一种基于集成模型的、解耦的、基于可靠性的设计优化方法，适用于区间不确定性环境

《Applied Mathematical Modelling》：An ensemble model-based decoupled reliability-based design optimization method under interval uncertainty

　　

刘福超|赵浩东|张庆华|周长聪

中国西北工业大学机械与 Transportation 工程学院，清洁高效涡轮机械动力设备国家重点实验室，西安，710072

摘要

本研究提出了一种基于可靠性的设计优化方法，用于处理区间不确定性问题。为减轻传统两级嵌套方法带来的巨大计算负担，我们将概率设计优化中常用的集成模型驱动的解耦优化策略扩展到了区间不确定性框架中。通过引入非概率可靠性指标，这种解耦策略有效避免了在内循环中进行多次复杂的可靠性约束计算的需求，从而显著提高了计算效率。在缺乏替代模型选择先验信息的场景下，我们引入了一种自适应学习集成模型以进一步提高计算效率。提供了两个测试实例，证明了所提出方法在准确性和效率方面的有效性。最终，该解耦优化设计方法被应用于复合雷达罩结构的减重问题。

引言

不确定性几乎普遍存在于所有工程系统中，影响材料属性、结构尺寸和载荷激励。这些因素可能导致结构性能出现显著变化，并可能在极端运行条件下引发故障。因此，近年来在设计优化领域，明确考虑不确定性的方法受到了广泛关注。

基于不确定性的设计优化（UBDO）方法主要分为两大类：基于可靠性的设计优化（RBDO）和鲁棒设计优化（RDO）。RBDO旨在找到故障概率不超过预定可接受阈值的设计方案，而 RDO 则旨在识别对不确定因素变化不敏感的设计。迄今为止，RBDO 已被广泛开发并成功应用于各种工程问题 [1,2]。

根据其来源和性质，不确定性通常被分为随机不确定性和知识不确定性[3]。随机不确定性通常用概率模型表示，而知识不确定性由于缺乏信息，往往采用非概率方法建模，例如模糊集或区间（凸集）模型。Ben-Haim 提出的区间模型仅依赖于变量界限，因此在信息稀缺时具有量化和分析不确定性的独特优势 [4]。

基于概率模型的基于可靠性的设计优化（P-RBDO）是处理不确定性问题的主流框架。解决 P-RBDO 的方法主要有三类：（1）两级方法，（2）单级方法，以及（3）解耦方法。两级方法最为直观：它们在内循环中执行可靠性分析，在外循环中优化目标（例如重量或成本），同时受到可靠性约束的约束。代表性技术包括可靠性指数方法（RIA）[5]和性能度量方法（PMA）[6]。单级方法通过强制等效最优条件（如 Karush-Kuhn-Tucker 条件）来规避内循环的可靠性分析，从而提高计算效率[7,8]。解耦方法将可靠性评估与设计优化分开，并近似处理可靠性优化问题中的概率约束。Du 和 Chen 提出的序列优化与可靠性评估（SORA）是采用最广泛的解耦方法之一[9]。SORA 的一个显著缺点是它通过为每个约束引入标准正态变量作为额外的设计变量，从而增加了设计变量的数量[10]。最直接的解耦方法是从失败概率与设计变量之间建立起显式关系，从而将 P-RBDO 问题转化为可以使用标准算法解决的确定性优化问题。与两级方法相比，解耦方法避免了嵌套评估带来的巨大计算负担，并且比单级方法具有更广泛的适用性。

然而，据我们所知，将 RBDO 应用于非概率模型（以下简称 NP-RBDO），特别是区间模型，仍然相对不够成熟。因此，本文重点关注将解耦 RBDO 框架适应到区间模型，并提出相应的高效算法。这一工作受到两个关键因素的指导。首先，类似于 P-RBDO 中使用的可靠性指数函数，我们引入了一个非概率可靠性指数函数来替代计算难度大的可靠性约束。其次，为了限制计算成本，我们使用集成替代模型代替原始性能函数。

在优化过程中，评估可靠性会带来巨大的计算成本。当性能函数是隐式的（如复杂的有限元模型）时，替代模型提供了一个实用且高效的选择。实际上，替代模型已经与 RBDO 紧密集成。当前的研究包括不断更新替代模型的两级方案，以及在 SORA 方法中使用自适应学习替代模型[11,12]。

