在通信约束条件下，基于傅里叶级数观测器的抗饱和容错控制与干扰抑制方法

《Applied Mathematics and Computation》：Anti-saturation fault-tolerant control and disturbance rejection based on Fourier series observers under communication constraints

　　常远吉|顾晨鹏|陈向勇|朱婷婷|邱建龙|曹金德
临沂大学自动化与电气工程学院，中国临沂276005

**摘要**
本文针对具有执行器饱和和通信约束的线性系统，研究了容错控制与干扰抑制问题。提出了一种基于傅里叶级数的方法，以处理跳跃点处周期性间歇性故障的非可微性问题。使用窗口函数来减少吉布斯现象，并提供了选择展开阶数的标准。通过设计动态事件触发复合观测器，可以同时估算系统状态、故障和干扰，同时减轻通信负担。通过结合L2增益的动态抗饱和补偿器来处理执行器饱和的影响，并基于估算信息开发了容错控制器。最后，通过数值模拟和一个实际例子验证了所提出方案的有效性。

**引言**
随着现代工业系统复杂性的增加，系统故障显著限制了运行可靠性。在此背景下，故障诊断[1],[2],[3]和容错控制[4],[5],[6]技术得到了广泛发展。为了应对各种实际故障，活性容错控制[7],[8]已成为主要研究方向，通过故障模块和动态补偿的协同作用，实现了保守性的降低和鲁棒性的提升。其中，基于观测器的[9],[10]故障方法通过构建状态估计器来提取和跟踪故障信号，是活性容错控制的重要实现工具。例如，参考文献[11]利用双限齐次理论提出了一种故障估计观测器，实现了对受加性和乘性故障影响的互联系统的固定时间容错控制。然而，这些方法的有效性通常依赖于故障满足某些匹配条件或平滑性假设。为了放宽故障的匹配条件，参考文献[12]利用多项式故障模型研究了具有通用转移概率的随机马尔可夫跳跃系统的同步有限时间容错控制和干扰抑制。然而，多项式故障模型仍然要求故障具有一定的平滑性，这限制了它们对包含跳跃不连续性的故障的适用性。
与常规故障不同，间歇性故障[13],[14]作为一种特殊类型的故障，表现出跳跃不连续性，这使得可微性假设失效。这可能会降低传统容错控制方案的性能，甚至导致其失效。值得注意的是，当间歇性故障具有周期性特征时，它们被称为周期性间歇性故障。这类故障在复杂的机械系统、电力系统和通信网络中广泛存在。例如，生产线上的齿轮可能会经历周期性卡住或振动。在处理间歇性故障方面已经取得了一些进展。对于受不匹配干扰和间歇性故障影响的非线性系统，参考文献[15]提出了一种基于故障诊断的容错控制策略。参考文献[16]设计了一种新的有限时间容错控制方案，用于补偿线性不确定系统中的间歇性故障，并具有超调抑制功能。然而，这些研究主要将间歇性故障视为一般时变信号，而没有充分利用其潜在的周期性结构信息。因此，如何利用周期性间歇性故障的周期性特征来实现高精度重构已成为具有理论和工程意义的问题。
尽管容错控制可以有效补偿故障，但执行器饱和是实际系统中不可避免的非线性现象，而且执行器故障[17]与执行器饱和[18],[19]之间通常存在强烈的耦合关系：当容错控制重构控制律以补偿执行器故障时，很容易引起执行器饱和，从而降低甚至消除容错控制的性能。因此，同时考虑故障和执行器饱和是必要的且有价值的。现有处理执行器饱和的方法可以分为两类：直接设计方法和间接补偿方法。前者在设计阶段纳入幅度约束，如凸组合方法[20]和低增益反馈[21]，这些方法在理论上严谨但通常较为保守。后者采用“先设计后补偿”的策略，如抗饱和补偿器[22],[23]，在无饱和时保持名义性能，并在饱和发生时动态干预，具有更大的工程实用性。参考文献[24]通过估算执行器有效性和饱和系数的界限，设计了一种基于两个辅助变量的自适应律，实现了对部分执行器有效性故障和执行器饱和的同时处理。在拒绝服务（DoS）攻击和执行器饱和的背景下，参考文献[25]开发了一种基于观测器的控制方法，以确保忆阻神经网络（MNNs）的同步。
此外，随着网络技术[26]的不断发展，控制系统通常面临通信带宽有限和外部干扰的双重挑战。一方面，有限的通信资源影响信息的实时传输，降低了容错控制的补偿性能。事件触发控制[27],[28],[29]仅在满足预设条件时传输数据，从而减轻通信负载。事件触发机制已经演变为更加主动和多技术集成，从静态事件触发机制发展到动态事件触发机制[30]和自触发机制[31]。参考文献[32]研究了离散时间开关仿射系统的事件触发和自触发机制设计问题。另一方面，外部干扰在实际系统中无处不在，加剧了执行器的负担并显著影响控制性能。当前的干扰抑制[33]方法主要包括干扰观测器[34]、H∞控制[35]和滑模控制[36]等。近年来，这一研究方向与智能学习和事件触发机制等尖端技术深度融合。参考文献[37]提出了一种抗干扰自监督强化学习策略，与基线相比实现了更低的控制成本。
总之，实际系统经常面临多种因素的同时影响，这些因素通常表现出强烈的耦合效应。基于故障可微性假设的传统容错控制方案不适用于周期性间歇性故障，其固有的周期性特征也没有得到有效利用。为了解决这些问题，本文提出了一种基于傅里叶级数的故障建模方法，专门用于周期性间歇性故障，在通信约束和外部干扰下实现抗饱和容错控制。本文的主要贡献如下：
1. 本文提出了一种基于傅里叶级数的故障重构方法，它在处理周期性间歇性故障的突然变化点处的非可微性问题时放宽了匹配条件。通过使用旋转外系统，将未知的傅里叶系数转换为未知的初始值，从而避免了对未知幅度的强假设。
2. 引入了Lanczos窗口函数来减轻跳跃不连续性附近的吉布斯现象。结合平滑误差界限，推导出了确定傅里叶级数展开阶数的解析公式。该公式在近似精度和计算复杂性之间建立了直接权衡，减少了高展开阶数引入的保守性，同时保持了跟踪精度。
3. 通过结合动态抗饱和补偿和L2增益优化，并引入动态事件触发机制，本文设计了一种能够在饱和、通信约束和干扰下保持闭环稳定的容错控制器。所提出的方案主动减轻了饱和引起的非线性，并优化了控制能量分布，实现了抗饱和和干扰抑制之间的有效平衡。

