利用有限块方法对压电材料中V形切口问题进行数值分析

《Applied Mathematical Modelling》：Numerical analysis for V-notch problems in piezoelectric material using the finite block method

　　C.Y. Fu | Y. Yang | P.H. Wen | J. Sladek | V. Sladek
中国南昌大学航空航天研究所

**摘要**
本研究利用基于拉格朗日多项式插值的有限块方法（FBM）来研究带有V型缺口的压电材料的结构，以获得位移和电场分布。基于V型缺口顶点附近的物理场可以用级数渐近展开表示的假设，将压电V型缺口的奇异性指数计算问题转化为在给定边界条件下求解常微分方程组的特征值问题。FBM计算得到的位移和电场结果的精度高于应力及电位移的结果。通过获取带有V型缺口的压电材料的位移和电场值，将这些物理量代入级数渐近展开式中，可以得出V型缺口顶点附近的完整奇异物理场。结合级数渐近展开与FBM方法，可以在较少的计算资源下获得高精度结果。通过将计算结果与使用精细网格的有限元方法的结果进行比较，证明了本文所用方法的准确性和收敛性。

**引言**
压电材料表现出机械与电的耦合响应[1]，使其在传感器、执行器和智能结构中得到广泛应用[[2], [3], [4]]。然而，它们的脆性使其对V型缺口等缺陷非常敏感[5]，在这些缺陷附近会产生强烈的电弹性奇异场，可能导致结构失效或介质击穿[6]。因此，准确评估这些奇异场对于可靠性分析至关重要。
当V型缺口的开角为0°时，形成了裂纹。裂纹处的应力和电位移奇异性最强，已有大量关于压电材料裂纹奇异性的研究[[7], [8], [9], [10], [11], [12], [13]]。作为更复杂的情况，V型缺口的奇异性指数取决于开口角度的大小；如果考虑多材料V型缺口，其奇异性指数还与不同材料的参数有关。因此，关于V型缺口奇异性的研究将更加复杂。Huang等人[14]利用三维压电弹性理论研究了线性极化压电楔形体顶点的电弹性奇异性，通过结合特征函数展开法和利用位移分量及电场的幂级数解技术，得到了楔形体顶点的渐近解。Cheng等人[15]假设压电材料V型缺口顶点附近的物理场可以用级数渐近展开表示，将计算V型缺口奇异性指数的问题转化为在给定边界条件下求解常微分方程组特征值的问题，并使用插值矩阵方法解决了该问题。Hrstka等人[16]利用扩展的Lekhnitskii-Eshelby-Stroh形式研究了压电双层材料中尖锐V型缺口的平面问题。
数值方法，特别是有限元方法（FEM），已被广泛用于解决压电材料问题。Allik等人[17]首次提出了包含压电效应的有限元公式，并解决了三维压电材料的动态问题。Flueckiger等人[18]将敏感性分析与基于有限元的优化算法相结合，对压电材料电机进行了设计和优化。Shin利用FEM计算了1至3种复合材料的静水压电系数[19]。Sladek等人[20]开发了一种用于具有功能梯度材料特性的三维压电半导体材料的一般边界值问题的有限元分析方法。Chen等人[21]利用FEM解决了压电单材料V型缺口问题，并使用奇异元素模拟了V型缺口的顶点。
边界元方法（BEM）也成为解决压电材料问题的重要方法，因为该方法只需离散计算域的边界。K?gl等人[22]在三维瞬态压电问题中开发了边界元公式，提高了电场和弹性场的精度。Qin[23]讨论了将BEM与均质化方法结合用于压电复合材料，以确定其有效材料特性的应用。Wippler等人[24]利用BEM研究了三维各向异性压电材料的裂纹问题。Garcia-Sanchez等人[25]成功将BEM应用于压电材料的瞬态动态裂纹分析。
与FEM和BEM等基于网格的方法相比，无网格方法仅需在分析域内分布节点，适用于几何形状不规则的压电问题模拟。由于网格划分的复杂性和对精确模拟的要求，传统网格方法难以满足高精度压电结构的模拟需求，许多学者开始研究使用无网格方法分析压电材料。Ohs等人[26]采用无网格点配置方法（PCM）求解耦合的电场和力学偏微分方程，并模拟压电设备的响应。Liu等人[27]基于一阶剪切变形理论（FSDT）和径向基函数的点插值方法构建了力学和电场变量的变形函数，对压电层压梁和板的静态分析以及复合层压板的形状和振动控制问题进行了研究。Gao等人[28]开发了多种算法，包括元素微分方法和自由元素方法[29]，用于研究均匀和功能梯度压电材料的静态和动态问题。Sladek等人[30]应用无网格局部Petrov Galerkin（MLPG）方法评估了连续非均匀压电固体中的断裂参数。
有限块方法（FBM）是由Wen等人提出的无网格方法[[31], [32]]。该方法的基本特点是将被分析区域划分为包含一系列节点的多个块，并使用映射技术将每个块转换为标准化域。将控制方程应用于每个节点，并应用连续性条件连接各块，从而可以从节点信息轻松导出任意阶的偏微分算子，建立线性方程组。该方法具有计算效率高和精度高的优点，已应用于许多工程问题[[33], [34], [35], [36], [37]]。与FEM和BEM相比，FBM不需要网格划分，只需将计算域划分为多个块，指定块内的节点数量及节点分布方式即可。此外，块间接口处的位移和应力是连续的，确保了计算的准确性；高阶微分矩阵也可以通过一阶微分矩阵简单确定。Chebyshev配置点的分布显著提高了FBM的收敛性，有效避免了拉格朗日插值引起的“龙格现象”。Yan等人[38]首次将FBM用于求解均匀和功能梯度压电材料的静态和动态问题，证明了FBM在解决压电问题方面的高精度和计算效率。然而，关于带V型缺口等缺陷的压电问题的FBM研究仍有限，预计对缺口尖端奇异性的数学研究将在提高计算精度方面发挥关键作用。因此，我们受到启发，使用FBM对多材料压电结构的静态行为进行理论研究。
在本文中，针对二维静态状态下的多材料压电V型缺口，提出了一种结合V型缺口奇异特性分析和FBM的计算方法，用于计算V型缺口顶点附近的奇异物理场。首先，基于奇异渐近展开技术，对V型缺口顶点的位移和电场进行渐近展开；通过特征值分析，计算V型缺口的奇异性指数和特征角函数。鉴于FBM计算的位移和电场结果比应力和电位移的结果精确一个阶，因此使用FBM计算V型缺口顶点的位移和电场；然后将位移和电场结果代入渐近展开式中得到振幅系数。根据振幅系数的计算结果、奇异性指数、特征角函数及其导数，重构缺口顶点附近的奇异应力场和电位移场，最终计算出缺口的应力强度因子和电位移强度因子。与现有方法相比，本文提出的方法具有精度高、计算成本低以及易于解决多材料V型缺口问题的优点。

