产进行了8周的预测。一旦获得了五种方法的预测结果，就使用sMAPE误差指标对这些结果进行评估。然后，将五种方法得到的预测结果整合起来。
短预测范围对噪声和瞬态市场效应更为敏感，可能会夸大短期表现。8周的预测范围代表了一个更具挑战性的中期环境，在这个环境中，鲁棒性和泛化能力更为重要。此外，8周的预测范围更符合现实的投资组合再平衡实践，因为过于频繁的调整不太实用。因此，8周的预测范围被用作代表性的基准。S&P 500的66个资产的结果如表2所示。从表2可以看出，JAGANATHAN方法的sMAPE结果最好，为3.36%，而CNN方法的误差百分比为17.01%。然而，集成预测的结果最佳，其误差百分比为1.95%。
图5展示了8周预测范围内所有序列的平均实际值与平均集成预测之间的比较。集成预测紧密跟踪了观测数据的时间演变，捕捉了主要的方向变化和中期动态。在局部峰值和低谷周围观察到轻微的平滑处理，这是通过加权聚合组合异构预测模型所预期的结果。这种行为有助于提高预测的鲁棒性和稳定性，这从表2中报告的较低MAPE、sMAPE和MSE值可以看出，与单独的预测方法相比有所改善。总体而言，结果表明，集成方法在准确性和稳定性之间提供了有效的平衡，适用于中期预测范围。图5显示了实际值与集成预测值（所有系列的平均值）的对比。图6展示了集成方案中分配给每种预测方法的最优权重分布。小提琴图显示，ETS、JAGANATHAN和FFORMS方法获得了最高的权重分配，表明这些方法在分析的金融系列集中更一致地减少了预测误差。图6中的数据进一步表明，ETS方法具有最高的相对权重份额，在中等和较高权重值上呈现出高密度。这一结果说明，该模型能够捕捉到水平、趋势和季节性成分，使其在具有重复模式和渐进变化的金融环境中成为一个强有力的预测工具。JAGANATHAN和FFORMA方法在权重分布上呈现明显的“上尾”特征，表明虽然它们不是绝对主导的，但在多个系列中都获得了显著的权重，说明这两种方法在集成中起到了互补作用，为其他模型存在局限性的情况下提供了额外信息。相比之下，CNN方法在集成中的平均参与度最低，因为其权重分布主要集中在接近零的值上。尽管在某些特定情况下它会获得较高的权重，但其整体贡献较为有限，这表明其性能高度依赖于每个系列的特点，并不能在分析的集成中普遍适用。小提琴图提供了强有力的证据，证明所提出的集成方法在传统统计模型和深度学习模型之间实现了有效的平衡，通过利用结构的多样性来提高预测性能。分布中的相对稳定性支持了这种方法的有效性，并表明它适用于高不确定性和动态复杂性的金融环境。

5.3. 资产选择与优化
将66个资产序列输入TAIPO算法后，使用SR和MARR指标筛选出14个资产。这些资产记录的平均结果分别为：回报率为0.0496，风险为0.2425，SR值为0.1889。表3列出了选定的资产列表。TAIPO从S&P 500指数中选出了14个资产。在此基础上，TAIPO算法进行了第二次分析以进一步筛选资产。最终选出11个资产，这些资产在TAIPO算法进行的组合和重复测试中表现最佳。根据最终选择结果，形成了一个优化后的投资组合，各资产的参与权重如下：回报率为0.0695，风险为0.2699，SR值为0.2431。表4显示了这个优化后的投资组合。结果表明，由11个资产组成的投资组合相比更加多元化的方式具有更高的夏普比率（SR），增加了29%。从最初的445个S&P 500指数资产中，筛选出了14个资产（属于N2时间序列），最终减少到11个资产（属于N3时间序列）。图7展示了用于评估TAIPO算法性能的SR值演变过程。在冷却计划的初始迭代阶段（大约从第1次迭代到第290次迭代），算法允许接受次优解，从而有效地探索搜索空间。当迭代超过290次后，随着接受标准的严格化，劣质解的数量显著减少。特别是从第350次迭代开始，算法趋向于更加积极的探索模式，生成了具有更高且更稳定夏普比率的投资组合。这一发现对投资者来说非常重要，因为它表明通过战略性资产选择可以在不需要过度分散的情况下实现风险调整后的回报最大化。从实际角度来看，这些信息有助于投资者设计更高效的投资策略，从而降低投资组合管理的操作复杂性和时间成本。

