一种用于 coupled 机电多晶体的快速对数欧几里得单点估计方法：谱界限、反演一致性和 Loewner-阶数诊断

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A fast log-Euclidean one-point estimate for coupled electromechanical polycrystals: Spectral bounds, inversion consistency, and Loewner-order diagnostics

　　朱丽叶塔·L·布鲁奥尼 | 费德里科·C·布鲁奥尼
连续介质力学与结构分析系，塞维利亚大学，发现之路（Caminho de los Descubrimientos），塞维利亚，E-41092，西班牙

摘要
我们提出了一种半解析方案，用于估算具有纹理的压电多晶体的有效机电特性，并在此背景下引入了对数-欧几里得几何平均数来处理扩展的本构张量。该方法结合了为任意纹理下的四方晶体推导出的封闭形式的取向平均值，以及对扩展本构张量应用矩阵对数和指数映射。这种公式同时考虑了机电耦合性和反转一致性（即在矩阵反转下的不变性），从而解决了经典Voigt-Reuss方案的关键局限性。通过与自洽计算的基准测试，几何平均数的估算能够捕捉到由纹理驱动的整体趋势，并在所考虑的系数中表现出依赖于分量的准确性。与自洽方案不同，它避免了估算过程中的任何迭代固定点循环；此外，对于以封闭形式处理的纹理家族，它不需要对SO(3)进行数值积分。这提供了一种快速的估算方法。一旦指定纹理系数，剩余的计算仅限于封闭形式的表达式以及9×9扩展本构算子的矩阵对数和指数运算。

光谱分析表明，对数-欧几里得估算位于Reuss和Voigt谱之间（就特征值而言），但这并不意味着整个算子的能量（Loewner）封闭。因此，不等式〈C?〉R?〈C?〉GM?〈C?〉V通常不成立。为了严格界定这一限制，我们推导出矩阵不等式，表明几何平均数仅在对经典界限的正交相似变换下是Loewner封闭的，这是光谱排序的代数结果，而不是变分（物理）约束，即使在强各向异性情况下也是如此。我们还提出了一种基于Loewner差分最小特征值的实际能量可接受性诊断方法，并通过Frobenius间隙来量化可接受性的损失。

在具有纤维纹理的BaTiO3多晶体上的数值测试证实，几何平均数在所有情况下都满足光谱封闭，并且扩展刚度本构张量的各项均位于分量的Voigt-Reuss范围内。当报告为扩展顺应性或工程常数时，对于所考虑的情况，也表现出相同的行为，只有对于耦合敏感的剪切分量有轻微偏离。对数-欧几里得构造能够捕捉到块状（未耦合）一点处理中缺失的耦合诱导效应。特别是，忽略耦合可能导致工程常数出现显著偏差。

从表示角度来看，该方法既适用于连续纹理（通过GSHM纹理系数），也适用于离散取向集（例如EBSD），在这种情况下，它简化为一个精确的加权取向和。对于这里分析的高斯和von Mises–Fisher纤维家族，所需的系数以封闭形式提供，由此产生的取向平均值相对于提供的纹理信息是精确的。

与Riemannian几何平均数相比，后者缺乏封闭形式表达式，并且在一般纹理分布下难以应用，对数-欧几里得平均数提供了一种分析上可行且计算效率高的折中方案。这些特性使其成为模拟各向异性铁电陶瓷和指导基于纹理的材料设计的有前途的工具。

1. 引言
压电多晶材料由于能够转换机械能和电能而在传感、驱动和能量收集应用中得到广泛使用[1]，[2]。尽管它们在技术上已经成熟，但在增材制造、微型系统和多功能材料方面的持续发展仍然需要改进其有效行为的建模策略[3]，[4]，[5]，[6]。一个核心难点在于准确估计具有纹理的多晶体的有效特性，其中晶粒的异质取向分布和弹性场与电场之间的耦合引入了非平凡的挑战。

考虑到纹理的影响，用于估计多晶体有效物理特性的典型方法是Voigt和Reuss平均值[7]，[8]。这些方法假设材料各处应变（Voigt）或应力（Reuss）均匀分布，而在实际的多晶体中这种情况很少成立[9]。Hill[10]证明有效弹性张量位于Voigt和Reuss界限之间，并提出两者的算术平均数作为更现实的近似。在标准均质化理论框架内，Voigt和Reuss估算提供了有效张量的严格一阶界限（从Loewner（能量）意义上讲），这是通过经典变分论证得出的。它们也是一点估算，因为它们仅依赖于一点统计量，如取向分布函数（ODF）。然而，Voigt、Reuss和Hill平均值不满足反转不变性，即〈H〉≠(〈E〉)?1，其中E?1=H。在强各向异性材料中，这种偏差变得显著。在此及后续内容中，我们使用“反转一致性”（也称为反转不变性或自对偶性）一词来表示表示独立性：以刚度形式或顺应性形式估计有效响应可以得到相互一致的结果。为了解决这个问题，Aleksandrov和Aizenberg[11]提出了一种强制同时满足均匀性和反转一致性的平均函数。他们将这种平均数应用于性质的矩阵表示的特征值，并指出它是唯一满足这些标准的解决方案。他们的分析集中在各向同性纹理材料上，并为二阶张量（例如介电常数）以及四阶立方弹性张量提供了结果。

随后，Morawiec[12]在各向同性情况下重新审视了这种方法，使用了随机取向的晶粒，并将对数-欧几里得平均数应用于弹性矩阵。他批评了Aleksandrov对四阶张量使用光谱对角化的方法，这导致了Matthies和Humbert[13]，[14]的进一步发展。他们将这种方法扩展到2n阶的对称张量。他们对具有随机取向和各种理论纹理的弹性问题的计算表明，几何平均数始终位于Voigt和Reuss界限之间，并与自洽模型很好地对齐。Aleksandrov没有为他引入的平均数指定具体名称，而Morawiec将其称为“新平均数”。Matthies等人使用“几何平均数”一词来表示现在所知的对数-欧几里得平均数。这种术语是合理的，因为在矩阵相乘可交换时，这两种平均数是一致的。在这项工作中，只要不会引起歧义，我们可以互换使用“对数-欧几里得平均数”和“几何平均数”这两个术语。

B?hlke和Bertram[15]提供了一个更近期和富有说明性的应用实例，他们将对数-欧几里得平均数应用于FCC多晶体的弹性张量。他们表明，对于立方晶体集合，Reuss、Voigt和几何平均数都依赖于相同的不可约四阶张量，该张量表示有效弹性张量的纯各向异性分量。在相关研究[16]中，这些作者证明几何平均数（对数-欧几里得）的特征值位于Reuss和Voigt平均数的特征值之间。为了得出这一结果，他们将几何平均数、Voigt和Reuss估计的特征值分别表示为晶体特征值的几何平均数、算术平均数和调和平均数，从而获得所有三种平均数的相同光谱权重——与ODF无关。然后他们得出结论，相应的弹性能量在Loewner意义上也有类似的界限。然而，在我们当前的工作中，我们展示了相应的能量（Loewner）排序通常不适用于耦合的四方情况。我们推导了平均数的特征值的一般表达式，作为晶体特征值和晶体取向分布的函数，并证明只有在未耦合的立方极限下权重才相等。

在模拟多晶体的弹电响应[17]，[18]，[19]时，通常使用Voigt–Reuss–Hill类型的近似。然而，这些近似未能满足反转一致性，并且无法解释机电耦合[17]。Li等人[20]结合了取向平均值和自洽方案来捕捉压电多晶体的电弹性模量的纹理效应。在[21]，[22]中讨论了有效电弹性模量的正定性界限。这些界限限制了有效模量的对角项在其上下限之间，而对于非对角项则没有这样的限制。尽管如此，可以从有效模量本身推导出非对角项的界限[23]，[24]。

在从多个取向状态或微观结构实现中估计有效特性的背景下，自然会产生为有限组正定矩阵定义“良好”几何平均数的挑战。这个问题在数学文献[25]，[26]，[27]，[28]中得到了广泛讨论。Ando等人[26]提出了几何平均数应满足的十个理想属性。其中，我们强调三个：(i) 在标量乘法下的正均匀性，(ii) 反转不变性，以及(iii) 与Loewner意义下的算术-几何-调和平均数不等式的一致性（即对于正定矩阵，调和?几何?算术）。前两个与Aleksandrov最初提出的标准一致，而第三个反映了几何平均数必须作为严格的矩阵不等式保持在调和平均数和算术平均数之间的要求。然而，正如我们在本工作中展示的，对数-欧几里得平均数通常不满足这种Loewner形式的调和-几何-算术不等式，并且在耦合设置中可能违反严格的一阶Voigt–Reuss界限。同时，它在对数域中满足一个较弱但严格的排序（所谓的混沌顺序），由此得出特征值意义上的（光谱）不等式。这种区别构成了我们工作中提出的新结果的基础。

满足所有三个属性（i）–（iii）的自然替代方法是Riemannian几何平均数。然而，将这种平均数应用于具有纹理的多晶材料的有效特性估计仍然具有挑战性，因为没有可用的封闭形式表达式。计算Riemannian平均数需要通过迭代算法（如固定点或梯度下降方法[29]）在有限的离散取向集上解决最小化问题，从而导致高计算成本。Moakher[30]为表示非纹理材料中弹性测量的有限矩阵集实现了Riemannian平均数。然而，据我们所知，还没有提出用于计算连续取向分布上的Riemannian平均数的公式。将这一框架扩展到处理这种连续设置仍然是一个开放且技术要求较高的问题，我们认为这值得进一步研究。

受到严格矩阵不等式（Loewner顺序）、反转一致性和计算可行性之间相互作用的启发，在这项工作中，我们开发并分析了一种对数-欧几里得（几何平均数）的一点估计方法，用于估计具有纹理的压电多晶体的有效耦合机电响应。一旦ODF以纹理系数表示，这个估计就可以用封闭形式表达，我们的主要目标有两个：(i) 在通过应用于完整扩展本构矩阵的对数/指数映射的同时保持反转一致性；(ii) 严格说明这种估计在哪些方面确保了与Voigt–Reuss界限的一致性。特别是，我们展示了在对耦合的四方设置中，对数-欧几里得平均数通常不位于Voigt和Reuss估计的Loewner意义上。同时，我们确定了在对数域中保证的排序属性以及相关的光谱不等式，从而精确地界定了Loewner排序与特征值意义上的（光谱）界限之间的差异。作为一个案例研究，我们将这种方法应用于具有纤维纹理的BaTiO3多晶体，并分析了在不同纹理强度下有效特性的演变。

本文的组织结构如下。第2节介绍了压电性的符号和本构方程，以及整个过程中使用的扩展矩阵表示，包括它们的转换规则和对数-欧几里得平均数所需的矩阵对数/指数框架。然后我们回顾了经典的Voigt–Reuss–Hill估计，并推导了所提出的半解析对数-欧几里得几何平均数估算器，强调了反转一致性和机电耦合的作用。第2节还建立了严格的界限结果：特征值意义上的（光谱）Reuss和Voigt之间的封闭性，缺乏一般的Loewner（能量）封闭性，以及在强各向异性下仍然有效的正交相似封闭性。第3节为具有轴对称（纤维）纹理的四方BaTiO3（4毫米）多晶体提供了详细的数值示例。我们首先介绍了本工作中采用的高斯纤维纹理家族。作为对紧凑取向域的稳健性检查，我们随后使用轴对称的von Mises–Fisher纤维纹理重复了分析，并确认观察到的趋势在分散和浓度的预期重新参数化范围内仍然存在。然后我们比较了点方案（Voigt、Reuss、Hill和几何平均数）和自洽参考值之间的介电、压电和工程常数预测，并使用范围归一化误差指标量化了偏差。接下来，我们通过最小特征值诊断方法检查了Voigt–Reuss括号法与能量可接受性之间的关系，这些方法是对Loewner差异的分析，并确认了几何平均数在完整的纹理范围内满足推导出的光谱界限。我们进一步通过用一个因子κ缩放压电子块来隔离耦合效应，包括稳定性限制以及Loewner有效性对色散和耦合的依赖性。最后，第3节讨论了几何平均数的实现途径——通过封闭形式系数进行连续纹理评估与离散方向集和直接SO(3)积分之间的关系，并报告了相关的计算成本和精度权衡。第4.2节得出了结论。