**本文的其余部分组织如下：**
第2节介绍了系统模型、故障重构方法和事件触发机制，以及必要的假设。第3节详细介绍了观测器设计和具有稳定性证明的抗饱和容错控制器。第4节提供了数值模拟和示例模拟以验证所提出的方案。最后，第5节总结了本文。

**符号说明**
在本文中，采用以下约定：I表示适当维度的单位矩阵。AT表示向量A的转置。Rm表示m×1列向量。*表示矩阵表达式中的对称元素。??表示向上取整。?表示克罗内克积。为了节省空间，H(A)=A+AT（对称和）。

**系统模型**
考虑以下系统：
$$
x^\dot(t) = Ax(t) + Bsat(u(t)) + Dd(t) + Ef(t), \quad y(t) = Cx(t)
$$
其中A、B、C、D、E是已知的系统矩阵，而u(t)∈R^m和y(t)∈R^p分别是系统输入和输出。x(t)∈R^n是系统状态，d(t)∈R^m表示干扰，f(t)∈R^f表示故障，sat(u(t))表示u(t)的饱和函数，如下所示：
$$
sat(u(t)) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & if \, u(t) \geq 1 \\
-1 & if \, -1 < u(t) < 1 \\
-1 & if \, u(t) \leq -1
\end{array}
\right.
$$
未知的外部干扰d(t)由外生系统生成，该系统由以下公式描述：
$$
w^\dot(t) = \text{生成过程}
$$

**观测器设计**
考虑到ZOH（零阶 Holder）行为，观测器输入信号可以表示为：
$$
y^\bar(t) = y(t_k), \quad t \in [t_k, t_k+1]
$$
基于事件触发输入（26），构建了以下估计观测器：
$$
\begin{align}
x^\dot^*(t) &= Ax^\prime^*(t) + Bsat^*(u(t)) + Dd^*(t) + Ef^*(t) + L_1(y^\bar(t) - y^\bar(t)), \\
w^\dot^*(t) &= Ww^\prime^*(t) + L_2(y^\bar(t) - y^\bar(t)), \\
z^\dot^*(t) &= Az^\prime^*(t) + L_3(y^\bar(t) - y^\bar(t))
\end{align}
$$
其中x^\prime^*(t), w^\prime^*(t), z^\prime^*(t)和y^\prime^*(t)分别表示x(t), w(t), z(t)和y(t)的估计值。
定义估计误差为：
$$
e(t) = [x(t) - x^\prime^*(t), w(t) - w^\prime^*(t), z(t) - z^\prime^*(t)]
$$

**示例模拟**
本节通过数值模拟和实际实现全面验证了所提出的方法。

**结论**
本文研究了具有周期性间歇性故障、干扰和通信约束的线性系统的抗饱和容错控制。提出了一种基于傅里叶级数的故障重构方法，该方法消除了对幅度和相位的强假设，同时处理了故障跳变点处的非可微性问题。窗口函数减轻了吉布斯现象，并提供了展开阶数选择标准。动态事件触发机制减少了干扰。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文的工作。