常见的替代模型类型包括克里金（高斯过程回归）、支持向量机（SVM）和径向基函数网络（RBFN）。克里金模型取得了显著进展，因为它能够为候选点提供估计的预测方差[13]。SVM 在回归和分类方面表现优异，并有助于缓解不确定性分析中的“维数灾难”。此外，基于 SVM 的响应评估仅使用支持向量，而不是整个样本集，大部分计算由核函数处理，这使得基于采样的方法具有很高的效率[14]。RBFN 因其计算效率和拟合准确性而得到广泛应用[15,16]。上述讨论表明，现有的替代模型针对不同任务具有特定的优势。然而，一个在某一类性能函数上表现良好的替代模型可能在另一类任务上表现不佳[17]。正如 Haftka 教授所指出的，“没有一种替代模型适用于所有问题”[18]。因此，事先选择最合适的替代模型是可取的，但通常在没有充分先验信息的情况下是不可行的。为了解决这一限制，开发了集成模型理论来扩大替代建模的适用范围。通过聚合多个替代模型的预测能力，集成模型通常比任何单个替代模型都能实现更高的预测准确性。在本工作中，我们将集成模型概念引入 NP-RBDO，并将提出的自适应学习策略纳入集成框架中。

1. •
   首次系统地将广泛用于概率 RBDO 的解耦优化策略扩展到基于区间的 NP-RBDO，从而大幅减少了嵌套函数评估的次数。
2. •
   构建了一个集成替代模型（结合了克里金、SVM 和 RBF），将设计变量映射到非概率可靠性指数函数（NP-RIF）。专门为 NP-RIF 近似开发了一种全局自适应学习函数，该函数平衡了基于刀切法的方差估计和基于距离的探索项。
3. •
   在基准问题上验证了所提出的方法，并将其应用于复合蜂窝雷达罩的减重，证明了其实际有效性和计算效率。

与现有工作相比，我们的方法与 Guo 和 Lu [19] 的 NP-RBDO 公式不同，后者不采用解耦和替代建模；也与 Zhang 等人[20] 的基于集成的解耦概率 RBDO 不同，后者使用针对故障概率定制的局部学习函数。当前方法是第一个在区间 NP-RBDO 框架中整合了解耦、集成替代和全局自适应采样的方法。虽然最近在物理嵌入替代建模方面的进展引入了物理约束以提高稀疏数据下的泛化能力[21,22]，但我们的纯数据驱动集成方法在底层物理不易简化时提供了更大的灵活性和更低的实现复杂性。所提出的方法适用于知识不确定性下的结构优化，特别是在只有变量界限的早期设计阶段，例如航空航天结构（包括悬臂梁和复合雷达罩）。

本文的其余部分组织如下。首先，我们回顾了 P-RBDO 和 NP-RBDO 的基本理论。接下来，我们介绍了一个集成模型的自适应全局学习函数，并展示了解耦优化策略。为了证明所提出的方法，我们考察了两个示例，并将其应用于蜂窝夹层雷达罩结构的减重问题。最后，我们给出了结论。

章节片段

知识不确定性下的 RBDO

在本节中，我们回顾了经典的 P-RBDO 模型并介绍了 NP-RBDO。

基于自适应集成模型的 NP-RIF 估计

在本节中，我们回顾了集成模型的基础知识，并介绍了一种结合刀切法和基于距离的度量的全局自适应采样策略。

验证示例

为了证明所提出的解耦 NP-RBDO 方法的准确性和有效性，本节考察了两个示例。对于每个示例，都提出了一个不考虑不确定性的确定性优化（DO）方法。同时应用了传统的两级方法进行比较。

应用于蜂窝夹层雷达罩结构的减重

雷达罩在恶劣环境中保护飞机雷达天线系统，防止雷电、冰雹、风压等危险导致雷达故障，从而避免严重的飞行事故[29]。作为重要的飞机部件，雷达罩的轻量化对于可持续发展至关重要。在本节中，我们应用所提出的 NP-RBDO 方法在不确定性下获得雷达罩的优化减重结果。

这里研究的蜂窝夹层雷达罩包括

结论

本文提出了一种基于集成的、非概率的区间解耦优化策略，用于处理知识不确定性下的基于可靠性的设计。主要发现如下：

• •
  通过引入区间模型的非概率可靠性指数，将原有的两级基于可靠性的优化转换为单层确定性问题。这种转换消除了传统方法所需的重复评估可靠性约束的需要

利益声明

我们声明与提交的工作无关的任何商业或关联利益冲突。

CRediT 作者贡献声明

刘福超：撰写 – 原稿，方法论。赵浩东：撰写 – 原稿。张庆华：验证。周长聪：撰写 – 审稿与编辑，资金筹集。