2.1. 构成方程
在本小节中，我们通过四种构成方程描述了压电材料在机械和电刺激下的行为。

类型I构成方程将应力(Tij)和电位移(Di)表示为应变(Sij)和电场(Ei)的函数。它们涉及恒定电场下的弹性刚度张量(cijklE)、压电系数(ekij)以及恒定应变下的介电介电常数(?ikS)，具体表达式如下：
(1) Type I:
Tij = cijklESkl ? ekijEk, Di = eiklSkl + ?ikSEk

类型II方程将应变张量和电场表示为施加的应力 和电位移的响应，展示了恒定电位移下的柔顺性(sijklD)、压电耦合效应(gkij)以及恒定应力下的介电介电常数(βikT)：
(2) Type II:
Sij = sijklDTkl + gkijDk, Ei = ?giklTkl + βikTDk

类型III构成方程提供了一种不同的视角，将应力和电场与应变和电位移联系起来。然后，这些场通过以下关系联系在一起：
(3) Type III:
Tij = cijklDSkl ? hkijDk, Ei = ?hiklSkl + βikSDk

其中cijklD是恒定电位移下的弹性张量分量，hkij是压电耦合张量分量，βikS是恒定应变下的介电介电常数分量。最后，类型IV方程提供了另一种表达方式：
(4) Type IV:
Sij = sijklETkl + dkijEk, Di = diklTkl + ?ikTEk
其中sijklE是恒定电场下的柔顺性弹性张量分量，dkij是压电张量分量，?ikT是在恒定应力下测量的介电常数张量分量。

我们在方程(1)–(4)中一致地应用了重复指标的求和约定，并在整个工作中保持这一约定，以保持清晰和简洁。

材料常数的张量表现出以下对称性条件：
(5)
cijklE = cjiklE = cijlkE = cklijE, ekij = ekji, ?klS = ?lkS

这些对称性条件也适用于cijklD、sijklE、sijklD、gkij、hkij、dkij、?klT、βklT和βklS，这取决于相应张量的秩。此外，弹性刚度和介电介电常数张量是正定的，即：
(6)
cijklMSijSkl > 0, ?Sij ≠ 0,
?ijNEiEj > 0, ?Ei ≠ 0

上标M∈{D,E}和N∈{T,S}指定了构成张量定义的热力学约束：M=D（分别对应电场E）表示在恒定电位移D下定义的量，而N=T（分别对应应力T）表示在恒定应力S下定义的量。类似的条件也适用于柔顺性张量sijklM和介电介电常数βijN。

在这项工作中，半解析框架需要计算方阵的对数和指数，以便有效地表征材料的响应。为此，将构成方程(1)–(4)表示为矩阵形式是方便的：
(7)
Type I:
TD = cEeet ? ?SS ? E
(8)
Type II:
S ? E = sDggt ? βTTD
(9)
Type III:
TE = cD ? h ? htβSSD
(10)
Type IV:
SD = sEddt?TTE
其中上标t表示矩阵的转置。以紧凑的形式，我们写作：
(11)
AJ = LJBJ
其中J = I, II, III, IV表示相应的构成方程类型。上述矩阵方程利用了(5)中的对称性以及应力张量和应变张量中的对称性。我们采用标准的Voigt收缩规则：
(12)
1 → 1, 2 → 2, 3 → 3, 2 → 4, 1 → 5, 1 → 6
因此，AJ和BJ是9 × 1的扩展列向量，结合了二阶张量的六个独立分量和一阶张量的三个分量（T, S, D或E）。对于J=I,III，扩展的弹性矩阵LJ和对于J=II,IV的柔顺性矩阵是9 × 9的矩阵，由四阶张量(cM或sM)、三阶张量(e, g, h或d)以及二阶张量(?N或βN)构建，其中M∈{D,E}和N∈{T,S}。由于构成张量在(5)中表达的对称性条件，与每个构成公式(J=I,II,III,IV)相关的扩展矩阵LJ是对称的。如果基础的弹性张量cM（或sM）和介电张量?N,βN是对称且非奇异的，那么每个LJ都是可逆的[31]。此外，当cM（或sM）及其Schur补[32]是正定的（对于Type III–IV公式是标准情况）时，LIII和LIV本身是正定的，而LI和LII是对称但不奇的。此外，类型I和类型II以及类型III和类型IV的构成公式是彼此对偶的。因此，它们对应的矩阵满足关系LII = LI^-1和LIV = LIII^-1，由此可以得出相应的状态变量之间的关系，详见附录A。

因为标准的Voigt矩阵表示在基变换下不会发生张量变换，因此将通常用于弹性的六维二阶张量表示（称为Kelvin表示[33]）扩展为适用于压电问题的九维二阶张量表示是有利的。因此，我们以以下方式从标准正交三维笛卡尔基{ei (i=1…3)构建了一个九维基e?α (α=1…9)：
(13)
e?1 = e1?e1, e?2 = e2?e2, e?3 = e3?e3,
e?4 = 1/2(e2?e3 + e3?e2), e?5 = 1/2(e1?e3 + e3?e1),
e?6 = 1/2(e1?e2 + e2?e1), e?7 = e1, e?8 = e2, e?9 = e3,
其中?表示叉积。{ei}i=1…3的正交性，加上{e?α}α=4/6的缩放，确保了{e?α}α=1/6在Sym(3)中关于Frobenius内积是正交的。关于Sym(3)⊕R3上的直和内积（张量的Frobenius内积，向量的欧几里得内积），完整的集合{e?α}α=1/9是正交的。这对应于Kelvin–Mandel约定，这里扩展到了耦合的压电设置中。然后，构成方程(1)–(4)可以以紧凑的形式表示为：
(14)
A?J = L?JB?J, J = I,II,III,IV
其中帽子（?）表示量是用Kelvin–Mandel表示法表示的。这些矩阵的显式形式在附录A.1中给出。

我们观察到，对于J=III和J=IV，9 × 9的Kelvin–Mandel表示L?J是对称且正定的，且L?IV = L?III^-1。相比之下，对于J=I和J=II，矩阵L?I和L?II = L?I^-1保持对称且非奇异，但通常是不确定的，因此不是正定的。

为了简洁起见，在能量表示中我们使用?C??L?III，因此L?IV = C?^-1。Kelvin–Mandel表示的张量特性（与标准Voigt表示相比）至关重要，因为基变换在扩展空间中由一个已知的正交变换表示。因此，如果C?′表示相对于晶体上的笛卡尔框架xi′的扩展刚度，那么其在全局框架xi中的分量遵循二阶张量变换律：
(15)
C?αβ(ψ,θ,?) = Ω?αγΩ?βδC?γδ′ = Ω?αγβδ?2C?γδ′
其中α,β,γ,δ∈{1,…,9}，Ω?∈SO(9)是由Ω∈SO(3)在Kelvin–Mandel表示法中诱导的适当正交旋转矩阵（见附录A.1[34]）。四阶张量Ω?αγβδ?2具有主对称性Ω?αγβδ?2 = Ω?βδαγ?2。利用这种对称性和Ω?的块结构，可以大大减少变换中不同非零项的数量，我们利用这一点来减少方向积分的数量（详细信息见附录A.1）。

2.2. 算术平均值和调和平均值
多晶体的有效属性的最简单估计是通过局部属性张量的平均值获得的：
(16)
〈C?〉V = ∫_SO(3)C?(g)w(g)dg, 〈C?〉R = ∫_SO(3)C?(g)^(-1)w(g)dg^-1
其中w: SO(3)→R≥0是Roe意义上的方向分布函数（ODF），SO(3)是适当的正交旋转的特殊正交群，dg表示SO(3)上的标准化Haar测度（使得∫_SO(3)dg=1）。按照纹理分析中的标准约定，引入双不变（非标准化）体积测度?dV?8π2dg也是方便的，对于V(SO(3))=8π2[35]。在Euler角参数化中，有dg=1/8π2sinθdψdθd?，dV=sinθdψdθd?。

根据Roe的约定，w是相对于dV的密度，并满足归一化[35]，[36]
∫_SO(3)w(g)dV=1?8π2∫_SO(3)w(g)dg=1。
为了避免标准化的Haar测度dg和体积测度dV之间的歧义，我们明确声明了这两种约定，并在整个过程中固定Roe的(w,dV)约定；转换为Bunge的密度是简单的重新缩放f=8π2w[35]。

方程(16)中的上标V和R分别表示Voigt平均值和Reuss平均值，它们对应于方向空间上构成张量的算术平均值和调和平均值。具体来说，Voigt平均值是通过对晶体的扩展弹性张量的方向平均值得到的，而Reuss平均值涉及扩展柔顺性张量的方向平均值。

为了计算SO(3)上的这些方向平均值，我们采用了广义球谐方法（GSHM），其数学基础在附录B中有详细说明。这种方法依赖于在完整的正交基上展开旋转群SO(3)上的平方可积函数（GSHFs）。其主要优势在于它允许将变换张量的任何分量的方向平均值表示为展开系数的加权之和。特别是，对于任何实值函数Φ∈L2(SO(3))，表示这样的一个分量，其方向平均值可以写为：
(18)
〈Φ〉= 4π2∑_l=0^L∑_m=?l∑_n=?lFlmnWlmn
其中Flmn是Φ的广义球谐展开系数，Wlmn是ODF的相应纹理系数（见附录B中的定义）。通常可以取L任意大（或L=∞）以实现精确的L2展开。然而，对于由SO(3)作用在r阶张量上诱导的张量量，只有度数l≤r的分量才有贡献；因此可以取L=r而无需近似（见附录B和参考文献[38]中的定理）。

这个框架允许我们分离纹理的效应：在当前的公式中，方向信息紧凑地封装在系数Wlmn中，从而通过平均高效准确地估计有效的张量属性。

注：这里使用的系数Wlmn是广义球谐框架中ODF的一种可能的光谱描述符。基于张量矩/纹理张量（以及相关的张量傅里叶系数）的另一种单点描述符也已经被很好地建立，并且经常直接嵌入到连续介质力学公式和微观结构生成设置中[39]，[40]，[41]，[42]，[43]，[44]，[45]。我们在当前工作中保留Wlmn，因为它们自然地进入了这里采用的GSHM表示（详见附录B），并直接导致了后续推导中使用的封闭形式方向平均值。

基于这种广义球谐平均，已经在特定设置中推导出了方向平均的解析表达式。例如，Li[17]为具有纤维纹理的四方晶系4mm对称性提供了封闭形式公式，而Buroni等人[46]将这种方法扩展到压电张量的Voigt平均值，涵盖了任意纹理和所有晶体对称性。然而，这些平均值不满足反演一致性。具体来说，如果C?(g)用正交基表示（例如（13）并且C?(g)^(-1)表示其在相同表示中的逆，则反演一致性将表现为：
(19) 〈C?^(-1)〉=(〈C?〉)^(-1)。这不是均质化理论的要求，也不是边界条件依赖的变分界限的要求；相反，它是某些对称正定张量锥上矩阵平均值的一个期望的内部一致性特征（通常在Lichtenecker的反演假设下讨论）。它防止了在切换刚度和柔顺性描述[13]，[14]，[30]，[47]时的表示依赖估计。由于Voigt和Reuss平均值通常违反（19），我们将反演一致性视为一个额外的建模标准，而不是有效属性必须满足的一般约束。

所有n维对称正定矩阵的集合形成了一个开放的凸锥。在这个集合上定义了一个偏序，称为Loewner顺序：
(20)
A?B ? B ? 0，
意味着B?A是半正定的。同样地，(21)
A?B ? B ? 0，
意味着B?A是正定的。这里，A和B是n×n的对称正定矩阵。

Hill[10]表明，对于线性弹性复合材料，有效刚度在Loewner意义上分别由Reuss平均值和Voigt平均值上下界限制。同样的变分论证也适用于任何以能量形式写出的对称正定构成算子；在当前机电耦合设置中，我们将Loewner排序应用于扩展的类型III构成矩阵C?≡L?III。因此，
(22) 〈C?〉R?C?eff?〈C?〉V，
其中Loewner不等式是在选定的机电表示的能量（二次形式）意义下理解的。特别是在类型III设置中（对于C?是对称正定的），上述排序意味着B??t〈C?〉RB??≤B??tC?effB??≤B??t〈C?〉VB???B??≠0，
其中B??=(S?,D?)是宏观的广义应变类状态（在对偶的类型IV柔顺性形式中也有类似的陈述）。