5.4. 与最先进方法的比较
为了验证所提出方法的有效性，我们对ESIPO方法与Cesarone [15]、Puerto [17] 和MASIP [18] 之前报告的模型进行了对比分析。为了确保结果的一致性和可比性，我们使用了覆盖2005年至2016年期间的S&P 500股票市场的数据集。ESIPO方法在这些数据集中获得的平均结果与文献中的结果进行了对比，汇总在表5中。值得注意的是，参考文献中的投资组合构建是在2至24周的动态投资范围内进行的。在分析的四种方法中，性能评估使用了一组共同的指标：预期回报、相关风险水平、夏普比率和组成投资组合的资产数量。表5显示，在2至4周的短期预测范围内，ESIPO方法在预期回报和夏普比率指标上均优于最先进方法。在这一时间范围内，ESIPO的平均预期回报率为约0.07，夏普比率为0.24，反映出良好的回报-风险比。MASIP方法在短期预测范围内的表现也是一致的且具有竞争力。然而，其结果系统性地低于ESIPO的结果。当分析8至24周的中期投资范围时，Cesarone提出的方法显示出更高的夏普比率，表明在风险管理方面具有相对更高的效率。然而，当具体关注预期回报变量时，ESIPO方法明显优于其他评估方法。另一方面，Puerto方法在中期预测范围内的夏普比率显著更高，超过了0.48的阈值，但在预期回报水平上明显低于ESIPO。虽然ESIPO的预期回报率接近0.07，而Puerto模型的预期回报率仅为0.006，这在利润生成方面显得不太理想。总体而言，这些结果表明ESIPO方法是一种可靠且稳健的投资组合构建和优化工具，它在回报和风险之间取得了适当的平衡，并且在当代投资组合优化技术框架内具有竞争力。

5.4.1. 与其他股票市场的比较
本节比较了所提出的ESIPO方法与近期最先进的投资组合优化研究的表现，旨在评估其在不同股票市场中的适用性。特别考虑了2021年和2024年发表的两项相关研究，突显了这些分析方法的时效性和相关性。对于EURO STOXX 50?指数，Martínez-Barbero方法[41]采用了基于长短期记忆（LSTM）循环神经网络的技术来预测股票价格和回报，并将其应用于欧洲市场。基于这些预测结果，作者结合了均值-方差优化模型来构建最优投资组合。该方法的性能通过预期回报、波动性和夏普比率等财务指标进行评估，结果表明由预测回报构建的投资组合优于传统方法和市场基准。另一方面，在上海股票10指数的案例中，Chen方法[42]采用了基于机器学习技术的混合模型，该模型结合了极端梯度提升（eXtreme Gradient Boosting）和改进的萤火虫算法（IFAXGBoost）作为股票回报的预测方法，并与均值-方差（MV）优化相结合，应用于上海证券交易所以及SSE 50指数。结果表明，在回报、风险和回报-风险比率等关键指标上都有显著改进，优于传统方法，并强调了在投资组合构建中纳入预测模型的重要性。这些研究提供了坚实的比较框架，因为它们都采用了基于深度学习和机器学习的先进预测技术，适用于不同的地理环境（欧洲和亚洲）。通过与ESIPO方法的比较，可以评估其在不同股票市场中的泛化能力和鲁棒性，证明了其在多种金融环境中的有效应用和竞争性能。