**本文结构**
第2节阐述特征方程的推导过程。第3节介绍二维FBM的拉格朗日方案及压电问题的离散方案。第4节解释振幅系数的计算方法。第5节通过四个例子说明该方法在求解压电V型缺口奇异物理场方面的准确性，并提供应力强度因子和电位移强度因子。最后一节进行总结和结论。

**压电材料中V型缺口的奇异性分析**
本研究考虑的是在静态载荷作用下具有直表面的均匀多材料V型缺口情况。以图1所示的多材料V型缺口问题为例，建立了直角坐标系Oxy和极坐标系Orθ。回忆压电材料的本构关系[39]：
$$
\sigma_{ij} = c_{ijkl}\varepsilon_{kl}-\varepsilon_{ekij}, \quad E_{k} = e^{ikl}\varepsilon_{kl}-\k_{ik}E_{k}
$$
其中$\sigma_{ij}$为应力张量，$E_{k}$为电场强度。

**带有拉格朗日插值的有限块方法**
FBM可以应用于强形式或弱形式[47]。微分矩阵可以根据不同的插值方法构建，包括基函数插值、局部多项式插值、径向基函数插值等。本节介绍基于拉格朗日多项式插值的强形式FBM。

**渐近展开中振幅系数的计算**
通过在位移边界条件（11）和界面兼容性条件方程（13）下求解常微分方程（10）的特征值问题，可以得到奇异性指数$\lambda_k$和特征角函数$u^{ik}(i = r, \theta)$和$\phi^{ik}$。因此，在获得振幅系数$A_k$后，可以根据方程（5）和（6）构建压电多材料V型缺口顶点附近的完整奇异场。如图6所示……

**数值示例**
本节通过四个数值示例展示了FBM结合V型缺口奇异特性分析在压电V型缺口问题中的准确性。第一个示例是带有边缘缺口的压电单材料板问题；第二个示例是由两种极化方向相反的压电材料组成的板，其中包含两个V型缺口；第三个示例是……

**结论**
本研究提出了一种新颖的混合计算方法，将渐近展开技术与FBM相结合，能够精确高效地分析多材料压电V型缺口顶点附近的奇异电机械场。该方法利用FBM在计算位移和电场方面的高精度，用于确定位移和电场振幅系数的渐近展开序列。

**作者贡献声明**
C.Y. Fu：撰写——原始稿件、软件开发、数据整理。
Y. Yang：实验研究。
P.H. Wen：指导、方法论设计。
J. Sladek：撰写——审阅与编辑。
V. Sladek：撰写——审阅与编辑。