这些是从变分原理使用运动学上可行的试验场（Voigt上界，最小势能）和静力学上可行的试验场（Reuss下界，最小互补能量）[48]得到的有效张量的经典严格一阶界限。在均质化理论的层次结构中，它们被归类为一阶界限，因为它们仅依赖于一点统计量，例如多晶体中的ODF或复合材料中的体积分数[43]，[45]。相比之下，零阶界限仅依赖于组成属性，而不考虑它们的空间或方向分布，而高阶界限则包含了额外的相关信息。由于Voigt和Reuss是一阶严格的能量界限，因此任何对它们的Loewner排序的违反都必须被解释为能量不可接受性（即，能量超出了变分允许的范围），而不仅仅是一个良性的数值差异。为了更好地近似这个属性的实际值，Hill提出取Voigt和Reuss估计值的算术平均值：(23)〈C?〉H=〈C?〉R+〈C?〉V2。根据构造，Hill的平均值位于Voigt和Reuss界限之间。相反，如果一个估计值C??违反了严格的界限，那么至少存在一个宏观的广义状态B??≠0，使得预测的二次型B??tC??B??超出了Voigt和Reuss定义的变分允许区间；因此，这样的估计值通常不能被解释为在经典变分框架内的能量上可接受的本构张量。然而，值得注意的是Hill的估计值不满足在(19)中定义的倒置不变性属性。

2.3. 几何平均数
一种满足倒置不变性的有效属性的替代单点估计方法是所谓的几何平均数。在数学上，对称正定矩阵空间中有几种几何平均数的定义[30]。在这项工作中，我们采用了Matthies [13]、[14]提出的定义，该定义基于矩阵的对数和指数映射。这种构造通常被称为对数欧几里得平均数。因此，我们定义几何平均数为 (24)〈C?〉GM=exp〈logC?〉V=exp8π2∫SO(3)log(C?(g))w(g)dg，这直接导致了倒置不变性属性：(25)〈C??1〉GM=exp〈log(C??1)〉V=exp〈logC?〉V?1=〈C?〉GM?1。用于评估对数欧几里得几何平均数的逐步算法在表格1中进行了总结。一个再现这一工作流程的MATLAB实现已在带有DOI: 10.17632/j3725y5fmg的版本化仓库中公开提供。几何平均数(24)提供了一种与经典的Voigt和Reuss方案不同的建模选择。有两个特点值得强调：

表格1. 用于对具有四方晶粒的压电多晶材料的有效电机械性质的对数欧几里得估计的算法步骤。步骤3和5涉及数值矩阵运算，而步骤4使用在方程(D.1)中解析得出的封闭形式的方向平均值。
1. 指定四方单晶的电机械常数C?，并根据欧拉角(ψ,θ,?)定义ODF。
2. 使用方程(B.11)计算纹理系数Wlmn。
3. 数值计算矩阵对数log(C?)。
4. 使用方程(D.1)中的封闭形式表达式计算方向Voigt平均值〈log(C?)〉V。
5. 数值计算exp[〈log(C?)〉V]以获得有效的（对数欧几里得）本构矩阵。
(i) 对数-指数映射引起的块混合。对于Voigt和Reuss，平均运算符是线性的；因此，当C?以块形式表示时，得到的封闭形式方向平均值保持块状结构：有效的弹性、压电和介电贡献分别从相应的晶块中获得（见附录D）。相比之下，(24)首先对log(C?(g))进行平均，然后应用exp(?)。由于log(?)和exp(?)是非线性矩阵函数，log(C?(g))通常不是块可分的，因此得到的〈C?〉GM可能包含混合的块贡献，即使Voigt/Reuss平均值不是。在这种情况下，对数-指数构造的非线性使得平均本身本质上不是块可分的：〈C?〉GM的每个组成部分通常依赖于C?(g)中的全部电机械系数。因此，〈C?〉GM在宏观层面上代表一个有效耦合的电机械本构矩阵，尽管这种耦合是由矩阵泛函演算引起的，而不是由额外的微观力学假设引起的。
(ii) 倒置一致性。对数欧几里得构造与倒置兼容（见(25)），因此刚度和柔度形式的平均值会导致相互一致的估计。这种自对偶性属性被列为正定矩阵几何平均数的标准公理之一（例如，[26]、[27]），并与引言中采用的表示独立性标准一致。我们还注意到，对数欧几里得平均数是由矩阵泛函构造定义的单点估计；因此，它的排序属性与经典的能量（Voigt–Reuss）界限提供的属性不同。这种区别将在下文讨论，并在后续章节中进一步发展，我们将区分在对数域中保证的内容和在Loewner序中可能失败的内容。

对于III型和IV型本构方程，其中C?=L?III表示扩展的刚度矩阵，L?IV表示相应的扩展柔度矩阵，这两种表示都是对称且正定的。这些条件不仅保证了矩阵log(C?)的存在性和唯一性，通常称为主对数[49]，还为比较模量界限提供了坚实的数学基础。特别是，这些矩阵的对称性和正定性强调了log-Euclidean估计在本构建模中的数学稳健性，使得能够有意义地分析材料行为相对于传统平均值定义的界限。如2.1节所述，对应于I型的扩展弹性矩阵C?是对称的但不确定的，因此不是正定的。尽管如此，它仍然是可对角化的，这确保了复数值对数的存在。然而，通过对估计的有效张量取实部?(〈C?〉GM)，仍然可以应用log-Euclidean框架。对于II型，L?II=L?I?1，也有类似的观察结果。

在关于有限集合的对称正定矩阵的矩阵平均数的数学文献中，已知对数欧几里得平均数仅在特殊情况下满足调和-几何-算术（HGA）平均数不等式。实际上，一个反例就足以排除普遍的Loewner形式HGA不等式。具体来说，参考文献[50]中的定理4.5表明，对数欧几里得平均数可能不服从算术平均数的上界（在Loewner意义上）；因此，根据参考文献[50]中的备注2.7(3)，调和-几何不等式也是如此。在相同的离散设置中，n个矩阵的加权对数欧几里得平均数是通过归纳定义的，并保持了加权双矩阵平均数的基本属性[51]。在这种设置中，Voigt–Reuss不等式(26)〈C?〉R?〈C?〉GM?〈C?〉V并不普遍适用于对数欧几里得估计。对于型III–IV公式中的各向同性情况（wiso=1/8π2），(26)是成立的，但当存在纹理时一般可能不成立。尽管如此，对数欧几里得几何平均数满足混沌序(27)log〈C?〉R?log〈C?〉GM?log〈C?〉V，即对数域中的Loewner序，这是对称矩阵的集合。这一结果在参考文献[50]的命题4.6中针对两个矩阵得到，并在参考文献[52]的推论6（方程(4.2)）中针对n个矩阵得到证明。

2.4. 光谱界限和结构
2.4.1. 特征值的界限：混沌序和加权平均数
我们现在推导出混沌序对几何平均数的特征值的影响。从(27)和参考文献[32]中的推论7.7.4可以得出(28)λi(log〈C?〉R)≤λi(log〈C?〉GM)≤λi(log〈C?〉V)，?i=1,…,n，其中λi(A)表示A的有序特征值。由于矩阵对数的特征值仅仅是原始矩阵特征值的对数，我们得到：(29)lnλi(〈C?〉R)≤lnλi(〈C?〉GM)≤lnλi(〈C?〉V)，?i=1,…,n。最后，由于指数映射的单调递增行为，以下不等式(30)λiR≤λiGM≤λiV，?i=1,…,n成立。这里，λiR、λiGM、λiV分别表示Reuss、几何和Voigt平均值的特征值。为了进一步解释几何平均数的特征值界限，我们现在用晶格矩阵的特征值来表示Voigt、Reuss和几何平均值的特征值。这使我们能够阐明它们的算术、调和和几何结构，并识别相关的权重函数。现在我们考虑与晶格系统相关的扩展弹性C?′的光谱分解，(31)C?′=P′Diag(λ1′,λ2′,…,λ9′)P′?1，其中λ1′≤λ2′≤?≤λ9′是晶格矩阵C?′的特征值，P′是一个正交矩阵。运算符Diag(?)表示从其参数构造的对角矩阵，将给定的标量沿着主对角线排列并将所有非对角线元素设置为零。就其组成部分而言，这是(32)C?γδ′=Pγ?′Pδ?′λ?′，δ,?,γ=1,…,9。同样，我们也有矩阵平均值〈C?〉V、〈logC?〉V和〈C??1〉V的光谱分解，它们的特征值分别是{λiV}i=19,{lnλiGM}i=19, 和 {(λiR)?1}i=19。我们用PM、M∈{V,GM,R}表示它们相关的正交矩阵。此外，应用方程(15)中的Voigt平均值，并考虑方程(32)，我们可以写出：(33a)〈C?〉αβV=〈Ω?αγβδ?2〉Pγ?′Pδ?′，(33b)〈logC?〉αβV=〈Ω?αγβδ?2〉Pγ?′Pδ?′lnλ?′，(33c)〈C??1〉αβV=〈Ω?αγβδ?2〉Pγ?′Pδ?′λ?′?1。因此，这三个估计值的特征值可以写成晶格特征值的加权算术、几何和调和平均数：(34a)λkV=∑?=19ΛV(k,?)λ?′，(34b)λkGM=∏?=19λ′?ΛGM(k,?)，(34c)λkR=∑?=19ΛR(k,?)1λ?′?1，其中权重由(35a)?ΛV(k,?)?∑γ,δ=19ΘV(k,γ,δ)Pγ?′Pδ?′，(35b)?ΛGM(k,?)?∑γ,δ=19ΘGM(k,γ,δ)Pγ?′Pδ?′，(35c)?ΛR(k,?)?∑γ,δ=19ΘR(k,γ,δ)Pγ?′Pδ?′定义，(36a)ΘV(k,γ,δ)=∑α,β=19PαkVPβkV〈Ω?αγβδ?2〉，(36b)ΘGM(k,γ,δ)=∑α,β=19PαkGMPβkGM〈Ω?αγβδ?2〉，(36c)ΘR(k,γ,δ)=∑α,β=19PαkRPβkR〈Ω?αγβδ?2〉。它们满足∑?=19ΛM(k,?)=∑k=19ΛM(k,?)=1，这是因为P′和PM以及Ω?的正交性（见附录C）。Matthies和Humbert [14]也为几何平均数的特征值推导了类似的表达式，并基于这种光谱结构证明了“几何平均数”这个术语的合理性。对于Voigt和Reuss估计，没有提供类似的分解。B?hlke和Bertram [16]使用基于投影器的分解提出了相关公式，这些分解限定在立方对称性上。他们的方法中，与特征值平均值相关的权重被证明是均匀的。通常，权重函数ΛV、ΛGM和ΛR是不同的。当且仅当三个矩阵〈C?〉V、〈C??1〉V和〈logC?〉V可以同时对角化（等价地，它们可以成对交换）时，这些权重函数才 coincide。在那种特殊情况下，Voigt、对数-欧几里得和Reuss估计简化为分别对晶格特征值应用标量算术、几何和调和平均数，且Loewner界限〈C?〉R?〈C?〉GM?〈C?〉V成立。我们在3.1.4节讨论了这种交换/同时对角化的情况，并将其与一般的（非交换）情况进行了对比。