在与Martínez-Barbero方法的比较中，本实验使用了2015年1月1日至2022年6月30日期间EURO STOXX 50?指数成分的历史收盘价数据，涵盖共计1925个交易日。这些数据来自Yahoo Finance平台。训练数据包括2015年至2020年的数据，测试数据则包括2021年和2022年上半年的数据。训练数据集的25%用于验证模型在调整超参数时的性能。数据划分如下：训练数据涵盖2015年1月至2019年7月4日，包含1156个收盘价观测值；验证数据涵盖2014年7月5日至2020年12月31日，包含385个收盘价；测试数据涵盖2021年1月至2022年6月，包含384个观测值。这种基于时间块的数据划分保留了时间序列的顺序结构，确保了预测性能的可靠性。GENPO算法在处理50个资产的时间序列后生成了一个初始投资组合，有效降低了问题的维度，减少了需要进一步分析和评估的时间序列数量，从而实现了更加高效和有针对性的资产选择过程。对于这29个资产，生成了20天的预测结果。获得五种方法的预测后，使用sMAPE误差指标对结果进行了评估。随后，将五种方法得到的预测结果汇总起来。EURO STOXX 50?指数的29个资产的结果显示在表6中。表6显示，ARIMA方法在各个方法中实现了最低的sMAPE值（3.54%）。相比之下，CNN方法的性能最差（11.08%）。集成方法的表现最好（2.44%）。利用五种预测方法为29个选定资产生成集成预测后，这些预测被用于构建新的投资组合。接着，TAIPO算法对这些资产的时间序列进行处理，使用SR和MARR指标进行评估，最终选择了27个资产。这些资产的平均结果分别为：回报率为0.2820，风险为0.1953，SR值为1.4431。基于这一选择，TAIPO算法进行了第二次分析以进一步筛选资产，最终选出了3个资产，这些资产在算法的不同组合和迭代中表现出最佳的SR值。根据最终的筛选结果，通过为每种资产分配相应的权重来构建优化后的投资组合。该投资组合的平均回报值为0.7709，风险值为0.2490，夏普比为3.0946。优化投资组合的构成如下表7所示。表7显示了从EURO STOXX 50?指数中选取的三种资产。研究结果表明，仅由三种资产组成的投资组合在夏普比指标上优于更具多样性的投资组合，夏普比提升了114%。

为了验证所提出方法的有效性，对ESIPO方法和Martínez-Barbero方法进行了比较分析。为了确保结果的一致性和可比性，比较了研究中相同时间区间内的数据集。基于这些数据集，将ESIPO方法得到的平均结果与文献中报道的结果进行了对比，总结如下表8所示。对于分析的两种方法，都使用了一组共同的指标来评估性能，包括预期回报、相关风险和夏普比。表8显示，在20天的时间内，ESIPO方法在预期回报和夏普比指标上的表现均优于最先进的方法。在此时间范围内，ESIPO的平均预期回报约为0.7709，夏普比为3.0946，反映了良好的回报-风险比率。

实证分析使用的是上海证券交易所（SSE）50指数的历史收盘价。从该指数中随机选取了24只股票作为代表性候选资产，为个人投资者提供了足够广泛且易于管理的投资组合构建范围。SSE 50指数由基于交易量和市值等标准选取的大盘 company 组成，确保了高流动性和相对价格稳定性以及重要的市场代表性[43]。这些特点使其成为金融建模和投资组合优化研究的合适基准。数据集覆盖了2009年11月至2019年11月的十年期间，共包含1925个交易日的数据，数据来源于Yahoo Finance平台。数据集被分为两部分：80%用于训练，20%用于测试。训练部分用于模型估计和超参数调整，以实现强大的泛化能力；测试部分用于样本外评估，以评估所提出模型的预测性能。

数据根据时间顺序分为三个部分：训练部分涵盖2009年11月至2016年4月15日的时期，包含1570条收盘价记录；验证部分从2016年4月18日持续到2017年11月22日，包含392条观测值；测试部分从2017年11月23日延续到2019年11月，包含490个数据点。这种时间划分保持了数据序列的时间完整性，允许进行一致且可靠的预测性能评估。

GENPO算法被用来从原始的24个时间序列中生成一个包含10种资产的首选投资组合。这一步骤是一个降维过程，将分析范围缩小到更少的资产子集，从而简化后续评估。因此，该过程提高了计算效率，并优先选择在预期回报和风险之间表现出更佳平衡的资产。随后对选定的10种资产进行一天 ahead 的预测。在获得五种方法的预测结果后，使用sMAPE指标来评估它们的性能。表9展示了上海证券10种资产的预测结果。如表6所示，ARIMA方法在各种方法中产生了最低的sMAPE误差，为2.51%；相反，CNN方法的误差最高，为10.60%；而集成策略超越了所有单独的方法，实现了最低的预测误差，仅为0.25%。

在SA算法基于五种预测方法为10种选定的资产生成集成预测后，这些预测被用来形成一个新的投资组合。然后使用TAIPO算法处理相应的时间序列，根据SR和MARR标准评估资产性能，从而初步筛选出9种资产。这次筛选得到的平均回报值为0.1414，风险值为0.2733，夏普比为0.5172。随后，TAIPO进行第二次分析以选取其他资产。这种迭代过程最终得到4种资产，这些资产在所有评估组合和迭代中显示出最favorable的SR值。基于这次最终筛选结果，通过为每种资产分配适当的权重来构建优化后的投资组合。优化后的投资组合的平均回报值为0.4300，风险值为0.2927，夏普比为1.4573。表10报告了上海证券4种资产的选择结果。结果表明，仅由五种资产组成的投资组合在夏普比指标上具有更高的表现，比更多样化的配置提高了大约181%。