2.4.2. 通过正交相似性的光谱界限
现在我们转向对数欧几里得平均数的矩阵包围。如2.4.1节所讨论的，对数欧几里得估计〈C?〉GM通常不满足Voigt–Reuss Loewner界限。然而，特征值界限(30)意味着〈C?〉GM可以被包含在正交类似于经典Voigt和Reuss估计的矩阵之间。这提供了一个严格的Loewner序包围，但应将其解释为光谱排序的代数结果，而不是额外的物理界限。具体来说，由于λkR≤λkGM≤λkV对于k=1,…,9，存在正交矩阵M、N，使得(37)Mt〈C?〉RM?〈C?〉GM?Nt〈C?〉VN成立。一个方便的选择直接来自特征值分解：(38)??M?PR(PGM)t,N?PV(PGM)t，因此Mt〈C?〉RM和Nt〈C?〉VN通过PGM对角化，从而允许逐项比较，这意味着相对于〈C?〉GM的Loewner排序；参见例如[32]中的练习7.7.P1。为了后续参考，我们定义光谱包围矩阵(39)??Blow?Mt〈C?〉RM，Bupp?Nt〈C?〉VN。在相似变换下不变的量。因为Blow与〈C?〉R正交相似，Bupp与〈C?〉V正交相似，它们具有相同的光谱和光谱不变量：(40)λk(Blow)=λk(〈C?〉R)=λkR，λk(Bupp)=λk(〈C?〉V)=λkV，k=1,…,9，因此(41)tr(Blow)=tr(〈C?〉R)，det(Blow)=det(〈C?〉R)，tr(Bupp)=tr(〈C?〉V)，det(Bupp)=det(〈C?〉V)。这些恒等式是对正交相似性的标准结果[32]。我们强调它们涉及包围矩阵Blow、Bupp，而不是几何平均数本身。

由于Blow?〈C?〉GM?Bupp且所有三个矩阵都是对称正定的，根据(41)可以得出以下标量不等式：(42)tr(〈C?〉R)≤tr(〈C?〉GM)≤tr(〈C?〉V)，det(〈C?〉R)≤det(〈C?〉GM)≤det(〈C?〉V)。(37)的另一个含义是(43)‖〈C?〉R‖≤‖〈C?〉GM‖≤‖〈C?〉V‖，其中‖?‖是任何酉不变矩阵范数，例如Frobenius范数‖A‖F=tr(AtA)1/2或谱范数。这是由于这样的范数仅由矩阵谱决定，对于光谱包围Blow和Bupp来说，它们分别与Reuss和Voigt估计的谱一致。解释和用途。包围(37)是特征值排序(30)的代数结果。它既不加强也不替代经典的Voigt–Reuss能量界限：后者是从变分原理（均匀应变和均匀应力试验场）获得的严格的一阶物理界限，而(37)是通过允许Voigt和Reuss矩阵的正交相似性将光谱排序转换为严格的Loewner排序而获得的。因此，矩阵Blow和Bupp不应被解释为额外的微观力学界限或可接受的材料限制：它们可能在Loewner意义上定义一个比[〈C?〉R,〈C?〉V]更宽的矩阵顺序区间，并且没有直接的能量意义。因此，在这项工作中，(37)的作用是诊断性的：它提供了仅从光谱信息得出的〈C?〉GM的严格Loewner包围，同时完全承认〈C?〉GM可能违反经典能量界限。在下一小节中，我们利用这个包围来(i)推导出Blow?〈C?〉GM?Bupp和〈C?〉R?〈C?〉GM?〈C?〉V所需的逐个分量不等式；以及(ii)引入偏差度量，以控制方式量化光谱[Blow,Bupp]和能量[〈C?〉R,〈C?〉V]顺序区间之间的差异。

2.5. 分量不等式条件（44）和（45）是矩阵不等式 A??A?A+ 成立的必要条件，但不是充分条件。在当前的情况下，我们将这些关系应用于 A=〈C?〉GM，根据光谱包络（37），取 A?=Blow 和 A+=Bupp，同时也考虑了 A?=〈C?〉R 和 A+=〈C?〉V 的情况，这是基于能量界限的。作为这些界限与 Reuss–Voigt 界限偏差的度量，我们可以考虑以下相对误差：(49a)???lowSD?‖Blow?〈C?〉R‖F‖〈C?〉R‖F，以及 (49b)???uppSD?‖Bupp?〈C?〉V‖F‖〈C?〉V‖F。我们强调 Blow（分别是 Bupp）与 〈C?〉R（分别是 〈C?〉V）是正交相似的，因此它们具有相同的特征值谱。因此，任何一对之间的差异都可以归因于特征空间的不匹配（考虑到重复特征值导致的非唯一性）。因此，(49a)-(49b) 中的 Frobenius 偏差作为这种特征空间不对齐的方便的代数指标，并由界限的光谱各向异性（以及在压电情况下的机电耦合）加权。

3. 数值示例
在本节中，我们将之前开发的几何平均公式应用于金钛矿（BaTiO3）的多晶聚集体，其属于 4 mm 晶体对称群。在这种对称性下，扩展本构矩阵的某些分量消失，而其他分量则相互依赖。例如，III 型本构方程的形式为：(50)T11T22T332T232T132T12E1E2E3=c1111Dc1122Dc1133D00000?h311c1122Dc1111Dc1133D00000?h311c1133Dc1133Dc3333D00000?h3330002c2323D000?2h223000002c2323D0?2h22300000002c1212D0000000?2h2230β11S00000?2h223000β11S0?h311?h311?h33300000β33SS11S22S332S232S132S12D1D2D3。其他本构类型的矩阵结构遵循类似的公式（见方程（7）–（10）。选择哪种本构方程（I–IV 型）取决于具体背景和可用的实验数据。重要的是，通过关系（A.1）、（A.2）和（A.3）–（A.6），一旦指定了一组独立变量，就可以一致地推导出其余的本构张量。
在（24）中定义的几何平均需要计算扩展矩阵的对数的 Voigt 方向平均值。在这项工作中，我们使用第 2.2 节和附录 B 中描述的 GSHM，根据晶格对称性（4 mm），推导出该平均值的有穷表达式。有关更多详细信息，我们建议读者参考 [53]。无论是计算对数的 Voigt 平均值（如几何平均所要求的），还是本构矩阵的直接平均值，这些表达式都适用于所有四种类型的本构公式。
接下来，我们进行了一系列数值模拟，以评估机电耦合的影响，并评估所提出的平均方法与其他已建立的均质化技术的准确性。

3.1. 案例研究：四方相 BaTiO3 中的高斯纤维纹理
在本节中，我们采用了 Jaffe 等人 [54] 报告的四方相 BaTiO3 的材料常数，这些常数总结在表 2 中。这些参数作为下面所有数值评估和参数研究的参考。为了说明所提出的平均方案的行为，我们考虑了一个与 x3 轴对齐的轴对称（纤维型）纹理。这里的“纤维纹理”指的是取向统计量的旋转对称性（C∞ 分布），而底层的单晶对称性仍然是四方（4 mm）。由于四方相 BaTiO3 是非中心对称的，并且其极轴区分了 n 和 ?n，因此极错位角取为 θ∈[0,π]。我们使用高斯核定义 ODF 作为 θ 的函数，并假设角度 ψ 和 ? 是均匀分布的：(51)?w(ψ,θ,?;σθ)=1/4π2exp(?θ2/2σθ2)Z(σθ)，Z(σθ)?∫0πexp(?θ2/2σθ2)sinθdθ，以便满足归一化条件 (17)：(52)∫02π∫0π∫02πw(ψ,θ,?;σθ)sinθdψdθd?=1。尽管在紧凑的取向域上高斯核不是最佳选择（通常建议使用 von Mises–Fisher 类型的分布），但我们在这里采用它主要是为了与使用相同参数化的相关工作进行直接比较。尽管如此，我们使用轴对称的 von Mises–Fisher 纹理重复了计算，发现所提出的平均方案的定性行为和主要结论保持不变；观察到的趋势在 σθ 与 vMF 浓度参数之间的预期重新参数化范围内得到了再现。这种 C∞ 纹理意味着所有 m≠0 和/或 n≠0 的系数都消失；因此只有轴对称系数 Wl00 可以为非零。在目前的工作中，我们保留 l≤4；相应的实数系数是 W100、W200、W300 和 W400，其解析表达式在附录 E 中给出。

表 2. 来自 Jaffe 等人 [54] 的 BaTiO3 晶体数据。（*）根据方程 (A.1)-(A.6) 计算的值。
单位：扩展弹性
单位：扩展顺应性

由于这种对称性，得到的多晶体表现出横向各向同性，满足关系 (53)C?66?=C?11??C?12?，或等价地，(54)C1212?=C1111??C1122?2，其中星号上标表示估计的性质。
如 [55] 中定义的纹理系数 cmnl，与当前公式中使用的系数 Wlmn 的关系为 (55)Wlmn=22l+1cmnl。

3.1.1. 不同方法之间的比较结果
使用 I 型本构公式，本小节评估了从不同方法得出的有效介电（?S）和压电（e）张量估计。
图 1 对具有高斯纤维纹理的 BaTiO3 的有效相对介电常数 ?11?S/?0 和 ?33?S/?0 作为色散参数 σθ 的函数进行了比较分析。这里，?0 表示真空介电常数。阴影区域表示由 Voigt 和 Reuss 平均值界定的介电常数范围，而实线表示我们几何平均公式的预测。为了比较，我们还包括了 Li [17] 的自洽估计（带圆圈标记的线）和传统的 Hill 平均值（点划线），这些估计是使用相同的纹理和材料数据计算得出的。所有三种模型都位于 Voigt–Reuss 范围内，并显示出相似的趋势。随着 σθ 的增加，?11?S 和 ?33?S 收敛到相同的值，这与预期的各向同性行为一致。重要的是，这种各向同性极限取决于所使用的均质化方法，从而导致不同的渐近值。根据我们的高斯纹理模型，σθ?10 的值代表极化陶瓷，而对于 σθ?10，响应变得基本上是各向同性的，这一点通过 ?11?S=?33?S 的收敛得到了证明。在讨论 BaTiO3 晶体和陶瓷的机电性质时，必须认识到由于纯度、缺陷浓度和加工历史的变化，赋予确定的值是不切实际的。实验数据中的较大色散是众所周知的 [19]。考虑到这一点，我们将我们模型的预测与多晶陶瓷的选定实验测量结果进行了比较。Bechmann (1956) [56] 和 Berlincourt (1999) [57] 的数据绘制在图 1 中，突出了纹理压电陶瓷的显著变异性。在图 1(a) 中，两个实验值都在 Voigt–Reuss 范围内（由绿色箭头指示），而在图 1(b) 中，只有 Berlincourt 的数据位于该范围内（棕色箭头）。值得注意的是，自洽模型未能捕捉到任何实验中的 ?11S 值。它在 1?σθ?10 的范围内接近于 Bechmann 的值，但这发生在接近各向同性的行为中——这并不是极化陶瓷的特征。相比之下，我们的几何平均值在 σθ≈0.71 时准确再现了 Bechmann 的 ?11S。在三者中，只有 Hill 平均值同时与两个实验数据集相交。对于 ?33S，几何平均值和自洽模型都再现了 Berlincourt 的数据，而在图 1(b) 中显示，Bechmann 的值明显位于 Voigt–Reuss 范围之外。类似地，图 2 展示了有效压电系数 e113?、e333? 和 e311? 作为色散参数 σθ 的函数。随着 σθ→10，所有系数都趋向于零，这与预期的各向同性极限一致。值得注意的是，e333? 和 e311? 在 σθ 的中间值处表现出明显的放大。对于 e113? 和 e333?，几何平均值曲线在大多数探索的纹理范围内跟随自洽趋势；偏差将在本节的后面进行量化。对于 e?311，与自洽方法的一致性不太一致；尽管如此，几何平均值仍然紧密跟随 Hill 估计，并捕捉到了整体趋势。

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图 1. 有效相对介电常数 (a) ?11?S/?0 和 (b) ?33?S/?0 作为高斯纹理的色散参数 σθ（标准差）的函数。
实验值 e333 与所有理论估计之间存在显著的不匹配。相比之下，几何平均值和自洽模型都准确捕捉到了 e113 和 e311 的实验数据。特别是，Berlincourt (1999) 对 e311 的测量值可以在两个不同的 σθ 值处与几何平均值相匹配。然而，几何平均值没有复制 Bechmann (1956) 对 e311 的值。对于 e113，两个实验数据集——Berlincourt (1999) 和 Bechmann (1956）——在接近的色散值处与几何平均值的预测相交，进一步支持了模型的预测能力。
为了量化几何平均值（GM）估计与自洽（SC）参考模型的偏差，我们定义了范围归一化绝对误差（RNAE）如下：(56)?RNAE(σθ)?|X?GM(σθ)?X?SC(σθ)||max(X?SC?min(X?SC)|，其中 X?(σθ) 表示在色散参数 σθ 处的估计性质。采用这个指标是为了在整个纹理参数范围内提供几何平均值估计准确性的统一评估。由于压电系数随着 σθ→10 而趋向于零，并且它们的幅度在 σθ?3.5 时保持在 1 以下，标准相对误差在数值上变得不稳定，因为其对小分母非常敏感。通过将绝对差异归一化到性质的绝对峰对峰值范围内，我们确保了一个稳定且物理上有意义的精度度量，即使在接近各向同性极限的低信号强度区域也是如此。
表 3 展示了 X?=e311?、e333?、e113?、?11?S/?0、?33?S/?0 在 20 个离散的色散参数 σθ 值下的 RNAE。下划线值表示在这些采样点中发现的最大偏差。
对于 e311?，最大 RNAE 为 0.1840，发生在 σθ=0.6 时。对于 e333?，最大偏差为 0.0520，发生在 σθ=1.5 时；值得注意的是，该系数的所有其他采样值都显著较低，大多数低于 0.0460。同样，e113? 在 σθ=0.4 时的最大 RNAE 为 0.0102。
根据表 3 和图 2，可以得出结论，在压电系数中，e311? 在 0.3?σ?1 范围内的全局偏差最大。
关于相对介电常数，表 3 中观察到的最大偏差是 ?11?S/?0 在 σθ=1 时为 0.2823，?33?S/?0 在 σθ=0.7 时为 0.2546。总体而言，所有性质中 ?11?S/?0 在 σθ=1 时的偏差最大。

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(a). 压电系数 e311?。
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(b). 压电系数 e333?。
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(c). 压电系数 e113?。
图 2. 有效压电系数 (a) e311?、(b) e333? 和 (c) e113? 作为高斯纹理的色散参数 σθ（标准差）的函数。
表 3. 几何平均值估计与自洽估计的相对误差（I 型扩展刚度公式）对于具有纤维纹理的 BaTiO3 晶体的压电常数和相对介电常数。下划线值表示最大偏差。
σθ
范围归一化绝对误差（RNAE）这个限制值在图中用一条垂直的点划线表示，而蓝色箭头指示了Loewner顺序C??GM?C??V得到满足的范围。关于差值C??GM?C??R，当σθ?0.523255时，最小特征值（红线）是非负的；因此，从这一点开始，几何平均值下限由Reuss平均值界定。虚线和红色箭头标出了满足C??R?C??GM顺序的σθ范围。值得注意的是，在0.28399?σθ?0.523255的中间范围内，几何平均值的上限由Voigt平均值界定，但Reuss界限不成立。因此，要同时满足Voigt和Reuss界限，必须满足条件σθ?0.523255。这在图4中的阴影区域中表示为Loewner有效范围。还可以观察到，对于各向同性纹理（即σθ→∞），物理上的Loewner界限〈C?〉R?〈C?〉GM?〈C?〉V成立。图4的右侧面板详细显示了0≤σθ≤1的范围，在这个范围内特征值从负值变为正值。这种详细视图揭示了尽管几何平均值超过Voigt估计的区间比低于Reuss估计的区间窄，但偏差的幅度在前者情况下要大得多。这一点在图5中进一步说明，图5考虑了两个最小特征值的下包络（黑线），定义为minλminC??GM?C??R,λminC??V?C??GM。绿色区域表示半正定区域，在该区域内两个差值都是半正定的，因此对数欧几里得平均值在Loewner意义上满足Voigt–Reuss界限。相反，红色区域表示不定区域，在该区域内至少有一个特征值为负，表明几何平均值不满足严格的一阶界限。临界阈值σθ≈0.523255由垂直的虚线标出。

此限制值在图中用一条垂直的点划线表示，而蓝色箭头指示了Loewner顺序C??GM?C??V得到满足的范围。关于差值C??GM?C??R，当σθ?0.523255时，最小特征值（红线）是非负的；因此，从这一点开始，几何平均值下限由Reuss平均值界定。虚线和红色箭头标出了满足C??R?C??GM顺序的σθ范围。值得注意的是，在0.28399?σθ?0.523255的中间范围内，几何平均值的上限由Voigt平均值界定，但Reuss界限不成立。因此，要同时满足Voigt和Reuss界限，必须满足条件σθ?0.523255。这在图4中的阴影区域中表示为Loewner有效范围。还可以观察到，对于各向同性纹理（即σθ→∞），物理上的Loewner界限〈C?〉R?〈C?〉GM?〈C?〉V成立。图4的右侧面板详细显示了0≤σθ≤1的范围，在这个范围内特征值从负值变为正值。这种详细视图揭示了尽管几何平均值超过Voigt估计的区间比低于Reuss估计的区间窄，但偏差的幅度在前者情况下要大得多。这一点在图5中进一步说明，图5考虑了两个最小特征值的下包络（黑线），定义为minλminC??GM?C??R,λminC??V?C??GM。绿色区域表示半正定区域，在该区域内两个差值都是半正定的，因此对数欧几里得平均值在Loewner意义上满足Voigt–Reuss界限。相反，红色区域表示不定区域，在该区域内至少有一个特征值为负，表明几何平均值不满足严格的一阶界限。临界阈值σθ≈0.523255由垂直的虚线标出。

此限制值在图中用一条垂直的点划线表示，而蓝色箭头指示了Loewner顺序C??GM?C??V得到满足的范围。关于差值C??GM?C??R，最小特征值（红线）是非负的；因此，从这一点开始，几何平均值下限由Reuss平均值界定。虚线和红色箭头标出了满足C??R?C??GM顺序的σθ范围。值得注意的是，在0.28399?σθ?0.523255的中间范围内，几何平均值的上限由Voigt平均值界定，但Reuss界限不成立。因此，要同时满足Voigt和Reuss界限，必须满足条件σθ?0.523255。这在图4中的阴影区域中表示为Loewner有效范围。还可以观察到，对于各向同性纹理（即σθ→∞），物理上的Loewner界限〈C?〉R?〈C?〉GM?〈C?〉V成立。图4的右侧面板详细显示了0≤σθ≤1的范围，在这个范围内特征值从负值变为正值。这种详细视图揭示了尽管几何平均值超过Voigt估计的区间比低于Reuss估计的区间窄，但偏差的幅度在前者情况下要大得多。这一点在图5中进一步说明，图5考虑了两个最小特征值的下包络（黑线），定义为minλminC??GM?C??R,λminC??V?C??GM。绿色区域表示半正定区域，在该区域内两个差值都是半正定的，因此对数欧几里得平均值在Loewner意义上满足Voigt–Reuss界限。相反，红色区域表示不定区域，在该区域内至少有一个特征值为负，表明几何平均值不满足严格的一阶界限。临界阈值σθ≈0.523255由垂直的虚线标出。在这种情况下，由于模量是顺应性的倒数，Reuss平均值成为上限，而Voigt平均值成为下限。图11进一步说明了这一点。图(a)显示了单晶在x1′–x2′平面上杨氏模量的角度依赖性。对于这种晶体，x1′和x2′方向的刚度是相等的，即E1′=E2′。然而，在其他方向上，杨氏模量会增加，在大约与x1′和x2′轴的平分线对齐的方向上达到最大值。图(b)显示了多晶体的相应表现。为了进行比较，单晶曲线（蓝线）被叠加在这个图上。虽然单晶的方向通常不同于多晶体的全局参考框架，但这种重叠突出了均质化过程如何将材料的固有各向异性转变为平面各向同性。在这种情况下，所有均质化方法得到的曲线都是完美的圆形，表明了平面各向同性。尽管每种方法的模量随角度保持不变，但预测值会根据平均方案略有不同。

对于剪切模量也可以做出类似的观察，其独立分量在图12中作为σθ的函数显示。估计值G23?（等于G13?）和G12?在σθ→∞时趋于相同的值，表明了预期的各向同性行为。当σθ→0时，各种G23?的估计值趋于晶体值G23≈0.217391，而G12?则不是这样。如前所述，这种差异是由于多晶体的横向各向同性造成的，与单晶的低对称性相反。因此，不同的平均方法得到的G12?值都大于晶体值G12≈0.226244。在G12?的情况下，几何平均值在所有σθ值上都在Reuss（上限）和Voigt（下限）之间。然而，对于G23?，存在一个区间，大约为0?σθ?0.381，在这个区间内几何平均值G23?GM略微低于下限，即Voigt估计值G23?V。

图10显示了BaTiO3晶体IV型扩展顺应性矩阵的杨氏模量平均值作为标准偏差σθ的函数。实线代表几何平均值，虚线表示Voigt平均值，点划线对应于Reuss平均值，点线表示Hill平均值。带有圆形标记的线代表自洽估计值。（关于图表说明中颜色的参考，请参阅本文的网页版本。）

图11展示了垂直于x3平面上杨氏模量的极坐标表示：(a) BaTiO3单晶的杨氏模量值；(b) 多晶体的杨氏模量平均值，并包括单晶轮廓（蓝线）以便于比较。实线代表几何平均值，虚线表示Voigt平均值，点划线对应于Reuss平均值，点线表示Hill平均值。（关于图表说明中颜色的参考，请参阅本文的网页版本。）

图13显示了对数欧几里得平均值违反下限G23?V的区域内G23?估计值的详细行为。在图(a)中，我们将几何平均值和Voigt平均值以及从方程(37)、(44)计算出的下谱限G23low作为σθ的函数绘制在一起。该图显示，在σθ的中间值处，几何平均值略低于Voigt估计值，而仍然远高于其自身的谱下限。这证实了方程(37)中推导出的矩阵不等式始终得到满足，但经典的逐分量界限并未得到保持。图13(b)显示了G23?GM?G23?V的差异作为标准偏差σθ的函数。负值表示违反了下Voigt界限；在这个区间内，对数欧几里得估计值不应被解释为能量上可接受的有效模量。最大差异约为0.3433×10^9N/m^2，发生在σθ≈0.269112时，对应的相对偏差约为0.72%。该图突出显示了0?σθ?0.381的区间，在此区间内几何平均值略微低于Voigt平均值，最大偏差由绿色箭头表示。

图14显示了估计的独立泊松系数ν21?和ν31?=ν32?。观察结果与其他工程常数的观察结果相似。在标准偏差σθ→∞的极限情况下，平均值ν21?和ν31?收敛为每种平均方法特有的各向同性值，尽管这些值彼此不同。相反，当σθ→0时，所有方法得到的ν31?值相同，等于相应的单晶值ν31≈0.333758，这是由于x3轴的对齐以及多晶体的横向各向同性。然而，对于ν21?，这些方法得到的值不同，尽管几何平均值接近Hill平均值。在所有情况下，极限值都低于晶体值ν21≈0.291925。

图12显示了BaTiO3晶体IV型扩展顺应性矩阵的剪切模量平均值作为标准偏差σθ的函数。实线代表几何平均值，虚线表示Voigt平均值，点划线对应于Reuss平均值，点线表示Hill平均值。带有圆形标记的线代表自洽估计值。（关于图表说明中颜色的参考，请参阅本文的网页版本。）

图13。（a）BaTiO3晶体IV型扩展顺应性矩阵的剪切模量分量G?23的平均值和下限作为标准偏差σθ的函数，在0,0.5区间内。实线代表几何平均值，虚线表示Voigt平均值，粗虚线表示下谱限。(b) 剪切模量G?23的几何平均值和Voigt平均值之间的差异作为标准偏差σθ的函数。

为了使用关系(26)确定泊松系数的界限，我们必须同时考虑方程(44)和(45)，因为(60)ν21=?s1122Es2222E和ν31=?s1133Es3333E。因此，我们得到以下界限：(61)ν21±=?12(C??1)22?V(C??1)12?V+(C??1)12?R±(C??1)11?V?(C??1)11?R(C??1)22?V?(C??1)22?R，以及(62)ν31±=?12(C??1)33?V(C??1)13?V+(C??1)13?R±(C??1)11?V?(C??1)11?R(C??1)33?V?(C??1)33?R，其中νi1+和νi1?（对于i=2,3）分别表示上界和下界。从图15中我们可以观察到，两个几何平均值ν21?GM和ν31?GM作为实线显示，位于它们各自的界限内，这些界限分别由点划线和虚线表示。