ESIPO方法还通过与文献[42]中介绍的陈模型的比较进行了评估。为了保持一致性和公平性，两项研究都使用了相同时间区间的数据集。使用这些数据集，将ESIPO方法的平均表现与文献中报告的陈模型的结果进行了对比，如表11所示。对于这两种方法，评估采用了包括预期回报、风险和夏普比在内的指标集。根据表11的结果，陈方法[42]在分析期间实现了更高的夏普比，反映了在回报和风险之间的更有效平衡。然而，当关注预期回报时，ESIPO方法仍保持了明显的优势。

6. 结论

ESIPO方法通过结合元启发式和深度学习算法的潜力，旨在实现高预测性能和优秀的投资组合。使用GENPO算法进行初始资产选择，结合基于模拟退火的集成预测策略和TAIPO优化算法，形成了一种有效的投资组合设计方法。通过8周时间范围内的实验评估，使用ESIPO方法获得的结果表明，GENPO算法的使用能够有针对性地选择显示出最有利回报-风险比率的时间序列。此外，基于模拟退火的集成模型在所有单独方法中实现了最佳的预测性能，误差率为1.95%。最后，TAPO算法整合了一个仅包含10种资产的优化投资组合，其夏普比（SR）优于最初选定的14种资产，夏普比提高了45%。从比较的角度来看，实证分析显示ESIPO在不同先进方法中始终表现优异，尤其是在2至4周的短期投资范围内。在这一区间内，ESIPO不仅实现了更高的预期回报，还保持了具有竞争力的夏普比，表明回报和风险暴露之间具有良好的平衡。虽然MASIP方法在这些范围内表现稳定且具有竞争力，但其结果系统性地低于ESIPO，反映出更为保守的回报生成方式。

在中期范围（8至24周）内，比较分析显示不同方法之间存在异质性行为。Cesarone提出的方法报告了更高的夏普比值，表明相对风险效率有所提高。然而，进一步检查预期回报成分后发现，这些较高的夏普比并未转化为更高的利润生成，因为ESIPO在大多数分析案例中保持了明显的优势。这一发现强调了在评估投资组合优化策略时，同时评估风险调整指标和回报幅度的必要性。对Puerto方法的评估得出了一个特别关键的结果：该方法在中期范围内显示出显著的夏普比。尽管这些较高的夏普比可能最初表明了较高的风险-回报效率，但它们伴随着极低的预期回报——大约比ESIPO低一个数量级。从实际投资的角度来看，这种行为反映了高度保守和规避风险的投资配置，虽然在限制波动性方面有效，但投资者因此放弃了大量潜在回报。对于Cesarone模型也有类似的发现，其中较高的夏普比部分掩盖了不利的回报动态。

实验发现一致证明了ESIPO方法在不同股票市场中的有效性。另外两项案例研究进一步验证了ESIPO方法的性能：一项基于EURO STOXX 50?指数（代表欧元区的主要公司），另一项基于上海证券交易所（SSE）50指数（由中国市场的大盘公司组成）。在这两项研究中，均涉及使用多种方法预测资产价格，随后进行投资组合构建和优化，并与文献中的基准模型进行了比较。在EURO STOXX 50?指数案例中，优化后的ESIPO投资组合仅包含三种资产，其夏普比显著提高了114%以上；此外，ESIPO在预期回报和整体风险调整性能上也超过了基准模型；不过基准模型的风险水平较低。同样，在SSE 50指数分析中，ESIPO实现了具有竞争力的预期回报，而陈方法由于较低的风险获得了更高的夏普比。这些发现突显了ESIPO在不同市场条件下有效平衡回报和风险的能力。

总体而言，研究结果确认了ESIPO为不同股票市场和预测范围提供了稳健且具有竞争力的投资组合优化框架，实现了回报和风险之间的更平衡收敛。它能够在不依赖过于保守的配置情况下提供具有竞争力的预期回报，这增强了其在当代投资组合优化研究中的相关性，并支持其在实际投资决策中的应用。