为了量化几何平均值估计值与自洽方法的偏差，表4总结了选定工程常数的最大相对偏差(63)maxσθ|X?GM?X?SC||X?SC|。偏差是在用于生成本节所有曲线的相同非均匀σθ采样上评估的（0.01≤σθ≤10范围内的20个点）。因此，报告的最大值是该采样的离散（网格式）最大值。对于杨氏模量，最大偏差分别为5.83%（E1?）和13.86%（E3?）；对于剪切模量，分别为15.55%（G23?）和6.45%（G12?）；对于泊松比，分别为20.60%（ν21?）和2.39%（ν31?）。表4中的最大偏差发生在ν21?在σθ=0.30时。仅关注四种模量（E1?、E3?、G23?和G12?），G23?在σθ=0.50时的最大偏差，且G23?GM>G23?SC。

图14显示了BaTiO3晶体IV型扩展顺应性矩阵的平均泊松比作为标准偏差σθ的函数。实线代表几何平均值，虚线表示Voigt平均值，点划线对应于Reuss平均值，点线表示Hill平均值。带有圆形标记的线代表自洽估计值。

作为独立的基准，我们将各向同性极限（σθ→∞）下的单点估计值与文献中报道的三个估计值进行了比较。首先，Benedetti等人[59]通过求解耦合的电磁边界值问题（BEM）对3D Voronoi BaTiO3多晶体进行了随机全场计算均质化。从多次实现中，他们报告了平均各向同性有效值E?≈158GPa、G?≈59GPa和???S?/?0≈1270。其次，Olson和Avellaneda[60]为未极化的BaTiO3提供了一种耦合的广义有效介质近似（GEMA），得到???S?/?0≈1320和G?≈60.1GPa。第三，Fr?hlich等人[61]基于10–50次实现，对一个具有1728个立方晶粒的3D模型进行了随机RVE估计，在耦合的电磁边界条件下（规定位移和电势）。他们得到的范围为G?∈[58.8,67.9]GPa和???S?/?0∈[1312,1390]。

表4总结了选定工程常数的几何平均值与自洽估计值之间的最大相对偏差maxσθ|X?GM?X?SC|/|X?SC|（%）。所有偏差都是在生成所有曲线的相同非均匀σθ采样上评估的（0.01≤σθ≤10范围内的20个点）。因此，报告的最大值是该采样上的离散（网格式）最大值。对于杨氏模量，最大偏差分别为5.83%（E1?）和13.86%（E3?）；对于剪切模量，分别为15.55%（G23?）和6.45%（G12?）；对于泊松比，分别为20.60%（ν21?）和2.39%（ν31?）。表4中最大的偏差发生在ν21?在σθ=0.30时。仅关注四种模量（E1?、E3?、G23?和G12?），G23?的最大偏差发生在σθ=0.50时，且G23?GM
图15显示了batio3晶体iv型扩展顺应性矩阵的泊松比作为标准偏差σθ的函数的界限。实线代表几何平均值，浅蓝色线表示ν21?的界限，樱桃红色线表示ν31?的界限。（关于图表说明中颜色的参考，请参阅本文的网页版本。）

作为一个独立的基准，我们将各向同性极限（σθ→∞）下的单点估计值与文献中报道的三个估计值进行了比较。首先，benedetti等人[59]通过求解耦合的电磁边界值问题（bem）对3d voronoi batio3多晶体进行了随机全场计算均质化。从多次实现中，他们报告了平均各向同性有效值e?≈158gpa、g?≈59gpa和???s?/?0≈1270。其次，olson和avellaneda[60]为未极化的batio3提供了一种耦合的广义有效介质近似（gema），得到???s?/?0≈1320和g?≈60.1gpa。第三，fr?hlich等人[61]对一个具有1728个立方晶粒的3d模型（基于10–50次实现）在耦合的电磁边界条件下（规定位移和电势）进行了随机rve估计。他们得到的范围为g?∈[58.8,67.9]gpa和???s?/?0∈[1312,1390]。

表5总结了这些值以及本文基于jaffe/berlincourt单晶数据计算的五个单点估计值（表2）。在各向同性极限下，有效的压电耦合消失，因此???s?=?t?。对于弹性模量，hill估计值是最接近报告的平均bem值（e?=158gpa，g?=59gpa）的单点估计值，而gm仍然具有竞争力，并且保持了完全显式的封闭形式评估。对于介电响应，单点估计值之间的差异要大得多。gm估计值（???s?/?0=1121）与gema和随机数值参考值处于同一数量级，但仍低于报告的值（olson–avellaneda：≈1320；benedetti等人：≈1270；fr?hlich等人：1312–1390）。总的来说，这些基准表明了一个属性依赖的趋势：对于弹性模量，hill估计值更接近平均bem值；对于各向同性介电常数，gm比sc更接近报告的bem/rve值，而gema在列出的简化方案中最接近。因此，gm是一个有用的低成本初步估计（在我们的实现中，大约每σθ需要6.8–7.9次计算），而sc（大约每σθ需要37.9–58.2次计算）或全场模拟在需要更严格的定量精度时更为可取。

图15显示了batio3晶体iv型扩展顺应性矩阵的几何平均泊松比的界限作为标准偏差σθ的函数。实线代表几何平均值，浅蓝色线表示ν21?的界限，樱桃红色线表示ν31?的界限。（关于图表说明中颜色的参考，请参阅本文的网页版本。）

为了研究压电耦合系数对有效属性的几何估计的影响，我们将晶体扩展弹性矩阵c?中的压电子矩阵按因子κ∈r进行缩放。这里，κ=0表示没有耦合，而κ=1保留了晶体的原始属性。

在iii型和iv型公式中，热力学稳定性要求相应的扩展本构建张量必须是正定的，这意味着所有特征值必须在选定的κ范围内保持非负。对于iii型公式，这适用于扩展刚度矩阵c?(κ)；对于iv型公式，这适用于扩展顺应性矩阵c??1(κ)。图16使用表2中列出的batio3材料参数，显示了c?(κ)的特征值λi（i=1,…,9）随κ的变化情况。κ的可接受范围定义为所有特征值保持非负的最大区间。对于iii型公式，我们数值上得到：(64)|κ|?1.754122。对于iv型公式，可接受区间稍窄：(65)|κ|?1.727154。对于iii型公式，我们缩放l?iii中的压电块h，而对于iv型工程常数分析，我们缩放l?iv中的相应块d。这两个参数族在κ≠1时不是互逆的；因此它们的正定性限制不必重合。首先，我们分析了耦合因子κ以及材料各向异性对ln欧几里得平均值有界性的影响——具体来说，是否满足排序c??r?c??gm?c??v。为此，我们定义了一个偏差度量max(0,?λmin)，其中λmin是c??v?c??gm和c??gm?c??r差异的最小特征值。这个分析涵盖了从κ=0（无耦合）到κ=1.754122的范围，即iii型公式的稳定性限制。当这个度量为零时，ln欧几里得平均值严格受reuss–voigt平均值的限制；否则，其值量化了与这些界限的偏差程度。 图15显示了batio3晶体iv型扩展顺应性矩阵的泊松比作为标准偏差σθ的函数的界限。实线代表几何平均值，浅蓝色线表示ν21?的界限，樱桃红色线表示ν31?的界限。（关于图表说明中颜色的参考，请参阅本文的网页版本。） 作为一个独立的基准，我们将各向同性极限（σθ→∞）下的单点估计值与文献中报道的三个估计值进行了比较。首先，benedetti等人[59]通过求解耦合的电磁边界值问题（bem）对3d voronoi batio3多晶体进行了随机全场计算均质化。从多次实现中，他们报告了平均各向同性有效值e?≈158gpa、g?≈59gpa和???s? ?0≈1270。其次，olson和avellaneda[60]为未极化的batio3提供了一种耦合的广义有效介质近似（gema），得到???s? ?0≈1320和g?≈60.1gpa。第三，fr?hlich等人[61]对一个具有1728个立方晶粒的3d模型（基于10–50次实现）在耦合的电磁边界条件下（规定位移和电势）进行了随机rve估计。他们得到的范围为g?∈[58.8,67.9]gpa和???s? ?0∈[1312,1390]。 表5总结了这些值以及本文基于jaffe berlincourt单晶数据计算的五个单点估计值（表2）。在各向同性极限下，有效的压电耦合消失，因此???s?=?T?。对于弹性模量，Hill估计值是最接近报告的平均BEM值（E?=158GPa，G?=59GPa）的单点估计值，而GM仍然具有竞争力，并且保持了完全显式的封闭形式评估。对于介电响应，单点估计值之间的差异要大得多。GM估计值（???S?/?0=1121）与GEMA和随机数值参考值处于同一数量级，但仍低于报告的值（Olson–Avellaneda：≈1320；Benedetti等人：≈1270；Fr?hlich等人：1312–1390）。总的来说，这些基准表明了一个属性依赖的趋势：对于弹性模量，Hill估计值更接近平均BEM值；对于各向同性介电常数，GM比SC更接近报告的BEM/RVE值，而GEMA在列出的简化方案中最接近。因此，GM是一个有用的低成本初步估计（在我们的实现中，大约每σθ需要6.8–7.9次计算），而SC（大约每σθ需要37.9–58.2次计算）或全场模拟在需要更严格的定量精度时更为可取。 图15显示了batio3晶体iv型扩展顺应性矩阵的几何平均泊松比的界限作为标准偏差σθ的函数。实线代表几何平均值，浅蓝色线表示ν21?的界限，樱桃红色线表示ν31?的界限。（关于图表说明中颜色的参考，请参阅本文的网页版本。） 为了研究压电耦合系数对有效属性的几何估计的影响，我们将晶体扩展弹性矩阵c?中的压电子矩阵按因子κ∈r进行缩放。这里，κ=0表示没有耦合，而κ=1保留了晶体的原始属性。 在iii型和iv型公式中，热力学稳定性要求相应的扩展本构建张量必须是正定的，这意味着所有特征值必须在选定的κ范围内保持非负。对于iii型公式，这适用于扩展刚度矩阵c?(κ)；对于iv型公式，这适用于扩展顺应性矩阵c??1(κ)。图16使用表2中列出的batio3材料参数，显示了c?(κ)的特征值λi（i=>
图15显示了batio3晶体iv型扩展顺应性矩阵的泊松比作为标准偏差σθ的函数的界限。实线代表几何平均值，浅蓝色线表示ν21?的界限，樱桃红色线表示ν31?的界限。（关于图表说明中颜色的参考，请参阅本文的网页版本。）

作为一个独立的基准，我们将各向同性极限（σθ→∞）下的单点估计值与文献中报道的三个估计值进行了比较。首先，benedetti等人[59]通过求解耦合的电磁边界值问题（bem）对3d voronoi batio3多晶体进行了随机全场计算均质化。从多次实现中，他们报告了平均各向同性有效值e?≈158gpa、g?≈59gpa和???s?/?0≈1270。其次，olson和avellaneda[60]为未极化的batio3提供了一种耦合的广义有效介质近似（gema），得到???s?/?0≈1320和g?≈60.1gpa。第三，fr?hlich等人[61]对一个具有1728个立方晶粒的3d模型（基于10–50次实现）在耦合的电磁边界条件下（规定位移和电势）进行了随机rve估计。他们得到的范围为g?∈[58.8,67.9]gpa和???s?/?0∈[1312,1390]。

表5总结了这些值以及本文基于jaffe/berlincourt单晶数据计算的五个单点估计值（表2）。在各向同性极限下，有效的压电耦合消失，因此???s?=?t?。对于弹性模量，hill估计值是最接近报告的平均bem值（e?=158gpa，g?=59gpa）的单点估计值，而gm仍然具有竞争力，并且保持了完全显式的封闭形式评估。对于介电响应，单点估计值之间的差异要大得多。gm估计值（???s?/?0=1121）与gema和随机数值参考值处于同一数量级，但仍低于报告的值（olson–avellaneda：≈1320；benedetti等人：≈1270；fr?hlich等人：1312–1390）。总的来说，这些基准表明了一个属性依赖的趋势：对于弹性模量，hill估计值更接近平均bem值；对于各向同性介电常数，gm比sc更接近报告的bem/rve值，而gema在列出的简化方案中最接近。因此，gm是一个有用的低成本初步估计（在我们的实现中，大约每σθ需要6.8–7.9次计算），而sc（大约每σθ需要37.9–58.2次计算）或全场模拟在需要更严格的定量精度时更为可取。

图15显示了batio3晶体iv型扩展顺应性矩阵的几何平均泊松比的界限作为标准偏差σθ的函数。实线代表几何平均值，浅蓝色线表示ν21?的界限，樱桃红色线表示ν31?的界限。（关于图表说明中颜色的参考，请参阅本文的网页版本。）

为了研究压电耦合系数对有效属性的几何估计的影响，我们将晶体扩展弹性矩阵c?中的压电子矩阵按因子κ∈r进行缩放。这里，κ=0表示没有耦合，而κ=1保留了晶体的原始属性。

在iii型和iv型公式中，热力学稳定性要求相应的扩展本构建张量必须是正定的，这意味着所有特征值必须在选定的κ范围内保持非负。对于iii型公式，这适用于扩展刚度矩阵c?(κ)；对于iv型公式，这适用于扩展顺应性矩阵c??1(κ)。图16使用表2中列出的batio3材料参数，显示了c?(κ)的特征值λi（i=1,…,9）随κ的变化情况。κ的可接受范围定义为所有特征值保持非负的最大区间。对于iii型公式，我们数值上得到：(64)|κ|?1.754122。对于iv型公式，可接受区间稍窄：(65)|κ|?1.727154。对于iii型公式，我们缩放l?iii中的压电块h，而对于iv型工程常数分析，我们缩放l?iv中的相应块d。这两个参数族在κ≠1时不是互逆的；因此它们的正定性限制不必重合。首先，我们分析了耦合因子κ以及材料各向异性对ln欧几里得平均值有界性的影响——具体来说，是否满足排序c??r?c??gm?c??v。为此，我们定义了一个偏差度量max(0,?λmin)，其中λmin是c??v?c??gm和c??gm?c??r差异的最小特征值。这个分析涵盖了从κ=0（无耦合）到κ=1.754122的范围，即iii型公式的稳定性限制。当这个度量为零时，ln欧几里得平均值严格受reuss–voigt平均值的限制；否则，其值量化了与这些界限的偏差程度。>为了说明这一点，图17展示了一个几何平均数有界性的热图，其中水平轴和垂直轴分别对应于纹理参数σθ和耦合因子κ。连续的绿线标识了最小特征值从负变为非负的阈值，从而划定了几何平均数满足Loewner意义上Voigt–Reuss界的半正定区域。水平的虚线表示κ=1的情况，即原始晶体属性。观察到对于κ=1，当σθ?0.523255时，满足半正定区域，这与第3.1.2节中的发现一致。对于κ=0和κ=1.754122的极端情况，数值结果显示半正定区域分别由σθ?0.1596和σθ?1.075界定。此外，几何平均数与Reuss–Voigt界的最大偏差约为0.42，发生在κ≈1.754和σθ≈0.26时。这一分析使我们得出结论：更强的压电耦合需要更高的σθ值（即减少各向异性）以满足Loewner意义上的Reuss–几何平均数不等式。最后，图17清楚地表明，在各向同性极限下，这个不等式始终得到满足。

图18和图19展示了扩展弹性矩阵C?的几何平均数的两个代表性特征值如何随取向分散σθ的变化而变化，对于不同的耦合参数κ值。每个图对应一个不同的特征值，选择它们是为了说明电机械耦合的相对影响。在图18中，特征值(66)λ1=C?11??C?12?仅依赖于弹性系数，在κ=0（无耦合）和κ=1（原始晶体）的情况下，其差异大约为0.37%。相比之下，图19中绘制的特征值(67)λ3=122C?44?+C?77??4(C?48?)2+C?77??2C?44?2依赖于弹性、压电和介电常数，对κ的敏感性显著更大，κ=0和κ=1之间的相对差异约为47.2%。随着κ向其允许的上限|κ|≈1.754122增加，两个特征值都反映了耦合效应的增强，进一步突出了电机械相互作用在确定多晶材料有效响应中的作用。

图20(a)展示了三种情况下杨氏模量E1?的几何平均值：κ=0、κ=1以及极限值κ≈1.727154。图20(b)放大了κ=0和κ=1时的平均值与标准偏差σθ之间的比较。两条曲线之间的最大相对差距约为19%，图中用绿色双箭头标示。在所展示的三种情况下，当对数欧几里得平均值位于Voigt平均值和Reuss平均值之间时（Loewner意义上），带有电机械耦合（κ=1）与不带电机械耦合（κ=0）的估计值之间存在显著差异。

图16显示了BaTiO3晶体的III型扩展弹性矩阵的特征值作为压电耦合因子κ的函数。图17通过热图展示了差异C??V?C??GM和C??GM?C??R在(σθ,κ)参数空间内的正定性。连续的绿线标识了所有特征值变为非负的阈值；因此，该曲线以下的区域表示半正定区域，在这里对数欧几里得平均值满足经典的Voigt–Reuss界限（Loewner意义上）。黄色点标记了原始晶体情况（κ=1）的临界阈值σθ≈0.523。（关于图中颜色参考的解释，请参阅本文的网页版本。）图18显示了不同κ值下特征值λ1作为标准偏差σθ的函数。彩色区域分别由κ=0和κ=1.75412的几何平均值界定。实线对应于κ=1时的几何平均值。（关于图中颜色参考的解释，请参阅本文的网页版本。）图19显示了不同κ值下特征值λ3作为标准偏差σθ的函数。彩色区域分别由κ=0和κ≈1.75412的几何平均值界定。实线对应于κ=1时的几何平均值。（关于图中颜色参考的解释，请参阅本文的网页版本。）图20显示了杨氏模量E1?作为标准偏差σθ的函数。彩色区域分别由κ=0和κ=1时的几何平均值界定。虚线对应于κ≈1.727154时的几何平均值。（关于图中颜色参考的解释，请参阅本文的网页版本。）

3.2. 离散取向分布
第3.1节中呈现的结果依赖于具有解析取向分布函数（ODF）的纤维纹理。然而，在实践中，ODF通常无法以封闭形式获得。诸如电子背散射衍射（EBSD）之类的实验技术提供了一组有限的晶体学取向{g1,…,gN}（晶粒）及其可能的权重。在本节中，我们展示了所提出的一点估计方法——包括对数欧几里得（几何）平均值——可以直接应用于这样的离散ODF，并且基于GSHM的公式与这种设置完全兼容。

3.2.1. 问题设置
为了说明离散设置，我们考虑从纤维型von Mises–Fisher ODF（68）wvMF(g;k)=k8π2sinhkexp(kcosθ)，k≥0中抽取的一组有限取向，其中g=(ψ,θ,?)是欧拉角，k是浓度参数（较大的k表示纤维轴周围的浓度更强）。方程（68）根据（17）进行了归一化。更一般地，给定取向集{gi}i=1N和权重集{wi}i=1N（wi≥0且∑i=1Nwi=1），我们通过（69）wN(g)=∑i=1NwiδdV(g?gi)定义离散ODF（更准确地说，是在SO(3)上的离散概率测度），其中δdV表示相对于测度dV的狄拉克分布，即∫SO(3)φ(g)δdV(g?gi)dV=φ(gi)对于所有测试函数φ都成立。在（69）下，一点估计变成了精确的加权和（不涉及求积近似）：(70)〈C?〉V=∑i=1NwiC?(gi)，(71)〈C?〉R=∑i=1NwiC?(gi)?1?1，(72)〈C?〉GM=exp∑i=1NwilogC?(gi)。均匀采样对应于wi=1/N的特殊情况。Hill估计来自（23），自洽（SC）方案在每次迭代中使用相同的离散集{gi,wi}。

3.2.2. 与GSHM公式的兼容性
一个自然的问题是，当ODF是离散的而不是解析的时，GSHM是否仍然适用。答案是肯定的。实际上，将（69）代入纹理系数的定义（B.11）可以得到精确的离散系数（73）Wlmn(N)=14π2∑i=1NwiZlmn(cosθi)eimψiein?i，这些系数仅仅是相同GSHM基础下的离散测度wN的系数。将（73）代入一般的GSHM平均公式（方程（B.12），或等价地代入第2.2节中使用的符号（方程（18）），得到的加权和与直接离散平均完全相同。因此，直接路径（70）–（72）和GSHM路径对于离散ODF在数学上是等价的。这一点对于计算成本的解释很重要。GSHM公式本身不是一个额外的近似。一旦系数Wlmn已知（无论是解析的还是数值的），相应的点估计就可以从相同的精确平均身份获得。特别是对于以解析形式提供的ODF（例如本文考虑的高斯和von Mises类型的示例），系数可以解析获得，不需要进行取向离散化。

如附录B中所确定的，由有限阶变换律引起的张量量平均只涉及有限多个谐波度。在当前上下文中，这意味着相关的GSHM求和精确地简化为有限和（参见附录B中引用的Ferrari–Johnson有限度结果），因此GSHM表示本身不会引入任何截断误差。对于这里考虑的量，任何观察到的数值差异都可以归因于数值评估（有限精度、数值系数评估、使用的求积以及矩阵函数评估），而不是直接离散和GSHM公式之间的概念不匹配。我们使用Mathematica（高精度）对任意加权样本和vMF样本进行了数值验证，在测试的案例中得到了与数值舍入一致的结果。

3.2.3. 离散vMF样本向连续vMF ODF的收敛
接下来我们评估在（69）下的离散一点估计随着采样取向数量的增加如何收敛到相应的连续vMF结果。这解决了ODF由一组有限取向表示（例如，EBSD数据），而连续ODF仅作为参考模型的实际情况。作为参考，我们使用附录E中报告的连续vMF ODF和解析纹理系数Wlmn，因此每个参考估计都是通过GSHM公式计算的。对于给定的浓度参数k，我们从vMF纤维ODF（68）生成N个取向，并计算直接离散估计（70）–（72）。通过这种方式，比较测量了用有限离散实现替换连续ODF所引起的采样误差，而不是平均形式之间的任何差异。为了量化误差，我们使用相对Frobenius范数（74）??M(N,k)=‖〈C?〉discM(N,k)?〈C?〉contM(k)‖F‖〈C?〉contM(k)‖F，其中“disc”表示在（69）下的直接离散平均，“cont”表示从解析系数获得的连续vMF参考。各向同性情况包含在数值实验中，当k=0时。尽管非零纤维系数的解析vMF表达式在k=0时包含可移除的不确定形式，但它们的极限是明确定义的，并在实现中使用。因此，在各向同性极限k→0时，所有非常数系数消失（特别是Wl00→0对于l≥1），而W000通过归一化保持不变。图21显示了相对误差（74）作为采样取向数量N的函数，对于几个浓度参数k，对于Voigt估计（M=V，左图）和几何平均估计（M=GM，右图）。对于每一对（N,k），报告的值是从vMF纤维ODF（68）中抽取的10个独立随机实现的平均值。因此，观察到的趋势反映了采样误差，而不是单个实现的行为。

结果显示了预期的蒙特卡洛采样误差趋势：随着N的增加，两个一点估计都收敛到连续vMF参考值，误差大约按N?1/2的比例减少（虚线指导线）。在考虑的范围内，误差从小样本的10?2水平减少到最大样本的几个×10?3。几何平均估计的误差与Voigt估计的误差同等级别，在某些情况下误差值略大。

3.3. 几何平均值的实现路径和计算成本
第3.2节讨论了离散ODF的公式和采样方面：在经验测度（69）下的精确离散平均，与固定离散样本的GSHM表示的兼容性，以及离散vMF实现向相应连续vMF参考的收敛。我们现在讨论另一个问题：评估几何平均值估计的不同实现路径的计算成本。对于相同的目标量（与给定ODF相关联的GM），运行时间可能会因ODF的表示方式和GM的评估方式而显著不同：(i) 在GSHM设置中处理的连续ODF，使用纹理系数；(ii) 通过精确的离散公式（72）评估的离散经验测度（例如EBSD取向或蒙特卡罗样本）；(iii) 在SO(3)上通过直接数值求积计算GM的连续ODF。一般来说，GSHM路径（i）需要计算纹理系数Wlmn，这可能涉及在SO(3)上的数值积分。然而，在当前的vMF设置中，相关系数在附录E中以封闭形式提供，因此系数评估是次要的；主要成本是随后的GM评估。

3.3.1. 成本比较I：连续vMF GM（使用解析系数的GSHM）与离散蒙特卡罗GM
我们比较了两种实现路径，它们针对相同vMF纤维纹理家族（68）相关的GM，但在计算中以不同方式表示ODF。(a) 连续vMF + GSHM（解析系数）。ODF保持连续性，GM通过使用附录E中给出的解析vMF纹理系数Wlmn(k)的封闭形式GSHM算子进行评估。此方法不涉及定向采样，且其运行时间与N无关。(b) 离散蒙特卡洛vMF + 精确离散GM。从相同的连续vMF ODF中采样一个离散方向集{gi}i=1N，并通过精确离散公式(72)评估GM。在此方法中，成本随着N的增长而增加，因为必须对所有采样方向计算并累积log(C?(gi))。对于每对(N,k)，我们生成50个独立的vMF样本实现，并记录GM评估时间。由于离散GM是通过N个方向的求和计算得出的，因此预期它与N呈近似线性缩放，而连续-GSHM方法则提供了一个恒定的参考水平。图22总结了结果。左图显示了对于每个N，我们汇总了所有测试浓度k的所有实现（每个k 50次）的离散路径运行时间：垂直条形表示k范围内的观测值（在对实现进行平均后），实线连接相应的平均值。虚线是与预期的N线性缩放一致的参考N1指南。连续vMF GSHM的运行时间显示为一个恒定的参考水平。右图显示了N=104时每个k的箱线统计（50次实现），表明与主导的N缩放相比，其对k的依赖性较小。下载：下载高分辨率图像（223KB）下载：下载全尺寸图像图22. 情况I：与同一vMF纹理族相关的两种实现途径的GM评估成本。左图：离散蒙特卡洛路径（精确离散GM (72)）作为N的函数；对于每个N，运行时间是在所有测试的k值和所有实现上汇总的（实线：平均值；条形：k范围内的值，在对实现进行平均后）。虚线是参考N1指南。连续vMF GSHM的运行时间显示为一个恒定的参考水平。右图显示了N=104时每个k的箱线统计（50次实现）。3.3.2. 成本比较II：通过解析GSHM与直接数值积分计算的连续vMF GM我们最终比较了两种针对相同连续vMF几何平均值的途径，两者仅在建议SO(3)平均值的评估方式上有所不同。在第一种途径中，GM通过使用附录E中给出的解析vMF纹理系数Wlmn(k)的封闭形式GSHM算子D进行评估。在第二种途径中，GM通过对定义积分的直接数值积分来计算，即在(ψ,θ,?)的张量积网格上计算〈logC?〉V，然后应用exp(?)。这两种途径产生相同的目标量；因此任何差异都纯粹是数值上的（积分误差和浮点效应）。对于基于网格的积分途径，我们使用几种分辨率（nθ,nψ,n?）的张量积规则，从粗网格（24,16,16）到细网格（48,32,32）。表6报告了相应的运行时间和积分与解析GSHM评估之间的相对Frobenius差异。正如预期的那样，积分成本随着网格细化而急剧增加，而解析GSHM途径基本上保持不变（与积分网格无关）。在所有测试的网格和k值范围内，相对差异保持在10?14–10?13范围内，即在这些设置下的浮点/积分精度范围内。表6. 情况II：不同积分网格的连续vMF GM成本比较。“GSHM”表示解析GSHM途径（封闭形式Wlmn(k)和封闭形式纹理平均）；“cubature”表示在张量积网格上对〈logC?〉V进行直接数值积分，然后应用exp(?)。每个条目对应一次单独的运行（仅计时）。k(nθ,nψ,n?)tGSHM (s)tcub (s)tcub/tGSHM‖C?cubGM?C?GSHMGM‖F/‖C?GSHMGM‖F0(24,16,16)1.640×10?34.4942.741×1033.93×10?140(32,24,24)1.603×10?314.0518.763×1032.20×10?130(48,32,32)1.705×10?335.3402.073×1044.86×10?130.5(24,16,16)1.569×10?34.3612.780×1039.54×10?140.5(32,24,24)1.587×10?312.8728.113×1032.31×10?130.5(48,32,32)1.607×10?334.4152.142×1044.45×10?132(24,16,16)1.672×10?34.2802.560×1035.00×10?142(32,24,24)1.581×10?313.0568.259×1038.36×10?142(48,32,32)1.578×10?334.3962.180×1042.71×10?135(24,16,16)1.600×10?34.2692.668×1031.84×10?135(32,24,24)1.665×10?312.9467.774×1031.31×10?135(48,32,32)1.567×10?334.5812.207×1041.86×10?133.3.3. 解释和范围结合起来，情况I和情况II阐明了GSHM途径在计算对数欧几里得（几何）平均值时的实际作用。当ODF以解析形式提供且所需的纹理系数以封闭形式已知时（如这里考虑的高斯和vMF族），可以通过封闭形式的GSHM算子以基本恒定的成本评估GM，而不依赖于任何定向采样大小。相比之下，当ODF通过采样方向来表示时（例如EBSD数据或蒙特卡洛实现），精确的离散身份(72)提供了一个自然的基线实现，计算成本大致与定向数量N成线性增长。情况II表明，对于相同的连续ODF，通过直接SO(3)积分评估几何平均值比半解析GSHM途径要昂贵得多，尽管产生的结果在积分的数值精度范围内是一致的。在当前的设置中，只要封闭形式的纹理系数可用，半解析GSHM途径是更优的选择，因为它避免了定向采样和SO(3)积分，并且可以通过简单地更新系数来高效地进行参数扫描（例如改变k或σθ）。当纹理信息仅以经验定向集的形式提供时（例如EBSD），适当的评估是精确的离散身份(72)。在这种情况下，使用GSHM是基于离散系数Wlmn(N)的重新参数化，并且产生与直接离散评估完全相同的结果（对于相同的gi,wii=1N集）。4. 总结和展望在这项工作中，我们提出并分析了一种半解析的对数欧几里得（几何平均值）单点估计方法，用于计算具有纹理的压电多晶体的有效耦合机电响应。该构建结合了(i)直接用纹理系数（广义球谐函数）表示的正交四方4mm晶体的Voigt定向平均值的新封闭形式表达式，以及(ii)应用于完整的Kelvin–Mandel扩展本构矩阵的log(?)–exp(?)函数映射。在这种情况下，一旦指定了纹理系数，估计就变得不昂贵，因此便于进行纹理强度和耦合强度的参数扫描。如果ODF被规定为一组离散方向，则相同的构建简化为标准的加权方向和。半解析流程中唯一的非解析部分是对扩展本构矩阵的对数和指数的数值评估。当前结果澄清了一个核心点，即这种单点估计在有效介质理论的常规层次结构中的位置。在这里考虑的能量设置中（类型III，具有对称正定的扩展本构算子），Voigt和张Reuss张量是Loewner意义上的经典一阶能量界限：它们包含了所有允许的宏观广义状态的有效二次形式。在这个术语中，它们是严格的界限。因此，任何违反Voigt–Reuss界限的情况都必须被解释为某些宏观广义状态的能量可接受性的损失，即使预测的算子仍然是对称正定的。在这个范围内，主要的数学信息是光谱保证与能量保证之间的区别。对数欧几里得构建在对数意义上提供了一个严格的排序，因此有效地将有效谱封闭在Reuss和Voigt谱之间。这些保证是光谱上的：通常它们并不意味着Reuss、对数欧几里得和Voigt算子之间的严格能量排序。为了使这种限制在实践中明确且可用，我们建议将一个简单的可接受性诊断与一个明确的解释规则配对。首先，监控Loewner差异相对于Reuss和Voigt的最小特征值；它们的符号直接指示是否满足了严格的一阶能量封闭。其次，当能量可接受性丧失时，将几何平均值输出解释为低成本的预测器——对称正定且光谱封闭的——而不是严格的变分界限。对于这里分析的BaTiO3纤维纹理族，该程序确定了一个纹理强度范围，在该范围内恢复了严格的能量排序，从而划定了耦合对数欧几里得估计的实际Loewner有效性窗口。每当Loewner测试失败时，我们通过Frobenius差距来量化能量可接受性的损失，这些差距与Blow和Bupp的相似性封闭相比，这些矩阵与Reuss/Voigt界限正交相似，因此共享它们的谱。从表示输入和计算成本的角度来看，该方法的在线数值工作主要由9 × 9对称正定算子的对数和指数组成，与全场均匀化相比可以忽略不计，并且与直接数值积分（第3.3节）相比具有竞争力。离线部分是纹理描述。对于这里分析的两种ODF族（高斯纤维和von Mises–Fisher纤维），所需的纹理系数Wlmn以封闭形式E提供，因此不需要对SO(3)进行数值积分来参数化纹理，参数扫描简化为低成本的系数更新。此外，在GSHM设置中，得到的定向平均值相对于提供的纹理信息是精确的：根据Ferrari–Johnson定理，只有有限数量的ODF谐波度可以进入有限秩本构张量的Voigt平均值，因此更高阶的纹理内容对于目前的单点估计来说是不重要的。因此，耦合的GM估计为这里研究的BaTiO3纤维纹理族提供了准确的单点预测，同时其运行时间在半解析GSHM途径中基本保持不变，并且远低于直接的SO(3)积分和全场均匀化（第3.3节）。在建模后果方面，我们的结果表明，操作完整的扩展本构算子与分别处理其弹性、压电和介电块不是一个无关紧要的选择。对于Voigt和张Reuss，平均是线性的，封闭形式的定向平均值保留了块结构，因此平均映射本身不会引入跨块的混合。相比之下，对数欧几里得构建将非线性的log–exp函数计算应用于整个算子，这通常是不可分离的块。因此，得到的估计将整个机电系数集的影响传播到每个有效组件中，在代数意义上产生了有效的耦合宏观算子（由矩阵映射引起，而不是通过额外的微观力学假设）。在BaTiO3纤维纹理族中，这种差异很重要：耦合和块状构建可能会产生明显不同的结果，因此块状处理可能会错过部分这种效果。总体而言，耦合的对数欧几里得单点估计提供了一个实用的折中方案：它保留了单点方案的效率和半解析特性，紧密跟踪了测试的BaTiO3族的自我一致性基准，并提供了一个简单的、可检查的标准，用于判断何时恢复了严格的能量（Loewner）可接受性。这种组合使其非常适合于受纹理驱动的参数扫描和以设计为导向的研究，其中重复的全场均匀化将是禁止性的。相比之下，黎曼几何平均值经常被引用为满足三个理想的公理——均匀性、反演不变性和谐波平均值与算术平均值之间的界限——然而它受到实际限制的困扰，包括缺乏封闭形式的表达式、迭代评估的成本以及缺乏连续方向分布的直接公式。在这方面，对数欧几里得平均值提供了一个实用的替代方案：它在当前的耦合半解析设置中是廉价且可分析访问的，并产生对称正定、光谱封闭的预测器，同时可以通过提出的诊断明确监控能量可接受性。将这两种范式结合起来——结合黎曼公理（包括平均值的界限）与对数欧几里得方法的可行性和速度——是未来工作的一个自然方向。cRediT作者贡献声明Julieta L. Buroni：撰写 – 审稿和编辑，撰写 – 原始草稿，可视化，验证，软件，方法论，研究，形式分析，数据管理。Federico C. Buroni：撰写 – 审稿和编辑，监督，项目管理，资金获取，概念化。在准备这项工作期间，作者使用生成式AI来增强最终语言修订期间的语法。使用此工具/服务后，作者根据需要审查和编辑内容，并对出版物的内容承担全部责任。资金这项出版物是R+D+i项目PID2022-137903OB-I00的一部分，由MICIU/AEI/10.13039/501100011033/和ERDF/EU资助。